《数学模型概述》PPT课件
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数学模型姜启源 ppt课件
6
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
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《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
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《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
《数学模型》PPT课件
对于给定的动态系统，数学模型表达不 唯一。工程上常用的数学模型包括：微分方 程，传递函数和状态方程。对于线性系统， 它们之间是等价的。
建立数学模型的方法 ➢ 解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。
➢ 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。
控制工程基础
(第二章）
2010年
第二章 控制系统的动态数学模型
一、系统数学模型的基本概念 二、控制系统的运动微分方程 三、非线性系统数学模型的线性化 四、拉氏变换和拉氏反变换 五、传递函数以及典型环节的传递函数
六、系统函数方框图和信号流图 七、控制系统传递函数推导举例 八、系统数学模型的MATLAB实现 九、小结
进给传动装置示意图及等效力学模型
组合机床动力滑台及其力学模型
控制系统微分方程的列写
➢ 机械系统
机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
✓ 质量
fm(t)
x (t) v (t)
m 参考点
fm (t)
m
d dt
v(t)
m
d2 dt 2
x(t)
✓ 弹簧
fk(t)
弹簧－阻尼系统
fi(t)
0
xo(t)
fi (t) fD (t) fk (t)
k
D
D
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
弹簧-阻尼系统
系统运动方程为一阶常系数 微分方程。
机械旋转系统
i(t)0
o(t) 0
k Tk(t)
J TD(t)
建立数学模型的方法 ➢ 解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。
➢ 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。
控制工程基础
(第二章）
2010年
第二章 控制系统的动态数学模型
一、系统数学模型的基本概念 二、控制系统的运动微分方程 三、非线性系统数学模型的线性化 四、拉氏变换和拉氏反变换 五、传递函数以及典型环节的传递函数
六、系统函数方框图和信号流图 七、控制系统传递函数推导举例 八、系统数学模型的MATLAB实现 九、小结
进给传动装置示意图及等效力学模型
组合机床动力滑台及其力学模型
控制系统微分方程的列写
➢ 机械系统
机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
✓ 质量
fm(t)
x (t) v (t)
m 参考点
fm (t)
m
d dt
v(t)
m
d2 dt 2
x(t)
✓ 弹簧
fk(t)
弹簧－阻尼系统
fi(t)
0
xo(t)
fi (t) fD (t) fk (t)
k
D
D
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
弹簧-阻尼系统
系统运动方程为一阶常系数 微分方程。
机械旋转系统
i(t)0
o(t) 0
k Tk(t)
J TD(t)
《数学模型电子教案》课件
《数学模型电子教案》PPT课件第一章：数学模型概述1.1 数学模型的定义与分类1.2 数学模型的构建步骤1.3 数学模型在实际应用中的重要性1.4 数学模型与数学建模的区别与联系第二章：数学模型建立的基本方法2.1 直观建模法2.2 解析建模法2.3 统计建模法2.4 计算机模拟建模法第三章：线性方程组与线性规划模型3.1 线性方程组的求解方法3.2 线性规划的基本概念与方法3.3 线性规划模型的应用案例3.4 线性规划模型的求解算法第四章：微分方程与差分方程模型4.1 微分方程的基本概念与分类4.2 微分方程的求解方法4.3 差分方程的基本概念与分类4.4 差分方程的求解方法与应用第五章：概率论与统计模型5.1 概率论基本概念与随机变量5.2 概率分布与数学期望5.3 统计学基本概念与推断方法5.4 统计模型的应用案例第六章：最优化方法与应用6.1 无约束最优化问题6.2 约束最优化问题6.3 最优化方法的应用案例6.4 遗传算法与优化问题第七章：概率图与贝叶斯模型7.1 概率图的基本概念7.2 贝叶斯定理及其应用7.3 贝叶斯网络与推理方法7.4 