平面直角坐标系中的位似变换
27.3.2 平面直角坐标系中位似变换
4 2 3,3 .
4 2 综上所述，两个正方形的位似中心的坐标为(－2，0)或 , . 3 3返回知识点2源自在平面直角坐标系中画位似图形
7．在平面直角坐标系中画位似图形时，先确定 位似中心 ，再根据________ 相似比 找出关键点的对应点， __________ 最后连线，得到放大或缩小的图形．
返回
8 ． (中考 · 铁岭 ) 如图，正方形 ABCD的顶点 A ， B的坐标分别
为(－2，0)，(－1，0)，顶点C，D在第二象限内．以原点 O为位似中心，将正方形 ABCD放大为正方形A′B′C′D′， (4，－2) ． 若点B′的坐标为(2，0)，则点D′的坐标为____________
返回
9 ． ( 中考 · 玉林 ) 如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC
进行位似变换得到△A1B1C1. 2∶ 1 ； (1)△A1B1C1与△ABC的相似比是________
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2； 如图所示．
(3)设点P(a，b)为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P
返回
6． (中考 · 烟台 )如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且 1 相似比为 ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边 3 长为6，则C点的坐标为( A ) A．(3，2) C．(2，2) B．(3，1) D．(4，2)
返回
(－2x－2，2y＋2) ． 后，点P的对应点的坐标为___________________
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)△A3B3C3 是由△A2B2C2 向左平移 2 个单位长度，再
向上平移2个单位长度得到的．(答案不唯一)
新湘教版九年级数学上册：平面直角坐标系中的位似变换教案
第3章图形的相似3.6位似第2课时位似变换与作图图 3— 6 — 41【探究】 以坐标原点为位似中心的位似图形的坐标特点1.如图3— 6— 42,在直角坐标系中，△ OAB 三个顶点 的坐标分别为 O(0, 0) , A(3, 0) , B(2 , 3).按要求完成下 列问题：(1) 将点O, A, B 的横、纵坐标都乘2,得到三个点O , A', B ',请你在坐标系中找到这三个点； (2)以这三个点为顶点的三角形与厶OAB 位似吗？为什 么？(3) 如果位似，指出其位似中心和相似比.(4) 如果将点O, A , B 的横、纵坐标都乘一2呢？图 3— 6 — 422. (1)如图3 — 6— 43在直角坐标系中，四边形 ABCD的顶点坐标分别为 A(4 , 2) , B(8 , 6) , C(6 , 10) , D( — 2, 16).将点A , B , C, D 的横、纵坐标都乘，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形 ABCD 位似吗？如果位似，指出其位似中心和位似比；(2) 你能自己在直角坐标系中创作一个多边形，仿照上 面的要求操作，得到相同的结论吗？ (3)通过前面的探究，你发现了什么？创设情境 导入 新课 如图3-6 — 41,在直角坐标系中，△ OAE 三个顶点的坐 标分别为0(0, 0)，A(3，0)，B(2，3)，按要求完成下列问 题：(1)将点O, A ，B 的横、纵坐标都乘 2，得到三个点， 以这三个点为顶点的三角形与厶 OAB 是位似图形吗？如果 是，指出其位似中心和位似比;⑵如果将点O, A ，B 的横、纵坐标都乘—2呢?4 B中举一反三，善于发 现，勤于探究，敢于 质疑，学会总结，形 成自主学习的良好 习惯，为新课的学习 做好铺垫，有利于帮 助学生体会新旧知 识之间的联系与转 化•活动 实践 探究 交流新 知r1 L 亠』 ~i _ 1 a 1 L 十呻rHi・呻r TT +T 1 i*r ~i~cuII 1i 1 _rTr nr i L .1.J i II i> -I l i r -!!-1 L 丄J-r T i » L J. J h ii-h d - H h 1 ~ F ~ 1 L J. J Hr L 丄斗 ■ i —r——冷-1ir r —i=F i通过课件展示 作图的步骤及过程， 不仅能吸引学生的 注意力，同时，让学 生学会听课、观察、 对比.通过仔细观 察，对比自己的作图 过程，掌握在直角坐 标系中作多边形的 位似图形的方法，并 能对作图方法进行 初步归纳(用自己的 语言描述).通过［探 究］的第1题第⑷ 问引导学生初步发 现规律•教师要及时抓住这些学生资源， 引发学生思考，引导学 生探究，必要时可用课件展示一例， 最终形成统一结论. 并 鼓励和表扬学生的质疑精神和求变思维.1请同学们自己完成问题.2 •让学生动手在直角坐标系中创作一个多边形，并将 顶点的横、纵坐标都乘同一个数， 得到新坐标，画出新多边 形，判断两个多边形是否为位似图形，并求出位似中心和位似比.此过程教师巡视学生的操作， 并适时给予必要的指导. 3•将较好的学生作图进行展示，并由学生说明作图的 步骤和判断方法.归纳：一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍 数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似 图形. 【应用举例】例1［教材P99例］如图3 — 6— 44，在平面直角坐标系中，已知平行四边形 OABC 的顶点坐标分别为 0(0, 0), A(3, 0) , B(4, 2) , C(1 , 2).以坐标原点 O 为位似中心， 将 OABC 放大为原图形的3倍.图 3— 6 — 45活动 开放 训练 体现 应用yLr~r ~r ~ i • ■1 4 I ■ 1 » 1 1 «1 4 4 ■ • » 1 1 4 |4I1*||■,1f r rr r r ：「丁 w ■/ r ■ r r r ' i /1 I a /■ ■ ■ i i a 戸「■尸H L「・「r f 1 1 yCi .................................................. .......t!■ii 甩』■ pi —. i i — 1鼻• d-2:■-泌：■-匾［出工144■1»11 1对本节知识进 行巩固练习，以达到 熟练掌握的目的.分层设练，使学 生的知识、技能呈螺 旋式上升，也是一种 对思维与能力的训 练•图 3-6 — 43图 3— 6 — 44解：将平行四边形OABC勺各顶点的坐标分别乘3,得0(0, 0) , A (9 , 0) , B' (12 , 6) , C (3 , 6)，依次连接点O, A' , B' , C',则四边形OA B' C'即为所要求的图形，如图3-6-45所示.