台球中的数学课例
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二 、承 接 引课 ，展 开 探 究
探究 （ ） 一 ：反射 师 ： 九 球 的 球 台 比 斯 诺 克 球 台 小 很
一 ＋ － ＋ ＊—一 ＋ — － ＋ － 十
【 点评 】 学生感 兴趣 的话题 的 基础 在
・ —
师 ：斯诺 克台球是 常见 的男子 比赛项
－ ・
卜一 ＋
“ ” ＋ ｎቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ— 卜 —＿ ＋
， ）调 减 当 （ ］，（＞ （单 递 ； １ 时ｆ ， ）
０ ｆ（ ） 调 递 增 ． ， ｘ单
（ ） ｆ（ ） 极 小 值 ； １ 求 ｘ的
（ ） ａ ＞０ ２ 若 、ｂ ，求证 ：Ｉ ａ—ｉ ｂ≥ ｎ ｎ
１一 — ｂ
—
因此 ｌ ０ ｎｂ≥ １ 在 。 ，ｂ＞ ｎ 一ｌ 一 ＞０
＋
，
由以上几例解答 可以看 出 ，首先应该
仔细观察题设条件中代数式 的结构 ，或对 代数式作适 当的变换 ，确定主元 ，顺利地
构造相应辅 助函数 ，再通过求导 ，确定 函 数 的单调性 ，利用 函数 的单调性求最值或
令 ，
极 佰 ．使 原不 等 式得 到 证 明．
ｆ（ ） 得 极 小 值 ｆ（ ） ． ｘ取 Ｏ ＝０ （ ） 明 ：在 ＝０时 ， （ ） 得 极 小 ２证 ＿ 取 厂
ａ
０时 成 立 ．
．
ａ
例 ６ （０ ８年 湖 南省 高 中数 学 竞 赛 ２０
思路分析 ：本题在证 明过程 中，直接
构 造 函数 不 能达 到 目的 。还 需要 通 过 换 元
侧
故 ／（ 在 ＝ 或 ＝ 处 有最 大 ）
试题）设实数 。 ，ｂ∈［ ，口 ，求证 ： ］
－・ 一 — 卜 ＋
－ 一－ ＋ － —＿＋
一－一 — ”－一 — － — ｎ・ — －＋ ＿ 卜 ＋
＋
－ ＋
一 ＋
ｎ １ ） 将条件 ０ ＜１ ＜ 改为 ０ ＜ 仍然成立． ０ ＜ ，从而 ｉ（ ＋ ≥
Ｊ 十
在 ＞一 时恒 １
则 因 ≤ ａ≤ ｂ≤ ， 可 得 ≤ ＝ ≤ ・
所 以 在 ＝０时 ，
即可 ・
ａ
ｏ
Ｄ
Ｄ
ａ
＋ ＋ 手≤ ， Ｄ Ｄ
则 ｂ ： （ ＞０ 于 是 构 造 函 数 厂 ） ） （ ：
，
其 中等号仅 当 ａ ｔ ＝ｏ，ｂ＝Ｂ或 ａ Ｊ，ｂ： Ｊ ＝Ｂ
成立．
ｌ ＋ ｌ， 只 需证 明 ｆ （ ） 的 最 大值 是 ＋ ｌ ｌ
四 、通 过 换 元 构 造 函数 通 过 对 已 知条 件 进 行 等 价变 形 （ 或换 元 ） 构 造 函数 ． 例 ５ 已知 函 数 ｆ （ ＝Ｉ （ ＋ ） ） ｎ １ 一
戈
‘
成立 ．
令 １ ＝＿ ＞０ ＋ ａ ，
０
设 （＝＋ （ ） ／） ｝争≤ ≤ｔ Ｄ Ｏ，
ｂ的 关系，利用函数的单调性证 明 ，增加
了证 明的 灵 活 性 与 难 度 ．
ｂ＝３ ａ ／，ｂ＝ 成 立 ， ，口为 正 ／ 或 ＝３
实数．
思 路分 析 ：ｎ ，ｂ均 为 变量 ，
扫
（ ） ： ） ｎ １ ） ＋ 一 １ 解 ｉ（ ＝Ｉ（ ＋ 一 ｌ ，求
项运 动 ：
宽松 的氛 围，激发 了学生 的学 习兴趣和学 探究 （ ） 一） 习热情 ，使 学生主动参 与到交流 中，轻松 自然地关注教学 内容 ，为本节课 的探 究活 动奠定 了基调 ，使接下来 的探 究活动有 了
需 要 有 相 关 的体 育 知 识 积 累 ，另 一 方 面 也 需 要 把 握 学 生 对 设 置 内容 的认 知 情 况 以及
则对 求导 ，得， （ ＝１ 一 ） 一 １
，
贝÷ ０
Ｊ ＋
：１ ——ｎ １ ｂ， 一— ＿： 一— —
＋ ｌ ０
Ｄ ａ
于是 Ｉ 一Ｉ ｎ＿ ≥ １ ｂ ， ｎⅡ ｎ ｂ＝Ｉ ａ 一
易 ， ［ ， ），（ ＜， 知 当 ｅＯ １ ｆ ０ Ｌ Ｊ ） Ｕ 时 ｔ
潘晓婷
图 １
九球天后