贝叶斯模型在实际应用中的案例分析第八章：时间序列分析与预测模型8.1 时间序列的基本概念与分析方法8.2 自回归模型（AR）与移动平均模型（MA）8.3 自回归移动平均模型（ARMA）与自回归积分滑动平均模型（ARIMA）8.4 时间序列预测模型的应用案例第九章：排队论与网络流量模型9.1 排队论的基本概念与模型构建9.2 排队论在服务系统优化中的应用9.3 网络流量模型的基本概念与方法9.4 网络流量模型的应用案例第十章：随机过程与排队网络模型10.1 随机过程的基本概念与分类10.2 泊松过程与Poisson 排队网络10.3 马克威茨过程与随机最优控制10.4 排队网络模型的应用案例第十一章：生态学与种群动力学模型11.1 生态学中的基本概念11.2 种群动力学模型的构建11.3 差分方程在种群动力学中的应用11.4 种群动力学模型的案例分析第十二章：金融数学模型12.1 金融市场的基本概念12.2 金融数学模型概述12.3 定价模型与风险管理12.4 金融数学模型在实际应用中的案例分析第十三章：社会经济模型13.1 社会经济系统的基本特征13.2 经济数学模型的构建方法13.3 宏观经济模型与微观经济模型13.4 社会经济模型的应用案例第十四章：神经网络与深度学习模型14.1 人工神经网络的基本概念14.2 深度学习模型的构建与训练14.3 神经网络在数学建模中的应用案例14.4 当前神经网络与深度学习的发展趋势第十五章：数学模型在工程中的应用15.1 工程问题中的数学建模方法15.2 数学模型在结构工程中的应用15.3 数学模型在流体力学中的应用15.4 数学模型在其他工程领域中的应用案例重点和难点解析本《数学模型电子教案》PPT课件涵盖了数学模型概述、建模方法、线性方程组与线性规划、微分方程与差分方程、概率论与统计、最优化方法、概率图与贝叶斯模型、时间序列分析、排队论与网络流量模型、随机过程、生态学与种群动力学模型、金融数学模型、社会经济模型、神经网络与深度学习模型以及数学模型在工程中的应用等多个领域。
《数学建模》PPT课件
( x2
x1)
f
f (x2 ) (x2 ) f
2 1 ( x1) 22
1
f
( x1 )
f
(x2 )
3
f
( x1 ) x1
f (x2 ) x2
2 (12 f (x1)f (x2 ))1/2
如函数的导数容易求得，一般首先考虑使用三次插值
法，因为它具有较高效率。对于只需要计算函数值的方
法中，二次插值法是一个很好的方法，它的收敛速度较
优化模型
（2）多项式近似法 该法用于目标函数比较复杂的情 况。此时寻找一个与它近似的函数代替目标函数，并用 近似函数的极小点作为原函数极小点的近似。常用的近 似函数为二次和三次多项式。
二次内插涉及到形如下式的二次函数数据拟合问题：
mq() a2 b c
其中步长极值为：
b
2a
完整版课件ppt
求解单变量最优化问题的方法有很多种，根据目标函 数是否需要求导，可以分为两类，即直接法和间接法。 直接法不需要对目标函数进行求导，而间接法则需要用 到目标函数的导数。
完整版课件ppt
4
优化模型
1、直接法 常用的一维直接法主要有消去法和近似法两种： （1）消去法 该法利用单峰函数具有的消去性质进行
反复迭代，逐渐消去不包含极小点的区间，缩小搜索区 间，直到搜索区间缩小到给定允许精度为止。一种典型 的消去法为黄金分割法(Golden Section Search）。黄金 分割法的基本思想是在单峰区间内适当插入两点，将区 间分为三段，然后通过比较这两点函数值的大小来确定 是删去最左段还是最右段，或同时删去左右两段保留中 间段。重复该过程使区间无限缩小。插入点的位置放在 区间的黄金分割点及其对称点上，所以该法称为黄金分 割法。该法的优点是完整算版课法件p简pt 单，效率较高，稳定性好5 。
机械工程控制基础课件 第2章： 系统的数学模型
统，而闭环控制系统则是指系统中存在反馈环节的控制系统。
控制系统的状态空间模型
要点一
总结词
控制系统的状态空间模型
要点二
详细描述
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的数学模型， 它通过建立系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态 特性。在状态空间模型中，系统的状态变量、输入变量和 输出变量都被表示为矩阵和向量的形式，从而能够方便地 描述系统的动态行为。状态空间模型具有直观、易于分析 和设计等优点，因此在控制工程中得到了广泛应用。
传递函数模型的求解
通过求解传递函数模型中的代数方程或超 越方程，得到系统在给定输入下的输出响 应。
04
控制系统的数学模型
控制系统的定义与分类
总结词
控制系统的定义与分类
详细描述
控制系统的定义是：控制系统是一种能够实现自动控制和调节的装置或系统，它能够根 据输入信号的变化，自动调节输出信号，以实现某种特定的控制目标。控制系统可以分 为开环控制系统和闭环控制系统两类。开环控制系统是指系统中没有反馈环节的控制系
状态空间模型的求解
通过数值计算方法求解状态空间模型中的微分方程或差分方程，得到 系统状态变量的时间响应。
