2020-2021学年江苏省扬州中学高二下学期期中考试数学(理)试卷
江苏省扬州中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
根据导数的运算法则和特殊函数的导数，逐一判断.
【详解】
∵根据函数的求导公式可得，∵ ，∴A错；∵ ，∴B错；∵ ，C错；D正确.
【点睛】
本题考查了导数的运算法则以及特殊函数的导数.
3．B
【分析】
直接利用二项展开式的通项公式求得展开式中a3b2的系数.
【详解】
解：（a+b）5的展开式的通项公式为：Tr+1 •a5﹣r•br；
A．20B．10C．5D．1
4．已知 ， ，则 等于（）
A． B． C． D．
5．在某项测试中，测量结果 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．设a∈Z，且0≤a＜13，若512020+a能被13整除，则a＝（）
A．0B．1C．11D．12
7．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 的值的范围是：3.1415926＜ ＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（）
10．将高二（1）班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（）
A． B．
C． D．18
11．已知 的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）
A．7B．8C．9D．10
12．函数f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列说法正确的是（）
【详解】
解：512020＝（52﹣1）2020＝（1﹣52）2020
2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．﹣的值为（）A．3B．9C．12D．152．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种3．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12B．16C．20D．244．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为（）A．B．C．D．5．函数y＝的大致图象是（）A．B．C．D．6．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名7．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜48．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i＝1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i＝1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i＝1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
扬州中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)
12.如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD 丄底面ABCD , PD DC , E 是PC 的中点.则二面角B DEC 的平面角的余弦值江苏省扬州中学2015-2016学年第二学期期中考试高二(理科)数学试卷2016419一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1 .复数z 丄的共轭复数是 _______________________ .1 i2.命题“ x=n ”是“ sinx=0 ”的 _________________ 件.3•设异面直线h, 12的方向向量分别为 a (1,1,0),b (1,0, 1),则异面直线h,丨2所成角 的大小为 __________________ .2 5 34.在(X -)的二项展开式中，X 的系数是 _______________________ .X5•某团队有6人入住宾馆中的 6个房间，其中的 301与302对门，303与304对门，305 与306对门，若每人随机地拿了房间钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为f (x)已知可导函数f (x)的导函数f'(x)满足f'(x) f(x)，则不等式」e9. ___________________________________ 甲、乙、丙三人站在共有7级的台阶上，若每级台阶最多站 2人，同一级台阶上的人不区分 站的位置 则不同的站法总数为 . 10. 已知：(X 2)8a 0 a 1(x 1) a 2(x 1)2 a 8(x1)8,其中 (i 0,1,28)为实常数，则a 12a 2g 8a &__________________ .11. 某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6节课，要求数学课排在前 3节,体育课不排在第1节，则不同的排法种数为 ________ __ (以数字作答)•凹的解集e6. 1k 31an2(n 1)通过计算f (1), f (2), f (3)的值，推测出f(n)7. 8. 设 f(k) -—k 1 k 2 若数列a n 的通项公式1(k N )，那么 f(k 1) 2k(n N ),记 f (n)(1 aj(1f(k) a 2)(1 a n )，试2y；x取值范围是___________ .14•我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日亘原理：即两个等高的几何体,被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
【精准解析】江苏省扬州市2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷 含解析
2020-2021学年江苏省扬州市高二（下）期中数学试卷一、单选题（每小题5分）.1．已知复数z满足z（1+2i）＝3+i，则复数z的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．12．在的展开式中，x2的系数是（）A．60B．﹣60C．60D．﹣603．将0，1，2，3，4，5这6个数组成无重复数字的五位偶数的个数为（）A．360B．312C．264D．2884．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CC1＝，若点M为A1B1的中点，则直线AM与直线CB1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．5．曲线y＝x•e x+x2在x＝0处的切线方程为（）A．y＝x+1B．y＝2x C．y＝x D．y＝3x+16．今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过22021天后是（）A．星期三B．星期四C．星期五D．星期六7．函数的大致图象是（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝x+a cos x，对于任意x1、x2∈R（x1≠x2），都有恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．[1﹣，1]C．[﹣1，1]D．[﹣1，1﹣]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A．若复数z1，z2满足z12+z22＝0，则z1＝z2＝0B．i+i2+i3+i4＝0C．若z＝（1+2i）2，则复平面内对应的点位于第二象限D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则|z﹣1+i|的最小值为110．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为729B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为240x311．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段AB1上的动点（含端点），则下列结论正确的是（）A．平面BCM⊥平面A1AB1B．三棱锥B﹣MB1C体积最大值为C．当M为AB1中点时，直线B1D与直线CM所成的角的余弦值为D．直线CM与A1D所成的角不可能是12．对于定义域为R的函数f（x），f′（x）为f（x）的导函数，若同时满足：①f（0）＝0；②当x∈R且x≠0时，都有xf′（x）＞0；③当x1＜0＜x2且|x1|＝|x2|时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）为“偏对称函数”．下列函数是“偏对称函数”的是（）A．f1（x）＝e2x﹣e x﹣xB．f2（x）＝e x+x﹣1C．f3（x）＝D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（其中15题第一空2分，第二空3分）。
扬州中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题含解析
江苏省扬州中学2021-2022学年度第二学期期中试题高二数学试卷满分：150分，考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知从甲地到乙地有乘飞机或者坐轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有乘大巴车、高铁或者乘飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为（）A.4B.5C.6D.82.直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a = ，CB b = ，1CC c =，则1A B = （）A.a b c-+-B.a b c-+C.a b c-++D.a b c+-r r r3.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率()P A 是（）A.23B.13C.19D.1184.设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（）A.5B.6C.7D.85.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为13,35，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（）A.1115B.415C.215D.7156.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，O 为坐标原点，若2POF V 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A.1- B.1- C.2D.37.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1AD 与平面BDE 所成角的正弦值为（）A.6B.3C.3D.68.23(2ln3)1ln3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A.a c b <<B.c a b <<C.a b c<< D.b a c<<二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9.已知空间向量()2,1,1a =-- ，()3,4,5b =，则下列结论正确的是（）A.()2//a b a+B.5a =C.()56a a b⊥+D.a 与b夹角的余弦值为6-10.已知随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=.若12102p p <<<,则下列结论正确的是()A.12()()E E ξξ<B.12()()E E ξξ>C.12()()D D ξξ<D.12()()D D ξξ>11.已知)66016xa a x a x -=+++ ，则（）A.20log 3a = B.016,,a a a ⋯这7个数中只有3个有理数C.3a =-D.)251236360a a a++++= 12.