幻 灯 片 先演 示 关 键 词 ：① ｂｌａｄ ； 良好 的开始．当然 ，对 于执 教者 ，一方面 ｉｉｒｓ ｌ ② 西欧 ；③ 亚运 ；④ 室 内．
３ ．承接 互动 ，切入课 题
（ 顿一下）中的数学． 停
师 ：我们 这节 课 就来 研 究一 下 台球 拿捏互动 的进程 ，防止喧宾夺主．
ａ
＋
值厂 ： ＋ ／ ＝ ＋ 且 （ 及 （ ） ）
两者相等．
故 厂 ） （ 的最 大 值 为 ＋ ，
即 （ ： ＋ ） ≤ ＋ ．
（ 等价转换） ，令 １＋ ，找 出 与 ０ ＝ ，
ａ
≤
，
＋ ，其 中等 号 当且 仅 当 。＝
、
０
互 为 倒数 ，把 看 成 一个 变量 ，令 ＝ ａ ，
由 ａ ： ， 得
导 得 ） ｛ ， 数 ＿ ， （
而 ｆ（ ） 定 义 域 ＞ １ ｘ的 一， 在 ＞０时 ， ） ； ／ （ ＞０ 在 一 ＜ ＜０时 ，厂 （ ＜０ １ － ） ．
０ ■ ＿ 曩
曩
曾 ｌ ｌｌ０ ０ 数０ ｌｌ ｌ ｌ 球 ｌ 的０ ０ ｌ ｌ ０ ｌ ｌ学 ｌ Ｉ ｌ ｌ课 ０ ＿
刘 清泉 杨 一丽
一
执教 （ 浙江 省 宁波 市镇 海蛟川 书 院） 点评 （ 浙江省 宁波 市教 育局 教研 室）
目 ，常见 的女 子 比赛 项 目是 ：九球 ——
、
设置悬疑 ，切入课题
上 ，设 置 “ 悬疑 ” ，引课十 分 自然 ，在 吊
１ 灯 片演示 关键 词 ： “ 动 ”和 足 了学生的 胃口的同时，更是 营造 了一个 ｎｎ — ａ 同时幻灯 片演示 图 １ ．幻 运 ｉｅ ｂ ｌ ｌ（ ，过渡到 “ 生命在于运动 ” ． ２ ．猜猜看 承接学生的发言 ，根据下列提示猜一
探究 （ ） 一 ：反射 师 ： 九 球 的 球 台 比 斯 诺 克 球 台 小 很
一 ＋ － ＋ ＊—一 ＋ — － ＋ － 十
【 点评 】 学生感 兴趣 的话题 的 基础 在
・ —
师 ：斯诺 克台球是 常见 的男子 比赛项
－ ・
卜一 ＋
“ ” ＋ ｎቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ— 卜 —＿ ＋
， ）调 减 当 （ ］，（＞ （单 递 ； １ 时ｆ ， ）
０ ｆ（ ） 调 递 增 ． ， ｘ单
（ ） ｆ（ ） 极 小 值 ； １ 求 ｘ的
（ ） ａ ＞０ ２ 若 、ｂ ，求证 ：Ｉ ａ—ｉ ｂ≥ ｎ ｎ
１一 — ｂ
—
因此 ｌ ０ ｎｂ≥ １ 在 。 ，ｂ＞ ｎ 一ｌ 一 ＞０
＋
，
由以上几例解答 可以看 出 ，首先应该
仔细观察题设条件中代数式 的结构 ，或对 代数式作适 当的变换 ，确定主元 ，顺利地
构造相应辅 助函数 ，再通过求导 ，确定 函 数 的单调性 ，利用 函数 的单调性求最值或
令 ，
极 佰 ．使 原不 等 式得 到 证 明．
ｆ（ ） 得 极 小 值 ｆ（ ） ． ｘ取 Ｏ ＝０ （ ） 明 ：在 ＝０时 ， （ ） 得 极 小 ２证 ＿ 取 厂
ａ
０时 成 立 ．
．
ａ
例 ６ （０ ８年 湖 南省 高 中数 学 竞 赛 ２０
思路分析 ：本题在证 明过程 中，直接
构 造 函数 不 能达 到 目的 。还 需要 通 过 换 元
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故 ／（ 在 ＝ 或 ＝ 处 有最 大 ）
试题）设实数 。 ，ｂ∈［ ，口 ，求证 ： ］
－・ 一 — 卜 ＋
－ 一－ ＋ － —＿＋
一－一 — ”－一 — － — ｎ・ — －＋ ＿ 卜 ＋
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ｎ １ ） 将条件 ０ ＜１ ＜ 改为 ０ ＜ 仍然成立． ０ ＜ ，从而 ｉ（ ＋ ≥
Ｊ 十
在 ＞一 时恒 １
则 因 ≤ ａ≤ ｂ≤ ， 可 得 ≤ ＝ ≤ ・
所 以 在 ＝０时 ，
即可 ・
ａ
ｏ
Ｄ
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则 ｂ ： （ ＞０ 于 是 构 造 函 数 厂 ） ） （ ：