非线性系统的传递函数模型
总结词
传递函数模型的建立、性质和求解
传递函数模型的性质
传递函数模型是非线性的，具有频率响应 特性，可以描述系统在不同频率下的行为
特性。
传递函数模型的建立
通过拉普拉斯变换将非线性系统的微分方 程或差分方程转换为传递函数的形式，从 而建立非线性系统的传递函数模型。
03
非线性系统的数学模型
非线性系统的定义与性质
总结词
非线性系统的定义、性质和特点
非线性系统的定义
控制系统的状态空间模型
要点一
总结词
控制系统的状态空间模型
要点二
详细描述
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的数学模型， 它通过建立系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态 特性。在状态空间模型中，系统的状态变量、输入变量和 输出变量都被表示为矩阵和向量的形式，从而能够方便地 描述系统的动态行为。状态空间模型具有直观、易于分析 和设计等优点，因此在控制工程中得到了广泛应用。
传递函数模型的求解
通过求解传递函数模型中的代数方程或超 越方程，得到系统在给定输入下的输出响 应。
04
控制系统的数学模型
控制系统的定义与分类
总结词
控制系统的定义与分类
详细描述
控制系统的定义是：控制系统是一种能够实现自动控制和调节的装置或系统，它能够根 据输入信号的变化，自动调节输出信号，以实现某种特定的控制目标。控制系统可以分 为开环控制系统和闭环控制系统两类。开环控制系统是指系统中没有反馈环节的控制系
状态空间模型的求解
通过数值计算方法求解状态空间模型中的微分方程或差分方程，得到 系统状态变量的时间响应。
非线性系统的传递函数模型
总结词
传递函数模型的建立、性质和求解
传递函数模型的性质
传递函数模型是非线性的，具有频率响应 特性，可以描述系统在不同频率下的行为
特性。
传递函数模型的建立
通过拉普拉斯变换将非线性系统的微分方 程或差分方程转换为传递函数的形式，从 而建立非线性系统的传递函数模型。
03
非线性系统的数学模型
非线性系统的定义与性质
总结词
非线性系统的定义、性质和特点
非线性系统的定义
数学模型第01章第五版ppt课件
2）由 f, g 连续可得 h连续.
3）据连续函数的基本性质, 必存在0 ( 0< 0 < /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0) . 4）因为 f(0) • g(0)=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.
结论：在模型假设条件下，将椅子绕中心旋转， 一定能找到四只脚着地的稳定点.
表现特性 建模目的
确定和随机
静态和动态
离散和连续
线性和非线性
描述、优化、预报、决策、…
了解程度 白箱
灰箱
黑箱
1.8 怎样学习数学建模—— 学习课程和参加竞赛
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术.
技术大致有章可循. 艺术无法归纳成普遍适用的准则.
• 着重培养数学建模的意识和能力 数学建模的意识 对于日常生活和工作中那些需要 或者可以用数学知识分析、解决的实际问题，能够 敏锐地发现并从建模的角度去积极地思考、研究.
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y) 30 750
x=20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速为20km/h.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数） • 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答（x=20, y=5）
1.4 建模示例之二 路障间距的设计
背景 校园、居民小区道路需要限制车速——设置路障 问题 限制车速≤40km/h, 相距多远设置一个路障？
分析 汽车过路障时速度接近零, 过路障后加速.
车速达到40km/h时让司机看到下一路障而 减速, 至路障处车速又接近零. 如此循环以达到限速的目的.
3）据连续函数的基本性质, 必存在0 ( 0< 0 < /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0) . 4）因为 f(0) • g(0)=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.
结论：在模型假设条件下，将椅子绕中心旋转， 一定能找到四只脚着地的稳定点.
表现特性 建模目的
确定和随机
静态和动态
离散和连续
线性和非线性
描述、优化、预报、决策、…
了解程度 白箱
灰箱
黑箱
1.8 怎样学习数学建模—— 学习课程和参加竞赛
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术.
技术大致有章可循. 艺术无法归纳成普遍适用的准则.
