专题20 二次函数的图像与性质(基础)-2020-2021学年九年级数学暑假班精讲专题(沪教版)

专题20 二次函数y=ax^2+bx+c 的图像与性质（基础）【目标导向】1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；2.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．【知识要点精讲梳理】要点一、二次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 对照，可知，．∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 要点诠释：1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 要点二、二次函数的图象的画法2(0)y ax bx c a =++≠2y ax bx c =++2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2y ax bx c =++2()y a x h k =-+2(0)y ax bx c a =++≠=-+≠2()(0)y a x h k a 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭2()y a x h k =-+2b h a =-244ac b k a-=2y ax bx c =++2b x a =-24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2y ax bx c =++2b x a =-24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，要点三、二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质函数二次函数（a 、b 、c 为常数，a ≠0）图象开口方向 向上 向下对称轴直线 直线 顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y 随x 的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y 随x 的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y 有最小值，抛物线有最高点，当时，y 有最大值，2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠20()y ax bx c a =++≠2y ax bx c =++0a >0a <2b x a=-2b x a=-24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2b x a <-2b x a>-2bx a<-2b x a>-2b x a =-244ac b y a -=最小值2bx a=-244ac b y a-=最大值2.二次函数图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系项目 字母字母的符号 图象的特征 a a ＞0 开口向上 a ＜0 开口向下 bab ＞0(a ，b 同号) 对称轴在y 轴左侧 ab ＜0(a ，b 异号)对称轴在y 轴右侧 cc=0图象过原点 c ＞0 与y 轴正半轴相交 c ＜0 与y 轴负半轴相交 b 2-4acb 2-4ac=0与x 轴有唯一交点 b 2-4ac ＞0 与x 轴有两个交点 b 2-4ac ＜0与x 轴没有交点要点四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．要点诠释：如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，；当x ＝x 1时，，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当x ＝x 2时，222=ax +bx +y c 最小值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，时y 值的情况． 【精讲例题】类型一、二次函数的图象与性质1．求抛物线的对称轴和顶点坐标． 20()y ax bx c a =++≠2(0)y ax bx c a =++≠2bx a=-244ac b y a-=最值2ba-2b x a =-244ac b y a-=最值222y ax bx c =++最大值211y ax bx c =++最小值2bx a=-2(0)y ax bx c a =++≠2142y x x =-+-【答案与解析】解法1（配方法）：．∴ 顶点坐标为，对称轴为直线． 解法2（公式法）：∵ ，，，∴ 11122()2b x a=-=-=⨯-，． ∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．解法3（代入法）：∵ ，，， ∴ ． 将代入解析式中得，． ∴ 顶点坐标为，对称轴为直线． 【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．举一反三：【变式】把一般式化为顶点式．（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标. 【答案】（1）向下；x=2；D (2，2).2221114(2)4(211)4222y x x x x x x =-+-=---=--+--211(1)422x =--+-217(1)22x =---71,2⎛⎫-⎪⎝⎭1x =12a =-1b =4c =-2214(4)147214242ac b a ⎛⎫⨯-⨯-- ⎪-⎝⎭==-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭1x =12a =-1b =4c =-111222b x a=-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭1x =21711422y =-⨯+-=-71,2⎛⎫-⎪⎝⎭1x =24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2286y x x =-+-（2）C （0，-6）；A （1,0）；B （3,0）.2．（泰安）二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么一次函数y=ax +b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由y=ax 2+bx +c 的图象判断出a ＞0，b ＞0，于是得到一次函数y=ax +b 的图象经过一，二，四象限，即可得到结论． 