初中数学九上课本变式题

九年级上册·课本亮题拾贝课本中的例、习题是经过编者反复琢磨，认真筛选后精心设置的，具有一定的探究性．在教学的过程中要立足课本，充分发挥课本例、习题的教学功能，可以有效地避免题海战术，不但有利于巩固基础知识，而且还能增强同学们的应变能力，发展创新思维，提高数学素养．21．1 二次根式题目 计算：2)32(-．（人教课本P 8 2（4）题）解 原式=32)32()32(22==-．点评 大家知道，当a ≥0时，2a 有意义，且a a =2．而当a ＜0时，2a 也有意义，此时||2a a =，进一步的，则等于－a （－a ＞0）．为了预防解题粗心出错（如32)32(2-=-），通常是根据平方（或立方）的意义，先处理掉（好）符号，再按有关顺序和规定运算．演变变式1 填空：（1）94= ；（2）412= ．（答案：（1）32 （2）23） 变式2 当x 时，式子231-x 在实数范围内有意义？ （答案：＞32）变式3 若23-n 是整数，求正整数n 的值（至少写出3个）．（答案：n = 1，2，9，17等．）变式4 是否存在正整数n ，使得231+n 是有理数？若存在，求出一个n 的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在正整数n ，使231+n 是有理数，则因为3n + 2是正整数，所以3n + 2应该是一个完全平方数．假设3n + 2等于k （k ≥3，k 是正整数）的平方，则k = 3p 或者3p + 1或者3p + 2，也就是说k 除以3余0或者1或者2，而（3p ）2 除以3余0，（3p + 1）2 = 9p 2 + 6p + 1，（3p + 2）2 = 9p 2 + 12p + 4 除以3都余1，所以没有数的平方除以3余2．表明3n + 2不是完全平方数，从而假设不成立，因此，不存在正整数n ，使231+n 是有理数．21．2 二次根式的乘除题目 计算：65027÷⨯．（人教课本P 15 6（4）题）解 原式=6)23(15625336253322÷⨯=÷⨯=÷⨯⨯⨯= 15． 另法 原式=1525965027=⨯=⨯．点评 进行二次根式的乘除运算时，根据乘法、除法规定（ab b a =⋅（a 、b ≥0），b aba =（a ≥0，b ＞0）），可以从左往右正向使用（如另法），也可以从右往左逆向使用（法一），往往可视其具体题目的数字特点和结构特征，灵活选用．一般情况是尽可能先把根式化简，大数化小，遇到字母开平方时，必须注意字母的正、负性（或讨论）．演变变式1 填空：（1）50276⨯÷= ； （2）65027⨯÷= ． （答案：（1）310 （2）59） 因为原式=)32(25323⨯÷⨯⨯，2 + 3 = 5，所以设2 = a ，3 = b ，则 5 = a + b ，题目可演变成如下形式： 变式2 化简：ab b a a b ÷+⨯23)(．解 原式=)(])([b a a b a b b ⋅÷+⨯= b （a + b ）= ab + b 2． 若赋予a 一些不同的值（相应的可得到b 的值），则可得到一组二次根式的乘法除法试题． 变式3 甲、乙两同学在化简 xy x y x 5253÷⨯ 时，采用了不同的方法： 甲： 因为x ，y 是二次根式的被开方数，且在分母上，所以x ＞0，y ＞0， 于是令 x = 1，y = 1，代入可得，原式=55125=÷⨯． 乙： 原式=xy y x x y x x 55)5(522=⋅⋅⋅÷⋅⋅⋅．从而得出了不同的结果．请指出甲、乙同学的做法是否正确？说明理由．解 甲，乙两同学的做法都不正确．甲同学犯了以特殊代替一般的错误，虽然最终结果是5．乙同学对题目形式上的意义理解错误，通常xy y 5是一个整体，是被除式． 正确解法是：原式=5)5()5()5(522=⋅÷⋅=÷⋅⋅⋅y x x y x x xy x y x x ．21．3 二次根式的加减题目 已知13+=x ，13-=y ，求下列各式的值：（1）x 2 + 2xy + y 2； （2）x 2－y 2． （人教课本P 21 6题） 解 ∵ 13+=x ，13-=y ， ∴ 32=+y x ，x －y = 2，xy = 2．于是 x 2 + 2xy + y 2 =（x + y ）2 =12)32(2=，x 2－y 2 =（x + y ）（x －y ）=34232=⨯．点评 本题属于“给值求值”类型，一般不宜直接代入算值．通常的思路是：先把已知式和待求式进行适当的等价变形化简，充分挖掘出已知式和待求式之间的内在联系，然后再看情况灵活地代入，往往能简捷而巧妙地求值．演变变式1 已知21+=a ，21-=b ，求：（1）22222ba b ab a -++，（2）a bb a -的值． 解 由已知可得a + b = 2，22=-b a ，ab =－1．（1）原式=22222))(()(2==-+=-++b a b a b a b a b a ． （2）原式=241222))((22-=-⋅=-+=-ab b a b a ab b a ． 变式2 如果实数a ，b 满足a 2 + 2ab + b 2 = 12，3422=-b a ，求bba -的值． 