• 着重培养数学建模的意识和能力 数学建模的意识 对于日常生活和工作中那些需要 或者可以用数学知识分析、解决的实际问题，能够 敏锐地发现并从建模的角度去积极地思考、研究.
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y) 30 750
x=20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速为20km/h.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数） • 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答（x=20, y=5）
1.4 建模示例之二 路障间距的设计
背景 校园、居民小区道路需要限制车速——设置路障 问题 限制车速≤40km/h, 相距多远设置一个路障？
分析 汽车过路障时速度接近零, 过路障后加速.
车速达到40km/h时让司机看到下一路障而 减速, 至路障处车速又接近零. 如此循环以达到限速的目的.
数学建模介绍PPT课件
•对任意的，有f()、 g()
•至少有一个为0，
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本问题归为证明如下数学命题： 数学命题:（本问题的数学模型）
已知f()、 g()都是的非负连续函数，对任意的 ，有f() g()=0，且f(0) >0、 g(0)=0 ，则有存在0， 使f(0)= g(0)=0
模型求解 证明：将椅子旋转90°，对角线AC与BD互换，由 f(0)>0、 g(0)=0 变为f(/2) =0、 g(/2) >0
的解答
解
释
数学模型 的解答
12
实践
理论
实践
表述 求解 解释 验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成 数学问题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答
将数学语言表述的解答“翻译”回实际对 象 用现实对象的信息检验得到的解答
13
4、建模实例：
例1、椅子能在不平的地面上放稳吗？
• 模型假设 • 1、椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面
• 要学习数学建模，应该了解如下与数学建模 有关的概念：
3
• 原型（Prototype）
• 人们在现实世界里关心、研究、或从事生产、 管理的实际对象称为原形。原型有研究对象、 实际问题等。
• 模型（Model)
• 为某个目的将原型的某一部分信息进行简缩、 提炼而构成的原型替代物称为模型。模型有 直观模型、物理模型、思维模型、计算模型、 数学模型等。
• 一个原型可以有多个不同的模型。
4
数学模型：
由数字、字母、或其他数学符号组成、描 述实际对象数量规律的数学公式、图形或算 法称为数学模型
数学建模：
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
5
第1讲 数学建模简介 PPT课件
什么是数学建模 数学建模步骤及分类 建模竞赛及其意义 建模实例讲解
什么是数学建模
什么是数学模型 一般意义上的“模型”
为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提 炼出来的原型的替代物。
水箱中的舰艇； 风洞中的飞机等；
实物模型
符号模型
物理模型
什么是数学建模
数学模型（mathematical model)
引例
第二块钢板的故事，来自一位将军。 诺曼底登陆时，美军101空降师副师长唐·普拉特准将
乘坐的是滑翔机。起飞前，有人自作聪明，在副师长的座 位下，装上厚厚的钢板，用来防弹。由于滑翔机自身没有 动力，与牵引的运输机脱钩后，必须保持平衡滑翔降落， 沉重的钢板却让滑翔机头重脚轻，一头扎向地面，普拉特 准将成为美军在当天阵亡的唯一将领。
什么是数学建模
数学建模（mathematical modeling)
“新”名词 你是什么时候开始知道有这个名词的？
历史悠久 •《九章算术》— 最早的数学建模专著、 收集了246个应用题 • 以问题集形式出现： 一“问” —提出问题 二“答” —给出问题的数值答案 三“术” —讨论同类问题的普遍方法或算法 四“注” —说明“术”的理由，实质指证明或佐证
飞行员们一看就明白了，如果座舱中弹，飞行 员就完了；尾翼中弹，飞机失去平衡，就会坠落— ——这两处中弹，轰炸机多半回不来，难怪统计数 据是一片空白。
因此，结论很简单：只给这两个部位焊上钢板。
引例
• 第一块钢板是机智的飞行员用它挽救了自己 的生命。 • 第二块钢板则是教训，它是用宝贵的生命换 来的。 • 第三块钢板是升华，用科学的方法，从实战 经验中提炼出规律，这块讲科学的钢板，挽救 了众多飞行员的生命。