如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，连NO 、MO 并延长分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，OMN 与OAB 的面积分别记为OMN S △、OAB S ．则下列说法正确的是（）A.若记直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k 的大小是定值14-B.OAB 的面积OAB S 是定值1C.线段OA 、OB 长度的平方和22OA OB +是定值4D.设OMNOABS S λ=△△，则2λ≥三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13.已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则()E X =_________.X 123P0.2a0.514.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60，则1AC uuu r的长为________.15.若(2)(0)na x a ->的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开式的第5项的系数最大，则a的取值范围为___________.16.已知函数()e ln xaf x a x x x =+--，0a >．当a=1时，函数()f x 在点P （1，()1f ）处的切线方程为________；若()1,x ∈+∞，()0f x ≥，则实数a 的最大值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17.（1）计算：5488858927A A A A +-；（2）若33210n n A A =，求正整数n .18.已知()727012712x a a x a x a x -=++++ .求：（1）1237a a a a ++++ ；（2）1357a a a a +++；（3）0127a a a a ++++L .19.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与P ，投中得1分，投不中得0分．乙投球两次均未命中的概率为925．（1）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望．20.如图，在三棱锥A BCD -中，ABC 是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（1）证明：平面ACD ⊥平面AEF ；（2）若60BCD ∠=︒，点G 是线段BD 上的动点，问：点G 运动到何处时，平面A E G 与平面ACD 所成的锐二面角最小.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>的上顶点为B ，左焦点为F ，P 为椭圆C 上一点，()2,0A ，且3AB PA =，BF BP ⊥．（1）求椭圆C 的方程．（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相切，过A 作l 的垂线，垂足为Q ，试问OQ 是否为定值？若是定值，求OQ 的值；若不是，请说明理由．22.设函数ln e ()xx f x a x=-，其中a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若34ea ≥，证明：()0f x <.江苏省扬州中学2021-2022学年度第二学期期中试题高二数学试卷满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1.已知从甲地到乙地有乘飞机或者坐轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有乘大巴车、高铁或者乘飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为（）A.4B.5C.6D.8【1题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据分步乘法原理求解即可.【详解】解：由题意可知，从甲地经乙地到丙地所有可能的交通方式的种数为236⨯=种.故选：C2.直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a = ，CB b = ，1CC c =，则1A B = （）A.a b c-+-B.a b c-+ C.a b c-++ D.a b c+-r r r 【2题答案】【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算直接可得解.【详解】由已知得111A B A A AB C C CB CA a b c =+=+-=-+-，故选：A.3.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率()P A 是（）A.23B.13 C.19 D.118【3题答案】【答案】A 【解析】【分析】因为两个独立事件A 和B ，所以()()()P AB P A P B =⋅,(()(),P AB P A P B =()()(),P AB P A P B =结合1()()()(),()()9P A P B P A P B P A P B ==,()1(),P A P A =-()1(P B P B =-即可求出答案.【详解】由题设条件可得,1()()((),(()9P A P B P A P B P A P B ==,又()1()()1()P A P A P B P B =-=-且,解得1(()3P A P B ==.所以2()1(3P A P A =-=.故选：A.4.设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（）A.5B.6C.7D.8【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据二项式系数的性质得到a ，b 的值，列出方程求出m .【详解】2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为2m m C ，故2m ma C =，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为21m m C +或121m m C ++，两者相等，不妨令21m m b C +=，则有221158m mm m C C +=，解得：7m =.故选：C5.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为13,35，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（）A.1115B.415C.215D.715【5题答案】【答案】A 【解析】【分析】结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】依题意，至少答对一个问题的概率是131********⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A6.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，O 为坐标原点，若2POF V 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A.1B.1C.2D.3【6题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用2POF V 为等边三角形，构造焦点三角形12F PF ，根据几何关系以及椭圆定义，得到,a c 的等量关系，即可求得离心率.【详解】连接1F P，根据题意，作图如下：因为2POF V 为等边三角形，即可得：12OF OP OF c ===，则122190,60F PF PF F ∠=︒∠=︒则112sin 603PF F F c =︒⨯=，由椭圆定义可知：21223PF a PF a c c =-=-=，故可得：3131c a ==+．故选：A.7.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1AD 与平面BDE 所成角的正弦值为（）A.336B.33C.33D.36【7题答案】【答案】D 【解析】【分析】以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面BDE 的一个法向量()1,1,2m =-，进而可求直线1AD 与平面BDE 所成角.【详解】以点D 为原点，DA ，DC ，1DD分别为x 轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,1E ，()10,0,2D ，所以()2,2,0DB = ，()0,2,1DE = ，()12,0,2AD =-，设平面BDE 的一个法向量(),,m x y z=，则00m DB m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即22020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z =，所以平面BDE 的一个法向量()1,1,2m =-，设直线1AD 与平面BDE 所成角为θ，所以1sin cos ,6AD m θ==．故选：D.8.23(2ln3)1ln3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A.a c b<< B.c a b <<C.a b c<< D.b a c<<【8题答案】【答案】A 【解析】【分析】构造函数ln ()x f x x =，应用导数研究其单调性，进而比较2(3e af =，()b f e =，(3)c f =的大小，若ln x t x =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈，构造2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，利用导数确定()0>g x ，进而得到212121ln ln 2x x x x x x ->-+，即可判断a 、c 的大小，即可知正确选项.【详解】令ln ()xf x x=，则222ln 3(33e e af e ==，ln ()e b f e e ==，ln 3(3)3c f ==，而21ln ()x f x x -'=且0x >，即0x e <<时()f x 单调增，x e >时()f x 单调减，又2133e e <<<，∴b c >，b a >.若ln xtx =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈，即2121ln ln x x t x x -=-，1212ln x x x x t+=，令2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x g x x x -'=>+，即()g x 在(1,)+∞上递增，∴()(1)0g x g >=，即在(1,)+∞上，2(1)ln 1x x x ->+，若21x x x =即212121ln ln 2x x x x x x ->-+，故122ln tt x x >，有212x x e >∴当23x =时，213e e x >>，故21()()(3)3e f f x f <=，综上：b c a >>.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9.已知空间向量()2,1,1a=--，()3,4,5b=，则下列结论正确的是（）A.()2//a b a+B.5a = C.()56a a b⊥+ D.a 与b夹角的余弦值为6-【9题答案】【答案】BCD 【解析】【分析】由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可.【详解】对于A 选项：2(1,2,7)ab +=-，不存在λ，使得2a b a λ+=，故A 错误；对于B选项：55a ====，故B 正确；对于C 选项：56(8,19,35)a b += ，6)281191350a b ⋅+=-⨯-⨯+⨯=，则(56)a a b ⊥+，故C 正确；对于D选项：a ==，b == 6455a b ⋅=--+=-所以c 6os ,a b a b a b⋅===-，故D 正确；故选：BCD.10.已知随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=.