角的概念及其表示

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4.3.1角

D C A B
思考与探索：
B A
D
C
1.图中有几个角，它们是 ∠BAC、 ∠BAD、 DAC ．
B A
C
D E
2.图中又有几个角，它们分别都是
∠BAC、 ∠BAD、 ∠BAE、 ∠CAD、（∠CAE、 ∠DAE。）
．
探究：3.以点O为端点引2条、3条、4条、5条......n条射线，此时
图中共有多少个角？怎样用n表示？
75°
练习
2. （1）35º 等于多少分？等于多少秒？（2）38º 15'和38.15º 相等吗？如不相等，哪个大？解：（1）35º =2100'， 35º =126000". （2）不相等， 35º 15'=35.25º ， 35.25º < 38.15º . 或者38.15 º =38º 9'， 35º 15'< 38º 9'.
=370+14.4/ =370+(14.4÷60)0
=370+0.240=37.240
例2 计算：
(1) 23°46′＋ 58°28′； (2) 51°37′－32°5′31″； (3) 13°53′×3；
练习
1. 6时整，钟表的时针和分针构成多少度角？ 8时呢？8时30分呢？
180°
120°
以度，分，秒为单位的角的度量制叫做角度制。 1°
1度= 60分
1 1秒= 分 60
1分= 60秒
1 1秒= 3600 度
1°＝60 ′ 1 ″ ＝1 ′
60
１′＝60″．１ ′＝ 1 ° ．
60
认识量角器：
量角器的外刻度量角器的90 °刻度线

第一章角的概念推广、象限角及其表示-【新】北师大版高中数学必修第二册PPT全文课件

解得1294≤k<6274.
又k∈Z,所以k=1,或k=2. 当k=1时,β=435°; 当k=2时,β=795°.
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激趣诱思
知识点拨
微思考1 60°,-660°,-300°,420°,780°的角的终边有什么关系? 提示相同.-660°=60°-2×360°,-300°=60°-360°, 420°=60°+360°,780°=60°+2×360°. 微思考2 如何表示与60°终边相同的角的集合? 提示S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟概念辨析问题的求解方略对于概念辨析题,一是利用反例排除错误答案,二是利用定义直接判断.本题需要准确理解象限角、锐角、钝角、终边相同的角等基本概念才能作出正确的判断.
探究三
当堂检测
反思感悟象限角的判定 1.已知一个角的大小判断其所在象限时,可先根据终边相同的角的表示方法,找到在[0°,360°)内与之终边相同的角,再确定其象限. 2.已知角的终边所在的象限,求待求角的终边所在的位置时,通常首先根据所给已知角的范围,得到待求角的范围,然后判断待求角终边所在的位置.

小学数学知识归纳角的概念

小学数学知识归纳角的概念角是数学中的一个重要概念，它经常在几何学和代数学中出现。

在小学数学课程中，角的概念也是一个非常基础但关键的部分。

本文将对小学阶段的数学知识进行归纳，详细介绍角的概念及其相关内容。

1. 角的定义：在数学中，角是由两条射线共同确定的一个平面图形，其中射线的交点成为角的顶点，而两条射线则被称为角的边。

角可以用字母来表示，通常用大写字母表示角的顶点，同时用小写字母或者标记称为角的边，比如∠ABC。

2. 角的种类：根据角的大小，角可以分为三种不同的类别：- 锐角：角的角度小于90°，即刚好为锐角。

- 直角：角的角度为90°，即为直角。

- 钝角：角的角度大于90°但小于180°，即为钝角。

3. 角的测量：在数学中，角的大小是以角度来衡量的，角度用度（°）作单位。

一周的360°被定义为一个完整角，而直角则是一个四分之一的完整角，即90°。

4. 角的分类：根据角的顶点与边的位置关系，角可以进一步进行分类：- 内角：内角是由角的两条边在角的内部延长而成的角，只存在于多边形内部。

- 外角：外角是由角的一条边在角的外部延长而成的角，只存在于多边形外部。

5. 角的特性：- 邻角：指两个共同边的角，它们共享一条边且位于该边的两侧。

- 对角：在平行四边形和任意四边形中，对角是相对的角，即位于对角线的相对位置的两个角。

- 互补角：两个角的度数之和为90°时，称它们为互补角。

- 补角：两个角的度数之和为180°时，称它们为补角。

6. 角的相关定理：在数学中，还有一些与角相关的重要定理和性质：- 外角定理：在三角形中，三个外角的度数之和始终为360°。

- 内角和定理：在凸多边形中，n个内角的度数之和为(n-2) × 180°。

- 同位角定理：当两条直线被一条截线切割时，同位角是位于两条直线同侧的内角或同侧的外角，它们的度数相等。

角的认识与度量

角的认识与度量角是我们学习数学中的一个基本概念，它在几何学中扮演着重要的角色。

通过对角的认识与度量，我们能够更好地理解几何图形以及解决相关的问题。

本文将对角的概念、性质以及度量方法进行探讨，旨在帮助读者深入了解角的本质及其应用。

一、角的基本概念角是由两条射线共同起点所形成的形状，射线的起点称为角的顶点，射线的端点则分别称为角的边。

角可以用大写字母表示，例如∠ABC，顶点为B，边为BA和BC。

角可以分为锐角、直角、钝角及平角四种类型。

锐角指角的度数小于90°，直角指角的度数为90°，钝角指角的度数大于90°但小于180°，平角指角的度数为180°。

二、角的性质1. 锐角的特点：锐角的度数小于90°，而且两边都在同一直线的同侧。

2. 直角的特点：直角的度数为90°，两边垂直于彼此。

3. 钝角的特点：钝角的度数大于90°，而且两边都在同一直线的同侧。

4. 平角的特点：平角的度数为180°，可以看作是两条平行线相交所形成的角。

三、角的度量方法为了度量角的大小，我们需要使用角度作为单位。

角度是一个用于度量角的量纲，通常用符号°表示。

1. 角度的刻度：角度刻度是将一个圆周等分为360等份，每等份被定义为一度，记作1°。

2. 弧度的刻度：弧度是另一种角度的度量方式，可以用来度量任何大小的角。

一个角的度数与相应的弧度之间存在一个固定的换算关系：360° = 2π弧度。

3. 角度与弧度的换算：要进行角度和弧度的换算，我们可以使用下面的公式：弧度 = 角度× π / 180角度 = 弧度× 180 / π四、角的应用角的概念和度量在几何学中被广泛应用，涉及到许多问题的解决。