变式一 如图3— 6— 46，在直角坐标系中，四边形OABC ； 的顶点坐标分别是 0(0, 0) , A(3, 0) , B(4 , 4) , C( — 2, 3).画出四边形 OABC 以 O 为位似中心的位似图形， 使它与四边形OABC 勺位似比是2 : 1.变式二 如图3 — 6 — 47,在平面直角坐标系中，以原 点O 为位似中心，用上一节课的方法画出五边形 OBCDE 勺位 似图形，使它与五边形 OBCD 的位似比为1 : 2.比较两个图 形对应点的坐标，你能发现什么？【拓展提升】例2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ ABC 和厶DEF 的顶点坐标分别为 A(1 , 0) , B(3 , 0) , C(2, 1) , D(4, 3), E(6 , 5) , F(4, 7).按下列要求画图：以 O 为位似中心，将 △ ABC 向y 轴左侧按比例尺 2 ：1放大得△ ABC 的位似图形 △ A i BC i ,并解决下列问题：(1) 顶点 A i 的坐标为 ________ , B i 的坐标为 ________ , G 的坐标为 ________ ;(2) 请你利用旋转、平移两种变换，使AA 1B 1C 1通过变换 得到AA 2BG ,且AA 2B 2C 2恰与△ DEF 拼成一个平行四边形(非 正方形)，写出符合要求的变换过程yf r T ■ r n - r ■ r T - f "n" r -I-1 * r 1 ■ r图 3— 6 —47有助于提咼学 生对知识的理解与 综合应用，同时可以 激发学生学数学的 兴趣和信心.【当堂训练】 活动 四： 课堂 总结 反思1.课本P 99中的练习. 2. 课本P 100习题3.6中的T 3, T 4.【知识网络】位似以坐标原点为位似中心 的位似变换的坐标特点不以坐标原点为位似中心的位似变换的坐标变换规律【教学反思】① ［授课流程反思］在引入时设置了图片、问题、回顾知识等多种方式，能最大 程度地调动学生学习的积极性. 学生已有了前一课时学习的 图形放大与缩小的活动经验， 可以让学生通过小组的形式自 主学习，合作交流，自学完成② ［讲授效果反思］数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有 的知识经验基础之上， 教师应激发学生的学习积极性. 本节课中，让学生自己通过观察、 动手操作的方法画出放大或缩 小后的图形，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的 数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经 验.学生做题有点难度， 应让学生多练习，然后总结做题方 法.③ ［师生互动反思］④［习题反思］当堂检测，及时 反馈学习效果•提纲挈领，重点 突出.反思，更进一步提升.。
4.8 第2课时 平面直角坐标系中的位似变换教案1
第2课时 平面直角坐标系中的位似变换1.理解位似图形的坐标变化规律；（难点）2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形.（重点）一、情景导入观察如图所示的坐标系中的几个图形，它们之间有什么联系？二、合作探究 探究点：平面直角坐标系中的位似变换 【类型一】 求在坐标系中进行位似变化对应点的坐标在平面直角坐标系中，已知点A（6，4），B （4，－2），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ）A.（3，2）B.（12，8）C.（12，8）或（－12，－8）D.（3，2）或（－3，－2）解析：根据题意画出相应的图形，找出点A 的对应点A ′的坐标即可.如图，△A ′B ′O 与△A ″B ″O 即为所作的位似图形，可求得点A 的对应点的坐标为（3，2）或（－3，－2）.故选D. 方法总结：位似图形与位似中心有两种情况：（1）位似图形在位似中心两侧；（2）位似图形在位似中心同侧.若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解.【类型二】 在平面直角坐标系中画位似图形如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （2，4），C （4，5），D （3，1）围成四边形ABCD ，作出一个四边形ABCD 的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2：1，位似中心是坐标原点.解析：以坐标原点O 为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标比为2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标比为－2，此题作出一个即可.解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2），顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.则四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD的一个位似图形.方法总结：画以原点为位似中心的位似图形的方法：将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k（或除以±k），可得新多边形各顶点的坐标，描出这些点并顺次连接这些点即可.三、板书设计平面直角坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.位似变换是特殊的相似变换.以学生的自主探究为主线，培养学生的探索精神和合作意识.注重数形思想的渗透，通过坐标变换，在平面坐标系中，让学生画图、观察、归纳、交流，得出结论.在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律.通过交流合作，体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信心.。
平面直角坐标系中图形的位似变换
7
原
6
图
形
5
被
4
纵 向
3
拉
2
伸
到
1
原
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
–1
来 的
2
–2
倍
–3
–4
在平面直角坐标系中，在作（x,y）
(x,ay)或（ax,y）变换时， 这不是相似变换，叫伸缩变换。
练一练:
1.如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD,求它们的相似比 y
A
C
o
D
B
x
沪科版九年级数学上册
思考回答
如何把三角形ABC放大为原来的2倍?