若12102p p <<<,则下列结论正确的是()A.12()()E E ξξ< B.12()()E E ξξ> C.12()()D D ξξ< D.12()()D D ξξ>【10题答案】【答案】AC 【解析】【分析】由已知得12102p p <<<，2111112p p <-<-<，由期望公式求出1122(),()E p E p ξξ==，再根据方差公式求出12,()()D D ξξ，作差比较大小，由此能求出结果．【详解】∵随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=，12102p p <<<，∴2111112p p <-<-<，又()()1111101E p p p ξ=⨯+⨯-=，2222101E p p p ξ=⨯+⨯-=（）（），∴12()()E E ξξ<,又()()()()2221111111101D p p p p p p ξ=-+--=-，()()()()2222222222101D p p p p p p ξ=-+--=-，所以()()()()()22121122211210D D p p p p p p p p ξξ-=---=-+-<，所以12()()D D ξξ<．故选：AC.11.已知)66016xa a x a x =+++ ，则（）A.20log 3a = B.016,,a a a ⋯这7个数中只有3个有理数C.3a =-D.25123636a a a ++++= 【11题答案】【答案】ACD 【解析】【分析】根据二项式定理对选项逐一判断【详解】由二项式定理知展开式的通项公式为61606r r r r TC x r r N-+=-≤≤∈(),,对于A ，令0x =，得608a ==，则20log 3a =，A 正确．对于B ，016,,a a a ⋯这7个数中，当r 为偶数时，对应0246,,,a a a a 为有理数，B 错误．对于C ，()33336C1a=-=-C 正确．对于D ，对)66016x a a x a x=+++ 两边同时求导，得)55126626x a a x a x --=+++ ，令x =251236360a a a ++++= ，D 正确．故选：ACD12.如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，连NO 、MO 并延长分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，OMN 与OAB 的面积分别记为OMN S △、OAB S ．则下列说法正确的是（）A.若记直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k 的大小是定值14-B.OAB 的面积OAB S 是定值1C.线段OA 、OB 长度的平方和22OA OB+是定值4D.设OMN OABS S λ=△△，则2λ≥【12题答案】【答案】ABD 【解析】【分析】设直线MN 的方程为1y kx =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率公式可判断A 选项；利用三角形的面积公式可判断B 选项；利用弦长公式可判断C 选项；利用三角形的面积公式结合基本不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线2C 的焦点为()0,1F ，若直线MN 与y 轴重合，则该直线与抛物线2C 只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩可得2440x kx --=，216160k ∆=+>，则124x x =-，121212121164y y x x k k x x ===-，A 对；对于B 选项，设10k >，则20k <，联立12244y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221414k x +=，解得x =，不妨设点A在第三象限，则A ⎛⎫ ⎝，设点B在第四象限，同理可得B ⎛⎫，点B 到直线OA 的距离为d =，OA =，所以，1111122112122OABk k S OA d k k +=⋅==+△，B 对；对于C 选项，()()22221222221212414133241414141k k OA OB k k k k +++=+=++++++()()()()2222121222221212344234422254424141k k k k k k kk ++++=+=+=++++，C 错；对于D 选项，1214OMN OABOM ONx x S S OB OA ⋅===⋅△2≥=，当且仅当112k=±时，等号成立，D 对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13.已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则()E X =_________.X 123P 0.2a 0.5【13题答案】【答案】2.3【解析】【分析】先由概率总和为1求出参数a ，再根据期望公式即可求得结果.【详解】由题，由概率性质，()()()1231P X P X P X =+=+==，可解得0.3a =，故()10.220.330.5 2.3E X =⨯+⨯+⨯=，故答案为：2.314.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60，则1AC uuu r的长为________.【14题答案】【解析】【分析】由已知可得11AB AD AA === ，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠= ，利用空间向量数量积的运算求出21AC 的值，即可得解.【详解】由已知可得11AB AD AA ===，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠= ，由空间向量数量积的定义可得11111cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，所以，()22222111112226AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅=，因此，1AC =.15.若(2)(0)n a x a ->的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开式的第5项的系数最大，则a 的取值范围为___________.【15题答案】【答案】(,104【解析】【分析】根据给定条件，求出幂指数n 的值，再求出第r +1项的系数，列出不等式并求解作答.【详解】因(2)n ax -的展开式中各项的二项式系数之和为256，则2256n =，解得8n =，(2)n a x -的展开式中第r +1项的系数为88(1)(2)C r r r a --⋅，N,8r r ∈≤，而0a >，则当r 为奇数时，第r +1项的系数为负，当r 为偶数时，第r +1项的系数为正，由仅有展开式的第5项的系数最大得：446288442688(2)C (2)C (2)C (2)C a a a a ⎧>⎨>⎩，化简整理得：215108a <<，解得104a <<，所以a的取值范围为,)104.故答案为：,)104【点睛】关键点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解二项式问题先正确求出通项公式，再结合具体条件推理计算作答．16.已知函数()e ln x a f x a x x x =+--，0a >．当a=1时，函数()f x 在点P （1，()1f ）处的切线方程为________；若()1,x ∈+∞，()0f x ≥，则实数a 的最大值为________．【16题答案】【答案】①.(e 1)1y x =--②.e 【解析】【分析】求导，代入1x =求出(1)e 1f '=-，用点斜式求出切线方程；（2）对函数变形，利用同构及函数单调性得到e a x x ≤，参变分离构造新函数，通过其单调性求出极值，最值，进而求出实数a 的最大值.【详解】由题意当1a=时，()e ln 2x f x x x =+-，1()e 2xf x x'=+-，则(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，所以函数()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程为(e 1)1y x =--．因为(1,),()0x f x ∈+∞≥，即e ln 0x a a x x x +--≥，则ln ln e e a a x x x x -≥-，令()ln ,1m t t t t =->，故11()10tm t t t-'=-=<，在(1,)+∞上恒成立，故()m t 在(1,)+∞上单调递减，故e a x x ≤，得ln a x x ≤，即ln x a x≤，记()(1)ln xx x x ϕ=>，则2ln 1()(1)ln x x x xϕ-'=>，当(1,e)x ∈时，()0x ϕ'<，当(e,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，故函数()ϕx 在(1,e)单调递减，在(e,)+∞单调递增，故()ϕx 的最小值是(e)e ϕ=，故e a ≤，即实数a 的最大值是e ．故答案为：(e 1)1y x =--；e .四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17.（1）计算：5488858927A A A A +-；（2）若33210n nA A =，求正整数n .【17题答案】【答案】（1）1；（2）8.【解析】【分析】（1）（2）按照排列数公式计算即可.【详解】（1）54888589272876547876518765432198765A A A A +⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯；（2）∵33210n nA A =，∴2(21)(22)10(1)(2)⨯-⨯-=⨯⨯-⨯-n n n n n n ，又3n ≥，化简得42510n n -=-，解得8n =.18.已知()727012712x a a x a x a x -=++++ .求：（1）1237a a a a ++++ ；（2）1357a a a a +++；（3）0127a a a a ++++L .【18题答案】【答案】（1）2-（2）1094-（3）2187【解析】【分析】（1）分别令0x =、1x =可求得0a 、01234567+++++++a a a a a a a a 的值，即可求得1237a a a a ++++ 的值；（2）分别令1x =、1x =-，将所得两式作差可求得1357a a a a +++的值；（3）分析可知当k 为偶数时，0k a >，当k 为奇数时，0k a <，然后令1x =-可得出所求代数式的值.【小问1详解】解：令0x =，则01a =，令1x =，则()7012345671211a a a a a a a a +++++++=-⨯=-，①因此，()12372370102a a a a a a a a a a ++++++++=+-=- .【小问2详解】解：令1x =-可得70123456732187a a a a a a a a ++=-=-+--，②①-②可得13571218710942aa a a --+++==-.【小问3详解】解：()712x -的展开式通项为()()177C 2C 2k kk k kk Tx x+=⋅-=⋅-，则()7C 2kk ka=⋅-，其中07k ≤≤且N k ∈，当k 为偶数时，0k a >；当k 为奇数时，0k a <.所以，7012345601234567732187a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++=+++==----.20.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与P ，投中得1分，投不中得0分．乙投球两次均未命中的概率为925．（1）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望．【20题答案】【答案】（1）91100（2）910【解析】【分析】（1）利用对立事件的概率去求解四次投球中至少一次命中的概率；（2）先求得概率P 的值，再去列两人得分之和的分布列求数学期望．