非线性方程组牛顿迭代法(1)

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牛顿法及基于牛顿算法下的Steffensen加速法求解非线性方程组方法例题及答案

1. 非线性方程组求解1．分别用牛顿法，及基于牛顿算法下的Steffensen 加速法。

(1) 求ln(sin )x x +的根。

初值0x 分别取0.1，1，1.5，2，4进行计算。

(2) 求sin =0x 的根。

初值0x 分别取1，1.4，1.6，1.8，3进行计算。

分析其中遇到的现象与问题。

（1）牛顿法牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程()0f x =逐步归结为某种线性方程来求解。

将已知方程()0f x =在近似值k x 附近展开，有()()()()'0k k k f x f x f x f x x ≈+-=，构造迭代公式，则1k x +的计算公式为：()()1',0,1,,k k k k f x x x k f x +=-= (1-1)根据Taylor 级数的几何意义我们可以从几何上形象的看牛顿迭代法的求解()0f x =的过程，第一次迭代()()'1000/x x f x f x =-，其中()()'00/f x f x 的几何意义很明显，就是0x 到1x 的线段长度（这可以从直角三角形的知识得到）。

第二次迭代()()'2111/x x f x f x =-，其中()()'11/f x f x 的几何意义很明显，就是1x 到2x 的线段长度。

同理可以进行第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x 的取值在不断逼近真实解*x 。

如图1-1所示：图1-1○1求ln(sin )=0x x +的根时，迭代公式为()1ln(sin )sin 1cos k k x x x x x x x+++=++，0示。

计算结果见附录1表F.1-1所示。

初值取1.5，2，4进行计算时结果不收敛。

表 1-1 牛顿法计算结果○2求sin =0x 的根时，迭代公式为1cos k k x x x+=+，初值0x 分别取1、1.4、1.6、1.8、3计算时结果收敛，误差小于510-时，近似解如表1-2所示。

1 牛顿迭代法的简介

1 牛顿迭代法的简介1.1 牛顿迭代法的概述牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。

过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。

重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。

把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数f(x) = f(x0)+(x －x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。

1.2 牛顿迭代法的优点迭代法是求方程近似根的一个重要方法，也是计算方法中的一种基本方法，它的算法简单，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。

非线性方程求根—牛顿迭代法(新)

非线性方程求根——牛顿迭代法一、牛顿迭代法的基本思想基本思想：将非线性方程逐步归结为某种线性方程求解。

设方程f (x )=0有近似根x k （f `(x k )≠0），将f (x )在x k 展开：（ξ在x 和x k 之间）2()()()()()()2!k k k k f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-可设记该线性方程的根为x k +1，则()()()0k k k f x f x x x '+-=1()()k k k k f x x x f x +=-'故f (x )=0可近似表示为即为Newton 法迭代格式。

（k =0,1,……）例：用Newton 迭代法求方程310x x --=在x 0=1.5附近的近似实根。

解：32()1,()31f x x x f x x '=--=-迭代公式为312131kk k k k x x x x x +--=--计算步骤如下:（1）取初值x 0=1.5;（2）按照迭代公式计算x 1；（3）若|x 1-x 0|<=0.00001，终止迭代；否则，x 0=x 1；转(2)；（4）输出迭代次数和近似根.二、牛顿迭代法的实现MATLAB求解程序设计：方程及一阶导数函数：function[fun,dfun]=fun0(x)fun=x^3-x-1;%求原函数的值dfun=3*x^2-1;%求一阶导数的值计算主程序：clearx0=1.5;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=1;while abs(x1-x0)>1e-5x0=x1;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=i+1;enddisp('the solution is x1=')x1disp('the iter time is ')i计算结果为：the solution is x1=x1 =1.3247the iter time isi =4可见经过4次迭代即到达要求的精度，原方程的一个近似实数根为1.3247.三、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的迭代函数：)()()(x f x f x x '-=ϕ222)]([)()()]([)()()]([1)(x f x f x f x f x f x f x f x '''='''-'-='ϕ设f (x *)=0，f `(x *)≠0，则ϕ`(x *)=0，故Newton 迭代法在x *附近至少平方收敛。