E
B
O
C
F
D
A
D
B
O
C
F
A
E
对应点连线都交于_位__似___中__心____ 对应线段___平___行__或__在___一__条__直___线__上_________
接下来想一想？
1、如果把位似图形放到平面直角坐标系 中，又如何去探究位似变换与坐标之间的关 系呢？
A′(2,1),B′(2,0) y
A〞(-2,-1),B(-2,0)
A
A'
B〞
x
o
B'
B
A〞
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原 点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对 应点的坐标的比等于k或-k.
探索2:
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别 为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相 似比为2画它的位似图形.
22.4 第2课时 平面直角坐标系中图形的位似变换
第2课时 平面直角坐标系中图形的位似变换知识点 1 位似变换与坐标的变化1．如图22－4－14，在平面直角坐标系中，有两点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到CD ，则点C 的坐标为( )图22－4－14A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)2．教材练习第1题变式△ABC 的顶点坐标为A (0，2)，B (－3，5)，C (－6，3)．按如下方式对△ABC 进行变换，不是位似变换的是( )A ．(x ，y )→(23x ，23y )B ．(x ，y )→(－2x ，－2y )C ．(x ，y )→(y ，x )D ．(x ，y )→(2x ，2y )3．如图22－4－15，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO 与△A ′B ′O ′是以点P 为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P 的坐标为( )图22－4－15A ．(0，0)B ．(0，1)C ．(－3，2)D ．(3，－2)4．2018·邵阳如图22－4－16，在平面直角坐标系中，已知点A (2，4)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B .以坐标原点O 为位似中心将△AOB 缩小为原图形的12，得到△COD ，则CD 的长是( )图22－4－16A ．1B ．2C ．4D ．2 55．如图22－4－17，等腰三角形OBA 和等腰三角形ACD 是位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是________．图22－4－176．在平面直角坐标系中有四个点A (0，－2)，B (3，2)，C (1，－1)，D (－2，3)．如果将各点的横、纵坐标都乘3，得到点A ′，B ′，C ′，D ′，那么四边形A ′B ′C ′D ′与四边形ABCD 的相似比为________．7．如图22－4－18，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶ 2.若点A 的坐标为(0，1)，则点E 的坐标是________．图22－4－188．在平面直角坐标系中，已知A (8，4)，B (8，0)两点，以坐标原点O 为位似中心，相似比为14，把线段AB 缩小后得到线段A ′B ′，则线段A ′B ′的长等于________．知识点 2 在平面直角坐标系中画位似图形9．如图22－4－19，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (0，－3)，B (3，－2)，C (2，－4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位．(1)画出△ABC 向上平移6个单位得到的△A 1B 1C 1；(2)以点C 为位似中心，在网格中画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且△A 2B 2C 2与△ABC 的相似比为2∶1，并直接写出点A 2的坐标．图22－4－1910．如图22－4－20，已知点O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)．(1)以点O为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大为原来的2倍(即新图形与原图形的相似比为2∶1)，得到△OB′C′，画出图形；(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出点M的对应点M′的坐标．图22－4－2011．若△ABC 的顶点坐标分别为(3，2)，(4，3)，(6，5)，△DEF 的顶点坐标分别为(32，1)，(2，32)，(3，52)，则△DEF 与△ABC 的对应边的比为( )A ．2∶1B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶412．2018·潍坊在平面直角坐标系中，P (m ，n )是线段AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的2倍，则点P 的对应点的坐标为( )A ．(2m ，2n )B ．(2m ，2n )或(－2m ，－2n )C ．(12m ，12n )D ．(12m ，12n )或(－12m ，－12n )13．如图22－4－21，在△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)，以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是( )图22－4－21A ．－12aB ．－12(a ＋1)C ．－12(a －1)D ．－12(a ＋3)14．如图22－4－22，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是________．图22－4－2215．