【小问1详解】记“这四次投球中至少一次命中”为事件C ，则“这四次投球均未命中”是事件C 的对立事件，则()1199112225100P C =-⨯⨯=【小问2详解】依题意，29(1)25P -=，则25P =记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则1213(),(),()()2525P A P B P A P B ====甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0，1，2，()()13302510P P AB ξ===⨯=，()()()13121125252P P AB P AB ξ==+=+=，()()1212255P P AB ξ===⨯=，则ξ的分布列为：ξ012P31012153119()012102510E ξ=⨯+⨯+⨯=22.如图，在三棱锥A BCD -中，ABC 是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（1）证明：平面ACD ⊥平面AEF ；（2）若60BCD ∠=︒，点G 是线段BD 上的动点，问：点G 运动到何处时，平面A E G 与平面ACD 所成的锐二面角最小.【22题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）点G 为BD 的中点时.【解析】【分析】（1）由面面垂直可得AE⊥平面BCD ，得出CD ⊥AE ，再由CD ⊥EF 可得CD ⊥平面AEF ，即可得出平面ACD ⊥平面AEF ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出锐二面角的余弦值，当0,cos y =θ最大，θ最小，即可得出此时点G 为BD 的中点.【小问1详解】(1)因为△ABC 是正三角形，点E 是BC 中点，所以AE ⊥BC ，又因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD =BC ，AE ⊂平面ABC ，所以AE⊥平面BCD ，又因为CD ⊂平面BCD ，所以CD⊥AE ，因为点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，所以EF //BD ，又因为BD⊥CD ，所以CD ⊥EF ，又因为CD ⊥AE ，AE ∩EF E =，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ，又因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面AEF .【小问2详解】在平面BCD 中，过点E 作EH ⊥BD ，垂足为H ,设BC =4，则EA =，DF =FC =l ，E F 以{,,}EH EF EA为正交基底，建立如图空间直角坐标系E -xyz ,则(0,0,0),(0,0,(1,(1,E A C D -,设(1,,0)G y ，则(0,0,(1,EA AD ==- ,(2,0,0),(1,,0)CD EG y ==，设平面AEG 的法向量为1111(,,)n x y z →=,由1100n EA n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1110x yy ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令11y =-，故1(,1,0)n y →=-，设平面ACD 的法向量为2222(,,)nx y z →=，则2200n CD n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即2222200x x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令21z =，则2(0,2,1)n →=,设平面AEG 与平面ACD 所成的锐二面角为θ,则12cos |cos ,||n n →→=<>==θ，当0,cos y =θ最大，此时锐二面角θ最小，故当点G 为BD 的中点时，平面AEG 与平面ACD 所成的锐二面角最小.24.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，左焦点为F ，P 为椭圆C 上一点，()2,0A ，且3AB PA = ，BF BP ⊥．（1）求椭圆C 的方程．（2）若直线:ly kx m =+与椭圆C 相切，过A 作l 的垂线，垂足为Q ，试问OQ是否为定值？若是定值，求OQ的值；若不是，请说明理由．【24题答案】【答案】（1）22184x y +=；（2）是定值，OQ =【解析】【分析】（1）设出点P 的坐标，进而根据3AB PA →→=求出它的坐标代入椭圆方程，再根据BF BP ⊥，结合斜率公式求得答案；（2）联立22184y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩并化简，根据判别式为0得到k ,m 的关系，再联立()12y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩求出点Q 的坐标，进而求出答案.【小问1详解】设()00,P x y ，易知()0,B b ，因为3AB PA →→=，所以()()002,32,b x y -=--，所以083x =，03b y =-．因为P 在椭圆C 上，所以22264991b a b+=，所以28a =．因为BF BP ⊥，所以12b b c ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，所以22b c =．因为222a b c =+，所以28a =，224b c ==，故椭圆C 的方程为22184x y +=．【小问2详解】联立方程组22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222124280k x kmx m +++-=，则()()222216412280k m k m ∆=-+-=，得2284m k =+．当0k =时，直线l 的方程为2y =±，OQ =当0k ≠时，直线AQ 的方程为()12y x k=--，联立方程组()12y x k y kx m⎧=--⎪⎨⎪=+⎩，得Q 的坐标为2222,11km m k k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()()()()222222222224111km m k m OQk k k -++=+=+++．因为2284m k =+，所以22284481k OQ ++==+，所以OQ =故OQ为定值，且OQ =．【点睛】本题第（2）问运算量较大，但充分体现了“设而不求”的思想，本题可以作为范题进行归纳总结.26.设函数ln e ()xx f x a x=-，其中a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若34e a≥，证明：()0f x <.【26题答案】【答案】（1）1ey x =--（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得e ()ln xf x x x=-，即可得到()1f ，再求出函数的导函数，即可求出()1f '，最后利用点斜式求出切线方程；（2）依题意即证2e ln 0x a x x x ->，令2e ()x a g x x=、ln ()x h x x=，,()0x ∈+∞，利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的最值，从而得证；【小问1详解】21解：当1a =时e ()ln x f x x x=-，所以()1e 1ln1e 1f =-=-，又()21e 1()x x f x x x -'=-，所以()11f '=，即切点为()1,e -，切线的斜率1k =，所以切线方程为()()e 11y x --=-，即1ey x =--【小问2详解】解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当34e a ≥时，2ln e e ln ()000x x x a x f x a x x x <⇔-<⇔->，令2e ()x a g x x =，,()0x ∈+∞，所以3e ())(2x a x x g x'-=，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，当2x =时，22min3e 4e 1()(2)4e 4e a g x g ==≥⋅=，令ln ()x h x x =，,()0x ∈+∞，所以21ln ()x h x x -'=，当0e x <<时，()0h x '>，当e x >时，()0h x '<，即函数()h x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，当e x =时，max 1()(e)e h x h ==，因此，0x ∀>，min max 1()()()()eg x g x h x h x ≥≥=≥，而()g x 的最大值与()h x 的最小值不同时取得，即上述不等式中不能同时取等号，于是得：0∀>，()()g x h x >成立，即2e ln 0x a x x x->成立，所以()0f x <.。
2020-2021学年江苏省扬州中学高二第二学期期中考试物理(选修)【含答案】
2020-2021学年江苏省扬州中学高二第二学期期中考试物理（选修）2021.04试卷满分：100分考试时间：75分钟注意事项：1. 作答第Ⅰ卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码。
2. 将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂）。
3. 考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意。
（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中。
）1．关于物体的内能，下列叙述中正确的应是（ ） A ．温度高的物体比温度低的物体内能大 B ．物体的内能不可能为零C ．内能相同的物体，它们的分子平均动能一定相同D ．物体的内能与物体的温度、体积、物态和分子数都无关2．物体在水平面上做直线运动，其动量随时间变化的图像如图所示，则下列说法正确是（ ） A ．00~2t 物体运动方向与002~3t t 的运动方向相反B ．002~3t t 与003~4t t 时间内物体受到的合外力大小相等，方向相反C ．00~3t 时间内物体受到的合外力的冲量为零D ．002~4t t 时间内物体受到的合外力的冲量为零3．我国已开展空气中PM2.5浓度的监测工作，PM2.5是指空气中直径小于2.5微米的悬浮颗粒物，可在显微镜下观察到，它漂浮在空中做无规则运动，很难自然沉降到地面，吸入后会进入血液对人体形成危害。
矿物燃料燃烧时废弃物的排放是形成PM2.5的主要原因，下列关于PM2.5的说法中正确的是A ．PM2.5在空气中的运动属于分子热运动B ．PM2.5的无规则运动说明了空气分子做分子热运动C ．PM2.5的质量越大，其无规则运动越剧烈D ．温度越低，PM2.5的无规则运动越剧烈4．一弹簧振子的位移y 随时间t 变化的关系式为0.1sin(2.5)m y t π=，则（ ） A ．弹簧振子的振幅为0.2m B ．弹簧振子的频率为0.8HzC ．在0.2s t =时，振子的运动速度最大D ．在任意0.4s 时间内，振子通过的路程均为0.2m5．如图描述了一定质量的理想气体压强p 随体积V 变化的图像，O 、a 、b 在同一直线上，ac 与横轴平行，下列说法正确的是（ ） A ．a 到b 过程，外界对气体做功B ．c 到a 过程，气体向外界放出热量大于气体内能的减少量C ．b 到c 过程，气体释放的热量大于气体内能的减少D ．a 点时气体的内能等于b 点时气体的内能6．如图所示，质量相等的A 、B 两个球，原来在光滑水平面上沿同一直线相向做匀速直线运动，A 球的速度是6 m/s ，B 球的速度是-2 m/s ，A 、B 两球发生对心碰撞。
江苏省扬州市邗江中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数 在[0，π]上的平均变化率为( )
A．1B．2C．πD．
2．复数z满足 ，则复数 的虚部为（）
A．﹣1B．1C．iD．﹣i
A． B． C． D．
8．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）
A．48种B．72种C．96种D．144种
9．设函数f（x）在R上可导，其导函数为 ，且函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值，则函数y＝x 的图象可能是（）
（1）记花圃的面积为 ，求 的最大值；
（2）若花圃的造价为10元/米²，在花圃的边 、 处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰 、 不铺设，求 满足什么条件时，会使总造价最大.
