二项式定理(教学设计)

二项式定理（教学设计）

杜军平横山中学

一、教学目标

1.知识目标：理解二项式定理及其推导方法，掌握二项展开式的基本特征；能应用二项式定理求二项展开式，能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项．

2.过程与方法：通过二项式定理的推导过程理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力．

3.情感目标：通过本节学习，进一步培养提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的归纳以及探究意识．

二、教学重点、难点

1.教学重点：用两个计数原理分析2)

a 的展开式，归纳得出二

(b

项式定理；掌握二项式的通项公式；能应用它们解决简单问题．

2.教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用.

三、课前准备

多媒体课件.

四、教学方法与手段

1.教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论、反馈式评价.

2.学习方法：实例感受、观察发现、合作交流、归纳总结.

五、教学流程图

问题引入

1.第13

2.第132009

【设计意图】通过学生所熟知的问题情境引入本节课的教学内容，提高学生的学习兴趣和学习热情，达到有效教学的目的．要解决这个问题,就要用到今天我们学习的知识——板书课题.

§1.3.1二项式定理（一）

（二）讲授新课

Ⅰ)n

（的展开式

a b

+

1.探索研究

2222)b ab a b a ++=+（，分析2)b a +（展开过程：从项数、指数、系数三个方面加以分析，并让学生板演3()a b +与4)b a +（的展开式，再让学生猜想并证明

)n a b +（的展开式. 【设计意图】引导学生将2)b a +（的展开式与两个计数原理联系起来，分析展开式项的形式及各项前的系数，用组合数表示

2)b a +（展开式的系数．让学生在探究过程中观察、发现、类比、猜想得出结论，这是数学教学提倡培养的，是一种创造性的思维活动，也让学生体验数学研究的乐趣，在注重思维结果的同时，更注重思维过程. 2．归纳提高

归纳得出：)n a b +=（0

n C a n +1n C a n-1b+…+k k n k n b a C - +…+n n C b n (n ∈N *)

并给出简单证明．

指出：上述这个公式所表示的定理叫做二项式定理，左边

n b a )+（这个式子叫二项式，右边多项式叫做

n b a )+（的二项展开式．

引导学生归纳二项展开式的特征： （1）项数特征：展开式共有n +1项．

（2）次数特征：①各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n ．

②字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到0；字母b

按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项增1直到n ．

（3）二项式的系数从0n C ，1

n C ，直到n n C ．

设计意图：培养学生归纳总结的能力，加强由特殊到一般的数学思想的渗透．

3．设置小练习

（1）二项展开式2()n a b +的项数有 项．

（2）当1,a b x ==时，

71)x +（= ． 当1,a b x ==-时，

71-)x （= ． （3）试写出(11)n +的展开式．

Ⅱ

)n a b +（的展开式的通项

1．通项公式：1k

n k k k n a b C T -+=.

第k ＋１项二项式系数

通项

()011n

n n n n n n n a b C a C a b C b

-+=+()

n ∈*N 说

明：

（1）它是 的展开式的第 项，这里 ()n

a b +1k +0,1,2,,;k n =

（2）二项式系数只与n ，k 有关，而与a ，b 的取值无关； （3）公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．2. 设置小练习

n b a )+（展开式的第2项为_______， )n b a +（展开式的第2项为_______，

)n a b -（展开式的通项为_______．

（三）典型例题

例1 求6)12(x

x -的展开式．

解:

设计意图

：熟悉定理，简单应用．通过巩固练习，达到知识的内

6

66

3615243

3

66634256

6666543

3232

231(2-1)1[(2)-(2)(2)-(2) (2)-(2)]

1

(64-6321516-208 154-621)

6012164-192240-160-.

x x x C x C x C x x

C x C x C x x x x x

x x x x x x x x

===+++=⨯+⨯⨯+⨯⨯+=+++

化．

例2 （1）求

72)x +（1的展开式的第4项的系数； （2）求91

)x x

-（的展开式中3x 的系数．

解：

设计意图：通过求二项式的展开式的特定项与特征项，不但使学生了解了通

项的作用，而且让学生学会了用方程的思想来求解问题的方法．

（四）回到引例

问题：1990是马年，从1991年开始： （1）第13年出生的孩子的属相是什么？ （2）第132009年出生的孩子的属相是什么

设计意图：回归问题，体现了知识的实际应用价值，学生的热情自然很高．

（五）小结

9921991

(2) ()(1).

r r r r r r r T C x C x x

--+=-=-333

9923, 3.(-1)84.

r r x C -===-由得故的系数为3

7333317(1) 1(2)280.

T C x x -+=⋅=