《平差数学模型》PPT课件
一般而言，如果某一平差问题中,观测值
个数为n，必要观测个数为t，多余
观 测 个 数 为 r=n-t ， 再 增 选 u 个 独 立
参 数 ， u=t ， 则 总 共 应 列 出
c=r+u=n 个 函 数 关 系 式 ， 其 一 般 形
式为
L~ F(X~)
n1
或：
L~BX~d
n1 nt t1 n1
将 L ~L代入上式，并令
则：
l Ld
BX~l
n1 nt t1 n1
上式就是间接平差的函数模型。
03.02.2021 8
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
L~ F(X~)
4. 附有条件的间接平差法
n1(X~) 0
如果在某平差问题中，选取u>t个参数，线性形式的S1函数模型为
其中包含t个独立参数，则多选的 s=u- t个参数必定是t个独立参数 的函数，即在u个参数之间存在着s 个函数关系式。方程的总数
产生矛盾
平差
求改正数V
L1L2L3180
消除矛盾
Lˆi Li Vi
“观测值估值” （又叫平差值、 最或是值、最 或然值）来代 替观测值
我们把按照某一准则求得观测值新的 一组最优估值的计算过程叫平差。
V称为观测值的改 正数
03.02.2021 5
第二节 测量平差的数学模型
• 在科学技术领域，通常对研究对象
7
第二节 测量平差的数学模型
一、函数模型
3. 间接平差法
参选数择几X~ 何，模将型每中一t个个观独测立量量表为达平成差 u 1
所选参数的函数，共列出 r+u=r+t=n个这种函数关系式，以 此作为平差的函数模型的平差方法 称为间接平差。（见例子）
《数学规划模型 》课件
。
非线性规划问题通常具有多个局 部最优解，寻找全局最优解是一
个挑战。
非线性规划的解法
梯度法
通过迭代计算，逐步逼近 最优解。每次迭代需要计 算目标函数的梯度和约束 条件的海森矩阵。
牛顿法
利用泰勒级数展开，构造 一个二次函数近似原函数 ，然后求解该二次函数的 极值点。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过 迭代更新海森矩阵的近似 值，提高算法的收敛速度 。
多目标规划的解法
总结词
多目标规划的解法包括层次分析法、权重法、主要目标法等 。
详细描述
多目标规划的解法有多种，其中较为常用的包括层次分析法 、权重法、主要目标法等。这些方法通过一定的数学手段和 计算技术，将多目标问题转化为单目标问题，以便进行求解 。
多目标规划的应用实例
总结词
多目标规划的应用非常广泛，包括经济、交通、能源 、环境等多个领域。
线性规划问题通常表示为在给定一组线性约束条件下，最小化或最大化一组线性目 标函数。
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件，且这些条件都是线性的，因此称为 线性规划。
线性规划的解法
线性规划问题可以通过多种方法求解， 其中最常用的是单纯形法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断迭 代寻找最优解。在每一步迭代中，算法 会检查当前解是否满足所有约束条件， 并尝试通过移动到相邻解来改进目标函
非线性规划的应用实例
投资组合优化
在给定风险和收益目标下，通过 非线性规划模型优化投资组合的
配置。
生产计划优化
在生产过程中，通过非线性规划 模型优化资源分配、生产计划等
。
物流优化
在物流配送中，通过非线性规划 模型优化运输路线、车辆调度等
。
非线性规划问题通常具有多个局 部最优解，寻找全局最优解是一
个挑战。
非线性规划的解法
梯度法
通过迭代计算，逐步逼近 最优解。每次迭代需要计 算目标函数的梯度和约束 条件的海森矩阵。
牛顿法
利用泰勒级数展开，构造 一个二次函数近似原函数 ，然后求解该二次函数的 极值点。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过 迭代更新海森矩阵的近似 值，提高算法的收敛速度 。
多目标规划的解法
总结词
多目标规划的解法包括层次分析法、权重法、主要目标法等 。
详细描述
多目标规划的解法有多种，其中较为常用的包括层次分析法 、权重法、主要目标法等。这些方法通过一定的数学手段和 计算技术，将多目标问题转化为单目标问题，以便进行求解 。
多目标规划的应用实例
总结词
多目标规划的应用非常广泛，包括经济、交通、能源 、环境等多个领域。
线性规划问题通常表示为在给定一组线性约束条件下，最小化或最大化一组线性目 标函数。
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件，且这些条件都是线性的，因此称为 线性规划。
线性规划的解法
线性规划问题可以通过多种方法求解， 其中最常用的是单纯形法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断迭 代寻找最优解。在每一步迭代中，算法 会检查当前解是否满足所有约束条件， 并尝试通过移动到相邻解来改进目标函