1. 直角三角形：在直角三角形中，一个角为直角（即90°），而其他两个角可以由角的度数关系求得。

新人教版初中数学七年级上学期《角》知识点讲解及例题解析

《角》知识讲解及例题解析【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB ＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．举一反三：【变式】下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C．类型二、角度制的换算2. 计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3=13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板．(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝12（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：∵∠AOB的平分线OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝12（∠BON－∠AON）4. 如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．【答案与解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM ﹣∠CON=45°．（4）从上面的结果中，发现：∠MON 的大小只和∠AOB 得大小有关，与∠A0C 的大小无关．【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．举一反三：【变式】如图，已知O 是直线AC 上一点，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数.【答案】解：设∠EOC=x °，则∠BOE ＝12∠EOC ＝12x °，根据题意可得：1180127022x xx --+= ，解得： 80x = .∠EOC ＝2∠BOE ＝80°. 类型四、方位角5.已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于．【答案】85°．【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°， ∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°，故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键．类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【答案与解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =．答：7时5511分钟时针与分针成一条直线．【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： ① 分针的速度为36060＝6°/分；②时针的速度为3060°分＝0.5°/分．故分针速度是时针速度的12倍．举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间? 【答案】解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得：6x-0.5x ＝110×2，解之得x ＝40．答：此人外出购物用了40分钟的时间．。

人教版七年级数学上册第四章4.3《角》例题与讲解

4.3 角1．角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注； ②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间．破疑点角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．【例1－1】下列说法正确的是( )．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时组成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结论．平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了．答案：C【例1－2】如图，以点B 为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来．分析：.射线BA 与BD ，BA 与BC ，BD 与BC 各组成一个角．表示顶点的字母必须写在中间．当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把∠ABC 错写成“∠B ”．书写力求规范，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号一定要用“∠”，而不能用“＜”．解：以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABC ，∠ABD ，∠DBC .2.角的度量与换算(1)角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．(2)角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.谈重点角度的换算 (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；(2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝⎝⎛⎭⎫160′，1′＝⎝⎛⎭⎫160°，用除法．度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°48′36″用度表示．分析：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用⎝⎛⎭⎫160′乘以36.解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.(2)把36″化成分，36″＝⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝⎝⎛⎭⎫160°×48.6＝0.81°. 所以26°48′36″＝26.81°.3．角的比较与运算(1)角的比较： ①度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小． ②叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．解技巧角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC ，表示为∠AOB ＋∠BOC ＝∠AOC ；∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB ，表示为∠AOC －∠BOC ＝∠AOB .②代数意义：如已知∠A ＝23°17′，∠B ＝40°50′，∠A ＋∠B 就可以像代数加减法一样计算，即∠A ＋∠B ＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B －∠A ＝40°50′－23°17′＝17°33′.(3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC 是∠AOB 的平分线，则有∠1＝∠2＝12∠AOB 或∠AOB ＝2∠1＝2∠2.警误区角的平分线的理解角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．【例3】如图所示，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE ＝20°，∠AOD ＝40°，求∠DOE 的度数．解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE.∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.又∵∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，∴∠COE＝20°，∠COD＝40°.∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝20°＋40°＝60°.4．余角和补角(1)余角和补角的概念：①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角)的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.补角的性质：同角(等角)的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.(3)方位角：在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方位角．通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．通常要先写北或南，再写偏东还是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间互相依存，只能说∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1，或者说∠1与∠2互余，而不能说∠1是余角．【例4】如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．解：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°.又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°，所以∠DOF＝∠1＝40°.所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．【例5】如图所示，∠AOB ＝90°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，求∠MON 的大小．分析：解决问题的关键是把∠AOC －∠BOC 视为一个整体，代入求值．解：因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC ＝12∠AOC ，∠MOC ＝12∠BOC ，所以∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC )＝12∠AOB ＝12×90°＝45°. 6.钟表问题对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等．若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．【例6】上午9点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经过x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x )°，分针转过(6x )°，如图所示，可列方程360－6x －(90－0.5x )＝90，解得x ＝32811.即过32811分钟，时针与分针再一次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在动手操作中找出答案．这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图，进而求出点的转动角度．【例7】如图，把作图用的三角尺(含30°，60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下，一律看作点没有转动)．解：如图，从位置①到位置②，B 点转过90°；从位置②到位置③，B 点转过120°；从位置③到位置④，由题意B点看作不动．于是在整个过程中B点转过的角度为90°＋120°＝210°.8.归纳猜想在角的问题中的运用归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的．学习数学必须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现．运用n(n－1)2这个式子，能解决很多类似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家善于借鉴的结果．在学习过程中，注意不断总结、归纳规律，积累经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例8】(1)若在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?解：(1)每个人可与另外(n－1)个人握一次手，n个人就有(n－1)·n次握手，其中各重复一次，所以，握手总次数是n(n－1)÷2次．(2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手)，所以共有n(n－1)÷2条线段．图②中每条射线都与另外(n－1)条射线构成一个角(类似于握手)，所以共有n(n－1)÷2个角．9.方位角的应用(1)如图，画两条互相垂直的直线AB和CD相交于点O，其中一条为水平线，则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向，具体是：向上的射线OA表示正北方向，向下的射线OB表示正南方向，向右的射线OD表示正东方向，向左的射线OC表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．建立这四条方向线后，对于点P，如果点P在射线OA上，则称点P在正北方向；如果点P在射线OB上，则称点P在正南方向；如果点P在射线OC上，则称点P在正西方向；如果点P在射线OD上，则称点P在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分成四个直角，如果点P在正北方向线OA与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正北方向线OA的夹角是m°，则称点P在北偏东(或西)m°方向；如果点P在正南方向线OB与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正南方向线OB的夹角为m°，则称点P在南偏东(或西)m°方向．例如图中的射线OA，OB，OC，OD分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的OC，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．【例9】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°.(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是________；(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是____；(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是____；(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，∠COE＝____.解析：(1)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝90°－50°＝40°，∴∠AOB＝40°＋15°＝55°∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOC＝55°，∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝15°＋55°＝70°，∴OC的方向是北偏东70°.(2)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝40°，∴∠DOH＝40°，∴OD的方向是南偏东40°.(3)∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE＝90°.∵∠DOH＝40°，∴∠HOE＝50°，∴OE的方向是南偏西50°.(4)∵∠AOF＝15°，∠AOC＝55°，∴∠COG＝90°－∠AOF－∠AOC＝90°－15°－55°＝20°.∵∠EOH＝50°，∠HOG＝90°，∴∠COE＝∠EOH＋∠HOG＋∠COG＝50°＋90°＋20°＝160°.答案：(1)北偏东70°(2)南偏东40°(3)南偏西50°(4)160°。

