湖南省株洲四中高二数学 四种命题及相互关系 导学案
高二数学专题四种命题及其相互关系学案
1.1。
2 四种命题及其相互关系(学案）一、知识梳理我们知道，能够判断真假的语句叫做命题．例如，(1）如果两个三角形全等,那么它们的面积相等;（2)如果两个三角形的面积相等,那么它们全等；(3）如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等；（4）如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.二、讲解新课：探究（一)：命题（2）、(3）、（4)与命题(1）有何关系？1．上面的四个命题都是形式的命题，可记为，其中p是命题的条件，q是命题的结论．2．在上面的例子中，命题（2）的分别是命题(1）的，我们称这两个命题为互逆命题．命题（3)的分别是命题（1）的,这两个命题称为互否命题．命题（4）的分别是命题（1)的，这两个命题称为互为逆否命题．3.逆命题、否命题和逆否命题的含义：一般地，设“若p则q”为原命题，那么就叫做原命题的逆命题；就叫做原命题的否命题；就叫做原命题的逆否命题．4.四种命题之间的关系：5。
四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。
二、典例解析题型一四种命题的概念例1。
命题“若a2〉b2，则a>b"的否命题是( )A．若a2〉b2，则a≤b B．若a2≤b2,则a≤bC．若a≤b，则a2〉b2D．若a≤b,则a2≤b2点评：写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p，则q"形式的命题,需先改写；（2）若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．跟踪训练1。
命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为( ）A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”D．“若x＝4,则x2＋3x－4＝0”题型二命题的真假判断例2.对于下列说法正确的是（)A.若()f x是单调函数f x是奇函数,则()B 。
命题“若220x x --=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则220x x --=” C 。
高二下册数学教案：《四种命题》
高二下册数学教案：《四种命题》高二年级下册数学教案一、教学目标1、在初中学过原命题、逆命题知识的基础上，初步理解四种命题。
2、给一个比较简单的命题（原命题），可以写出它的逆命题、否命题和逆否命题。
3、通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力4、初步培养学生反证法的数学思维。
二、教学分析重点：四种命题；难点：四种命题的关系1.本小节首先从初中数学的命题知识，给出四种命题的概念，接着，讲述四种命题的关系，最后，在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法。
2.教学时，要注意控制教学要求。
本小节的内容，只涉及比较简单的命题，不研究含有逻辑联结词"或'、"且'、"非'的命题的逆命题、否命题和逆否命题，3."若p则q'形式的命题，也是一种复合命题，并且，其中的p与q，可以是命题也可以是开语句，例如，命题"若，则x，y全为0'，其中的p与q，就是开语句。
对学生，只要求能分清命题"若p则q'中的条件与结论就可以了，不必考虑p与q是命题，还是开语句。
三、教学手段和方法（演示教学法和循序渐进导入法）1.以故事形式入题2多媒体演示四、教学过程（一）引入：一个生活中有趣的与命题有关的笑话:某人要请甲乙丙丁吃饭，时间到了，只有甲乙丙三人按时赴约。
丁却打电话说"有事不能参加'主人听了随口说了句"该来的没来'甲听了脸色一沉，一声不吭的走了，主人愣了一下又说了一句"哎，不该走的走了'乙听了大怒，拂袖即去。
主人这时还没意识到又顺口说了一句："俺说的又不是你'。
这时丙怒火中烧不辞而别。
四个客人没来的没来，来的又走了。
主人请客不成还得罪了三家。
大家肯定都觉得这个人不会说话，但是你想过这里面所蕴涵的数学思想吗?通过这节课的学习我们就能揭开它的庐山真面，学生的兴奋点被紧紧抓住，跃跃欲试！设计意图：创设情景，激发学生学习兴趣（二）复习提问：1.命题"同位角相等，两直线平行'的条件与结论各是什么?2.把"同位角相等，两直线平行'看作原命题，它的逆命题是什么?3.原命题真，逆命题一定真吗?"同位角相等，两直线平行'这个原命题真，逆命题也真.但"正方形的四条边相等'的原命题真，逆命题就不真，所以原命题真，逆命题不一定真.学生活动：口答：（l）若同位角相等，则两直线平行；（2）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.设计意图：通过复习旧知识，打下学习否命题、逆否命题的基础.（三）新课讲解：1.命题"同位角相等，两直线平行'的条件是"同位角相等'，结论是"两直线平行'；如果把"同位角相等，两直线平行'看作原命题，它的逆命题就是"两直线平行，同位角相等'。
四种命题间的相互关系导学案
1.1.3《四种命题间的相互关系》导学案班级 _______________【学习目标】A 级目标：掌握四种命题的内在联系；B 级目标：能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系，并能利用等价关系转化 【重点难点】重点：四种命题之间的相互关系即真假性之间的联系；难点：分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假.【学习过程】、课题引入 命题表述形式 原命题若P ，则q 逆命题否命题逆否命题二、自主探究 得出结论 1.四种命题间的相互关系 下列四个命题中，（1） （2） （3） （4）命题 命题 若 若 若 若 f （X ） f （X ） f （X ） f （X ） 是正弦函数，则f （X ）是周期函数; 是周期函数，贝y f （X ）是正弦函数; 不是正弦函数，则 不是周期函数，则 命题 命题 (1) (2) (2) (3) 与命题（2） （3） （4） 与（3）: 与（4）: 与（4）:归纳：原命题、逆命题、否命题和逆否命题之间的关系:f （X ）不是周期函数； f （X ）不是正弦函数； 之间的关系我们已经了解，那么任意两个命题间的关系是: 编写人：周志进审核：高二数学组时间：2013-01-08 组名: 姓名2.四种命题的真假关系(1)以“若X2-3X+2=0，则x=2 ”为原命题，写出它的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断这些命题的真假；并将结论填入下列表格。
(2)举例说明当原命题、逆命题的真假性满足下列表格要求，其否命题、逆否命题真假性是怎样的?结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系?三、合作交流，解决问题例1：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断他们的真假。
(1)若a,b都是偶数，则a +b是偶数;(2)若m >0，则方程X2+x —m =0有实数根。
四.突破疑难2 2例2：证明：若x +y =0,则x=y=0【当堂检测】1.把下列命题改写成“若p,则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题, 并判断它们的真假（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（2）矩形的对角线相等。
(最新整理)高二数学1.1命题及其关系(导学案)
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§1.1 命题及其关系（导学案）命题人：陈文钦班级姓名组别导入新知概念：（一）命题也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符.）是命题）空集是任何集合的子集；若整数是素数，则a小于或等于。
