高二下学期期中考试数学理科模拟试题

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高二理科数学第二学期期中考试附答案

xy OAC y x2y x =(1,1)B高二理科数学试题卷一、选择题（以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共40分） 1. 已知实数c b a ,,满足,0,c b a ac <<<且那么( )22A. B.()0C. D.()0ab ac c b a cb ab ac a c >-<<-> 2. 如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（）A.324 B ．354 C.334 D ．3323. 从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(,)M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为( )A ．12B ．13C ．14D ．164. 设函数sin cos y x x x =+的图象上的点00(,)x y 处的切线的斜率为k ，若0()k g x =，则函数0()k g x =的图象大致为（）23a a 34a a 45a a 20122013a a6. 函数()ln f x x ax =+有小于1的极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．(),1-∞-C ．()1,0-D ．()(),10,-∞-+∞7. 已知函数22()ln f x x a x x=++在（1，4）上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤ B ．a < C ．263-<a D ．263-≤a8. 已知集合()(){}M x,y |y f x ==，若对于任意()11x ,y M ∈，存在()22x ,y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①()1M x,y |y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；②(){}1M x,y |y sin x ==+； ③(){}2M x,y |y log x ==；④{(,)2}xM x y y e==-．其中是“垂直对点集”的序号是（）A ．①② B.②③ C.①④ D.②④二、填空题（每小题5分，共30分）9. )10x dx =⎰ ．10. 函数2()2x f x e x =+-在区间()2,1-内零点的个数为．11. 若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为 .12. 函数()2ln 21y x x =+-的单调递增区间是．13. 若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是．14. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．三、解答题（共6题，共80分）15. （本题12分）已知函数()sin()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求cos ∠POQ 的值.16. （本题12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()211,1,1,2,2n n a S n a n n n ==--=⋅⋅⋅ （1）写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥，并求2S ,3S ,4S 的值；（2）猜想n S 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明．17. （本题14分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为380π立方米，且r l 2≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为)3(>c c 千元，设该容器的建造费用为y 千元．（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r ．18. （本题14分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，。

高二理科数学下册期中检测试卷及答案

～第二学期期中考试高二数学试题（理科）注意事项：1．本试卷共4页，包含填空题（第1～14题，共14题）、解答题（第16～20题，共6题）二部分。

本次考试时间为120分钟，满分160分。

考试结束后，只需将答题纸交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号、班级等信息用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。

3．作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

参考公式：线性回归方程系数公式：,)())((211^∑∑==---=ni i ni i ix x y y x xb x b y a ^^-=.样本相关系数公式：,)()())((21211∑∑∑===----=ni i ni ini i iy y x xy y x xr卡方统计量：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸指定位置. 1.化简=+-ii11 ▲ . 2．=-3545C A .3．已知,11ni im-=-其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m . 4.在回归分析中，对于y x ,随机取到的n 对数据),,2,1)(,(n i y x i i =样本相关系数r 具有下列哪些性质：①;1≤r ②r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越弱;③r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越强；④r 越接近于0，y x ,的线性相关程度越强，请写出所有正确性质的序号： .5.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 .①若2χ的观测值满足2χ≥6.635,我们有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100人吸烟的人中必有99患有肺病;②从独立性检验可知有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99％的可能患有肺病;③其从统计量中得知有95％的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5％的可能性使得推判出现错误.6.某地区的年财政收入x 与年支出y 满足线性回归模型ε++=bx a y （单位：亿元），其中.5.0,2,8.0≤==εa b 如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过 .7.把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有种.8．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AC AB ,互相垂直，则三角形边长之间满足关系：.222BC AC AB =+若三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .9．已知推理：“因为△ABC 三边长依次为3，4，5，所以△ABC 是直角三角形”.若将其恢复成完整的三段论，则大前提是 . 10.观察下列等式：,),4321(16941,321941),21(41,11 +++-=-+-++=+-+-=-=由此推测第n 个等式为 .（不必化简结果） 11.已知,12121=-==z z z z 则21z z +等于 .12.在复平面内，Ｏ是原点，,,表示的复数分别为,51,23,2i i i +++-那么表示的复数为 .13.设正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),1(21nn n a a S +=推测出n a 的表达式为 . 14.将正奇数排列如右表所示，其中第i 行第j 个数表示为),,(**N j N i a ij ∈∈例如.932=a 若,2009=ij a 则=+j i .二、解答题：本大题共６小题，共90分.在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题14分）已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-=当实数m 取什么值时，复数z 是：（１）零；（２）纯虚数；（３）.52i z +=16.（本小题１４分）先解答（１），再通过结构类比解答（２）（１）求证：;tan 1tan 1)4tan(xxx -+=+π（２）设R x ∈且,)(1)(1)1(x f x f x f -+=+试问：)(x f 是周期函数吗？证明你的结论.17.(本小题１４分)设有编号为１，２，３，４，５的五个球和编号为１，２，３，４，５的五个盒子，现将这五个球放入５个盒子内.（１）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（２）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？18.（本小题１６分）设,1,*>∈n N n 用数学归纳法证明：.131211n n>++++19.(本小题16分)某电脑公司有６名产品推销员，其中５名推销员的工作年限与年推销金额数据如下表：（１）求年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数（精确到小数点后两位）；（２）求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；（３）若第６名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额. (参考数据：;02.104.1≈由检验水平0.01及,32=-n 查表得.59.001.0=r )20.（本小题16分０设Q P ,是复平面上的点集，{}{}.,2,05)(3P z iz Q z z i z z z P ∈===+-+⋅=ωω（１）Q P ,分别表示什么曲线？（２）设,,21Q z P z ∈∈求21z z -的最大值与最小值.2019－2019学年度第二学期期中考试高二数学答题纸一．填空题：（本题共14小题，每题5分，共70分）1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12.13. 14.二．解答题：（本题共6题，共90分,请写出必要的解答或证明过程）15题：（本题14分）16题：（本题14分）17题.（本题14分）…18题：（本题16分）…19题：（本题16分）20题：（本题16分）高二理科数学参考答案一、填空题1. i -；2. 110；3. i +2；4. ①③；5. ③；6. 10.5亿元；7. 81； 8. 2222ACD ABC ABD BCD S S S S ∆∆∆∆++=；9. 一条边的平方等于其它两条边平方和的三角形是直角三角形； 10. )321()1()1(4321121222n n n n ++++-=⋅-++-+--- ；11.12. i 44-；13. 1--=n n a n ；14. 60二、解答题15. 解：（1）由⎩⎨⎧=-+=-0320)1(2m m m m 可得m=1； …………4分（2）由⎩⎨⎧≠-+=-0320)1(2m m m m 可得m=0； …………8分（3）由⎩⎨⎧=-+=-5322)1(2m m m m 可得m=2； …………12分综上：当m=1时，复数z 是0；当m=1时，复数z 是纯虚数；当m=2，复数z 是i 52+． …………14分 16. 解：（Ⅰ）xx x x x tan 1tan 14tantan 14tantan )4tan(-+=-+=+πππ； …………4分（Ⅱ）)(x f 是以4为其一个周期的周期函数． …………6分∵)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)1)1(()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++=++=+， …………10分 ∴)()2(1)2)2(()4(x f x f x f x f =+-=++=+， …………12分所以)(x f 是周期函数，其中一个周期为4． …………14分 17. 解：（1）只有一个盒子空着，则有且只有一个盒子中投放两个球，另外3只盒子中各投放一个球，先将球分成2，1，1，1的四组，共有25C 种分法， …………4分再投放到五个盒子的其中四个盒子中，共有45A 种放法，所以满足条件的投放方法共有4525A C =1200（种）； …………8分（2）五个球投放到五个盒子中，每个盒子中只有一个球，共有55A 种投放方法，而球的编号与盒子编号全相同的情况只有一种，所以球的编号与盒子编号不全相同的投放方法共有155-A =119（种）． …………14分18. 证明：记)(n f ＝+++31211…n1+（*N n ∈，n ＞1）， …………2分（1）当n ＝2时，211)2(+=f ＞2，不等式成立； …………6分（2）假设n ＝k （*N k ∈，k ≥2）时，不等式成立， …………8分即)(k f ＝+++31211…k1+＞k ，则当n ＝k +1时，有)1(+k f ＝)(k f +11+k ＞k +11+k ＝11)1(+++k k k＞11++k k ＝1+k …………12分∴当n ＝k +1时，不等式也成立. …………14分综合（1），（2）知，原不等式对任意的*N n ∈（n ＞1）都成立. …………16分 19. 解：(Ⅰ)由∑=--ni i iy y x x1))((=10，∑=-n i i x x 12)(=20，21)(∑=-ni i y y =5.2，可得98.02.52010≈⨯=r ， …………4分∴年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数约为0.98． …………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，98.0=r ＞01.0959.0r =,∴可以认为年推销金额y 与工作年限x 之间具有较强的线性相关关系. …………8分设所求的线性回归方程为a bx y+=ˆ，则4.0,5.0==a b . …………10分 ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为4.05.0ˆ+=x y. …………12分 (Ⅲ) 由(Ⅱ) 可知，当11x =时, 4.05.0ˆ+=x y= 0.5×11+ 0.4 = 5.9万元， ∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元． …………16分 20. 解：（1）设yi x z +=（R y x ∈,）， …………2分则集合=P {),(y x ︱05622=+-+y y x }＝{),(y x ︱4)3(22=-+y x }，故P 表示以（0，3）为圆心，2为半径的圆； …………6分第11页共11页设yi x +=ω（R y x ∈,），P i y x z ∈+=00（R y x ∈00,）且iz 2=ω，…………8分则⎩⎨⎧=-=0022x y y x …………10分将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x y y x 212100代入4)3(22=-+y x 得16)6(22=++y x ，故Q 表示以（－6，0）为圆心，4为半径的圆； …………12分（2）21z z -表示分别在圆Q P ,上的两个动点间的距离，又圆心距53=PQ ＞2+4，故21z z -最大值为6+35，最小值为35－6． …………16分。

