九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第3课时坡度问题教案新版华东师大版
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》公开课教案_1
《解直角三角形的应用》(坡度、坡角等）教学设计《解直角三角形的应用（坡度、坡角等）》教学设计教学思路本节课研究的是坡度坡角问题，它实质是利用解直角三角形的知识来解决新问题，通过学生对正切知识的复习和对本节知识的预习，理解坡度和坡角的相关概念，并利用新知识解决学生生活中比较熟悉的问题，让学生体会数学来源于生活并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求。
通过对综合性实际问题的解决，提高学生解决实际问题的能力，并获得解答应用题的一些经验，有效完成本节课的教学任务。
教学内容本节内容是华师大版九年级上册第二十四章24.4第三节知识。
教学目标一、知识与能力1.掌握坡度，坡角等概念，把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决；2、能应用解直角三角形的知识解答综合的实际问题；3、能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合，抽象归纳的思想方法。
二、数学思考1、把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决；2、感知本节知识与现实生活的联系，体会数学来源于生活，又服务于生活。
三、情感态度和价值观通过本节课的学习，一方面增强学生对解直角三角形的应用意识，另一方面培养学生耐心、细致、认真的学习态度。
教学重点理解坡度和坡角的概念．教学难点利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题．A┌ 教师准备幻灯片、三角板学生准备预习新课，完成导学案“温故互查”和“设问导读”教学过程一、导入新课在我们的生活中有很多的山坡，有的山坡很陡，有的山坡比较缓，那么我们如何从数量上来描述山坡的陡缓程度呢？这就是我们今天要学习的内容。
二、明确目标学生齐读学习目标学习目标：1.掌握坡度，坡角等概念，把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决．2.能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合，抽象归纳的思想方法。
3.感知本节知识与现实生活的联系，体会数学来源于生活，又服务于生活。
重点、难点1.利用坡度、坡角解直角三角形；2.解直角三角形在实际中的应用及辅助线的添加方法。
华东师大版九年级数学上册24.4解直角三角形第3课时教学设计
1.教学活动设计：
在课堂练习环节，我会提供以下几道题目：
（1）已知直角三角形的两边，求解第三边和两个锐角。
（2）实际问题：测量旗杆的高度、建筑物的高度等。
学生在练习过程中，我会巡回指导，解答学生的疑问。
2.教学内容关联：
通过课堂练习，让学生在实际问题中运用解直角三角形的方法，提高解题能力和应用意识。
4.利用计算器进行计算，提高学生的计算速度和准确性，培养学生的信息技术素养。
（三）情感态度与价值。
2.培养学生勇于探索、善于思考的良好学习习惯，增强学生的自信心。
3.培养学生在实际生活中发现数学问题，运用数学知识解决问题的意识。
4.通过解直角三角形的过程，让学生体会到数学在生活中的广泛应用，增强学生的应用意识。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
本节课开始时，我将向学生展示一座高楼和一座距离高楼一定距离的观测塔。提出问题：“如何通过测量地面到观测塔的高度和观测塔到高楼顶部的距离，计算出高楼的高度？”这个问题与学生的日常生活紧密相关，能够激发他们的好奇心和学习兴趣。
2.教学内容关联：
通过这个实际问题，引导学生回顾直角三角形的性质和勾股定理。在此基础上，导入本节课的教学内容——解直角三角形。
在教学过程中，注重知识、技能、过程、方法、情感态度与价值观的有机统一，使学生在掌握知识的同时，提高能力，培养良好的学习态度和价值观。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形的概念和性质有了初步的了解，掌握了勾股定理及其应用。在此基础上，学生对解直角三角形的学习具备以下特点：
1.学生已经熟悉了三角函数的概念，但对三角函数在实际问题中的应用还需进一步巩固和拓展。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》精品课件_3
(2)在 Rt△ABE 中，i1＝1∶3，BE＝23 米， ∴AE＝3BE＝3×23＝69(米)，
AB＝ AE2＋BE2＝ 692＋232 ＝ 5290≈72.7(米)． 在 Rt△CDF 中，i2＝1∶2.5，CF＝BE＝23 米， ∴DF＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(米)． ∴ AD ＝ AE ＋ EF ＋ FD ＝ AE ＋ BC ＋ FD ＝ 69 ＋ 6 ＋ 57.5 ＝
新知梳理
三．自学检测
1.一段坡面坡角为 60°,则坡度i =_______。
2.小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000米，则他升高了 ________米。
3.一水库迎水坡坡度1： 3 ，则该坡坡角α=_______。
4.坡度和坡角的应用
随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，今年 为提前做好防洪准备工作，某市正在长江边某处常出 现险情的河段修建一防洪大坝，其横断面为梯形 ABCD，如图所示，你能求出DC的长吗？
归纳总结
解决坡度问题的一般规律：
(1)正确理解坡度与坡角的关系：i＝tanα ＝hl；
(2)建立适当的数学模型，水渠、堤坝、土坡的横断面 一般是梯形，解这类问题通常将梯形分割成直角三角形和矩 形，转化为解直角三角形的问题；
(3)由不同的坡比构建不同的直角三角形求解，应抓住 关2.5(米)．
拓展提升
如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角 为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部 专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石加固，并使上底加宽2米，加固后 ，背水坡EF的坡比i＝1∶2.