如图22－4－23，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为(4，0)，(8，2)，(6，4)．已知△A1B1C1的两个顶点坐标分别为(1，3)，(2，5)．若△ABC和△A1B1C1是位似图形，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为________．图22－4－2316．如图22－4－24，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且点O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为________．图22－4－2417．如图22－4－25，△ABC的顶点坐标分别为A(1，3)，B(4，2)，C(2，1)．(1)作出与△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点A 1，B 1，C 1的坐标； (2)以原点O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A 2B 2C 2，使AB A 2B 2＝12.图22－4－25教师详解详析1．A [解析] 由A(6，3)，B(6，0)，知线段AB ＝3.因为AB ⊥x 轴，线段AB 到线段CD 的变换是以原点O 为位似中心且相似比为13的位似变换，所以CD ＝1，OD ＝2，即C(2，1)．故选A.2．C3．C [解析] 如图所示，点P 即为所求，故点P 的坐标为(－3，2)．4．B 5.(－2，0) 6．3∶1 7．(2，2)8．1 [解析] 根据A(8，4)，B(8，0)可得AB ＝4.因为相似比为14，所以把线段AB 缩小后的线段A′B′的长等于14AB ＝1.9．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．(2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．点A 2的坐标为(－2，－2)．10．解：(1)分别延长BO ，CO 到点B′，C′，使OB′，OC′的长度是OB ，OC 长度的2倍，顺次连接三点即可．如图．(2)B′(－6，2)，C′(－4，－2)．(3)点M 的对应点M′的坐标为(－2x ，－2y)． 11．B12．B [解析] 通过位似把△AOB 放大到原来的两倍，则对应点的横、纵坐标分别乘2或－2，故点P(m ，n)的对应点的坐标为(2m ，2n)或(－2m ，－2n)．13．D [解析] 把图形向右平移1个单位，则点C 与坐标原点O 重合，点B′的横坐标变为a ＋1，此时△ABC 以原点为位似中心的位似图形是△A′B′C ，则与点B′对应的点B 的横坐标为－12(a ＋1)，把该点向左平移1个单位，则得到点B 的坐标为－12(a ＋1)－1，即为－12(a ＋3)．14．(1，0) 或(－5，－2) 15.(3，4)或(0，4)16．(53，－4) [解析] 如图，作出△AOB 的位似图形△AO′B′，过点B′作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为E.∵△AB′O′是△ABO 关于点A 的位似图形， ∴AO AO′＝BEB′C. ∵点A 的坐标为(3，0)，点O′的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(2，－3)， ∴AO ＝3，AO′＝4，BE ＝3，∴34＝3B′C ，∴B′C ＝4.易得△O′B′C ∽△OBE ，∴OE CO′＝BEB′C ，即2CO′＝34，∴CO′＝83，∴OC ＝83－1＝53， ∴点B′的坐标为(53，－4)．17．解：(1)△A 1B 1C 1如图所示，A 1(1，－3)，B 1(4，－2)，C 1(2，－1)．(2)△A 2B 2C 2如图所示．。
平面直角坐标系中的位似变换
2
标是（ D ）
y
A
A' A''
B''
A.(3，2) C.(12，8)
O
x
B'
B
B.(12，8)或（-12，8） D.(3，2)或（-3，-2）
(2)、在平面直角坐标系中，四边形OBCD与四边形OEFG位似，位似
中心是原点O，已知C与F是对应点，且C、F的坐标分别是C（3,7）F
（9,21），那么四边形OBCD与四边形OEFG的相似比是 1:3 ，
复习提问：
从下列图形中找出位似图形 ： （1）（2）（4）
（1）
（2）
（3）
1、什么是位似图形？ 2、如何判断两个图形位似？ 3、怎样求两个图形的位似比？
（4）
学习目标
重点:能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律做出位似图形 难点:理解位似图形的坐标变换规律.
问题探究
探究一：
如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为
坐标 都
C
乘以
-
1 2
，画出所得到的图形，你发
现了什么？
x
探究点拨：当图中各点的 横、纵坐标缩小一定的倍 数k，依次连接各点所得到 新图形与原图形 位似 ， 位似中心是 坐标原点，位似 比是 |k| 。
定理 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘 同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形 位似 ，位似中心是 坐标原点 ， 它们的位似比为 |k| .
D、 (m , n ) 22
课堂小结
定理
平面直角坐标系 中的位似变化
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横 坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形 与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似 比位|k|.
22.4(2)平面直角坐标系中图形的位似变换
探索4 将图中的鱼横向伸长到原来的2倍,那么它的 坐标将会发生什么变化呢?
y
A(5,4)
A’(10,4)
C(5,1)
C’
0
B(3,0) B’
D(5,-1)
x
D'
E(4,-2)
E’(8,-2)
纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的2倍.