高二下学期期中考试数学(理科)模拟试题

高二下学期期中考试数学(理科)模拟试题一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共60分)1. 设复数Z i =1—i,Z 2「3・i ，则在复平面内对应的点在Z 2A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60 ”时，反设正确的是A .假设三内角都不大于于60B.假设三内角都大于60 C .假设三内角至多有一个大于于 60D.假设三内角至多有两个大于60 3. 若复数z =(x 2 -4) • (x • 3)i(x ・R)，贝卩Z 是纯虚数”是x “=2”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件6. 2(x e x )dx 的值为C .充要条件D .既不充分也不必要条件4 .函数y=f(x)的图象如图所示，若川0 f(x)dx ,贝S 2~f (x)dx 等于A. m B .2m5.复数z 满足|z-3|=|z 3|，且|z| = 5，则z 等于A . -5B ._5i C . -3 5i D . _ 3_4i A . 4 e 2 B . 3 e 2 C . 2 e 2 D . 1 e 27 .函数y = f (x)的图象如图所示，则f (x)的图象最有可能是个区域内坐定，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色不受限制，那么不同着装的方法有几种。

A.80B.84C.108D.729 .用数学归纳法证明(n - 1)(n - 2)…(n n) = 2n 1 3 …(2n -1)(n N*)，从k 到k+1 :左端需要乘的代数式为()A.2k+1B.2(2k+1)C.k+1 k+110 .若f(x) —*x2 bln(x 2)在(一1「：)上是减函数，则b的取值范围是()A. [-1, ：：)B. (-1,二)C . (-：：，-1] D. (-：：，-1)11.对于函数f(x) =3lnx-x2 x，下列说法正确的是：A 既有极大值，又有极小值B只有极小值，没有极大值C只有极大值，没有极小值D没有极值12.定义：若存在常数k ,使得对于定义域D内的任意两个不同的实数X1,X2, 均有f (xj - f(X2)Wkx1-X2成立，则称函数f (x)在定义域D上满足利普希茨条件，对于函数f(x)「x(x_1)满足利普希茨条件，则常数k的最小值应是1 1A 丄B 1C 1D 22 3二、填空题：(本大题共5小题，每小题4分，共20分)13. 曲线y =X2(X—O)与直线y=1及直线x=2所围成的曲边三角形的面积为_14. 函数y = e2x图像上的点到直线2x - y - 4 = 0距离的最小值是_________15. 若复数z =(x2 -1)・(x-1)i为纯虚数，其中R，则z-1二___________________16 . 13 .如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2),如此下去，得图(3)……m紳创试用n表示第n个图形的边数a n= _______________三、解答题：17.证明下列问题(1)求证：、、2 11 ：：：、3 J0⑵设a,b,c,为均大于1的数，且ab = 10 ；求证：log a c log b c _4lgc18 .已知函数 f (x) = x3-ax2• 3x,a • R(I)若x =3是f (x)的极值点，求f(x)在x [1,5]上的最大值；(H)若函数f(x)是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围19 .已知函数f(x) =ax2• bx c(a . 0,b、R),曲线y = f(x)经过点P(0,2a2 8), 且在点Q(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴，设g(x) = (f(x) 一16) e」。

陕西省西安市鄠邑区2022-2023学年高二下学期期中模拟理科数学试题及参考答案

2022-2023学年度第二学期期中质量检测高二数学（理科）模拟试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．z 为复数，若216i z z -=+成立，则z 的虚部为（） A ．6- B ．6i - C ．2D ．2i2．反证法证明命题“若a R ∈，则函数3y x ax b =++至少有一个零点”时，正确的反设为（）A ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++恰好有一个零点 B ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++至多有一个零点 C ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++至多有两个零点 D ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++没有零点3．已知函数()i f x 的导函数为()(1,2,3)i f x i '=，若123()()()f x f x f x 、、的图象如图所示，则（）A ．123()()()f a f a f a '''>>B ．132()()()f a f a f a '''>>C ．213()()()f a f a f a '''>>D ．312()()()f a f a f a '''>>4．若()y f x =是奇函数，则11()f x dx -=⎰（）A ．1B ．0C ．012()f x dx -⎰D ．102()f x dx ⎰5．下列计算不正确．．．的是（）A ．()xxee--'= B ．2(ln(21))21x x +=+' C ．(cos )sin x x '=- D ．1()2x x'=6．用数学归纳法证明“()22,4n nn N n *≥∈≥”时，第二步应假设（）A ．当(),2n k k N k *=∈≥时，22kk ≥成立 B ．当(),3n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 C ．当(),4n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 D ．当(),5n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 7．若函数()y f x =的导函数()()y x f x ϕ=='图象如图所示，则（）A ．3-是函数()f x 的极小值点B ．1-是函数()y f x =的极小值点C ．函数()f x 的单调递减区间为(2,1)-D ．()0x ϕ'<的解集为(,3)-∞- 8．函数()2ln f x x x =-的单调递减区间是（） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2)D ．(,0)-∞和(0,2)9．函数()2()2xf x x x e =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．函数()cos (1)sin 1,[0,2]f x x x x x π=+++∈在点x =（）处取得最小值． A ．32π B ．22π+ C ．2 D ．32π-11．已知函数()ln ()f x a x x a R =-∈在区间(,)e +∞内有最值，则实数a 的取值范围是（） A ．(,)e +∞ B ．,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,]e -∞D ．(,)e -∞- 12．设2ln 21ln6,,412a b c e ===，则（） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．已知0x >，观察下列不等式：①12x x +≥，②243x x +≥，③3274,x x+≥⋅⋅⋅，则第n 个不等式为_________．14．一个小球作简谐振动，其运动方程为()2sin 3x t t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中()x t （单位：cm ）是小球相对于平衡点的位移，t （单位：s ）为运动时间，则小球在2t =时的瞬时速度为_________cm/s ．15．设i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列关于复数的命题正确的有_________ ①z z =②若z 是非零复数，0z z +=，则||zi z = ③若12z z =，则2212z z =④若复数z 为纯虚数，则z i ⋅为实数16．如图：在平面直角坐标系xOy 中，将直线2xy =与直线1x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积21130021212x V dx x πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰圆锥．据此类比：将曲线2y x =与直线2y =及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V =_________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知复数i z b =（b R ∈，i 是虚数单位），31iz +-是实数．（1）求b 的值；（2）若复数2()8m z m --在复平面内对应点在第二象限，求实数m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）（1）已知b 克糖水中含有a 克糖，再添加m 克糖(0)m >（假设全部溶解），则糖水变甜了．将这一事实表示为不等式：当0,0b a m >>>时，有a a mb b m+<+，请证明这个不等式．（2）设ABC △的三边长分别为a ，b ，c ，请利用第（1）问已证不等式，证明：2c a b a b b c c a++<+++． 19．（本小题满分12分）已知函数432()8181f x x x x =-+-．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值． 20．（本小题满分12分）已知函数()sin x f x e a x =-（其中 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数），0为()f x 的一个极值点．（1）求a 的值；（2）证明：()f x x >恒成立． 21．（本小题满分12分）如图，在区间[0,1]上给定曲线2y x =，左边阴影部分的面积为1S ，右边阴影部分的面积记为2S ．（1）当12t =时，求1S 的值；（2）当01t ≤≤时，求12S S +的最小值． 22．（本小题满分12分）已知函数21()ln ()2f x x x mx x m R =--∈．（1）若0m =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，求实数m 的取值范围．2022-2023学年度第二学期期中质量检测高二数学（理科）模拟试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．当0x >时，()1n n n x n n N x*+≥+∈成立 14．π 15．①④ 16．2π三、解答题（共6小题，第17题满分10分，其余满分均为12分．）17．（本小题满分10分）解：（1）解法1：∵i z b = ∴33i (3i)(1i)(3)(3)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+ 因为31iz +-是实数，所以解集为30b +=，解得3b =- 解法2：因为31iz +-是实数，则令3()1i z k k R +=∈- 则有3i i b k k +=-由复数相等的概念得3k b k=⎧⎨=-⎩，解得3b =-（2）由（1）可知3i z =-∴()222()8(3i)8896i m z m m m m m m --=+-=--+ ∵复数2()8m z m --在复平面内对应点在第二象限∴289060m m m ⎧--<⎨>⎩，解得09m << 所以实数m 的取值范围为(0,9) 18．（本小题满分12分）解：（1）()()()()()a a m ab m b a m m a b b b m b b m b b m ++-+--==+++ 由00b a a b >>⇒-< 又∵0,0m b >>∴()0()m a b b b m -<+，即a a m b b m+<+得证．（2）ABC △的三边长分别为a ，b ，c根据三边关系有a b c +>由（1）已证不等式可得：c c ca b a b c+<+++ 同理可得,a a a b b b b c b c a c a c a b++<<++++++也成立将以上不等式左右两边分别相加可得：2()2c a b a b c a b b c c a a b c++++<=+++++成立．即命题得证．19．（本小题满分12分）解：（1）()3222()424364694(3)f x x x x x x x x x =-+=-+=-' 切点为(0,1)-，切线的斜率为(0)0k f ='=切所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10y += （2）令()0f x '=，解得0x =，或3x =当0x =时，函数()f x 取得极小值()01f =- 20．（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的导函数为()cos xf x e a x '=-0为()f x 的一个极值点，则有0(0)cos00f e a =-=' 解得1a =（2）要证()f x x >，即证sin xe x x >+ 因为sin 1x ≤ 下面先证1xe x ≥+ 构造函数()1xg x e x =--()10x g x e -'==解得0x =当(,0)x ∈-∞时，有()0g x '<，则()g x 在(,0)-∞上单调递减当(0,)x ∈+∞时，有()0g x '>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增所以当0x =时，()g x 取得最小值(0)0g = 即1xe x ≥+成立（当且仅当0x =时等号成立）又因为1sin x ≥（当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时等号成立）由于等号不具有传递性，所以有sin xe x x >+成立． 21．（本小题满分12分）解：（1）当12t =时，1221014S x dx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰12301143x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭111183812=-⨯= （2）1S 面积等于边长分别为t 与2t 的矩形面积减去曲线2y x =与x 轴、直线x t =所围成的面积，即2231023tS t t x dx t =⨯-=⎰ 2S 面积等于曲线2y x =与x 轴、直线1x t x ==、所围成的面积减去矩形边长分别为1t -与2t 的矩形面积，即12232221(1)33t S x dx t t t t =--=-+⎰所以阴影部分的面积321241()(01)33S t S S t t t =+=-+≤≤令2()422(21)0S t t t t t =-'=-= 解得0t =，或12t =解不等式()0S t '>得112t <<即()S t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增解不等式()0S t '<得102t <<即()S t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减所以当12t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为1422．（本小题满分12分）解：（1）当0m =时，()ln ,(0,)f x x x x x =-∈+∞()ln 0f x x =='解得1x =解()0f x '>得1x >，即函数()f x 的单调递增区间为()1,+∞ 解()0f x '<得01x <<，即函数()f x 的单调递减区间为(0,1) （2）由函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，可知()ln 0f x x mx =-≤'对任意(0,)x ∈+∞恒成立即对任意0x >，都有ln xm x≥恒成立构造函数ln (),0xg x x x => 由21ln ()0xg x x-'==解得x e = 解()0g x '>得0x e <<，即函数()f x 的单调递增区间为(0,)e 解()0g x '<得x e >，即函数()f x 的单调递减区间为(,)e +∞ 所以max ln 1()e g x e e== 所以1m e≥．。