（二）四种命题及其关系思考：研究以下问题:（基础不错的同学可看书本上P6的思考）①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；②如果两个三角形的面积相等,那么它们全等；③如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；④如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等；命题②,③,④与命题①有何关系？一、自学质疑：上面四个命题都是“如果…,那么…”形式的命题，可记为“ ..。
， ..。
”，其中 是命题的条件， 是命题的 。
一般的，设“若则”为原命题,那么, 叫做原命题的逆命题； p q 叫做原命题的否命题； 叫做原命题的逆否命题.由此可得四种命题之间的关系可用下图表示,完成下图箭头关系的文字说明.二、例题讲解课本p7探究：以若，则为原命题，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，0232=+-x x 2=x 并判断这些命题的真假。
练习1.写出命题“若,则”的逆命题、否命题与逆否命题并判断真假。
0a =0ab =逆命题______________________________________________( ）否命题 （ ）逆否命题 （ ）反思：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？例2。
高二数学四种命题的相互关系
反馈练习
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. x=a 或_________, x=b 证明 假设_________
(x-a)(x-b)=0 x=a 由于____________ 时,_________________,
与 (x-a)(x-b)≠_______, (x-a)(x-b)=0 又_________
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 （真） （真） （假）
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立,
从而______________________. x ≠a且 x ≠b
例 1
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
A O
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。 原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真） （真） （真）
否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、 否命题、逆否命题，并分别指出其假。
四种命题的相互关系教案
四种命题的相互关系教案
一、教学目标
1.能够认识四种命题的概念；
2.能够掌握四种命题的相互关系；
3.能够掌握判断命题真假的技巧。
二、教学内容
本课的内容主要讲解四种命题的相互关系，具体包括：
1.说明真命题、假命题、可能真命题和可能假命题的概念；
2.讨论四种命题的相互关系，例如：真命题的充要条件，假命题的充要条件，可能真命题和可能假命题的充分条件，以及四种命题的定义；
3.教学如何通过实例进行判断命题真假，例如：当有充分条件时，可以判断出可能真命题，当有充要条件时，可以判断出可能假命题，以及当有必要条件时，可以判断出真命题或者假命题。
三、教学方法
1.讲解法：让学生充分认识四种命题的概念，以及它们之间的关联和互斥；
2.实际操作法：通过实例题目，让学生实际动起来，判断出这些命题的真假，并且归纳掌握问题解决的技巧；
3.讨论法：让学生以小组形式讨论，分享解题技巧，帮助每个人掌握不同的方法。
四、教学步骤
1.让学生先通过讲解，了解四种命题的概念，以及它们的差别；
2.给出实际的题目，让学生实际动起来，判断出它们的真假；
3.让学生讨论，分享。
高中数学《四种命题间的相互关系》教案
高中数学《四种命题间的相互关系》教案一、教学目标1. 了解四种命题（命题、肯定命题、否定命题、疑问命题）的定义及其相互关系。
2. 掌握使用逆否命题、转化命题、等价命题的方法，判断命题的真假并进行推理。
3. 能够通过推理得出含有复合命题的命题的真假。
二、教学重点1. 掌握四种命题的定义及其相互关系。
2. 掌握逆否命题、转化命题、等价命题的方法，判断命题的真假并进行推理。
三、教学难点1. 掌握含有复合命题的命题的真假推理方法。
2. 能够根据实际问题判断、转化、等价、逆否命题。
四、教学方法运用讲授、举例、实践等方法。
五、教学过程Step 1 引入新知教师将以下命题逐个呈现给学生：A：上学期数学我没有及格。
B：你不是数学系的学生。
C：你可以给我一些做题的建议吗？D：今天下雨了。
请学生分别判断这些命题的类型，并解释其判断依据。
Step 2 讲解四种命题的相互关系1. 命题：有明确意义的陈述语句，有真假之分。
2. 肯定命题：断言事件一定会发生的命题，其真假值为真。
3. 否定命题：断言事件一定不会发生的命题，其真假值为假。
4. 疑问命题：询问事件是否会发生的命题，无法判断其真假值。
5. 说明四种命题的关系：命题 +肯定命题否定命题疑问命题Step 3 运用逆否命题、转化命题、等价命题进行推理1. 逆否命题：在肯定命题的基础上，将主语和谓语都进行否定得到的命题。
例如：肯定命题“如果A成立，则B成立”的逆否命题是“如果B不成立，则A不成立”。
2. 转化命题：将两个命题的主语或谓语交换位置得到的命题，其真假值与原命题相同。
例如：命题“如果A成立，则B成立”转化为“如果B不成立，则A不成立”。
3. 等价命题：在不改变命题真假性的前提下，将一些命题组合成一个命题表示。
例如：命题“如果A成立，则B成立”和命题“如果B不成立，则A不成立”是等价命题。
Step 4 操练应用请学生以具体的实例来判断、转化、等价、逆否一些命题，提高学生的综合能力。
高中数学 四种命题间的相互关系主备人学案 新人教B版选修2-1
新人教B 版选修2-11．掌握四种命题的内在联系；.0a ≥，那么20x x a +-=有实根〞的逆命题的真假.〔1〕假设()f x 是正弦函数，那么()f x 是周期函数；〔2〕假设()f x 是周期函数，那么()f x 是正弦函数；〔3〕假设()f x 不是正弦函数，那么()f x 不是周期函数；〔4〕假设()f x 不是周期函数，那么()f x 不是正弦函数.〔1〕〔2〕互为 〔1〕〔3〕互为〔1〕〔4〕互为 〔2〕〔3〕互为通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：2、四种命题的真假性例1 以“假设2320x x -+=，那么2x =〞为原命题，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假并总结其规律性.〔1〕 .(2) .练习：判断以下命题的真假.(1)命题“在ABC ∆中，假设AB AC >，那么C B ∠>∠〞的逆命题；〔2〕命题“假设0ab ≠，那么0a ≠且0b ≠〞的否命题；〔3〕命题“假设0a ≠且0b ≠，那么0ab ≠〞的逆否命题；〔4〕命题“假设0a ≠且0b ≠，那么220a b +>〞的逆命题.反思：〔1〕直接判断〔2〕互为逆否命题的两个命题等价来判断. ※ 典型例题例1 证明:假设220x y +=，那么0x y ==.变式：判断命题“假设220x y +=，那么0x y ==〞是真命题还是假命题？ 练习：证明：假设222430a b a b -+--≠，那么1a b -≠.例 2 函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数,,a b R ∈,对于命题“假设0a b +≥，那么()()()()f a f b f a f b +≥-+-.〞(1) 写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论.(2) 写出其逆否命题,并证明你的结论.动手试试1.求证：假设一个三角形的两条边不等，这两条边所对的角也不相等.2.命题“如果22x a b ≥+，那么2x ab ≥〞的逆否命题是〔 〕A.如果22x a b <+，那么2x ab <B.如果2x ab ≥，那么22x a b ≥+ ，那么22x a b <+ D.如果22x a b ≥+，那么2x ab <自我评价 你完本钱节导学案的情况为〔 〕.很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差当堂检测〔时量：5分钟 总分值：10分〕计分：命题“假设0x >且0y >，那么0xy >〞的否命题是〔 〕.A.假设0,0x y ≤≤，那么0xy ≤B.假设0,0x y >>，那么0xy ≤C.假设,x y 至少有一个不大于0，那么0xy <D.假设,x y 至少有一个小于0，或等于0，那么0xy ≤2. 命题“正数a 的平方根不等于0”是命题“假设a 不是正数，那么它的平方根等于0”的〔 〕.A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.等价命题3. 〕.A. B.C. D.4. 假设1x >，那么21x >的逆命题是否命题是，那么221a b ≥-〞的否命题为1. ,a b是实数，假设20a b-≥，写出该命题的逆x ax b++≤有非空解集，那么240命题、否命题、逆否命题并判断其真假.2.证明：在四边形ABCD中，假设AB CD AC CD<.+<+，那么AB AC。
