高一扬州中学2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题
江苏省扬州中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题
2012-2013学年江苏省扬州中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分）1．（5分）一元二次不等式（x﹣1）（x﹣3）＜0的解集为{x|1＜x＜3}．2．（5分）已知数列1，，，，…的一个通项公式是a n=．，，，，，，，，，，=故答案为：3．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为第14项．＞4．（5分）在等比数列{a n}中，已知a3=2，a6=16，则公比q=2．得则5．（5分）cos174°cos156°﹣sin174°sin156°的值为．故答案为：6．（5分）（2013•大连一模）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为．cosC=故答案为：7．（5分）在△ABC中，若A=45°，a=，B=60°，则b=．，=得：=故答案为：8．（5分）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是等腰三角形．9．（5分）已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的同侧，则a的取值范围为（﹣∞，﹣7）∪（24，+∞）．10．（5分）已知等差数列{a n}中，a1+a13=10，则a3+a5+a7+a9+a11=25．11．（5分）设s n为等比数列{a n}的前n项和，若8a2+a5=0，则=﹣11．项和公式表示∴12．（5分）数列{a n}满足a n=（n∈N*），则等于．依题意，利用裂项法可求得（﹣（∴﹣）∴+）（﹣﹣﹣．故答案为：．本题考查裂项法求和，求得（﹣13．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f （x）＜c的解集为（m，m+8），则实数c的值为16．b=+ax+aa+ax++ax+∴a14．（5分）对于k∈N*，g（k）表示k的最大奇数因子，如：g（3）=3，g（20）=5，设S n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n），则S n=．+2故答案为：二．解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（1）已知：tanα=﹣，求的值；（2）已知α∈（0，），sin，sin（α+β）=，求cosα的值．，∴=，﹣=，，（，）﹣﹣（﹣×16．（14分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c．（Ⅰ）用余弦定理证明：当∠C为钝角时，a2+b2＜c2；（Ⅱ）当钝角△ABC的三边a，b，c是三个连续整数时，求△ABC外接圆的半径．，（13分）外接圆的半径17．（15分）（2010•长宁区二模）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0），若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）．（1）求a，b的值；（2）若函数f（x）在x∈[m，1]上的最小值为1，求实数m的值．）由条件得∵，∴18．（15分）如图所示，△ACD是边长为1的等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于点E．（1）求BD2的值；（2）求线段AE的长．=2+由正弦定理可得：19．（16分）（2007•福建）数列{a n}的前N项和为S n，a1=1，a n+1=2S n（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项a n；（II）求数列{na n}的前n项和T．∴=+﹣Tn=+﹣20．（16分）（2013•盐城一模）若数列{a n}是首项为6﹣12t，公差为6的等差数列；数列{b n}的前n项和为S n=3n﹣t．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{b n}是等比数列，试证明：对于任意的n（n∈N，n≥1），均存在正整数C n，使得b n+1=a，并求数列{c n}的前n项和T n；（3）设数列{d n}满足d n=a n•b n，且{d n}中不存在这样的项d t，使得“d k＜d k﹣1与d k＜d k+1”同时成立（其中k≥2，k∈N*），试求实数t的取值范围．=b）的结论，得＜2m∴，则=）的结论，得﹣＜＜，解之得，即，则当t=m，即++t=的取值范围是≤t=。
江苏省扬州中学2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题
2012-2013学年江苏省扬州中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）求值sin75°=．××故答案为：2．（5分）已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则实数a的取值是﹣1．平行得﹣=3．（5分）在△ABC中，若b2+c2﹣a2=bc，则A=60°．==，4．（5分）直线x﹣2y+1=0在两坐标轴上的截距之和为﹣．，令在两坐标轴上的截距之和为+，．5．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d=2．=6．（5分）若x+y=1，则x2+y2的最小值为．=）．故答案为：．7．（5分）若数列{a n}满a1=1，=，a8=．==，故答案为：．8．（5分）设实数x，y满足，则的最大值是．先画出不等式组所表示的平面区域，然后根据的最大值．，画出约束条件，如右图中阴影部分而的几，）时斜率最大，最大值为故答案为：本题主要考查了线性规划为载体考查9．（5分）（2012•海口模拟）设sin（+θ）=，则sin2θ=﹣．，+sin2=（，，+，故答案为﹣．10．（5分）光线从A（1，0）出发经y轴反射后到达x2+y2﹣6x﹣6y+17=0所走过的最短路程为4．的距离为．11．（5分）函y=2sinx+sin（﹣x）的最小值是﹣．（）化简为）﹣=2sinx+﹣sinx=sinx+sin．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若==，△ABC为等边三角形；③必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有两解．其中，结论正确的编号为①④（写出所有正确结论的编号）．由正弦定理条件知，13．（5分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，M是直线l：x=3上的动点，过点F（1，0）作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点P（m，n）．则m，n满足的关系式为m2+n2=3．14．（5分）已知等比数{a n}，a1=1，a4=8，在a n与a n+1两项之间依次插入2n﹣1个正整数，得到数列{b n}，即a1，1，a2，2，3，a3，4，5，6，7，a4，8，9，10，11，12，13，14，15，a5，…则数列{b n}的前2013项之和S2013=2007050（用数字作答）．=2=n++2002==2007二、解答题（本大题共6题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知二次函数y=f（x）图象的顶点是（﹣1，3），又f（0）=4，一次函数y=g （x）的图象过（﹣2，0）和（0，2）．（1）求函数y=f（x）和函数y=g（x）的解析式；（2）求关于x的不等式f（x）＞3g（x）的解集．16．（14分）已知cosβ=﹣，sin（α+β）=，α∈（0，），β∈（，π）．（1）求cos2β的值；（2）求sinα的值．﹣；，，=，（，），∴﹣=（﹣+×=17．（15分）若等比数列{a n}的前n项和S n=a﹣．（1）求实数a的值；（2）求数列{na n}的前n项和R n．．==a，解=+++﹣﹣=a，解得=++=1++，②﹣18．（15分）如图，某海域内的岛屿上有一直立信号塔AB，设AB延长线与海平面交于点O．测量船在点O的正东方向点C处，测得塔顶A的仰角为30°，然后测量船沿CO方向航行至D处，当CD=100（﹣1）米时，测得塔顶A的仰角为45°．（1）求信号塔顶A到海平面的距离AO；（2）已知AB=52米，测量船在沿CO方向航行的过程中，设DO=x，则当x为何值时，使得在点D处观测信号塔AB的视角∠ADB最大．，===，得AD=100，，=ADB=≤=即x=40DO=40时，19．（16分）已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线x﹣y+2=0相切．（1）求圆O的方程；（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程；（3）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O 于B，C两点，且k1k2=﹣2，试证明直线BC恒过一个定点，并求出该定点坐标．=0d==2=r，符合题意；=k﹣，y与圆方程联立得：，=，，，用代替（）=（）=x+）定点（﹣20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*都有S n=（）2成立．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）记数列b n=a n+λ，n∈N*，λ∈R，其前n项和为T n．①若数列{T n}的最小值为T6，求实数λ的取值范围；②若数列{b n}中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．试问：是否存在这样的“封闭数列”{b n}，使得对任意n∈N*，都有T n≠0，且＜+++L+＜．若存在，求实数λ的所有取值；若不存在，请说明理由．）利用＜+++．，化为，即＞，因为（得：，，得到，化为=法二：由时，，，即}∴，得到，∴＜+++．，化为，即＞，因为＜++＜．数列掌握。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试题高一数学 2024.11试卷满分:150分，考试时间:120分钟注意事项:1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(用2B 铅笔填涂)，非选择题一律在答题卡上作答（用0.5mm 黑色签字笔作答），在试卷上答题无效。
3.考试结束后，请将答题卡交监考人员。
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的。
1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 或2. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D.43.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）A. B. C. D. 4．函数的值域为（ ）A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为，则函数）A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）{|02}A x x =<<{|14}B x x =<<A B = {|02}x x <<{|24}x x <<{|04}x x <<{2|x x <4}x >a {}260A x x x =+-=∣{20}B x ax =-=∣B A ⊆a ()f x 0x ≥()2f x x x =+0x <()f x =2x x +2x x -2x x --2x x -+x x y 211-++=(]2，∞-()2，∞-()20，[)∞+，2(2)f x +(3,4)-()g x =(1,6)(1,2)(1,6)-(1,4)20ax bx c ++>{}12x x -<<()()2112a x b x c ax ++-+>A. B. 或C. 或 D. 7.命题在单调增函数，命题在上为增函数，则命题是命题的（ ）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8. 已知,则的最大值为（ ）A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。
江苏省扬州市2024年高一下学期6月期末数学试题(解析版)
2023—2024学年高一第二学期期末检测数学2024.06一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1. 设复数z 满足i 1i z −=+，则i z =（ ）A 2i + B. 2i −C. i −D. i【答案】B 【解析】【分析】根据复数的四则运算法则计算可得结果. 【详解】由i 1i z −=+可得12z i =+，所以()2212i i 12i i 2i i 22i i i i 1z +++====−+=−−. 故选：B2. 方程2ln 50x x +−=的解所在区间为（ ） A. ()4,5 B. ()3,4C. ()2,3D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在性定理分析判断即可.【详解】令()2ln 5f x x x =+−，()f x 在(0,)+∞上连续，且单调递增，对于A ，因为(4)8ln453ln 40f =+−=+>，(5)10ln555ln 50f =+−=+>， 所以()f x 的零点不在()4,5内，所以A 错误，对于B ，因为(4)0f >，(3)6ln351ln 30f =+−=+>， 所以()f x 的零点不在()3,4内，所以B 错误，对于C ，因为(3)0f >，(2)4ln25ln 210f =+−=−<，所以()f x 的零点在()2,3内，所以方程2ln 50x x +−=的解所在区间为()2,3，所以C 正确，.对于D ，因为(2)0f <，(1)2ln1530f =+−=−<， 所以()f x 的零点不在()1,2内，所以D 错误， 故选：C3. 数据63,65,70,73,76,78,80,84,88,90的45百分位数为（ ） A. 73 B. 76C. 77D. 78【答案】B 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】因为1045% 4.5×=，所以这10个数的45百分位数为第5个数76. 故选：B4. 已知平面向量()()1,0,1,2a b ==−，则a 在b上的投影向量为（ ）A. 12,55 −B. 12,55−C.D. 【答案】A 【解析】.【详解】由()()1,0,1,2a b ==−可得11021a b ⋅=−×+×=−；b ==根据投影向量的定义可得a 在b 上的投影向量为112,555b b b b ba ==−=− ⋅.故选：A5. 如图，为了测量河对岸,A B 两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点,,C D E .从D 点测得67.5ADC ∠= ，从C 点测得45,75ACD BCE ∠=∠=，从E 点测得60BEC ∠=.若测得DCCE =（单位：百米），则,A B 两点的距离为（ ）百米.A.B.C.D. 3【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解. 【详解】在ACD 中，67.5ADC ∠= ，45ACD ∠= ， 则18067.54567.5DAC ∠=−−=，AC DC ==在BCE 中，75BCE ∠= ，60BEC ∠=，CE =， 则180756045EBC ∠=−−= ，sin sin CE BCEBC BEC=∠∠，sin sin CE BEC BC EBC ∠∴==∠ ， 在ABC中，ACBC =，18060ACB ACD BCE ∠=−∠−∠= ，则2222?·cos 9AB AC BC AC BC ACB =+−∠=，3AB ∴=.故选：D .6. 在正方体1111ABCD A B C D −中，,,,E F G H 分别是棱111,,,AA AB BC C D 的中点，下列结论正确的是（ ）. A. EF 1GD B. 1D E FG ⊥C. FG ⊥平面11BB D DD. 平面1D EF 平面1GHC【答案】C 【解析】【详解】对于A ，连接111,,,EF D G A B D C ，如下图所示：因为,E F 分别是棱1,AA AB 的中点，所以1EF A B ∥，由正方体性质可得11A B D C ∥，因此可得1EF D C ∥，而11,D C GD 相交， 所以EF 1GD 错误，即A 错误；对于B ，取1DD 的中点M ，连接,,AM CM AC ，如下图所示：易知1AM D E ，FG AC ，所以MAC ∠即为异面直线1D E 与FG 所成的角（或其补角）；不妨设正方体的棱长为2，则AM MC ==AC =显然222AM AC MC +≠，可知MAC ∠不是直角，所以1D E 与FG 不垂直，即B 错误； 对于C ，连接11,,AC BD B D ，如下图所示：由正方体性质可得1BB ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥； 因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，又1BB BD B ∩=，1,BB BD ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D ,又因为,F G 分别是棱,AB BC 的中点，所以FG AC 可得FG ⊥平面11BB D D ，即C 正确； 对于D ，如下图所示：易知1D ∈平面1D EF ，且111D D C ∈，而11D C ⊂平面1GHC ，所以1D ∈平面1GHC ； 因此可得平面1D EF 与平面1GHC 有公共点1D ，可知两平面必有一条过1D 的共公交线； 因此平面1D EF 平面1GHC 是错误的，即D 错误. 故选：C7. 如图，在ABC 中，,D E 是BC 上的两个三等分点，12,9,60AB AC BAC ∠=== ，则AD AE ⋅的值为（ ）A. 50B. 80C. 86D. 110【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用平向量基本定理将,AD AE 用,AB AC表示出来，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为在ABC 中，,D E 是BC 上的两个三等分点，12,9,60AB AC BAC ∠=== ，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+，2212()3333AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ，所以21123333AD A C B A AEA AC B⋅=+⋅+ 2224129999AB AB AC AB AC AC =+⋅+⋅+2512144129819929=×+×××+× 32301880=++=.故选：B8. 已知ππcos cos sin cos 36αααα+=−，则πtan 24α+值（ ）A.B.C. 2D. 2+【答案】D 【解析】【分析】先对ππcos cos sin cos 36αααα+=−利用诱导公式与两角和的余弦公式化简可得π2π,Z 6k k α=+∈，代入πtan 24α+ 中利用两角和的正切公式化简计算即可.【详解】因为ππcos cos sin cos 36αααα+=−， 所以πππππcos cos sin cos sin sin sin sin 36263αααααααα +=−=−−=+，所以ππcos cos sin sin 033αααα+−+=， 所以πcos(2)03α+=，所以ππ2π,Z 32k k α+=+∈， 所以π2π,Z 6k k α=+∈， 所以πππtan 2tan π(Z)446k k α +=++∈ππtan 46 +的ππtantan 46ππ1tan tan46+=−=2=故选：D二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9. 