高二下学期期中考试理科数学试卷含答案(共5套)

高二下学期理科数学期中考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}(){}2|560,|ln 1A x x x B x y x =--≤==-，则AB 等于（）A ．[]1,6-B ．(]1,6C ．[)1,-+∞D ．[]2,3 2．复数201811z i i=++在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（0a >且1a ≠）. 则下列命题为真命题的是( )A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨ 4．已知平面向量,a b 满足3a =， 23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π5．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：240ax y +-=与直线2l ：()120x a y +++=平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，则y x z -=2的最大值为（）A ．3-B ．2-C ．1D ．27．执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时，输出的s 为17，那么在判断框中，应填入（） A ．?n k < B ．?n k > C ．?n k ≥ D ．?n k ≤8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A ．121B ．49C ．92D ．39．某城市关系要好的A ， B ， C ， D 四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A. 48种B. 36种C. 24种D. 18种 10．已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（）A ． π16B ．π8 C. π4 D ．425π11．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点， 12,F F 分别为C 的左、右焦点， 212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则C 的离心率为（）A ．2或3B ．2或3C ．2D ．212．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则()1f =（）A. 12-B. 0C. 12D. 1第II 卷(非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2-=⎰**** .14．5(2)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 **** ．（用数字表示） 15．若sin 2cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α= **** ． 16．对任一实数序列),,,(321 a a a A =，定义新序列),,,(342312 a a a a a a A ---=∆，它的第n 项为n n a a -+1，假设序列)(A ∆∆的所有项都是1，且02212==a a ，则=2a **** ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()cos 2cos b C a c B =-. （1）求角B 的大小；（2）若b =，求ABC ∆面积的最大值．18．(本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按实现拟定的价格进行试销，得到一组检测数据),(i i y x （6,,2,1 =i ）如下表所示：已知变量,x y 具有线性负相关关系，且3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为：甲：544+=x y ；乙：1064+-=x y ；丙：1052.4+-=x y ，其中有且仅有一位同学的计算是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出,a b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个，求至少有一个检测数据为“理想数据”的概率．19．(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =， 121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =， 1n n n b b a n +=+-. （1）证明：{}n a n -是等比数列；（2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T ．20．(本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ．（1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==， PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点)22,1(P ，且离心率为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）设21,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点B A ,，如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围．22．（本小题满分12分）设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.（1）若0>a ，且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若320<<a ，判断函数)(x f 的零点个数并证明．高二下学期理科数学期中考试参考答案及评分标准13、2π； 14、10 ； 15、8； 16、100. 11、【解析】由于12PF F ∆为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于22b PF a =，所以212b PF a a =+，故外接圆半径为21122b PF a a=+.设内切圆半径为r ，根据三角形的面积公式，有2221122222b b b c c a r a a a ⎛⎫⋅⋅=+++⋅ ⎪⎝⎭，解得2b r ac =+，故两圆半径比为22:2.52b b a a a c ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，化简得()()()1230e e e +--=，解得2e =或3e =.12、【解析】曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，所以()'11f =- ，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，可得1x >时， ()()2'0,f x xf x +>01x <<时， ()()2'0f x xf x +<，令()()()2,0,,g x x f x x =∈+∞ ()()()()()2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤∴=+=+⎣⎦，可得1x >时，()'0,g x >01x <<时，()'0g x <，可得函数()g x 在1x =处取得极值， ()()()'121'10,g f f ∴=+=， ()()111'122f f ∴=-⨯=，故选C.17、【解析】 (1)由()cos 2cos b C a c B =-，得()sin cos 2sin sin cos B C A C B ⋅=-⋅sin()2sin cos sin B C A B A ∴+=⋅=，又sin 0A ≠, 1cos 2B ∴=，又0B π<<, 3B π∴=. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2212a c ac =+-，∵222a c ac +≥，∴12ac ≤，当且仅当a c ==∴11sin 12222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=即ABC ∆面积的最大值为.……………………10分18、解：（1）∵变量y x ,具有线性负相关关系， ∴甲是错误的. 又∵3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，∴80,5.6==y x ，满足方程1064+-=x y ，故乙是正确的.由3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，得8=a ，90=b . ……………………6分（2）由计算得不是“理想数据”有3个，即(5,84),(7,80),(9,68)，从6个检测数据中随机抽取2个，共有2615C =种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有233C =中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为：341155P =-=.……………………12分19、【解析】（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列. …………………4分（2）由（1）得()11122n n n a n a --=-⋅=，又1n n n b b a n +=+-12n n n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥12b =满足上式. 2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分20、【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥． ………………4分（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以，所以13,22AO PA PO PA ==，因为3PA AB =，所以36BO PA =．如图，分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立所示空间直角坐标系，设6PA =，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,3,0,3,0,0O A B C -，()0,3,0,D -()3330,0,33,,0,22P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以()9330,23,0,,0,,22DB AH ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()3,3,0,3,0,33AB AP =-=-．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111230933022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223303330n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令23x =，则223,1y z ==，所以()23,3,1n =，记二面角P AM N --的大小为θ，θ为锐角则1212122339cos cos ,13213n n n n n n θ⋅====⋅⋅ 所以二面角P AM N --的余弦值为3913．……………………12分21、解析：（1）由题意，知22111,22a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩考虑到222a b c =+，解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………3分（2）设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2212x y +=，整理得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=.由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->，得2221k m >-. ①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412kmx x k+=-+，21222(1)12m x x k -=+. 因为(1,0)F -，所以1111AF y k x =+，1221AF y k x =+. 因为1212211y yk x x =+++，且11y kx m =+，22y kx m =+，所以12()(2)0m k x x -++=.因为直线AB ：y kx m =+不过焦点(1,0)F -，所以0m k -≠，所以1220x x ++=，从而242014km k -+=+，即12m k k=+. ② 由①②得2212()12k k k>+-，化简得||2k > ③ 焦点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离211|2|2k d ++===.令t =||2k >t ∈.于是23132()2t d t t t+==+.考虑到函数13()()2f t t t=+在上单调递减，则(1)f d f <<2d <<.所以d的取值范围为2). ……………………12分22、解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+，0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1.…………………4分 (2)∵320<<a ，ax e x f x+-=1)('，记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x，知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，1'(1)01f e a=->+， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ，即01)('000=+-=ax ex f x ，于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减；当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增.∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=，当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. …………12分高二（下）理科数学期中考试试卷一、单选题（共12题；共60分）1．()()121-1x +=⎰A. 212+π B. 214+πC. 12+πD. 21+π2．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（）A.12 B. 23 C. 35D. 34 3．设复数z 满足()11z i i +=-，则z =（） A. 2i -- B. 1i -- C. 2i -+ D. 1i -+4．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[42ππ，），则点P横坐标的取值范围为()A. 12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B. []10-，C. []01， D. 12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 5．已知函数，在区间（0，1）内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是A. （15，B. [15，C. （，6） D. （，66．若,则下列不等式恒成立的是 ( )A.B.C. D.7．函数f(x)＝x 3＋ax 2+bx ＋a 2在x=1处的极值为10，则数对（a,b ）为( )A. （-3,3）B. （-11,4）C. （4，-11）D.（-3,3）或（4，-11） 8.已知对于任意恒成立，则实数a 的最大值为（）A. 0B. 1C.D.9.函数f（x）= 的大致图象是（）A. B.C. D.10.已知函数，其导函数的图象如图，则函数的极小值为（）A. cB. a+b+cC. 8a+4b+cD. 3a+2b11.设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.12.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共4题；共20分）13.若，则= ________14.球的直径为，当其内接正四棱柱的体积最大时的高为________.15.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是________.16.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为________.三、解答题（共6题；共70分）17.已知．(满分10分) （1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间．18.已知函数，．（满分10分）（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.19.已知三棱锥A BCD -如图所示，其中90BAD BDC ∠=∠=︒，ADB DBC ∠=∠，面ABD 垂直面CBD.（满分14分）（1）证明：AB DC ⊥；（2）若E 为线段BC 的中点，且1AD =，tan 6CAD ∠=，求二面角B AD E --的余弦值.20.已知椭圆C1的方程为+ =1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．（满分12分）（1）求双曲线C2的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2 ，求直线l的方程．21.已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．（满分12分）22.已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a为实数）．（满分12分）（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[ ，e]上的最大值和最小值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），g（x）=f（x）﹣2ax＜0恒成立，求实数a的取值范围．19、（满分14分）20. （满分12分）21、（满分12分）答案解析部分1,B 2,B 3,A 4,D 5,B 6,C 7,C8.【答案】C【解析】【解答】依题意得令，则,当时，，当时，，所以函数先增后减，最小值为，所以.故答案为:C.9.【答案】C【解析】【解答】解：∵f（x）= ，当x=0时，f（0）=﹣3，故排除AB当x= 时，f（）=0，故排除D，故选：C10.【答案】C【解析】【解答】由导函数的图象可知，在处取得极小值，.f(2)=8a+4b+c故答案为：C。