21．已知甲箱中装有3个红球，2个黑球，乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中.
A． B．
C． D．
10．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）
扬州市扬州大学附属中学高二年级第二学期数学学科阶段检测 1(月考)(后附答案解析)
扬大附中高二年级春学期数学学科阶段检测1一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1．下列求导运算正确的是（）A ．()'sin cos x x=-B ．'1ln xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()'1x x xee-=D ．()'12x x=2．202320222021202019841983⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯等于（）A ．402023C B ．412023C C ．402023A D ．412023A 3.81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）A.70B.56C.28D.70-4．有4名新冠疫情防控志愿者，每人从3个不同的社区中选择1个进行服务.则不同的选择办法共有（）种.A.81B.64C.16D.95．平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =- ,6,2)-，则平面α与平面β的位置关系是（）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直6．如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是BC 的中点，那么（）A ．AE BC AE CD ⋅<⋅B ．AE BC AE CD⋅=⋅ C ．AE BC AE CD⋅>⋅ D ．AE BC ⋅ 与AE CD ⋅不能比较大小7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，12AC CC ==，M 是11A B 的中点，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若11A B C M ⊥，则异面直线CM 与1A B 所成角的余弦值为（）A ．23B ．33C ．23D ．73（第7题）图）8.已知函数()()22e xf x x ag x x =-+=，，若对任意的[]21,1x ∈-，存在11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A.[]e 1,4+ B.[e ，4]C.1e,4e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D.1e 1,4e⎡⎤++⎢⎥⎣⎦二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9.如图是()y f x =的导数()y f x '=的图象，则下面判断错误的是（）A ．在(3,1)-内()f x 是增函数B ．在(3,4)内()f x 是减函数C ．在2x =时()f x 取得极小值D ．当4x =时()f x 取得极大值10．若3221213A 2A 6A x x x +++≤+，则正整数x 的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．511．现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是（）A ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B ．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D ．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种12．如图，底面ABCD 是边长为2的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ．点P 为半圆弧 AD 上（不含A ，D 点）的一动点．下列说法正确的是（）A ．BP PD ⋅的数量积不恒为0B ．三棱锥P BCD -体积的最大值为23C ．存在点P ，使得AB PB DB DP⋅=⋅D ．点A 到平面BPD 的距离取值范围为(2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(110)(102)A B -，，，，，，点C 满足2AC AB =，则点C 的坐标为．14.已知函数()y f x =的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是21y x =+，则()()11f f '+=．15.设()20121nn n x a a x a x a x +=++++ ，若23a a =，则n =．16.将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i 项为()1,2,,7i a i = ，若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有个；若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有个．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA ===，1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a = ，AD b =，1AA c =.（1）用a ，b ，c 表示BM ；（2）求BM 的长.18．（本小题满分12分）（1）计算：()2973100100101C C A +÷；（2）计算3333412C C C +++ .（均要求写出必要的数学式，结果用数字作答）19．（本小题满分12分）已知函数()325f x x ax bx =-++，在2x =-和23x =处取得极值.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]4,1-上的最大值.20．（本小题满分12分）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11C D 与AB 的中点.（1）求11A B 与截面1A ECF 所成角的正弦值；（2）求点B 到截面1A ECF 的距离．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且π2PAD ∠=，点F 为棱PC 上的点，平面ADF 与棱PB 交于点E .（1）求证：//EF AD ；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD 与平面ADFE 所成锐二面角的大小.条件①：2AE 条件②：平面PAD ⊥平面ABCD ；条件③：PB FD ⊥.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.22．（本小题满分12分）已知函数()2e xf x ax =-（e 是自然对数的底数，a ∈R ）.（1）设()f x 的导函数为()f x '，试讨论()'f x 的单调性；（2）当e a =时，若0x 是()f x 的极大值点，判断并证明()0f x 与3e4大小关系.扬大附中高二年级春学期数学学科阶段检测1参考答案1．D 【详解】对于A 选项，()sin cos x x '=，A 选项错误；对于B 选项，211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，B 选项错误；对于C 选项，()ln x x a a a '=，C 选项错误；对于D 选项，'=D 选项正确.故选：D.2．D 【详解】根据排列数公式可得：412023202320222021202019841983A ⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯=.故选：D.3.【答案】A 【详解】根据题意，81+x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式的通项为2888181C C rr r r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令820r -=，解可得4r =，则有458C 70T ==；即81+x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为70.故选：A.4．A.【详解】解：每名新冠疫情防控志愿者都有3种不同的选择方法，根据分步计数原理可知，不同的选择方法共有4381=（种)．故答案为：81．5．【答案】C 【详解】 平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-，∴6m n =- ，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．6．C 【详解】∵E 是BC 的中点，AB AC =，∴AE BC ⊥ ，即0AE BC ⋅= ．不妨设空间四边形的各边和对角线长均为1，又AB ，AC ，AD 两两之间的夹角均为60°，∴()()12AE CD AB AC AD AC ⋅=+⋅- ()12AB AD AB AC AC AD AC AC =⋅-⋅+⋅-⋅ 104=-<．故AE BC AE CD ⋅>⋅．故选：C 7．【答案】A8.【答案】B 【详解】解：()2e xg x x =的导函数为()()22e e 2e xxxg x x x x x '=+=+，由[)1,0x ∈-时，()0g x '<，(]0,1x ∈时，()0g x '>，可得g （x ）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g （x ）在[–1，1]上的最小值为g （0）=0，最大值为g （1）=e ，所以对于任意的2[1,1]x ∈-，()[]20,e g x ∈．因为2y x a =-+开口向下，对称轴为y 轴，所以当0x =时，max ()f x a =，当2x =时，min ()4f x a =-，则函数2()f x x a =-+在[12-，2]上的值域为[a –4，a ]，由题意，得][[0,e 4a ⊆-，]a ，可得40e a a -≤<≤，解得e 4a ≤≤．故选：B.9．ACD 【详解】3(3,)2x ∈--时，()0f x '<，此时()f x 在3(3,)2--单调递减3(,2)2x ∈-时，()0f x '>，此时()f x 在3(,2)2-单调递增(2,4)x ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(2,4)单调递减(4,5)x ∈时，()0f x '>，此时()f x 在(4,5)单调递增()f x 在2x =处左增右减，故在2x =时()f x 取得极大值()f x 在4x =处左减右增，故在2x =时()f x 取得极小值综上可知：B 正确故选：ACD 10.【答案】ABC3221213A 2A 6A x x x +++≤+，即为()()()()()31122161132212x x x x x x x x x x ⎧+-≤++++⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎩，解得24x ≤≤，又因N x +∈，所以不等式的解集为{}2,3,4.11．