(1)求加固后坝底增加的宽度AF的长； (2)求完成这项工程需要土石方多少立方米．
九年级数学上册24.4.3用解直角三角形解坡角问题学案华东师大版
AB C┌ 用解直角三角形解坡角问题一、学习目标1.掌握测量中坡角、坡度的概念以及坡角与坡度的关系。
2.利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题。
二、学习重点重点: .掌握测量中坡角、坡度的概念以及坡角与坡度的关系 难点：把实际问题转化为数学问题。
三、自主预习(一）旧知回顾仰角：_________________________________________________________________ 俯角：__________________________________________________________________方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________． (二)自学课本115-116页，理解坡度、坡角的概念。
坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。
坡角与坡度之间的关系是：i ＝lh=tana 。
坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。
6．如上图坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tan α＝i ＝____．四、合作探究1、如图，有一斜坡AB 长40m ，坡顶离地面的高度为20m,求此斜坡的倾斜角.2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°. (1)求坡角∠ABC 的大小;(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).分析：在涉及梯形问题时，常常首先把梯形分割成我们熟悉的三角形、平ABCD行四边形，再借助这些熟悉图形的性质与特征来加以研究。
五、巩固反馈1.一坡面的坡角为600，则坡度i=2.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个破面的坡度为 .3.如图3，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（ ）A. αcos 5B. αcos 5C. αsin 5D. αsin 54.如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原背水坡长BD=13.4米, 求: (1)原背水坡的坡角和加宽后的背水坡的坡角 ； (2)加宽后水坝的横截面面积增加了多少?(精确到0.01)2.01:2.51:2αβB CA DE Fα5米A B图32019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．42．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为()A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠03．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图正确的为（）A． B． C． D．4．如图，实数﹣3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q5．下列各数中是有理数的是（）A．πB．0 C．2D．356．点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（-3，4），这种图形变化可以是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．绕原点逆时针旋转90o D．绕原点顺时针旋转90o7．如图，将一正方形纸片沿图（1）、（2）的虚线对折，得到图（3），然后沿图（3）中虚线的剪去一个角，展开得平面图形（4），则图（3）的虚线是（）A．B．C．D．89153）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间9．若55+55+55+55+55＝25n，则n的值为（）A．10 B．6 C．5 D．310．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)11．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．912．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知反比例函数y=2mx，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是_____．14．如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为1003米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是_____米．（结果保留根号）15．如图，AB∥CD，BE交CD于点D，CE⊥BE于点E，若∠B=34°，则∠C的大小为________度．16．已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形向右平移，当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，小正方形平移的距离为_____厘米．17．如图，一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O，则AB：CD等于______．18．若m、n 是方程x2+2018x﹣1=0 的两个根，则m2n+mn2﹣mn=_________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．求证：△ADE∽△MAB；求DE的长．20．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？⨯的矩形方格纸中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正21．（6分）如图，在65方形的顶点上.∆，其面积为5，点C在小正方在图中画出以线段AB为底边的等腰CABW，其面积为16，点D和点E均在小正方形的顶点形的顶点上；在图中面出以线段AB为一边的ABDE上；连接CE，并直接写出线段CE的长.22．（8分）某超市开展早市促销活动，为早到的顾客准备一份简易早餐，餐品为四样A：菜包、B：面包、C：鸡蛋、D：油条．超市约定：随机发放，早餐一人一份，一份两样，一样一个．按约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）；请用列表或画树状图的方法，求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率．23．（8分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为»BD的中点，且BD＝8，AC＝9，sinC＝13，求⊙O的半径．24．（10分）请根据图中提供的信息，回答下列问题：一个水瓶与一个水杯分别是多少元？甲、乙两家商场同时出售同样的水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，另外购买的水杯按原价卖．若某单位想要买5个水瓶和n（n＞10，且n为整数）个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．（必须在同一家购买）25．（10分）某品牌牛奶供应商提供A，B，C，D四种不同口味的牛奶供学生饮用．某校为了了解学生对不同口味的牛奶的喜好，对全校订牛奶的学生进行了随机调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．根据统计图的信息解决下列问题：本次调查的学生有多少人？补全上面的条形统计图；扇形统计图中C对应的中心角度数是；若该校有600名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒牛奶，要使学生能喝到自己喜欢的牛奶，则该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B口味的牛奶共约多少盒？26．（12分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m 名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．请结合以上信息解答下列问题：m= ；请补全上面的条形统计图；在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为 ；已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有 名学生最喜爱足球活动．27．（12分）化简求值：212(1)211x x x x -÷-+++，其中31x =．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】 【详解】∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ， ∴12AC AD AB AC ==， ∴2ACD ABC S AD S AC V V ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2112ABC S V ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴S △ABC =4，∴S △BCD = S △ABC - S △ACD =4-1=1． 故选C考点：相似三角形的判定与性质.2．