四种命题及其关系学案
§1.1.2四种命题及其关系高二数学备课组一、学习目标1．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．2．会根据原命题写出四种命题，学会发现问题、提出问题、分析问题、解决问题.二、教学重点与难点重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．难点：分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．三、学习过程1.尝试自学探究1四种命题下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．2.主干讲解四种命题的形式及关系：原命题：若p，则q逆命题：___________否命题：___________逆否命题：___________逆命题否命题 逆否命题3.巩固练习写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.（1） 若两条直线的同位角相等，则这两条直线平行.（ ）逆命题： （ ）否命题： （ ）逆否命题： （ ）（2） 若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除.（ ）逆命题： （ ）否命题： （ ）逆否命题： （ ）（3） 若x x -+=2320,则x =2.（ ）逆命题： （ ）否命题： （ ）逆否命题： （ ）⑷ 相似三角形面积相等. （ ）逆命题： （ ）否命题： （ ）逆否命题： （ ）探究2真假性关系根据以上例子，探究原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？（1）两个命题互为_________命题，它们有相同的真假性；原命题（2）两个命题为________命题或________命题，它们的真假性没有关系．4.例题讲解例1． 有下列四个命题：①若xy ＝1，则x 、y 互为倒数”的逆命题；②若A B =,则sin sin A B =”的否命题；③“若m >0，则方程x x m +-=20有实根”的逆否命题；④“若∪＝，则”的逆否命题，其中真命题是A B B A B ⊇ （）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④例2． 证明：若x y +=220，则x y ==0.5.小结这节课我们学到了什么？6.作业：课本P8 3自我评价1．原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是( )A ．原命题是真命题B ．逆命题是假命题C ．否命题是真命题D ．逆否命题是真命题2．命题“a 、b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题为（ ）A ．a ＋b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数B ．a ＋b 不是偶数，则a 、b 都不是偶数C ．a 、b 不都是偶数，则a ＋b 不是偶数D ．a 、b 都不是偶数，则a ＋b 不是偶数3．写出命题“01412=+->x mx m 时，无实根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．。
高中数学选修2《四种命题及其关系》导学案
教师教案模版:高二年级数学（选修2-1）导学案重点：会写四种命题并会判断命题的真假；四种命题之间的相互关系．难点：1.分清命题的条件、结论和判断命题的真假2.命题的否定与否命题的区别；写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；3.分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．教学过程任务1：四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.(2)互否命题：对于两个命题，如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题.(3)互为逆否命题：对于两个命题，如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题.【预习评价】“正数a的平方大于零”的逆否命题为________.答案若a的平方不大于零，则a不是正数任务2四种命题的真假性的判断原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真.原命题为真，它的逆否命题一定为真.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个命题的逆命题和否命题是等价命题.()(2)原命题、逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数可能为0，2或4.()1．思考、分析结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？通过此问，学生将发现：①原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②原命题为真，它的否命题不一定为真。
③原命题为真，它的逆否命题一定为真。
原命题为假时类似。
结合以上练习完成下列表格：原命题逆命题否命题逆否命题真真假真假真假假由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．由此会引起我们的思考：一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有。
1.1.2-3、四种命题及其相互关系导学案
1.1.2-3、四种命题及其相互关系导学案【课程标准】了解命题的逆命题、否命题与逆否命题【学习目标】1.理解四种命题的概念，了解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种命题；2.通过对四种命题相互关系的学习，培养学生逻辑推理能力；3.通过学生自编命题，互相交流的学习，培养学生探索创新、合作交流的学习精神。
【自主学习】一、复习回顾1.在数学中,我们把用 、 、或 表达的，可以 _________ 叫做命题.判断一个语句是不是命题的关键是：（1）、_____________________ （2）___________________2.命题的数学形式：“若p ，则q ”，命题中的p 叫做命题的 ，q 叫做命题的 .二、观察下面四个命题：思考：上面四个命题中，命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件和结论之间分别有什么关系？三、四种命题的概念（1）对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做 ， 另一个命题叫做_________(2) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的 .（3）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的 .命题形式：原命题为：“若p ，则q ”，逆命题为：“.__________,_____________”否命题为：“___________,_____________”逆否命题：“___________,_____________”四、四种命题间的相互关系是什么？()()f x f x (1)若是正弦函数,则是周期函数.()()f x f x (2)若是周期函数,则是正弦函数.()()f x f x (3)若不是正弦函数,则不是周期函数.()()f x f x (4)若不是周期函数,则不是正弦函数.[小试牛刀]例1、指出命题的条件和结论，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，判断它们的真假性。