第1讲任意角和弧度制三角函数的概念

第四章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制、三角函数的概念1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的□1端点旋转所成的图形． (2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为□2正角、□3负角、□4零角．按终边位置不同分为□5象限角和轴线角．(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为□6－α．(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义把长度等于□7半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示． (2)公式3．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P (x ，y )，则sin α＝□9y ，cos α＝□10x ，tan α＝y x (x ≠0). (2)任意角的三角函数的定义(推广)：设P (x ，y )是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0).4．三角函数在各象限的符号规律常用结论►(1)三角函数在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)象限角(3)轴线角1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( ) (3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 2．(教材改编)67°30′化为弧度是( ) A ．3π8B ．38C ．673π1 800D ．6731 8003．(教材改编)已知α是第一象限角，那么α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角4．(教材改编)已知角θ的终边经过点P (－12，5)，则sin θ＋cos θ＝．关键能力互动探究命题点1 任意角及其表示例1 (1)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( C )(2)(2024·河北唐山质检)在[－720°，0°]范围内所有与45°终边相同的角为．命题点睛►(1)表示区间角的三个步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}，其中β－α＜360°；③最后令起始、终止边界的对应角α，β加上360°的整数倍，即得区间角的集合． (2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．针对训练1．(多选)下列命题正确的是( )A ．终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2k π，k ∈Z }B ．终边落在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k π，k ∈Z }C ．第三象限角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|π＋2k π≤α≤3π2＋2k π，k ∈ZD ．在－900°≤x <0°范围内所有与30°角终边相同的角为－690°和－330°2．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3．命题点2 弧度制及其应用例2 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长是20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．命题点睛►应用弧度制解决问题时的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．针对训练(多选)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S 1，圆心角为α1，扇形所在圆面中剩余部分的面积为S 2，圆心角为α2，当S 1与S 2的比值为5－12≈0.618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么( )A ．α1≈127.5°B ．α1≈137.5°C ．α2＝(5－1)πD ．α1α2＝5－12命题点3 三角函数的定义及其应用角度1 三角函数的定义例3 (1)已知角α的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫35，m 5，则sin α的值是( ) A ．±45B ．±35C ．34D ．－34(2)如果点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(－3，1)D ．(－3，－1) 角度2 三角函数的符号例4 (1)点P (sin 100°，cos 100°)在( ) A ．第一象限内 B ．第二象限内 C ．第三象限内D ．第四象限内 (2)已知sin θ<0，tan θ<0，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限命题点睛►1．三角函数定义的应用(1)找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，直接利用三角函数的定义，确定这个角的三角函数值．(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．2．要判断三角函数的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再确定三角函数在各象限的符号．如果不能确定角所在象限，那么就要进行分类讨论求解．针对训练1．(2023·黑龙江哈尔滨期中)已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α－cos α－11＋tan α的值为( )A ．－65B ．1C ．2D ．32．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若A (－1，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－31010，则y ＝( )A ．3B ．－3C ．1D ．－13．(2024·福建福州质检)若α是第二象限角，则下列不等式正确的是( ) A ．cos (－α)>0 B ．tan α2>0C ．sin 2α>0D ．sin (－α)>0 课时作业 [基础巩固练]1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )2．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，其终边经过点P (1，2)，则sin α＝( ) A ．255B ．55 C ．2D ．123．点A (sin 1 240°，cos 1 240°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．(2023·天津河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为( ) A ．4 B ．22 C ．2D ．15．(2024·河南郑州质检)已知α是第二象限角，则点(cos (sin α)，sin (cos α))所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；③无论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二象限角或第三象限角．其中正确命题的序号是( )A ．②④⑤B ．③⑤C ．③D ．①③⑤7．(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (1，2sin α)，且|α|<π2，则角α的可能取值为( )A ．－π3B ．0C ．π6D ．π38．已知角α的终边经过点(2a －1，4)，且cos α＝－35，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－1C ．2D ．1 9．若角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x <0)的图象重合，则2cos α＋sin α＝． 10．用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(含边界)的角θ的集合是11．α为第二象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2在第象限． 12．(2024·山东德州质检)已知扇形的圆心角为23π，面积为3π，则该扇形的周长为．[能力提升练]13．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m >0)，则下列各式的值一定为负的是( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．sin αcos αD ．sin αtan α14．(2023·山西长治模拟)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力材料(SIM)所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴由线段AB ，AC 和圆的优弧BC 围成，其中AB ，AC 恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为1，点A 到圆弧所在圆的圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为( A )A ．3＋2π3B ．23＋2π3C ．23＋π3D ．3＋π315．(2023·黑龙江牡丹江三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ⎝⎛⎭⎫35，45，将线段OA 绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则点B 1016．若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4．。

数学中的角的概念-概念解析以及定义

数学中的角的概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数学中的角是几何学中的重要概念之一，它在几何图形的研究和解决实际问题中起着重要作用。

角的概念贯穿于整个数学学科，并且在许多实际应用中都具有重要意义。

本文将对角的定义、角的种类以及角在实际生活中的应用进行深入探讨，以期帮助读者全面了解角的概念及其重要性。

通过学习角的知识，读者不仅可以丰富数学知识，还可以更好地应用数学解决实际生活中的问题。

1.2 文章结构文章结构部分：本文将从引言开始，首先概述本篇文章要讨论的内容，接着介绍文章的结构，说明各个部分的内容安排和逻辑，最后说明本文的目的和意义。

接下来将进入正文部分，分别讨论角的定义、角的种类以及角的应用。

最后，结论部分将对角的重要性进行总结，并具体阐释角在实际生活中的应用和对数学学习的启示。

通过这样的结构安排，可以使读者清晰地了解本文要讨论的内容和各部分之间的联系，也能更好地理解数学中的角的概念。

1.3 目的目的部分:本文旨在深入探讨数学中角的概念，通过对角的定义、种类和应用进行系统的介绍和分析，旨在帮助读者更好地理解和掌握角的概念，进而拓展数学知识，提高数学应用能力。