研究生数值分析(5)牛顿(Newton)迭代法

z
0.612547 0.641384 0.641186
6 求方程 m重根的Newton法设 s 是方程 f(x)=0 的 m 重根(m≥2), f(x)
在 s 的某邻域内有m阶连续导数 ,这时
f (s) f (s) f (m1) (s) 0, f (m) (s) 0
由Taylor公式,得
设 f '(x) 0 ，上式解为
x

xk

f (xk ) f ' (xk )
于是方程 f(x)=0的新的近似根xk+1，可由牛顿
迭代公式
xk 1

xk

f (xk ) f ' (xk )
k 0,1, 2,
求出
牛顿迭代公式具有明显的几何意义。方程 y f (xk ) f '(xk )(x xk ) 是曲线 y=f(x)在点 (xk , f (xk )) 处的切线方程，迭代公式就是切线与x轴交点的横坐标。因此，牛顿迭代法又称为切线法。
这表明牛顿迭代法用于求单根时至少是二阶收敛的。
（2）若 x* 是方程 f (x) 0 的 m(m 2) 重根，
即
f (x) (x x*)m q(x)
(q(x*) 0)
此时有
g ' (x*) lim g ' (x) lim
x x*
x x*
f (x) f '' (x) [ f ' (x)]2
k
xk
k
xk
4 0.635498 8 0.640964
5 0.643719 9 0.641285
6 0.640061 10 0.641142

第7章非线性方程组的数值解法

( 1, 1 )
f 1 y f 2 2 y
2 y ( 1,1 ) 2
( 1,1 )
( y 3) ( 1, 1 )
( 1, 1 )
( x 1) ( 1 , 1 ) 2
( 1,1 )
f 1 f 2 2 2[ 2 * ( 3) ( 2 ) * ( 2 )] 4 f1 f2 g10 x ( 1,1) x ( 1,1) x f 1 f 2 g 2 2[ 2 * ( 3) 2 * ( 2 )] 20 20 y y f 1 y f 2 ( 1, 1 ) ( 1, 1 )
完
f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) ( h k ) f ( x0 , y0 ) x y 1 2 ( h k ) f ( x 0 , y0 ) 2! x y 1 n ( h k ) f ( x 0 , y0 ) n! x y 1 n 1 ( h k ) f ( x0 h, y0 k ) ( n 1)! x y
2
2
令
0
得 f 1 f 1 ( g10 x g 20 y ) f 1 ( g10 ( g f 1 g f 1 ) 2 ( g 10 20 10 x y f 2 g 20 x f 2 g 20 x f 2 ) f2 y f 2 2 ) ( x y
1
f 1 ( x 0 , y0 ) f ( x , y ) 2 0 0
从n到n+1的迭代格式为：
f 1 ( x n , y n ) xn 1 x n x y y f 2 ( xn , yn ) n 1 n x

5-非线性方程组的数值解法及最优化方法

1 4 0
非线性方程组的数值解法
x10=0; x20=0; k=0; while 1 k=k+1; x1k=(1+x20-0.1*exp(x10))/4; x2k=(x10-x10^2/8)/4; %雅克比迭代法 %x2k=(x1k-x1k^2/8)/4; %高斯-赛德尔迭代法 err1=abs(x1k-x10); err2=abs(x2k-x20); err=max(err1,err2); if err<=0.00000000005 break; end x10=x1k; x20=x2k; end
0.0000055305 0.0000001511 0.0000000041 0.0000000001
非线性方程组的数值解法
牛顿迭代法：根据求解非线性方程的牛顿迭代法，如果已经 k k T ，则 ,, xn 给出方程组 Fx 0 的一个近似根 xk x1k , x2 可把函数 Fx 的分量 fi x, i 1,2,, n 在 x k 处按多元函数泰勒公式展开，取其线性部分做近似，得
(0.2325668498,0.0564514831) (0.2325670008,0.0564515487) (0.2325670050,0.0564515196) (0.2325670051,0.0564515197) (0.2325670051,0.0564515197)
0.0002023950

所以有
1 x φx 1 2 x1
0
T
取初值 x 代公式收敛。
T 0 x 0 , 0 附近 φx 1，所以迭 0,0 ，在
1 1 x 1 e 40 x2 2 1 1 x1 x2 4 16

牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法

§3.4 牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。

3.4.1 牛顿迭代法用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式：1设],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(20000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ略去二次项，得到)(x f 的线性近似式：))((')()(000x x x f x f x f -+≈。

由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -=即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(')(1k k k k x f x f x x -=+ 公式(3.4.1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。