在ABC 中，角A B C ､､所对的边为a b c ､､，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ）A. 4,5,6a b c === B. 30,45,5A B c ===C. 2,45ab A == D. 3,2,60a b C ===【答案】ABD 【解析】【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C ，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解.【详解】对于A ，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A 正确；对于B ，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B 正确；对于C2sin B=可得，sin B =b a >，则B A >,因sin B=>B 有两解，故C 错误； 对于D ，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D 正确. 故选：ABD.10. 连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上的点数小于3”记为事件A ，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件B ，“两次拋掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件C ，则下列叙述中正确的有（ ） A. A 与B 互斥 B. A 与C 相互独立 C. B 与C 对立 D. ()23P A B +=【答案】BD 【解析】【分析】AC 选项，列举出事件A ，B 和事件C 中的基本事件，得到A B ∩≠∅，B C ∩≠∅，判断出AC错误；B 选项，利用()()()P AC P A P C =作出判断；D 选项，列举出事件A B +中的基本事件，求出概率. 【详解】A 选项，事件A 中的基本事件有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6事件B 中的基本事件有()()()()()()1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,2，()()()()()()1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,4，()()()()()()1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6，故A B ∩≠∅，事件A 和事件B 不互斥，A 错误；B 选项，连续抛掷两次骰子，共有36种情况，其中事件A 中的基本事件数为12，故()121363P A ==， 事件C 中的基本事件有()()()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5,3,2,3,4,3,6,4,1,4,3,4,5，()()()()()()5,2,5,4,5,6,6,1,6,3,6,5，共18种情况，故()181362P C ==， 事件AC 中的基本事件有()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5，共9种情况，故()61366P AC ==， 由于()()()P AC P A P C =，故A 与C 相互独立，B 正确；C 选项，由AB 选项知，B C ∩≠∅，事件B 与事件C 不互斥，故不对立，C 错误；D 选项，事件A B +中的基本事件有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，()()()()3,2,4,2,5,2,6,2， ()()()()3,4,4,4,5,4,6,4，()()()()3,6,4,6,5,6,6,6，共24种情况，故()242363P A B +==，D 正确. 故选：BD11. 如图，正方形ABCD 的中心为O ，边长为4，将其沿对角线AC 折成直二面角D AC B ′−−，设M 为AD ′的中点，N 为BC 的中点，则下列结论正确的有（ ）A. 三棱锥D ABC ′−的外接球表面积为32πB. 直线MN 与平面ABC 所成角的正切值为12 C. 点C 到平面OMND. 三角形MON 沿直线MNπ 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A B ，可利用几何法快速解决；对于C ，可利用等体积法；对于D ，旋转体为两个底面重合的圆锥构成的组合体.【详解】对于A ，由于OAOC OB OD ′===，所以O 为三棱锥D ABC ′−的球心，表面积为2432ππ=，A 正确；对于B ，过M 作MH ⊥AC 于H ，则MH ⊥平面ABC ，所以∠MNH 即为直线MN 与平面ABC 所成的角；易知MH，NH，所以tan MNH ∠B 错误；对于C ，由M ONC C MON V V −−=，所以11233OMN h S =⋅，又MN =的1cos 2MON ∠=−，sin MON ∠，所以1222OMN S =××= C 到平面OMN 的距离h=，C 正确;对于D ，过O 作OT ⊥MN 于T ，则旋转体体积是以OT 为底面半径，以TM 为高的圆锥的体积的两倍，所以123V π=×，D 正确；故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查立体几何的综合问题，解决本题中的问题涉及的思路主要有： (1)利用球的定义找球心，并求球的体积； (2)运用几何法求线面角的大小； (3)利用等体积法求三棱锥的高； (4)掌握常见的几何体的体积公式.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知一个正四棱台的体积为3152cm ，上､下底面边长分别为4cm 6cm ､，则棱台的高为__________cm .【答案】6 【解析】【分析】根据棱台的体积公式计算即可.【详解】设棱台高为h ，由棱台的体积公式知(163V h S Sh =++′⇒，其中S S ′、分别为上下底面面积. 故答案为：613. 若复数z 满足2i 1z −=，则z 的最小值是__________. 【答案】1 【解析】【分析】利用复数的模的几何意义，理解等式表示的动点轨迹图形为圆形，由图易得动点到原点的距离最小值即得.【详解】如图，设复数z 对应的点为Z ,则由2i 1z −=可知点Z 到点(0,2)A 的距离为1， 即点Z 的轨迹为以点(0,2)A 为圆心，以1为半径的圆，而z 则表示动点Z 到原点的距离，由图可知，圆上与原点距离最小的点为1(0,1)Z ,故z 的最小值是1. 故答案为：1.14. 已知ABC 的面积为S)2AB AC S ⋅=，则A ∠=__________.；若2B C ∠=∠，延长CB 至点D ，使得BD AC =，则tan ADC ∠=__________. 【答案】 ①. π3 ②. 【解析】【分析】化简2SAC =⋅即可求得A ∠，结合A ∠的度数以及2B C ∠=∠即可求得4π2π99BC ∠=∠=，，通过设AB x =即可用x 表示出各边长度，结合三角恒等变换化简即可求得tan ADC ∠的值；【详解】由题得12sin cos 2bc A bc A ×，tan A ∴， 因为0πA <<，所以π3A = ； 由π,23ABC ∠=∠=∠可得4π2π99B C ∠=∠=，， 设AB x =，由正弦定理可知sin sin AC AB BC=，所以4πsin92πsin9AC x BD ==， 如图所示：过A 作AE BC ⊥，交BC 的于E 点，4πsin2π4π9sin sin sin 2π99sin 9AE AC C xx ==×=， 4πcos cos 9BE AB ABC x =∠=，所以4πsin4π9cos 2π9sin 9DE BD BE AC BE x x =+=+=+在Rt ADE 中可算得4π4π4πsinsinsin999tan 4π2π4π5π5ππsin 2cos cos 2sin cos 4π99918186cos 2π9sin 9x AE ADC DE x x ∠====++++ ， 故答案为：π3四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知()()0,1,1,2a b ==−.设()2,AB a b BC a b λλ=+=+∈R. （1）若,,A B C 三点共线，求λ值； （2）若AB BC ⊥，求λ的值. 【答案】（1）12λ=（2）125λ=−. 的【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示计算可得12λ=； （2）根据向量垂直的坐标表示可求得125λ=−. 【小问1详解】因为()()()20,121,22,5AB a b =+=+−=−， ()()()0,1,21,2BC a b λλλ=+=+−=−+，又因为,,A B C 三点共线，所以ABBC，则()2215λ−×+=−×， 解得12λ=. 【小问2详解】由AB BC ⊥，可得0AB BC ⋅=，即()()()12520λ−−++=解得125λ=−. 16. 某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示：年龄 [)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,70保费（单位：元）x2x3x5x7x（1）若采用分层抽样的方法，从年龄段在[)30,40和[)40,50内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在[)30,40内的概率. （2）由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段[)50,60的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？ 【答案】（1）815（2）250元. 【解析】【分析】（1）先由概率和为1求出a 的值，再利用分层随机抽样的概念确定在[)30,40和在[)40,50内的抽取人数，结合古典概型知识即可求得答案.（2）求出保险公司每年收取的保费为100004x ×，所以要使公司不亏本，则1000042000000x ×≥，解不等式即可求得答案. 【小问1详解】由()0.0070.0160.0250.02101a ++++×=得0.032a =， 设“抽取2人中恰好有1人年龄段在[)30,40内”为事件M .由题设可知，年龄在[)30,40和[)40,50内的频率分别为0.16和0.32，则抽取的6人中，年龄在[)30,40内的有2人，年龄在[)40,50内的有4人.记年龄在[)30,40内2位参保人员为,a b ，年龄在[)40,50的4位参保人员为,,,A B C D ，则从6人中任取2人，样本空间()()()()()()()()()Ω{,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a A a B a C a D b A b B b C b D =，()()()()()(),,,,,,,,,,,}A B A C A D B C B D C D 共包含15个样本点，()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,M a A a B a C a D b A b B b C b D =共包含8个样本点，所以()815P M =. 【小问2详解】保险公司每年收取的保费为：()100000.070.1620.3230.2550.27100004x x x x x x +×+×+×+×=×，所以要使公司不亏本，则1000042000000x ×≥，即4200x ≥，解得50x ≥，所以年龄段[)50,60需要缴纳的保费至少为250元.17. 已知函数()2ππsin 2sin 22cos 233f x x x x=++−+−. （1）当π0,2x∈时，求函数()f x 的值域；（2）求函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和.【答案】（1）1 −− ；（2）9π2. 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得()π214f x x=+−，再根据正弦函数单调性可得其值域；（2）求出函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点即可得结果. 【小问1详解】易知()2ππsin 2sin 22cos 233f x x x x =++−+−ππππsin2coscos2sin sin2cos cos2sin cos213333x x x x x =++−+−sin2cos2121x x x+−=−因为π0,2∈x ，所以ππ5π2,444x+∈ ，由正弦函数单调性可得πsin 24x+∈，则()f x 的值域为1 −【小问2详解】因为[]0,2πx ∈，所以ππ17π2,444x +∈，由()0f x =得πsin 24x+所以ππ3π9π11π17π2,,,,444444x +=，解得π5π0,,π,,2π44x =，所以函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和为π5π9π0π2π442++++=. 18. 如图，在斜三棱柱111ABC A B C 中，侧面11ABB A 为菱形，1160,22A AB AB A CBC ∠==== ，90,ACB M ∠= 为AB 中点，1AC 与1AC 的交点为N .（1）求证：MN //平面11BCC B ； （2）求证：1A M ⊥平面ABC ； （3）求二面角1B AA C −−的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3【解析】分析】（1）利用线线平行推得线面平行即得；（2）由等边三角形1AA B 证1A M AB ⊥，再由勾股定理逆定理证1A M MC ⊥，由线线垂直推导线面垂直即得；（3）作CH AB ⊥，证CH ⊥平面1A AB ，作1HK AA ⊥，证1AA CK ⊥，得HKC ∠为二面角1B AA C −−的平面角，由题设求得,CH HK 即得.【小问1详解】【如图（1），连接1BC .由三棱柱111ABC A B C 可知侧面11AAC C 为平行四边形，所以N 为1AC 中点； 又因为M 为AB 中点，所以MN //1BC ，又MN ⊄平面111,BB C C BC ⊂平面11BB C C ，所以MN //平面11BB C C ； 【小问2详解】如图（2），连接1,MC A B .由菱形11ABB A 可知12A AAB ==，因为160A AB ∠= ，可得1AA B 为等边三角形；因M 是AB 中点，则1A M AB ⊥，且1A M =；由90ACB ∠= 可得，112MC AB ==； 因为12AC =，则有22211A M MC AC +=，即1A M MC ⊥， 又,MC ABM MC ∩=⊂平面,ABC AB 平面ABC ，故1A M ⊥平面ABC ； 【小问3详解】由（2）可知1A M ⊥平面ABC ，因为1A M ⊂平面1A AB ，所以平面1A AB ⊥平面ABC ； 如图（3），过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ，过H 作1HK AA ⊥，垂足为K ，连接CK . 因为CH ⊂平面,ABC 平面1A AB 平面ABC AB =，所以CH ⊥平面1A AB ，因为1AA ⊂平面1,A AB HK ⊂平面1A AB ，所以1,CH AA CH HK ⊥⊥；因为1,,HK AA HK CHH CH ⊥∩=⊂平面,CHK HK ⊂平面CHK ，所以1AA ⊥平面CHK ， 又CK ⊂平面CHK ，所以1AA CK ⊥，所以HKC ∠为二面角1B AA C −−的平面角.在Rt ABC △中，90,2,1ACB AB BC ∠=== ，可得32CHAH =，在Rt AHK 中，1,60HK AA HAK ⊥∠=，可得sin HK AH HAK ∠==， 在Rt CHK △中，CH HK ⊥，可得2tan 3CH HKCHK ∠==，因为π0,2HKC∠∈，所以sin HKC ∠=，即二面角1B AA C −−. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和应用，以及运用几何法求解二面角，属于较难题. 解题关键在于深刻把握线面垂直的判定定理，执果索因，寻找线线垂直条件；求二面角的关键在于找到一个平面中的一点在另一个平面的射影，为作出平面角奠定基础.19. 如图所示，已知ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，在ABD △中，6,3AD BD ==，2DE EB =.（1）若135ADB ∠= ，求ABC 的面积； （2）①求26cos AB AB ABD ∠−⋅的值； ②求2CE 的最大值.【答案】（1）454+（2）①27；②412+. 【解析】【分析】(1)利用余弦定理求解边长，再利用等腰三角形的性质求解面积即可; (2)①利用余弦定理求解即可；②在ABD △中，由正弦定理可得BC AB=，在BCE 中，由余弦定理得()2412CE θϕ−+，结合三角函数求解最值即可. 【小问1详解】在ABD △中，由余弦定理得，2369263cos13545AB =+−××=+ ，且ABC 是等腰直角三角形，则22111452244ABC S AC CB AC AB =⋅===+【小问2详解】 ①设,0πADB ∠θθ=<<，因为6,3AD BD ==，由余弦定理可得，2222936cos 26AB BD AD AB ABD AB BD AB∠+−+−==⋅， 227cos 6AB AB ABD ∠−∴=，即26cos 27AB ABD ∠−⋅=； ②在ABD △中，2222cos 4536cos AB AD BD AD BD ADB ∠θ=+−⋅⋅=−， 由正弦定理可得sin sin AD ABABD ∠θ=，则sin sin 6sin AB ABD AD ∠θθ==，2,1DE EB EB =∴=，又BC AB =， 在BCE 中，由余弦定理得()2222cos 45CEBC BE BC BE ABD =+−⋅⋅+∠)221121cos sin 2AB AB ABD ABD +−⋅∠−∠ ()22211271cos sin 16sin 226AB AB AB ABD AB ABD AB θ −+−∠−∠=+−−2111416sin 6sin 12cos 322AB θθθ=++=−+ ()412θϕ−+（其中ϕ为锐角，且tan 2ϕ=）， 由0πθ<<可得πϕθϕϕ−<−<−，所以当π2θϕ−=时，即π2θϕ=+时，2CE 取得最大值412+.。
江苏省扬州中学2012-2013学年高一3月月考数学试卷
1A2A120 105江苏省扬州中学2012—2013学年第二学期阶段测试高一数学试题2013．3．22一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知0sin ,0cos <>αα，则α为第 ▲ 象限角。
2．若23ππ<<x ，则方程2sin 10x +=的解x = ▲ ． 3．下列函数为偶函数，且在(),0-∞上单调递增的函数是 ▲ ．①()23f x x = ②()3f x x -= ③()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭④x x f lg )(=4．已知135sin ,53)cos(-==-ββα，且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈，则=αsin ▲ ． 5．在ABC ∆中,1,2,120==︒=∠AC AB BAC ,D 是边BC 上一点,BD DC 2=,则=⋅BC AD ▲ ．6．在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，若bc c b a ++=222，且sin sin 1B C +=，则角B= ▲ ．7．在△ABC 中，如果1tan tan 0<<B A ，那么△ABC 是 ▲ 三角形．(填“钝角”、“锐角”、“直角”)8．设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若sin α=(4cos 2)f α的值 为 ▲ ．9．在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34π后得向量OQ ， 则点Q 的坐标是 ▲．10．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定 方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙 船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距海里，则乙船每小时航行 ▲ 海里？11．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝ π3，当△ABC 的面积为3时，tan C ＝ ▲ ．12．在ABC ∆中,66cos ,364=∠=ABC AB ,边AC 上的中线5=BD ,则 =A sin ▲ ．13．对任意实数x 和任意]2,0[πθ∈，恒有81)cos sin ()cos sin 23( 22≥+++++θθθθa a x x ，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．定义区间()[)(][],,,,,,,c d c d c d c d 的长度均为d c -，其中d c >。