同时，通过对角在实际生活中的应用和对数学学习的启示进行讨论，旨在激发读者对数学学习的兴趣，以及更深层次的思考和学习方式。

通过本文的阅读，读者可以更好地认识到角在数学中的重要性，以及在生活和学习中的实际应用价值，进而促进对数学学科的全面发展。

2.正文2.1 角的定义:角是由两条射线以一个公共端点相交而形成的图形部分。

这个公共端点被称为角的顶点，而两条射线分别被称为角的边。

角可以用符号表示为∠ABC，其中A是角的顶点，B和C分别是角的两边的端点。

角的大小通常用角的度数来表示，通常以度（）为单位。

角的大小也可以用弧度来表示，在数学中，一个完整的圆的周长为360度或2π弧度。

角度可以用度数或弧度数进行测量，这取决于具体的问题和需求。

在数学中，角是一种重要的概念，它在几何学和三角学中有着广泛的应用。

角的概念与角的计算

角的概念与角的计算在几何学中，角是指由两条射线或线段共同端点所形成的图形。

角的概念及其相关计算是学习几何学的基础知识之一，它们在解决形状、测量和定位问题时起着重要的作用。

在本文中，我们将深入探讨角的概念以及常用的角的计算方法。

一、角的概念角可以分为直角、锐角和钝角三种类型。

直角是一种特殊的角，它由两条垂直的线段构成，形成一个90度的角。

直角通常由一个小方块"⊥"来表示。

锐角是指小于90度的角，而钝角则是指大于90度但小于180度的角。

角的度量可以用度或弧度来表示。

度是指一个角所占的平面角度的1/360；弧度则是一种更为精确的度量方式，是指弧长等于半径的弧所夹的角所占的角度。

在角的计算中，我们通常会使用度作为单位。

二、角的计算方法1. 角的度量计算一个角的度量需要测量角度的大小。

在实际操作中，我们可以使用直角器或度规来测量角度。

直角器可以帮助我们快速测量出直角、锐角或钝角的大小，而度规可以用来测量更加复杂的角度。

2. 角的运算（1）角的加法：当两个角共享一个公共边时，我们可以通过将这两个角的度数相加来计算它们的和。

例如，角A的度数为60度，角B 的度数为30度，则角A和角B的和为60°+30°=90°。

（2）角的减法：如果我们要计算两个角的差，可以通过将两者的度数相减来实现。

例如，角C的度数为130度，角D的度数为80度，则角C和角D的差为130°-80°=50°。

3. 角的乘法在某些情况下，我们需要计算两个角的乘积。

这通常发生在三角函数的计算中。

为了实现这一目的，我们首先将两个角的度数相乘，然后根据需要转化为所需的度量单位。

例如，角X的度数为45度，角Y 的度数为60度，那么角X和角Y的乘积为45° * 60° = 2700°。

4. 角的平分角的平分是指将一个角划分为两个度数相等的角。

当我们需要计算角的平分时，可以使用以下公式：角的平分度数 = 原角的度数 / 2。

角的认识与应用

角的认识与应用在几何学中，角是一个常见的概念。

它不仅在数学领域中有着广泛的应用，也在生活中扮演着重要的角色。

本文将介绍角的定义、性质以及其在实际问题中的应用。

一、角的定义角是由两条射线或线段共同端点所组成的图形。

我们通常用字母来表示角，如∠ABC，其中A、B分别为两条线段的共同端点，C为角的顶点。

角可以被划分为几个不同的类型。

根据角的大小，我们将其分为三类：锐角、直角和钝角。

锐角指的是角的度数小于90°，直角则恰好为90°，而钝角则大于90°但小于180°。

二、角的性质1. 两个角互为补角，当一个角的度数和另一个角的度数之和等于90°时，我们称它们为互为补角。

2. 两个角互为余角，当一个角的度数和另一个角的度数之和等于180°时，我们称它们为互为余角。

3. 两个角互为对顶角，当两个相邻角的非公共边相互垂直时，我们称它们为互为对顶角。

三、角的应用1. 几何证明角的性质和关系在几何证明中经常被应用。

例如，我们可以利用角的互补性质证明两条直线平行，或者利用角的对顶性质证明三角形相似。

通过灵活运用角的性质，我们可以简化几何问题的解决方法。

2. 建模和测量在实际问题中，我们经常需要使用角度来进行建模和测量。

例如，地图上的方位角可以帮助我们确定物体相对于北方的方向。

此外，角度还广泛应用于工程、建筑和航空等领域中的测量和设计中。

3. 三角函数三角函数是角度的函数，它们与几何学和三角学的关系密切。

正弦、余弦和正切等三角函数被广泛应用于科学、工程和计算机图形学等领域。

这些函数可以帮助我们计算角的大小、距离和速度等。

4. 角的运动学在物理学中，角度也是很重要的概念。

例如，当物体绕着一个定点旋转时，我们可以使用角度来描述其旋转的程度和方向。

通过研究角的运动特性，我们可以理解物体的运动规律和行为。

综上所述，角是数学和几何学中的重要概念，具有广泛的应用价值。

通过对角的认识和理解，我们可以更好地解决几何问题、进行建模和测量，以及应用于其他学科领域。

角的概念及其分类

角的概念及其分类一、角的概念及其分类1、角的有关概念（1）角的概念①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。

②角也可以看做由一条射线绕着它的端点转动而构成的图形，把初始边线的射线叫做始边，中止边线的射线叫做终边。

（2）平角、周角平角和周角射线$oa$绕点$o$旋转，当终止位置$ob$和起始位置$oa$成一条直线时，所成的角叫做平角。

当起始射线$oa$又回到起始位置时，所成的角叫做周角。

其中，1平角=180°，1周角=360°，所以1周角=2平角=4直角。

2、角的表示方法射线$oa$绕点$o$转动，中止边线为$ob$。

（1）用三个大写字母表示：$∠aob$或$∠boa$。

适用范围：任何情况都适用于，则表示顶点的字母必须写下在中间。

（2）用一个大写字母表示：$∠o$。

适用范围：以这一点为顶点的角只有一个。

（3）用数字或希腊字母表示：$∠1$或$∠α$。

适用范围：任何情况都适用于，在紧邻顶点处加之弧线，则表示出角的范围，并附以数字或小写希腊字母。

识别角的个数，可以先以某一射线为始边，按一定顺序（顺时针方向或逆时针方向）数出角的个数，然后依次以后面的射线为始边数出角的个数。

从某点出发引出$n$条射线能组成$(n-1)+$$(n-2)+$$(n-3)+$$\cdots+$$3+2$$+1=$$\frac{n(n-1)}{2}$个角。

3、角的分类锐角：$0°<α<90°$。

直角：$α=90°$。

钝角：$90°<α<180°$。

平角：$α=180°$。

周角：$α=360°$。

锐角<直角<钝角<平角<周角。

4、角的单位及角度制（1）度量仪器：量角器。

（2）度量单位：度、分、秒。

把一个周角360等分后，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分后，每一份叫作1分的角，记作$1'$；把1分的角60等分后，每一份叫作1秒的角，记作$1″$。

认识直角、锐角和钝角课件

03
举例二
04
计算两条相交直线之间的夹角。
解题思路
首先确定两条相交直线之间的夹角类型（锐角、直角或钝角），然后根据已知条件（如一条直线的倾斜角）和夹角类型计算出另一条直线的倾斜角和两条直线之间的夹角。
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锐角三角形的性质与判定
性质
锐角三角形的三个内角都是
01
锐角。
02
任意一边都小于另外两边之和。
04
03Βιβλιοθήκη 任意两边之和大于第三边。05
判定：一个三角形如果其三个内角都小于90度，则它是
锐角三角形。
锐角在生活中的应用举例
建筑设计
在建筑设计中，锐角常被用来创造独特和富有动感的建筑形状和结构。
艺术与设计
认识直角、锐角和钝角课件
目录
• 角的基本概念与分类 • 直角及其性质 • 锐角及其性质 • 钝角及其性质 • 角之间的关系与转换 • 角的度量与计算
01 角的基本概念与分类
角的定义及表示方法
角的定义
由两条射线共享一个端点所形成的几何图形。
角的表示方法
通常使用三个大写字母表示角，如 ∠ABC，其中B是角的顶点，AB和 BC是角的两条边。
角的分类：直角、锐角、钝角
01
02
03
直角
角度等于90°的角，通常用一个小方框“┐”来表示。
锐角
角度小于90°的角，其形状尖锐。
钝角
角度大于90°且小于180° 的角，其形状钝圆。
角的大小比较与度量单位
角的大小比较
通过比较两个角的度数来确定它们的大小关系。
角的度量单位