大，相似比为2，则A’’（-2，-3）、B’’（-4，-6）、
C’’（-8、-4）
• 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以三角形的一个靠 近原点的顶点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点 的坐标变成ka-(k-1)或-ka+(k+1),a为原顶点的横纵坐标. 如： 在以O为原点的坐标系内，△ABC的顶点坐标分别为A（1,1） 、B（2,3）、C（4,2），若以A为位似中心在△ABC同侧放大 ，相似比为2，则A’坐标为（1,1）、B’（3,5）、C’（7,3 ）；若以O为位似中心在△ABC异侧放大，相似比为2，则 A’’（1，1）、B’’（-1，-3）、C’’（-5、-1）。
复习回顾
2.位似图形的性质
性质：
（1）位似图形是相似形。 （2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于位似比.
注意：
（1）位似图形对应点的连线或延长线 相交于 一点； （2）位似图形对应线段平行（或在一条直线上） 且成比例； （3）位似图形的对应角相等.
复习回顾
3.画位似图形的步骤
•
•
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心
相似比为k，那么位似图形对应点的坐标为ka或-ka,a为原顶点
的横纵坐标． 如：在以O为原点的坐标系内，△ABC的顶点
23.5位似图形(2)--平面直角坐标系中的位似变换
变换规律:
通过这种变换,可将变换前△ABC的任意 一点坐标(x,y)变换为(kx,ky)
已知:在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别 为A(1,2),B(3,1),C(4,3).将A,B,C的横坐标都乘以 a,纵坐标都乘以b,得△ABC变换后的图形△A1B1C1, 变换后的△A1B1C1与△ABC一定相似吗?为什么?
a=1 b=3
伸缩变换: 将△ABC的任意一点坐标的横坐标x乘以a, 纵坐标乘以b,变换后的△A1B1C1 的坐标为(ax,by), 如果a≠b≠0 ,称这种变换为伸缩变换.
演示
通过演示可知,变换前后的两个图形不相似.
巩固新知，当堂训练 书本上第94页课后练习第1题
课堂小结：
通过本节课的学习，你有什么收获？
23.5位似图形(2)
复习
1.什么叫做位似图形? 2.位似变换与相似变换之间有什么关系? 3.位似变换有什么性质?
学习目标：
1.了解同向位似变换、反向位似变换、 伸缩变换的概念. 2.能在平面直角坐标系中把一个图形按要求 进行位似变换.
自学提纲：
阅读书本上第93-94页内容,解决以下问题:
1.已知:在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分 别为A(1,2),B(3,1),C(4,3).以原点O为位似中心,相 似比为3,作△ABC的位似图形.观察对应顶点的坐 标的变化, 你有什么发现?如果相似比是-3呢? 2.什么叫做同向位似变换?什么叫做反向位似变换? 3.你能发现位似图形的坐标与原图形的坐标之间存在 怎样的关系? 4.已知:在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别 为A(1,2),B(3,1),C(4,3).将A,B,C的横坐标都乘以x, 纵坐标都乘以y,得△ABC变换后的图形△A1B1C1,变换 后的△A1B1C1与△ABC一定相似吗?为什么? 5.什么叫做伸缩变换?
九年级数学上册知识点---- 平面直角坐标系中的位似变换
归纳：
1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个 图形的位似图形可以作两个．
2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的 比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的 坐标的比为－k．
3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1 时，图形缩小为原来的 k 倍．
练一练
可以确定其他顶点的 坐标.
自己试一试.
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取 点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0). 顺次连接 点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个 图形.
练一练 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标
分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以 原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形， 使它与四边形 OABC 的相似是 2 : 3.
标都乘 2 ；在平面 3
4 C
2
直角坐标系中描点
A″
A
O (0，0)，A″ (－4， －4 0)，B″ (－2，－4)， C″ (2，－2)，用线 段顺次连接O，A″，
O －2
B″ －4
6x 4 C″
B″，C″.
平面直角坐标系中的图形变换
至此，我们已经学 习了四种变换：平移、 轴对称、旋转和位似， 你能说出它们之间的异 同吗？在右图所示的图 案中，你能找到这些变 换吗？
B" (－2 ，0 ).
2. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，3)，B (2，1)，
C (5，2)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将
△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化.
y 6
平面直角坐标系中的位似
综合运用
4.如图，正方形EFGH，IJKL都是正方形ABCD的位 似图形，点P是位似中心.
（1）哪个图形与正方形ABCD的相似比为3？
（2）正方形IJKL是正方形EFGH的位似图形吗？如 果是，求相似比. 3:2 （3）正方形EFGH与正方形ABCD 的相似比是多少？2:1
5.如图，矩形AOBC各点的坐标分别为A(0，3)，O(0， 0)，B(4，0)，C(4，3).以原点O为位似中心，将这个 矩形缩小为原来的 1 ，写出新矩形各顶点的坐标.