非线性规划的应用实例
投资组合优化
在给定风险和收益目标下，通过 非线性规划模型优化投资组合的
配置。
生产计划优化
在生产过程中，通过非线性规划 模型优化资源分配、生产计划等
。
物流优化
在物流配送中，通过非线性规划 模型优化运输路线、车辆调度等
。
第一章 数学建模概论 数学模型与实验 国家级精品课程课件 20页
2、国际数学建模竞赛（MCM）
创办于1985年，由美国运筹与管理学会，美国工业与应 用数学学会和美国数学会联合举办，开始主要是美国的大学 参赛，90年代以来有来自中国、加拿大、欧洲、亚洲等许多 国家的大学参加，逐渐成为一项全球性的学科竞赛。上一年 11月份报名，每个大学限报4队，每个系限报2队，2月上旬 比赛，4月份评奖。9篇优秀论文刊登在 “The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications（UMAP）” 专刊上。详见 /
用实际问题的实测数据等 来检验该数学模型
不符合实际 符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
建模过程示意图
七、怎样撰写数学建模的论文？ 1、摘要:问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型改进、评价、推广等 8、参考文献 9、附录
数学模型与实验
十一、 资料查询
校内：校图书馆提供电子资源，搜索软件查询 校外：, ,
数学模型与实验
十二 数学建模示例
椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设
放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
1、中国大学生数学建模竞赛（CUMCM）
创办于1990年，由教育部高教司和中国工业与应用数学 学会共同举办，全国几乎所有大专院校都有参加，每年6月份 报名，9月下旬比赛，11月份评奖。优秀论文刊登在《数学 的实践与认识》或?工程数学?每年第一期上。详见
《凯恩斯模型》课件
02
凯恩斯模型的基本假设与原理
假设条件
假设总供给固定
凯恩斯模型假设总供给在短期 内是固定的，即生产能力不变
。
假设货币工资不变
凯恩斯模型假设货币工资在短 期内是刚性的，即工资水平不 会随着需求的变动而变动。
假设投资由利率决定
凯恩斯模型假设投资是由利率 决定的，利率的下降会导致投 资增加。
假设消费由收入决定
凯恩斯模型的发展
随着时间的推移，凯恩斯模型不断得到完善和发展。在实践中，各国政府和中央银行运用凯恩斯模型进行经济分 析和政策制定，以应对各种经济挑战。
凯恩斯模型的应用领域
01 02
宏观经济政策制定
凯恩斯模型被广泛应用于宏观经济政策制定。政府和中央银行可以通过 分析凯恩斯模型来评估不同政策措施对总需求、产出和就业的影响，从 而制定出有效的经济政策。
缺点分析
假设条件限制多
凯恩斯模型建立在严格的假设基 础上，如完全竞争市场、工资刚 性等，这些假设在实际经济中很 难完全满足。
长期经济增长关注
不足
凯恩斯模型主要关注短期经济波 动和就业问题，对长期经济增长 和结构转型的关注不够。
政策副作用不易衡
量
运用凯恩斯模型制定经济政策时 ，难以准确衡量政策的副作用， 可能导致政策效果偏离预期。
对现实的指导意义
政策制定参考
凯恩斯模型为政府制定宏观经济政策提供了 理论依据，有助于政府在面对经济波动时作 出科学决策。
预期管理
通过凯恩斯模型，政府可以更有效地进行预期管理 ，稳定公众预期，从而更好地应对经济波动。
国际合作与政策协调
在全球经济一体化的背景下，各国可以根据 凯恩斯模型加强政策协调与合作，共同应对 全球经济问题。
《数学模型》课件数学建模中的数值方法20180907
u t
b2
2u x2
2u y2
2u z 2
f
(x,
y,
z,t)
其中， f F 。 a
Q1
t t t
S
k
u n
dS
dt
如果考虑的是线或是面的扩散问题，则方程变为
u t
b2
2u x2
一维热传导方程
u t
b2
2u x2
2u y2
二维热传导方程
如果考虑的是稳恒场，即 u 与时间 t 无关，分布达到某种动态平
t
V
a
u t
dxdydz
dt
Q2
由于对与任意的区域上式都要成立，因此
a
u t
k
(
2u x2
2u y 2
2u z 2
)
u
边界条件：（i） u
f1 ；
（ii）
u n
f2 ；
（iii）
u n
u
f3
那现在的问题是： 这样模型好求解吗？
微分方程的解析解
求微分方程（组）解析解的命令（matlab）:
1870 38.6
1880 1890 1900 1910 1920 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5