解 显然b ≠0，于是由已知，得33412))(()(222222==-+=-++=-++b a b a b a b a b a ba b ab a ， ∴ )(3b a b a -=+，即 b a )13()13(+=-，有32)13)(13()13(13132+=+-+=-+=b a ，因此311)32(1+=-+=-=-b a b b a ．说明 上述解法，既抓住了已知式的特征（两个等式的左边有公因式，约后能降次，但要注意是否为0啰！），又避免了解方程组的难点．本题还可以进一步求出a 、b 的值． ∵ 13+=x ，∴（x －1）2 = 3，得x 2－2x = 2，结合x ≠0，两边除以x ，得22=-x x ，注意到x y 2-=，则2222)2()2(22x x x x y xy x -+-⋅+=++=4222-+xx ，22224xx y x -=-，得变式3 若实数x 满足22=-x x ，试求：（1）224x x +；（2）x x 2+；（3）224xx -的值．（答案 （1）8 （2）32± （3）142±）22.2 降次 —— 解一元二次方程题目 无论p 取何值时，方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．（人教课本P 4612题）解 原方程可化为x 2－5x + 6－p 2 = 0．方程根的判别式为 △=（－5）2－4（6－p 2）= 1 + 4p 2， 对任何实数值p ，有1 + 4p 2＞0，∴ 方程有两个实数根 x 1 =24152p ++，x 2 =24152p +-，且两个根不相等．另法 由 p 2 =（x －3）（x －2）= x 2－5x + 6 =41)25()25(6])25(5[2222--=-++-x x x ，得 41)25(22+=-p x ，无论p 取何值412+p ≥41，因此41252+±=p x ．点评 解一元二次方程有配方法，公式法或因式分解法．一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法．（1）要判定某个二次方程是否有实数解及有几个解时，常常只须考查方程根的判别式． （2）见到含字母系数的二次方程，在实数范围内，首先应有△≥0；若字母在二次项系数中，则还应考虑其是否为0．（3）关于一元二次方程有实数根问题，一般有三种处理方式（何时选择那种方式要根据具体题目的特点来确定）：① 利用求根公式求出根来；② 利用根与系数的关系将这两个根的和与积表达出来：x 1 + x 2 =a b 2- x 1x 2 =ac，以便后继作整体代换；③ 将根代入方程中进行整体处理．演变变式1 分别对p 赋值0，2，23-等，可得如下确定的方程： 解方程：（1）x 2－5x + 6 = 0；（2）x 2－5x + 1 = 0；（3）4x 2－20x + 21 = 0． 变式2 当x 取什么范围内的值时，由方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0确定的实数p 存在？请说明理由．解 对任意实数p ，有p 2≥0，所以只需p 2 =（x －3）（x －2）≥0，利用同号相乘得正的原理，得x 应满足 ⎩⎨⎧≥-≥-,02,03x x 或 ⎩⎨⎧≤-≤-,02,03x x 解得x ≥3或x ≤2．表明，当x 取x ≤2或x ≥3范围内的实数时，由方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0确定的实数p 存在．变式3 指出方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0的实数根所在的范围？解 ∵ 方程有两个不相等的实数根x 1 =2412125p ++，x 2 =2412125p +-，且对任意实数p ，有1 + 4p 2≥1，∴ 有x 1≥32125=+，x 2≤22125=-，即方程的实数根所在的范围是x ≤2或x ≥3． 变式4 试求y =（x －3）（x －2）的最小值．解 由 y =（x －3）（x －2）= x 2－5x + 6 =41)25()25(6])25(5[2222--=-++-x x x ，得 y 的最小值为41，当25=x 时取得．22.3 实际问题与一元二次方程题目 如图，要设计一幅宽20 cm ，长30 cm 的图案，其中 有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2，如果要使彩条 所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（精确 到0.1 cm ）？（人教课本P 5310题）分析 结合图形，阅读理解题意（数形结合）．矩形图案中，长30 cm ，宽20 cm ．现设计了横、竖彩条各2条，且其宽度比为3:2，于是设横彩条宽为3x cm ，则竖彩条的宽就为2x cm ，其长与矩形图案的长宽相关．等量关系式为“使彩条所占面积是图案面积的四分之一”．