中点D的坐标是
(-4，-4)或(4，. 4)
综合应用
如图所示, 图中的小方格都是边长为1的正方形,
△ABC与△A′B′C′是以O为位似中心的位似图形, 它们
的顶点都在小正方形的顶点上.
y
(1)画出位似中心点O;
(2)直接写出△ABC与△A′B′C′
的相似比;
相似比为2∶1
12
6
Ox
(3)以位似中心O为坐标原点, 以格线所在直线
①画出线段AB
A′
②连接位似中心O
B″
A(6,3)
③找 1的对应点
O
B′
5 B(6,0)
x
3
A″
2、在直角坐标系中， △AOC 的三个顶点 的坐标分别为A(4,4), O(0,0)，C(5,0).以点
经过位似变y
换还可以得到其 他图形吗？
5
A(4,4)
O为位似中心，相似
比为2，将△AOC放 大.
C(5,0)
D5
2.如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(4,-5), B(6,0), O(0,0). 以原点O为位似中心，把这个三角形 放大为原来的2倍，得到△A′B′O′.写出△A′B′O′三 个顶点的坐标.
《平面直角坐标系中的位似变换》PPT课件
11．在平面直角坐标系中，将坐标是(0，4)，(1，0)，(2，4)， (3，0)，(4，4)的点用线段依次连接起来形成一个图案．
(1)在如图所示的坐标系中画出这个图案 (图案①)． 解：图略．
(2)若将上述各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1， 再将所得的各点用线段依次连接起来，画出所得的图案 (图案②)． 解：将点(0，4)，(1，0)，(2，4)，(3，0)，(4，4)的横 坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，得(0，－4)，(1，0)， (2，－4)，(3，0)，(4，－4)，然后描点连线，图略．
教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
后的图形△A2B2C； 如图，△A2B2C就是所要画的 三角形．
(3)在(2)的条件下求出点B经过的路径长．
解：CB＝ 12＋42＝ 17，
点 B 经过的路径长为14×2π×
17＝
17 2 π.
10．【中考·眉山】如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)．(正方形网格中，每个 小正方形的边长是1个单位长度)
答案显示
1．【中考·辽阳】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中， 建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中 心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上， 则点P的坐标为( C )
平面直角坐标系中的位似变换课件
B′(4,3)
2 A′(2,1) A
-4 -2A′O′(-2,-1)2 4 6 8
x
-2
D′′(1,-3) B′′(-4,-3) -4
C′′(-3,-5)-6
例 在平面直角坐标系中， 四 边 形 OABC的 顶 点 坐 标 分 别 是 O(0,0) ， A(6,0) ， B(3,6)，C(-3,3).以原点O为 位似中心画一个四边形， -6 使它与四边形 OABC位似， 且类似比是2∶3.
x 6 4 2
-6 -4
-2 O -2
-4
-6
B′ B
（1）将点O，A，B的横、纵坐标都
乘2，得到O′（ 0,0），A′（ 6,0）， B′（ 4,6）
A 24
（2） △OAB和△OA′B′是位似的，
A′ 6
y 位似中心是点O，类似比是2.
在直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0）， A（3，0），B（2，3）.
A′ -6 -4
2 -2 O
（2） △OAB和△OA′B′是位似的，
Байду номын сангаас
A 24
6
y 位似中心是点O，类似比是-2.
-2
-4
-6 B′
探究新知
y C
10
在直角坐标系中，四边形
8
OABC的顶点坐标分别为A(4,2)， D 6 C′(3,5)
B
B(8,6)，C(6,10)， D(-2,6).将点
O，A，B，C的横、纵坐标都
x 6 4 C 2
-4 -2 O -2 -4
-6
B
A 24 6y
四边形OABC的顶点坐标 都乘 2 分别是O(0,0)，
《图形在平面直角坐标系中的位似变换》示范教学方案
第二十二章相似形22.4 图形的位似变换第2课时图形在平面直角坐标系中的位似变换一、教学目标1．巩固位似图形及其有关概念．2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．二、教学重点及难点重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．三、教学用具多媒体课件四、相关资料《坐标系中的位似》动画、《平面直角坐标系中的位似》微课五、教学过程【情景引入】观察如图所示的坐标系中的几个图形，它们之间有什么联系？【探究新知】发布任务：1. 如下图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O为位似中心，相似比为31，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？2. 如下图，△ABC 三个顶点坐标分别为A (2,3)，B (2,1)，C (6,2)，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？总结：位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．此图片是动画缩略图，本资源为《坐标系中的位似》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，适用于《坐标系中的位似》的教学.若需使用，请插入【数学探究】坐标系中的位似.【新知运用】在平面直角坐标系中，已知点E (－4，2)，F (－2，－2)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标是( )A ．(2，－1)B ．(－8，4)C ．(－8，4)或(8，－4)D ．(－2，1)或(2，－1)解析：根据题意画出相应的图形，找出点E 的对应点E′的坐标即可．答案：如图，△E′F′O 与△E″F″O 即为所求的位似图形，可求得点E 的对应点的坐标为(－2，1)或(2，－1)．故选D.本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了图形在平面直角坐标系中的位似，并通过讲解实例巩固所学的知识点，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】平面直角坐标系中的位似.【随堂检测】1. 如图，在平面直角坐标系中，A (1，2)，B (2，4)，C (4，5)，D (3，1)围成四边形ABCD ，做出一个四边形ABCD 的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2∶1，位似中心是坐标原点．解：以坐标原点O为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标乘以2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标乘以－2，此题做出一个即可．如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A′(2，4)，B′(4，8)，C′(8，10)，D′(6，2)，顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，则四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD的一个位似图形．2. 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2.解析：(1)根据网格找到点A，B，C关于y轴的对称点A1，B1，C1的位置，然后顺次连接；(2)连接A1O并延长至A2，使A2O＝2A1O.连接B1O并延长至B2，使B2O＝2B1O.连接C1O并延长至C2，使C2O＝2C1O，然后顺次连接即可．解：(1)△A1B1C1如图所示；(2)△A2B2C2如图所示．六、课堂小结这节课你学到了哪些新知识呢？在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，他们的相似比为|k|.设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识。
平面直角坐标系中的位似变换(最新课件)
整合方法·提升练
∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2 与△ABC 位似， 且位似比为 2， ∴A2(－2，4)，B2(4，2)，C2(8，10)． ∴S△A2B2C2＝12×(2＋8)×10－12×2×6－12×4×8＝28.