C【解析】【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．【详解】∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，∴k＞﹣1，∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数，∴k≠0，则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，故选C.【点睛】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.3．B【解析】A C D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形试题解析：选项,,交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合.故选B.4．D【解析】∵实数-3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，∴原点在点M与N之间，∴这四个数中绝对值最大的数对应的点是点Q．故选D．5．B【解析】【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，结合无理数的定义进行判断即可得答案．【详解】A、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；B、0是有理数，故本选项正确；C是无理数，故本选项错误；D故选B．【点睛】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无限循环小数是解题的关键．6．C【解析】分析：根据旋转的定义得到即可．详解：因为点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（-3，4），所以点A绕原点逆时针旋转90°得到点B，故选C．点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．7．D【解析】【分析】本题关键是正确分析出所剪时的虚线与正方形纸片的边平行.【详解】要想得到平面图形(4)，需要注意(4)中内部的矩形与原来的正方形纸片的边平行，故剪时，虚线也与正方形纸片的边平行，所以D是正确答案，故本题正确答案为D选项.【点睛】本题考查了平面图形在实际生活中的应用，有良好的空间想象能力过动手能力是解题关键.8．D【解析】【详解】3+，∵23，∴3+5到6之间．故选D．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行计算是解题关键．9．D【解析】【分析】直接利用提取公因式法以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】解：∵55+55+55+55+55=25n，∴55×5=52n，则56=52n，解得：n=1．故选D．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．10．A【解析】【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是13，根据已知数据可以求出点C的坐标．【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是13，∴OD DC OB AB，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选A．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．11．A【解析】【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故选A．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键. 12．B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．【详解】A．不是轴对称图形，故本选项错误；B．是轴对称图形，故本选项正确；C．不是轴对称图形，故本选项错误；D．不是轴对称图形，故本选项错误．故选B．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．m＞1．【解析】分析：根据反比例函数y=2mx-，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m﹣1＞0，解之即可得出m的取值范围．详解：∵反比例函数y=2mx-，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣1＞0，解得：m＞1．故答案为m＞1．点睛：本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m﹣1＞0是解题的关键．14．100（【解析】分析：如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得，然后计算AD+BD即可．详解：如图，∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，∴∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中，∵tanA=CD AD，∴=100，在Rt△BCD中，，∴（答：A、B两点间的距离为100（故答案为100（点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．15．56【解析】【详解】解：∵AB ∥CD,34B ∠=o ，∴34CDE B ∠=∠=o ，又∵CE ⊥BE ，∴Rt △CDE 中,903456C ∠=-=o o o ，故答案为56.16．1或5.【解析】【分析】小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离．【详解】解：当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，重叠部分宽为2÷2＝1， ①如图，小正方形平移距离为1厘米；②如图，小正方形平移距离为4+1＝5厘米．故答案为1或5，【点睛】此题考查了平移的性质，要明确，平移前后图形的形状和面积不变．画出图形即可直观解答． 17．2：1．【解析】【分析】过点O 作OE ⊥AB 于点E ，延长EO 交CD 于点F ，可得OF ⊥CD ，由AB//CD ，可得△AOB ∽△DOC ，根据相似三角形对应高的比等于相似比可得AB OE CD OF=，由此即可求得答案. 【详解】如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，延长EO 交CD 于点F ，∵AB//CD，∴∠OFD=∠OEA=90°，即OF⊥CD，∵AB//CD，∴△AOB∽△DOC，又∵OE⊥AB，OF⊥CD，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴AB OECD OF=23，故答案为：2：1．【点睛】本题考查了相似三角形的的判定与性质，熟练掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解本题的关键. 18．1【解析】【分析】根据根与系数的关系得到m+n=﹣2018，mn=﹣1，把m2n+mm2﹣mn分解因式得到mn（m+n﹣1），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m、n 是方程x2+2018x﹣1=0 的两个根，则原式=mn（m+n﹣1）=﹣1×（﹣2018﹣1）=﹣1×（﹣1）=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系，如果一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根分别为与，则解题时要注意这两个关系的合理应用．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）证明见解析；（2）24 5.试题分析：利用矩形角相等的性质证明△DAE∽△AMB. 试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AMB，又∵∠DEA=∠B=90°，∴△DAE∽△AMB.（2）由（1）知△DAE∽△AMB，∴DE：AD=AB：AM，∵M是边BC的中点，BC=6，∴BM=3，又∵AB=4，∠B=90°，∴AM=5，∴DE：6=4：5，∴DE=245．20．每件衬衫应降价1元.【解析】【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可.【详解】解：设每件衬衫应降价x元.根据题意，得（40-x）（1+2x）=110,整理，得x2-30x+10=0,解得x1=10，x2=1．∵“扩大销售量，减少库存”，∴x1=10应舍去，∴x=1.答：每件衬衫应降价1元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.21．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，CE（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；（2）直接利用网格结合平行四边形的性质以及勾股定理得出符合题意的答案；（3）连接CE，根据勾股定理求出CE的长写出即可.【详解】解：（1）如图所示；（2）如图所示；（3）如图所示；CE＝5.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，正确应用勾股定理是解题的关键.22．（1）不可能；（2）1 6 .【解析】【分析】（1）利用确定事件和随机事件的定义进行判断；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】（1）某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是不可能事件；故答案为不可能；（2）画树状图：共有12种等可能的结果数，其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数为2，所以某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率=21 126．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式mn计算事件A或事件B的概率．23．⊙O的半径为256．如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2＝OB2，构建方程即可解决问题。