高中数学同步学案 四种命题 四种命题间的相互关系教师用书
1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标核心素养1.了解命题的四种形式,能写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2．理解并掌握四种命题之间的关系及其真假性之间的关系．(易混点)3．能够利用命题的等价性解决有关问题．(难点) 借助命题的等价性解题培养数学抽象、逻辑推理素养.1．四种命题的概念及结构(1)四种命题的概念对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么把这样的两个命题叫做互逆命题,如果恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么把这样的两个命题叫做互否命题,如果恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题,把第一个叫做原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．(2)四种命题结构2．四种命题间的相互关系(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真 假 假 真 假 真 真 假 假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系： ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系． 思考：(1)“a＝b ＝c ＝0”的否定是什么？(2)在原命题、逆命题、否命题和逆否命题四个命题中,真命题的个数会是奇数吗？ [提示] (1)“a＝b ＝c ＝0”的否定是“a ,b,c 至少有一个不等于0”． (2)真命题的个数只能是0,2,4,不会是奇数．1．命题“若m ＝10,则m 2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题是( ) A ．原命题、否命题 B ．原命题、逆命题 C ．原命题、逆否命题D ．逆命题、否命题C [原命题正确,则逆否命题正确,逆命题不正确,从而否命题不正确．故选C ．] 2．给出以下命题：①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形； ②若一个四边形的对角互补,则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形的对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________．③和⑥,②和④ ①和⑥,②和⑤ ①和③,④和⑤ [互为逆命题有③和⑥,②和④；互为否命题有①和⑥,②和⑤；互为逆否命题有①和③,④和⑤.]3．已知命题p ：若x ＝π3,则cos x ＝12,则命题p 的逆命题为________；命题p 的否命题为________；命题p 的逆否命题为________．[答案] 若cos x ＝12,则x ＝π3 若x≠π3,则cos x≠12若cos x≠12,则x≠π3写出原命题的其他三种命题【例1】 写出下列各个命题的逆命题、否命题和逆否命题． (1)若sin α＝12,则tan α＝3；(2)若a ＋b 是偶数,则a,b 都是偶数； (3)等底等高的两个三角形是全等三角形； (4)当1<x<2时,x 2－3x ＋2<0； (5)若ab ＝0,则a ＝0或b ＝0.[解] (1)逆命题：若tan α＝3,则sin α＝12.否命题：若sin α≠12,则tan α≠ 3.逆否命题：若tan α≠3,则sin α≠12.(2)逆命题：若a,b 都是偶数,则a ＋b 是偶数． 否命题：若a ＋b 不是偶数,则a,b 不都是偶数． 逆否命题：若a,b 不都是偶数,则a ＋b 不是偶数． (3)逆命题：若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高． 否命题：若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等． 逆否命题：若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高． (4)逆命题：若x 2－3x ＋2<0,则1<x<2. 否命题：若x≤1或x≥2,则x 2－3x ＋2≥0. 逆否命题：若x 2－3x ＋2≥0,则x≤1或x≥2. (5)逆命题：若a ＝0或b ＝0,则ab ＝0. 否命题：若ab≠0,则a≠0且b≠0. 逆否命题：若a≠0且b≠0,则ab≠0.1．写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时,首先要找出命题的条件和结论,然后写出命题的条件的否定和结论的否定,再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时,为了使句子更通顺,可以适当地添加一些词语,但不能改变条件和结论． 2．写否命题时应注意一些否定词语,列表如下： 原词语 等于 (＝) 大于 (>) 小于 (<) 是 都是至多有 一个 否定 词语不等于 (≠)不大于 (≤)不小于 (≥)不是 不都是至少有 两个原词语 至少有 一个 至多有 n 个 任意的 任意两个 所有的 能否定 词语一个也 没有至少有 (n ＋1)个某一个 (确定的)某两个 某些 不能[跟进训练]1．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假． (1)正数a 的立方根不等于0；(2)在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线平行．[解] (1)原命题：若a 是正数,则a 的立方根不等于0,是真命题． 逆命题：若a 的立方根不等于0,则a 是正数,是假命题． 否命题：若a 不是正数,则a 的立方根等于0,是假命题． 逆否命题：若a 的立方根等于0,则a 不是正数,是真命题．(2)原命题：在同一平面内,若两条直线平行于同一条直线,则这两条直线平行,是真命题． 逆命题：在同一平面内,若两条直线平行,则这两条直线平行于同一条直线,是真命题． 否命题：在同一平面内,若两条直线不平行于同一条直线,则这两条直线不平行,是真命题． 逆否命题：在同一平面内,若两条直线不平行,则这两条直线不平行于同一条直线,真命题．四种命题的关系及真假判断【例2】 (1)对于原命题：“已知a,b,c∈R ,若a>b,则ac 2>bc 2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题,在这4个命题中,真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个(2)判断命题“若a≥0,则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． [思路点拨] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可． (2)思路一 写出原命题的逆否命题→判断其真假 思路二原命题与逆否命题同真同假即等价关系→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假(1)C [当c ＝0时,ac 2>bc 2不成立,故原命题是假命题,从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac 2>bc 2,则a>b”是真命题,从而否命题也是真命题,故选C ．](2)[解] 法一：原命题的逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根,则a<0. ∵x 2＋x －a ＝0无实根,∴Δ＝1＋4a<0,解得a<－14<0,∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a≥0,∴4a≥0,∴对于方程x 2＋x －a ＝0,根的判别式Δ＝1＋4a>0,∴方程x 2＋x －a ＝0有实根,故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价,∴原命题的逆否命题为真命题．