8.2
7.4
11.6 12.7 13.1 16
14.5
年（公元） 1930 人口（百万） 123.2
1940 1950 1960 1970 1980 1990 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4
为
0，即 r xm =0，于是
s
r xm
，代入 rx
r
《数学模型》课件量纲分析法20180907
数乘积形式表示
[q] M L T
几何学量纲： = 0，0，=0
分
类
运动学量纲： = 0，0，0
动力学量纲：0，0，0
无量纲量
当
0
则
［q］= 1
无量纲量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到；可由几
个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零得到。
i
，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲
可表为
q1 q2
qm
n
aij
q j X i , j 1, 2, , m
X 1 a11
i 1
X 1 a21 aij
量纲矩阵记作
A {aij }nm ,
若 rank A r
于是
由F( 1, 2) = 0,可得 1 = ( 2 ) ( )
从而有
l
t 2
g
. 给定摆角实验,从数据进行参数估计
为什么可以假设为幂次乘积式
物理量，通常由实数连同所采用的单位表示。随单位的变
化物理量的实数值也会随着相应变化，也可以认为这是一
种主观的变化，非实质的变化。客观规律当然不依赖于主
量纲分析法
我们发现的化学元素仅有百余种，然而各成分的多寡、
结构差异形成了万物间的千差万别. 我们称这些元素为
基础成分.
反映物理现象的各个量是否也具有类似的统一的基础
成分哪？如有，可以找到类似分子结构的东西。类比
如，物理学研究物质在时空中的演化和运动，所有一
切最终离不开质量、时间和长度这三种基本量，因此
[q] M L T
几何学量纲： = 0，0，=0
分
类
运动学量纲： = 0，0，0
动力学量纲：0，0，0
无量纲量
当
0
则
［q］= 1
无量纲量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到；可由几
个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零得到。
i
，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲
可表为
q1 q2
qm
n
aij
q j X i , j 1, 2, , m
X 1 a11
i 1
X 1 a21 aij
量纲矩阵记作
A {aij }nm ,
若 rank A r
于是
由F( 1, 2) = 0,可得 1 = ( 2 ) ( )
从而有
l
t 2
g
. 给定摆角实验,从数据进行参数估计
为什么可以假设为幂次乘积式
物理量，通常由实数连同所采用的单位表示。随单位的变
化物理量的实数值也会随着相应变化，也可以认为这是一
种主观的变化，非实质的变化。客观规律当然不依赖于主
量纲分析法
我们发现的化学元素仅有百余种，然而各成分的多寡、
结构差异形成了万物间的千差万别. 我们称这些元素为
基础成分.
反映物理现象的各个量是否也具有类似的统一的基础
成分哪？如有，可以找到类似分子结构的东西。类比
如，物理学研究物质在时空中的演化和运动，所有一
切最终离不开质量、时间和长度这三种基本量，因此
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a
9
1. 图解建模法
a
10
管道铺设情况
关键路法(CriticalaPath Method---CPM)
11
3. 因次分析法
① 自然界物理现象的规律，可以用完整的物 理公式来表示；
② 完整的物理公式不随所采用的单位不同而 改变公式的形式；
③ 完整的物理公式必须符合因次和谐的条件；
④ 因次和谐的条件为各个变量积的基本因此 指数彼此相等。
• 按变量之间的关系：线性模型和非线性模型 • 按变量的变化规律：确定性模型和随机模型 • 按模型的用途：模拟模型和管理模型 • 按模型参数的性质：集中参数模型和分布参数模型
a
3
2.2 模型的建立
一、基本方法与思想
1. 演绎法
机理模型
--------对系统的结构和性质的认识和理解
2. 归纳法
经验模型
离散变量--------连续变量
• 改变变量的函数关系；
• 注意特征尺度。
3. 模型中应有可控变量（可操纵变量）
应该有一个或多个可控变量，否则a不能付诸实用
5
二、建立模型的过程
• 数据的收集与分析 • 模型结构的选择
白箱模型（机理模型）——质量平衡建立微分方程 灰箱模型（半机理模型） 黑箱模型（输入-输出模型，纯经验模型） 工程实际中，应用较多的是灰箱模型