九年级数学上册 第24章 解直角三角形24.4 解直角三角形第3课时学案(新版)华东师大版-(新版
第3课时 解直角三角形的应用(二)学前温故如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做______；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做______．新课早知1．坡面的铅垂高度(h )和水平宽度(l )的比叫做坡面的坡度(i )，即______；若坡角为α，则有tan α＝______，即坡度越大，坡面越陡．2．如图，AB 为斜坡，D 是斜坡上一点，斜坡AB 的坡度为i ，坡角为α，AC ⊥BM 于C ，DE ⊥BM 于E ，下列式子：①i ＝AC ∶AB ；②i ＝(AC －DE )∶EC ；③i ＝tan α＝DE BE；④AC ＝i ·B C ．其中正确的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图是一水库大坝横截面的一部分，坝高h ＝6 m ，迎水斜坡AB ＝10 m ，斜坡的坡角为α，则tan α的值为( )．A ．35B ．45C ．43D ．344．如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD ，DC ∥AB ，迎水坡AD 长为DC 长为2米，背水坡BC 长也为2米，又测得∠DAB ＝30°，∠CBA ＝60°，求下底AB 的长．答案：学前温故仰角 俯角新课早知1．i ＝h∶l4．解：过D 、C 分别作DE⊥AB 于E ，CF⊥AB 于F ，在Rt△ADE 中，∠A＝30°，AD ＝23(米)，∴DE＝ADsin 30°＝3(米)，AE ＝ADcos 30°＝3(米)．在Rt△CBF 中，BF ＝BCcos 60°＝1(米)，∴AB＝AE ＋EF ＋BF ＝3＋2＋1＝6(米)．答：下底的长为6米．坡度、坡角问题【例题】 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝高23米，坝面宽BC ＝6米，根据条件求：(1)斜坡AB 的坡角α；(2)坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到)．分析：过B 、C 分别作梯形的高，将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，结合坡度即可求解．解：分别过B 、C 两点作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，则四边形BCFE 为矩形．∴BE ＝CF ，BC ＝EF .(1)在Rt△BAE 中，i ＝1∶3，tan α＝BE AE ＝13≈0.333 33.∴α≈18°26′. (2)在Rt△ABE 中，i ＝1∶3，BE ＝23米，∴AE ＝3BE ＝3×23＝69(米)．在Rt△CDF 中，i ＝1∶2.5，CF ＝BE ＝23米，∴DF ＝2.5×23＝57.5(米)．∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝AE ＋BC ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(米)，AB ＝AE 2＋BE 2＝692＋232＝ 5 290≈72.7(米)．答：坡角α为18°26′，坝底AD 为，斜坡AB 约为．点拨：梯形的问题，首先应作辅助线构造直角三角形，再结合条件，利用三角函数解直角三角形．1．如图，斜坡AB 的坡度i ＝3∶1，那么tan B 的值为( )．A ．32B ．33C ．3D ．122．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为23米，那么拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是( )．A ．33，60° B．3，30° C．3，60° D．33，30° 3．一段公路水平方向每前进100米，竖直方向就升高4米，则路面坡度为__________，路面水平的倾斜角约为__________．4．如图，在坡屋顶的设计图中，AB ＝AC ，屋顶的宽l 为10米，坡角α为35°，则坡屋顶的高度h 为__________米．(结果精确到)5．(2010某某某某中考)如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌C D ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°.已知山坡AB 的坡度i ＝1∶3，AB ＝10米，AE ＝15米，求这块宣传牌CD 的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)答案：1．C 2.C 3.1∶25 2°17′4．3.5 由题意，得tan 35°＝h l 2， ∴h＝l 2tan 35°＝5tan 35°≈3.5(米)． 5．解：作BF⊥DE 于点F ，BG⊥AE 于点G.在Rt△ADE 中，∵tan∠DAE＝DE AE， ∴DE＝AE·tan∠DAE＝153(米)．∵山坡AB 的坡度i ＝1∶3，AB ＝10米，∴BG＝5米，AG ＝53米．∴EF＝BG ＝5米，BF ＝AG ＋AE ＝53＋15(米)．∵∠CBF＝45°，∴CF＝BF ＝53＋15(米)．∴CD＝CF ＋EF －DE ＝20－103≈20－10×1.732＝2.68≈2.7(米)．答：这块宣传牌CD 的高度约为．。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》公开课教案_3
解直角三角形（3）编写人： 审核人：一、激情引趣，导入新课在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度，何为表明倾斜程度呢？二、展示目标，学生自学学习目标：1、理解坡角、坡度的概念；2、运用解直角三角形有关知识解决与坡角、坡度有关的实际问题；3、注意数形结合的数学思想和方法。
学生自学：自学课本115-116页，理解坡度、坡角的概念，并完成下面填空。
1、阅读，并完成坡度的概念，坡度与坡角的关系。
（结合图6-34）：(1)_____________________________叫做坡角，记作(2)坡面的_________h 和_________的比叫做_________（或叫做坡比），一般用_____表示。
常写成ｉ＝（或写成i=1:m ）的形式。
(3)思考，坡度i 与坡角α之间具有什么关系？i ＝_____________＝____________，显然，坡度越大，坡角___________，坡面_________________。
2、练习(参考右图)：（1）斜坡的坡度是 ，则坡角α=______度。
（2）斜坡的坡角是450 ，则坡度是 _______。
（3）斜坡长是12米,坡高6米,则坡度是_______。
三、小组合作，深层探究看完课本后，对于课本中的例4，有不懂的地方，同桌之间交流，再解决不了得地方小组讨论解决，然后自己做完，同桌之间相互检查，做错的地方相互讨论指正。
例4：如图24.4.6,一段路基的横断面是梯形,高为4.2米,上底宽为12.51米.其坡面的坡角分别是32o 和28o .求路基下底的宽.(精确到0.1米）四、教师点拨，释疑解难1、变式训练：一段路基的横断面是梯形，上底宽6m，路基高4m，斜坡AB的坡度i=1∶，斜坡CD的坡度i=1∶1，求：（1）路基底AD与斜坡AB的长度。
（2）斜坡CD的坡角α。
（结果可保留根号）2、完成书上练习五、训练检测，巩固新知1.一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动米，则物体升高了_____米．2.如图1，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角为_____．3.如图2，已知一商场自动扶梯的长ɭ为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值为_____4.如图3，河堤的横断面中，堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是（） A.1：3 B.1：2.6 C.1:2.4 D.1:2六、拓展延伸，涵养智能如图5，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高I0米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》公开课课件_22
新知梳理
知识点 坡角与坡度(坡比) 概念：如图 24－4－11，坡面的铅垂高度(h)和水平长
度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作 i，即 i＝hl .坡度通 常写成 1∶m 的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记 作 α，有 i＝hl ＝tanα .
图24－4－11
重难互动探究
探究问题 坡度和坡角的应用 例 [教材例4变式] 如图24－4－12，拦水坝的横断面为梯形