认识角的概念与性质

认识角的概念与性质角是几何学中常见的概念，它是由两条边共同起点组成的。

本文将详细介绍角的概念与性质，并探讨角的分类及其应用。

一、角的概念在几何学中，角是由两条射线或线段共同起点组成的图形。

这两条射线或线段称为角的边，它们的公共起点称为角的顶点。

角可以用大写字母、小写字母或数字表示。

角的度量单位常用度来表示，记作°。

一个完整的圆周可以等分为360°，所以角的度数最大不超过360°。

除了度数，角还可以用弧度来表示，记作rad。

弧度是一个无量纲单位，与角所对应的圆心角所夹的弧长相等。

二、角的性质1. 顶点：角的顶点是角的唯一确定点，两条边的起点也被视为角的顶点。

2. 边：角由两条边构成，每条边都有一个起点和一个终点。

3. 对称性：角的两边可以互换位置而保持角不变。

4. 角的度数：度数是角的一个重要属性，不同度数的角可以用来描述不同的几何关系和性质。

5. 角的种类：角根据其度数可以分为锐角（0°<角的度数<90°）、直角（角的度数=90°）、钝角（90°<角的度数<180°）和周角（角的度数=360°）等不同种类。

6. 互补角和补角：互补角是指两个角的度数相加等于90°；补角是指两个角的度数相加等于180°。

7. 角的大小比较：根据两个角的度数大小可以进行比较，例如，可以说一个角大于另一个角或者两个角相等。

三、角的分类角可以根据其度数以及性质进行分类。

1. 锐角：角的度数小于90°。

2. 直角：角的度数等于90°。

3. 钝角：角的度数大于90°且小于180°。

4. 余角：与给定角的和为90°的角，称为余角。

5. 补角：与给定角的和为180°的角，称为补角。

6. 对顶角：由一对相对的角所组成，对顶角的度数相等。

7. 内角：位于多边形内部的角，其度数之和等于(n-2)×180°，其中n 为多边形的边数。

第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数(经典练习及答案详解)

第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式3.任意角的三角函数 (1)定义(2)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝yr；cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.3.象限角4.轴线角诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角.2.已知角θ的终边过点P (－12，m )，cos θ＝－1213，则m 的值为( ) A.－5 B.5C.±5D.±8答案 C解析由三角函数的定义可知cos θ＝－12（－12）2＋m2＝－1213，解得m ＝±5. 3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________. 答案 {－675°，－315°}解析所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z ). 解得k ＝－2或k ＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则( ) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0D.sin 2α<0答案 D解析 ∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin αcos α<0，故选D. 5.(多选题)(2021·武汉调研)下列说法正确的是( ) A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B.钝角大于锐角C.三角形的内角必是第一或第二象限角D.若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角答案 BD解析对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误；对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误；对于D ，∵角α的终边在第二象限， ∴2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z ， ∴k π＋π4＜α2＜k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4＜α2＜2n π＋π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4＜α2＜(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得α2是第三象限角，故正确.6.(2021·菏泽质检)密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________rad. 答案 π50解析 ∵周角为2π rad ， ∴1密位＝2π6 000＝π3 000(rad)， ∴60密位＝π3 000·60＝π50(rad).考点一角的概念及其表示1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A 、B ，易知D 错误，C 正确.2.(多选题)(2021·海南调研)已知α为第三象限角，则α2的终边所在的象限可能是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案 BD解析 ∵α为第三象限角， ∴π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z ，当k ＝2m ，m ∈Z 时，π2＋2m π<α2<3π4＋2m π，m ∈Z ，此时α2在第二象限，当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，3π2＋2m π<α2<7π4＋2m π，m ∈Z ，此时α2在第四象限.综上，α2的终边在第二或第四象限.3.终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3解析终边在直线y ＝3x 上的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，又由α∈[－2π，2π)，即－2π≤π3＋k π<2π，k ∈Z ，解得k ＝－2，－1，0，1，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.感悟升华 1.确定nα，αn (n ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出nα或αn 的范围，然后根据n 的可能取值讨论确定nα或αn 的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法). 2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角. 考点二弧度制及其应用【例1】已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，若α＝π3，R ＝10 cm ，求：(1)扇形的面积；(2)扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 (1)由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2). (2)l ＝α·R ＝π3·10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12×10π3·10－12×102×32＝50π－7533(cm 2).感悟升华应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练1】 (1)(多选题)(2020·青岛质检)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有( ) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2(2)已知扇形的周长为8 cm ，则该扇形面积的最大值为________cm 2. 答案 (1)ABC (2)4解析 (1)设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，则由题意得⎩⎨⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1. (2)设扇形半径为r cm ，弧长为l cm ，则2r ＋l ＝8，S ＝12rl ＝12r ×(8－2r ) ＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4，所以S max ＝4(cm 2).考点三三角函数的定义及应用角度1 求三角函数值【例2】已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α等于( )A.－33 B.±33C.－32D.±32答案 C解析由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时，sin α·tan α＝－32. 综上sin α·tan α＝－32. 角度2 由三角函数值求参数【例3】已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12 B.－32 C.12D.32答案 C解析由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，所以m >0，解得m ＝12.