判断命题真假的方法1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念,正确地写出所涉及的命题,判定为真的命题需要简单的证明,判定为假的命题要举出反例加以验证.2原命题与它的逆否命题同真同假,原命题的否命题与它的逆命题同真同假,故二者只判断一个即可.[跟进训练]2．判断下列四个命题的真假,并说明理由．(1)“若x＋y＝0,则x,y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y,则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3,则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．[解] (1)命题“若x＋y＝0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x＋y＝0”,则逆命题为真命题,因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性,所以“若x＋y＝0,则x,y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1,y＝－2,满足x>y,但x2<y2,所以“若x>y,则x2>y2”是假命题,因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性,所以“若x>y,则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3,则x2－x－6≤0”,令x＝4,满足x>3,但x2－x－6＝6>0,不满足x2－x －6≤0,则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题,如等边三角形的任意两个内角都相等,但它们不是对顶角．等价命题的应用1．命题“若x≠1,则x2－2x－3≠0”的等价命题是什么,其命题真假如何？提示：等价命题为“若x2－2x－3＝0,则x＝1”,其为假命题．2．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时,为了研究方便,我们可以研究哪一个命题？提示：一个命题与其逆否命题等价,我们可研究其逆否命题．【例3】证明：已知函数f(x)是(－∞,＋∞)上的增函数,a,b∈R,若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b),则a＋b≥0.[思路点拨]证明其逆否命题成立⇒原命题成立．[证明] 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞,＋∞)上的增函数,a,b∈R,若a＋b<0,则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0,则a<－b,b<－a.∵f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,∴f(a)<f(－b),f(b)<f(－a),∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．1．若一个命题的条件或结论含有否定词时,直接判断命题的真假较为困难,这时可以转化为判断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时,可尝试证明其逆否命题成立．[跟进训练]3．判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集,则a<2”的真假．[解] 原命题的逆否命题为“已知a,x为实数,若a≥2,则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．判断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上,根的判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7,因为a≥2,所以4a－7>0,即抛物线与x轴有交点,所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集,故原命题的逆否命题为真,从而原命题为真．1．写四种命题时,可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定¬p和结论q的否定¬q；(3)按照四种命题的结构写出所求命题．2．每一个命题都由条件和结论组成,要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断,这也是反证法的理论基础．1．判断正误(1)命题“若p,则q”的否命题为“若¬p,则¬q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题．( )(3)命题“若A∩B＝A,则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B,则A∩B≠A”．[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“若a>－3,则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 ( ) A．1 B．2C．3 D．4B[原命题是真命题,从而其逆否命题是真命题,其逆命题是“若a>－6,则a>－3”,是假命题,从而其否命题也是假命题,故真命题的个数是2.]3．命题“若m＞1,则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________．若mx2－2x＋1＝0有实根,则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题,由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根,则m≤1”．]4．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假．(1)若a>b,则ac2>bc2；(2)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中,若b2－4ac<0,则该函数的图象与x轴无交点．[解] (1)逆命题：若ac2>bc2,则a>b,真命题．否命题：若a≤b,则ac2≤bc2,真命题．逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b,假命题．(2)逆命题：在二次函数y＝ax2＋bx＋c中,若图象与x轴无交点,则b2－4ac<0,真命题．否命题：在二次函数y＝ax2＋bx＋c中,若b2－4ac≥0,则图象与x轴有交点,真命题．逆否命题：在二次函数y＝ax2＋bx＋c中,若图象与x轴有交点,则b2－4ac≥0,真命题．。
高中数学《四种命题间的相互关系》教案
高中数学《四种命题间的相互关系》教案
一、教学目标
【知识与技能】
掌握四种命题及其真假性之间的相互关系，并能用以证明一些简单问题。
【过程与方法】
在探究四种命题及其真假性之间相互关系的过程中，提升分析、推理的能力。
【情感、态度与价值观】
培养实事求是的科研精神，激发学习数学的热情与信心。
二、教学重难点
【重点】四种命题及其真假性之间的相互关系。
【难点】四种命题的真假性之间相互关系的探究过程。
三、教学过程
(一)导入新课
带领学生复习近期学习的命题相关内容，请学生自行举例命题，并分别写出其逆命题、否命题、逆否命题。
进一步追问：逆命题和否命题之间有什么关系?逆否命题和否命题呢?
引出课题——《四种命题间的相互关系》。
(二)讲解新知
1.四种命题间的相互关系
请学生对导入中的问题进行思考，教师总结学生回答并利用板书梳理总结四种命题间的相互关系。
2.四种命题真假性之间的关系
组织学生自行判断刚刚自己写出的各个命题的真假性。
教师提问：各个命题的真假性之间是否有关?