扬州市2013—2014学年度第二学期高一数学期末调研测试试题
扬州市2013—2014学年度第二学期期末调研测试试题高 一 数 学2014．6（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．不等式01xx <-的解集为 ▲ .2．直线l：30x +=的倾斜角为 ▲ .3．在相距2千米的,A B 两点处测量目标C ，若75CAB ∠=，60CBA ∠=，则,A C 两点之间的距离是 ▲ 千米（结果保留根号）.4．圆1O 22:40x y x +-=和圆2O 22:20x y y +-=的位置关系是 ▲ .5．等比数列{}n a 的公比为正数，已知23954a a a ⋅=，22a =，则1a = ▲ .6．已知圆22:240O x y x my +-+-=上两点,M N 关于直线20x y +=对称，则圆O 的半径为 ▲ .7．已知实数,x y 满足条件20510000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ▲ .8．已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，则β= ▲ .9．若数列{}n a 满足：112a =，112n n n a a n++=（*n N ∈），则{}n a 的通项公式为n a =▲ .10．已知函数()2f x =2cos ()12x π++2sin cos 3x x -，(0,)3x π∈，则函数()f x 的值域为▲ .11．已知函数()2xf x =，()()8f a f b ⋅=，若0a >且0b >，则14a b+的最小值为 ▲ .12．等比数列{}n a 的公比12q =，前5项的和为3164．令12log n n b a =，数列11{}n n b b +的前n 项和为n T ，若n T c <对*n N ∈恒成立，则实数c 的最小值为 ▲ .13．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为,,a b c ．若2b ac =，则sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围是▲ .14．实数,,a b c 成等差数列，过点(3,2)P -作直线0ax by c ++=的垂线，垂足为M ．又已知点(2,3)N ，则线段MN 长的取值范围是 ▲ .二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知ABC ∆的三个顶点的坐标为(1,1),(3,2),(5,4)A B C ． （1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos cos cos b A c A a C =+． （1）求角A 的大小；（2）若b c +=，ABC ∆的面积S =，求a 的长． 17．（本题满分15分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n S n n =+．等比数列{}n b 满足：143,81b b ==． （1）求证：数列{}n a 为等差数列； （2）若312123nn na a a a Tb b b b =++++，求n T ．18．（本题满分15分）如图，ABCD 是长方形海域，其中10AB =海里，AD =现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、向前联合搜索，且4PAQ π∠=（其中P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面．设PAB θ∠=，搜索区域的面积为S ．（1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出tan θ的取值范围； （2）求S 的最大值，并指出此时θ的值．QPDCBA19．（本题满分16分）已知圆22:1O x y +=和点(1,4)M ． （1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线28y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；（3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由． 20．（本题满分16分）（1）公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n a 的前三项分别加上1，1，3后顺次成为某个等比数列的连续三项，525S =． ①求数列{}n a 的通项公式；②令(0)n Sn b t t =>，若对一切*n N ∈，都有2122n n n b b b ++>，求t 的取值范围； （2）是否存在各项都是正整数的无穷数列{}n c ，使2122n n n c c c ++>对一切*n N ∈都成立，若存在，请写出数列{}n c 的一个通项公式；若不存在，请说明理由．扬州市2013—2014学年度第二学期期末调研测试试题高 一 数 学 参 考 答 案 2014．61．(0,1) 2．6π34．相交 5．1 6．3 7．11 8． 3π 9． 2n n 10．(2,1]-- 11．312．1213． 14．15．解：（1）12AB k =，∴边AB 上的高所在直线的斜率为2- …………3分又∵直线过点(5,4)C ∴直线的方程为：42(5)y x -=--，即2140x y +-= …7分（2）设直线l 的方程为：11x y a a +=+，即1a y x a a =-++ 34AC k = …10分 3,14a a ∴-=+解得：37a =- ∴直线l 的方程为：14377x y +=- ……………12分∴直线l 过点43(,0),(0,),77-57=∴直线l 与坐标轴围成的直角三角形的周长为543127777++=． …………14分注：设直线斜截式求解也可.16．解：（1）由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，即2sin cos sin()B A A C =+；∵()B A C π=-+ ∴sin sin()B A C =+ 且不为0 ∴1cos 2A = ∵(0,)A π∈ ∴3A π= ……………7分（2）∵1sin 2S bc A === ∴13bc = (9)分由余弦定理得：22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-， ……………11分又∵b c +=，0a >∴2221a a =-，解得：1a = (14)分17．解：（1）由已知得：13a =， ………………2分2n ≥且*n N ∈时，221(2)[(1)2(1)]21n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+经检验1a 亦满足21n a n =+ ∴21(*)n a n n N =+∈ ………………5分∴1[2(1)1](21)2n n a a n n +-=++-+=为常数∴{}n a 为等差数列，且通项公式为21(*)n a n n N =+∈ ………………7分（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，则34127b q b ==， ∴3q =，则1333n n n b -=⨯=，*n N ∈ ∴213n n n a n b += ……………9分23357213333n n n T +∴=++++ ①234113572121333333n nn n n T +-+=+++++ ② ①-②得：2123411111(1)2111121214243312()12133333333313n n n n n n n n n T -+++-+++=++++-=+⨯-=--…13分22,*3n nn T n N +∴=-∈………………15分18．解：（1）在Rt APB ∆中，10tan BP θ=， 11010tan 50tan 2ABP S θθ∆=⨯⨯= 在Rt ADQ ∆中，)4DQ πθ=-，1tan()100tan()244ADQ S ππθθ∆=⨯⨯-=- ∴50tan 100tan()4S πθθ=---1tan 50tan 1001tan θθθ-=--⨯+ …5分其中0tan 10tan()42θπθ≤≤⎧⎪⎨≤-≤⎪⎩，解得：3tan 1θ-≤≤（注：观察图形的极端位置，计算出tan θ的范围也可得分．）∴1tan 50tan 1001tan S θθθ-=--⨯+，3tan 1θ-≤≤ (8)分（2）∵tan 0θ>，1tan 450(tan 2)50(tan 13)1tan tan 1S θθθθθ-=-+⨯=-++-++3)50≤--=- ……………13分当且仅当4tan 1tan 1θθ+=+时取等号，亦即tan 1θ=时，max 50S =-∵(0,)2πθ∈ 4πθ∴=答：当4πθ=时，S有最大值50-． ……………15分19．解：（1）若过点M 的直线斜率不存在，直线方程为：1x =，为圆O 的切线； …………1分当切线l 的斜率存在时，设直线方程为：4(1)y k x -=-，即40kx y k --+=， ∴圆心O1=，解得：158k =∴直线方程为：158x y -+．综上，切线的方程为：1x =或158170x y -+= ……………4分 （2）点(1,4)M 到直线280x y --=的距离为：d == 又∵圆被直线28y x =-截得的弦长为8∴6r == ……………7分∴圆M的方程为：22(1)(4)36x y -+-= ……………8分（3）假设存在定点R ，使得PQ PR 为定值，设(,)R a b ，(,)P x y ，22PQ PRλ= ∵点P 在圆M 上 ∴22(1)(4)36x y -+-=，则222819x y x y +=++ ……………10分 ∵PQ为圆O的切线∴OQ PQ ⊥∴222211PQ PO x y =-=+-，222()()PR x a y b =-+-22221[()()]x y x a y b λ∴+-=-+-即2228191(281922)x y x y ax by a b λ++-=++--++整理得：22(222)(882)(1819)0a x b y a b λλλλλλλ-++-++---=（*）若使（*）对任意,x y 恒成立，则222220882018190a b a b λλλλλλλ-+=⎧⎪-+=⎨⎪---=⎩……………13分∴144a b λλλλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入得：221441819()()0λλλλλλλ-----= 整理得：23652170λλ-+=，解得：12λ=或1718λ= ∴1214a b λ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩或1718117417a b λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩∴存在定点R (1,4)--，此时PQ PR为定值2或定点R 14(,)1717--，此时PQ PR为定值6． ………………16分20．解：（1）①设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵525S =∴ 15535()5252a a S a +=== ∴35a = ∵{}n a 的前三项分别加上1，1，3后顺次成为某个等比数列的连续三项 ∴2213(1)(1)(3)a a a +=++即2333(1)(21)(3)a d a d a -+=-++，∴2(6)8(62)d d -=-解得：2d =或6d =-∵0d > ∴2d = ∴52(3)21n a n n =+-=-， *n N ∈ ………4分②∵11a = ∴2n S n = ∴2n n b t = ∴222(1)2(2)[]2n n n t t t ++>⋅，整理得：212t < ∵0t >∴02t << ………7分（2）假设存在各项都是正整数的无穷数列{}n c ，使2122n n n c c c ++>对一切*n N ∈都成立，则 ∴1212n n n n c cc c +++>⨯ ∴112n n n n c c c c +->⨯，……，32122c cc c >⨯，将1n -个不等式叠乘得：11122n n n c c c c -+>⨯ ∴121112n n n c cc c +-<⨯（2,*n n N ≥∈） ………10分 若211c c <，则211112n cc -⨯< ∴当*n N ∈时，11n nc c +<，即1n n c c +< ∵*n c N ∈ ∴11n n c c +-≤-，令1c M =，所以22111211()()()()(1)10M M M M M M M c c c c c c c c c c M M ++++-=-+-+-++-+≤-++=-<与2*M c N +∈矛盾． ………13分 若211c c ≥，取N 为221log 2c c +的整数部分，则当n N ≥时，211112n c c -⨯<∴当n N ≥时，11n nc c +<，即1n n c c +< ∵*n c N ∈ ∴11n n c c +-≤-，令N c M =，所以111121()()()()(1)10N M N M N M N M N M N M N M N N Nc c c c c c c c c c M M +++++++-+-+-+=-+-+-++-+≤-++=-<与1*N M c N ++∈矛盾．∴假设不成立，即不存在各项都是正整数的无穷数列{}n c ，使2122n n n c c c ++>对一切*n N ∈都成立． ………16分。
江苏省扬州市第十二高级中学高一数学文下学期期末试题含解析
江苏省扬州市第十二高级中学高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某市2008年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其中经济适用房每年增加10万平方米。
按照此计划，当年建设的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是（参考数据：）（）A.2011年B.2012年C.2013年D.2014年参考答案：B2. 二次函数的单调递增区间是（）A． B．(4，+￥) C． [1，+￥) D．（－￥，1）参考答案：C略3. 函数的定义域是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，0）∪（0，1）D．（﹣∞，0）∪（0，1]参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由0指数幂的底数不为0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x≤1且x≠0，∴函数的定义域是（﹣∞，0）∪（0，1]．故选：D．4. 函数的定义域是（）A. B. C. D.参考答案：B略5. 给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”；③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”；④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，其中属于互斥事件的有（）A．1对 B．2对 C．3对D．4对参考答案：B6. 下列函数中表示相同函数的是( )A．与B．与C．与D．与参考答案：C略7. 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（）A．B．C．D．参考答案：C8. 已知，则的范围是（）A. B. C. D.参考答案：A略9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 1B. 2C.D.参考答案：D【分析】根据给定的几何体的三视图可得，该几何体表示一个三棱锥，其中三棱锥的底面为底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的高为2，利用锥体的体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可得，该几何体表示一个三棱锥，其中三棱锥的底面为底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为.故选：D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.10. 将化为角度是( )A 480°B 240°C 120°D235°参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是______________．参考答案：略12. 不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0恒过定点．参考答案：（﹣2，1）【考点】IP：恒过定点的直线．【分析】由直线系的知识化方程为（x+2y）a+3x﹣y+7=0，解方程组可得答案．【解答】解：直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0可化为（x+2y）a+3x﹣y+7=0，由交点直线系可知上述直线过直线x+2y=0和3x﹣y+7=0的交点，解方程组可得∴不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0恒过定点（﹣2，1）故答案为：（﹣2，1）【点评】本题考查直线过定点，涉及方程组的解法，属基础题．13. 如图是正方体的表面展开图，在这个正方体中有如下命题：①；②与是异面直线；③与成角；④与成角。
扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测试题高三数学及答案