解 根据题意，设横向彩条的宽为3x ，则竖向彩条的宽为2x ，于是，建立方程，得 20304123422023302⨯⨯=⋅⋅-⨯⨯+⨯⨯x x x x ， 化简，得 12x 2－130x + 75 = 0．解得 611.012133565≈-=x ．因此横向彩条宽1.8 cm ，竖向彩条宽1.2 cm ． 另法 如图，建立方程，得203041)620(4630⨯⨯=-+⨯x x x ． 法三 如图，建立方程，得 203043)620)(430(⨯⨯=--x x ． 点评 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：（1）设：即设好未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位；（2）列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致； （3）解：解所列方程；（4）验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解； （5）答：即答题，怎么问就怎么答，注意不要漏写单位． 演变变式1 矩形图案的长、宽不变，但设计的两横两竖彩条的宽度相同，如果彩条的面积是图案面积的四分之一，求彩条的宽． （答案：219525-） 变式2 矩形图案的长、宽不变，现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩形，其面积是整个矩形面积的四分之三，上下边等宽，左右等宽，应如何设计四周的宽度？解 因为矩形图案的长、宽比为30: 20 = 3:2，所以中央矩形的长、宽之比也应为3:2，设其长为3x ，则宽为2x ，所以 20304332⨯⨯=⋅x x ，得 35=x ，从而上、下边宽为)32(5105.0)220(-=-=⨯-x x ，左、右宽为 2)32(155.0)330(-=⨯-x ．变式3 如图，一边长为30 cm ，宽20 cm 的长方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，将四边折起，可以做成一个无盖长方体容器．求所得容器的容积V 关于截去的小正方形的边长x 的函数关系式，并指出x 的取值范围．解 根据题意可得，V 关于x 的函数关系式为：V =（30－2x ）（20－2x ）x ．即 V = 4x 3－100x 2 + 600x ， x 的取值范围是0＜x ＜10．变式4 在一块长30 m 、宽20 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半．小明的设计方案如图甲所示，其中花园四周小路的宽度都相等．小明通过列方程，并解方程，得到小路的宽为2.5 m 或22.5 m ．小亮的设计方案如图乙所示，其中花园每个角上的扇形（四分之一圆弧）都相同． 解答下列问题：（1）小明的结果对吗？为什么？ （2）请你帮小亮求出图乙中的x ？ （3）你还有其他设计方案吗？甲 乙解 （1）小明的设计方案：由于花园四周小路的宽度相等，设其宽为x 米．则根据题意，列出方程，得 203021)220)(230(⨯⨯=--x x ，即 x 2－25x + 75 = 0，解得x =213525+或x =213525-．由于矩形荒地的宽是20 m ，故舍去x =213525+，得花园四周小路宽为213525-m ，所以小明的结果不对．（2）小亮的设计方案：由于其中花园的四个角上均为相同的扇形，所以设扇形的半径为x 米，列方程得 2030212⨯⨯=x π，所以πππ310310==x m ．（3）略．23.1 图形的旋转题目 如图，△ABD ，△AEC 都是等边三角形．BE 与DC 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（人教课本P 679题）解 ∵ △ABD 是等边三角形，∴ AB = AD ，∠BAD = 60． 同理AE = AC ，∠EAC = 60．∴ 以点A 为旋转中心将△ABE 顺时针旋转60 就得到△CAD ， ∴ △ABE ≌△ADC ，从而 BE = DC ．另法 ∵ △ABD ，△AEC 都是等边三角形，∴ AB = AD ，AE = AC ，∠BAD =∠EAC = 60，于是 ∠CAD =∠CAB +∠BAD =∠CAB +∠EAC =∠EAB ． 从而有 △CAD ≌△EAB ， ∴ DC = BE ．点评 由于旋转是刚体运动，旋转前、后的图形全等，所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量（或全等）关系，或通过旋转（割补）图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．演变 变式1 如图，△ABC 和△ECD 都是等边三角形， △EBC 可以看作是△DAC 经过什么图形变换得到的？ 说明理由．（人教课本P 805题） 说明：如上题图，去掉BC ，把D ，A ，E 放在一直线上即得．