达朗贝尔原理(动静法)

解得
FT
mg
cos
1.96N
v
达朗贝尔原理(动静法)
FT l sin 2
m
2.1m s
§15-2 质点系的达朗贝尔原理Biblioteka Baidu
Fi FNi FIi 0
i 1,2,, n
记 Fi(e) 为作用于第i个质点上外力的合力.
F (i) i
为作用于第i个质点上内力的合力.
则有
Fie
α ω
达朗贝尔原理(动静法)
F* α F
ω FN
mg
解：设钢球的质量为m。钢球脱离壳壁的瞬时，
壳壁对钢球的约束力FN=0。
鼓室以匀角速度ω转动，钢球尚未脱离 壳壁时，其加速度为：
an
D 2
2,
因此惯性力的大小为
F* m D2 2
应用质点动静法
at 0
Fn 0, FN mg cos F* 0
§15-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
ma F FN
F FN ma 0
令 FI ma 惯性力
有
F FN
FI
0
在任意瞬时，质点的惯性力的大 小等于质点的 质量与其加速度的 乘积，方向与加速度的方向相反，
作用在使质点获得加速度的施力
质点的达朗贝尔原理:作物用体在上。质点的主动力、
约束力和虚加的惯性在形式上组成平衡力系。
心取此平面与转轴的交点,则
Jxz mi xizi 0, J yz mi yi zi 0
有 M IO M Iz J z
３ 刚体作平面运动 （平行于质量对称面）
M Ic JC
F ma 达朗贝尔原理(动静法)
IR
C
例15-4 质量为 m ，长 l 的匀质细直杆 AB ，其 A 端铰接在铅直 轴 Az 上，并以匀角速度ω 绕该轴转动。求当 AB 与转轴间的 夹角θ = 常量(图 a )时ω与θ的关系，以及铰链 A 的约束力。
同理 M Iy J yz J xz 2
M Iz
M F M F t z Ii
达朗贝尔原理(动静法n) z Ii
因
M z FIin 0, 有
M Iz M z FIti miri ri
miri2
J z M IO M Ixi M Iy j Mizk
如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直,简化中
达朗贝尔原理(动静法)
例15-3
球磨机是一种破碎机械，在鼓室中装进物料和钢球，如图所示。 当鼓室绕水平轴转动时，钢球被鼓室携带到一定高度，此后脱 离壳壁而沿抛物线轨迹落下，最后与物料碰撞以达到破碎的目 的。如已知鼓室的转速为n rpm，直径为D。设钢球与壳壁间 无滑动，试求最外层钢球的脱离角α 。
Fii FIi 0
M 0 Fie M 0 Fii
M 0 FIi 0
达朗贝尔原理(动静法)
因
Fii 0,
M0 Fii 0,
有
Fie
FIi
0
M0 Fie M0 FIi 0
质点系的达朗贝尔原理：质点系中每个质点上作用的 主动力，约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系. 另一表述 ：作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯
F* mg
设合力 F *的作用线与杆 AB 的交点是 D ，并以 b 代表 D 到A 的距离，则
达朗贝尔原理(动静法)
αF
ω FN
mg
求得
FN
mg(
D 2
2g
cos
)
这就是钢球在任一位置θ时所受的法向 动约束力，显然当钢球脱离壳壁时，FN=0， 由此可求出其脱离角α为
cos D2 Dπ2n2
2g 2900g
即脱离角α与鼓室转速n有关。
达朗贝尔原理(动静法)
§15-3 刚体惯性力系的简化
达朗贝尔原理(动静法)
例15-1 用达朗贝尔原理求解
已知: m 0.1kg, l 0.3m,
60
求:
v, FT .
O θ l
达朗贝尔原理(动静法)
解: 先分析小球的受力和加速度，如图
FIn
v2
m an mlsin
mg FT FI 0
Fb 0, FT cos mg 0
Fn 0, FT sin FIn 0
FIR
Fie
miai maC
１ 刚体平移
惯性力系向质心简化.
由
M IC
d dt
LC
0
只简化为一个力 FIR maC
2 刚体定轴转动
大小为:
Ft Ii
mi ait
mi ri
Fn Ii
mi ain
mi ri 2
MIx
M x FIi
Mx
Fi Ii
Mx
Fn Ii
性力在形式上组成平衡力系。
达朗贝尔原理(动静法)
例15-2 如图所示,定滑轮 的半径为r,质量为m均匀分
布在轮缘上,绕水平轴Ｏ转
动.垮过滑轮的无重绳的两 端挂有质量为m1和m2的重 物(m１>m2),绳与轮间不打 滑,轴承摩擦忽略不计,求 重物的加速度.
达朗贝尔原理(动静法)
r B
A
解: 以系统为研究对象，加速度和受力分析如图。
FAx
FAz
ξ
d
F* mg
(a)
(b)
达朗贝尔原理(动静法)
解：取杆 AB 作为研究对象。受力如图( b )。显然当θ不变时， 杆上各点只有向心加速度an ，方向都为水平并指向转轴；这 样，杆的惯性力是同向平行分布力，如图( b )所示。
沿杆 AB 取任一微小段 dξ 考虑，它的质量是mg dξ/ gl， 加速度是ω2ξsinθ。
m r cos z 达朗贝尔原理(动静法)
ii
ii
(miri 2 sin i zi )
由
cos
i
xi ri
,
sin i
yi ri
有 MI x m ix iz i2 m i y iz i
记 J yz m i y iz i, Jxz m i x iz i
为对于z 轴的惯性积.
M Ix J xz J yz 2
MO 0, m1g m1a m2g m2ar miar 0
由 miar mi ar mar
FI1 m1a, FI 2 m2a
FIti mir mia ,
FIin
mi
v2 r
解得 a m1 m2 g m1 m2 m
y FN
r
F1* mg
B A
a m2g
a m1g
F2*
FAx
FAz
ξ
d
因而惯性力的元素是
F* mg
dF* (m d )(2 sin )
l
(a)
(b)
达朗贝尔原理(动静法)
dF* (m d )(2 sin )
l
全杆惯性力合力的大小可用积分求出
FAx
FAz
ξ
d
F* dF* l m d 2 sin
(l)
0l
m l2 sin
(1)
2