高二下学期期中考试数学(理科)试题(有答案)

高二下学期期中考试数学（理科）试题(有答案)一．选择题（5分*10=50分）1. 复数 =A ．2iB ．-2iC ．2D ．-22. 已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则p ⌝是A.,sin1x R x ∃∈> B.,sin 1x R x ∃∈≥C.,sin 1x R x ∀∈>D.,sin 1x R x ∀∈≥3.123log 2,ln 2,5a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<4. 如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为A B D5. 已知,x y R ∈，且命题:p x y >，命题:sin()0q x y x y -+->，则p是q 的A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. 已知数列{a n }为等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝3，a 4＋a 5＋a 6＝6，则S 12＝A ．15B ．30C ．45D ．607. 某运动某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派4人从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有A 、18种B 、36种C 、48种D 、72种8. 将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( ) A 、π8B 、3π8C 、3π4D 、π29. 椭圆C ：22143x y +=的上下顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（）1(1)(1)i i -+A ．13[,]24B ．33[,]84C ．1[,1]2D ．3[,1]4二、填空题（5分*5=25分）11.若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则1＋cos2αcos 2α＋sin2α的值为_______12.已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为13.14. 展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是15、已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率e 的最大值为________．18.(本小题12分)中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)．进入总决赛的甲乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，假设每场比赛的结果互相独立．现已赛完两场，乙队以2:0暂时领先．（Ⅰ）求甲队获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．19.（本小题12分）在数列{}n a 中，已知)(log 32,41,41*4111N n a b a a a n n n n ∈=+==+．（Ⅰ）求证：求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．20. (本小题13分) 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切。

河南省高二下学期期中模拟考试数学(理)试题(解析版)