本题经过下列各种演变，原来的结论仍保持不变．（1）△ABC 与△CDE 在BC 的异侧．（2）点C 在BD 的延长线上．（3）C 点在BD 外．（4）△ACD 与△BDE 在BD 的异侧， 且D 点在BC 的延长线上．（5）△ABC 与△CDE 都改为顶角相等的等腰三角形，即AB = AC ，CE = DE ，∠BACB CD AECB A E D AC B ED C A B ED=∠CED ．变式2 如图，四边形ABCD ，ACFG 都是正方形，则BG 与CE 有什么关系？说明理由． 变式3 如图，△ABD ，△AEC 都是等腰直角三角形，则BE 与DC 有什么关系？24.1 圆题目 如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ， ∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．（人教课本P 93例2） 解 ∵ AB 是直径，∴ ∠ACB =∠ADB = 90．在Rt △ABC 中，BC 2 = AB 2－AC 2 = 102－62 = 82，即 BC = 8． ∵ CD 平分∠ACB ， ∴ AD⌒=BD ⌒，于是AD = BD ． 又在Rt △ABD 中，AD 2 + BD 2 = AB 2，∴ 25102222=⨯===AB BD AD ． 点评 在涉及圆中的有关弧，弦（直径），角（圆心角，圆周角）等问题中，垂径定理，同圆中的关系（在同圆或等圆中，圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等 圆周角相等）是转化已知，沟通结论的纽带．其中半圆（或直径）所对的圆周角是直角还联结了勾股定理（将出现代数等式）． 演变变式1 在现有已知条件下，可进一步的，求四边形ACBD 的面积等于多少？解 由例题及解答可知，△ACB ，△ADB 都是直角三角形，于是四边形ACBD 的面积等于4925252186212121=⨯⨯+⨯⨯=⋅+⋅=+∆∆BD AD BC AC S S ADB ACB cm 2．变式2 求内角平分线CE 的长？抽取出图形中的基本图Rt △ABC ，因为AC :BC :AB = 3:4:5，于是，斜边上的高524=⋅=AB BC AC CD ，外接圆半径R = 5（也即斜边上的中线）． 设∠ACB 的平分线为CE ，过E 向两直角边作垂线，则其长相等， 设为x ，于是x CE 2=，由 BC AC BC x AC x ⋅=⋅+⋅⋅212121，得7248686=+⨯=+⋅=BC AC BC AC x ， ∴ 7224=CE ． 变式3 如图，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形的外接圆交于点D ，求证：BD = CD ．D E BCA DE B CA OADECBA EDB C A ED解 因为圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角 都等于它的内对角，所以有∠DAE =∠DCB ，而∠DAC =∠DBC （同CD ⌒所对的圆周角相等），结合题设AD 是∠EAC 的平分线， 则有∠DCB =∠DBC ，所以 BD = CD ．变式4 如图，点A 、B 、C 、D 在同一个圆上，四边形ABCD 的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？（课本P 93练习第1题）解 ∠1 =∠4，∠2 =∠7，∠3 =∠6，∠5 =∠8．变式5 如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC =∠CPB = 60，判断△ABC的形状并证明你的结论．（课本P 95第11题）解 ∵ ∠BAC =∠BPC = 60，∴ ∠ABC =∠APC = 60，因而△ABC 是等边三角形．变式6 （托勒密定理）AC · BD = AB · CD + AD · BC （见上图）．24.2 与圆有关的位置关系题目 如图，△ABC 中，∠ABC = 50，∠ACB = 75，点O 是内心，求∠BOC 的度数．（人教课本P 1061题）解 ∵ O 是△ABC 内切圆的圆心（内心），∴ OB ，OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线． ∵ ∠ABC = 50，∠ACB = 75， ∴ ∠OBC = 25，∠OCB = 37.5，因此 ∠BOC = 180－25－37.5 = 117.5．点评 抓住“内心与各顶点连线平分每一个内角，且到三条边的距离相等”这些事实，很容易促进角或线段的转化，突破关键，解决问题．演变变式1 已知周长为l 的△ABC 的内切圆半径等于r ，求△ABC 的面积．解 设内心为O ，连接OA ，OB ，OC ，则OA 、OB 、OC 把△ABC 分割成三个易求的BC O A 543 2 1 78 ACDB6 OPCABODBCAE小三角形，其面积的和为：r CA r BC r AB S S S S ACO BCO ABO ABC ⋅+⋅+⋅⋅=++=∆∆∆∆212121=lr CA BC AB 21)(21=++． 