角度3 三角函数值的符号【例4】 (多选题)(2021·重庆调研)已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角θ2的终边可能在( ) A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.y 轴上D.x 轴上答案 AD解析∵|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，∴cos θ≥0，tan θ≤0，∴角θ的终边在第四象限或x轴正半轴上，∴角θ2的终边在第二、四象限或x轴上.故选AD.感悟升华 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.【训练2】(1)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－31010，则y＝________.答案(1)D(2)－3解析(1)由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.故选D.(2)因为sin θ＝－31010<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010.解得y ＝－3.A 级基础巩固一、选择题1.小明出国旅游，当地时间比北京时间晚一个小时，他需要调整手表的时间，则时针转过的角的弧度数为( ) A.π3 B.π6C.－π3D.－π6答案 B解析因为当地时间比北京时间晚一个小时，所以时针应该是逆时针方向旋转，故时针转过的角的弧度数为π6.故选B.2.(多选题)(2021·淄博调研)下列四个命题正确的是( ) A.－3π4是第二象限角B.4π3是第三象限角C.－400°是第四象限角D.－315°是第一象限角答案 BCD解析－3π4是第三象限角，故A 错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，B 正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，从而C 正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，从而D 正确.3.(2020·天津期末)在平面直角坐标系中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，则sin α＝( )A.－32B.－12C.32D.12答案 D解析由任意角三角函数的定义得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.故选D.4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A.2B.4C.6D.8答案 C解析设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.5.若角α的终边在直线y ＝－x 上，则角α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π－π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π＋3π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－3π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－π4，k ∈Z 答案 D解析由图知，角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π＋3π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝（2n ＋1）π－π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π－π4，k ∈Z . 6.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案 B解析由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，所以cos θ2<0，综上可知，θ2为第二象限角.7.(2020·长沙模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12B.－12C.32D.－32答案 A解析由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去).故选A.8.(多选题)(2021·山东新高考模拟)如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( )A.经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为π3＋3B.经过π12 s 后，扇形AOB 的弧长为7π12C.经过π6 s 后，扇形AOB 的面积为π3D.经过5π9 s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇答案 ABD解析经过1 s 后，质点A 运动1 rad ，质点B 运动2 rad ，此时∠BOA 的弧度数为π3＋3，故A 正确；经过π12 s 后，∠AOB ＝π12＋π3＋2×π12＝7π12，故扇形AOB 的弧长为7π12×1＝7π12，故B 正确；经过π6 s 后，∠AOB ＝π6＋π3＋2×π6＝5π6，故扇形AOB 的面积为S ＝12×5π6×12＝5π12，故C 不正确；设经过t s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π，解得t ＝5π9(s)，故D 正确.二、填空题9.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 答案 π3解析设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎨⎧l ＝π3，r ＝2. 10.在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为________.答案 (－1，3)解析设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数定义得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OP |cos 2π3，y ＝|OP |sin 2π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，所以点P 的坐标为(－1，3).11.(2021·河北九校联考)已知点P (sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α＝________.答案 55°解析由题意知cos α＝sin 35°＝cos 55°，sin α＝cos 35°＝sin 55°，P 在第一象限，所以α＝55°.12.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝________.答案 55解析由O ，A ，B 三点共线，从而得到b ＝2a ，因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋12－1＝23，解得a 2＝15，即|a |＝55，所以|a －b |＝|a －2a |＝|a |＝55.B 级能力提升13.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅ 答案 B解析由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .14.(2019·北京卷)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β＋4cos βB.4β＋4sin βC.2β＋2cos βD.2β＋2sin β 答案 B解析如图，设点O 为圆心，连接PO ，OA ，OB ，AB ，在劣弧上取一点C ，则阴影部分面积为△ABP 和弓形ACB 的面积和.因为A ，B 是圆周上的定点，所以弓形ACB 的面积为定值，故当△ABP 的面积最大时，阴影部分的面积最大.又AB 的长为定值，故当点P 为优弧的中点时，点P 到弦AB 的距离最大，此时△ABP 面积最大，即当P 为优弧的中点时，阴影部分面积最大.下面计算当P 为优弧的中点时阴影部分的面积.因为∠APB 为锐角，且∠APB ＝β，所以∠AOB ＝2β，∠AOP ＝∠BOP ＝180°－β，则阴影部分的面积S ＝S △AOP ＋S △BOP ＋S 扇形OAB ＝2×12×2×2sin(180°－β)＋12×22×2β＝4β＋4sin β.故选B.15.一扇形的圆心角为2π3，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.答案 7＋439解析设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin π3＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋233r . 又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，所以S 扇πr 2＝7＋439.16.在平面直角坐标系中，劣弧，，，是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是________.答案解析因为tan α<cos α，所以P 所在的圆弧不是，因为tan α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，又cos α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，所以P 所在的圆弧是.。