2 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。

实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。

利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有1)()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式： )(')(1k k k k x f x f x x -=+。

牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法

实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。

二元非线性方程组求根的牛顿迭代法

2 二元函数的牛顿迭代法
设 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内连续且有直到 2 阶的连续偏导数 , ( x0 + h, y0 + k ) 为此邻域内任一点 , 则有
f ( x0 + h, y0 + k ) ≈ f ( x0 , y0 ) +
记符号
gfx - fgx | ( x k, y k) = g ( xk , yk ) fx ( xk , yk ) - f ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fgy - gfy | ( x k, y k) = f ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) - g ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) gx fy - fx gy | ( x k, y k) = gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) ( 1 ) 式可改写为 x = xk + y = yk + fgy - gfy | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) gfx - fgx | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) fgy - gfy | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) gfx - fgx | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) ( 3) ( 2)
f ( xk , yk ) + ( x - xk ) fx ( xk , yk ) + ( y - yk ) fy ( xk , yk ) = 0 g ( xk , yk ) + ( x - xk ) gx ( xk , yk ) + ( y - yk ) gy ( xk , yk ) = 0

解非线性方程组的牛顿法

§6 解非线性方程组的迭代法
考虑非线性方程组
f1(x1, x2, , xn ) 0,
f2(x1, x2, , xn ) 0,
fn (x1, x2, , xn ) 0. 利用向量记号写为
F (X ) O. 这里F (X )是定义在某区域D Rn上向量值函数. 若存在 X* D, 使得F (X*) O, 则称X*为非线性方程组的解.
.
逐次迭代得结果.
Step 5 Set x x y
Step 6 If y TOL then OUTPUT(x)
Step7 Set k k 1
STOP.
Step8 OUTPUT (‘Maximum number of iterations exceeded’) STOP.
为了说明上述算法，我们可以看看下面的例子。设
s1
145 272
，
145 272
T
.
x2 x1 s1 0.092，3.092 T .
显然，我们只经过两步计算，所得到的 x2就已经非常靠近解 0，3T .
例1 用牛顿法求解方程组
k x (k) 0 (1.5, 1.0)T
f1( f2(
x1 x1
,x2 ,x2
) )
x1 2 x12
定理 2 设G : D Rn Rn在D内有一不动点X *且G在X *可导,
(G(X*)) 1, 则存在开球 S S( X*, ) D, 对X (0) S, 迭代序列{X (k)}
收敛于X *.
牛顿迭代公式：
X (k1) X (k) F( X (k) ) 1 F ( X (k) ),
其中
f1
F
(
X
(k
)
)

牛顿迭代法的定义和基本思想

牛顿迭代法的定义和基本思想牛顿迭代法是一种求解非线性方程的有效方法。

与一般的数值方法不同，牛顿迭代法是一种局部迭代法，其基本思想是通过对函数的一阶导数和二阶导数进行逐步逼近，求解方程的近似解。

在数学、物理、工程等领域中有着广泛应用。

本文将从牛顿迭代法的定义、基本思想和优缺点三方面进行介绍。

一、定义牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫逊迭代法，是一种通过逼近函数在某点的切线来求解方程近似解的迭代方法。

其迭代格式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$是原方程，$f'(x)$是$f(x)$的一阶导数，$x_n$是第$n$次迭代得到的近似解，$x_{n+1}$是下一次迭代得到的近似解。

二、基本思想牛顿迭代法的基本思想是通过函数在某点的切线来逼近函数的根。

具体地，利用当前点的切线与$x$轴的交点作为下一个点的近似解，逐步逼近函数的根。

在每一次迭代中，我们都需要计算函数在当前点的一阶导数和二阶导数，来得到切线方程和切线与$x$轴的交点。

牛顿迭代法的基本思想可以通过几何直观来理解。

假设我们要求一个函数$f(x)$在$x_0$的根，我们先假设一个近似解$x_1$，然后求出$f(x_1)$和$f'(x_1)$，接着我们计算出函数$f(x)$在$x_1$处的切线，将切线与$x$轴的交点作为下一个近似解$x_2$。