四、板书设计。
高中数学《四种命题 四种命题间的相互关系》导学案
1.1.2四种命题1．1.3四种命题间的相互关系1．四种命题的定义名称定义互逆命题□01对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中，一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的□02逆命题互否命题□03对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的□04否命题互为逆否命题□05对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的□06逆否命题2．四种命题的结构形式和关系3．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有□10相同的真假性．(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性□11没有关系．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有的命题没有逆命题．()(2)对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．()(3)原命题的否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)(教材改编P6T(3))命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数(2)若a＝0，则ab＝0的逆命题是_____________________________________．(3)若命题r的否命题为“若綈p，则q”，那么原命题r为________．(4)若a＝b，则|a|＝|b|的逆否命题是__________________________________．答案(1)B(2)若ab＝0，则a＝0(3)“若p，则綈q”(4)若|a|≠|b|，则a≠b解析(1)原命题的条件是f(x)是奇函数，结论是f(－x)是奇函数，同时否定条件和结论即得否命题为若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数.探究1写出一个命题的其他三种命题例1把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等；(4)在△ABC中，当AB＝AC时，∠B＝∠C.[解] (1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．(4)原命题：“在△ABC中，若AB＝AC，则∠B＝∠C”．逆命题：“在△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC”．否命题：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”．逆否命题：“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”．拓展提升写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题的条件和结论；(2)将命题写成“若p，则q”的形式；(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题．注意：如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．【跟踪训练1】写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：(1)若x>－2，则x＋3>0；(2)两条对角线相等的四边形是矩形．解(1)逆命题：若x＋3>0，则x>－2；否命题：若x≤－2，则x＋3≤0；逆否命题：若x＋3≤0，则x≤－2.(2)原命题可写为：若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．逆命题：若一个四边形是矩形，则其两条对角线相等；否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；逆否命题：若一个四边形不是矩形，则其两条对角线不相等．探究2四种命题的真假判断例2命题：已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．[解] 逆命题：已知a，b为实数，若a2－4b≥0，则x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0解集为空集，则a2－4b<0.逆否命题：已知a，b为实数，若a2－4b<0，则x2＋ax＋b≤0解集为空集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．[条件探究] 如果把例2中的“x2＋ax＋b≤0”改为“x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0”，试写出一个正确的原命题，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．解原命题：已知a为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥7，是真命题．4，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0逆命题：已知a为实数，若a≥74的解集非空，是真命题．否命题：已知a为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，则a<7，是真命题．4，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0逆否命题：已知a为实数，若a<74的解集为空集，是真命题．拓展提升命题真假的判断方法(1)由原命题写出其他三种命题，依次直接判断这四种命题的真假．(2)也可根据命题间的等价关系来判断命题的真假，注意：原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假．(3)四种命题中，真命题的个数只可能为0个、2个、4个．【跟踪训练2】判断下列命题的真假：(1)命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题；(2)“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题；(3)“矩形的对角线相等”的逆命题；(4)“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题．解(1)由A∩B＝B，知B⊆A，原命题为假命题，故逆否命题为假命题．(2)否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题．(3)逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．(4)否命题为“若xy≠0，则x，y都不为零”，是真命题．探究3等价命题的应用例3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．[解] 解法一：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断过程如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.若a<1，则4a－7<0.∴抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故逆否命题为真命题．解法二：先判断原命题的真假．∵a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，，从而a≥1成立．∴4a－7≥0，得a≥74∴原命题为真命题．又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真命题．拓展提升“正难则反”的处理原则(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．(2)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．【跟踪训练3】已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”，写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.它为真命题．可通过证明原命题为真命题来证明它，证明如下：∵a＋b≥0，则a≥－b，b≥－a.∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题．∴它的逆否命题为真命题．1.正确写一个命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，然后按照定义写出命题，但要注意命题中的量词与它的否定词语的正确转换.(2)对于不是“若p，则q”形式的命题，要写出其他三种命题，应先把它改写成“若p，则q”的形式，以分清原命题的条件与结论.(3)当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提始终不变.2.四种命题中真命题个数的探究因为原命题与逆否命题有相同的真假性，逆命题与否命题有相同的真假性，所以四种命题中真命题的个数一定为偶数，即真命题的个数只可能为0,2,4.可依据此结论，检验写出的逆命题、否命题、逆否命题是否正确.3.逆否证法互为逆否命题的两个命题同真同假，也称为等价命题，所以在直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接证明原命题为真命题.1．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是()A．若A∪B≠A，则A∩B≠BB．若A∩B＝B，则A∪B＝AC．若A∩B≠B，则A∪B≠AD．若A∪B≠A，则A∩B＝B答案A解析命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，故A正确．2．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题答案C解析显然原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题，若m2＝100，则m＝±10，所以逆命题是假命题，其否命题也是假命题．3.若命题A的否命题为B，命题A的逆否命题为C，则B与C的关系是() A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确答案A解析交换否命题的条件与结论就是逆否命题，符合互逆命题的定义．4．命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是________．答案若tanα≠1，则α≠π4解析交换原命题的条件和结论，同时进行否定可得逆否命题为“若tanα≠1，则α≠π4”．