BCD 【详解】对于A ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有44256=种放法，故A 错误；对于B ，若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有()2242118C A ⋅+=种放法，故B 正确；对于C ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有112314323422144C C C A C A ⋅⋅⋅⋅=种放法，故C 正确；对于D ，若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若()2,1,4,3代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：()2,1,4,3，()4,1,2,3，()3,1,4,2，()2,4,1,3，()3,4,1,2，()4,3,1,2，()2,3,4,1，()3,4,2,1，()4,3,2,1，共9种放法，故D 正确.故选：BCD.12．【答案】BD 【详解】因为半圆面APD ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，由面面垂直的性质可知，AB ⊥平面APD ，,,AB AP AB PD AP PD ⊥⊥⊥.对于A ，()0BP PD AP AB PD AP PD AB PD ⋅=-⋅=⋅-⋅=，故A 错误；对于B ，设点P 到平面BCD 的距离为h ，则111222213323332P BCD BCD V S h h h -=⋅=⨯⨯⨯=≤⨯=△，当点P 为 AD 中点时，取等号，故B 正确；对于C ，22()||(0,4)DB DP DP PA AB DP DP PA DP AB DP DP ⋅=++⋅=+⋅+⋅=∈()24AB PB AB AB AP AB AB AP ⋅=⋅-=-⋅= ，即不存在点P ，使得AB PB DB DP ⋅=⋅，故C 正确；对于D ，因为2||||cos ||DB DP DB DP PDB DP ⋅=⋅∠=，所以cos ||4PDB DP ∠=，所以1||||sin 2BDP S BD DP PDB =⋅∠= △因为22cos ()DP DA DP DA ADP DP PA PD PA DP DP DP ⋅=⋅∠=⋅-=⋅+= ，所以cos 2DP ADP ∠=，设点P到平面ABD 的距离为1h ，点A 到平面BPD 的距离为2h，则1||sinh DP PDA DP =⋅∠== A BPD P ABD V V --=，所以22133h =，设(0,2)DP t =∈ ，则2h =28(4,8)t -∈，所以2h ∈，故D 正确；故选：BCD13．【答案】(314)--，，14.【答案】5【详解】由导数的几何意义可得()12f '=，将点M 的坐标代入切线方程可得()12113f =⨯+=，因此，()()115f f '+=.故答案为：5.15.【答案】5【详解】(1)n x +展开式第1r +项1C rrr n T x +=，∵23a a =，∴23C C n n =，∴235n =+=.16.【答案】144；62若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有4343A A 144⋅=个；从1，2，3，4，5，6中选出1个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有16C 个；从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有26C 个；从1，2，3，4，5，6中选出3个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有36C 个；从1，2，3，4，5，6中选出4个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有46C 个；从1，2，3，4，5，6中选出5个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有56C 个；故满足条件的总个数为：1234566666C C C C C 62++++=个．17．【答案】(1)()12BM c b a =+- ，(2)172(1)由题意得()()1111111111111222BM BB B M AA B D AA A D A B c b a =+=+=+-=+-（2）所以1122BM c b a =+-=172==18．【答案】（1）16；（2）15n =.【详解】（1）原式()3233333101100100101101101101333311 6=+÷=÷=÷==C C A C A A A A A .（2）由33343334124412C C C C C C +++=+++ ，而11!!(1)!C C C ()!!(1)!(1)!(1)!!n n n m m m m m m m n n m n n m n n -+++=+==--+--+，所以43343444125121313!C C C C C C 7159!4!+++=++=== 19．【答案】（1）∵()325f x x ax bx =-++，∴()232f x x ax b '=-+，∵在2x =-和23x =处取得极值，∴()20203f f '⎧-=⎪⎨⎛⎫'= ⎪⎪⎝⎭⎩，即212402232033a a b a b ++=⎧⎪⎨⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎪⎝⎭⎩,解得2a =-，4b =-，经检验适合题意，∴()32245f x x x x =+-+（2）∵()2344f x x x '=+-，∴由()0f x ¢=，解得2x =-或23x =，当x 在[]4,1-上变化时，()f x ¢和()f x 的变化如下：x4-()4,2--2-22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭232,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1()f x ¢+-+()f x 11-递增极大值()213f -=递减极小值295327f ⎛⎫=⎪⎝⎭递增4∴所以当4x =-时，函数()f x 取得最小值()411f -=-，当2x =-时，函数取得极大值同时也是最大值()213f -=，故函数()f x 在[]4,1-上的最大值为13和最小值为11-.20．【答案】以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(F a ，2a ，0)，(B a ，a ，0)，(0C ，a ，0)，1(A a ，0，)a ，(0E ，2a，)a ，1(B a ，a ，)a ，则1(A E a - ＝，2a ，0)，1(0A F ＝，2a，)a -，11(0A B = ，a ，0)，设平面1A ECF 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，则1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020x y y z -=⎧⎨-=⎩，取1x =，则(1n = ，2，1)，设11A B 与截面1A ECF 所成角为θ，则11111126sin ,36n A B a cos n A B a n A B θ⋅⨯＝＜＞＝＝＝，∴11A B 与截面1A ECF 所成角正弦值为63．(2)由(1)知(0FB ＝，2a，0)，平面1A ECF 的一个法向量为(1n = ，2，1)，∴点B 到截面1A ECF 的距离||||66||141n FB a d a n ⋅===++21．【答案】(1)证明见解析(2)π3【详解】（1）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ,所以//AD 平面PBC ，又因为平面ADF 与PB 交于点E .AD ⊂平面ADFE ，平面PBC ⋂平面,ADFE EF =所以//EF AD .（2）选条件①②侧面PAD 为等腰直角三角形，且π,2PAD ∠=即2PA AD ==，PA AD ⊥平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD ,则PA ⊥平面ABCD ，又ABCD 为正方形，所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0)A P CB D 因为2AE =E 为PB 的中点，则(1,0,1)E 从而：(2,2,2),(0,2,0),(1,0,1)PC AD AE =-==，设平面ADFE 的法向量为：(,,)n x y z = ，则020n AE x z n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，可得(1,0,1)n =- 设平面PCD 的法向量为：(,,)n a b c = ，则2202220n PD b c n PC a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令1b =，可得(0,1,1)n = 所以1cos ,2PB n PB n PB n ⋅== 则两平面所成的锐二面角为π3选条件①③侧面PAD 为等腰直角三角形，且,2PAD π∠=即2,PA AD PA AD==⊥,AD AB PA AB A ⊥⋂=，且两直线在平面内，可得AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，则AD PB ⊥.又因为,,PB FD AD FD D ⊥⋂=且两直线在平面内，则PB ⊥平面ADFE ,AE ⊂平面,ADFE 则PB AE ⊥因为PA AB =，所以PAB 为等腰三角形，所以点E 为PB 的中点又因为2AE =PAB 为等腰直角三角形，下面同①②选条件②③侧面PAD 为等腰直角三角形，且2PAD π∠=，即2,PA AD PA AD ==⊥平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD ,则PA ⊥平面,ABCD ABCD 为正方形，所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.又因为,,PB FD AD FD D ⊥⋂=且两直线在平面内，则PB ⊥平面ADFE ，AE ⊂平面,ADFE 则PB AE ⊥因为PA AB =，所以PAB 为等腰三角形，所以点E 为PB 的中点.下面同①②22．(1)答案见解析(2)()034ef x <，证明见解析（1）∵()2e xf x ax =-，∴()e 2x f x ax '=-令()()e 2x f x axg x '=-=，则()e 2x g x a '=-.①若0a ≤，则()e 20xg x a '=->，所以单调递增；②若0a >，则当(,ln 2)x a ∈-∞时，()0g x '<，所以()g x 所以单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 单调递增；综上，当0a ≤时，()f x '在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时()f x '在(,ln 2)a -∞单调递减，在(ln 2,)a +∞单调递增.（2）由（1）知，当e a =时，()'f x 在,l )e (n 2-∞上单调递减，在ln 2e (,)+∞上单调递增；∵()()ln 2e 2e 1ln 2e 0f '=-<，且124(0)10,()e e 0,(4)e 8e 012f f f ''=>=-<'=->故()'f x 存在两个零点01,x x 且()0110,,(ln 2e,42x x ∈∈.()'f x 的符号及()f x 的单调性如下表所示：x ()0,x -∞0x ()01,x x 1x ()1,x +∞()f x '+0-0+()f x ↗极大↘极小↗由于0x 是()f x '的一个零点，故()000'e 2e 0x f x x =-=，所以00e 2e xx =于是，()()022*******e e 2e e e 2x f x x x x x x =-=-=-+∵010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2003024x x <-+<所以()()20003e e 24f x x x =-+<.。
江苏省扬州中学2013-2014学年高二下学期4月阶段测试 数学(理) Word版含答案