扬州市2012—2013学年度第一学期期末检测试题高 三 数 学2013．01全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）． 注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．第 一 部 分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．若集合}11|{≤≤-=x x M ，2{|20}N x x x =-≤，则M∩N = ▲ ． 2．将复数ii-+121(i 是虚数单位)写成),(R b a bi a ∈+，则=+b a ▲ ． 3．已知向量()()k ,1,1,2-==，若⊥，则k 等于 ▲ ． 4．已知函数2log ()3xx f x ⎧=⎨⎩(0)(0)x x >≤，则=)]0([f f ▲ ． 5．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则x y 2=的概率为 ▲ ．6．设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥52420y x y x x ，则y x z -=2的最大值是 ▲ ．7．如图所示的流程图，若输出的结果是15，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为 ▲ ．8．已知圆C 的圆心为抛物线x y 42-=的焦点,又直线4360x y --=与圆C 相切，则圆C 的标准方程为 ▲ ．9．设a b 、是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若,a b a α⊥⊥，则//b α， ②若,a βαβ⊥⊥，则//a α, ③若βαβα⊥⊥则,,//a a ④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥,其中正确的命题序号是 ▲ ．10．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c，且3,sin 2sin a b C A ==，则sin A = ▲ ． 11．已知函数xmx x f -=ln )(（R m ∈）在区间],1[e 上取得最小值4，则=m ▲ ． 12． 如图所示：矩形n n n n A B C D 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点n C 、n D 在函数1()(0)f x x x x=+>的图像上，若点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B C D 的周长记为n a ，则=+⋅⋅⋅++1032a a a ▲ ．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =，A 、B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 斜倾角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+= ▲ ．14．数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且122012111a a a +++=2，则201314a a -的最小值为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知向量)1,(sin -=x ，)21,cos 3(-=x ，函数2)(2-⋅+=x f ． （Ⅰ）求)(x f 的最大值，并求取最大值时x 的取值集合；（Ⅱ）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，且a ，b ，c成等比数列，角B 为锐角，且()1f B =，求CA tan 1tan 1+的值． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， AC BD ⊥于O 。
江苏省扬州市2024年高一下学期6月期末数学试题(解析版)
2023—2024学年高一第二学期期末检测数学2024.06一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1. 设复数z 满足i 1i z −=+，则i z =（ ） A 2i + B. 2i −C. i −D. i【答案】B 【解析】【分析】根据复数的四则运算法则计算可得结果. 【详解】由i 1i z −=+可得12z i =+，所以()2212i i 12i i 2i i 22i i i i 1z +++====−+=−−. 故选：B2. 方程2ln 50x x +−=的解所在区间为（ ） A. ()4,5 B. (3,4C. ()2,3D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在性定理分析判断即可.【详解】令()2ln 5f x x x =+−，()f x 在(0,)+∞上连续，且单调递增，对于A ，因为(4)8ln453ln 40f =+−=+>，(5)10ln555ln 50f =+−=+>， 所以()f x 的零点不在()4,5内，所以A 错误，对于B ，因为(4)0f >，(3)6ln351ln 30f =+−=+>， 所以()f x 的零点不在()3,4内，所以B 错误，对于C ，因为(3)0f >，(2)4ln25ln 210f =+−=−<，所以()f x 的零点在()2,3内，所以方程2ln 50x x +−=的解所在区间为()2,3，所以C 正确，.对于D ，因为(2)0f <，(1)2ln1530f =+−=−<， 所以()f x 的零点不在()1,2内，所以D 错误， 故选：C3. 数据63,65,70,73,76,78,80,84,88,90的45百分位数为（ ） A. 73 B. 76C. 77D. 78【答案】B 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】因为1045% 4.5×=，所以这10个数的45百分位数为第5个数76. 故选：B4. 已知平面向量()()1,0,1,2a b ==−，则a在b上的投影向量为（ ） A. 12,55 −B. 12,55−C.D.【答案】A 【解析】.【详解】由()()1,0,1,2a b ==−可得11021a b ⋅=−×+×=−；b ==根据投影向量的定义可得a 在b 上的投影向量为112,555b b b b ba ==−=− ⋅.故选：A5. 如图，为了测量河对岸,A B 两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点,,C D E .从D 点测得67.5ADC ∠= ，从C 点测得45,75ACD BCE ∠=∠=，从E 点测得60BEC ∠=.若测得DCCE =，则,AB 两点的距离为（ ）百米.A.B.C.D. 3【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解. 【详解】在ACD 中，67.5ADC ∠= ，45ACD ∠= ， 则18067.54567.5DAC ∠=−−=，AC DC ==，在BCE 中，75BCE ∠= ，60BEC ∠=，CE =， 则180756045EBC ∠=−−= ，sin sin CE BCEBC BEC=∠∠，sin sin CE BEC BC EBC ∠∴==∠ ， 在ABC中，ACBC =，18060ACB ACD BCE ∠=−∠−∠= ，则2222?·cos 9AB AC BC AC BC ACB =+−∠=，3AB ∴=.故选：D .6. 在正方体1111ABCD A B C D −中，,,,E F G H 分别是棱111,,,AA AB BC C D 的中点，下列结论正确的是（ ）. A. EF 1GD B. 1D E FG ⊥C. FG ⊥平面11BB D DD. 平面1D EF 平面1GHC【答案】C 【解析】【详解】对于A ，连接111,,,EF D G A B D C ，如下图所示：因为,E F 分别是棱1,AA AB 的中点，所以1EF A B ∥，由正方体性质可得11A B D C ∥，因此可得1EF D C ∥，而11,D C GD 相交， 所以EF 1GD 错误，即A 错误；对于B ，取1DD 的中点M ，连接,,AM CM AC ，如下图所示：易知1AM D E ，FG AC ，所以MAC ∠即为异面直线1D E 与FG 所成的角（或其补角）；不妨设正方体的棱长为2，则AM MC ==AC =，显然222AM AC MC +≠，可知MAC ∠不是直角，所以1D E 与FG 不垂直，即B 错误； 对于C ，连接11,,AC BD B D ，如下图所示：由正方体性质可得1BB ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥； 因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，又1BB BD B ∩=，1,BB BD ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D ,又因为,F G 分别是棱,AB BC 的中点，所以FG AC 可得FG ⊥平面11BB D D ，即C 正确； 对于D ，如下图所示：易知1D ∈平面1D EF ，且111D D C ∈，而11D C ⊂平面1GHC ，所以1D ∈平面1GHC ； 因此可得平面1D EF 与平面1GHC 有公共点1D ，可知两平面必有一条过1D 的共公交线； 因此平面1D EF 平面1GHC 是错误的，即D 错误. 故选：C7. 如图，在ABC 中，,D E 是BC 上的两个三等分点，12,9,60AB AC BAC ∠=== ，则AD AE ⋅的值为（ ）A. 50B. 80C. 86D. 110【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用平向量基本定理将,AD AE 用,AB AC表示出来，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为在ABC 中，,D E 是BC 上的两个三等分点，12,9,60AB AC BAC ∠=== ，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ，2212()3333AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ，所以21123333AD A C B A AEA AC B⋅=+⋅+ 2224129999AB AB AC AB AC AC =+⋅+⋅+2512144129819929=×+×××+× 32301880=++=.故选：B8. 已知ππcos cos sin cos 36αααα+=−，则πtan 24α+值（ ）A.B.C. 2D. 2【答案】D 【解析】【分析】先对ππcos cos sin cos 36αααα+=−利用诱导公式与两角和的余弦公式化简可得π2π,Z 6k k α=+∈，代入πtan 24α+ 中利用两角和的正切公式化简计算即可.【详解】因为ππcos cos sin cos 36αααα+=−， 所以πππππcos cos sin cos sin sin sin sin 36263αααααααα+=−=−−=+ ， 所以ππcos cos sin sin 033αααα +−+=， 所以πcos(2)03α+=，所以ππ2π,Z 32k k α+=+∈， 所以π2π,Z 6k k α=+∈， 所以πππtan 2tan π(Z)446k k α +=++∈ππtan 46 +的ππtantan 46ππ1tan tan46+=−=2=故选：D二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9. 在ABC 中，角A B C ､､所对的边为a b c ､､，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ）A. 4,5,6a b c === B. 30,45,5A B c ===C. 2,45ab A == D. 3,2,60a b C ===【答案】ABD 【解析】【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C ，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解.【详解】对于A ，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A 正确；对于B ，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B 正确；对于C2sin B=可得，sin B =b a >，则B A >,因sin B=>，结合正弦函数的图象可知角B 有两解，故C 错误； 对于D ，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D 正确. 故选：ABD.10. 连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上的点数小于3”记为事件A ，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件B ，“两次拋掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件C ，则下列叙述中正确的有（ ） A. A 与B 互斥 B. A 与C 相互独立 C. B 与C 对立 D. ()23P A B +=【答案】BD 【解析】【分析】AC 选项，列举出事件A ，B 和事件C 中的基本事件，得到A B ∩≠∅，B C ∩≠∅，判断出AC错误；B 选项，利用()()()P AC P A P C =作出判断；D 选项，列举出事件A B +中的基本事件，求出概率. 【详解】A 选项，事件A 中的基本事件有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6事件B 中的基本事件有()()()()()()1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,2，()()()()()()1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,4，()()()()()()1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6，故A B ∩≠∅，事件A 和事件B 不互斥，A 错误；B 选项，连续抛掷两次骰子，共有36种情况，其中事件A 中的基本事件数为12，故()121363P A ==， 事件C 中的基本事件有()(()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5,3,2,3,4,3,6,4,1,4,3,4,5，()()()()()()5,2,5,4,5,6,6,1,6,3,6,5，共18种情况，故()181362P C ==， 事件AC 中的基本事件有()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5，共9种情况，故()61366P AC ==， 由于()()()P AC P A P C =，故A 与C 相互独立，B 正确；C 选项，由AB 选项知，B C ∩≠∅，事件B 与事件C 不互斥，故不对立，C 错误；D 选项，事件A B +中的基本事件有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，()()()()3,2,4,2,5,2,6,2， ()()()()3,4,4,4,5,4,6,4，()()()()3,6,4,6,5,6,6,6，共24种情况，故()242363P A B +==，D 正确. 故选：BD11. 如图，正方形ABCD 的中心为O ，边长为4，将其沿对角线AC 折成直二面角D AC B ′−−，设M 为AD ′的中点，N 为BC 的中点，则下列结论正确的有（ ）A. 三棱锥D ABC ′−的外接球表面积为32πB. 直线MN 与平面ABC 所成角的正切值为12 C. 点C 到平面OMND. 三角形MON 沿直线MN【答案】ACD 【解析】【分析】对于A B ，可利用几何法快速解决；对于C ，可利用等体积法；对于D ，旋转体为两个底面重合的圆锥构成的组合体.【详解】对于A ，由于OAOC OB OD ′===，所以O 为三棱锥D ABC ′−的球心，表面积为2432ππ=，A 正确；对于B ，过M 作MH ⊥AC 于H ，则MH ⊥平面ABC ，所以∠MNH 即为直线MN 与平面ABC 所成的角；易知MH，NH，所以tan MNH ∠B 错误；对于C ，由M ONC C MON V V −−=，所以11233OMN h S =⋅，又MN =，所以的1cos2MON ∠=−，sin MON ∠，所以1222OMN S =××= C 到平面OMN 的距离h=，C 正确;对于D ，过O 作OT ⊥MN 于T ，则旋转体体积是以OT 为底面半径，以TM 为高的圆锥的体积的两倍，所以123V π=×，D 正确；故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查立体几何的综合问题，解决本题中的问题涉及的思路主要有： (1)利用球的定义找球心，并求球的体积； (2)运用几何法求线面角的大小； (3)利用等体积法求三棱锥的高； (4)掌握常见的几何体的体积公式.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知一个正四棱台的体积为3152cm ，上､下底面边长分别为4cm 6cm ､，则棱台的高为__________cm .【答案】6 【解析】【分析】根据棱台的体积公式计算即可.【详解】设棱台高为h ，由棱台的体积公式知(163V h S Sh =++′⇒，其中S S ′、分别为上下底面面积. 故答案为：613. 若复数z 满足2i 1z −=，则z 的最小值是__________. 【答案】1 【解析】【分析】利用复数的模的几何意义，理解等式表示的动点轨迹图形为圆形，由图易得动点到原点的距离最小值即得.【详解】如图，设复数z 对应的点为Z ,则由2i 1z −=可知点Z 到点(0,2)A 的距离为1， 即点Z 的轨迹为以点(0,2)A 为圆心，以1为半径的圆，而z 则表示动点Z 到原点的距离，由图可知，圆上与原点距离最小的点为1(0,1)Z ,故z 的最小值是1. 故答案为：1.14. 已知ABC 的面积为S)2AB AC S ⋅=，则A ∠=__________.；若2B C ∠=∠，延长CB 至点D ，使得BD AC =，则tan ADC ∠=__________. 【答案】 ①. π3 ②. 【解析】【分析】化简2SAC =⋅即可求得A ∠，结合A ∠的度数以及2B C ∠=∠即可求得4π2π99BC ∠=∠=，，通过设AB x =即可用x 表示出各边长度，结合三角恒等变换化简即可求得tan ADC ∠的值；【详解】由题得12sin cos 2bc A bc A ×，tan A ∴， 因为0πA <<，所以π3A = ； 由π,23ABC ∠=∠=∠可得4π2π99B C ∠=∠=，， 设AB x =，由正弦定理可知sin sin AC AB BC=，所以4πsin92πsin9AC x BD ==， 如图所示：过A 作AE BC ⊥，交BC 的于E 点，4πsin2π4π9sin sin sin 2π99sin 9AE AC C xx ==×=， 4πcos cos 9BE AB ABC x =∠=，所以4πsin4π9cos 2π9sin 9DE BD BE AC BE x x =+=+=+在Rt ADE 中可算得4π4π4πsinsinsin999tan 4π2π4π5π5ππsin 2cos cos 2sin cos 4π99918186cos 2π9sin 9x AE ADC DE x x ∠====++++ ， 故答案为：π3四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知()()0,1,1,2a b ==−.设()2,AB a b BC a b λλ=+=+∈R. （1）若,,A B C 三点共线，求λ值； （2）若AB BC ⊥，求λ的值. 【答案】（1）12λ=（2）125λ=−. 的【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示计算可得12λ=； （2）根据向量垂直的坐标表示可求得125λ=−. 【小问1详解】因为()()()20,121,22,5AB a b =+=+−=−， ()()()0,1,21,2BC a b λλλ=+=+−=−+，又因为,,A B C 三点共线，所以AB BC，则()2215λ−×+=−×， 解得12λ=. 【小问2详解】由AB BC ⊥，可得0AB BC ⋅=，即()()()12520λ−−++=解得125λ=−. 16. 某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示：年龄 [)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,70保费（单位：元）x2x3x5x7x（1）若采用分层抽样的方法，从年龄段在[)30,40和[)40,50内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在[)30,40内的概率. （2）由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段[)50,60的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？ 【答案】（1）815（2）250元. 【解析】【分析】（1）先由概率和为1求出a 的值，再利用分层随机抽样的概念确定在[)30,40和在[)40,50内的抽取人数，结合古典概型知识即可求得答案.（2）求出保险公司每年收取的保费为100004x ×，所以要使公司不亏本，则1000042000000x ×≥，解不等式即可求得答案. 【小问1详解】由()0.0070.0160.0250.02101a ++++×=得0.032a =， 设“抽取2人中恰好有1人年龄段在[)30,40内”为事件M .由题设可知，年龄在[)30,40和[)40,50内的频率分别为0.16和0.32，则抽取的6人中，年龄在[)30,40内的有2人，年龄在[)40,50内的有4人.