容斥原理与鸽巢原理的应用

摘要容斥原理和鸽巢原理作为组合数学中的基本内容，就原理本身而言简单易懂.然而，由于此二者分别在组合计数问题和存在性问题的应用中所展现出来的魅力，国内外学者在很多书籍、学术性论文中关于容斥原理和鸽巢原理的应用进行了探讨，并且关于此方面的研究已取得一系列的成果.本文主要是以综述的方式从起源、理论和应用三方面对容斥原理和鸽巢原理进行了介绍和分类探讨. 首先介绍了容斥原理分别与加法理论、减法理论的区别与优势，并与实际问题相结合突出其优势所在.其次本文介绍了鸽巢原理的两种具体形式及其推论，并对鸽巢原理在数学理论研究、数学竞赛题目、解决实际生活中的问题等方面的应用进行介绍后，对鸽巢原理的应用中所常见的几种构造“鸽巢”的方法进行了分类谈论. 最后，针对鸽巢原理，我们给出针对新疆某区域关于旅游产品的实际应用实例，并提出了个人见解.关键词：容斥原理，鸽巢原理，构造方法，鸽巢，鸽子ABSTRACTAs the basic content of combinatorial mathematics, the principle of tolerance and the theory of pigeon nest the principle itself is simple and understandable. However, due to the charm of the two applications in combinatorial counting and existential problems, scholars at home and abroad have probed into the application of the principle of tolerance and the pigeon nest in many books and academic papers, And the research on this aspect has made a series of achievements.In this paper, the author introduces and classifies the theory of tolerance and doctrine and the principle of pigeon nest in the way of summarization from the origin, theory and application. Firstly, the differences and advantages between the theory of tolerance and exclusion and the theory of addition and subtraction were introduced. and the actual problem with the combination of highlighting its advantages. Secondly, this paper introduces two concrete forms of pigeon nest principle and its inference, and introduces the application of pigeon nest principle in mathematics theory research, Maths contest problem, solving real life problems and so on. , several common methods of constructing pigeon nest in the application of pigeon nest principle are classified and discussed. Finally, according to the pigeon Nest principle, we give a practical example of the tourism products in a region of Xinjiang, and put forward personal opinions.KEY WORDS: inclusion-exclusion principle, pigeonhole principle, construction method, pigeonhole, pigeon第一章 绪论组合数学是研究有关离散对象（一般是有限的）在符合某种条件时的存在性、计数、分析构造和优化等问题的一门学科.而鸽巢原理和容斥原理均作为组合数学中的基本内容，分别是研究有关离散对象在符合某种条件时的存在性问题和计数问题的重要工具，下面我们将有与此理论有关的内容进行详细介绍.1.1背景1.1.1容斥原理的相关研究背景在1708年，孟特马特（P .R.de Montmonrt ，1678-1719）研究了一个扑克牌游戏中参加游戏者获胜的概率[2].此游戏称之为“相遇”（Treize 或Rencontre ），其规则如下：发牌者将一副扑克牌中图案相同的A K -的13张牌洗好后开始发牌给参加游戏者，双方依次记下所发牌的次序的编号，例如发的第一张牌的次序编号记为“1”，发的第二张牌的次序编号记为“2”……如此进行到将全部扑克牌发完.然后翻牌，确定所翻出的牌的点数与之前记下的对应的次序编号是否一致，如果一致则发牌者获胜，否则参加游戏者获胜.如果发牌者有n 张牌，n D 是发牌者所发牌与此牌的次序编号不同的情况的次数，则这个次数就是错位排数，而这个游戏正是错位排问题的经典实例，此时我们可以明白错位排问题的本质就是每个元素均不在它原来对应的位置.孟特马特在此研究过程中得出了计算错排数的一个递推公式和通项公式如下：n n-1n-201(1)[]10D n D D D D =-+==，，n 0(1)!ini D n i =-=∑！ 并得出 1!lim n n D e n -→∞=.然而他并没有证明.到了1710年，孟特马特与N.伯努利（Nikolaus Bernoulli ，1695-1726）进行了交流，并得出了分别应用容斥原理和递推方法的两种证明，因此可以说容斥原理正是为了解决此问题而引入的.然而，此时并未明确提出容斥原理[3].随后，棣莫弗（De Moivre，1667-1754）也利用容斥原理获得了相同的结果，并给出子集相交与相并的准确表达，同时指出了容斥原理在一些实际问题中的应用是有效的. 而在19世纪，则由英国数学家西尔维斯特（James Joseph Sylvester，1814-1897）首先明确提出了容斥原理[4].由于诸如此类的应用，容斥原理在概率论以及组合数学等领域的发展中起到了促进作用。