整合方法·提升练
10．【2018·巴中】在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A(－ 3，－3)，点 B(－1，－3)，点 C(－1，－1)．
BS版 九年级上
第四章 图形的相似
第8节 图形的位似 第2课时 平面直角坐标系中的位似变换
习题链接
提示：点击 进入习题
1 (2，2 3)
2A
5C
(4，6)或(－4，－6) 6
D 3
见习题 7
A 4
B 8
答案显示
见习题 9 10 见习题
见习题 11
12 见习题
夯实基础·逐点练
1．【2018·菏泽】如图，△OAB 与△OCD 是以点 O 为位似中心 的位似图形，相似比为 3 4，∠OCD＝90°，∠AOB＝60°， 若点 B 的坐标是(6，0)，则点 C 的坐标是_(2_，__2___3_)．
【点拨】点 P(m，n)是线段 AB 上一点，以原点 O 为位似中 心把△AOB 放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为 (m×2，n×2)或(m×(－2)，n×(－2))，即(2m，2n)或(－2m， －2n)．故选 B.
【答案】 B
整合方法·提升练
9．【2017·凉山州】如图，在边长为 1 的正方形网格中建立平面 直角坐标系，已知△ABC 三个顶点分别为 A(－1，2)，B(2， 1)，C(4，5)．
探究培优·拓展练
(3)若上述各点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，再将所 得的各点用线段依次连接起来，画出所得的图案(图案③)． 解：点(0，4)，(1，0)，(2，4)，(3，0)，(4，4)的纵坐标保持 不变，横坐标分别乘－1，得(0，4)，(－1，0)，(－2，4)，(－ 3，0)，(－4，4)，然后描点连线，图略．
九年级数学上册22.4.2平面直角坐标系中图形的位似变换
A．－
1 2
a
C．－ 1 (a－1)
2
B．－
1 2
(a＋1)
D．－
1 2
(a＋3)
（来自《典中点》）
知2－练
2 如图，在平面直角坐标系中，有一条“鱼”，它有六个顶点， 则( ) A．将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的“鱼”与原来的 “鱼”位似 B．将各点纵坐标乘以2，横坐标不变， 得到的“鱼”与原来的“鱼”位似 C．将各点横，纵坐标都乘以2，得到 的“鱼”与原来的“鱼” 位似 D．将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以 1 ， 得到的“鱼”与原来的“鱼”位似 2
移得到的？ (4)设点P(x，y)为△ABC内一点，依次经过上 （来自《典中点》）
述三次变换后，点P的对应点的坐标为________．
图形变换的种类： (1)全等变换：全等变换不改变图形的大小与形状，全等
建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似
中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，
则点P的坐标为( )
A．(0，0)
B．(0，1)
C．(－3，2) D．(3，－2)
（来自《典中点》）
知1－练
2 (2015·宜宾)如图，△OAB与△OCD是以点O为位 似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝ 90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为( ) A．(1，2) B．(1，1) C．( 2 ，2 ) D．(2，1)
注意：这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比． 2．位似变换与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别：位似、
平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在 于：平移、轴对称、旋转三种图形变换是全等变换，而位似变换是 图形进行平移、轴对称、旋转和位似 变换，其对应点的坐标都有各自的变化规律： (1)平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的单位； (2)轴对称变换，以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵
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8)，O(0， 0)，C′ (10， 0)； A"(－8，－8)，O(0，0)， C″ (－10， 0).