这样，我们就可以得到函数在$x_2$处的一阶近似，继续重复上述过程，逐步逼近函数的根。

三、优缺点牛顿迭代法作为一种高效的求解非线性方程的方法，有着其优缺点。

优点：首先，牛顿迭代法的收敛速度很快，在很少的迭代次数下就能得到精确的解。

其次，牛顿迭代法可以通过改变初值来得到不同的解，因此可以同时求解多个解。

最后，牛顿迭代法还可以求解函数的极值问题。

缺点：虽然牛顿迭代法收敛速度很快，但其收敛性不如其他数值方法稳定。

特别是当函数的导数在某些点发生剧烈变化时，容易出现迭代失败的情况。

牛顿迭代法

牛顿迭代法一、牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。

二、迭代公式,...2,1,0,)()(1='-=+k x f x f x x k k k k用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式（主要是第一种）：1、设],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(20000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ略去二次项，得到)(x f 的线性近似式：))((')()(000x x x f x f x f -+≈。

由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -=即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(')(1k k k k x f x f x x -=+ 公式(1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。

2、牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。

实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。

用牛顿法解非线性方程组

>> myNewton(x0)
迭代五次的结果为：
x1 =
0.5000
-0.0000
-0.5236
非线性方程组的解为：
x0 =
0.5000
-0.0000
-0.5236
A=inv(dFx);
k=0;
%===============================
% Newon迭代法核心程序
while norm(Fx)>1e-10
x1=x0-A*Fx; % 核心迭代公式
k=k+1;
if k==5
disp('迭代五次的结果为：') ;
x1
elseif k>=100
disp('迭代次数过多，不收敛!');
用牛顿法解非线性方程组牛顿法解非线性方程组非线性方程组数值解法非线性方程组的解法非线性方程组迭代解法非线性方程组解法牛顿迭代法解方程组matlab解非线性方程组解非线性方程组fsolve解非线性方程组
四、（上机题）分别用Newton法和Broyden法求解下面非线性方程组
（要求：用Matlab编程，并附上源代码及迭代五次的结果，初值可取）
f3=exp(-x*y)+20*z+1/3*(10*pi-3);
F=[f1;f2;f3];
%===============================
Fx = subs(F,{x,y,z},x0);
dF = Jacobian(F); % 求雅克比矩阵
dFx = subs(dF,{x,y,z},x0);
第四题：
Newton法：myNewton..m
function[t]=myNewton(x0) % x0为初始值向量

非线性方程组计算

在科学与工程计算中，经常遇到求解非线性方程组的问题；非线性方程组在收敛速度及收敛性比线性方程组要差，特别对于非凸的非线性方程组，其求解更是困难。

下面简要介绍非线性方程组的三种解法——牛顿法、拟牛顿法、同伦算法，分析三种解法的适用性，并附Matlab 原程序。

（一）、牛顿迭代法迭代公式为：x k+1=x k-f(x k)/f'(x k);牛顿迭代法是解非线性方程组比较经典的方法，在局部收敛点附近是平方收敛的；但其解依赖于初始解，且迭代每一步都要计算f'(x k)，不仅计算量大而且有时会发生计算困难。

（二）、拟牛顿迭代法拟牛顿法是为了解决求Jacobi矩阵时带来的困难，现已成为解决非线性方程组和最优化问题的最有效方法之一。

其迭代格式为：x(k+1)=x(k)-A k-1F(x(k))A k+1=A k+[(y k-A k s k)(y k-A k s k)T]/[(y k-A k s k)T s k]在一定条件下，计算H的序列是超收敛的，但稳定性较差，有时迭代效果不理想。

（三）、同伦算法同伦算法基本思想是从容易求解的方程组开始，逐步过渡到原方程组的求解，从而得到问题的解。

非线性方程组为：F(x)=0，其解为X*。

构造泛函 G：[0，1]XR n->R nG定义为：G（λ，x）=λ F(x)+(1-λ)[F(x)-F(x(0))]=F(x)+(λ-1)F(x(0))(其中：x（0）为任意给的初值，假定为λ函数（λ=0）)对于λ的方程G（λ，x）=0，当λ=0时，0=G（0，x）=F(x)-F(x(0))；x（0）是方程的解；当λ=1时，0=G（1，x）=F(x)；x*是方程的解，即x(1)=x*基于这个思想我们最后可以得到如下关系式：x'(λ)=-[J(x(λ))]-1F(x(0)) ( 0<=λ<=1,对初始值x(0) )J为雅可比矩阵，由上面的式子，对λ在[0，1]上积分，就可得到x*=x(1)上面的非线性方程组问题就转化为数值积分问题。

牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法

xn 1 xn f ( xn ) L
记 L 1 ，上面两式可以合并写成：
f ( x) L 。这种迭代公式称作简单的牛顿公式，其相应的迭代函数是：需要注意的是，由于 L 是 ' ( x) 的估计值，若取 ( x) x f ( x) ，则 ' ( x) 实际上便是
f ' ( x) 2 L ，可见当 L 与 f ' ( x) 同号且满足上述不等式时，推广的简化
法就有平方收敛的速度，为了扬长避短，扩大初始值选取的范围，下面介绍牛顿法的一种改进 ——牛顿下山法。
xn 1 xn
将牛顿法的迭代公式修改为：其中，是一个参数，的选取应使
f ( xn ) f ' ( xn )
xn 1 xn
计算平方根的准确而有效的计算方法。 3.4.3 牛顿迭代法的变形用牛顿法解方程，虽然在单根附近具有较快的收敛速度，但它有个明显的缺点，就是每次都要计算导数 f ' ( x) ，当 f ( x) 比较复杂时，计算 f ' ( x) 可能很困难。下面介绍两种克服这种困难的方法，另外还介绍一种扩大牛顿迭代法初值选择范围的方法，它们统称为变形的牛顿迭代法。 1 简化牛顿法
f ( xn ) f ' ( xn ) 。
( x) x
牛顿迭代公式可以看成是由不动点迭代的收敛原则，只须证明在根附近的迭代函数是一个压缩映象。由于：
f ( x) f ' ( x) 而获得的不动点迭代格式。这样就可以应用
' ( x) 1
[ f ' ( x)]2 f ( x) f "( x) f ( x) f "( x) [ f ' ( x)]2 [ f ' ( x)]2 ，

牛顿-拉夫逊方法-概述说明以及解释

牛顿-拉夫逊方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述牛顿-拉弗逊方法是一种用于求解非线性方程组的数值方法，由数学家牛顿和拉夫逊在17世纪提出。