(1)在 Rt△BAE 中，i1＝1∶3，即 tanα＝ABEE＝13， ∴α≈18°26′.
(2)在 Rt△ABE 中，i1＝1∶3，BE＝23 米， ∴AE＝3BE＝3×23＝69(米)，
AB＝ AE2＋BE2＝ 692＋232 ＝ 5290≈72.7(米)． 在 Rt△CDF 中，i2＝1∶2.5，CF＝BE＝23 米， ∴DF＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(米)． ∴ AD ＝ AE ＋ EF ＋ FD ＝ AE ＋ BC ＋ FD ＝ 69 ＋ 6 ＋ 57.5 ＝
Rt△ADF 中，∠ADF＝60°，9tanD＝ADFF， ∴DF＝_t_a_n_6_0_°__＝___3_____＝__3__3____(m)． 在 Rt△BEC 中，∵∠C＝45°， ∴△BEC 为_等__腰__直__角__三__角__形_，∴EC＝BE＝9 m. 在矩形 AFEB 中，FE＝AB＝10 m， ∴DC＝DF＋EF＋EC＝(_1_9_＋__3__3_)m.
图24－4－9
活动2 教材导学 坡度和坡角的应用 随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，今年 为提前做好防洪准备工作，某市正在长江边某处常出 现险情的河段修建一防洪大坝，其横断面为梯形 ABCD，如图24－4－10所示，你能求出DC的长吗？
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形24.4.3解直角三角形导学案(无答案)(新版)华东师大版
24.4.3 解直角三角形【学习目标】1．掌握坡角与坡度概念, 能利用解直角三角形解决有关实际问题。
2．由实际问题转化为几何问题时,学会自己画图,建立模型.【学习重难点】掌握坡角与坡度概念, 能利用解直角三角形解决有关实际问题。
【学习过程】一、课前准备1.计算: ︒︒+︒+︒60cot 60tan 30cos 30sin 2222 2．如图，两建筑物的水平距离BC 为24米，从点A 测得点D 的俯角α＝30°，测得点C 的俯角β＝60°，求AB 和CD 两座建筑物的高．（结果保留根号）二、学习新知自主学习：1.坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即=i ．(坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6．)2.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有tan α＝ ．3.坡度越大，坡角α就越 ，坡面就越 ．图25.3.5图25.3.6实例分析：例1如图25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0．1米）解：【随堂练习】1. 如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值是 。
2.如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则两树间的坡面距离AB 为（ ）A ．4m BC．m 3 D．3. 如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。
现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备的水管的长为（ ） A.17.5m B.35m C.335m D.70m4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为 米．5.在Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4BC AC =，则cos A = ．【中考连线】河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB 的坡比为1：，则AB 的长为（ ）A ．12B ．4米C ．5米D ．6米【参考答案】随堂练习1、12、B 3、D 4、4 5、中考连线A。
九年级数学24.4 解直角三角形教学设计 第3课时
24.4 解直角三角形第3课时教学目标1．理解并掌握坡度、坡比的定义；2．学会用坡度、坡比解决实际问题．教学重难点教学重点：坡度、坡比的定义.教学难点：用坡度、坡比解决实际问题.教学过程一、复习稳固：1、什么叫解直角三角形在直角三角形中,除直角外,由两元素〔必有一边〕求其余未知元素的过程叫解直角三角形.2、解直角三角形的依据（1）三边关系：222c b a =+〔勾股定理〕（2）两锐角之间的关系:∠ A ＋ ∠ B ＝ 90º（3）边角之间的关 c a A =sin ，c b A =cos ，b a A =tan ，ab A =cot二、情境导入在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如下图，两位同学分别选取不同的点进行测量．从F 处进行测量和从A 处进行测量的数据如下图．你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？三、探索新知1、坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α2、坡度〔或坡比〕如下图，坡面的铅垂高度〔h 〕和水平长度〔l 〕的比叫做坡面的坡度〔或坡比〕,记作i, 即lh i = ，坡度通常写成1∶m 的形式，如i=1∶3.3、坡度与坡角的关系αtan ==l h i ，即坡度等于坡角的正切值4、概念稳固 ①斜坡的坡度是3:1，则坡角α=______度。
②斜坡的坡角是450 ，则坡比是 _______。
③斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
5、例题讲解例1：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：〔1〕坝底AD 与斜坡AB 的长度。
〔精确到0.1m 〕〔2〕斜坡CD 的坡角α。
〔精确到1°〕分析：〔1〕由坡度i 会想到产生铅垂高度，即分别过点B 、C 作AD 的垂线。
（2）垂线BE 、CF 将梯形分割成Rt △ABE ，Rt △CFD 和矩形BEFC ，则AD=AE+EF+FD ， EF=BC=6m ，AE 、DF 可结合坡度,通过解Rt △ABE 和Rt △CDF 求出。
华师版九年级数学上册教案：第24章 解直角三角形4 解直角三角形(3课时)
24.4解直角三角形第1课时解直角三角形一、基本目标理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.二、重难点目标【教学重点】直角三角形的解法．【教学难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P111～P113的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．任何一个三角形都有__六__个元素,三条边、三个角,在直角三角形中,已知有一个角是直角,我们把利用已知的元素求出__未知__元素的过程,叫做解直角三角形．2．在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.(1)两锐角互余,即∠A＋∠B＝__90°__；(2)三边满足__勾股定理__,即a2＋b2＝c2；(3)边与角关系sin A＝cos B＝ac,cos A＝sin B＝bc,tan A＝ab,tan B＝ba.3．Rt△ABC中,若∠C＝90°,sin A＝45,AB＝10,那么BC＝__8__,tan B＝__34__.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且a＝20,∠B ＝35°,解这个三角形．(精确到0.1,参考数据：sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70)【互动探索】(引发学生思考)已知直角三角形中的两个元素,要求解直角三角形,一般从直角三角形的性质出发,结合勾股定理与锐角三角函数的定义进行解题．【解答】∵在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠B＝35°,∴∠A＝55°.∵BC＝20,∠B＝35°,∴tan 35°＝AC20≈0.7,解得AC≈14.cos 35°＝BCAB＝20AB≈0.82,解得AB≈24.4.【互动总结】(学生总结,老师点评)在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,解直角三角形有以下基本类型：基本类型选择的关系式已知两边斜边和一直角边(c、a)b＝c2－a2；由sin A＝ac,求∠A；∠B＝90°－∠A 两直角边(a、b)c＝a2＋b2；由tan A＝ab,求∠A；∠B＝90°－∠A已知边和角斜边和一锐角(c、∠A)∠B＝90°－∠A；由sin A＝ac,求a＝c·sin A；由cos A＝bc,求b＝c·cos A一直角边和一锐角(a、∠A)∠B＝90°－∠A；由tan A＝ab,求b＝atan A；由sin A＝ac,求c＝asin A【例2】某数学兴趣小组想测量河流的宽度AB,河流两岸AC、BD互相平行,河流对岸有两棵树A和C,且A、C之间的距离是60米,他们在D处测得∠BDC＝36°,前行140米后测得∠BP A＝45°,请根据这些数据求出河流的宽度．(结果精确到0.1米,参考数据：tan 36°≈0.73,sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81)【互动探索】(引发学生思考)已知一边与一角,求其他边→利用锐角三角函数的定义求解→需作辅助线,构造直角三角形．【解答】作CH⊥BD,则BH＝AC＝60米,设AB为x米,则CH为x米．在Rt△ABP中,tan 45°＝1,∴BP＝x米,∴HD ＝BP ＋PD －BH ＝x ＋140－60＝(x ＋80)(米)． 