一、单选题1．已知复数，则复数的虚部为（）2022i 3i2iz -=+z A ． B ．1 C ． D ．1-i -i 【答案】A【分析】根据复数代数形式的除法与乘方运算化简复数，即可判断； z 【详解】解：因为，，，，所以， 1i i =2i 1=-3i i =-41i =2022450522i i i 1⨯+===-所以 ()()()()2022213i 2i i 3i 13i 2i 6i 3i 1i 2i 2i 2i 2i 5z -------+-+=====--+++-所以复数的虚部为； z 1-故选：A 2．的导数是（） sin4πA ．B ．cos4π1cos 44πC ．D ．01cos 44π-【答案】D【分析】根据导数的运算公式，直接计算即可【详解】，常数的导数为0，所以，sin 4y π='(sin '04y π==故选：D3．已知，则的值 ,,0a b c >,,b c aa b cA ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于1【答案】D【分析】先假设，这样可以排除A ，B.再令，排除C.用反证法证明选项D a b c ==1,2,4a b c ===是正确的.【详解】解:令，则，排除A ，B. a b c ==1b c aabc===令，则，排除C. 1,2,4a b c ===12,4bc a abc===对于D ，假设，则， 1,1,1b c a abc<<<,,b a c b a c <<<相加得，矛盾，故选D.a b c a b c ++<++【点睛】本题考查了反证法的应用，应用特例排除法是解题的关键.4．有如下的演绎推理:“因为对数函数当时在上是增函数;已知log a y x =1a >()0,∞+是对数函数,所以在上是增函数”的结论是错误的,错误的原()22log 2y x x =-()22log 2y x x =-()0,∞+因是A ．大前提错误B ．小前提错误C ．大小前提都错误D ．推理形式错误【答案】B【分析】三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．【详解】并不是对数函数，而是对数函数与二次函数的复合，故小前提错误.()22log 2y x x =-故选：B5．（）(1212sin x x dx -=⎰A ．B ．C ．D ．2π125222π+【答案】A【分析】将原式化为,则利用定积分的几何意义和性质即可求出答案.112112sin x xdx dx --+⎰⎰【详解】,(111221112sin 2sin x x dx x xdx dx ---=+⎰⎰⎰因为是奇函数, 22sin y x x =所以;1212sin 0x xdx -=⎰又表示轴所围部分的面积,即圆面积的一半, 11dx -⎰y =x 221x y +=所以, 112dx π-=⎰因此, (1212sin 2x x dx π-=⎰故选:A.【点睛】本题考查了定积分的几何意义,考查了学生的计算能力,难度不大.6．在平面几何里，有勾股定理：“设的两边，互相垂直，则有“，ABC A AB BC 222AB AC BC +=扩展到空间，类比平面几何的勾股定理，”设三棱锥的三个侧面，，两两A BCD -ABC ACD ABD 互相垂直，则可得（）A ．B ．222222AB AC AD BC CD BD ++=++222222AB AC AD BC CD BD ⨯⨯=⨯⨯C ．D ．2222ABC ACD ABD BCD S S S S ++=A A A A 2222ABC ACD ABD BCD S S S S ⨯⨯=△△△△【答案】C【分析】斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面.【详解】由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：，2222ABCACD ADB BCD S S S S ++=A A A A 故选：C.【点睛】本题考查从平面类比到空间，属于基本类比推理，考查空间几何等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于基础题. 7．用数学归纳法证明“不等式对一切正整数恒成立”的第二步1111251233124n n n n ++++>++++ n 中，已经假设时不等式成立，推理成立的步骤中用到了放缩法，这个放缩过程主要是n k =1n k =+证明( ) A ． B ． 1110323334k k k +->+++1120323433k k k +->+++C ．D ．1120313332k k k +->+++1110323433k k k +->+++【答案】B【分析】利用数学归纳法，结合和时，不等式左边增加的项来确定正确答案. n k =1n k =+【详解】时左边比时左边增加了，减少了， 1n k =+n k =111323334k k k +++，，11k +所以证明=. 11113233341k k k k ++-++++1120323433k k k +->+++故选：B8．已知函数为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立，()f x R ()f x '()()1f x f x '+<，则不等式的解集为（）()02022f =()2021e 1x f x -<+A ． B ． C ． D ．()e,+∞(),e -∞(),0∞-()0,∞+【答案】D【分析】构造函数，,已领已知条件判断其导数的正负，进而判()e [()1]x g x f x =-(0)(0)12021g f =-=断函数的单调性，将不等式变形为，即()e [()1]x g x f x =-()2021e 1-<+xf x [()1e 2021}x f x -<，即可得出答案．()(0)g x g <【详解】构造函数，,()e [()1]x g x f x =-(0)(0)12021g f =-=则，故为R 上的单调减函数，()e [()()1]0x g x f x f x '=+'-<()e [()1]x g x f x =-不等式，即，即，()2021e 1-<+xf x [()1e 2021}x f x -<()(0)g x g <，0x ∴>故选：D 9．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有()f x '()y f x =()f x ''()f x '()0f x ''=实数解，则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点是0x ()()00,x f x ()y f x =()43sin 4cos f x x x x =+-，则点（） ()()00,M x f x M A ．在直线上 B ．在直线上 3y x =-3y x =C ．在直线上 D ．在直线上4y x =-4y x =【答案】D【分析】求出，令解得：，从而得到，即可得到答案. ()f x ''0()0f x ''=003sin 4cos x x =00()4f x x =【详解】因为函数，()43sin 4cos f x x x x =+-所以，所以. ()43cos 4sin f x x x '=++()3sin 4cos f x x x ''=-+由，得：. 000()3sin 04cos x x x f ''=+=-003sin 4cos x x =所以， 00000()43sin 4cos 4f x x x x x =+-=所以点在直线上. M 4y x =故选：D10．设点P 是函数图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为，则角()()()201xf x e f x f ''=-+α的取值范围是（）αA ．B ．30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭30,,24πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ C ．D ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B【分析】在中令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得()f x '0x =()01f '=tan α的取值范围.α【详解】，()()()2e 01xf x f x f ''=-+ ，，，，()()2e 0x f x f ''∴=-()()020f f ''∴=-()01f '=()()2e 1x f x x f '∴=-+.()2e 11x f x '∴=->-点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为，.αtan 1α∴>-，.[)0,απ∈ 30,,24ππαπ⎡⎫⎛⎫∴∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ 故选：B.【点睛】本题考查导数的运算以及导数的几何意义，还考查了直线的斜率与倾斜角的关系，本题属于基础题.11．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（）2()ln 2f x x ax =+-1,14⎛⎫⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．(,2)-∞-1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭(2,)-+∞(8,)-+∞【答案】D【分析】把题意转化为在上有解，设，利用导数判断单212a x >-1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21,1124,g x x x ⎛⎫∈- ⎝=⎪⎭调性，即可求解.【详解】由可得：.2()ln 2f x x ax =+-1()2f x ax x'=+因为函数在区间内存在单调递增区间，2()ln 2f x x ax =+-1,14⎛⎫⎪⎝⎭所以在上有解，即在上有解.()0f x '>1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭212a x >-1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭设，由在上恒成立，所以在单调递()21,1124,g x x x ⎛⎫∈-⎝=⎪⎭()30g x x -'=>1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()g x 1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭增，所以.()()114g g x g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭所以.184a g ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭故选：D12．若函数有三个极值点，则k 的取值范围是（） ()()ln e xkxf x x x k =-+∈R A ． B ． ()e,∞+()0,e C ．D ． ()e 1,-+∞()0,e 1-【答案】A【分析】把题意转化为函数有三个极值点，即必有两个不等于1()()ln e x kx f x x x k =-+∈R e xk x =的正实数根.利用导数求出，再验证其符合题意. e k >【详解】的定义域为..()ln e x kx f x x x =-+()0,+∞()()11ex k f x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭令，显然x =1是方程的一个根. ()0f x '=由函数有三个极值点，可知必有两个不等于1的正实数根. ()()ln e x kx f x x x k =-+∈R e xk x=令，则.()()e ,0x g x x x =>()()2e 1xg x x x '=-令，有；令，有； ()0g x '>1x >()0g x '<01x <<所以，因此有.()()min 1e g x g ==e k >此时有两个根a 、b ，其中，e xk x=011a b <<<<所以在上，，单调递减；在上，，单调递增；在上，()0,a ()0f x '<()f x ()1a,()0f x '>()f x ()1,b ，单调递减；在上，，单调递增.()0f x '<()f x (),b +∞()0f x '>()f x 所以有三个极值点，符合题意. ()f x 故. e k >故选：A【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围；（4）利用导数研究函数的零点问题.二、填空题13．设复数z ，满足，，，则____________． 11z =22z =12z z i +=12z z -=【解析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值.12z z -【详解】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示：12,z z 12,OZ OZ 12z z +3OZ因为，所以，所以，12z z i +=12z =+222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯又因为，所以，1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-所以，222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++= 所以，又， 2Z122z z Z -= .【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数复平面内的点；(),z a bi a b R =+∈一一对应←−−−→()(),,Z a b a b R ∈（2）复数平面向量.(),z a bi a b R =+∈一一对应←−−−→OZ 14．设是公比为q 的等比数列的前n 项积，则数列，，是等比数列且其公比的值是n T {}n a 63T T 96T T 129T T 通过类比推理，可以得到结论：设是公差为d 的等差数列的前n 项和，则数列，9q n S {}n a 63S S -，是等差数列，且其公差为__________． 96S S -129S S -【答案】9d 【分析】由等比数列的性质可类比等差数列的性质，可根据等差数列的定义求出公差. 【详解】通过类比推理，可以得到结论数列，，是等差数列， 63S S -96S S -129S S -其公差为. ()()9663113213129---=+-+=S S S S a d a d d 故答案为：.9d 15．已知函数，则关于x 的不等式的解集为()21cos e e 2x xf x x x -=++-()()213f x f x -<+__________．【答案】2,43⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据函数奇偶性的定义判断为偶函数，再利用导数讨论函数在上的单调()f x ()f x ()0,∞+性，最后利用奇偶性及单调性求解原不等式的解集.【详解】函数的定义域为，()21cos e e 2x xf x x x -=++-R ，()()2211cos()e e ()cos e e 22x x x x x x f x f x x x --++-+-=+---==所以函数为偶函数.()f x 当时，有，令，则0x ≥()sin e e x xf x x x -'=-+--()()g x f x '=，()e e cos 1cos 11cos 0x x g x x x x -'=+--≥-=-≥所以函数在上单调递增，=0，即， ()g x ()0,∞+()()0g x g ≥()0f x '≥故函数在上单调递增，又为偶函数， ()f x ()0,∞+()f x 所以函数在上的单调递减，()f x (),0∞-所以不等式可转化为，即， ()()213f x f x -<+213x x -<+231080x x --<解得.243x -<<故原不等式的解集为.2,43⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：.2,43⎛⎫- ⎪⎝⎭16．一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中()f x ()00f x ''=()()00,x f x ()f x 心，已知函数图象的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实()321f x x ax =++()000x x >()f x 数a 的取值范围是__________．【答案】,⎛-∞ ⎝【分析】求出，令得，由、可得的极大值、极小值，()f x ''()0f x ''=a<0()0f x ¢>()0f x '<()f x 根据三次函数有三个零点得解不等式组可得答案. ()f x ()3002410327fa af ⎧>⎪⎨⎛⎫-=+< ⎪⎪⎝⎭⎩【详解】，，，令解得， x ∈R ()232f x x ax '=+()62f x x a ''=+()0f x ''=003ax =->则有，又，0a <()233a f x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭令解得或，令解得，()0f x ¢>0x <23a x >-()0f x '<203ax <<-所以函数在，上单调递增，在上单调递减，()f x (),0∞-2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以的极大值为，的极小值为， ()f x ()01f =()f x 3241327a af ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭又三次函数有三个零点，即函数的图象与轴有三个公共点，()f x ()y f x =x 所以，解得， ()3002410327f a af ⎧>⎪⎨⎛⎫-=+< ⎪⎪⎝⎭⎩a <所以实数a 的取值范围是.,⎛-∞ ⎝故答案为：.,⎛-∞ ⎝三、解答题17．已知复数，，.()221132i z x x x =-+++2(32)i z x x =+-x R ∈(1)若为纯虚数，求实数的值；1z x (2)在复平面内，若对应的点在第四象限，对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 1z 2z x 【答案】(1) 1x =(2) (2,1)--【分析】（1）由纯虚数的概念列方程组求解（2）由复数的几何意义列不等式组求解【详解】（1）∵为纯虚数，∴，解得.1z 2210320x x x ⎧-=⎨++≠⎩1x =（2）∵对应的点在第四象限，∴，解得：.1z 2210320x x x ⎧->⎨++<⎩2<<1x --∵对应的点在第二象限，∴，解得：.2z 0320x x <⎧⎨->⎩0x <综上得，实数的取值范围为x (2,1)--18．用数学归纳法证明1+++…+≤+n (n ∈N *).121312n 12【答案】证明见解析【分析】按数学归纳法证明命题的步骤直接证明即可.【详解】(1)当n ＝1时，左边右边， 13122=+==即当n ＝1时，原不等式成立，(2)假设当n =k (k ∈N *)时，原不等式成立，即1+++…+≤+ k ，121312k 12则当n =k +1时，1+++…++++…+<+k +=+(k +1)，121312k 121k +122k +122k k +12122kk ⋅12即当n =k +1时，不等式成立，综合(1)和(2)得，原不等式对所有的n ∈N *都成立. 19．设函数，曲线在点处的切线方程为. ()bf x ax x=-()y f x =()()22f ,5240x y --=(1)求的解析式；()f x (2)证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定()y f x =0x =2y x =值，并求此定值. 【答案】(1)； 2()2f x x x=-(2)证明见解析，定值为4.【分析】(1)根据切线方程可得，根据切线斜率可得，列方程组求出a 、b 即可； ()2f (2)f '(2)设为y ＝f (x )上任一点，根据导数几何意义求出该点出切线方程，计算切线与、()00,P x y 0x =所围成的三角形的面积即可得到结论.2y x =【详解】（1）将点的坐标代入直线的方程，得， ()()22f ,5240x y --=()23f =∵，则， ()b f x ax x =-2()b f x a x'=+又直线的斜率为， 5240x y --=52于是，解得，故；()()52422232b f a b f a ⎧=+=⎪⎪⎨=-'⎪=⎪⎩22a b =⎧⎨=⎩2()2f x x x =-（2）设点为曲线上任意一点，()00,P x y ()y f x =由(1)知，， 2()2f x x x =-22()2f x x '=+则，，()00022f x x x =-0202()2f x x '=+∴在点的切线方程为， ()y f x =()00,P x y ()002002222y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即， 200242y x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭令，得，从而得出切线与轴的交点坐标为B ， 0x =04y x =-y 040,x ⎛⎫- ⎪⎝⎭联立，解得， 2002242y x y x x x =⎧⎪⎛⎫⎨=+- ⎪⎪⎝⎭⎩0024x x y x =⎧⎨=⎩从而切线与直线的交点坐标为A .2y x =()002,4x x ∴曲线在点处的切线与直线、所围成的三角形的面积为()y f x =()00,P x y 0x =2y x =. 0014242S x x =⋅-⋅=故曲线上任一点处的切线与直线、所围成的三角形的面积为定值且()y f x =()00,P x y0x =2y x =此定值为4.20．（1）已知，，，求证：. 0x >0y >21x y +=121125x y ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）用分析法证明：对于任意时，有.(,a b ∈ab b -【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）由题，利用，代入不等式左式得，化简去括号，即21x y +=24211x y x y x y ⎛⎫++⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可利用基本不等式证明；（2）由分析法定义，先两边同时平方，整理后得，结合因式分解讨论参数范22223390a b a b --+≥围，即可证明【详解】（1）证明：∵，，，0x >0y >21x y +=∴ 122424111133x y x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 123131325x y y x =++≥+=当且仅当，即，时，等号成立， 4x y y x =14x =12y =∴，即得证. 121125x y ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明：要证，即证，ab b -()()2233ab a b -≥-即证，即证， 2222693630a b ab a ab b -+-+-≥()()22330a b --≥∵，∴，，(,a b ∈230a -≤230b -≤∴成立，即原不等式成立. ()()22330a b --≥21．一个圆柱形圆木的底面半径为，长为，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把1m 10m 其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中为ABCD O 圆心，，在半圆上），设，木梁的体积为（单位：），表面积为（单位：C D BOC θ∠=V 3m S 2m ）．（1）求关于的函数表达式；V θ（2）求的值，使体积最大；θV 【答案】（1）；（2）. ()()10sin cos sin ,0,2V πθθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭3πθ=【详解】试题分析：（1）根据圆的性质和三角函数的定义可得出；（2）对函数求导，()()10sin cos sin ,0,2V πθθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭()()10sin cos sin ,0,2V πθθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭得到增、减区间，进而求出极值，最后可以得到最大值时的.θ试题解析：（1）梯形的面积. ABCD 2cos 2sin 2ABCD S θθ+==sin cos sin ,0,2πθθθθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭体积. ()()10sin cos sin ,0,2V πθθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭（2）.()()()()2'102cos cos 1102cos 1cos 1V θθθθθ=+-=-+令得或，， ()'0,V θ=1cos 2θ=cos 1θ=-0,,23ππθθ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭ 当时，为增函数；0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当时，为减函数； ,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()10cos ,'0,2V V θθθ<<< 当时，体积最大.∴3πθ=V 【解析】1、数学建模能力及三角函数求导法则；2、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值.【方法点睛】本题主要考查数学建模能力以及利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，属于难题.利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对()f x ()f x 求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范()f x ()0f x '>x ()0f x '<x 围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值.()f x 22．设函数，. 2()ln a f x x x=+32()21g x x x =-+(1)讨论函数的单调性；()f x (2)如果对于任意的，都有成立，试求的取值范围. 121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()112x f x g x ≥a 【答案】(1)当时，函数在区间上单调递增；0a ≤()f x ()0,∞+当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 0a >()f x ()+∞(2)[)1,+∞【分析】（1）求出函数的导数，讨论a 的取值范围，根据导数的正负，确定函数的单调区间；（2）由题意可知先求得函数在的最大值，则得到当时，32()21g x x x =-+1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，分离参数，构造函数，利用导数求得所构造函数的最值，可得答案.()1xf x ≥【详解】（1）函数的定义域为，， ()f x ()0,∞+233212()a x a f x x x x -=-+='当时，，函数在区间上单调递增；0a ≤()0f x '>()f x ()0,∞+当时，若，则，函数单调递增；0a >x >()0f x '>()f x若，函数单调递减；0x <<()0f x '<()f x∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ()f x (0)+∞综上得：当时，函数在区间上单调递增；0a ≤()f x ()0,∞+当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 0a >()f x ()+∞（2）∵，， 24()3433g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴当时，，在区间单调递减， 14,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0g x '≤()g x 14,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，，在区间单调递增， 4,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0g x '≥()g x 4,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦而，所以在区间上的最大值是1. 15(2)128g g ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭()g x 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦依题意，需要有当时，恒成立， 1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()1xf x ≥即恒成立，亦即； ln 1a x x x+≥2ln a x x x ≥-令， 21()ln ,22h x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭则，显然，()12ln h x x x x '=--()10h '=当时，，，， 1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭10x ->ln 0x x <()0h x '>即在区间上单调递增； ()h x 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭当时，，，，(]1,2x ∈10x -<ln 0x x >()0h x '<即在区间上单调递减；()h x (]1,2所以，当时，函数取得最大值，1x =()h x ()11h =故，即实数的取值范围是.1a ≥a [)1,+∞。