变式2 如图，点O 是△ABC 的内心，则A BOC ∠+︒=∠2190．解 ∵ C B BOC ∠-∠-︒=∠2121180=)180(21180)(21180A C B ∠-︒-︒=∠+∠-︒， ∴ A BOC ∠+︒=∠2190．说明 变式2有多种不同的解法，如连结AO 并延长，或延长BO 交AC 于D 等等，请读者探究，收获定当不少．变式3 如图，△ABC 中，∠B ＜∠C ，O 在∠A 的平分线上， 求证：AB + OC ＞AC + OB ．证明 ∵ ∠B ＜∠C ，∴ AB ＞AC ，于是在AB 上取点D ， 使AD = AC ，连结OD ，则由已知和作图，可得 △AOC ≌△AOD ，进而OC = OD ．在△OBD 中，有 BD + OD ＞OB ，∴（AB + OC ）－（AC + OB ）=（AB －AD ）+ OD －OB = BD + OD －OB ＞0，故 AB + OC ＞AC + OB ．变式4 如图，△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，过O 的直线DE ∥BC ，DE 分别交AB 、AC 于D 、E ， 求证：DE = BD + CE ．解 由已知DE ∥BC ，BD 、CO 分别平分∠B 、∠C ，可以发 现△BDO 和△CEO 是等腰三角形，于是有BD = DO ，CE = OE ， 因此BD + CE = DO + OE = DE ．变式5 如图，B 、C 在射线AD 、AE 上，BO 、CO 分别是∠DBC 和∠ECB 的角平分线．（1）若∠A = 60，则∠O 为多少度？ （2）若∠A = 90，120时，∠O 分别是多少度？（3）求∠A 与∠O 的关系式．解 ∵ BO 、CO 是∠DBC 和∠ECB 的平分线， ∴ ∠DBC = 2∠2，∠ECB = 2∠3，∴ ∠ABC = 180－2∠2，∠ACB = 180－2∠3． 在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠ACB = 180，∴ ∠A + 180－2∠2 + 180－2∠3 = 180，B C OA DB C O AD BC O AEABDOEC 4 3 2 1即∠2 +∠ 3 = 90 +12∠A ． 在△BOC 中，∠ 2 +∠3 +∠O = 180， ∴ ∠O = 90－12∠A ． （1）当∠A = 60 时，∠O = 90－12× 60 = 60．（2）当∠A = 90时，∠O = 90－12× 90 = 45．当∠A = 120时，∠O = 90－12× 120 = 30．（3）∠A 与∠O 的关系式为∠O +12∠A = 90．24.3 正多边形与圆题目 画一个正五边形，再作出它的对角线， 得到如图所示的五角星．（人教课本P 1172题）解 先画一个圆，将圆五等分，分点依次为A ，B C ，D ，E ，顺次连结这些点，得正五边形ABCDE ，再作出正五边形的对角线AC ，AD ，BD ，BE ，CE ，即得如图所示的五角星．点评 正多边形与圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧（或把圆心角分成一些相等的角），就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆，如上所示作出的是一个正五角星．演变变式1 求五角星中五个角的和．解 ∵ ∠AMN =∠B +∠D ，∠ANM =∠C +∠E ， ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =∠A +∠AMN +∠ANM = 180． 表明正五角星中五个角的和为180．另法 连结CD ，则在△AEF 和△CDF 中， 有 ∠B +∠E = 180－∠BFE = 180－∠CFD =∠CDF +∠DCF ． 在△ACD 中，∠A +∠ACD +∠ADC = 180，即 ∠A +∠ACE +∠DCF +∠ADB +∠CDF = 180． ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180． 说明 正五角星中每个角都是36．变式2 如变式1的图，在正五角星中存在黄金分割数， 可以证明215-===BE BM BM BN NB MN （参见人教版课本46页“阅读与思考 —— 黄金分割数”），此结论待同学们学习了相似形的有关知识后即可证明．变式3 如图，是将不规则的五角星改为退化的五角星，则其五个角的和等于多少？ 解 如图，将其转化为不规则的五角星，问题立即获解， 五个角的和等于180，或连结两个顶点后利用三角形内角和 定理即可解决．变式4 六角星，七角星，甚至n 角星的各个顶角之和等于多少？C B AD EF C B A D ECB AD EM N C B A D E解 都等于180．