该方法通过迭代的方式逼近非线性方程组的解，从而实现求解方程组的根的目的。

牛顿-拉夫逊方法是一种经典且广泛应用的数值计算方法，被广泛应用于科学、工程、金融等领域。

本文将对牛顿-拉夫逊方法的定义与原理、应用领域以及优缺点进行深入探讨，旨在帮助读者更好地理解并应用该方法解决实际问题。

通过学习和掌握牛顿-拉夫逊方法，读者可以更高效地解决复杂的非线性方程组，提高问题求解的准确性和精度。

1.2 文章结构:本文将首先介绍牛顿-拉夫逊方法的定义与原理，包括其数学模型和求解过程。

随后将讨论该方法在实际应用中的一些典型领域，比如优化问题、方程求解等。

接着将分析牛顿-拉夫逊方法的优缺点，探讨其在解决实际问题中的局限性和优势。

最后，将对牛顿-拉夫逊方法进行总结，并展望其在未来的应用前景，最终得出结论。

通过这些内容，读者将能够全面了解牛顿-拉夫逊方法的特点及其在科学研究和工程实践中的价值和重要性。

1.3 目的本文旨在深入探讨牛顿-拉夫逊方法，介绍其定义、原理、应用领域以及优缺点。

通过对该方法的全面分析，希望读者能够更清晰地了解牛顿-拉夫逊方法在数值计算中的重要性和实用性，进而为相关领域的研究和实践提供参考和指导。

同时，对牛顿-拉夫逊方法的展望也是本文的一个重要内容，希望能够带给读者新的启发和思考，促进该方法在未来的进一步发展和应用。

最终，通过对牛顿-拉夫逊方法的详细介绍和分析，期望能够为读者打开一扇通往数值计算领域的新视角，激发对该方法以及数值计算理论的兴趣和探索欲望。

2.正文2.1 牛顿-拉夫逊方法的定义与原理牛顿-拉夫逊方法，又称为牛顿迭代法，是一种用于求解方程的数值方法。

它是由著名的物理学家和数学家牛顿发现的一种迭代求根方法，并由拉夫逊进一步完善和推广。

在数学上，牛顿-拉夫逊方法用于求解非线性方程组的根。

求解非线性方程的牛顿迭代法

求解非线性方程的牛顿迭代法作者：李晓辉任伟和程长胜来源：《科技风》2021年第14期摘要：本文主要讲了求解非线性方程的牛顿迭代法。

文章首先引入牛顿迭代法的公式、迭代函数。

紧接着文章又介绍了牛顿迭代法的局部收敛性以及它的收敛速度，并通过数值实验验证了牛顿迭代法求解非线性方程的有效性。

关键词：牛顿迭代法;局部收敛;收敛速度中图分类号：O010224文献标识码：A一、绪论类似于线性方程组Ax=b求解的问题，非线性方程的一般问题可化为f（x）=y，即“对于什么样的x的值，函数f取值为y”，这里可以暂且先把f当成单变量函数，通常把y移项并吸收进f，从而一般形式可记为f（x）=0，因此，一个一般的一元非线性方程的求解问题有如下形式：给定函数f，寻找x（实的或复的），使得f（x）=0。

若存在一点x*满足该性质，称x*是方程f（x）=0的根或函数的零点。

这类问题称为求根问题或求零点问题。

此外，方程的根的情况可分为单根和重根。

一般的非线性方程的重数可以定义如下：若f（x）=（x-x*）m·g（x）且g（x）≠0，其中，m为自然数，称x*为f（x）的m重根，m=1时也称单根。

若区间[a，b]上有方程的一个实根，称该区间为方程的一个有根区间，如果能把方程的有根区间的长度缩短到一定的范围内，那么就求到了一个近似根，通常采用的都是数值求解的办法，因此若假设要求有根区间长度为0（即求到精确解），这些数值求解的办法通常都会产生一个逐渐逼近根的一个无穷序列。

求方程的近似根，一般要考虑如下几个问题：（1）根的存在性问题，即方程有没有实根，有几个根。

（2）有根区间的确定。

本文介绍的算法通常是假设有根的前提下给出求近似根的方法，一般需要以别的辅助工具先确定有根区间。

（3）求出足够近似的根，即在制定精度下缩小有根区间，或通过某些判别条件断定近似根的精度。

二、Newton迭代公式的构造简单迭代是将非线性方程f（x）=0通过代数恒等变形，将原方程化成等价方程x=φ（x），从而形成迭代式xk+1=φ（xk）。

6.解非线性方程组的牛顿迭代法

eN TN (1 hL) eN 1
TN (1 hL) TN 1 (1 hL) eN 2
TN (1 hL) TN 1
(1 hL)2 TN 2 (1 hL)N 1 T1

N 1 k 0
(1
function f=myfun syms x; syms y f=[x^2+y^2-1;x^3-y]; x0=[0.8;0.6];
>> newton (myfun,x0,1e-6) n=
4 ans =
0.8260 0.5636
7. 最速下降法

f1( x, f2 (x,
y) y)

f1 y f2 y

y1

y0

1 J0
f1 f2
f1 f2 ( x0 , y0 ) f1x f2x
(**)
例： x 2 ( x
y2 5 0 1) y (3x
1)

0
求
(1,1) 附近的解
f1x

f2x
f1 y f2 y

2x y3
Tn1 y( xn1 ) yn1 一步产生的误差
其中是由公式根据前一步的准确值获得的。
y( xn1 ) y( xn h)

y( xn ) hf ( xn ,
y(xn ))
h2 2
y( )
xn xn!
yn1 y( xn ) hf (xn , y( xn )) (Euler方法)
f
(x,
y ( x))dx

(完整word版)c++求解非线性方程组的牛顿顿迭代法

}
void inv_jacobian(float yy[N][N],float inv[N][N])
{float aug[N][N2],L;
int i,j,k;
cout<<"开始计算雅克比矩阵的逆矩阵："<<endl;
for (i=0;i<N;i++)
{ for(j=0;j<N;j++)
aug[i][j]=yy[i][j];
ff(x0,y0);//计算雅克比矩阵jacobian
ffjacobian(x0,jacobian);//计算雅克比矩阵的逆矩阵invjacobian
inv_jacobian(jacobian,invjacobian);//由近似解向量x0计算近似解向量x1
newdundiedai(x0, invjacobian,y0,x1);//计算差向量的1范数errornorm
yy[0][0]=2*x-2;
yy[0][1]=-1;
yy[1][0]=2*x;
yy[1][1]=8*y;
cout<<"雅克比矩阵是："<<endl;
for( i=0;i<N;i++)
{for(j=0;j<N;j++)
cout<<yy[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
cout<<endl;
{ for(j=0;j<N2;j++)
cout<<aug[i][j]<<" ";

