容斥原理与鸽巢原理的应用

摘要

容斥原理和鸽巢原理作为组合数学中的基本内容，就原理本身而言简单易懂.然而，由于此二者分别在组合计数问题和存在性问题的应用中所展现出来的魅力，国内外学者在很多书籍、学术性论文中关于容斥原理和鸽巢原理的应用进行了探讨，并且关于此方面的研究已取得一系列的成果.

本文主要是以综述的方式从起源、理论和应用三方面对容斥原理和鸽巢原理进行了介绍和分类探讨. 首先介绍了容斥原理分别与加法理论、减法理论的区别与优势，并与实际问题相结合突出其优势所在.其次本文介绍了鸽巢原理的两种具体形式及其推论，并对鸽巢原理在数学理论研究、数学竞赛题目、解决实际生活中的问题等方面的应用进行介绍后，对鸽巢原理的应用中所常见的几种构造“鸽巢”的方法进行了分类谈论. 最后，针对鸽巢原理，我们给出针对新疆某区域关于旅游产品的实际应用实例，并提出了个人见解.

关键词：容斥原理，鸽巢原理，构造方法，鸽巢，鸽子

ABSTRACT

As the basic content of combinatorial mathematics, the principle of tolerance and the theory of pigeon nest the principle itself is simple and understandable. However, due to the charm of the two applications in combinatorial counting and existential problems, scholars at home and abroad have probed into the application of the principle of tolerance and the pigeon nest in many books and academic papers, And the research on this aspect has made a series of achievements.

In this paper, the author introduces and classifies the theory of tolerance and doctrine and the principle of pigeon nest in the way of summarization from the origin, theory and application. Firstly, the differences and advantages between the theory of tolerance and exclusion and the theory of addition and subtraction were introduced. and the actual problem with the combination of highlighting its advantages. Secondly, this paper introduces two concrete forms of pigeon nest principle and its inference, and introduces the application of pigeon nest principle in mathematics theory research, Maths contest problem, solving real life problems and so on. , several common methods of constructing pigeon nest in the application of pigeon nest principle are classified and discussed. Finally, according to the pigeon Nest principle, we give a practical example of the tourism products in a region of Xinjiang, and put forward personal opinions.

KEY WORDS: inclusion-exclusion principle, pigeonhole principle, construction method, pigeonhole, pigeon

第一章 绪论

组合数学是研究有关离散对象（一般是有限的）在符合某种条件时的存在性、计数、分析构造和优化等问题的一门学科.而鸽巢原理和容斥原理均作为组合数学中的基本内容，分别是研究有关离散对象在符合某种条件时的存在性问题和计数问题的重要工具，下面我们将有与此理论有关的内容进行详细介绍.

1.1背景

1.1.1容斥原理的相关研究背景

在1708年，孟特马特（P .R.de Montmonrt ，1678-1719）研究了一个扑克牌游戏中参加游戏者获胜的概率[2].此游戏称之为“相遇”（Treize 或Rencontre ），其规则如下：发牌者将一副扑克牌中图案相同的A K -的13张牌洗好后开始发牌给参加游戏者，双方依次记下所发牌的次序的编号，例如发的第一张牌的次序编号记为“1”，发的第二张牌的次序编号记为“2”……如此进行到将全部扑克牌发完.然后翻牌，确定所翻出的牌的点数与之前记下的对应的次序编号是否一致，如果一致则发牌者获胜，否则参加游戏者获胜.

如果发牌者有n 张牌，n D 是发牌者所发牌与此牌的次序编号不同的情况的次数，则这个次数就是错位排数，而这个游戏正是错位排问题的经典实例，此时我们可以明白错位排问题的本质就是每个元素均不在它原来对应的位置.

孟特马特在此研究过程中得出了计算错排数的一个递推公式和通项公式如下：

n n-1n-201(1)[]10D n D D D D =-+==，，

n 0(1)!i

n

i D n i =-=∑！ 并得出 1!

lim n n D e n -→∞=.然而他并没有证明.到了1710年，孟特马特与N.伯努利（Nikolaus Bernoulli ，1695-1726）进行了交流，并得出了分别应用容斥原理和递推方法的两种证明，因此可以说容斥原理正是为了解决此问题而引入的.然而，此时并未明确提出容斥原理[3].