2023-2024学年山西省高二年级第二学期期中考试数学质量检测模拟试题 (含解析)

2023-2024学年山西省高二年级第二学期期中考试数学模拟试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（）A.14B.64C.72D.802.已知随机变量X 服从两点分布，()0.6E X =，则其成功概率为（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.63.64()(21)x a x -++的展开式中，3x 的系数为12，则实数a 的值为（）A.-1B.0C.1D.24.一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为324150146146146520C C C C C C C ++的事件是（）A.没有白球B.至多有2个黑球C.至少有2个白球D.至少有2个黑球5.对任意实数x ，有()4234012342(2)(2)(2)x a a x a x a x a x =++++++++，则01a a +的值为（）A.20- B.16- C.22D.306.小王､小李等9名同学相约去游玩，在某景点排成一排拍照留念，则小王不在两端，且小李不在正中间位置的概率是（）A.2536 B.914 C.58D.17287.已知随机变量()21,,6,,,3X Y X B Y N μσ⎛⎫~~ ⎪⎝⎭，且()()E X E Y =，又()()23P Y m P Y m ≤-=≥，则实数m 的值为（）A.1-或4B.1- C.4或1D.58.已知数列{}n a 满足121232n n n n n a a a a a ++++⋅=-，且1211,3a a ==，数列()(){}121nn n a λ+-的前n 项和为n S ，若n S 的最大值仅为8S ，则实数λ的取值范围是（）A 11,1011⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.11,89⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.11,1011⎛⎤--⎥⎝⎦ D.11,89⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知随机变量X 满足()()5,2E X D X ==，则下列选项正确的是（）A.()2111E X +=B.()2110E X +=C ()219D X += D.()218D X +=10.高二年级安排甲､乙､丙三位同学到,,,,,A B C DEF 六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（）A.如果社区B 必须有同学选择，则不同的安排方法有88种B.如果同学乙必须选择社区C ，则不同的安排方法有36种C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种D.如果甲､丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种11.已知233331124561011A C C C C C A n n n n --=+++++⋅ ，则n 的值可能为（）A.2B.4C.7D.912.某商场举办一项抽奖活动，规则如下：每人将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，记第i 次正面朝上的点数为()1,2,3i a i =，若“123a a a <<”，则算作中奖，现甲､乙､丙､丁四人参加抽奖活动，记中奖人数为X ，下列说法正确的是（）A.若甲第1次投掷正面朝上的点数为3，则甲中奖的可能情况有4种B.若甲第3次投掷正面朝上的点数为5，则甲中奖的可能情况有6种C.甲中奖的概率为554P =D.()1027E X =三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.8312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为__________．14设随机变量13,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1P X ≥=__________．15.由0,1,2,3,4,5,6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个．16.已知,A B 两个不透明的盒中各有形状､大小都相同的红球､白球若干个，A 盒中有(08)m m <<个红球与8m -个白球，B 盒中有8m -个红球与m 个白球，若从,A B 两盒中各取1个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则()D ξ的最大值为__________．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．17.已知有9本不同的书．（1）分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）18.已知二项式nx⎛ ⎝的展开式中，所有项的二项式系数之和为a ，各项的系数之和为b ，32a b +=（1）求n 的值；（2）求其展开式中所有的有理项．19.为迎接2023年美国数学竞赛()AMC ，选手们正在刻苦磨练，积极备战，假设模拟考试成绩从低到高分为1、2、3三个等级，某选手一次模拟考试所得成绩等级X 的分布列如下：X123P0.30.50.2现进行两次模拟考试，且两次互不影响，该选手两次模拟考试中成绩的最高等级记为ξ．（1）求此选手两次成绩的等级不相同的概率；（2）求ξ的分布列和数学期望．20.设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每个球除颜色以外均相同）．（1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率；（2）先从乙袋中取2个球放人甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，上顶点为B ，过,A B 两点的直线平分圆222)(4(x y ++-=的面积，且3BF BO ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线():20l y x m m =-≠与椭圆E 相交于,H M 两点，且点()0,N m ，当HMN △的面积最大时，求直线l 的方程．22.已知函数()ln 1af x x x=+-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，且12x x >．证明：12121x x a+>．答案解析一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【正确答案】B【2题答案】【正确答案】D【3题答案】【正确答案】C【4题答案】【正确答案】B【5题答案】【正确答案】B【6题答案】【正确答案】A【7题答案】【正确答案】A【8题答案】【正确答案】B二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【正确答案】AD【10题答案】【正确答案】BD【11题答案】【正确答案】BC【12题答案】【正确答案】BCD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【正确答案】7【14题答案】【正确答案】1927【15题答案】【正确答案】90【16题答案】【正确答案】12##0.5四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．【17题答案】【正确答案】（1）280（2）1260【18题答案】【正确答案】（1）4（2）42135,54,81T x T x T x-===【19题答案】【正确答案】（1）0.62（2）分布列见解析，() 2.27E ξ=【20题答案】【正确答案】（1）835（2）727【21题答案】【正确答案】（1）22143x y +=；（2）142y x =+或142y x =-．【22题答案】【正确答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）证明见解析.。