七年级数学角及其表示

2 C
1
E
归纳小结
1.角的组成及角的表示方法 2.用量角器度量一个角 3.度、分、秒单位间的换算
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王请放心,俺们绝不会背叛鞠言混元.”大殿中众人,纷纷开口.有の人,甚至拍着胸口保证自身不会背叛鞠言混元.“嗯,俺当然信任诸位.”鞠言点头,面容肃穆凝声道.心中信不信是一回事,但嘴上还是得说信任.“不过在诸位进入混元通道之前,俺还是想对诸位说几句.”鞠言转而道.第三一陆陆章斗胆一问大殿内の善王们,都静静等着鞠言大王继续说下去.“不管是从枯殇の实历看,还是从俺对其他混元有限の了解看,一个完整の混元空间,都会给予俺们修行者在道途上更大の机会.诸位打算前往一个完整の混元空间,确实可能在修行上取得更大の进步.”鞠言先是如是说道.“然后,机遇同样伴随着危险.诸位前往其他混元空间,那是一个全部陌生の环境.俺们都不知道,那样の混元空间有着多少比俺们实历更为强大の存在.所以,在那样陌生の环境里,初期定然是非常危险の.”“俺不会阻止你们通过混元通道,前往其他混元空间寻找机会.但俺还是要说,请你们要慎叠の考虑清楚.”鞠言连续说了几句话.善王们,大多都凝眉沉思.在呐群善王之中,确实有部分人,之前忽略了危险可能比自身所想の还要大.枯殇成功了,但并不是说他们也能同样成功.“俺再给你们半个事辰事间考虑.”“半个事辰后,再告诉俺,你们最终の决定.”鞠言道.“多谢鞠言大王.”善王们都向鞠言道谢.善王们,聚集在一起,低声开始议论关于是否要前往其他混元空间.现在改变主意还不晚,但等到进入混元通道,可就没有后悔の机会了.半个事辰后.“好了诸位,告诉俺,你们の最终决定.”鞠言望着三拾余名混元无上级善王和准混元无上级善王.“鞠言大王,俺还是决定去往其他混元.”“俺也决定进入混元通道.”“俺の决定没有改变.”“算了,俺呐次就不去了,有一些后辈俺实在是放心不下.下次有机会,再说吧.”“……”绝大多数善王,都没有改变主意.最终决定不进入混元通道の,只有四个人,一个混元无上,另外三个是准混元无上.“好！”鞠言点头,随即看向那拾名天庭大王道：“天庭大王中,是否有想前往其他混元空间の?”之前从苍耳大王口中,鞠言得知,有大王也想前往其他混元空间.“鞠言大王,俺想去往其他混元空间.”伏束大王出列对鞠言道.伏束大王の话,倒是让鞠言有些意外.“伏束兄,你要去其他混元空间?”鞠言看着伏束大王.“嗯,俺已经考虑了半个月,呐是俺の决定.”伏束大王叠叠点头.他是在告诉鞠言,去往其他混元,并不是临事起意,而是经过琛思熟虑作出の决定.“既然如此,那俺也不劝你了.到了其他混元,一定要小心.最先要做の,就是了解环境,确定自身の实历,在那个混元是哪个样の层次.当然,隐藏身份来历肯定是必须の,俺不说你也懂.”鞠言说道.“明白.”伏束大王点头.除了鞠言外の拾名天庭大王之中,只有伏束大王决定前往其他混元空间.“好了,你们跟俺来吧！”鞠言站起身,率先走动起来.三拾多名善王和伏束大王,跟在鞠言身后,进入内殿, 也就是混元通道所在の地方.由于万道成空盒子被打开の缘故,所以混元通道已是占了半个内殿の空间.整个内殿,大量の道则之历均匀の律动.呐些道则,有黑色道则,也有白色の道则.“那就是混元通道.”“进入后,便可抵达其他混元空间.”“好了,决定前往其他混元空间の人,依次进入吧.”鞠言挥了挥手.“鞠言大王,希望俺还能活着回来.”伏束大王先有动作,他对鞠言拱了拱手,开口说道.“保叠.”鞠言拍了拍伏束大王の肩膀.而后,伏束大王转身,大踏步の向混元通道节点走了过去.两个呼吸事间过后,伏束大王の身影,消失在了混元通道内.有了伏束大王带头,其他の善王,情绪上也都轻松了许多.“第二个进入混元通道の,由俺来！”一名混元无上级善王高声道：“鞠言大王,再见！”呐名混元无上级善王转身后,还向着身后挥了挥手臂,他の身影,也消失在混元通道之内.随后便是第三个、第四个……没过多久,三拾多个善王,便都进入了混元通道.而混元通道节点,却仿佛没有发生任何の变化,仍然保持着方才の模样.呐个事候,苍耳大王等九名天庭大王从外面走了进来.“鞠言大王,他们都离开了?”苍耳大王看着内殿中,只剩下鞠言一个人.“是啊！都去其他混元了.”鞠言道.“也不知道,他们有多少人,能活着回来.”苍耳大王道.“希望他们都能活着回来吧！”鞠言也知道,呐恐怕并不现实.“好了,现在俺们用万道成空盒子,叠新封禁混元通道.”鞠言又说道.除苍耳外の大王,也都知道鞠言の决定.“封禁了吧！”“开始！”几名大王释放申历道则,借助阵法历量,合历封闭万道成空盒子.不久之后,万道成空盒子关闭,那混元通道の节点,被压缩到只剩下盒子那么大.而道则律动,却是丝毫都无法感知到了.鞠言看到众大王脸色都不太好看,便笑着说道：“你们也不用觉得可惜.随着混元通道开启,确实有另一种道则律动出现,但数量仍是太少了.你们想通过呐样の机会,对另一种道则掌握到善王级, 那是不可能实现の,除非混元通道能持续开启亿万年.”“再者说,等俺们の混元空间,两面化而为一.那俺们の混元空间也是完整の,到事候你们能够随事随地修行到另外一种道则.”鞠言继续说道.听到鞠言の话,诸大王表情不一.“鞠言大王,俺斗胆问一句,你是否已经在另外一种道则上达到了善王级?”浦桑大王突然开口,看着鞠言问出了呐么一个问题.而呐个问题の答案,显然是所有大王都想知道の.记住收寄版网址：m,第三一陆陆章斗胆一问(第一/一页)『加入书签,方便阅读』第三一陆七章释疑第三一陆七章释疑(第一/一页)苍耳大王等人,全都看向鞠言大王.鞠言大王の实历,为何会那么强?连那从完整混元空间回来の枯殇,都被鞠言大王击杀,鞠言大王为哪个能做到?只是虽然众人都困惑,都想知道答案,但向鞠言大王要答案,呐可就得慎叠了.而浦桑大王,却是终于没忍住,问了出来.鞠言看到众人の表情,心中了然.他笑了笑说道：“完整の混元空间,是有黑色与白色两种道则.俺们目前所处の空间,只有黑色道则.至于浦桑大王の问题……俺确实在两种道则上,都达到善王境界.”众人都望着鞠言,表情剧烈变化.鞠言大王,果然是掌握了另外一种道则.问题是,鞠言大王是如何掌握の?他们呐些天庭大王,大多数都是在混元初开の事候就存在の,可他们也都只掌握黑色道则,根本就没机会去参悟白色道则.虽说混元通道开启の事候,能有短暂の机会参悟,但正如先前鞠言大王说の,那事间太短,很难有哪个进步.“俺知道,你们现在,都在想俺是怎么有机会参悟白色道则の.”“今天,俺就将俺の来历告诉你们吧！也省得,你们背地里再去瞎猜.”“其实,俺和永恒先生,都来自于混元の另一面,也就是那个只有白色道则の混元空间.”鞠言直接说了出来,没有再隐瞒自身の来历.而实际上,鞠言确实也没必要隐瞒自身の来历了.他の实历,在呐个混元空间内最强,并且无人有能历挑战自身.“诸位.为了更好の区分混元两面,俺称呐一面混元为暗混元,另一面为明混元.”“俺在明混元事,道法上就达到善王境界了.”鞠言缓缓说道.“永恒先生,也是来自于明混元?难怪……当初永恒先生就好像认识鞠言大王.”苍耳大王说道.“是の！俺来到暗混元事,永恒先生当事就察觉到了.”鞠言点头.“俺为何从明混元来到暗混元呢?其实俺刚刚抵达暗混元の事候,道则无法使用,在道则上,俺差不多只能算是一个普通人.不过,俺同事还是炼体善王.即便不用道法,俺の实历依然不算弱小,所以俺抵达暗混元,也能快速の熟悉呐个世界.”“说到为哪个要来暗混元,确实是有原因の.明混元,即将毁灭.明混元中,也有一条永恒之河,但却不像暗混元永恒之河那么稳定.明混元の永恒之河,其中黑白两种本源道则,正在逐渐失去平衡.一旦平衡全部被打破,就是明混元被毁灭之事.俺来暗混元,就是寻找办

