二次方程根的分布情况归纳完整版
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
例 3、已知二次函数 y m 2 x2 2m 4 x 3m 3 与 x 轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求实数 m
的取值范围。
解：由 m 2 f 1 0 即 m 2 2m 1 0
1 2 m 即为所求的范围。
2
例 4、已知二次方程 mx2 2m 3 x 4 0 只有一个正根且这个根小于 1，求实数 m 的取值范围。
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程 ax2 bx c 0 根的分布情况
设方程 ax2 bx c 0 a 0 的不等两根为 x1, x2 且 x1 x2 ，相应的二次函数为 f x ax2 bx c 0 ，方程的 根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
大 致 图 象 （
a0
）
0
得
fm 0
出
的
fn 0
结
论
b
m
n
2a
fm fn 0
fm 0 f n 0 fmfn 0
或
f p 0 f pfq 0 fq 0
综
合
结
论
（ 不
——————
讨
论
a
）
fm fn 0
fmfn 0 f pf q 0
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 足的条件是
m, n 外，即在区间两侧 x1 m, x2 n ，（图形分别如下）需满
2m 1 m 1
0，从而得
1 m 1 即为所求的范围。
2
例 2、已知方程 2x2 m 1 x m 0 有两个不等正实根，求实数 m 的取值范围。
解：由
0 m1
0 22 f0 0
二次方程根的分布情况归纳精品2
各位教师，同学，我精心汇总，好好利用二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m fn <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()00f m fn >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0fm =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220m x m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212m x m x x m x -++=--，另一根为2m，由213m<<得223m <<即为所求；2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x m x m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300ff -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x m x m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
二次方程根的分布情况归纳
二次方程根的分布情况归纳在数学的世界里，二次方程根的分布情况是一个非常重要的知识点。
它不仅在数学理论中有着关键的地位，还在实际的科学研究和工程应用中发挥着巨大的作用。
接下来，咱们就详细地探讨一下二次方程根的分布情况。
先来说说二次方程的一般形式：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（其中$a ＼neq 0$）。
判别式$＼Delta ＝ b^2 4ac$决定了方程根的情况。
当$＼Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实根；当$＼Delta ＝ 0$时，方程有两个相等的实根；当$＼Delta ＜ 0$时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
那根的分布情况又是什么意思呢？简单来说，就是给定一个区间，研究方程的根在这个区间内的个数、存在性等问题。
咱们先来看一种常见的情况：给定区间$（m,n)＄，方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$的根在此区间内。
这时候，我们要考虑以下几个条件。
首先，函数$f(x) ＝ ax^2 ＋ bx＋ c$在区间$（m,n)＄端点处的函数值的符号。
如果$f(m) ＼times f(n)＜0$，那么根据零点存在定理，方程在区间$（m,n)＄内至少有一个根。
然后，还要考虑对称轴$x ＝＼frac{b}｛2a}＄的位置。
如果对称轴在区间$（m,n)＄内，那么还需要满足判别式$＼Delta ＼geq 0$，才能保证方程在区间内有根。
再说说当给定区间是$（＼infty, m)＄或者$（n, ＋＼infty)＄的情况。
对于区间$（＼infty, m)＄，如果$a ＞ 0$，且$f(m) ＜ 0$，或者$a＜ 0$，且$f(m) ＞ 0$，同时判别式$＼Delta ＞ 0$，那么方程在这个区间内有根。
对于区间$（n, ＋＼infty)＄，如果$a ＞ 0$，且$f(n) ＜ 0$，或者$a＜ 0$，且$f(n) ＞ 0$，同样在判别式$＼Delta ＞ 0$的条件下，方程在这个区间内有根。
二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布
1、一元二次方程
02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2
00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的
根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较 即根的正负情况）
k k k
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()
0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩
根的分布练习题
例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
例3、已知二次函数()()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m
的取值范围。
例4、已知二次方程()2
2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。
二次函数在闭区间上的最值练习
例2、求函数()[]2
21,1,3f x x ax x =-+∈的最小值。
例3、求函数2
43y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <g 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
一元二次方程根的分布情况小结
一元二次方程根的分布一．知识要点二次方程02=++c bx ax 的根从几何意义上来说就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究方程02=++c bx ax 的实根的情况，可从c bx ax y ++=2的图象上进行研究．若在),(+∞-∞内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考察函数c bx ax y ++=2与x 轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由c bx ax y ++=2的系数可判断出2121,,x x x x +∆的符号，从而判断出实根的情况．若在区间),(n m 内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定．0∆>⎩表二：（两根与k的大小比较）k k k表三：（根在区间上的分布）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；2︒方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
f3 f2
f x max f x min
f2 f3
3a b 2 5 2b 2
b25 3a b 2 2
a1
；
b0
a1 b3
解：对称轴 x0 a （ 1）当 a 1 时，ymin f 1 2 2a（ 2）当 1 a 3 时，ymin f a 1 a2 ；（ 3）当 a 3 时，ymin f 3 10 6a
分 布 情 况
两根都在 m, n 内
两根有且仅有一根在 m, n 内
（图象有两种情况，只画了一种）
一根在 m, n 内，另一根在 p, q 内， m n p q
大 致 图 象 （
a0
）
0
得
fm 0
出
的
fn 0
结 论
m
bn
2a
fm fn 0
fm 0
fn 0
fmfn 0
或
f p 0 f pfq 0
fq 0
变题：方程 x 2 ax 2 0 的两根都小于 1． （ 4）方程 x2 ( a 4) x 2a2 5a 3 0 的两根都在区间 [ 1,3] 上； （ 5）方程 x2 ax 4 0 在区间（ 1， 1）上有且只有一解； 例 2、已知方程 x2 mx 4 0 在区间 [ 1， 1]上有解，求实数 m 的取值范围． 例 3、已知函数 f (x) mx2 (m 3) x 1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数
1 2 时，
f
x min
f
1 2
3 4
a ； （ 2）当
1 2
a
1 2 时，
f
x min
fa
a2 1；
（ 3）当 a
1 2 时，
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高考最全二次方程根的分布归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程ax2 bx c 0根的分布情况
设方程ax2bx c 0 a 0的不等两根为x i,x2且x1 x2,相应的二次函数为f x ax2bx c 0,方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况两个负根即两根都小于0
x1 0, x20
两个正根即两根都大于0
X 0, x20
一正根一负根即一个根小于0,