【答案】A ．【解析】解：∵y=ax 2+bx +c 的图象的开口向上， ∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的左侧， ∴b ＞0，∴一次函数y=ax +b 的图象经过一，二，三象限． 故选A ．【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的取值范围．类型二、二次函数的最值3．求二次函数的最小值. 【答案与解析】解法1(配方法)：∵ 2(0)y ax bx c a =++≠211322y x x =++2221111(6)(639)2222y x x x x =++=++-+， ∴ 当x ＝-3时，．解法2(公式法)：∵ ，b ＝3， ∴ 当时， ．解法3(判别式法)：∵ ，∴ ．∵ x 是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y ≥-4． ∴ y 有最小值-4，此时，即x ＝-3．【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择．举一反三：【变式】用总长60m 的篱笆围成矩形场地．矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化．当L 是多少时，矩形场地的面积S 最大？【答案】（0<L <30）．（m ）时，场地的面积S 最大，为225m 2．类型三、二次函数性质的综合应用4．已知二次函数的图象过点P(2，1)． （1）求证：； （2）求bc 的最大值．【答案与解析】（1）∵ 的图象过点P(2，1)，∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．（2）．21(3)42x =+-4y =-最小102a =>12c =331222b x a =-=-=-⨯22114341922414242ac b y a ⨯⨯---====-⨯最小211322y x x =++26(12)0x x y ++-=2690x x ++=(30)S L L =-2(30)L L =--2(15)225L =--+15L ∴=2(0)y ax bx c a =++≠21y x bx c =+++24c b =--21y x bx c =+++22(24)2(2)2(1)2bc b b b b b =--=-+=-++∴ 当时，bc 有最大值．最大值为2．【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b 、c 的关系即可．（2）利用（1）中b 与c 的关系，用b 表示bc ，利用函数性质求解． 举一反三：【变式】（咸宁）如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4； ②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0． 其中正确的个数有（ ）A. 1个B.2个C.3个D.4个 【答案】B.提示：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4，①正确；∵x=2时，y ＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误； 使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误， 故选：B ．【精练巩固】 一、选择题1. 将二次函数化为的形式，结果为（ ）．A ．B ．C ．D ． 2．（益阳）关于抛物线y=x 2﹣2x +1，下列说法错误的是（ ） A ．开口向上 B ．与x 轴有两个重合的交点 C ．对称轴是直线x=1 D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小3．若二次函数配方后为，则b 、k 的值分别为（ ）． A ．0，5 B ．0，1 C ．-4，5 D ．-4，14．抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式 为，则b 、c 的值为（ ）．A .b=2，c=2B . b=2，c=0C . b= -2，c= -1D . b= -3，c=21b =-223y x x =-+2()y x h k =-+2(1)4y x =++2(1)4y x =-+2(1)2y x =++2(1)2y x =-+25y x bx =++2(2)y x k =-+2y x bx c =++223y x x =--5．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c 的值( )A. 等于0B.等于1C. 等于-1D. 不能确定6．（安徽）如图，一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2+bx+c 图象相交于P 、Q 两点，则函数 y=ax 2+（b ﹣1）x+c 的图象可能是（ ）A.B. C. D.二、填空题7．（怀化）二次函数y=x 2+2x 的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ．8．已知二次函数，当x ＝-1时，函数y 的值为4，那么当x ＝3时，函数y 的值为________． 9．二次函数的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________．10．二次函数的图象与x 轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m 的值是________．第10题 第11题11．如图二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y 轴交于负半轴 第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___ ； 第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __. 12．（玄武区一模）如图为函数：y=x 2﹣1，y=x 2+6x +8，y=x 2﹣6x +8，y=x 2﹣12x +35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y=x 2﹣6x +8的图象的序号是．22y ax ax c =-+2y x bx c =++23y xmx =-+三、解答题13．（齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ． （1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．