，
其 中等号仅 当 ａ ｔ ＝ｏ，ｂ＝Ｂ或 ａ Ｊ，ｂ： Ｊ ＝Ｂ
成立．
ｌ ＋ ｌ， 只 需证 明 ｆ （ ） 的 最 大值 是 ＋ ｌ ｌ
四 、通 过 换 元 构 造 函数 通 过 对 已 知条 件 进 行 等 价变 形 （ 或换 元 ） 构 造 函数 ． 例 ５ 已知 函 数 ｆ （ ＝Ｉ （ ＋ ） ） ｎ １ 一
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‘
成立 ．
令 １ ＝＿ ＞０ ＋ ａ ，
０
设 （＝＋ （ ） ／） ｝争≤ ≤ｔ Ｄ Ｏ，
ｂ的 关系，利用函数的单调性证 明 ，增加
了证 明的 灵 活 性 与 难 度 ．
ｂ＝３ ａ ／，ｂ＝ 成 立 ， ，口为 正 ／ 或 ＝３
实数．
思 路分 析 ：ｎ ，ｂ均 为 变量 ，
扫
（ ） ： ） ｎ １ ） ＋ 一 １ 解 ｉ（ ＝Ｉ（ ＋ 一 ｌ ，求
项运 动 ：
宽松 的氛 围，激发 了学生 的学 习兴趣和学 探究 （ ） 一） 习热情 ，使 学生主动参 与到交流 中，轻松 自然地关注教学 内容 ，为本节课 的探 究活 动奠定 了基调 ，使接下来 的探 究活动有 了
需 要 有 相 关 的体 育 知 识 积 累 ，另 一 方 面 也 需 要 把 握 学 生 对 设 置 内容 的认 知 情 况 以及
则对 求导 ，得， （ ＝１ 一 ） 一 １
，
贝÷ ０
Ｊ ＋
：１ ——ｎ １ ｂ， 一— ＿： 一— —
＋ ｌ ０
Ｄ ａ
于是 Ｉ 一Ｉ ｎ＿ ≥ １ ｂ ， ｎⅡ ｎ ｂ＝Ｉ ａ 一
易 ， ［ ， ），（ ＜， 知 当 ｅＯ １ ｆ ０ Ｌ Ｊ ） Ｕ 时 ｔ
潘晓婷
图 １
九球天后
幻 灯 片 先演 示 关 键 词 ：① ｂｌａｄ ； 良好 的开始．当然 ，对 于执 教者 ，一方面 ｉｉｒｓ ｌ ② 西欧 ；③ 亚运 ；④ 室 内．
３ ．承接 互动 ，切入课 题
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师 ：我们 这节 课 就来 研 究一 下 台球 拿捏互动 的进程 ，防止喧宾夺主．
ａ
＋
值厂 ： ＋ ／ ＝ ＋ 且 （ 及 （ ） ）
两者相等．
故 厂 ） （ 的最 大 值 为 ＋ ，
即 （ ： ＋ ） ≤ ＋ ．
（ 等价转换） ，令 １＋ ，找 出 与 ０ ＝ ，
ａ
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，
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、
０
互 为 倒数 ，把 看 成 一个 变量 ，令 ＝ ａ ，
由 ａ ： ， 得
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而 ｆ（ ） 定 义 域 ＞ １ ｘ的 一， 在 ＞０时 ， ） ； ／ （ ＞０ 在 一 ＜ ＜０时 ，厂 （ ＜０ １ － ） ．
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曾 ｌ ｌｌ０ ０ 数０ ｌｌ ｌ ｌ 球 ｌ 的０ ０ ｌ ｌ ０ ｌ ｌ学 ｌ Ｉ ｌ ｌ课 ０ ＿
刘 清泉 杨 一丽
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执教 （ 浙江 省 宁波 市镇 海蛟川 书 院） 点评 （ 浙江省 宁波 市教 育局 教研 室）
目 ，常见 的女 子 比赛 项 目是 ：九球 ——
、
设置悬疑 ，切入课题
上 ，设 置 “ 悬疑 ” ，引课十 分 自然 ，在 吊
１ 灯 片演示 关键 词 ： “ 动 ”和 足 了学生的 胃口的同时，更是 营造 了一个 ｎｎ — ａ 同时幻灯 片演示 图 １ ．幻 运 ｉｅ ｂ ｌ ｌ（ ，过渡到 “ 生命在于运动 ” ． ２ ．猜猜看 承接学生的发言 ，根据下列提示猜一