记年龄在[)30,40内2位参保人员为,a b ，年龄在[)40,50的4位参保人员为,,,A B C D ，则从6人中任取2人，样本空间()()()()()()()()()Ω{,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a A a B a C a D b A b B b C b D =，()()()()()(),,,,,,,,,,,}A B A C A D B C B D C D 共包含15个样本点，()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,M a A a B a C a D b A b B b C b D =共包含8个样本点，所以()815P M =. 【小问2详解】保险公司每年收取的保费为：()100000.070.1620.3230.2550.27100004x x x x x x +×+×+×+×=×，所以要使公司不亏本，则1000042000000x ×≥，即4200x ≥，解得50x ≥，所以年龄段[)50,60需要缴纳的保费至少为250元.17. 已知函数()2ππsin 2sin 22cos 233f x x x x=++−+−. （1）当π0,2x∈时，求函数()f x 的值域；（2）求函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和.【答案】（1）1 − ；（2）9π2. 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得()π214f x x=+−，再根据正弦函数单调性可得其值域；（2）求出函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点即可得结果. 【小问1详解】易知()2ππsin 2sin 22cos 233f x x x x=++−+−ππππsin2coscos2sin sin2cos cos2sin cos213333x x x x x =++−+−sin2cos2121x x x+−=−因为π0,2∈x ，所以ππ5π2,444x +∈ ，由正弦函数单调性可得πsin 24x+∈，则()f x 的值域为1 −−【小问2详解】因为[]0,2πx ∈，所以ππ17π2,444x +∈，由()0f x =得πsin 24x+所以ππ3π9π11π17π2,,,,444444x +=，解得π5π0,,π,,2π44x =，所以函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和为π5π9π0π2π442++++=. 18. 如图，在斜三棱柱111ABC A B C 中，侧面11ABB A 为菱形，1160,22A AB AB A CBC ∠==== ，90,ACB M ∠= 为AB 中点，1AC 与1AC 的交点为N .（1）求证：MN //平面11BCC B ； （2）求证：1A M ⊥平面ABC ； （3）求二面角1B AA C −−的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3【解析】分析】（1）利用线线平行推得线面平行即得；（2）由等边三角形1AA B 证1A M AB ⊥，再由勾股定理逆定理证1A M MC ⊥，由线线垂直推导线面垂直即得；（3）作CH AB ⊥，证CH ⊥平面1A AB ，作1HK AA ⊥，证1AA CK ⊥，得HKC ∠为二面角1B AA C −−的平面角，由题设求得,CH HK 即得.【小问1详解】【如图（1），连接1BC .由三棱柱111ABC A B C 可知侧面11AAC C 为平行四边形，所以N 为1AC 中点； 又因为M 为AB 中点，所以MN //1BC ，又MN ⊄平面111,BB C C BC ⊂平面11BB C C ，所以MN //平面11BB C C ； 【小问2详解】如图（2），连接1,MC A B .由菱形11ABB A 可知12A AAB ==，因为160A AB ∠= ，可得1AA B 为等边三角形；因M 是AB 中点，则1A M AB ⊥，且1A M =90ACB ∠= 可得，112MC AB ==； 因为12AC =，则有22211A M MC AC +=，即1A M MC ⊥， 又,MC ABM MC ∩=⊂平面,ABC AB 平面ABC ，故1A M ⊥平面ABC ； 【小问3详解】由（2）可知1A M ⊥平面ABC ，因为1A M ⊂平面1A AB ，所以平面1A AB ⊥平面ABC ； 如图（3），过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ，过H 作1HK AA ⊥，垂足为K ，连接CK . 因为CH ⊂平面,ABC 平面1A AB 平面ABC AB =，所以CH ⊥平面1A AB ，因为1AA ⊂平面1,A AB HK ⊂平面1A AB ，所以1,CH AA CH HK ⊥⊥；因为1,,HK AA HK CHH CH ⊥∩=⊂平面,CHK HK ⊂平面CHK ，所以1AA ⊥平面CHK ， 又CK ⊂平面CHK ，所以1AA CK ⊥，所以HKC ∠为二面角1B AA C −−的平面角.在Rt ABC △中，90,2,1ACB AB BC ∠=== ，可得32CHAH =，在Rt AHK 中，1,60HK AA HAK ⊥∠=，可得sin HK AH HAK ∠== 在Rt CHK △中，CH HK ⊥，可得2tan 3CH HKCHK ∠==，因为π0,2HKC ∠∈ ，所以sin HKC ∠=，即二面角1B AA C −−【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和应用，以及运用几何法求解二面角，属于较难题. 解题关键在于深刻把握线面垂直的判定定理，执果索因，寻找线线垂直条件；求二面角的关键在于找到一个平面中的一点在另一个平面的射影，为作出平面角奠定基础.19. 如图所示，已知ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，在ABD △中，6,3AD BD ==，2DE EB =.（1）若135ADB ∠= ，求ABC 的面积； （2）①求26cos AB AB ABD ∠−⋅的值； ②求2CE 的最大值.【答案】（1）454+（2）①27；②412+. 【解析】【分析】(1)利用余弦定理求解边长，再利用等腰三角形的性质求解面积即可; (2)①利用余弦定理求解即可；②在ABD △中，由正弦定理可得BC AB =，在BCE 中，由余弦定理得()2412CE θϕ−+，结合三角函数求解最值即可. 【小问1详解】在ABD △中，由余弦定理得，2369263cos13545AB =+−××=+且ABC 是等腰直角三角形，则22111452244ABC S AC CB AC AB =⋅===+【小问2详解】 ①设,0πADB ∠θθ=<<，因为6,3AD BD ==，由余弦定理可得，2222936cos 26AB BD AD AB ABD AB BD AB∠+−+−==⋅， 227cos 6AB AB ABD ∠−∴=，即26cos 27AB AB ABD ∠−⋅=； ②在ABD △中，2222cos 4536cos AB AD BD AD BD ADB ∠θ=+−⋅⋅=−， 由正弦定理可得sin sin AD ABABD ∠θ=，则sin sin 6sin AB ABD AD ∠θθ==，2,1DE EB EB =∴=，又BC AB =， 在BCE 中，由余弦定理得()2222cos 45CEBC BE BC BE ABD =+−⋅⋅+∠)221121cos sin 2AB AB ABD ABD +−⋅∠−∠ ()22211271cos sin 16sin 226AB AB AB ABD AB ABD AB θ −+−∠−∠=+−−2111416sin 6sin 12cos 322AB θθθ=++=−+ ()412θϕ−+（其中ϕ为锐角，且tan 2ϕ=）， 由0πθ<<可得πϕθϕϕ−<−<−，所以当π2θϕ−=时，即π2θϕ=+时，2CE 取得最大值412+。
江苏省扬州中学高一下数学期末考试试卷
AO 1x By C2x y =4x y =江苏省扬州中学2012—2013学年第一学期期末考试高一数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将答案写在答题纸上相应题号后的横线上）1．已知数集M={2x ，}1，则实数x 的取值范围为 ▲ ．2．设点A （x ，y ）是300o 角终边上异于原点的一点，则 yx 的值为 ▲ ．3．幂函数()f x 的图象经过点(3,3)，则()f x 的解析式是 ▲ . 4．方程x x 24lg -=的根)1,(+∈k k x ，k ∈Z ，则k = ▲ ． 5．求值：1425sincos()=34ππ+- ▲ ． 6．已知向量(1,1),(1,2)a b =-=，且(2)//()a b a b λ+-，则=λ___▲______． 7．函数=y x1ln的图像先作关于x 轴对称得到图像1C ，再将1C 向右平移一个单位得到图像2C ，则2C 的解析式为 ▲ ．8．已知扇形的周长为8cm ，则该扇形的面积S 的最大值为 ▲ cm 2． 9．函数y ＝13log (2)x -的定义域为 ▲ .10．若1a =,2b =,若()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角为 ▲ ．11．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)()=2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪⎨⎪≤<⎩，则15()4f π-= ▲ .12．如图，过原点O 的直线与函数y =x2的图像交与A 、B 两点， 过B 作y 轴的垂线交函数y =x4的图像于点C ，若AC 平行于y 轴， 则点A 的坐标为 ▲ ．13．定义在区间] ,[22-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若(1) ()g m g m -<， 则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．若关于x 的方程kx x x =-2||有三个不等实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，计90分）（第12题图）15．（本小题14分）已知集合{}|234,A x x x =<-<≤或{}2|2150B x x x =--≤．求：（1）A B ；（2）若{}|C x x a =≥，且B C B =，求a 的范围．16．（本小题14分）sin α，cos α为方程012442=-+-m mx x的两个实根，(,0)2πα∈-，求m 及α的值.17．（本小题15分）已知函数()12(1)x xf x a a a 2=-->. （1）求函数()f x 的值域；（2）若[2,1]x ∈-时，函数()f x 的最小值为7-，求a 的值.18．（本小题15分）已知函数)||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 在一个周期内的图象如下图所示. （1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间；O1211π y21-2x（3）设π<<x 0，且方程m x f =)(有两个 125π不同的实数根，求实数m 的取值范围.19．（本小题16分）已知△OAB 的顶点坐标为(0,0)O ,(2,9)A ,(6,3)B -, 点P 的横坐标为14，且O P P B λ=，点Q 是边AB上一点,且0OQ AP ⋅=. (1)求实数λ的值与点P 的坐标； (2)求点Q 的坐标；(3)若R 为线段OQ 上的一个动点，试求()RO RA RB ⋅+的取值范围.20．（本小题16分）已知函数|21|1()x a f x e -+=，||12(),,16x a f x e x R a -+=∈≤≤。
江苏省扬州中学2012-2013学年高一(下)期末数学试卷_含解析_
2
可知 x +y 的最小值是原点到直线
2
2
x+y=1 的距离的 方． 2 2 解 如图，由题意可知，求 x +y 的最小值是求原点到直线 x+y=1 的距离的 方， 化 x+y=1 所 一般式，即 x+y﹣1=0，则 0，0 到 x+y﹣1=0 的距离
2
=
，
原点到直线 x+y=1 的距离的 方 ．
4016551
， 入数值即可得到答案． = = ，
故答案 点评
题考查数列的函数特性、由递推式求数列的项，考查累乘法求数列通项．
8． 5
设实数 x，y 满足
，则 的最大值是
．
考点 题 析
基 等式． 计算题．
4016551
画出 等式 所表示的 面区域，然后根据 的几何意义是区域内一点 坐标原点连线的斜率， 而可求出 的最大值．
2012-2013 学
一、填空题 1． 5 考点 题 析 解答 大题共 14 题，
江 省扬州中学高一 参考答案 试题解析
题5 ． ，共 70
期
数学试卷
，请将答案填写在答题卷相应的位置
求值 sin75°=
4016551
两角和 差的 弦函数． 角函数的求值． 把 75°变 45°+30°，然后利用两角和的 弦函数公式化简后，再利用特殊角的 值． 解 sin75°=sin 45°+30° =sin45°cos30°+cos45°sin30° = = 故答案 × + ×
4016551
2
2
2
角形的内角，利用特殊角
根据余弦定理得 cosA=
江苏省扬州市江都市大桥中学2012-2013学年高一数学下学期开学考试试题(含解析)苏教版
2012-2013学年江苏省扬州市江都市大桥中学高一(下)开学数学试卷一、填空题1. ( 3 分)不等式|2x - 1| - |x - 2| v 0 的解集为{x| - 1v x v 1} 考点：绝对值不等式的解法.专题：计算题；转化思想.分析：首先分析题目求不等式|2x - 1| - |x - 2| v 0的解集，可以考虑平方去绝对的方法，先移向，平方，然后转化为求解一元二次不等式即可得到答案.解答:解：|2x - 1| - |x - 2| v 0移向得：丨2x - 1丨v丨x - 2丨两边同时平方得(2x - 1) 2v( x - 2) 2即：4x - 4x+1 v x - 4x+4,整理得：x2v 1，即-1 v x v 1故答案为：{x| - 1 v x v 1}.点评：此题主要考查绝对值不等式的解法的问题，其中涉及到平方去绝对值的方法，对于绝对值不等式属于比较基础的知识点，需要冋学们掌握.2. ( 3 分)已知向量a= (1, 2) , b = (x, 4)，且色丄b，贝U x= - 8考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系.专题：平面向量及应用.分析：由两向量垂直的坐标表示直接代入坐标求解.解答：一「i—解：由向量a= (1, 2), b= (x, 4),且刃丄t>,贝y 1X X+2X 4=0,所以x=- 8.故答案为-&点评：―-■本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，若3= (a1, a2), b = (b1, b2),则•p丄■? a1a2+b1b2=0，此题是基础题.3. ( 3分)(2010?宣武区二模)数列a1, a2，…，a?中，恰好有5个a, 2个b (a^b),则不相同的数列共有21个.考点：排列、组合的实际应用.专题：计算题.分析：7个元素进行全排列共有A种结果，在这些结果中有5个a, 2个b,这样前面的全排列就出现了重复，共重复了A5A2次，得到不同的排列共有种结果.解答：解：•••数列a i, a2,…，a7中，恰好有5个a, 2个b7个元素进行全排列共有A种结果，在这些结果中有5个a，2个b，这样前面的全排列就出现了重复，共重复了次,•••不同的排列共有故答案为：21.点评：本题考查在排列组合中出现重复的元素的排列，这种问题，首先要进行正常排列，后面要除以重复的次数，重复的次数是相同元素的一个全排列.4.( 3分)给出以下变量①吸烟，②性别，③宗教信仰，④国籍，其中属于分类变量的有_ ②③④ .考点：独立性检验.专题：探究型.分析：根据分类变量的定义判断.解答：解：①因为吸烟不是分类变量，是否吸烟才是分类变量，其他②③④属于分类变量. 故答案为：②③④.点评：本题主要考查分类变量的判断•分类变量的变量值是定性的，表现为互不相容的类别或属性.分类变量可分为无序变量和有序变量两类.5. ( 3分)对于函数f (x),若存在x o€ R,使f (x o) =x o成立，则称点(x o, x o)为函数的不动点，对于任意实数b,函数f (x) =ax1 2+bx - b总有相异不动点，实数a的取值范围是_0那么/ C=考点：二次函数的性质.专题：计算题；新定义.2 _________ 2 ___________________________________ .分析：函数f (x) =ax +bx - b总有两个相异的不动点，则方程ax +bx- b=x有两个相异的实根，由此可以构造出一个不等式，结合函数的性质，解不等式即可得到a的范围.解答：解：由题意可得)函数f (x) =ax2+bx- b总有两个相异的不动点，即关于x的方程f (x) =x有两个不等根.化简f (x) =x 得到ax2+ (b- 1) x - b=0.所以(b- 1) 2+4ab>0，即卩b2+ (4a- 2) b+1 >0恒成立，所以(4a- 2) 2- 4v 0.解之得：0v a v 16. ( 3分)已知△ ABC中，角A B C的对边分别为a、b、c，且'故答案为：0v a v 1点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系，将函数问题转化为不等式或方程问题是解答本题的关键.考点：余弦定理.专题：计算题；解三角形.分析：由正弦定理的面积公式结合余弦定理，化简可得cosC=sinC 即tanC=1 ,结合三角形内角的范围，可得C 的大小.解答：解：•••根据余弦定理，得 a 2+b 2 - c 2=2abcosC-——abcosC2T 由正弦定理得 S^ABC —absi nC3•••丄abcosC=」absinC ，得 cosC=sinC2 2即 tan C=1 , C €（ 0 ,n ）得 C —4故答案为：_L42 2 2点评：本题给出三角形面积公式关于a 、b 、c 的式子，求角C 大小•着重考查了三角形面积公式和正余弦定理等知识，属于基础题.故答案为:此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练 掌握正弦定理是解本题的关键.& （3分）（2004?福建）如图，将边长为 1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器•当这个正六棱柱容器的底面边长为7. （ 3分）在厶ABC 中, .....>-C =150，考点：正弦定理. 专题：计算题.分析: 解答:由A 为三角形的内角，根据cosA 的值求出sinA 的值，再由sinC 及a 的值，利用正弦定理求出c 的值，即为AB 的值.解：TA 为三角形的内角，cosA==「， 10•sin A _ 1 •■ ；［'_」-亍，BC _a _1■/ si nC=si n150•由正弦定理sinA sinC得: de*ix-gV10点评:考点：棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题：压轴题.分析：要求正六棱柱容器的容积最大，得需要得出容积表达式；由柱体的体积公式知，底面积是正六边形,是六个全等小正△的和，高是Rt △中60°角所对的直角边，由高和底面积得出容积函数，用求导法可以求出最大值时的自变量取值.解答：解：如图，设底面六边形的边长为x ,高为d ,则d=Ul ?2 （1 - x ）;又底面六边形的面积为: -：x 2;所以，这个正六棱柱容器的容积为:（1-x ）屮有最大值.也是中学数学的重要内容.9. （ 3分）函数y=x 4-4x+3在区间［-2, 3］上的最大值为72考点：利用导数求闭区间上函数的最值. 专题：导数的综合应用. 分析：先对函数进行求导，然后判断函数在 解答：解：T y=x 4 - 4x+3,S=6?丄?X"?sin60 ° =2V=SdJ :;X 2?），则对V 求导,—(2x — 3x 2),令 V =0,得 x=0 或 x 二,413当o v x v 上时，V'> 0, V 是增函数；当 x >二时，V'v 0,3 3V'= V 是减函数；••• x=匸时，V 3点评：本题通过建立体积函数表达式,由求导的方法求函数最大值, 是比较常用的解题思路,［-2, 3］上的单调性，进而确定最值.亠时，其容积最大•故答案为：匚/• y'=4x 3 - 4当y'=4x 3- 4>0时，x > 1,函数y=x 4- 4x+3单调递增 •••在［1 , 3］上，当x=3时函数取到最大值 72,当y'=4x 3 - 4v 0时，x V 1,函数y=x 4 - 4x+3单调递减 •••在［-2, 1］上，当x= - 2时函数取到最大值 27.