《数学模型概述》PPT课件

z
b
0
③ 指数平均法
z ln y
A
ln
a
at ln x
zAbt
14
某工厂污水量逐月记录及滑动平均预测
月 实际污水量(t) 三个月的滑动平均预测值 四个月的滑动平均预测值
1
200
2
210
3
230
4
240
(230+210+200)/3=213
5
250
(240+230+210)/3=220 (240+230+210+200)/3=220
6
270
(250+240+230)/3=240 (250+240+230+210)/3=233
7
260
(270+270+240)/3=253 (270+250+240+230)/3=248
8
250
(260+270+250)/3=260 (260+270+270+240)/3=255
9
260
(250+260+270)/3=260 (250+260+270+250)/3=258
~ N (0, 2 )
① 一元线性回归 i 1, , n
yi abix
②
③
多元线性回归 非线性回归
n
n
z di2
yi yi
2
i 1
i 1
2）时间序列预测
n
2
yi a bxi
① 滑动平均法
i 1
y axb
② 加权滑动平均法 ln y lnabln x
z a
0
第二章 数学模型基础(I)
2.1 数学模型的定义和分类
2.2 模型的建立
2.3 模型参数的估值方法
2.4 模型的验证与误差分析
2.5 灵敏度分析
a
1
2.1 数学模型的定义和分类
一、数学模型的定义和特征
1. 定义： 数学模型 = 公式+算法
2. 特征：
抽象性 ——简洁明晰；
多变量模拟；
方便考察; 节省费用、研究周期短；
10
280
(260+250+260)/3=256 (260+250+260+270)/3=260
11
270
(280+260+250)/3=263 (280+260+250+260)/3=263
12
290
源自文库
(270+280+260)/3=270 (270+280+260+250)/3=265
F txt 1xt 2n xt n
• 模型参数的估计 • 模型的检验和修正
a
6
观测数据组Ⅰ
模型结构选择
参数估计
观测数 据组Ⅱ
检验和验证
模型应用
a
7
A : y ln x , B : y ae x , C : y ax 2 , D : y ax 1
a
8
三. 建模的几种方法
1. 图解建模法 2. 质量平衡法 3. 因次分析法 4. 概率统计法 5. 数量化理论预测法 6. 灰色系统建模法
局限性 ——抽象和简化 ——失真
K
Y 2/3 e2
人的认识能力有限；
求解计算过程中的累积误差； 系统结构与参数的不确定性（------适用区间）
建立和应用数学模型的重要原则——尊重客观、尊重实际
a
2
二、数学模型的分类
➢从不同的角度可以对模型作各种形式的分类：
• 按变量与时间的关系：动态模型和静态模型
(tn )
a
15
加权滑动平均预测
月
实 际 污 水 量 (t)
三个月的滑动平均预测值
1
200
2
210
3
230
4
240
5
250
6
270
7
260
8
250
9
260
10
280
11
270
12
290
0.5× 230+0.3× 210+0.2× 200=218 0.5× 240+0.3× 230+0.2× 210=232 0.5× 250+0.3× 240+0.2× 230=243 0.5× 270+0.3× 270+0.2× 240=258 0.5× 260+0.3× 270+0.2× 250=262 0.5× 250+0.3× 260+0.2× 270=257 0.5× 260+0.3× 250+0.2× 260=257 0.5× 280+0.3× 260+0.2× 250=268 0.5× 270+0.3× 280+0.2× 260=272
yx1k1x2k2xnkn
hf
f(R e),l v2 l v2
a
d d2g d212g
• 因次分析的主要作用
（1）帮助认识物理现象之内在规律，有助于 判断模型定律之选择；
（2）指导实验方向，减少分析实验资料的变 量数目；
（3）校核公式。
a
13
4. 概率统计法 yi a bx i
1）回归分析
t 1
Ft wi xi
i t n
a
16
F tF t 1(xt 1F t 1)
③指数平均法 指数平均法法实际上也是一种加权平均法，它的权数是由实际值与预测值的误 差来确定，且它在整个时间序列中是有规律排列的。指数平滑法的数学模型为：
Ft Ft 1 ( xt1 Ft1 ) 式中， —平滑系数(0≤ ≤1)，其他符号同前。
• 按变量之间的关系：线性模型和非线性模型 • 按变量的变化规律：确定性模型和随机模型 • 按模型的用途：模拟模型和管理模型 • 按模型参数的性质：集中参数模型和分布参数模型
a
3
2.2 模型的建立
一、基本方法与思想
1. 演绎法
机理模型
--------对系统的结构和性质的认识和理解
2. 归纳法
经验模型
---------对系统的输入和输出的观测数据
a
4
二. 建立模型的基本要求
1. 真实可靠 理论推导-----严谨 数据资料-----可靠（质量保证） 检验合格
2. 精确易解
精确
复杂
易解
简单
• 考虑主要变量，分析主要问题；
• 改变变量的性质：不重要的变量--------常量
连续变量--------线性
a
9
1. 图解建模法
a
10
管道铺设情况
关键路法(CriticalaPath Method---CPM)
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3. 因次分析法
① 自然界物理现象的规律，可以用完整的物 理公式来表示；
② 完整的物理公式不随所采用的单位不同而 改变公式的形式；
③ 完整的物理公式必须符合因次和谐的条件；
④ 因次和谐的条件为各个变量积的基本因此 指数彼此相等。
离散变量--------连续变量
• 改变变量的函数关系；
• 注意特征尺度。
3. 模型中应有可控变量（可操纵变量）
应该有一个或多个可控变量，否则a不能付诸实用
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二、建立模型的过程
• 数据的收集与分析 • 模型结构的选择
白箱模型（机理模型）——质量平衡建立微分方程 灰箱模型（半机理模型） 黑箱模型（输入-输出模型，纯经验模型） 工程实际中，应用较多的是灰箱模型