14. 如图所示，抛物线与x 轴相交于点A 、B ，且过点C （5，4）．（1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．15.已知抛物线： (1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)画函数图象，并根据图象说出x 取何值时，y 随x 的增大而增大？x 取何值时，y 随x 的增大而减小？函数y 有最大值还是最小值？最值为多少？254yax ax a =-+215322y x x =---【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D ；【解析】根据配方法的方法及步骤，将化成含的完全平方式为，所以．2.【答案】D ．【解析】画出抛物线y=x 2﹣2x +1的图象，如图所示．A 、∵a=1，∴抛物线开口向上，A 正确；B 、∵令x 2﹣2x +1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0， ∴该抛物线与x 轴有两个重合的交点，B 正确；C 、∵﹣=﹣=1，∴该抛物线对称轴是直线x=1，C 正确；D 、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1， ∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，D 不正确． 故选D ．3.【答案】D ；【解析】因为，所以，，． 4.【答案】B ；【解析】，把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得抛物线，∴ ，∴ ，．5.【答案】A ；【解析】因为抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代入解析式 得a+b+c=0.6.【答案】A ；【解析】∵一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2+bx+c 图象相交于P 、Q 两点，22x x -x 2(1)1x --2223(1)2y x xx =-+=-+22(2)44y x k x x k =-+=-++4b =-45k +=1k =2223(1)4y x x x =--=--2(1)4y x =--2(1)1y x =+-222(1)12y x bx c x x x =++=+-=+2b =0c =∴方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0有两个不相等的根，∴函数y=ax 2+（b ﹣1）x+c 与x 轴有两个交点，∵方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的两个不相等的根x 1＞0，x 2＞0，∴x 1+x 2=﹣＞0， ∴﹣＞0，∴函数y=ax 2+（b ﹣1）x+c 的对称轴x=﹣＞0， ∵a ＞0，开口向上，∴A 符合条件，故选A ．二、填空题7．【答案】（﹣1，﹣1）；x=﹣1.【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴二次函数y=x 2+4x 的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．8．【答案】4；【解析】由对称轴，∴ x ＝3与x ＝-1关于x ＝1对称，∴ x ＝3时，y ＝4. 9．【答案】(1，-4) ； 【解析】求出解析式.10．【答案】4；【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把，代入，得，解得．11．【答案】①④，②③④；12.【答案】③【解析】y=x 2﹣1对称轴是x=0，图象中第二个，y=x 2+6x +8对称轴是x=﹣3，图象中第一个，y=x 2﹣6x +8对称轴是x=3，图象中第三个，y=x 2﹣12x +35对称轴是x=6，图象中第四个.三、解答题13.【答案与解析】解：（1）由已知得：C （0，4），B （4，4），把B 与C 坐标代入y=﹣x 2+bx+c 得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=﹣x 2+2x+4；（2）∵y=﹣x 2+2x+4=﹣（x ﹣2）2+6， ∴抛物线顶点坐标为（2，6），212a x a-==-2223(1)4y x x x =--=--1x =0y =23y x mx =-+130m -+=4m =则S 四边形ABDC =S △ABC +S △BCD =×4×4+×4×2=8+4=12．14.【答案与解析】（1）把点C(5，4)代入抛物线得，，解得． ∴ 该二次函数的解析式为． ∵ ， ∴ 顶点坐标为． （2）（答案不唯一，合理即正确）如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数解析式为，即． 15.【答案与解析】(1)∵ ，b ＝-3，∴ ， 把x ＝-3代入解析式得，． ∴ 抛物线的开口向下，对称轴是直线x ＝-3，顶点坐标是(-3，2)．(2)由于抛物线的顶点坐标为A(-3，2)，对称轴为x ＝-3．抛物线与x 轴两交点为B(-5，0)和C(-1，0)，与y 轴的交点为，取D 关于对称轴的对称点，用平滑曲线顺次连结，便得到二次函数的图象，如图所示．从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x ＜-3时，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧， 即当x ＞-3时，y 随x 的增大而减小．因为抛物线的开口向下，顶点A 是抛物线的最高点， 所以函数有最大值，当x ＝-3时，．254y ax ax a =-+252544a a a -+=1a =254y x x =-+22595424y x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭59,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭225917342424y x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22y x x =++102a =-<331222b x a -=-=-=-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭215(3)3(3)222y =-⨯--⨯--=50,2D ⎛⎫-⎪⎝⎭56,2E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭215322y x x =---2y =最大。