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华中师范大学课程结业论文题目：非线性方程组牛顿法及MATLAB程序院系：数学与统计学学院专业：数学与应用数学年级：2014级课堂名称：数值分析（1）实验学生姓名：杨帅学号：20142126432016年6月18非线性方程组牛顿法及其MATLAB 程序〔摘要〕学了《数值分析》这门课，了解到非线性方程的数值解法有：对分区间法、简单迭代法、Aitken-Steffensen 加速法、Newton 迭代法、正割法等，自然就会想到非线性方程组的数值解法有哪些呢？和非线性方程的数值解法有哪些不不同呢？在研究非线性方程组的数值解法之前，首先要给非线性方程组下一个合理定义；n 个变量n 个方程（n>1）的方程组表示为0),...,,(21=nix x x f （其中i=1,2...，n ），若if 中至少有一个是非线性函数，则称上述的表示为非线性方程组。

在R 中记，T nx x x f f ),...,,(21=，其中记),...,()(1n i i i x x f x f f ==且D x ∈。

若存在尣∈D ，使ƒ(尣)=0，则称尣为非线性方程组的解。

上述方程组可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。

对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。

除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。

根据不同思想构造收敛于解尣的迭代序列{尣}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法；但研究数学问题的时候，一般是由简单到复杂，由特殊到一般。

因此要在研究非线性方程组牛顿解法的时候，首先要探究非线性方程的牛顿解法。

1.1求解线性方程组的牛顿法及其MATAB 程序 1.1.1程序设计思路输入的量：初始值0x 、近似根kx 的误差限tol ，近似根kx 的函数值)(kx f 得误差限ftol ，迭代次数的最大值gxmax 、函数fnq （x ）=)(x f及其导数dfnq （x ）=f ’（x ）。

输出的量：迭代序列{kx }、迭代k 次得到的迭代值kx （迭代次数超过gxmax 时，运行后输出信息'请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax')、相邻两次迭代的偏差piancha=|1-k kx -x |和它的偏差的相对误差xdpiancha=|1-k kx -x |/|kx |的值。

1.1.2具体操作现提供名为newtonqx.m 的M 文件：function [k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax) x(1)=x0; for i=1: gxmaxx(i+1)=x(i)-fnq(x(i))/(dfnq(x(i))+eps); piancha=abs(x(i+1)-x(i)); xdpiancha= piancha/( abs(x(i+1))+eps); i=i+1; xk=x(i);yk=fnq(x(i)); [(i-1) xk yk piancha xdpiancha] if (abs(yk)<ftol)&((piancha<tol)|(xdpiancha< tol)) k=i-1; xk=x(i);[(i-1) xk yk piancha xdpiancha] return ; end end if i>gxmaxdisp('请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax 。