•函数y=x 4- 4x+3在区间［-2，3］上的最大值为72 . 故答案为：72.点评：本题主要考查利用导数求函数的最值的问题•属基础题.10. （ 3分）如图，四边形 ABCD 中, AB=AD=CD=, _, BDL CD 将四边形 ABC ［沿对角线BD 折成四面体 A' - BCD 使平面A'BD 丄平面BCD 则BC 与平面A CD 所成的角的正弦 值为 「；.—3 —11. （ 3分）一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其底角为45腰和上底均为1 （如图），则平面图形的实际面积为2+二.考点：直线与平面所成的角. 专题：计算题；空间角. 分析：解答: 先证明BA 丄平面 A CD 可得/ BCA 为 BC 与平面A CD 所成的角, 与平面A CD 所成的角的正弦值.解：••• A B=A D=1, li _,• A B• B A 丄 A ' D•••平面A'BD 丄平面BCD BDL CD 平面 • C DL 平面 A'BD•/ BA ?平面 A'BD• B A 丄 CD•/ A ' D n CD=D• B A 丄平面A ' CD• / BCA 为BC 与平面A ' CD 所成的角 •••CD =1 |BD=V2, • B C= :■:即可求出 BC点评: BC 与平面A CD 所成的角的正弦值为故答案为:+A 'D 2=BE JA'BD n 平面 BCD=BD3本题考查的知识点是平面与平面垂直的性质及线面垂直的判定与性质, 垂直的性质定理，确定 BA 丄平面A CD 是解答本题的关键.其中利用面面考点：斜二测法画直观图.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：利用原图和直观图的关系，可得直观图，利用梯形面积公式求解即可.解答：解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1 ,高为2,下底为1+「』，（1+（+1）X 2=2+ ] ■:.故答案为：2+ .二点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查.12. （3分）按如图所示的流程图运算，则输出的S= 60「开始1 I考点：循环结构.专题：图表型.分析：根据流程图，先进行判定条件，不满足条件则运行循环体，一直执行到满足条件即跳出循环体，输出结果即可.解答：解：第一次运行得：S=5, a=4,满足a>3,则继续运行第二次运行得：S=20, a=3,不满足a>3,则继续运行第三次运行得：S=60, a=2,满足a>3,则停止运行输出S=60.故答案为：60.点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，在近两年的新课标地区高考都考查到了，属于基础题.13. （3分）某学校为了解该校1200名男生的百米成绩（单位：秒），随机选择了50名学生进行调查.如图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图.根据样本的频率分布，估计这1200名学生中成绩在［13 ,15］（单位：秒）内的人数大约是240 .考点：用样本的频率分布估计总体分布.专题：概率与统计.分析：先算出频率分布直方图前面两个成绩在［13 , 15］（单位：s ）内的频率，再利用频数等于频率乘以样本总数即可解得600名学生中成绩在［13 , 15］内的人数.解答：解：•••由图知，前面两个小矩形的面积=0.02 X 1+0.18 X 1=0.2，即频率，••• 1200名学生中成绩在［13 , 15］（单位：s）内的人数大约是0.2 X 1200=240. 故答案为240 .点评：在频率分布直方图中，每一个小矩形都是等宽的，即等于组距，其面积表示数据的取值落在相应区间上的频率，因此，每一个小矩形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值.14. （3分）如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCCL平面ABE已知AB=2,BC=1, AE=BE=二若M, N分别是线段DE CE上的动点，贝U AM+MN+N的最小值为 3 .考点：平面与平面垂直的性质.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：由面面垂直性质定理，得到AD1平面ABCD从而Rt△ ADE中，根据题中数据算出 / AED M AED=30 .证出△ CDE中，是边长为2的等边三角形，从而/ DEC=60 .将四棱锥E- ABCD勺侧面沿展开铺平如图，在展开图厶ABE中由余弦定理算出AB长等于3，即为AM+MN+N的最小值.解答:解：•••平面 ABCD_平面 ABE 平面ABC A 平面 ABE=AB ADLAB • ADL 平面 ABCD可得 Rt △ ADE 中，AD=1, AE 需,•••/ AED=30 ,同理得到/ BEC=30•/△ CDE 中 , CD=DE=CE=2DEC=60 ,将四棱锥E - ABCD 勺侧面AED DEC CEB 沿 DE CE 展开铺平如图, 则展开图厶ABE 中，/ AEB=120，由余弦定理得AB 2=AE 2+BE 2- 2AE?BE?cos120 =3+3- 2X 3X （- 丄）=9,2解之得 AB=3, 即卩AM+MN+B 的最小值为 3.故答案为：3.点评：本题给出四棱锥 E - ABCD 求折线AM+MN+B 的最小值.着重考查了面面垂直性质定理 解三角形和空间问题平面化的思路等知识，属于中档题.二、解答题15. （ 12分）如图，在三棱柱 ABC- A'B'C'中，点D 是BC 的中点，欲过点 A'作一截面与平 面AC'D 平行，问应当怎样画线，并说明理由.考点：平面与平面平行的判定. 专题：计算题.分析：取BC 的中点 E,连接 A'E 、A'B 、BE,则平面 A'EB //平面 AC'D, A'E 、A'B 、BE即为 应画的线.再利用平面和平面平行的判定定理即可证得平面A'EB /平面AC'D.解答：解：在三棱柱 ABC- A'B'C'中，点D 是BC 的中点，取 BC 的中点E ,连接A'E 、A'B 、 BE ,则平面 A'EB//平面 AC'D, A'E 、A'B 、BE 即为应画的线.证明：TD 为BC 的中点，E 为B'C'的中点，••• BD=C'E 又：BC// B'C',二四边形BDC'E 为平行四边形，••• DC'// BE连接DE 贝U D 也BB' , • D 也AA'，•四边形 AA'ED 是平行四边形，• AD// A'E .又••• A'E n BE=E A'E?平面 A'BE , BE?平面 A'BE , AD A DC'=D, AD?平面 AC'D , DC'? 平面AC'D,占•••平面 A'EB //平面 AC'D .点评：本题主要考查平面和平面平行的判定定理的应用，体现了数形结合的数学思想，属于 中档题.___ 3216. 已知函数 f (x ) =x - 3x - 9x+11.(1 )写出函数f (x )的递减区间；(2)讨论函数f (x )的极大值或极小值，如有试写出极值. (要列表求) 考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件. 专题：计算题；导数的综合应用.322分析：(1)由 f ( x ) =x - 3x - 9x+11，知 f '( x ) =3x - 6x - 9=3 (x+1)(x ) =3 ( x+1) (x - 3)v 0,能求出函数f (x )的递减区间.(2)由 f ( x ) =x - 3x - 9x+11，知 f '( x ) =3x - 6x - 9=3 (x+1) (x ) =3 ( x+1) (x - 3) =0,得X 1=- 1, X 2=3 .列表讨论，能求出函数 值和极小值.解答：解：(1)v f ( x ) =x 3- 3x 2- 9x+11 ,• f '( x ) =3x 2- 6x - 9=3 ( x+1) (x - 3),由 f '( x ) =3 (x+1) (x - 3)v 0,得—1 v x v 3. •函数f (x )的递减区间是(-1, 3).3 2(2)v f ( x ) =x - 3x - 9x+11 ,2• f '( x ) =3x - 6x - 9=3 ( x+1) (x - 3),由 f '( x ) =3 (x+1) (x - 3) =0,得 X 1= - 1, X 2=3. 列表讨论：x (-s, - 1) - 1(- 1, 3) 3f (x ) +-f '(x )f 极大值J极小值•••当x=- 1时，函数取得极林值 f (- 1) =- 1 - 3+9+11=16; 当x=3时，函数取得极小值 f (3) =27 - 27 - 27+1仁-16.点评：本题考样函数的单调递减区间的求法，考查函数的极值的求法.解题时要认真审题,仔细解答，注意导数性质的合理运用.17. (12 分)对于函数 f (s) -Q-―-—冷€ R):2^1(I) 是否存在实数a 使函数f (x )为奇函数？(n) 探究函数f (x )的单调性(不用证明)，并求出函数f (x )的值域. 考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明. 专题：计算题.分析：(I )因为f (X )的定义域为R ,所以f (0) =0，代入函数解析式即可解得a 的值，(x - 3),由 f ' (x - 3),由 f ' f(x )的极大(3, +s)再利用奇函数的定义证明此时的函数为奇函数即可；(II )先利用复合函数法判断函数f (x)的单调性，再利用复合函数法求此函数的值域即可解答：解：(I)假设存在实数a函数•…」是奇函数，因为f (x)的定义域为R,所以f (0) =a - 1=0，所以a=1此时 f &)-1- —二兰二!，则 f (-K)-227+l 2M2 *+1 1+2X所以f (x)为奇函数即存在实数a=1使函数f (x)为奇函数.(H)由(I)知，因为2x+1在R上递增，所以在R上递2X+1 2K+1减，所以F (汎)二—-—在R上递增.2X+1•••2x+1 > 1,•••2X+1即函数f (x)的值域为(-1,1 )点评：本题考查了奇函数的定义和性质，复合函数法判断函数的单调性和求函数的值域，分清复合函数的构成是解决本题的关键18. 如图组合体中，三棱柱ABC- ABC的侧面ABBA是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点.(1)求证：无论点C如何运动，平面ABCL平面AAC;(2 )当C是弧AB的中点时，求四棱锥A- BCCB1与圆柱的体积比.考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.分析：(I )欲证平面ABCL平面AAC根据面面垂直的判定定理可知在平面A1BC内一直线与平面AAC垂直，根据侧面ABBA是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A,B 重合一个点，贝U ACL BC 又圆柱母线AA丄平面ABC BC属于平面ABC贝卩AA丄BC 又AA Q AC=A根据线面垂直的判定定理可知BC L平面A AC而BC属于平面ABC,满足定理所需条件；（II ）设圆柱的底面半径为 r ,母线长度为h ,当点C 是弧r ，的中点时，求出三棱柱ABC- ABC 的体积，求出三棱锥 A i - ABC 的体积为，从而求出四棱锥 A i - BCCB 的体 积，再求出圆柱的体积，即可求出四棱锥A i - BCGB i 与圆柱的体积比.解答：解：（I ）因为侧面ABBA i 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与 A ，B 重合一个点， 所以AC L BC（ 2分）又圆柱母线 AA 丄平面 ABC BC 属于平面 ABC 所以AA 丄BC 又AA A AC=A 所以 BC L 平面 A i AC,因为BC?平面ABC 所以平面A i BC L 平面AAC; （6分）（II ）设圆柱的底面半径为 r ， 母线长度为h ，- 2当点C 是弧 八的中点时，三角形 ABC 的面积为r ，2三棱柱 ABC- A i B i C 的体积为r h ， 三棱锥Ai - ABC 的体积为丄J 卜，3r 11四棱锥A i -BCCB i 的体积为r 2h -丄J 卜卜，（i 0分）3113圆柱的体积为 nr 2h ，四棱锥A i - BCCB i 与圆柱的体积比为 2: 3n. （i 2分）点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体 积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思 想、化归与转化思想，属于中档题.i 9. （i 6分）已知二次函数 f （x ） =ax 2+bx+c （ a € N ），若不等式f （x ）v 2x 的解集为（i ， 4），且方程f （x ） =x 有两个相等的实数根.）求f （x ）的解析式；（2）若不等式f （x ）＞ mx 在x €（1，+8）上恒成立，求实数 m 的取值范围.考点： 一元二次不等式的解法. 专题： 分析：函数的性质及应用.）利用“3个二次”的关系即可得出；（2）不等式恒成立问题，通过分离参数转化为可以利用基本不等式求函数的最值.解答：解：(1)T 不等式f (X )v 2x 的解集为(1, 4),••• f ( 1)- 2=0, f (4)- 8=0,且 a > 0.又方程f (x ) =x 有两个相等的实数根，即ax 2+ (b - 1) x+c=0的厶=(b - 1) 2 - 4ac=0 .能求出f max (x ).(n)设过P 点的切线切曲线于点(X 0, y 。
扬州市2012—2013学年度第一学期期末调研测试试题
高三数学试卷第1页2012—2013学年度第二学期调研测试试题高 三 数 学2013．05全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）． 注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．第 一 部 分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1． 已知集合{1,2},{2,3}A B ==，则A B = ▲ ．2． 若复数21(4),()2z a i a R a =+-∈-是实数，则a = ▲ ．3． 已知某一组数据8,9,11,12,x ，若这组数据的平均数为10，则其方差为 ▲ ．4． 若以连续掷两次骰子得到的点数n m ,分别作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线4x y +=上的概率为 ▲ ．5． 运行如图语句，则输出的结果T ＝ ▲ ．6． 若抛物线28y x =的焦点与双曲线221x y m-=的右焦点重合，则双曲线的离心率为 ▲ ．7． 已知一个圆锥的底面圆的半径为1，，则该圆锥的侧面积为 ▲ ． 8． 将函数()2sin(),(0)3f x x πωω=->的图象向左平移3πω个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]64ππ-上为增函数，则ω最大值为 ▲ ．高三数学试卷第2页9． 已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM 的取值范围是 ▲ ．10． 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列，则{}n a 的通项公式是 ▲ ． 11． 若对任意x R ∈，不等式23324x ax x -≥-恒成立，则实数a 的范围 ▲ ． 12． 函数4log ,0()cos ,0x x f x x x >⎧=⎨≤⎩的图象上关于原点O 对称的点有 ▲ ．对.13． 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是椭圆221259x y +=上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且72OA OP ⋅=，则点P 横坐标的最大值为 ▲ ．14． 从x 轴上一点A 分别向函数3()f x x =-与函数332()||g x x x=+引不是水平方向的切线1l 和2l ，两切线1l 、2l 分别与y 轴相交于点B 和点C ，O 为坐标原点，记△OAB 的面积为1S ，△OAC 的面积为2S ，则1S +2S 的最小值为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知函数()sin()2cos()cos 22f x x x x x ππ=⋅--+⋅+.（1）求)(x f 的最小正周期；（2）在A B C ∆中，c b a ,,分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若4)(=A f ，1=b ，ABC ∆的面积为23，求a 的值.16．（本小题满分14分）已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AD ⊥平面A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上．（1）求证：平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1；（2）若3=AD ，AB=BC=2，P 为AC 中点，求三棱锥1P A BC -的体积。
江苏省扬州市2012学年高一数学下学期期末调研测试试题
扬州市2012—2013学年度第二学期高一数学期末试卷（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1． 0cos96cos24sin96cos56-= ▲ ．2． 过点(3,1)P -且与直线2350x y +-=垂直的直线方程为 ▲ ． 3． 在ABC ∆中，若222b c a bc +-=，则A = ▲ ． 4． 直线210x y -+=在两坐标轴上的截距之和为 ▲ ．5． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于 ▲ ． 6． 若1x y +=，则22x y +的最小值为 ▲ ． 7． 若数列{}n a 满足111,1n n a na a n +==+，则8a = ▲ ． 8． 若实数,x y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值是 ▲ ．9． 若sin1+=43πθ（），则sin 2θ= ▲ ． 10． 光线从A (1，0)出发经y 轴反射后到达圆2266170x y x y +--+=所走过的最短路程为 ▲ ． 11． 函数2sin sin()3y x x π=+-的最小值是 ▲ ．12． 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，给出下列结论：①若A B C >>，则C B A sin sin sin >>；②若sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为等边三角形； ③必存在,,A B C ，使C B A C B A tan tan tan tan tan tan ++<成立；④若︒===25,20,40B b a ，则ABC ∆必有两解．其中，结论正确的编号为 ▲ （写出所有正确结论的编号）． 13． 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 是直线:3l x =上的动点，过点(1,0)F 作OM的垂线与以OM 为直径的圆D 交于点(,)P m n ．则,m n 满足的关系式为 ▲ ． 14． 已知等比数列{}n a 中11a =，48a =，在n a 与1n a +两项之间依次插入12n -个正整数，得到数列}{n b ，即：12345,1,,2,3,,4,5,6,7,,8,9,10,11,12,13,14,15,,a a a a a ⋅⋅⋅．则数列}{n b 的前2013项之和2013S = ▲ (用数字作答)．二、解答题（本大题共6题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知函数()f x =21ax bx ++(1) 若()0f x >的解集是{}|34x x x <>或，求实数,a b 的值． (2) 若(1)1f -=且()2f x <恒成立，求实数a 的取值范围． 16．（本题满分14分） 已知17cos ,sin(),(0,),(,)3922ππβαβαβπ=-+=∈∈． （1）求cos 2β的值； （2）求sin α的值． 17．（本题满分15分）若等比数列{}n a 的前n 项和12n n S a =-． （1）求实数a 的值；（2）求数列{}n na 的前n 项和n R ．