归纳
知1－导
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点 为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐 标的比等于k或－k.即若原图形的某一顶点坐标为(x0， y0)，则其位 似 图 形 对 应 顶 点 的 坐 标 为 ( k x 0， k y 0) 或 (－kx0，－ky0)．
知1－练
3 如图，线段CD的两个端点的坐标分别为C(1，2)， D(2，0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得 到线段AB，若点B的坐标为(5，0)，则点A的坐标 为( B ) A．(2，5) B．(2.5，5) C．(3，5) D．(3，6)
知1－练
4 (中考•东营)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心， 相似比为 1 , 把△ABO缩小，则点A的对应点A′的
事实上，幻灯机工作的实质是将图片中的图形放大． 本节知识将对上述问题作系统的讲解．
知1－导
知识点 1 平面直角坐标系中的位似变换
问题
如图(1)，在直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6,
0)．以原点O为位似中心，相似 比为 1 ，把线段AB缩小．观察
3 对应点之间坐标的变化，你有
什么发现？
如图(2)，△AOC三个顶点的
3
坐标是( D ) A．(－1，2) B．(－9，18) C．(－9，18)或(9，－18) D．(－1，2)或(1，－2)
知1－练
5 【中考·烟台】如图，在平面直角坐标系中，正方 形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的 位似图形，且相似比为 1 , 点A，B，E在x轴上，
3
若正方形BEFG的边长为6，则C点的坐标为( A ) A．(3，2) B．(3，1) C．(2，2) D．(4，2)
B(－2，0)，Ｏ(0，0)．以原点Ｏ为位似中心，画出 一个三角形，使它与△ ABO的相似比为 3 ．
2
知2－讲
分析：由于要画的图形是三角形，所以关键是确定它的各
顶点坐标．根据前面总结的规律，点A的对应点A′
的坐标为
－2
3 ，4 2
3 2
可以确定其他顶点的坐标．
坐标分别为A (4，4)，Ｏ(0, 0)，
C(5, 0)．以点O为位似中心，相似 比为2，将△AOC放大. 观察对应 顶点坐标的变化，你有什么发现？
知1－导
知1－导
可以看出，图(1)中，把AB缩小后，A，B 的对应点 为A′ (2，1)，B′ (2， 0)； A″ (－2，－1)，B″ (－2, 0)．
导引：根据题意可知，A(6，3)，原点O为位似中心且在第一
象限内将线段AB缩小为原来的
1 3
后得到线段CD，所以
C(2，1)，故选择A.
总结
知1－讲
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为 位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的 比等于k或－k，此种类型的题目要注意多种可能．
知1－练
知2－练
1 如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(4，－ 5)， B(6，0)，O(0，0)．以原点O为位似中心，把这 个三角形放大为原来的2倍，得到△A′ B ′ O′ ． 写出 △ A′B′O′ 三个顶点的坐标.
解：△A′B′O′三个顶点的坐标分别为 A′(－8，10)，B′(－12，0)， O′(0，0)或A′(8，－10)， B′(12，0)，O′(0，0)．
第二十七章 相 似
27.3 位 似
第2课时 平面直角坐标系 中的位似变换
1 课堂讲解 平面直角坐标系中的位似变换
在平面直角坐标系中画位似图形
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
如图所示的是幻灯机的 工作情况，幻灯片与屏幕平 行，光源到幻灯片的距离是 30 cm．幻灯片到屏幕的距 离是1.5 m，幻灯中的小树的 高度是10 cm，请你利用相似三角形的知识，算出屏幕上 小树的高度．
1 如图，把△AOB缩小后得到△COD，求△COD与 △AOB的相似比.
解： 2 5
知1－练
2 (中考•辽阳)如图，在边长为1的小正方形组成的网 格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是 以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格 点(网格线的交点)上，则点P的坐标为( C ) A．(0，0) B．(0，1) C．(－3，2) D．(3，－2)
注意：这里的相似比指的是新图形与原图形的 对应边的比．
知1－讲
例1 〈武汉〉如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6， 0)．以原点O为位似中心，相似比为 1 , 在第一象限内 3 把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为( A )
A．(2，1)
B．(2，0)
C．(3，3)
D．(3，1)
知2－练
2 【中考·滨州】在平面直角坐标系中，点C，D的 坐标分别为C(2，3)，D(1，0)，现以原点为位似 中心，将线段CD放大得到线段AB.若点D的对应 点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标 为_(_4_，__6_)_或__(_－__4_，__－__6_) _．
或 － k.
归纳
知2－讲
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为 位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与 原图形的相似比为k，那么与原图形上的点 (x，y)对 应的位似图形上的点的坐标为（kx， ky)或(－kx ， －ky).
知2－讲
例2 如图， △ ABO三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，
解：如图，利用位似中对应点的坐标
的变化规律，分别取点A′(－ 3， 6)，B′(－3， 0)， O(0， 0)．顺次 连接点A′，B′，O，所得△ A′ B′ O 就是要画的一个图形．
总结
知2－讲
在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点 为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐 标的比等于k或－k.若原图形中一点的坐标为(x0，y0)， 则其对应点的坐标为(kx0，ky0)或(－kx0，－ky0)．
知2－讲
知识点 2 在平面直角坐标系中画位似图形
如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)， 以原点O为位似中心，位似比为 3∶1，把线段AB缩小．观察对 应点之间的坐标的变化，你有什 么发现?
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似
中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k