容斥原理（Eratosthenes），又称包含排斥原理，是组合数学中的一个基本计数理论.它不仅在组合数学、概率论等数学研究中有重要应用，同时在计算机、人工智能、过程控制等科学领域和社会科学中得到越来越广泛的应用，因此吸引了国内外许多学者的进行研究.容斥原理利用集合的基本运算来研究关于若干有限集的交、并或差的计数问题.相比于组合数学中加法原理是在集合间不相交时计数，当对象存在重叠而又要不重复不遗漏的计数时，应用容斥原理去进行计数有着明显的可行性，即容斥原理对所研究对象的集合是否存在重复并没有限制，使得容斥原理的应用范围更广.1.1.2鸽巢原理的相关研究背景鸽巢原理，又称狄利克雷抽屉原理、鞋盒(shoebox)原理、重叠原理.鸽巢原理是组合学中一个重要而又基本的计数原理，是仅次于利用构造法这一方法证明存在性问题的最好的方法，在组合数学中应用非常广泛.在鸽巢原理的应用中曾发生过这样一个“伯乐”遇上“千里马”的趣闻.“如果你手头上有1n+个整数，而这些整数是小于或等于2n，那么你一定会有一对数是互质的（两个自然数除了1以外没有其它的公因数时，我们称这两个数是互质的）.你知道这是什么原因吗？”这是由匈牙利数学家厄杜斯（Paul Erd & ouml;s,1913-1996）向当时还十分年幼的路易·波萨（Louis P & Oacute;sa）所提出的问题.小波萨思考了一会儿，很快就给出了这个问题的答案.如果真的找出1n+个自然数去一一检查是否存在一对互质的数，那么需要找出小于或等于2n的这1n+个数可能产生的所有的组合再在其中查找是否互质的一对数.当1n =时，有1一种组合{}1,2，其中存在一对互质的数1和2；当2n ≥时，可能的组合有()()122!1!1!n n n n n +=+-ð种（其中n 为正整数），则当2n =时可能的组合数有4种，当3n =时可能的组合数有15种，当4n =时可能的组合数有56种，5n =时可能的组合数有210种……如果n 继续增大，要列出可能出现的情况将会十分辛苦，因此这种证明方法显然不可行.路易.波萨快速解答出来的方法如下：首先，利用鸽巢原理，假设有n 个鸽巢，养鸽人在第一个鸽巢中放入编号为1和2的幼鸽，在第二个鸽巢中放入编号为3和4的幼鸽，以此类推直到第n 个鸽巢中放入编号为21n -和2n 的幼鸽.其次，现在从n 个鸽巢中任意取出1n +只幼鸽，则至少会有一个鸽巢中的幼鸽全部被取出.由于我们最初将幼鸽放进鸽巢时就保证了每个鸽巢内幼鸽编号是互质的，而又确定至少有一个鸽巢内的幼鸽都被取出，则被取空的那个鸽巢里取出来的那对幼鸽的编号一定互质。

经过此事后，路易·波萨被厄杜斯赏识并在数学上得到了厄杜斯的引导，成就了一段数学史上佳话.其实，鸽巢原理是由著名的19世纪德国数学家狄利克雷（P .G.L.Dirichlet ，1805-1859）最早应用于以有理数逼近无理数的数学证明并命名. 随后，德国数学家敏科夫斯基（Minkowski,1864-1909）也巧妙地运用鸽巢原理解决了一些问题. 20世纪初，杜尔(A.Thue,1863-1922)把鸽巢原理运用到自己的研究中，解决了不定方程有理数解的问题.需要声明的是，此时他对于狄利克雷和敏科夫斯基的研究成功并不知情. 后来，德国数学家西根（C.L.Siegel,1896-？）通过利用杜尔的成果得到了研究超越数时的必用工具——西根引理.鸽巢原理在历史上的应用还有很多，我们不再此赘述. 然而值得一提的是，作为鸽巢原理的一个重要推广，拉姆塞定理是鸽巢原理的一个经典应用.拉姆塞定理（Ramsey ）是由一位年轻的英国数学家拉姆塞（Frank.P .Ramsey,1903-1930）所给出的.时至今日，国内外很多学者在研究有关拉姆塞定理的复杂问题（例如得出有关拉姆塞数的定理的证明、研究拉姆塞数的上界及处理拉姆塞型问题等）时，鸽巢原理作为一个重要而又基本的方法被应用到解决问题的过程中，并且在简化探讨对象数量和解决问题中起到了关键作用.例如证明由Erd ös 和Szekeres(1935)以及R.E.Greenwood 和A.M.Gleason(1955)所提来出的定理（若2k ≥和2l ≥，则()()(),,11,r k l r k l r k l ≤-+-）及其推广[5]. 鸽巢原理为拉姆塞定理的发展做出了比较大的贡献.当然，鸽巢原理的应用不止在数学的研究中，在解决一些有关存在性问题的奥林匹克数学竞赛题目中也频频被应用，或成为解题思想或巧妙简化问题等.例如在本文3.2中提到的命题1，参考文献[6]的第8题等.鸽巢原理还应用于社会科学、逻辑学等的研究及解决实际生产生活中的问题中，应用十分广泛.鸽巢原理本身是一个简单而又好理解的内容，而鸽巢原理的应用却不简单.鸽巢原理作为组合数学中不可缺少的基本原理在存在性问题的处理中有重要应用，至今时今日，其应用为数学研究、社会科学等领域的发展中做出了贡献.可以说，鸽巢原理的魅力正是体现在它的应用中.为了更好的掌握鸽巢原理、解决存在性问题，探讨它的应用十分有必要。