高二第二学期期中考试理科数学试卷含答案

高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集是实数集R ，2{|2730}A x x x =-+≤，2{|0}B x x a =+<，若()R C A B B =，则实数a 的取值范围是（）A ．1(,)4-+∞ B ．1(,]4-∞- C ．1[,)4-+∞ D ．1(,)4-∞- 2.设复数122iz i-=-（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知a ，b 都是实数，则“4a b +≥”是“224a b +≥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4.设1sin cos 2x x +=-（其中(0,)x π∈），则cos 2x 的值为（）A B ．5.已知l 、m 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A ．若l m ，l α，则m α B ．若αβ⊥，l α，则l β⊥ C.若l β⊥，αβ⊥，则l α D ．若l m ⊥，l α⊥，且m β⊥，则αβ⊥6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．36128π+B ．128π C.36 D ．3664π+7.某程序框图如图所示，若输入的100N =，该程序运行后输出的结果为（）A ．50B ．1012 C.51 D ．10328.某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（） A ．8 B ．16 C.24 D ．609.定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，(2)3f -=-，数列{}n a ，满足11a =-，且2n n S a n =+（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则56()()f a f a +=（） A ．-2 B ．3 C.-3 D ．210.如图为函数()f x =01x <<）的图象，其在点(,())M t f t 处的切线为l ，l 与y 轴和直线1y =分别交于点P 、Q ，点(0,1)N ，若PQN ∆的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为（）A ．110,427⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．110(,]227 C.110(,]227 D ．18(,)427 11.设点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，l 为12PF F ∆的内心，若11122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆+=，则该椭圆的离心率是（）A ．12 B．2C.2 D ．14 12.在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为（） A．,1)5 B．5C.(5 D．[5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.设4(1)x -的展开式中2x 的系数为A ，则A = ．14.设a ，b 为两非零向量，且满足||||2a b +=，222a b a b ⋅=⋅，则两向量a ，b 的夹角的最小值为．15.已知正数x ，y 满足1910x y x y+++=，则x y +的最大值为． 16.设点(,)M x y 的坐标满足不等式组001x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，点(,)m n 在点(,)M x y 所在的平面区域内，若点(,)N m n m n +-所在的平面区域的面积为S ，则S 的值为．三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的所对边的长分别为a 、b 、c，且a =3b =，sin 2sin C A =. （I ）求c 的值；（II ）求sin(2)3A π-的值.18. 设函数()kx f x x e =⋅（0k ≠）（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间.19. 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S . （I ）求n a 及n S ；（II ）令211n n b a =-（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T .20. 如图（1）在等腰ABC ∆中，D ，E ，F 分别是AB ，AC 和BC 边的中点，120ACB ∠=︒，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A DC B --.(如图（2）)（I ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；（II ）求二面角E DF C --的余弦值；（III ）在线段BC 是否存在一点P ，但AP DE ⊥？证明你的结论.21. 已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为2，Q 为椭圆C 的左顶点. （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）已知过点5(,0)6-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （i ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小；（ii ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.22. 已知函数2()ln()f x x ax =（0a >）（1）若2'()f x x ≤对任意的0x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，设函数()()f x g x x =，若1x ，21(,1)x e∈，121x x +<，求证41212()x x x x <+.试卷答案一、选择题1-5:CDAAD 6-10:AACBD 11、12：AA 二、填空题 13.6 14.3π15.8 16.1 三、解答题17.解：（I ）∵a =sin 2sin C A =，∴根据正弦定理sin sin c a C A =得：sin 2sin Cc a a A===（II ）∵a =3b =，c =∴由余弦定理得：222cos 2c b a A bc +-==，又A 为三角形的内角，∴sin 5A ==， ∴4sin 22sin cos 5A A A ==，223cos 2cos sin 5A A A =-=，则4sin(2)sin 2coscos 2sin33310A A A πππ--=-=. 18.解：（1）'()(1)kx kx kxf x e kxe kx e =+=+（x R ∈）,且'(0)1f =，∴切线斜率为1，又(0)0f =，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为0x y -=.（2）'()(1)kxf x kx e =+（x k ∈），令'()0f x =，得1x k=-， ○1若0k >，当1(,)x k ∈-∞-时，'()0f x <，()f x 单调递减；当1(,)x k ∈-+∞时，'()0f x >， ()f x 单调递增.○2若0k <，当1(,)x k ∈-∞-时，'()0f x >，()f x 单调递增；当1(,)x k∈-+∞时，'()0f x <， ()f x 单调递减.综上所述，0k >时，()f x 的单调递减区间为1(,)k -∞-，单调递增区间为1(,)k-+∞； 0k <时，()f x 的单调递增区间为1(,)k -∞-，单调递减区间为1(,)k-+∞19.解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所有有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13a =，2d =，所有32(1)21n a n n =+-=+；2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. （II ）由（I ）知21n a n =+，所以221111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ===⋅=--+-++，所以数列{}n b 的前n 项和11111111(1)(1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++，即数列{}n b 的前n 项和4(1)n nT n =+.20.解：（I ）如图1在ABC ∆中，由E ，F 分别是AC ，AB 中点，得EF AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面EDF ，∴AB 平面DEF .（II ）∵AD CD ⊥，BD CD ⊥,∴ADB ∠是二面角A CD B --的平面角，∴AD BD ⊥， ∴AD ⊥平面BCD ，取CD 的点M ，使EMAD ，∴EM ⊥平面BCD ，过M 作MN DF⊥于点N ，连接EN ，则EN DF ⊥， ∴MNE ∠是二面角E DF C --的平面角.设CD a =，则2AC BC a ==，AD DB ==，在DFC ∆中，设底边DF 上的高为h 由Rt EMN ∆中，122EM AD ==，124MN h ==，∴tan 2MNE ∠= 从而cos 5MNE ∠=（III ）在线段BC 上不存在点P ，使AP DE ⊥，证明如下：在图2中，作AG DE ⊥，交DE 于G 交CD 于Q 由已知得120AED ∠=︒，于是点G 在DE 的延长线上，从而Q 在DC 的延长线上，过Q 作PQ CD ⊥交BC 于P ， ∴PA ⊥平面ACD ，∴PQ DE ⊥，∴DE ⊥平面APQ ，∴AP DE ⊥. 但P 在BC 的延长线上.图1图221.解：（I ）设椭圆C 的标准方程为22221x y a b+=（0a b >>），且222a b c =+.由题意，椭圆C 过点(0,1)1b =，c a =. 所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （II ）由（I ）得(2,0)Q -.设11(,)A x y ，22(,)B x y .（i ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-. 由226514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩即64(,)55A -，64(,)55B --（不妨设点A 在x 轴上方）. 则直线AQ 的斜率1，直线BQ 的斜率1-.因为直线AQ 的斜率与直线BQ 的斜率的乘积为1-，所以AQ BQ ⊥，所以2AQB π∠=.（ii ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()5y k x =+（0k ≠）由226()514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>.212221222402510014410025100k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为11(2,)QA x y =+，22(2,)QB x y =+，116()5y k x =+，226()5y k x =+，所以22212121212636(2)(2)(1)(2)()4525QA QB x x y y k x x k x x k ⋅=+++=++++++ 2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+⨯++-++=++ ∴QA QB ⊥.所以QAB ∆为直角三角形.假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则||||QA QB =. 取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ⊥. 记点6(,0)5-为N .另一方面，点M 的横坐标2224520M k x k =-+，所以点M 的纵坐标26520M ky k=-+. 所以22222222101666660132(,)(,)0520520520520(520)k k k k QM QN k k k k k ++⋅=⋅=≠+++++所以QM 与NM 不垂直，矛盾.所以当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.22.解：（1）'()2ln()f x x ax x =+ 2'()2ln()f x x ax x x =+≤，及2ln()1ax x +≤在0x >上恒成立设()2ln()1u x ax x =+-，2'()10u x x=-=，2x =，2x >时，单调减，2x <单调增，所以2x =时，()u x 有最大值(2)u(2)0u ≤，2ln 212a +≤，所以02a <≤（2）当1a =时，()()ln f x g x x x x ==，'()1ln 0g x x =+=，1x e=，所以在1(,)e +∞上()g x 是增函数，1(0,)e 上是减函数因为11211x x x e<<+<，所以121212111()()ln()()ln g x x x x x x g x x x +=++>=即121121ln ln()x x x x x x +<+ 同理122122ln ln()x x x x x x +<+ 所以1212121212122121ln ln ()ln()(2)ln()x x x x x xx x x x x x x x x x +++<++=+++ 又因为122124x x x x ++≥，当且仅当“12x x =”时，取等号11 又1x ，21(,1)x e ∈，121x x +<，12ln()0x x +< 所以12121221(2)ln()4ln()x x x x x x x x +++≤+ 所以1212ln ln 4ln()x x x x +<+ 所以：41212()x x x x <+。

高二下学期数学选修22期中考试模拟练习一试题理科及参考答案

高二下学期数学选修2-2 期中复习模拟练习（一）4月13日班级：姓名：1.复数(2)z i i =+的虚部是（）A. 2-B. 2C. 2i -D. 2i2. 按“三段论”的推理模式，下列三句话排列顺序正确的是（）①x y cos =(x ∈R )是三角函数；②三角函数是周期函数；③x y cos =(x ∈R )是周期函数。

A. ①②③ B. ②①③ C. ②③① D. ③②① 3．【此题文科不做】计算11edx x⎰的结果是（） A. e B. 21e -- C. 1 D. 1e -4．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么下面说法正确的是（）A. 在(3,1)-内()f x 是增函数B. 在（1,3）内()f x 是减函数C. 在（4,5）内()f x 是增函数D. 在=2x 时，()f x 取得极小值5．用反证法证明命题“已知A,B,C,D 是空间中的四点，直线AB 与CD 是异面直线，则直线AC 和BD 也是异面直线.”应假设（）A. 直线AC 和BD 是平行直线B. 直线AB 和CD 是平行直线C. 直线AC 和BD 是共面直线D. 直线AB 和CD 是共面直线 6．已知函数()sin f x x x =，记1()2m f =-，1()3n f =，则下列关系正确的是（）A. 0m n <<B. 0n m <<C. 0m n <<D. 0n m << 7．函数()2ln f x x x =-的单调递减区间是 . 8．【此题文科不做】曲线2y x =与y x =所围成的图形的面积是 .9．观察不等式：111223++<,11113237++++<,111142315++++<,111152331++++<, …，由此归纳第n 个不等式为 .要用数学归纳法证明该不等式，由(1)n k k =≥时不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数．．为 . 10．根据“已知点0(,0)A a 是圆22122:1x y C R R+=外一点，设不垂直于x 轴的直线l 与圆1C 交于P ,Q 两点，若x 轴是∠P AQ 的平分线，则直线l 过定点2A (,0)R a '”，通过类比可推知“已知点0(,0)B b 是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>外一定点，设不垂直于x 轴的直线l '与椭圆2C 交于P ',Q '两点，若x 轴是P BQ ''∠的平分线，则直线l '过定点B ' ”.（将点的坐标填入前面的横线上）11. 已知函数3()32(R)f x ax x a =++∈的一个极值点是1.(I) 求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； (II)求函数()f x 在[2,3]-上的最大值和最小值.12.已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求()f x 的单调区间和最小值；（Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.高二数学期末复习模拟练习（一）参考答案 4月13日1.复数z=i(i+2)的虚部是（ B ）A. 2-B. 2C. 2i -D. 2i2. 按“三段论”的推理模式，下列三句话排列顺序正确的是（ B ）①x y cos =(x ∈R )是三角函数；②三角函数是周期函数；③x y cos =(x ∈R )是周期函数。

高二下册期中考试数学试题(理)有答案

第二学期其中考试试卷高二数学理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、计算复数2(ii i-是虚数单位） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -- D ．12i -2、函数21y x =-的图象上一点(1,0)处的切线的斜率为A ．1B ．2C ．0D ．-13、由①上行的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相垂直；③正方形是菱形，写出一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③① 4、设()ln f x x x =，若0(3)f x '=，则0x = A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 2 5、20cos xdx π⎰等于A ．3-B ．12C ．3D ．12- 6、若()sin cos f x x α=-，则()f α'等于A ．sin αB ．cos αC ．sin cos αα+D ．2sin α 7、函数()(3)x f x x e =-的单调区间是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．()1,4D ．()0,38、设函数()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是9、函数3239(04)y x x x x =--<<有A ．极大值5，极小值-27B ．极大值5，极小值-11C ．极大值5，无极小值D ．极小值-27，无极大值 10、已知函数()f x 在R 上满足()122(2)x f x f x e x -=-++，则()1f '=A ．2B ．3C ．-1D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