一个大于0 X1 0 x2
得出的结论得出的结
论综合结论
{不讨论a
2a
2a
表二：（两根与k的大小比较）
分布情况两根都小于k即
x1 k, x2k
两根都大于k即
x1 k, x2k
得出的
结论
2a f k
得出的结论综合结论{不讨论a
b k
2a
f k 0
2a
a f k 0
表三：（根在区间上的分布）
分布情况
o o
n q
f f m p f f
或
o o o
o
o
n n
o b a
t 2 n 得出的结论
o o
n q
f f m p f f
或
o o o
o
o
n
n
o o
b
m n f f m
得出的结论
综合结论{不讨论
a
m,n 夕卜，即在区间两侧 x i m,X 2 n,（图形分别如下）需满
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间
足的条件是。
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二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
二次方程根的分布情况归纳
二次方程()200axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况【一元二次方程根的分布的类型：】 1、零分布（1）有两正根 （2）有两负根 （3）一正一负2、k 分布（1）有两个大于k 的根 （2）有两个小于k 的根 （3）一个大于k,一个小于k, （4）有一个根在区间（k 1,k 2）内 （5）区间（k 1,k 2）有两个根 【引例】设方程的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()nm,内两根有且仅有一根在()nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()nm,内，另一根在()qp,内，qpnm<<<大致图象（0 > a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（0 < a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ）——————()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩一元二次方程根的分布题型例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
一元二次方程根的分布情况归纳总结Word版
一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点的横坐标(也即是函数的零点)，它们的分布情况见下面各表表一：两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0)分布情况 两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象结论()00200ba f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200ba f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21,两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f分布情况 两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<< 大致图象结 论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩k kk函数与方程思想：（1）方程f (0x )=0有根⇔y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔函数y=()f x 有零点0x （2）若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
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二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a ）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,两根有且仅有一根在()n m ,（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,，另一根在()q p ,，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()0f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-，求m 的取值围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，数m 的取值围。
解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得112m -<<即为所求的围。
例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，数m 的取值围。
解：由()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩⇒ ()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩ ⇒ 330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒ 03m <<-3m >+例3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，数m 的取值围。
解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ⇒ 122m -<<即为所求的围。
例4、已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，数m 的取值围。
解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ⇒ ()4310m +< ⇒ 13m <-即为所求围。
（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1，由0∆=计算检验，均不复合题意，计算量稍大）2、二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值问题探讨设()()002>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：ab n m 2-<< n a b m <-<2即[]n m ab ,2∈- n m ab<<-2 图象最大、最小值 ()()()()n f x f m f x f ==min max()()(){}()⎪⎭⎫⎝⎛-==a b f x f m f n f x f 2,max min max()()()()m f x f n f x f ==min max（1）若[]n m a b,2∈-，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min ； （2）若[]n m ab,2∉-，则()()(){}n f m f x f ,m ax max =，()()(){}n f m f x f ,m in min = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越小。
二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。
例1、函数()()2220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。
解：对称轴[]012,3x =∉，故函数()f x 在区间[]2,3上单调。
（1）当0a >时，函数()f x 在区间[]2,3上是增函数，故()()()()max min32f x f f x f ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒ 32522a b b ++=⎧⎨+=⎩ ⇒ 10a b =⎧⎨=⎩； （2）当0a <时，函数()f x 在区间[]2,3上是减函数，故()()()()max min23f x f f x f ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒ 25322b a b +=⎧⎨++=⎩⇒ 13a b =-⎧⎨=⎩例2、求函数()[]221,1,3f x x ax x =-+∈的最小值。
解：对称轴0x a =（1）当1a <时，()min 122y f a ==-； （2）当13a ≤≤时，()2min 1y f a a ==-； （3）当3a >时，()min 3106y f a ==-改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当2a <时，()()max 3106f x f a ==-； （2）当2a ≥时，()()max 122f x f a ==-。
2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？解：（1）当1a <时，()()max 3106f x f a ==-，()()min 122f x f a ==-；（2）当12a ≤<时， ()()max 3106f x f a ==-，()()2min 1f x f a a ==-；（3）当23a ≤<时，()()max 122f x f a ==-，()()2min 1f x f a a ==-；（4）当3a ≥时， ()()max 122f x f a ==-，()()min 3106f x f a ==-。
例3、求函数243y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值。
解：对称轴02x =（1）当2t <即2t >时，()2min 43y f t t t ==-+；（2）当21t t ≤≤+即12t ≤≤时，()min 21y f ==-； （3）当21t >+即1t <时，()2min 12y f t t t =+=-例4、讨论函数()21f x x x a =+-+的最小值。