说明 解答星型n 边形顶角和的问题关键是根据“三角形的内角和为180及其推论”，设法将分散的角归结到某个三角形或四边形中，这是解答此类题目的金钥匙．24．4 弧长和扇形面积题目 如图，从一个直径是1 m 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90 的扇形，求被剪掉的部分的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是多少？（人教课本P 1259题）解 连结BC ，因为扇形的圆心角为90，所以BC 过圆心O（即BC 是直径），于是在等腰直角三角形ABC 中， 2222==BC AB ，扇形的面积为8412ππ=⋅AB ， 扇形的弧长为 42241ππ=⋅⋅AB ，因此被剪掉的部分的面积为88)21(2πππ=-BC （m 2）． 将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径r 满足 422ππ=r ，得82=r （m ）． 点评 求解图形（阴影部分）的面积时，通常是利用等积变换，分割、重叠等，把求图形（阴影部分）的面积转化为求圆，扇形，弓形，三角形或多边形等基本图形的面积．演变 变式1 求所围成的圆锥的高h 和体积V ． 解 830)82()22(2222=-=-=r AB h ， 76830830)82(313122πππ=⋅=⋅=h r V ． 变式2 如图，AC ，BD 是⊙O 中两条互相垂直的直径，以A 为圆心AB 为半径画弧BD⌒，求证：月牙形阴影部分的面积等于△ABD 的面积．解 设圆的半径为R ，则2221R R R S ABD =⋅⋅=∆． 以A 为圆心，AD 为半径画出的扇形ABED 的面积2221360290R R S ππ==）（扇形，弓形BED 的面积为2221R R -π，所以月牙形阴影部分的面积等于2222)21(21R R R R =--ππ，即与△ABD 的面积相等．变式3 如图，从一个半径是r 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为 的扇形，求扇形的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥底面圆的半径．解 连结OA ，OB ，OC ，则OA = OB = OC = r ，∠BOC = 2∠BAC ，OA 平分∠BAC ，即2α=∠OAB ，∠BOC = 2．过O 作OD ⊥AB 于D ，则OD 平分AB ，于是AB = 2AD ．在Rt △ADO 中，2coscos αr OAB OA AD =∠⋅=，∴ 2cos 2αr AB = 因此，扇形ABC 的面积为2cos 90360222απαπαr AB S =⋅⋅=扇形， O A Dl r h C A B OC DA B O EBC 弧长为9023602r r παπα=⋅． ∵ BC⌒所对的圆心角为2， ∴ 将扇形围成圆锥，则圆锥底面圆的半径r 1 满足2r 1 =BC ⌒=90rπα，得1801rr πα=．25．1 概率题目 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？（人教课本P 1391题）解 落在海洋里的可能性更大．点评 可能性是指能成为事实的属性．然而世界上有很多事情具有偶然性，人们不能事先判断这些事情是否会发生．概率就是从数量上用来描述（刻画）随机事件发生的可能性的大小．对这一问题，需要充分把陨石抽象成随机地散落，地球也是必须抽象成平辅的面，与生活中通常所看到的质点只能正面地落在面上（不可能弯曲行进而落在背面上）．我们生活的地球，脚下大地的形状并不是无边无际的辽阔平面，而是大致接近于球面．演变变式1 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则“落在海洋里”与“落在陆地上”的概率各是多大？解 落在海洋里的概率为107737=+，落在陆地上的概率为103733=+． 变式2 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到正三角形的内切圆（即阴影部分）区域的概率为（ ）．A ．21B ．π63 C ．π93 D ．π33 解 设正三角形的边长为单位1，则正三角形的面积为43，正三角形的内切圆半径 6330tan 21=︒=r ，内切圆的面积为12)63(2ππ=，针扎到正三角形的内切圆（即阴影部分）区域的概率为ππ934312=÷，选C ． 变式3 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率． 解 以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的条件是∣x －y ∣≤15．在平面直角坐标系中，点（x ，y ）的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的 阴影部分所表示，所以两人能会面的概率为167604560222=-=P ． 