5．将命题“正偶数不是素数”改写为“若p，则q”的形式，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数．是假命题；逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数．是假命题；否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数．是假命题；逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数．是假命题．A级：基础巩固练一、选择题1．命题：“a，b都是奇数，则a＋b是偶数”的逆否命题是()A．若a，b都不是奇数，则a＋b是偶数B．若a＋b是奇数，则a，b都是偶数C．若a＋b不是偶数，则a，b都不是奇数D．若a＋b不是偶数，则a，b不都是奇数答案D解析∵a，b都是奇数的否定为：a，b不都是奇数；a＋b是偶数的否定为：a＋b不是偶数．∴逆否命题为：若a＋b不是偶数，则a，b不都是奇数．2．已知命题p：垂直于平面α内无数条直线的直线l垂直于平面α，q是p的否命题，下面结论正确的是( )A ．p 真，q 真B ．p 假，q 假C ．p 真，q 假D ．p 假，q 真答案 D解析 当平面α内的直线相互平行时，l 不一定垂直于平面α，故p 为假命题．易知p 的否命题q ：若直线l 不垂直于α内无数条直线，则l 不垂直于α，易知q 为真命题．3．有下列命题：①“正方形是菱形”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中假命题是( )A ．①②B ．②③④C ．①③④D ．①④ 答案 A解析 ①否命题为“不是正方形的四边形不是菱形”，为假命题；②否命题为“不全等的三角形不相似”，为假命题；③逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1”，∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ<0，即m >1， ∴其逆命题为真命题；④原命题为真，逆否命题也为真命题．4．下列有关命题的说法正确的是( )A ．“若x ＞1，则2x ＞1”的否命题为真命题B ．“若cos β＝1，则sin β＝0”的逆命题是真命题C ．“若平面向量a ，b 共线，则a ，b 方向相同”的逆否命题为假命题D ．命题“若x ＞1，则x ＞a ”的逆命题为真命题，则a ＞0答案 C解析 A 中，2x ≤1时，x ≤0，从而否命题“若x ≤1，则2x ≤1”为假命题，故A错误；B中，sinβ＝0时，cosβ＝±1，则逆命题为假命题，故B错误；D中，由已知条件得a的取值范围为[1，＋∞)，故D错误．5．原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是() A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假答案A解析由于a n＋a n＋12<a n⇔a n＋1<a n⇔{a n}为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.6.下列命题中，真命题是()A．命题“若a>b，则ac2>bc2”B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题答案D解析命题“若a>b，则ac2>bc2”是假命题；命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝b”是假命题；命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题为“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”是假命题；命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，其逆否命题与原命题等价，为真命题．二、填空题7．命题“若x2<2，则|x|<2”的逆否命题是________．答案“若|x|≥2，则x2≥2”解析命题“若x2<2，则|x|<2”的逆否命题是“若|x|≥2，则x2≥2”．8．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案4解析否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，是真命题(由A∪B＝B，知A⊆B，所以A∩B＝A)；由于逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题是真命题；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”是真命题(由A∩B＝A知A⊆B，所以A∪B＝B)，所以原命题是真命题．9．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．答案[1,2]解析由已知得，若1<x<2成立，则m－1<x<m＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 三、解答题10．若a ，b ，c ∈R ，写出命题“若ac <0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解 逆命题：若ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )有两个相异实根，则ac <0，为假命题；否命题：若ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )至多有一个实根，为假命题；逆否命题：若ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )至多有一个实根，则ac ≥0，为真命题．B 级：能力提升练a ，b ，c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大的，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 的年龄不是最小的，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a ，b ，c 的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．解 能确定．理由如下：显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑． ①由命题A 为真可知，当b 不是最大时，则a 是最小的，即若c 最大，则a 最小．所以c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“a 不是最小，则b 是最大”为真，所以b >a >c .总之由命题A 为真可知c >b >a 或b >a >c .②同理由命题B 为真可知a >c >b 或b >a >c .从而可知，b >a >c .所以三个人年龄的大小顺序为b 最大，a 次之，c 最小．。
高二数学选修1-1_《四种命题间的相互关系》导学案
1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标：进一步理解四种命题相互关系，理解用互为逆否命题的真假来证明命题，即反证法。
学习重点：四种命题真假关系学习难点：反证法的简单应用。
讲学过程：一、复习准备：写出它的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并分别判断它们的真假：1）若a>1,则a-1>0； 2) 若q<1,则方程 022=++q x x 有实根 逆命题： 逆命题：否命题： 否命题：逆否命题: 逆否命题:3) 若x 2-3x+2=0,则x=2； 4)若ab ，0≠则a 、b 中至少有一个为0。
逆命题： 逆命题：否命题： 否命题：逆否命题: 逆否命题:二、新课：1、四种命题的相互关系：结论一：原命题与它的逆否命题 ；结论二：两个命题为 命题或 命题，它们的真假性没有关系.2、四种命题的真假关系：原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互3、当堂检测---写出它的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并分别判断它们的真假：1）若a>-3,则a>-6 2）若(x-7)(x-3)=0,则x=33）若a b >，则a c b c +>+； 4)若x > y, 则x 2 > y 24、反证法概念求证：若x 2＋y 2＝0，则x 、y 同时为0.反证法步骤----5、跟踪练习---用反证法证明：1、证明：若222p q +=，则2p q +≤2、证明1,034222≠-≠--+-b a b a b a 则三、小结：掌握一些词语的否定,如。
人教新课标版数学高二选修2-1学案设计 之3四种命题、四种命题间的相互关系
1.1.2～1.1.3 四种命题、四种命题间的相互关系问题导学一、四种命题活动与探究1写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：(1)若x＞－2，则x＋3＞0；(2)两条对角线相等的四边形是矩形．迁移与应用1．写出命题“如果一个数列中各项都相等，那么这个数列是等差数列”的逆命题、否命题和逆否命题，并说明它们的真假．2．已知命题：“负数的平方是正数”，试写出其逆命题、否命题、逆否命题．1．给出一个命题写它的另外三个命题时，应先将命题整理成“若p，则q”的形式，然后根据定义写出另外三个命题．2．在写命题时，为了使句子更加通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．二、四种命题之间的关系活动与探究2下列命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．其中的真命题是__________．迁移与应用1．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a≥b，则a2≥b2”的逆否命题；③“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是()．A．0B．1C．2D．32．把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假．在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)结论条件原命题逆命题若q，则p(2)条件的否定结论的否定否命题若⌝p，则⌝q(3)结论的否定条件的否定逆否命题若⌝q，则⌝p预习交流1：提示：原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数．逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数．否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数．逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数．2．(2)逆否命题没有关系预习交流2：提示：(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1．真命题．否命题：若q＞1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根．真命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q＞1．真命题．(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0．真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0．真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0．真命题．(3)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1：思路分析：首先分清命题的条件和结论，再按照定义写出逆命题、否命题、逆否命题；对于(2)，则应先将命题改写为“若p，则q”的形式．解：(1)逆命题：若x＋3＞0，则x＞－2；否命题：若x≤－2，则x＋3≤0；逆否命题：若x＋3≤0，则x≤－2．(2)原命题可写为：若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．所以：逆命题：若一个四边形是矩形，则其两条对角线相等；否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；逆否命题：若一个四边形不是矩形，则其两条对角线不相等．迁移与应用：1．解：原命题是一个真命题．逆命题：如果一个数列是等差数列，那么这个数列中各项都相等．它是一个假命题．否命题：如果一个数列中各项不都相等，那么这个数列不是等差数列．它是一个假命题．逆否命题：如果一个数列不是等差数列，那么这个数列中各项不都相等．它是一个真命题．2．解：原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数．逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．活动与探究2：思路分析：先正确地写出对应的命题，再进行判断，或根据互为逆否命题同真或同假进行判断．①②③解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③．迁移与应用：1．B解析：①否命题是“若x＋y≠0，则x，y不互为相反数”．真命题．②原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．③否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”．假命题．④逆命题为“若两个角相等，则这两个角为对顶角”．假命题．2．解：原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0．逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，假命题．否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，假命题．逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2，真命题．当堂检测1．有下列四个命题，其中真命题是()．①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的否命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．A．①②B．②③C．①③D．③④答案：C2．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集不是∅”的逆命题、否命题、逆否命题中，对于真假性的判断正确的是()．A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真答案：D解析：原命题是真命题，所以逆否命题一定也为真命题．3．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()．A．1 B．2 C．3 D．4答案：B解析：原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“若a ＞－6，则a＞－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．4．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是()．A．若a·b≠0，则a不垂直于bB．若a⊥b，则a·b＝0C．若a不垂直于b，则a·b≠0D．若a·b≠0，则a⊥b答案：C5．给出以下命题：①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是__________．答案：①③解析：①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”．假命题．③∵Δ＝1＋4m，若m＞0，则Δ＞0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真命题．∴逆否命题也为真命题．。
湖南省株洲四中高二数学 3.2.1几个常用函数的导数 导学案
3.2几个常用函数的导数
学习目标：
（1）能根据导数定义,求几个常用函数的导数，并归纳出幂函数的求导公式。
（2）会利用导数的几何意义求曲线的切线方程。
一、导学
预习书本内容 81P -----82P ，并回答以下问题
1、如何根据导数的定义求函数的导数。
2、如何求曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程？
二、导练
3、根据导数的定义求下列函数的导数；
（1）C x f y ==)((C 为常数); (2) 3)(x x f y ==
4、已知函数1()f x x =
满足(1)1f '=-，求曲线1y x
=在点(1,1)处的切线方程。
三、导疑
5、完成第3题之后，你猜想：对任意幂函数αx y =,当Q ∈α时,都有')(αx =__________.
6、求曲线2x y =过点(2,3)的切线方程.
四、评价
7、已知函数1()f x x
=
，则(2)f '=________________
8、如果曲线30x y -=的切线与直线123y x =+平行，则切线方程是_________________.
9、求三次曲线3x y =过点(2, 8)的切线方程.。
高中数学新湘教版精品学案《命题的四种形式》8
命题的四种形式【学习目标】1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。
2．四种命题之间的相互关系。
3．理解一个命题的真假与其它三个命题真假间的关系。
4．用逻辑用语准确地表达数学内容。
【学习重难点】1．掌握四种命题之间的相互关系，理解互为逆否的命题同真同假的重要规律。
2．在命题的四种形式中，判断其中两个命题的关系。
【学习过程】（一）新知识学习：1．在数学中，我们把用、或表达的，可以的叫做命题。
其中的语句叫做真命题，的语句叫做假命题练习：下列语句中：（1）若直线//a b，则直线a和直线b无公共点；（2）247+=；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若21x=，则1x=；（5）两个全等三角形的面积相等；（6）3能被2整除。
其中真命题有，假命题有2．命题的数学形式：“若p，则q”，命题中的p叫做命题的，q叫做命题的。
交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题（二）达标检测1．下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？5．指出下列命题中的条件p 和结论q ：（1）等腰三角形两腰的中线相等；（2）偶函数的图像关于轴对称；（3）垂直于一个平面的两个平面平行。
解：（1）条件p ：结论q ：（2）条件p ：结论q ：（3）条件p ：结论q ：6．判断正误（1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真。
（2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。
7．如果一个命题的逆命题为假命题，则它的否命题（ ）A ．一定是假命题B ．不一定是假命题C ．一定是真命题D ．有可能是真命题8．判断命题“若不是有理数，则不是无理数”的真假，并说出你的理由。
关联题型：1则,0342证明：若22≠-≠--+-b a b a b a9．小组讨论：下列说法中正确的个数有（ ）（1）四种命题中真命题的个数一定是偶数（2）若一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题不一定是真命题（3）逆命题与否命题之间是互为逆否关系（4）若一个命题的逆否命题是假命题，则它的逆命题与否命题都是假命题A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个小结：判断一个语句是不是命题注意两点：（1）是否是陈述句；（2）是否可以判断真假。
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2、原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题之间有何关系？
3、请填写下表：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 假 真 假
假
假
二、导练：
1、把命题“末位数是零的整数能被5整除”改写为“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题。
2、写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若x y <，则x m y m +<+；
（2）若22
a b <，则a b <；
（3）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；
（4）偶函数的图象关于y 轴对称。
三、导疑：
1、从以上练习中，你能从中发现四种命题的真假性间有什么规律吗？
2、证明：若222430a b a b -+--≠，则1a b -≠
四、反馈：
1、有下列四个命题：
（1）“若0a b +=，则,a b 互为相反数”的逆命题； （2）“全等三角形的面积相等”的否命题；
（3）“若1k ≤，则220x x k ++=有实根”的逆否命题； （4）“不等边三角形的三个内角相等”逆命题。
2、判断下列命题的真假：
（1）命题“当1m <时，抛物线2
2y x x m =++与x 轴存在交点”的逆否命题； （2）若a b ≠且a b ≠-，则22a b ≠
3、教材8P 习题1.1A 组3、4。