在Rt △CHD 中,∵tan ∠CDH ＝CH HD ,∴x ＋80＝xtan 36°,∴x ＝(x ＋80)tan 36°,∴x ≈216.3. 即河流的宽度约为216.3米．【互动总结】(学生总结,老师点评)解决此类题目一般是据题目已知特点选用适当锐角三角函数去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝15,sin A ＝13,则BC 等于( B )A ．45B ．5 C.15D ．1452．如图,AD ⊥CD ,∠ABD ＝60°,AB ＝4 m,∠ACB ＝45°,则AC ＝__26__m__.3．在△ABC 中,∠C ＝90°,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知c ＝10,∠B ＝30°,解这个直角三角形．解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－30°＝60°.∵cos B ＝a c ,∴a ＝c ·cos B ＝10·cos 30°＝10×32＝5 3.∵sin B ＝b c ,∴b ＝c ·sin B ＝10·sin 30°＝10×12＝5.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图,在锐角△ABC 中,BC ＝a ,AC ＝b .探究a sin A 与bsin B之间的关系．【互动探索】观察几何图形→作垂线,构造直角三角形→表示出sin A 、sin B →转化形式得出结论．【解答】如图,过点C 作CH ⊥AB ,垂足为H .∴∠CHB ＝∠CHA ＝90°. 在Rt △BCH 中,sin A ＝CH AC ＝CH b ,∴CH ＝b ·sin A . 同理可得CH ＝a ·sin B . ∴b ·sin A ＝a ·sin B . 即a sin A ＝bsin B.【互动总结】(学生总结,老师点评)添加辅助线,构造两个直角三角形是解题的关键． 环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)解直角三角形⎩⎪⎨⎪⎧概念理论依据⎩⎪⎨⎪⎧两锐角互余勾股定理锐角三角函数常见类型⎩⎪⎨⎪⎧已知两边已知一边和一角请完成本课时对应练习！第2课时 仰角与俯角一、基本目标1．理解仰角、俯角的含义,能准确运用这些概念来解决一些实际问题． 2．培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力． 二、重难点目标 【教学重点】理解仰角和俯角的概念． 【教学难点】能解与直角三角形有关的实际问题．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P113～P114的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做__仰角__；从上往下看,视线与水平线的夹角叫做__俯角__.2. 如图,下列角中为俯角的是(C)A．∠1 B．∠2C．∠3 D．∠43. 如图所示,在建筑物AB的底部a米远的C处,测得建筑物的顶端A点的仰角为α,则建筑物AB的高可表示为__a tan_α__米．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,两建筑物的水平距离为32.6 m,从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′,求这两个建筑物的高．(精确到0.1 m)【互动探索】(引发学生思考)确定俯角α与∠ADE、俯角β与∠ACB的关系→解直角三角形．【解答】根据题意,得∠ACB＝β＝43°24′,∠ADE＝α＝35°12′,DE＝BC＝32.6 m.在Rt△ABC中,∵tan∠ACB＝AB BC,∴AB＝BC·tan∠ACB＝32.6×tan 43°24′≈30.83(m)．在Rt△ADE中,∵tan∠ADE＝AEDE,∴AE＝DE·tan∠ADE＝32.6×tan 35°12′≈23.00(m)．∴DC ＝BE ＝AB －AE ＝30.83－23.00≈7.8(m)． 即两个建筑物的高分别约为30.8 m 、7.8 m.【互动总结】(学生总结,老师点评)将题目中的两个俯角分别转化到Rt △ABC 和Rt △ADE 中,转化为解直角三角形问题是解题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角α＝75°,若AC ＝6米,则树高BC 为( D )A ．6sin 75°米B ．6cos 75°米C.6tan 75°米 D ．6tan 75°米2．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动,他们要测量一幢建筑物AB 的高度．如图,他们先在点C 处测得建筑物AB 的顶点A 的仰角为30°,然后向建筑物AB 前进10 m 到达点D 处,又测得点A 的仰角为60°,那么建筑物AB 的高度是__53__m.3. 如图,热气球探测器显示,从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°,看这栋楼底部C 处的俯角为60°,热气球与楼的水平距离AD 为100米,试求这栋楼的高度BC .解：由题意,得α＝30°,β＝60°,AD ＝100米,∠ADC ＝∠ADB ＝90°.∴在Rt △ADB 中,α＝30°,AD ＝100米,∴tan α＝BD AD ＝BD 100＝33,∴BD ＝10033米．在Rt △ADC 中,β＝60°,AD ＝100米,∴tan β＝CD AD ＝CD 100＝3,∴CD ＝1003米．∴BC ＝BD ＋CD ＝10033＋1003＝40033(米),即这栋楼的高度BC 是40033米．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图,某大楼顶部有一旗杆AB ,甲乙两人分别在相距6米的C 、D 两处测得B 点和A 点的仰角分别是42°和65°,且C 、D 、E 在一条直线上．如果DE ＝15米,求旗杆AB 的长大约是多少米？(结果保留整数,参考数据：sin 42°≈0.67,tan 42°≈0.9,sin 65°≈0.91,tan65°≈ 2.1)【互动探索】分析法：要求AB ,先求出AE 与BE →解Rt △ADE 、Rt △BCE . 【解答】在Rt △ADE 中,∠ADE ＝65°,DE ＝15米, 则tan ∠ADE ＝AEDE ,即tan 65°＝AE15≈2.1,解得 AE ≈31.5米．在Rt △BCE 中,∠BCE ＝42°,CE ＝CD ＋DE ＝21米, 则tan ∠BCE ＝BE CE ,即tan 42°＝BE21≈0.9, 解得 BE ≈18.9米．则AB ＝AE －BE ＝31.5－18.9≈13(米)． 即旗杆AB 的长大约是13米．【互动总结】(学生总结,老师点评)首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△ADE 、△CBE ,利用AB ＝AE －BE 可求出答案．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)仰角与俯角⎩⎨⎧仰角⎩⎪⎨⎪⎧ 概念应用俯角⎩⎪⎨⎪⎧概念应用请完成本课时对应练习！第3课时 坡度与坡角一、基本目标1．理解坡度与坡角的概念．2．会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题． 二、重难点目标【教学重点】解决有关坡度的实际问题．【教学难点】理解坡度的概念和有关术语．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P115～P116的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．坡度通常写成1∶__m__的形式．2．一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为__1∶3__.3．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题,也就是建立适当的函数模型)；(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数,运用解直角三角形的有关性质,解直角三角形；(3)得到数学答案；(4)得到实际问题的答案．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC＝9.8 m,路基高BE＝5.8 m,斜坡AB的坡度i＝1∶1.6,斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值．【互动探索】(引发学生思考)读懂题意→作垂线,构造直角三角形→解直角三角形,得出结论．【解答】过点C作CD⊥AD于点F,则CF＝BE,EF＝BC,∠A＝α,∠D＝β.∵BE＝5.8 m, i＝1∶1.6, i′＝1∶2.5,∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m),DF＝2.5×5.8＝14.5(m)．∴AD＝AE＋FE＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．由tan α＝i＝1∶1.6,tan β＝i′＝1∶2.5,得α≈32°,β≈22°.即铁路路基下底宽为33.6 m,斜坡的坡角分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中,没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．活动2巩固练习(学生独学)1．为抗洪需修筑一坡度为3∶4的大坝,如果此大坝斜坡的坡角为α,那么α的正切值__0.75__.2．如图,防洪大坝的横断面是梯形,坝高AC为6米,背水坡AB的坡度i＝1∶2,则斜坡AB 的长为__65__米.3．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m,此时他与出发地的垂直距离为6 m,则这个坡面的坡度为__3∶4__.4. 