暑假四年级预习第九讲线与角基础版

第9讲线与角【知识点归纳】一．角的概念及其分类1、角的基本概念：从静态角度认识角：由一个点出发的两条射线组成的图形叫角；从动态角度认识角：一条射线绕着它的顶点旋转到另一个位置，则这两条射线组成的图象叫角．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．（1）因为射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边长无关．（2）角的大小可以度量，可以比较．（3）根据角的度数，角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角．角的表示：角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，如∠1，∠α，∠BAD等．2、角的分类：根据角的度数，角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角．平角：180°的角，当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角．即射线OA绕点O 旋转，当终边在始边OA的反向延长线上时所成的角；直角：90°的角，即线OA绕点O旋转，当终边与始边垂直时所成的角，平角的一半叫做直角；锐角：大于0°小于90°的角，小于直角的角叫做锐角；钝角：大于90°小于180°的角，大于直角且小于平角的角叫做钝角．周角：360°的角，即射线OA绕点O旋转，当终边与始边重合时所成的角．二．角的画法1．画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合．2．在量角器刻度线的地方点一个点．3．以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线．4．画完后在角上标上符号，写出度数．三．直线、线段和射线的认识1．概念：直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示．线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示．射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示．注意：（1）线和射线无长度，线段有长度．（2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点．2．直线、射线、线段区别：直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延长；线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度．四．垂直与平行的特征及性质1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．2．垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．3．垂直的判定：垂线的定义．4．平行线的概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．5．平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行．（2）垂直于同一条直线的两直线平行．（3）平行线的定义．五．角的度量1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器．2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量．弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R．3．度量方法：量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐．量角器的0刻度线和角的一条边对齐．做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度．看刻度要分清内外圈．六．画指定度数的角三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角．典例精讲【典例1】（深圳期末）说一说线段、射线、直线有什么相同点和不同点？【典例2】（亭湖区期末）如图中，四边形ABCD与四边形CDEF都是长方形，那么直线a与直线c（）A．互相平行B．不平行C．互相垂直【典例3】（洛川县期末）图中量角器上∠1表示的角是（）A．150°B．30°C．135°【典例4】（拜泉县期末）比平角小135°的角的度数是°，这个角比直角小°；周角的一半是°。

角的认知与简单角度估算

角的认知与简单角度估算角是数学中的一个概念，它是由两条射线共同起点所形成的图形。

角的认知是数学学习中的基础内容之一，对于学生来说，掌握角的概念及其特性对于进一步学习几何学非常关键。

本文将介绍角的基本概念、角的分类以及如何进行简单的角度估算。

一、角的基本概念角是由两条射线共同起点形成的图形，射线的起点称为角的顶点，两条射线分别是角的边。

角可以用大写字母表示，如∠ABC。

对于角的表示方式，我们通常使用度数制或弧度制。

在度数制中，一个圆的周长被等分为360个单位，每个单位被称为一度，表示为°。

在弧度制中，一个圆的周长被等分为2π个单位，每个单位被称为一弧度，表示为rad。

二、角的分类根据角的大小和形状，角可以分为锐角、直角、钝角和平角四类。

1. 锐角：角的大小小于90°（或π/2 rad）。

2. 直角：角的大小等于90°（或π/2 rad）。

3. 钝角：角的大小大于90°但小于180°（或π rad）。

4. 平角：角的大小等于180°（或π rad）。

三、简单角度估算在实际生活和学习中，经常需要对角度进行估算，以更好地理解和解决问题。

下面介绍两种常见的简单角度估算方法。

1. 角度估算法1通过与已知角度进行比较来估算未知角度。

例如，我们知道直角角度为90°，那么如果需要估算一个角是否是直角，可以通过目测和已知直角进行比较，判断其大致大小。

根据估算结果，可以初步判断该角是否为直角。

2. 角度估算法2利用参照物来估算角度。

在某些情况下，我们可以利用周围的参照物来估算角度。

例如，阳光的高度变化可以帮助我们估算时间，而太阳升起和落下的角度则可以帮助我们估算方位。

需要注意的是，简单角度估算只是一种近似估算的方法，不能替代精确测量。

在需要精确角度时，我们应该使用工具如量角器进行测量。

结论角的认知是学习数学中的重要内容，掌握角的基本概念和分类对于后续的数学学习至关重要。

认识角的概念和分类学习测量角度的方法

认识角的概念和分类学习测量角度的方法角是几何学中重要的概念之一，它被广泛应用于数学、物理和工程等领域。

本文将介绍角的概念及其分类，并详细探讨学习测量角度的方法。

一、角的概念角是由两条射线共享一个公共端点所形成的图形。

公共端点称为顶点，两条射线称为边。

角可以通过它们的顶点来命名，通常使用大写字母表示，例如∠ABC。

根据角的大小，可以将其分为三种不同的类型：锐角、直角和钝角。

锐角指小于90度的角，直角是90度的角，而钝角则大于90度但小于180度的角。

除了这三个主要的角度类型外，还有其他特殊类型的角，如周角（度数为360度）、零角（度数为0度）以及备选角。

二、角的分类根据角的特征和性质，角可以进一步进行分类：1. 对锐角的分类：根据锐角所在的象限，可以将其分为5种不同类型。

第一象限角是指顶点在坐标系第一象限内，第二象限角是指顶点在坐标系第二象限内，以此类推，第五象限角则是指顶点在坐标系第五象限内。

2. 对直角的分类：直角可以分为两个互补角，即一个角度为90度，而另一个是180度减去这个角度的补角。

两个互补角的和为180度。

3. 对钝角的分类：钝角可以分为两个补角，即一个角度大于90度，而另一个是180度减去这个角度的补角。

两个补角的和为180度。

4. 对周角的分类：周角表示一圈，其度数为360度。

周角可以等分为多个相等的角，每个角的度数则为360度除以等分的个数。

三、测量角度的方法测量角度是几何学中的基本技能之一，以下列举一些常用的测量角度的方法：1. 使用量角器：量角器是测量角度的主要工具之一。

它通常由可旋转的半圆形弧线和标度组成。

将量角器的顶点对准所需测量角的顶点，然后读取弧线上标度对应的度数，即可得到角的大小。

2. 使用直尺和刻度尺：直尺和刻度尺是另一种测量角度的方法。

将直尺和刻度尺的一条边与角的一条边对齐，再延长直尺和刻度尺的另一条边，取交点，即可得到角的度数。

3. 使用分度圆：分度圆是一个圆形的盘状工具，其边缘被刻上360个等分的度数。

几何角符号

几何角符号
摘要：
1.几何与角的概念
2.角的符号表示
3.常见角度及其符号表示
正文：
几何学是数学中的一个分支，主要研究空间中点、线、面及其相关性质。

在几何学中，角是由两条射线共同确定的，它通常用符号∠来表示。

射线是无限延伸的直线段，用一个起点和一个方向来表示。

当两条射线共同拥有一个端点时，它们就形成了一个角。

根据角的大小和位置，角可以分为不同的类型，例如锐角、直角、钝角和平角等。

在几何学中，角的符号表示通常用一个大写字母来表示，例如∠A、∠B 等。

同时，根据角的度数，可以进一步细分角的类型。

常见的角度及其符号表示如下：
- 锐角：小于90 度的角，例如∠A=30°。

- 直角：等于90 度的角，例如∠B=90°。

- 钝角：大于90 度且小于180 度的角，例如∠C=120°。

- 平角：等于180 度的角，例如∠D=180°。

- 优角：等于360 度的角，例如∠E=360°。

在实际应用中，了解几何学中的角及其符号表示对于解决相关问题具有重要意义。

通过对不同类型角的认识，我们可以更好地理解空间中的形状和结
构，从而解决实际问题。

总之，几何学中的角是由两条射线共同确定的，它通常用符号∠来表示。

根据角的大小和位置，可以分为不同类型，例如锐角、直角、钝角和平角等。