18．（本题满分15分）如图，某海域内的岛屿上有一直立信号塔AB ，设AB 延长线与海平面交于点O ．测量船在点O 的正东方向点C 处，测得塔顶A 的仰角为30︒，然后测量船沿CO 方向航行至D处，当1)CD =米时，测得塔顶A 的仰角为45．（1）求信号塔顶A 到海平面的距离AO ；（2）已知52AB =米，测量船在沿CO 方向航行的过程中，设DO x =，则当x 为何值时，使得在点D 处观测信号塔AB 的视角ADB ∠最大． 19．（本题满分16分）已知圆222:(0)O x y r r +=>与直线0x y -+=（1）求圆O 的方程；（2）过点的直线l 截圆所得弦长为求直线l 的方程；（3）设圆O 与x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 分别为1k ，2k 的直线交圆O 于,B C 两点，且12k k =-试证明直线BC 恒过一个定点，并求出该定点坐标．AB ODC20．（本题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈都有212+⎛⎫= ⎪⎝⎭nn a S 成立．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）记数列*,,n n b a n N R λλ=+∈∈ ，其前n 项和为n T ． ①若数列{}n T 的最小值为6T ，求实数λ的取值范围；②若数列{}n b 中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n b ，使得对任意*n N ∈，都有0n T ≠，且12311111111218n T T T T <++++<．若存在，求实数λ的所有取值；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题1. 12-2．32110x y -+= 3. 3π 4. 12- 5. 2 6. 12 7. 188. 329. 79- 10. 4 11. ①④13. 223m n += 14. 2007050 二、解答题15：解 (1) 由题意得：0a >且3,4是方程210ax bx ++=的两个根. ………………3分所以，931016410a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得17,1212a b ==- ………………7分 ⑵ 由(1)1f -=0a b ⇒-=，而()2f x <恒成立 , 即: 210ax bx +-<恒成立. ………………9分 所以0a <且240,b a ∆=+< ………………11分240a a a <⎧∴⎨+<⎩,解得 40a -<<，此为所求的a 的取值范围 ………………14分16解：⑴由条件：1cos ,(,)32πββπ=-∈得27cos 22cos 19ββ=-=-； ………6分⑵因为1cos ,(,)32πββπ=-∈，所以sin 3β=， ………8分 因为(0,),(,)22ππαβπ∈∈，所以3(,)22ππαβ+∈， ………9分又7sin()9αβ+=，所以cos()9αβ+=-， ………11分 所以1sin sin(())sin()cos cos()sin 3ααββαββαββ=+-=+-+=．………14分17：解⑴当n =1时，1112a S a ==-………2分 当2n ≥时，1111()()22n n n n n a S S a a --=-=--- 12n = ………5分则111122a a a ==-⇒=； ………7分⑵2n n n n a ⋅=，则231232222n n nR =++++ ① ………10分212321222n n nR -=++++ ② ………11分②-①得：222n n n R +=-． ………15分18⑴由题意知，在ACD ∆中，30,15ACD DAC ∠=∠=，………2分所以sin15sin 30CD AD=，得AD = ………5分在直角AOD ∆中，45ADO ∠=，所以100AO =（米）； ………7分⑵设,ADO BDO αβ∠=∠=，由⑴知，48BO =米， 则10048tan ,tan x xαβ==， ………9分 210048tan tan 52tan tan()100481tan tan 48001x x x ADB x x xαβαβαβ--∠=-===+⋅++⋅， ………11分 所以52tan 4800ADB x x ∠=≤=+ ………13分 当且仅当4800x x=即x =DO = tan ADB ∠取得最大值， ………14分此时点D 处观测信号塔AB 的视角ADB ∠最大． ………15分19⑴由题意知，2d r ===，所以圆O 的方程为224x y +=； ………4分⑵若直线l 的斜率不存在，直线l 为1x =，此时直线l截圆所得弦长为 ………5分若直线l的斜率存在，设直线为(1)y k x -=-，即3330kx y k -=，由题意知，圆心到直线的距离为1d ==，所以k =， 则直线l为20x -=． ………7分 所以所求的直线为1x =或20x -=． ………8分 ⑶由题意知，(2,0)A -，设直线1:(2)AB y k x =+，则122(2)4y k x x y =+⎧⎨+=⎩，得2222111(1)4(44)0k x k x k +++-=，所以2121441A B k x x k -⋅=+， 所以2121221B k x k -=+，12141B k y k =+，即2112211224(,)11k k B k k -++ ………11分因为122k k =-，用12k -代替1k ，得2112211288(,)44k k C k k --++， ………12分 所以直线BC 为1122211112222111122114881428()22284414k k k k k k y x k k k k k k ---++--=---++-++ ………14分即21112221118328()424k k k y x k k k ---=-+-+，得1112221113232()2223k k k y x x k k k =+=+---， 所以直线BC 恒过定点2(,0)3-． ………16分20⑴法一：由212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭得：2421n n n S a a =++①，2111421n n n S a a +++=++②， ②-①得221111114222()()()n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ++++++=-+-⇒+=+- 由题知10n n a a ++≠得12n n a a +-=， ………2分又21111()2a S a +==2111421a a a ⇒=++ 得 21121n n a a n S n ==-=； ………4分法二：由212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭得：21111()2a S a +==得111a S == 2n ≥时111n n n a S S -=+=-+得2=）1=所以2n n S n =⇒=； ………4分 ⑵①由221n n b n T n n λλ=-+⇒=+最小值为6T 即266366n T T n n T λλ≥⇒+≥=+则1113[13,11]222λλ≤-≤⇒∈--；………8分 ②因为{}n b 是“封闭数列”，设p q m b b b +=（*,,p q m Z ∈，且任意两个不相等 ）得 2121212()1p q m m p q λλλλ-++-+=-+⇒=--+，则λ为奇数………9分由任意*n N ∈，都有0n T ≠，且12311111111218n T T T T <++++< 得11111711121811T λ<<⇒<<，即λ的可能值为1,3,5,7,9， ………11分又2n T n n λ=+>0， 因为1111()()n n n n λλλ=-++ ………12分检验得满足条件的λ=3,5,7,9， ………15分即存在这样的“封闭数列” {}n b ，使得对任意*n N ∈，都有0n T ≠， 且12311111111218n T T T T <++++<， 所以实数λ的所有取值集合为{3,5,7,9}． ………16分。
江苏省扬州市2012-2013学年高一数学3月月考
- 1 -1A2A120 105 乙江苏省扬州中学2012—2013学年第二学期阶段测试高一数学试题一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知0sin ,0cos <>αα，则α为第 ▲ 象限角。
2．若23ππ<<x ，则方程2sin 10x +=的解x = ▲ ． 3．下列函数为偶函数，且在(),0-∞上单调递增的函数是 ▲ ．①()23f x x = ②()3f x x -= ③()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭④x x f lg )(=4．已知135sin ,53)cos(-==-ββα，且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈，则=αsin ▲ ．5．在ABC ∆中,1,2,120==︒=∠AC AB BAC ,D 是边BC 上一点,BD DC 2=,则=⋅BC AD ▲ ．6．在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，若bc c b a ++=222，且sin sin 1B C +=，则角B= ▲ ．7．在△ABC 中，如果1tan tan 0<<B A ，那么△ABC 是 ▲ 三角形．(填“钝角”、“锐角”、“直角”)8．设()f x 是以2为周期的奇函数，且2(35f -=，若sin α=，则(4cos 2)f α的值 为 ▲ ．9．在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34π后得向量OQ ， 则点Q 的坐标是 ▲．10．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定 方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距 乙船每小时航行 ▲ 海里？11．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝ π3，当△ABC 的面积为3时，tan C ＝ ▲ ．12．在ABC ∆中,66cos ,364=∠=ABC AB ,边AC 上的中线5=BD ,则 =A sin ▲ ．- 2 - 13．对任意实数x 和任意]2,0[πθ∈，恒有81)cos sin ()cos sin 23( 22≥+++++θθθθa a x x ，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．定义区间()[)(][],,,,,,,c d c d c d c d 的长度均为d c -，其中d c >。
扬州中学2012-2013学年高一5月月考数学
11.设Sn＝1＋2＋3＋…＋n，n∈N*，则函数f(n)＝ 的最大值为________．
12.直线l：x＝my＋n(n＞0)过点A(4,4 )，若可行域 的外接圆直径为 ，则实数n的值是__________．
15．
16．
17．
18．
【19、20答案写在反面】
高一数学试卷参考答案2013、5
1．(9,－4)2．－23．84．－15． 6． 7．2
8．19．－210．{ ,3,－6}11． 12．813．214．[1,5]
【14】：目标求a的取值范围，故要消去变量b,c．由条件： ∴ ∵b2＋c2＝－a2＋14a＋5≥0∴a2－14a－5≥0
＝2×2(2n－1)－2－(2n－1)·2n+1＝(3－2n)·2n+1－6
∴Sn＝(2n－3)·2n+1＋6；························10
（3）由（2）得dn＝2n－1,Sn＝(2n－3)·2n+1＋6.
故不等式 (Sn－6)＞dn等价于(2n－3)·2n+1＞50(2n－1).
∴当n≥6时，(2n－3)·2n+1＞50(2n－1)成立，即 (Sn－6)＞dn成立.
∴满足条件的所有正整数N＝5,6,7,···,20．························16
19.
【本题满分16分】
已知二次函数f(x)满足f(－1)＝0，且x≤f(x)≤ (x2＋1)对一切实数x恒成立．
（1）求f(1)；
（2）求f(x)的解析表达式；
江苏省扬州市2024年高一下学期6月期末数学试题
2023—2024学年高一第二学期期末检测数学2024.06一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1. 设复数z 满足i 1i z −=+，则i z =（ ） A. 2i +B. 2i −C. i −D. i2. 方程2ln 50x x +−=的解所在区间为（ ） A. ()4,5B. ()3,4C. ()2,3D. ()1,23. 数据63,65,70,73,76,78,80,84,88,90的45百分位数为（ ） A. 73B. 76C. 77D. 784. 已知平面向量()()1,0,1,2a b ==−，则a 在b上的投影向量为（ ）A. 12,55 −B. 12,55−C.D. 5. 如图，为了测量河对岸,A B 两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点,,C D E .从D 点测得67.5ADC ∠= ，从C 点测得45,75ACD BCE ∠=∠=，从E 点测得60BEC ∠=.若测得DCCE =，则,A B 两点的距离为（ ）百米.AB.C.D. 36. 在正方体1111ABCD A B C D −中，,,,E F G H 分别是棱111,,,AA AB BC C D 的中点，下列结论正确的是（ ）. A. EF 1GDB. 1D E FG ⊥.C. FG ⊥平面11BB D DD. 平面1D EF 平面1GHC7. 如图，在ABC 中，,D E 是BC 上的两个三等分点，12,9,60AB AC BAC ∠=== ，则AD AE ⋅的值为（ ）A. 50B. 80C. 86D. 1108. 已知ππcos cos sin cos 36αααα+=−，则πtan 24α+的值（ ）A.B.C. 2D. 2二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9. 在ABC 中，角A B C ､､所对的边为a b c ､､，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ）A. 4,5,6a b c === B. 30,45,5A B c ===C. 2,45ab A == D. 3,2,60a b C ===10. 连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上点数小于3”记为事件A ，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件B ，“两次拋掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件C ，则下列叙述中正确的有（ ） A. A 与B 互斥 B. A 与C 相互独立 C. B 与C 对立D. ()23P A B +=11. 如图，正方形ABCD 中心为O ，边长为4，将其沿对角线AC 折成直二面角D AC B ′−−，设M 为AD ′的中点，N 为BC 的中点，则下列结论正确的有（ ）的的A. 三棱锥D ABC ′−的外接球表面积为32πB. 直线MN 与平面ABC 所成角正切值为12 C. 点C 到平面OMND. 三角形MON 沿直线MN三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知一个正四棱台的体积为3152cm ，上､下底面边长分别为4cm 6cm ､，则棱台的高为__________cm .13. 若复数z 满足2i 1z −=，则z 的最小值是__________. 14. 已知ABC 面积为S)2AB AC S ⋅=，则A ∠=__________.；若2B C ∠=∠，延长CB 至点D ，使得BD AC =，则tan ADC ∠=__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知()()0,1,1,2a b ==−.设()2,AB a b BC a b λλ=+=+∈R. （1）若,,A B C 三点共线，求λ的值； （2）若AB BC ⊥，求λ的值.16. 某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示：的的年龄 [)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,70保费（单位：元） x2x3x5x7x（1）若采用分层抽样的方法，从年龄段在[)30,40和[)40,50内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在[)30,40内的概率. （2）由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段[)50,60的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？17. 已知函数()2ππsin 2sin 22cos 233f x x x x=++−+−. （1）当π0,2x∈时，求函数(f x 的值域；（2）求函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和.18. 如图，在斜三棱柱111ABC A B C 中，侧面11ABB A 为菱形，1160,22A AB AB A CBC ∠==== ，90,ACB M ∠= 为AB 中点，1AC 与1AC 的交点为N .（1）求证：MN //平面11BCC B ； （2）求证：1A M ⊥平面ABC ；（3）求二面角1B AA C −−的正弦值.19. 如图所示，已知ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，在ABD △中，6,3AD BD ==，2DE EB =.（1）若135ADB ∠= ，求ABC 的面积； （2）①求26cos AB AB ABD ∠−⋅的值； ②求2CE 的最大值.。