如图是一座人行天桥,天桥的高12米,坡面的坡比为＝1∶1,为了方便行人推车过天桥,市政府决定降低坡度,使新的斜坡的坡角为30°,问离原坡底8米处的大型广告墙M要不要拆除？解：广告牌M要拆除．活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图,小明于堤边A处垂钓,河堤AB的坡比为1∶3,坡长为3米,钓竿AC的倾斜角是60°,其长为6米,若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°,求浮漂D与河堤下端B之间的距离．【互动探索】实际问题,转化为几何问题→作辅助线,构造直角三角形→延长CA交DB 延长线于点E,过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→利用三角形性质得出结论．【解答】如图,延长CA交DB延长线与点E,过点A作AF⊥EB,交EB于点F.则∠CED＝60°.∵AB 的坡比为1∶3, ∴∠ABE ＝30°, ∴∠BAE ＝90°. ∵AB ＝3米,∴AE ＝AB tan ∠ABE ＝3×33＝3米,BE ＝2AE ＝23米． ∵∠C ＝∠CED ＝60°, ∴△CDE 是等边三角形． ∵AC ＝6米,∴DE ＝CE ＝AC ＋AE ＝(6＋3)米,则BD ＝DE －BE ＝6＋3－23＝(6－3)(米), 即浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为(6－3)米．【互动总结】(学生总结,老师点评)本题既考查了解直角三角形,也考查了等边三角形的性质,根据题目的已知条件构造出直角三角形及等边三角形是关键．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)坡度与坡角⎩⎪⎨⎪⎧坡度的概念—通常写成比的形式坡角的概念—坡角越大，坡面就越陡坡度与坡角在解直角三角形中的应用请完成本课时对应练习！。
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第3课时坡问题教案新版华东师大版12
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第3课时坡问题教案新版华东师大版121．理解并掌握坡度、坡比的定义；2．学会用坡度、坡比解决实际问题．(重点、难点)一、情境导入在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量．从F 处进行测量和从A 处进行测量的数据如图所示．你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？二、合作探究探究点：与坡度或坡角有关的实际问题一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s ，车速是2m/s ，汽车行驶的水平距离是40m ，则这个斜坡的坡度是________．解析：坡面距离为30×2＝60m ，水平距离为40m ，∴铅直高度为602－402＝205(m)，∴坡度i ＝205∶40＝5∶2.方法总结：根据坡度的定义i ＝h l，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h . 如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m解析：由题知，水平距离l ＝4m ，i ＝0.75，∴铅直高度h ＝l ·i ＝4×0.75＝3(m)，∴坡面距离为32＋42＝5(m)．故选A.方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离．如图所示，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需多少元？解析：由于楼梯的长度已知，所以要求地毯的总面积，需求地毯的总长度，由题意知，地毯的总长度为BC 与AC 的和，而由坡度的定义知BC AC ＝11.5，所以AC 可求．解：∵BC AC ＝11.5，∴AC ＝1.5BC ＝1.5×3＝4.5(米)．∴AC ＋BC ＝4.5＋3＝7.5(米)．∴地毯的总面积为1.5×7.5＝11.25(平方米)． ∴需要的钱数为8×11.25＝90(元)． 答：铺完整个楼梯共需90元．三、板书设计坡度(坡比)的问题：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫坡度(或坡比)，即i ＝tan α＝ih，坡面与水平面的夹角α叫坡角．本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义．。
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形第3课时坡度问题教案华东师大版
第3课时 坡度问题1．理解并掌握坡度、坡比的定义；2．学会用坡度、坡比解决实际问题．(重点、难点)一、情境导入在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量．从F 处进行测量和从A 处进行测量的数据如图所示．你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？二、合作探究探究点：与坡度或坡角有关的实际问题一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s ，车速是2m/s ，汽车行驶的水平距离是40m ，则这个斜坡的坡度是________．解析：坡面距离为30×2＝60m ，水平距离为40m ，∴铅直高度为602－402＝205(m)，∴坡度i ＝205∶40＝5∶2.方法总结：根据坡度的定义i ＝h l ，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h .如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m解析：由题知，水平距离l ＝4m ，i ＝0.75，∴铅直高度h ＝l ·i ＝4×0.75＝3(m)，∴坡面距离为32＋42＝5(m)．故选A.方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离．如图所示，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需多少元？解析：由于楼梯的长度已知，所以要求地毯的总面积，需求地毯的总长度，由题意知，地毯的总长度为BC 与AC 的和，而由坡度的定义知BC AC ＝11.5，所以AC 可求． 解：∵BC AC ＝11.5，∴AC ＝1.5BC ＝1.5×3＝4.5(米)． ∴AC ＋BC ＝4.5＋3＝7.5(米)．∴地毯的总面积为1.5×7.5＝11.25(平方米)．∴需要的钱数为8×11.25＝90(元)．答：铺完整个楼梯共需90元．三、板书设计坡度(坡比)的问题：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tanα＝，坡面与水平面的夹角α叫坡角．本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义．。
解直角三角形三《坡度、坡角》教学设计
《解直角三角形(坡度、坡角)》教学设计解直角三角形（三）一、教学目标1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．3、培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．二、教学重点、难点重点：解决有关坡度的实际问题．难点：理解坡度的有关术语．三、教学过程（一）情境导入：(二) 合作探究：1、理解坡度、坡角的概念坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。
即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？答：i＝h＝tanl2、例题解析例1、一种坡屋顶的设计图如图所示. 已知屋顶的宽度l为6m，坡屋顶的高度h为√3 m. 求斜面AB的长度和坡角例2、一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，试根据下图中的数据求出坡角α和坝底宽AD ．（单位是米，结果保留根号）B 4 CA E D(三)、跟踪训练： （1）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：√3 ，堤坝高BC=50m ，则迎水坡面AB 的长度是（ ）（2）如图， 一山坡的坡度为i = 1∶2 . 小刚从山脚A 出发， 沿山坡向上走了240 m 到达点C. 这时 小刚上升了多少米？BE=6∠D=αi 1:3(3)拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD,坝顶宽5m，坝底宽13m,坡角30°，求这个梯形面积。
（四）拓展延伸同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高20m，斜坡AB的坡度i=1∶1，斜坡CD的坡度i=1∶√3，①求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长.②如果坝长100m,那么整个坝体有土多少立方米？(√3≈1.7)（五）小结与作业水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽5m,坝高20m,斜坡AB的坡度i=1:√3,斜坡CD的坡度i=1:2.1、求斜坡AB的坡角α，坝底AD的长。
新华东师大版九年级数学上册：24.4《解直角三角形3》教案
24.4 解直角三角形（ 3）教课目标： 弄清铅垂高度、水平长度、坡高（或坡比） 、坡角等看法；教课要点： 理解坡度和坡角的看法教课难点： 利用坡度和坡角等条件，解决有关的实质问题教课过程：一、复习发问：什么叫仰角、俯角？二、坡度、坡角的看法几个看法： 1、铅垂高度 h2、水平长度l3、坡度（坡比） i : 坡面的铅垂高度 h 和水平长度 l 的比h 1 1itanll mh4、坡角：坡面与水平面的夹角. h tanil明显，坡度 i 越大，坡角就越大，坡面就越陡。