. 11、核黄素()sin 2f x x =，则函数的导函数为()f x '= 12、复数12,z i z =-=13、在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立，在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，猜想在n 边形12n A A A 中，有不等式成立。

高二(下)期中数学试卷(理科)(内含答案)

高二年级数学期中理科卷班级：_____________ 姓名：_____________ 分数：_______________ 一、选择题（每小题5分，共50分）：1、1．函数()2()2f x x =的导数是（） A ． ()2f x x '= B ． x x f 4)(=' C ． x x f 8)(=' D ．x x f 16)(='2、因指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”，上面推理的错误是（） A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错3、下面几种推理过程是演绎推理的是（） A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒．B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C ．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人．D ．在数列{}n a 中()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由此归纳出{}n a 的通项公式． 4、用数学归纳法证明等式：()()+∈=-++++N n n n 212531 的过程中，第二步假设kn =时等式成立，则当1+=k n 时应得到（）()2.13521A k k +++++= ()()2.135211B k k +++++=+()()2.135212C k k +++++=+ ()()2.135213D k k +++++=+5、函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是（）A. 1,−1B. 1, −17C. 3, −17D. 9, −19 6、如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数( )A 13(,)x xB 24(,)x x C.46(,)x x D.56(,)x x7、设,a b R ∈，若1a bii+-为实数，则 ( ) A.0b a +≠ B.0b a -≠ C.0b a += D. 0b a -=8、设函数[]0)()(,,12)(3<∈+--=n f m f n m x x x x f 且则方程[]n m x f ,0)(在=上（） A.至少有三个实数根 B. 至少有两个实数根C. 有且只有一个实数根D 无实数根 9、已知函数(]0)(,3,0)()()(≠∈=x g x x g x f x h ，，对任意(])()()()(,3,0x g x f x g x f x '>'∈恒成立，则（） A.函数h(x)有最大值也有最小值 B. 函数h(x)只有最小值C ．函数h(x)只有最大值 D. 函数h(x)没有最大值也没有最小值10、一个作直线运动的物体，它的速度v (米/秒)与时间t （秒）满足3(0)v t t =≥　，如果它在a 秒内的平均速度与２秒时的瞬时速度相等，则a 等于（）A ．BC ．4D ．二、填空题（每小题5分，共25分）：11、设O 是原点，向量,OA OB 对应的复数分别为23,32,i i --+那么向量BA 对应的复数是_______12、已知曲线2x y =上一点P 处的切线与直线210x y -+=平行，则点P 的坐标为_______ 13、120(23)x x dx -=⎰_______14、已知函数()x x x f ln =，则)(e f '=___ _____. 15、下列命题中，错误命题的序号是____________．①两个复数不能比较大小；②z 1，z 2，z 3∈C ，若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 3；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④z 是虚数的一个充要条件是z ＋z ∈R ；⑤若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数；⑥复数z ∈R 的一个充要条件是z ＝z ；⑦在复数集内，－1的平方根是±i ；⑧z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0. 三、解答题（共75分）：16、(1) 已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围. (2) 已知函数f x x x ()=-+33，R x ∈;求f x ()的单调递增区间. （12分）17、（12分）设f (x )=2(0)ax bx c a ++≠，f ′(x )＝2x ＋2. 且方程f (x )＝0有两个相等的实根.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；18、若a 、b 、c 均为实数且22,22,12222+-=+-=+-=x z c z y b y x a 。

高二第二学期期中考试数学试题(理科)

A.12种B.24种C.30种D.36种
9、已知的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）
A. 或2B. 或3C. 或1D. 或1
10、学校计划在5天里安排三节不同的选修课，且在同一天安排的选修课不超过2节，则不同的选修课安排方案有（）.
A.60 种 B.110种 C.40 种 D.120种
11、已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在处的切线的方程是（）
12、函数满足，其导函数的图象如右图
所示，则的图象与x轴所围成的封闭图形的面积是（）
A.1 B. C.2 D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、若，则 .
14、若有实数根，是虚数单位，则实数的值为.
15、若函数有极值，则实数a的取值围是
16、函数满足且在R上的导函数，则不等式的解集是.
22、（1）当时，
所以
因此即曲线在点处的切线的斜率为
又，故所求的切线方程为 …4分
（2）因为
令得 …5分
若函数在区间上单调递增，此时函数无最小值.……………7分
若则当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值 …………9分
若则当时，，函数在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值 …………11分
高二第二学期期中考试数学试题（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、复数的共轭复数的虚部为（）
A.1B. C. D.
2、若，则实数（）
A.2B. C.1D.
3、化简的结果
为（）
4、函数的定义域为开区间，导函数在的图象如图所示，则函数在开区间有极小值点（）

高二下学期期中考试数学(理科)试题与答案

3 i 5
2．函数 f ( x) ( x 1) 2 ( x 1) 在 x 2 ）.
3．所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，属于哪种推理（ A．类比推理 4. 下面是关于复数 z B．演绎推理 C．合情推理
D．归纳推理）
2 的四个命题：其中真命题为（ -1 i
(第 10 题)
A
B
C
D
11．在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●„若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前 100 个圈中的●的个数是( A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 )
12. 已知定义在实数集 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1) 2, 且 f ( x) 的导数 f ' ( x ) 在 R 上恒有
20．(本小题满分 12 分)如图计算由直线 y＝6－x，曲线 y＝ 8x以及 x 轴所围图形的面积．
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高二期中考试数学（理）试题
21．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝
1 3 x ＋ax2－bx(a，b∈R)，若 y＝f(x)图象上的点 3
11 1, 处的切线斜率为－4. 3
18．(本小题满分 12 分)实数 m 取什么数值时，复数 z m2 1 (m2 m 2)i 分别是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？（4）表示复数 z 的点在复平面的第四象限？
19．(本小题满分 12 分)如图，在四面体 BACD 中，CB＝CD，AD⊥BD，且 E，F 分别是 AB，BD 的中点，求证： (1)直线 EF∥平面 ACD； (2)平面 EFC⊥平面 BCD.
p1 : z 2 ， p2 : z 2 2i ， p3 : z 的共轭复数为 1 i ， p4 : z 的虚部为 1

高二第二学期期中测试数学试题(理科)

高二第二学期期中质量检测试题（1）理科数学一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知i 为虚数单位，复数12i z i-=，则z 的共轭复数z = A ．2i -- B ．2i -+ C ．2i - D ．2i +2．已知2188m m C C -=，则m 等于A ．1或3B ．1C ．4D ．3或43．已知函数()ln(1)f x x =+，则曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为A ．1y x =-B ．y x =C ．21y x =-D ．2y x =4．设()f x 是可导函数，且1(2)2f '=，则0(2)(2)lim h f f h h→--的值为 A ．1 B ．1- C ．12 D ．12- 5．下列导数运算正确的是A ．121()x x-'= B ．1(2)2x x x -'=⋅ C ．(cos )sin x x '= D ．1(ln )1x x x'+=+ 6．将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，则不同的放法共有A ．81种B ．64种C ．36种D ．18种7．已知77017(1)x a a x a x -=+++，那么12a a ++7a +=A ．1-B ．0C ．1D ．28．某班联欢晚会原定的3个节目已排成节目单，开演前又增加2个新节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为A ．12B ．20C ．36D ．1209．已知复数z 满足2z =，则34z i +-的最大值为A ．5B ．9C ．7D ．310．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在1x =-处取得极大值，则函数()y x f x '=⋅的图像可能是11．2020年12月17日，嫦娥五号返回器携带1731克月球土壤样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，至此我国成为世界上底三个从月球取回土壤的国家.某科研所共有A ，B ，C ，D ，E ，F ，六位地质学家，他们全部应邀去甲、乙、丙三所不同的中学开展月球土壤有关知识的科普活动，要求毎所中学至少有一位地质学家，其中地质学家A 被安排到甲中学，则不同的派遣方法共有A ．180种B ．162种C ．160种D ．126种12．若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1(,1)4内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是A ．(,2)-∞-B ．1(,)8-+∞ C ．(2,)-+∞ D ．(8,)-+∞ 二、填空题：共4小题，每小题5分.共20分.13．设复数202111i z i-=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为 . 14．某班级要从5名男生、3名女生中选派4人参加学校组织的志愿者活动，如果要求至少2名女生参加，那么不同的选派方案共有种.15．甲、乙、丙、丁四人站成一排照相，满足甲乙相邻且甲不在最左边的站法有种.16．已知函数()f x 为R 上可导函数，其导函数为()f x '，若对任意实数x ,都有()()0f x f x '-=，且(0)1f =，则不等式()1xf x e <的解集为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知复数2(1)z a a a i =---，a R ∈.（Ⅰ）若z 为纯虚数，求3z +；（Ⅱ）若z 在复平面内对应的点在第四象限，求a 的取值范围.从包括A ，B 两人的7人中选出5人排成一排. （Ⅰ）若任意选出5人，有多少种不同的排法？（Ⅱ）若A ，B 两人中有且仅有一人被选出，有多少种不同的排法？19．（本小题满分12分）已知21(2)n x x-（n N *∈）的展开式中各项的二项式系数之和为64，求：（Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）展开式中二项式系数最大的项；（Ⅲ）2311(2)n x x x⋅-的展开式中的常数项.20．（本小题满分12分）已知函数21()ax x f x x+-=（a R ∈）. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在区间[1,3]上的值；（Ⅱ）若函数()f x 在2x =处取得极值，求实数a 的值.已知函数22()cos f x x x =+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式y =()1f x kx ≥+在[0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.22．（本小题满分12分）已知函数2()(22)x f x ax x e =++，其中01a <≤，e 为自然对数的底数.证明：（Ⅰ）()f x 在[2,2]-上单调增函数；（Ⅱ）当1a =时，函数()()5g x f x x =--有且只有两个零点.。