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2012-2013学年江苏省扬州中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）求值sin75°=．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：把75°变为45°+30°，然后利用两角和的正弦函数公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．解答：解：sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=×+×=故答案为：点评：此题考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．学生做题时注意角度75°的变换，与此类似的还有求sin15°．2．（5分）已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则实数a的取值是﹣1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：两直线的斜率都存在，由平行条件列出方程，求出a即可．解答：解：由题意知，两直线的斜率都存在，由l1与l2平行得﹣=∴a=﹣1 a=2，当a=2时，两直线重合．∴a=﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查斜率都存在的两直线平行的性质，一次项的系数之比相等，但不等于常数项之比．3．（5分）在△ABC中，若b2+c2﹣a2=bc，则A=60°．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：∵b2+c2﹣a2=bc，∴根据余弦定理得：cosA===，又A为三角形的内角，则A=60°．故答案为：60°点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入得数学思想，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．4．（5分）直线x﹣2y+1=0在两坐标轴上的截距之和为﹣．考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：根据直线x﹣2y+1=0的方程，分别令x，y分别为0，可得截距，进而可得答案．解答：解：因为直线l的方程为：x﹣2y+1=0，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=﹣1，故直线l在两坐标轴上的截距之和为+（﹣1）=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查直线的一般式方程与直线的截距式方程，涉及截距的求解，属基础题．5．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d=2．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和求和公式可得a2=4，进而可得d=a3﹣a2，代入求解即可．解答：解：由题意可得S3===12，解得a2=4，故公差d=a3﹣a2=6﹣4=2故答案为：2点评：本题考查等差数列的前n项和公式和公差的求解，属基础题．6．（5分）若x+y=1，则x2+y2的最小值为．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：在平面直角坐标系中作出直线x+y=1，由x2+y2=（）2可知x2+y2的最小值是原点到直线x+y=1的距离的平方．解答：解：如图，由题意可知，求x2+y2的最小值是求原点到直线x+y=1的距离的平方，化x+y=1为一般式，即x+y﹣1=0，则（0，0）到x+y﹣1=0的距离为=，所以原点到直线x+y=1的距离的平方为（）2=．故答案为：．点评：本题考查了点到直线的距离公式，考查了数学转化思想和数形结合思想，解答此题的关键是对x2+y2的几何意义的理解，此题是中档题．7．（5分）若数列{a n}满a1=1，=，a8=．考点：数列递推式；数列的函数特性．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用累乘法可得a8=，代入数值即可得到答案．解答：解：a8===，故答案为：．点评：本题考查数列的函数特性、由递推式求数列的项，考查累乘法求数列通项．8．（5分）设实数x，y满足，则的最大值是．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：先画出不等式组所表示的平面区域，然后根据的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率，从而可求出的最大值．解答：解：根据实数x，y满足，画出约束条件，如右图中阴影部分而的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率当过点A（1，）时斜率最大，最大值为故答案为：点评：本题主要考查了线性规划为载体考查的几何意义，同时考查了作图能力和运算求解的能力，属于基础题．9．（5分）（2012•海口模拟）设sin（+θ）=，则sin2θ=﹣．考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用两角和的正弦公式可得+=，平方可得+sin2θ=，由此解得sin2θ的值．解答：解：∵sin（+θ）=，即+=，平方可得+sin2θ=，解得sin2θ=﹣，故答案为﹣．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的正弦的应用，属于基础题．10．（5分）光线从A（1，0）出发经y轴反射后到达x2+y2﹣6x﹣6y+17=0所走过的最短路程为4．考点：点与圆的位置关系；两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：由对称性求出A（1，0）关于直线x=0对称点M（﹣1，0），化圆的一般方程为标准方程求出圆心坐标和半径，利用M到圆心的距离减去半径得答案．解答：解：找出A（1，0）关于直线x=0对称点M（﹣1，0）光线与y轴交点为P，所以有|PA|=|PM|，最短路程等于M到原心的距离减去半径．由x2+y2﹣6x﹣6y+17=0，得（x﹣3）2+（y﹣3）2=1．所以圆的半径为2，圆心为C（3，3）MC的距离为．所以最短路程为5﹣1=4．故答案为4．点评：本题考查了两点间的距离公式，考查了点与圆的位置关系，解答的关键是对题意的理解，是基础题．11．（5分）函y=2sinx+sin（﹣x）的最小值是﹣．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用三角函数的诱导公式及和角公式将函数y=2sinx+sin（﹣x）化简为sin（x+），求出最小值．解答：解：y=2sinx+sin（﹣x）=2sinx+cosx﹣sinx=sinx+cosx=sin（x+）所以最小值为﹣故答案为：﹣．点评：本题主要考查三角函数最值的求法，一般都要把函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式再解题．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若==，△ABC为等边三角形；③必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有两解．其中，结论正确的编号为①④（写出所有正确结论的编号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：解三角形．分析：①由正弦定理，将角转化为边的关系，进而判断，角的正弦值之间的关系．②由正弦定理，得出角的正弦值与余弦值之间的关系，从而求出角，A，B，C的大小．③利用两角和的正切公式，将不等式进行化简，然后进行判断．④根据边角关系，判断三角形解的个数．解答：解：①在三角形中，A＞B＞C，得a＞b＞c．，由正弦定理可知sinA ＞sinB＞sinC，所以①正确．②由正弦定理条件知，，即sinBcosC=cosBsinC，所以sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，解得B=C．所以△ABC为等腰三角形，所以②错误．③tanA+tanB+tanC﹣tanAtanBtanC=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）+tanC﹣tanAtanBtanC=﹣tanC（1﹣tanAtanB）+tanC﹣tanAtanBtanC=﹣tanC．若C为锐角，则tanA+tanB+tanC﹣tanAtanBtanC＜0，此时tanAtanBtanC＞tanA+tanB+tanC．若C为钝角，则tanA+tanB+tanC﹣tanAtanBtanC＜0，此时tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC．所以③错误．④因为，即asinB＜b＜a，所以，△ABC必有两解．所以④正确．故答案为：①④．点评：本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，要求熟练掌握相关的三角公式和定理．13．（5分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，M是直线l：x=3上的动点，过点F（1，0）作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点P（m，n）．则m，n满足的关系式为m2+n2=3．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：设点M（3，k），则由PF⊥OM可得=﹣1，化简可得nk=3﹣3m ①．再由题意可得△OPM为直角三角形，故由勾股定理可得OP2+PM2=OM2，化简可得2m2+2n2﹣6m﹣2nk=0 ②．再把①代入②化简可得结果．解答：解：设点M（3，k），则由PF⊥OM可得=﹣1，化简可得nk=3﹣3m ①．再由直径对的圆周角为直角，可得OP⊥PM，△OPM为直角三角形，故由勾股定理可得OP2+PM2=OM2，即m2+n2+（m﹣3）2+（n﹣k）2=32+k2．化简可得2m2+2n2﹣6m﹣2nk=0 ②．再把①代入②化简可得m2+n2=3，故答案为m2+n2=3．点评：本题主要考查两条直线垂直的性质，直线和圆相交的性质，属于中档题．14．（5分）已知等比数{a n }，a 1=1，a 4=8，在a n 与a n+1两项之间依次插入2n ﹣1个正整数，得到数列{b n }，即a 1，1，a 2，2，3，a 3，4，5，6，7，a 4，8，9，10，11，12，13，14，15，a 5，…则数列{b n }的前2013项之和S 2013= 2007050 （用数字作答）．考点：等比数列的前n 项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 在数列{b n }中，到a n 项共有=n+（1+2+…+2n ﹣2）=n+=2n ﹣1+n ﹣1项，即为f （n ）（n ≥2），因此判断出共含有a n 的项数，进而即可得出S 2013． 解答： 解：在数列{b n }中，到a n 项共有=n+（1+2+…+2n ﹣2）=n+=2n ﹣1+n ﹣1项，即为f （n ）（n ≥2）．则f （11）=210+11﹣1=1034，f （12）=211+12﹣1=2059．设等比数{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 4=8，得1×q 3=8，解得q=2， 因此S 2013=a 1+a 2+…+a 10+a 11+1+2+3+…+2002=+=2007050．故答案为2007050．点评： 熟练掌握等差数列和等比数列的前n 项和公式及由已知判断出共含有a n 的项数是解题的关键．二、解答题（本大题共6题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14分）已知二次函数y=f （x ）图象的顶点是（﹣1，3），又f （0）=4，一次函数y=g （x ）的图象过（﹣2，0）和（0，2）．（1）求函数y=f （x ）和函数y=g （x ）的解析式； （2）求关于x 的不等式f （x ）＞3g （x ）的解集．考点： 二次函数的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）利用待定系数法分别求出二次函数y=f （x ）和一次函数y=g （x ）的解析式．（2）利用（1）的结论，解不等式f （x ）＞3g （x ）．解答： 解：（Ⅰ）设f （x ）=a （x+1）2+3，∵f （0）=4，解得a=1．∴函数解析式为f （x ）=（x+1）2+3=x 2+2x+4．…（4分） 又因为次函数y=g （x ）的图象过（﹣2，0）和（0，2）．所以得直线的截距式方程，g （x ）=x+2． …（8分）（Ⅱ）f （x ）＞3g （x ）得x 2﹣x ﹣2＞0解得x ＞2或x ＜﹣1 …（13分）∴不等式f（x）＞3g（x）的解集为{x|x＞2或x＜﹣1} …（14分）点评：本题的考点是利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，以及一元二次不等式的解法．16．（14分）已知cosβ=﹣，sin（α+β）=，α∈（0，），β∈（，π）．（1）求cos2β的值；（2）求sinα的值．考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用二倍角的余弦函数公式化简cos2β，将cosβ的值代入计算即可求出值；（2）由cosβ的值，以及β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinβ的值，再由α与β的范围求出α+β的范围，根据sin（α+β）的值求出cos（α+β）的值，sinα=[（α+β）﹣β]，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）∵cosβ=﹣，∴cos2β=2cos2β﹣1=﹣；（2）∵cosβ=﹣，β∈（，π），∴sinβ==，∵α∈（0，），β∈（，π），∴α+β∈（，），又sin（α+β）=，∴cos（α+β）=﹣=﹣，则sinα=sin[（α+β）﹣β]=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×（﹣）+×=．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．17．（15分）若等比数列{a n}的前n项和S n=a﹣．（1）求实数a的值；（2）求数列{na n}的前n项和R n．考点：等比数列的前n项和；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）当n=1时，a1=S1=a﹣．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，再由a1==a﹣，解得a的值．（2）na n=，则R n=+++…+，可得2R n=1+++…+，②﹣①求得：R n的解析式．解答：解：（1）当n=1时，a1=S1=a﹣．…（2分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a﹣）﹣（a﹣）=，…（5分）则a1==a﹣，解得a=1．…（7分）（2）na n=，则R n=+++…+，①…（10分）∴2R n=1+++…+，②…（11分）②﹣①求得：R n=2﹣．…（15分）点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．18．（15分）如图，某海域内的岛屿上有一直立信号塔AB，设AB延长线与海平面交于点O．测量船在点O的正东方向点C处，测得塔顶A的仰角为30°，然后测量船沿CO方向航行至D处，当CD=100（﹣1）米时，测得塔顶A的仰角为45°．（1）求信号塔顶A到海平面的距离AO；（2）已知AB=52米，测量船在沿CO方向航行的过程中，设DO=x，则当x为何值时，使得在点D处观测信号塔AB的视角∠ADB最大．考点：正弦定理；两角和与差的正切函数．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由题意知，在△ACD中，∠ACD=30°，∠DAC=15°，利用正弦定理可求得AD，在直角△AOD中，∠ADO=45°，从而可求得AO；（2）设∠ADO=α，∠BDO=β，依题意，tanα=，tanβ=，可求得tan∠ADB=tan （α﹣β）==，利用基本不等式可求得tan∠ADB的最大值，从而可得答案．解答：解：（1）由题意知，在△ACD中，∠ACD=30°，∠DAC=15°，…（2分）所以=，得AD=100，…（5分）在直角△AOD中，∠ADO=45°，所以AO=100（米）；…（7分）（2）设∠ADO=α，∠BDO=β，由（1）知，BO=48米，则tanα=，tanβ=，…（9分）tan∠ADB=tan（α﹣β）===，…（11分）所以tan∠ADB=≤=，…（13分）当且仅当x=即x=40亦即DO=40时，tan∠ADB取得最大值，…（14分）此时点D处观测信号塔AB的视角∠ADB最大．…（15分）点评：本题考查正弦定理，考查两角和与差的正切函数，突出考查基本不等式的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．19．（16分）已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线x﹣y+2=0相切．（1）求圆O的方程；（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程；（3）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O 于B，C两点，且k1k2=﹣2，试证明直线BC恒过一个定点，并求出该定点坐标．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）由圆O与直线相切，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即可确定出圆的方程；（2）分两种情况考虑：当直线l斜率不存在时，直线x=1满足题意；当直线l斜率存在时，设出直线方程，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d=r，列出关于k 的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线l的方程，综上，得到满足题意直线l的方程；（3）根据题意求出A的坐标，设出直线AB的解析式，与圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之积，将A的横坐标代入表示出B 的横坐标，进而表示出B的纵坐标，确定出B坐标，由题中k1k2=﹣2，表示出C坐标，进而表示出直线BC的解析式，即可确定出直线BC恒过一个定点，求出定点坐标即可．解答：解：（1）∵圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线x﹣y+2=0相切，∴圆心O到直线的距离d==2=r，∴圆O的方程为x2+y2=4；（2）若直线l的斜率不存在，直线l为x=1，此时直线l截圆所得弦长为2，符合题意；若直线l的斜率存在，设直线为y﹣=k（x﹣1），即3kx﹣3y+﹣3k=0，由题意知，圆心到直线的距离为d==1，解得：k=﹣，此时直线l为x+y﹣2=0，则所求的直线为x=1或x+y﹣2=0；（3）由题意知，A（﹣2，0），设直线AB：y=k1（x+2），与圆方程联立得：，消去y得：（1+k12）x2+4k12x+（4k12﹣4）=0，∴x A•x B=，∴x B=，y B=，即B（，），∵k1k2=﹣2，用代替k1得：C（，），∴直线BC方程为y﹣=（x﹣），即y﹣=（x﹣），整理得：y=x+=（x+），则直线BC定点（﹣，0）．点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，直线的两点式方程，点到直线的距离公式，以及恒过定点的直线方程，利用了分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*都有S n=（）2成立．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）记数列b n=a n+λ，n∈N*，λ∈R，其前n项和为T n．①若数列{T n}的最小值为T6，求实数λ的取值范围；②若数列{b n}中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．试问：是否存在这样的“封闭数列”{b n}，使得对任意n∈N*，都有T n≠0，且＜+++L+＜．若存在，求实数λ的所有取值；若不存在，请说明理由．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用，即可得到法一或法二；（2）①由题意可得T n≥T6，即可求出λ的取值范围；②因{bn}是“封闭数列”，设b p+b q=b m（p，q，m∈Z*，且任意两个不相等）得2p﹣1+λ+2q﹣1+λ=2m﹣1+λ，化为λ=2（m﹣p﹣q）+1，则λ为奇数．由任意n∈N*，都有T n≠0，且＜+++…+＜．得，化为，即λ的可能值为1，3，5，7，9，又＞0，因为，检验得满足条件的λ=3，5，7，9，解答：（1）法一：由S n=（）2得：①，②，②﹣①得，得到2（a n+1+a n）=（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）由题知a n+1+a n≠0得a n+1﹣a n=2，又，化为，解得a1=1．∴数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=2n﹣1，因此前n项和S n==n2；法二：由，化为，解得a1=1．当n≥2时，，得到，即所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴=n，得到．（2）①由b n+2n﹣1+λ得到其前n项和T n=n2+λn，由题意T n最小值为T6，即T n≥T6，n2+λn≥36+6λ，化为，∴λ∈[﹣13，﹣11]．②因{bn}是“封闭数列”，设b p+b q=b m（p，q，m∈Z*，且任意两个不相等）得2p﹣1+λ+2q﹣1+λ=2m﹣1+λ，化为λ=2（m﹣p﹣q）+1，则λ为奇数．由任意n∈N*，都有T n≠0，且＜+++…+＜．得，化为，即λ的可能值为1，3，5，7，9，又＞0，因为，检验得满足条件的λ=3，5，7，9，即存在这样的“封闭数列”{b n}，使得对任意n∈N*，都有T n≠0，且＜+++…+＜．，所以实数λ的所有取值集合为{3，5，7，9}．点评：数列掌握进行转化及正确理解“封闭数列”的意义是解题的关键．。