') return ; end[(i-1),xk,yk,piancha,xdpiancha]';1.1.3例题分析用牛顿法求解方程2x^3-3x^2+1=0在0x = -0.4和0.9的近似根，要求精度ε = 10^(-3).然后判断此方法分别在方程的根*x = -0.5和1处的收敛速度. (1),先求方程的近似根. 在MATLAB 工作窗口输入程序>>[k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(-0.4,0.001, 0.001,100)运行后输出初始值0x = -0.4的迭代结果如表所示.迭代次数k = 3,根的近似值kx =-0.500,它的函数值ky =-1.759e-013,偏差piancha =1.712e-007和相对误差xdpiancha =3.423e-007如果将-0.4改作0.9，则运行后输出初始值0x = -0.4的迭代结果为k =7；piancha =7.290e-004；xdpiancha =7.295e-004；kx = 0.999；ky=1.590e-006. (2)，再讨论收敛速度比较初始值分别是0x = -0.4和0.9的两组结果，在0x = -0.4处迭代 3 次就得到单根*x = -0.5的近似值 kx =-0.500；而在x 0 = 0.9处迭代 7 次才得到二重根*x = 1的近似值kx =0.999.可见，牛顿切线迭代法在单根处的迭代速度比二重根处的迭代速度快很多.这正如前面讨论的结果一样，即若 *x 是 f (x ) = 0的单根，则牛顿切线法是平方收敛的；若*x 是f (x ) = 0的二重根，则牛顿切线法是线性收敛的；2.1，求解二元非线性方程组的牛顿法及其MATLAB 程序2.1.1程序设计思路：输入的量：初始值X =[0,y x ],要求的近似根(kky x ,)的误差tol ，（kky x ,）的函数值 2,1),,(=i y x f kk i 的误差限ftol ，迭代次数的最大值ngmax 和函数 2,1),,(=i y x f kki及其一阶偏导数：输出的量：迭代k c i=次数得到的迭代向量值X=（0,y x ）、向量的函数值Y={),(),,(21kkkky x f y x f }、Y 的2范数hanfan 、迭代方程组的系数行列式D 的值、相邻两次迭代向量的2范数danfan=norm(k k X X-+1)和它的2范数的相对误差xddf=danfan/norm(1+k X )的值（当迭代次数超过最大值ngmax 时运行后输出’请注意：迭代次数超过给定的最大值namax,请重新输入初始值0x ’：当D=0时，运行后输出信息’请注意！迭代方程组的系数行列式的值等于零’） 2.1.2具体操作：使用两个初始值0,y x ，现提供名为newtonzu2.m 的M 文件function [ci,D,danfan,xddf,hanfan,Xk,Yk]=newtonzu2(X,tol,ftol,ngmax) Y=Z(X); for i=1:ngmax dY=JZ(X);D=det(dY);A1=[Y(1),dY(1,2); Y(2),dY(2,2)]; A=det(A1);B1=[dY(1,1), Y(1); dY(2,1), Y(2)];B=det(B1);Xk=X-[A,B]/D; hanfan=norm(Y);danfan=norm(Xk-X); xddf=danfan/(norm(Xk)+eps); X=Xk;Y=Z(X);ci=i; if D~=0ci=i; Xk=X-[A,B]/D;Yk=Y; [ci,D,danfan, xddf, hanfan , X, Y]; elsedisp('请注意！迭代方程组的系数行列式的值等于零.') endif (hanfan <ftol)&(( danfan <tol)|( xddf < tol)) [ci,D,danfan, xddf, hanfan , X, Y]; return ; end if i>gxmaxdisp('请注意：迭代次数超过给定的最大值ngmax,请重新输入初始值x0.') return ; end end2.1.3例题分析：用上述迭代法求解方程组x^2+y^2=16与x^2-y^2=2 （1）设)(1x f =x^2+y^2-16)(2x f =x^2-y^2-2则y yy x f x x y x f y y y x f x x y x f 2),(,2),(,2),(,2),(2211-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂ （2）作函数)(1x f 和)(2x f>>syms x yF1=x^2-y^2-2;F2=x^2+y^2-16; ezplot(F1,[-4.5,4.5]), hold on ezplot(F2,[-4.5,4.5]) ,hold off运行后屏幕显示如右图，取两个初始值2,20==y x（3），建立并保存名为Z.m 的M 文件function F=Z(X)x=X(1);y=X(2); F=zeros(1,2); F(1)= x^2+y^2-16; F(2)= x^2-y^2-2;（4），建立并保存名为JZ.m 的M 文件function dF=JZ(X)x=X(1);y=X(2); dF=zeros(2,2); dF(1,1)=2*x; dF(1,2)=2*y; dF(2,1)=2*x; dF(2,2)=-2*y;（5），保存名为newtonzu2.m 的M 文件；（6），在MATLAB 工作窗口输入程序:>>X=[2,2]; [k,D,danfan, xddf, hanfan , Xk, Yk]= newtonzu2 (X,1e-4,1e-4,100)（7），运行后输出结果k = 5 D =-63.49803146638493 danfan =3.932201289951168e-011 xddf =9.830503224877920e-012 hanfan =3.336593498083849e-010Xk =2.99999999996068 2.64575131106449 Yk = 1.0e-015 *0 -0.888178419700132.2求解n 元非线性方程组的牛顿法及其MATLAB 程序 2.2.1程序设计思路输入的量：初始值0X ,要求的近似根k x 的误差限 tol ，k x 的函数值if（k x ），n ,...,2,1i =的误差限ftol ，迭代次数的最大值gxmax 和函数if （k x ）, n ,...,2,1i =及其一阶偏导数；输出的量：迭代k 次数得到的迭代向量值k x 、向量的函数值if（k x ），n ,...,2,1i =及其2范数hanfan 、迭代方程组的雅可比矩阵的行列式D 的值、相邻两次迭代向量的2范数danfan=norm ）（k k x x -+1和它的2范数的相对误差xddf=danfan/norm(1+k x )的值。