说明 把上述问题抽象成如下模型是：设在面积为S 的区域中有任意一个小区域A ，小区域的面积为S A ，则任意投点，点落入A 中的可能性大小与S A 成正比，而与A 的位置及形状无关，为SS P A =． 注意，如果是在一个线段上投点，那么面积则改为长度；如果是一个立方体内投点，则60 x yO 60 15 15面积就改为体积．25.2 用列举法求概率题目 在6张卡片上分别写有1－6的整数．随机地抽取一张放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？（P 154练习第1题）解 设第一次随机地取出的数字为a ，第二次随机地取出的数字为b ，则（b ，a ）共有36种情况．从上表可知，b 能够整除a 的情况有（1，1），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），（2，2），（4，2），（6，2），（3，3），（6，3），（4，4），（5，5），（6，6），共14种．因此，所求的概率为1873614=． 点评 用列表或画树状图的方法，可以不重不漏的列举事件发生的所有结果，我们把这两种方法统称为列举法；列举法只适用于等可能事件；等可能事件的特点是：出现的结果是有限多个，各结果发生的可能性相等．用列举法求概率的一般步骤是：（1）用列表或画树状图的方法，列举出事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果个数n 及所求事件出现的结果个数m ；（3）利用公式计算所求事件A 的概率，即nm A P =)(． 列表或画树状图都可以清晰地、不重不漏的表示出某个事件发生的所有可能结果，从而很方便地求出某些事件发生的概率．当试验包含两步时，列表法比较方便，也可以用画树状图法；当试验在三步或三步以上时，用画树形图的方法方便．演变变式1 求第二次取出的数字小于第一次取出的数字的概率是多少？（答案：125） 变式2 把第一次取出的数字作分母，第二次取出的数字做分母，所求得分数是真分数的概率？（答案：3611） 变式3 求两次取出的数字和大于8的概率？（答案：185） 变式4 同时抛掷两枚均匀的正方体骰子．求：（1）掷得两个6的概率；（2）两枚骰子的点数之和为奇数的概率；（3）两枚骰子的点数之积为奇数的概率；（4）所得两个点数之和大于9的概率．（答案：（1）（2）（3）（4））变式5 已知关于x 的不等式ax －3＜0（其中a ≠0）．（1）当a = 2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；（2）在6张卡片上分别写有1－6的整数，从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式中的系数a ，求使该不等式没有．．正整数解的概率． （答案：（1）23<x ，在数轴上的表示略 （2）32） 变式6 小明和小颖做抽取卡片（6张卡片上分别写有1－6的整数）游戏，规则如下：① 游戏前，每人选一个数字； ② 每次各抽取1张卡片； ③ 如果同时抽取的1张卡片点数之和，与谁所选数字相同，那么谁就获胜．（1）列出同时抽取的卡片数字所有可能出现的结果；（2）已知小明选的数字是5，小颖选的数字是6．如果你也加入游戏，你会选什么数字，使自己获胜的概率比他们大？请说明理由．（答案：（1）略 （2）同时抽取两张卡片，可能出现的结果有36种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足两张卡片点数和为5（记为事件A ）的结果有4种，即（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），所以小明获胜的概率为91364)(==A P ．满足两张卡片点数和为6（记为事件B ）的结果有5种，即（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），所以小颖获胜的概率为365)(=B P ．要想使自己获胜的概率比他们大，必须满足两张卡片点数和出现的结果多于5种，由所列表格可知，只有两张卡片点数和为7（记为事件C ）的结果多于5种，有6种，即（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），所以61366)(==C P ．因此，要想使自己获胜的概率比他们大，所选数字应为7．）变式7 A 箱中装有3张相同的卡片，它们分别写有数字1，2，4；B 箱中也装有3张相同的卡片，它们分别写有数字2，4，5．现从A 箱、B 箱中各随机地取出1张卡片，请你用列表或画树状图的方法求：（1）取出的两张卡片数字恰好相同的概率；（2）如果取出A 箱中卡片上的数字作为十位上的数字，取出B 箱中卡片上的数字作为个位上的数字，求两张卡片组成的两位数能被3整除的概率．（答案：（1）91 （2）95）说明由于两次取出来的数字互有较强的关系，所以可以据此编出有关这两次数字的加法、减法、乘法、除法、乘方、开平方、不等式、指数、对数，甚至函数的概率问题．。