命题的定义及四种命题(公开课)

看看下列语句是不是命题？
1) 今天天气如何？ 不是（疑问句）
2) 你是不是作业没交？ 不是（疑问句） 3) 这里景色多美啊！ 4) -2不是整数。 不是（感叹句） 是
5) 4>3。
6) x>4。
是
不是（开语句）
例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题， 指出它的真假。 (1) 空集是任何集合的子集. （是，真） (2)若整数a是素数,则a是奇数（是，假） . (3)指数函数是增函数吗?（不是命题）
(4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行.
（是，真）
2 ( 2) 2 (5)
（是，假）
(6)x>15. （不是命题）
练习
（ 2） x
2
判断下列语句是否是命题 .
2 x 1 0.
（1）求证 3 是无理数。
（3）你是高二学生吗？
（4）并非所有的人都喜欢苹果。
（5）一个正整数不是质数就是合数。 （6）若
若ab=0,则a=0
观察命题(1)与命题(3)的条件和结 1. 若f(x)是正弦函数，则 f(x)是周期函数； 论之间分别有什么关系？ q
p 3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x) 不是周期函数.
┐p ┐q
为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定 分别记作 “┐p” “┐q”。 互否命题 原命题:若p,则q 否命题:若┐p,则┐q
命题及其关系
1.1.1 命题
思考
下列语句的表述形式有什么特点?你能判断 它们的真假吗?
• • • • • •
（1） 12>5; （2） 3是12的约数; （3） 0.5是整数;
语句都是陈述句， 并且可以判断真假。
（4）对顶角相等;
（5）3 能被2整除; （6）若x2=1,则x=1.
命题的概念
一般地,在数学中,我们把用语言、符号 或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做 命题 判断为真的语句叫真命题。 判断为假的语句叫假命题。
(3)
原命题：奇函数的图像关于原点对称. 原命题：若一个函数是奇函数，则这个 真命题 函数的图象关于原点对称.
逆命题：若一个函数的图象关于原点对 称，则这个函数是奇函数. 真命题
否命题：若一个函数不是奇函数，则这 个函数的图象不关于原点对称. 真命题 逆否命题：若一个函数的图象不关于原点 对称，则这个函数不是奇函数. 真命题
┐q ┐p
互为逆否命题
原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若┐q, 则┐p
例如，原命题：同位角相等，两直线平行。 逆否命题：两直线不平行，同位角不相等。
逆否命题
如“若a=0,则ab=0”的逆否命题为: 若ab≠0,则a≠0.
原命题,逆命题,否命题,逆否命题 四种命题形式: • 原命题: 若 p, 则 q
• 逆命题: 若 q, 则 p ┐p, 则┐q 若 • 否命题: ┐q, 则┐p 若 • 逆否命题:
例 设原命题是“当c >0 时，若a >b ，则ac >bc ”，写出 它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：
解： 逆命题：当c >0 时，若ac >bc ，则a >b． 逆命题为真． 否命题：当c >0 时，若a ≤b ，则ac ≤ bc ． 否命题为真． 逆否命题：当c >0 时，若ac ≤ bc ，则a ≤b ． 逆否命题为真．
如何判断一个语句是不是命题？
1) 2) 3)
4)
7是23的约数吗? X>5. -2<a<3. 画线段AB=CD.
疑问句 开语句 祈使句
判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合 “是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件。 有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我 们无法确定这语句的真假，这样的语句叫开语句。
课堂小结
定义１：一般地，对于两个命题，如果
一个命题的条件和结论 分别是另一个命
题的结论和条件 ，那么我们把这样的两
个命题叫做 互逆命题 ．其中一个命题叫
做原命题，另一个命题叫做原命题的逆
命题．
课堂小结
定义２：一般地，对于两个命题，如果
一个命题的 条件和结论恰好是另一个命
题的条件的否定和结论的否定 ，那么我
解:a>0时，若x增加，则函数y=ax+b的值也 随之增加，它是真命题．
在本题中，a>0是大前提，应单独给出， 不能把大前提也放在命题的条件部分内．
2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式， 并判断它们的真假.