2014.04本试卷考试时间为120分钟，总分为160分一、填空题（本大题共14小题，每题5分，总分70分）1. 命题“,x∀∈R sin1x≤”的否定是“”．2. 设复数22i(1i)z+=+（i为虚数单位），则z的虚部是．3. 观察下列不等式：1＞，1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2，1+++…+＞，…，由此猜测第n个不等式为（n∈N*）．4. 函数的定义域是．5. 幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=．6.将3名男生和4名女生排成一行，甲、乙两人必须站在两头，则不同的排列方法共有种。
（用数字作答）7. 用数学归纳法证明2231*11+(1,)1nnaa a a a a n Na++-++++=≠∈-，在验证n=1成立时，等式左边是8. 某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有种选法（用数字作答）．9. 若函数为区间[﹣1，1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值是．10.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为)0,(),0,(),,0(cCbBaA，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设pcba,,,均为非零实数，直线CPBP,分别交ABAC,于点FE,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-yapxcb，请你求OF的方程：( )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+yapx11. 如果不等式21x x a<-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a的取值范围是江苏省扬州中学2013—2014学年度第二学期阶段测试试卷高二数学（理科）12.已知集合{(,)|{(,)|}.A x y y B x y y x m A B φ====+=若，则实数m 的取值范围为13. 定义函数(),(),(),()K f x f x K f x K f x K >⎧=⎨⎩≤（K 为给定常数），已知函数225()3ln 2f x x x x =-，若对于任意的(0,)x ∈+∞，恒有()K f x K =，则实数K 的取值范围为 ．14. 不等式a 2+8b 2≥λb （a +b ）对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为 ．二、解答题（总分90分）15. （14分）已知命题:(1)(5)0p x x +-≤，命题:11(0)q m x m m -≤<+>。
2020-2021学年江苏省扬州中学高二下学期期中考试 数学 试卷(含答案)
江苏省扬州中学2020—2021学年高二第二学期期中考试数学试卷2021．04一、单选题(共8题，每题5分)1. 甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示()A．甲赢三局B．甲赢一局C．甲、乙平局三次D．甲赢一局或甲、乙平局三次2．把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（）A．12种B．18种C．24种D．36种3．水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以sm/3的速度向外扩大，则从水滴接触水面后2s末时圆面积的变化速率为（）A．24π2/m s B．36π2/m s C．72π2/m s D．144π2/m s 4.某种心脏手术成功率为7.0，现釆用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是7.0，故我们用0、1、2表示手术不成功，3、4、5、6、7、8、9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812、832、569、683、271、989、730、537、925、907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.55．已知复数13izi-=则(1)i z-=（）A ．42i -+B ．42i --C ．42i +D ．42i -6．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成大小为60︒的二面角A BD C --，点P 为线段AC 上的一动点，下列结论正确的是（ ）．A ．异面直线AC 与BD 所成的角为60︒B ．ACD △是等边三角形C ．BDP ∆面积的最小值为3 D ．四面体ABCD 的外接球的体积为34π7．定义方程()()'f x f x =的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数1)(,2ln )(,12)(3-=+=+=x x x x h xe x g x ϕ的“新驻点”分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>8.已知e 为自然对数的底数，设函数xb ax x x f ln 21)(2+-=存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值0)(0<x f ,则下列结论中正确的是（ ）A ．存在0x =使得ex f 21)(0-<B ．存在0x =20)(e x f ->C ．b 的最大值为3eD ．b 的最大值为22e二、多选题（共5题，每题至少两个正确答案，每题5分） 9．下列命题中错误的有（ ） A ．若复数z 满足20z <，则z 是虚数； B ．若复数z R ∈，则其虚部不存在；C ．“2=z ”是“11=-⋅z z ”的充分不必要条件；D ．若复数1z ､2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =.10.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）A ．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：mn mn nC C -=B ．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：11r r r n n n C C C -+=+C ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：0122nn n n n n C C C C ++++=D ．由“11111=，211121=，3111331=”猜想51115101051=11．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论中正确的是（ ） A ．D 1D ⊥AFB ．二面角F –AE –C 的正切值为25C ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为10 D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 12．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于()0)(,,0<∈∀x f x π恒成立C ．若π<<<210x x ，则2121sin sin x x x x >D ．若sin x a b x<<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1三、填空题（共4题，每题5分） 13. 若复数z 满足21=-z ，则iz +的最大值为________.14.二项式2nx ⎫-⎪⎪⎝⎭的展开式中，仅有第九项的二项式系数取得最大值,项的系数是________.15.已知三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的表面上，ABC PA 平面⊥,,4,2,32,6====BC AC AB PA 则（1）球O 的表面积为________；（2）若D 是BC的中点，过点D 作球O 的截面，则截面的面积的最小值是________.（第一空2分，第二 空3分）16.设实数0m >，若对任意的(0,)x ∈+∞，不等式ln 0mxxe m-≥成立，则实数m 的取值范围是________.四、解答题（共6题，第17题10分，其余每题各12分） 17．已知z 是复数，i z 2-和1zi-都是实数.（1）求复数z ；（2）设关于x 的方程2(1)(31)0x x z m i ++--=有实根，求纯虚数m .18．从C B A ,,等6人中选出4人排成一排. （1）若A 必须被选中，有多少种排法？（2）若C B A ,,三人不全被选中，有多少种排法？19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD ∆为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =. （1）求证：PA ⊥平面PCD ；（2）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值； （3）求四棱锥P ABCD -的体积.20.已知函数()R a x ax x x f ∈-+-=231)(23 B（1）当23=a 时，求()x f 的单调区间； （2）若过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-310，可作函数()x f y =图像的三条不同切线，求实数a 的取值范围.21．设整数4n >，记f (x ，y )=()1nx +. （1）若令n n x a x a x a a x f ++++= 2210)1,(.求：⊥0a ；⊥()na n a a a 132210+++++ .（2）若f (x ，y )的展开式中4n x -与xy 两项的系数相等，求n 的值.22．已知函数()sin xf x ae x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数. （1）当1a =时，对[)+∞∈∀,0x ，⊥证明：1)(≥x f ；⊥若bx x x f ≥-+2cos 2)('恒成立，求实数b 的范围；（2）若函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围.江苏省扬州中学2020—2021学年高二第二学期期中考试数学试卷答案一、单选题1. D 2．D 3．B 4.C 5．A 6．C 7．B 8.C 二、多选题：9.BD 10.ABC 11．BCD 12．BD 三、填空题13. 22+ 14.4273- 15.ππ452； 16.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e 四、解答题：17．（1）i 22-；（2）i 127- 18．（1）240；（2）28819. （1）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，依题意，得DN PC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC 平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥， 又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD .（2）解：连接AN ，由（II ）中DN ⊥平面PAC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角. 因为PCD ∆为等边三角形，2CD =且N 为PC 的中点， 所以3DN =，又DN AN ⊥，在Rt AND ∆中，3sin DN DAN AD ∠==，所以，直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为3. （3）2220.