练习： 1、沿山坡行进 10 米，相应高升5 米，则山坡坡度1，坡角 3 0°，32、若一斜坡的坡面的余弦为3 10，则坡度 i 1 ，1033、堤坝横断面是等腰梯形， （以下列图）DC若 AB=10，CD=4，高 h=4，则坡度 i = 4，AD= 5①3AB1EF，则 h 2，②若 AB=10， CD=4 ， i5例 1、书 P115 例 4例 2、如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD ，DC ∥AB ，迎水坡 AD 长为2 3 米，上底 DC 长为2 米，背水坡 BC 长也为 2 米，又测得∠ DAB=30°，∠ CBA=60°，求下底AB 的长 .解：过 D 、 C 分别作 DE ⊥AB 于 E ， CF ⊥ AB 于 F ，DC在直角△ ADE 中，∠ A=30°， AD=23∴ DE=AD sin30 °= 3 ，AE=AD cos30°=3.30A°E60F °B在直角△ CBF 中， BF=BC cos60°=1∴ AB=AE+EF+BF=3+2+1=6答：下底的长为 6 米。
思虑：延长两腰或平移一腰能求出下底的长吗？说明：以上解法表现了“转变”思想，把梯形的有关问题转变成解直角三角形可多角度的解析，增添辅助线，灵巧、合适地构造直角三角形，使解法合理化。
24.4 解直角三角形—坡度问题 教案-华东师大版九年级数学上册
班级：______姓名：___________年级九年级科目数学课型概念课课时 1 主备主讲课题解直角三角形—坡度问题教研组长签字教学副校长签字一、教学目标1、通过阅读理解的内容，让学生能说出斜坡铅垂高度、水平长度、坡度、坡角的概念以及能说出铅垂高度、水平长度、坡度、坡角之间的关系，提高阅读能力，以及认真思考的习惯。
2、经历实际问题抽象几何图形进行解决的探究过程，让学生可以利用解直角三角形的方法解决坡度问题，积累解决实际问题的经验，培养学生的数学抽象、数学运算能力，渗透数形结合思想。
二、教学过程自主探究阅读理解坡度（坡比）在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
如图所示：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即lhi=。
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6；坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α,有：tanhilα==显然，坡度越大，坡角α就越_____，坡面就越_____（缓、陡）。
尝试应用用三角函数解坡度问题如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°。
求路基下底的宽。
（tan32°≈0.62，tan28°≈0.53，结果精确到0.1米）解：课堂小结1.说说你本节课的收获？还有哪些疑惑？2.学会了哪些数学思想和方法？（1）坡度的有关概念（2）利用坡度解决实际问题（3）利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：①将实际问题抽象为数学问题；②根据条件的特点，适当地选用锐角三角函数去解直角三角形；③得到数学问题的答案④最后得到实际问题的答案1112.5128°4.232°A BCD。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》教学案例_0
九年级数学学科电子讲课稿修改、补充栏课题：24.4.3——解直角三角形（3）主备：第 10 周教学目标：1.知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系。
2.能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题。
教学重点：解决有关坡度的实际问题教学难点：理解坡度的有关术语教法：三疑三探。
学法：自学、合作、探究教具学具：多媒体教学过程：一、设疑自探（10分钟）（一）复习提问，导入新课前面我们研究了与仰角、俯角、方位角有关的问题，今天研究与坡度、坡角有关的问题。
(二）出示学习目标1.知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系。
2.能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题。
（三）根据课题和学习目标，提出问题看到这个课题和学习目标，你想知道什么？请提出来。
预设：1.什么是坡角和坡度？2.如何解决坡度相关的问题？3.利用解直角三角形的知识解决坡度相关问题时应注意些什么？同学们提的问题都很好（真好），大多都是我们本节应该学习的知识，老师将大家提出的问题归纳、整理、补充为下面的自探提示，希望能为大家本节的学习提供帮助。
请看：（四）出示自探提示，组织学生自探。
（ 6 分钟）自探提示：看课本P115—116内容，思考解决以下问题：（1）认真完成“读一读”，理解一下概念：①.坡面的和的比叫做坡面的坡度（或坡比）记作，即。
②. 与的夹角叫做坡度。
③.如果坡角记作α，坡度记作i，那么就有i= 。
显然，坡度越大，坡角就，坡面就。
（2）自学“例4”，认真思考下列问题：①.四边形ABCD是梯形，例中是如何做辅助线把四边形进行分割的？②.例题中通过辅助线把四边形分割成形和形。
③.这样，就把实际问题转化为直角三角形的问题。
二、解疑合探（15分钟）（一）小组合探。
1.小组内讨论解决自探中未解决的问题；（二）全班合探。
1.学生展示与评价；2.教师点拨或精讲。
（1）在这类实际问题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的是什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题。
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第3课时 坡度问题
1．使学生掌握测量中坡角、坡度的概念．
2．掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解与坡度有关的实际问题．
重点
解决有关坡度的实际问题．
难点
解决有关坡角的实际问题．
一、情境引入
教师展示图片,引出问题．
读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．
如图,坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即i ＝h l
.坡度通常写成1∶m 的形式,如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,有i ＝h l
＝tan α.
显然,坡度越大,坡角α就越大,坡面就越陡．
二、探究新知
教师利用课件展示例1,例2,结合前面所学知识,可由学生自主完成,小组讨论,教师适当给予分析,最后作出点评．
例1 如图,一段路基的横截面是梯形,高为4.2米,上底宽为12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°,求路基下底的宽．(精确到0.1米)
解:作DE⊥AB ,CF ⊥AB,垂足分别为点E,F. 知DE ＝CF ＝4.2,EF ＝CD ＝12.51,
在Rt △ADE 中,
∵DE AE ＝4.2AE
＝tan 32°, ∴AE ＝ 4.2tan 32°
≈6.72. 在Rt △BCF 中,同理可得
BF ＝ 4.2tan 28°
≈7.90. ∴AB ＝AE ＋EF ＋BF
≈6.72＋12.51＋7.90
≈27.1(米)
答:路基下底的宽约为27.1米．
例2 学校校园内有一小山坡AB,经测量,坡角∠ABC＝30°,斜坡AB 长为12米,为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡BD 的坡比是1∶3(即CD 与BC 的长度之比)．A,D 两点处于同一铅垂线上,求开挖后小山坡下降的高度AD.
解:在Rt △ABC 中,∠ABC ＝30°, 则易求得AC ＝6,BC ＝6 3.
在Rt △BDC 中,i ＝DC BC ＝13
, 易得DC ＝13
BC ＝23, ∴AD ＝AC －DC ＝(6－23)米．
三、练习巩固
教师利用课件展示练习,可由学生独立完成,其中第1,2,3,4题由学生抢答,第5题教师点名上台展示,再给予点评．
1．已知一坡面的坡度i ＝1∶3,则坡角α为( )
A ．15°
B ．20°
C ．30°
D ．45°
2．彬彬沿坡度为1∶3的坡面向上走50米,则他离地面的高度为( )
A ．25 3 米
B ．50米
C ．25米
D ．50 3 米
3．某水库大坝某段的横断面是等腰梯形,坝顶宽6米,坝底宽126米,斜坡的坡比是1∶3,则此处大坝的坡角和高分别是________米．
4．如图,一束光线照在坡度为1∶3的斜坡上,被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线,则这束光线与坡面的夹角α是________．
5．如图,已知在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45°,沿着坡角为30°的斜坡前进400 m 到点D 处,测得点A 的仰角为60°,求AB 的高度．
四、小结与作业
小结
1．本节学习的数学知识:利用解直角三角形的知识解决实际问题．
2．本节学习的数学方法:数形结合的思想和数学建模的思想．
布置作业
从教材相应练习和“习题24.4”中选取．
本节课以实际情境,引导学生将实际问题抽象为数学问题,构造几何模型,应用三角函数
的知识解决问题．在整体设计上,由易到难,难度层层推进,尽量满足不同层次学生的学习需要．在教学过程中,让学生经历知识的形成过程,体会数形结合的数学思想,进一步培养学生应用数学的意识．。