（1）等腰三角形两腰的中线相等；
（2）偶函数的图象关于y轴对称；
（3）垂直于同一个平面的两个平面平行。 (1)若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。 这是真命题。 (2)若函数是偶函数，则函数的图象关于y轴对称，这是真 命题。 (3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。 这是假命题。
q p
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。
即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p 例如，原命题：同位角相等，两直线平行。
逆命题：两直线平行，同位角相等。
例：命题“若a=0,则ab=0”的逆命题
(2) 原命题：若一个三角形有两条边相等，
则这个三角形有两个角相等；
真命题 逆命题：若一个三角形有两个角相等， 则这个三角形有两条边相等. 真命题 否命题：若一个三角形没有两条边相等， 则这个三角形没有两个角相等. 真命题 逆否命题：若一个三角形没有两个角相等， 则一个三角形没有两条边相等. 真命题
例2 指出下列命题中的条件p和结论q：
1) 若整数a能被2整除，则a是偶数； 2) 菱形的对角线互相垂直且平分。
பைடு நூலகம்
解：1) 条件p：整数a能被2整除， 结论q：整数a 是偶数。 2) 写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形， 则它的对角线互相垂直且平分。 条件p：四边形是菱形， 结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。
们把这样的两个命题叫做互否命题．其
中一个命题叫做原命题，另一个命题叫
做原命题的否命题．
课堂小结
定义３：一般地，对于两个命题，如果一个
命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论
的 否定 和条件的 否定 ，那么我们把这样的
两个命题叫做互为 逆否命题．其中一个命 题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆 否命题．
x R ，则 x 2 4 x 7 0.
（7）x+3>0. (1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题。
“若p则q”形式的命题
命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具 q 有“若p则q”的形式。 p
通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命
题的条件,q叫做命题的结论。
“若p则q”形式的命题是命题的一种形式
3. 把下列命题改写成“若p则q”的形 式,并判定真假。
(1) 负数的平方是正数. (2) 偶函数的图像关于y轴对称.
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行
(4) 面积相等的两个三角形全等. (5) 对顶角相等.
真命题 真命题 假命题 假命题 真命题
命题及其 关系
1.1.2 四种命题
下列四个命题中，命题(1)与命题 (2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么 关系？ 1. 若f(x)是正弦函数，则 f(x)是周期函数；
巩固练习 写出下列命题的逆命题，否命题和逆否 命题，并判断它们的真假 (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整 数能被5整除； (2)若一个三角形的两条边相等，则这个 三角形有两个角相等； (3)奇函数的图像关于原点对称.
(1)
原命题：若一个整数的末位数字是0， 则这个整数能被5整除； 真命题
逆命题：若一个整数能被5整除，则这 个数的末位数字是0. 假命题 否命题：若一个数的末位数字不是0 , 则这个整数不能被5整除. 假命题 逆否命题：若一个整数不能被5整除， 则这个数的末位数字不是0. 真命题
2. 3. 4.
若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
观察命题(1)与命题(2)的条件和结 1. 若f(x)是正弦函数，则 f(x)是周期函数； 论之间分别有什么关系？
2.
p是正弦函数； 若f(x)是周期函数，则f(x) q
（5） 对顶角相等 若两个角是对顶角，则这两个角相等。 真 （6） 能被2整除的整数是偶数 若一个整数能被2整除，则这个整数是偶数。 真 （7） 菱形的对角线互相垂直且平分 若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。 真
练习y=ax+b的值随x值 1、将命题“a>0时，函数 的增加而增加”改写成“p则q”的形式，并 判断命题的真假。
例3 把下列命题改写成“若p则q”的 形式,并判定真假。
（1）垂直于同一条直线的两个平面平行； 若两个平面垂直于同一直线，则这两个平面平行。真 （2）两个全等三角形的面积相等； 真 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。 （3） 3能被2整除 若一个数是3，则这个数能被2整除。 假 （4） 负数的立方是负数 若一个数是负数，则这个数的立方是负数。真
而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等形式。


对于一些条件与结论不明显的命题,一般 采取先添补一些命题中省略的词句, 确定 条件与结论。 如命题:“垂直于同一条直线的两个平面 平行”。 写成“若p则q”的形式为： 若两个平面垂直于同一条直线，则这 两个平面平行。
“若p则q”形式的命题的书写
例如，原命题：同位角相等，两直线平行。