~ N (0, 2 )
① 一元线性回归 i 1, , n
yi abix
②
③
多元线性回归 非线性回归
n
n
z di2
yi yi
2
i 1
i 1
2）时间序列预测
n
2
yi a bxi
① 滑动平均法
i 1
y axb
② 加权滑动平均法 ln y lnabln x
z a
0
z
b
0
③ 指数平均法
z ln y
A
ln
a
at ln x
zAbt
14
某工厂污水量逐月记录及滑动平均预测
月 实际污水量(t) 三个月的滑动平均预测值 四个月的滑动平均预测值
1
200
2
210
3
230
4
(230+210+200)/3=213
5
250
(240+230+210)/3=220 (240+230+210+200)/3=220
局限性 ——抽象和简化 ——失真
K
Y 2/3 e2
人的认识能力有限；
求解计算过程中的累积误差； 系统结构与参数的不确定性（------适用区间）
建立和应用数学模型的重要原则——尊重客观、尊重实际
a
2
二、数学模型的分类
➢从不同的角度可以对模型作各种形式的分类：
• 按变量与时间的关系：动态模型和静态模型
---------对系统的输入和输出的观测数据
a
4
二. 建立模型的基本要求
1. 真实可靠 理论推导-----严谨 数据资料-----可靠（质量保证） 检验合格
2. 精确易解
精确
复杂
易解
简单
• 考虑主要变量，分析主要问题；
• 改变变量的性质：不重要的变量--------常量
连续变量--------线性
6
270
(250+240+230)/3=240 (250+240+230+210)/3=233
7
260
(270+270+240)/3=253 (270+250+240+230)/3=248
8
250
(260+270+250)/3=260 (260+270+270+240)/3=255
9
260
(250+260+270)/3=260 (250+260+270+250)/3=258
t 1
Ft wi xi
i t n
a
16
F tF t 1(xt 1F t 1)
③指数平均法 指数平均法法实际上也是一种加权平均法，它的权数是由实际值与预测值的误 差来确定，且它在整个时间序列中是有规律排列的。指数平滑法的数学模型为：
Ft Ft 1 ( xt1 Ft1 ) 式中， —平滑系数(0≤ ≤1)，其他符号同前。
第二章 数学模型基础(I)
2.1 数学模型的定义和分类
2.2 模型的建立
2.3 模型参数的估值方法
2.4 模型的验证与误差分析
2.5 灵敏度分析
a
1
2.1 数学模型的定义和分类
一、数学模型的定义和特征
1. 定义： 数学模型 = 公式+算法
2. 特征：
抽象性 ——简洁明晰；
多变量模拟；
方便考察; 节省费用、研究周期短；
10
280
(260+250+260)/3=256 (260+250+260+270)/3=260
11
270
(280+260+250)/3=263 (280+260+250+260)/3=263
12
290
(270+280+260)/3=270 (270+280+260+250)/3=265
F txt 1xt 2n xt n
yx1k1x2k2xnkn
hf
f(R e),l v2 l v2
a
d d2g d212g
• 因次分析的主要作用
（1）帮助认识物理现象之内在规律，有助于 判断模型定律之选择；
（2）指导实验方向，减少分析实验资料的变 量数目；
（3）校核公式。
a
13
4. 概率统计法 yi a bx i
1）回归分析
• 模型参数的估计 • 模型的检验和修正
a
6
观测数据组Ⅰ
模型结构选择
参数估计
观测数 据组Ⅱ
检验和验证
模型应用
a
7
A : y ln x , B : y ae x , C : y ax 2 , D : y ax 1
a
8
三. 建模的几种方法
1. 图解建模法 2. 质量平衡法 3. 因次分析法 4. 概率统计法 5. 数量化理论预测法 6. 灰色系统建模法
(tn )
a
15
加权滑动平均预测
月
实 际 污 水 量 (t)
三个月的滑动平均预测值
1
200
2
210
3
230
4
240
5
250
6
270
7
260
8
250
9
260
10
280
11
270
12
290
0.5× 230+0.3× 210+0.2× 200=218 0.5× 240+0.3× 230+0.2× 210=232 0.5× 250+0.3× 240+0.2× 230=243 0.5× 270+0.3× 270+0.2× 240=258 0.5× 260+0.3× 270+0.2× 250=262 0.5× 250+0.3× 260+0.2× 270=257 0.5× 260+0.3× 250+0.2× 260=257 0.5× 280+0.3× 260+0.2× 250=268 0.5× 270+0.3× 280+0.2× 260=272