（1）单调区间：()()()+∞∞-,2,2,1,1, （2）1>a21．（1）① 01a =； ②()122-⋅+n n .（2）因为()()2121nnrrn rnr x y C x y -=+-=-∑，其中4n x -项仅出现在4r =时的展开式()44421n nC xy --中，4n x -项系数为()441nC -；而xy 项仅出现在1=-r n 时的展开式()1121n n nCx y ---中，xy 项系数为()3122121n n n n C C ----，因此有()()4341221121n n n n n C C C ----=-，注意到4n >，化简得()33148n n --=-⋅，故只能是n 为奇数且348n -=.解得51n =.22．（1）①当1a =时，()sin x f x e x =-，于是，()cos xf x e x '=-.又因为，当()0,x ∈+∞时，1x e >且cos 1x ≤. 故当()0,x ∈+∞时，cos 0x e x ->，即()0f x '>.所以，函数()sin xf x e x =-为()0,+∞上的增函数，于是，()()01f x f ≥=.因此，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥； ②（2）方法一：由题意()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，则()cos xf x ae x '=-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，①当()0,1a ∈时，()cos xf x ae x '=-为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，注意到()010f a -'=<，202f a e ππ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭，所以，存在唯一实数00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立.于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数； 所以00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点； ②当1a ≥时，()cos cos 0x xf x ae x e x ≥-'=->在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立， 所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值； ③当0a ≤时，()cos 0xf x ae x =-<'在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立， 所以()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有极值， 综上所述，使()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值的a 的取值范围是()0,1. 方法二：由题意，函数()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，则()cos xf x ae x '=-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在零点.即cos x x a e =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点. 设()cos xx g x e =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则由单调性的性质可得()g x 为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数. 即()g x 的值域为()0,1，所以，当实数()0,1a ∈时，()cos xf x ae x '=-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点.下面证明，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值. 事实上，当()0,1a ∈时，()cos xf x ae x '=-为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数， 注意到()010f a -'=<，202f a e ππ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭，所以，存在唯一实数00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 使得()00f x '=成立.于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数； 即00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点. 综上所述，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值.。
江苏省扬州市仪征中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
先求出 ，利用导数研究函数的单调区间和极值，可判断A、B、C，分别计算 和 ，再由对称性的知识对选项D作出判断即可.
【详解】
，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以当 时， 取得极大值，极大值为 ；
，
，
，
所以 .
综上，ACD正确.
故选：ACD.
11．AC
【分析】
利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数 ，可判断C选项的正误；计算出 ，可判断D选项的正误.
因为 ，所以 ，
因为
所以 ，可化为 ，即 ，
因为所以 在区间 上递增，
所以 ，
所以关于x的不等式 的解集为 ，
故选：C
9．AB
【分析】
利用二项展开式的通项公式，逐项分析：
对于A：直接求常数项，即可判断；
对于B：利用二项式系数的性质直接判断；
对于C：求出第4项的系数为负数，即可判断；
对于D：用赋值法，令 ，直接计算.
求证：平面 平面 ；
求二面角 平面角的余弦值.
20．由 ， ， ， ， 组成的五位数中，分别求解下列问题.（应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示）
（1）没有重复数字且为奇数的五位数的个数；
（2）没有重复数字且 和 不相邻的五位数的个数；
（3）恰有两个数字重复的五位数的个数.
21．如图所示， 是半径为1的半圆的一条直径，现要从中截取一个内接等腰梯形 ，设梯形 的面积为 .
A． B． C． D．
6．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，则至少存在一个点 ，使得 ， 称为函数 在闭区间 上的中值点，根据上述结论，函数 在区间 上的“中值点”的个数为（）
江苏省扬州市仪征中学、江都中学2020-2021学年高二上学期期中联考数学试卷及解析
江苏省扬州市仪征中学、江都中学2020-2021学年高二上学期期中联考数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题，则下列选项必定正确的是（ ） A.0a >B.0a ≤C.0b =D.0b >2.在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a=（ ） A.0B.53C.73D.33.已知命题:p n N ∀∈，2n >p ⌝是A.n ∀∈N，2n ≤ B.n ∀∈N，2n <C.n N ∃∈，2n ≤D.n N ∃∈，2n >4.若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ） A.()3,0- B.[)3,0-C.[]3,0-D.(]3,0-5.设命题1:0,2x p x -≥+命题:(1)(2)0,q x x -+≥则命题p 是命题q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.一百个高矮互不相同的士兵，排成一个十行十列的方阵.现在从每行中选出一个最高的，再从这些最高的中选出一个最矮的，其高度记为h (高中矮)；然后从每列中选出一个最矮的，再从这个最矮的中间选出一个最高的，其高度记为h (矮中高)，则（ ） A.h (高中矮)>h (矮中高) B.h (高中矮)≥h (矮中高) C.h (高中矮)<h (矮中高)D.h (高中矮)≤h (矮中高)7.已知A ､B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右顶点，(0,)C b ，直线:2l x a =与x 轴交于点D ，与直线AC 交于点P ，且BP 平分APD ∠，则此椭圆的离心率为（ ）A.13B.3C.23第II 卷（非选择题）二、填空题___________.9.设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为____________.10.在等差数列{a n }中，满足a n ＞0，且a 4=5，则1a 2+16a6的最小值为____________．11.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为a ，当[1,2020]a ∈时，符合条件的a 共有_________个. 三、解答题12.已知2:{|430}p A x x x =-+≤，()(){}2:|10q B x x a x a =---≤（1）若1a =-，求集合B ；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 13.在①2n S n n =+，②353516,42a a S S +=+=，③171,56n n a n S a n++==这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，_________，12112,2a ab a b ==. 求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.14.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点(,)P ab 满足212PF F F =.（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2PF 与椭圆相交于A B 、两点，若椭圆的长轴长为1ABF 的面积.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1n n S a n +=-，*n ∈N . （1）求证：数列{}1n a +是等比数列； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知1n n n b a =+，若不等式922n nT m a ≥-+对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值.16.已知O 为坐标原点，椭圆()22:10x y C a b a b +=>>2214x y -=的渐近线与椭圆C的交点到原点的距离均为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点,,D M N 为椭圆C 上的动点，,,M O N 三点共线，直线,DM DN 的斜率分别为12,k k .（i ）证明：1214k k =-； （ii ）若120k k +=，设直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，证明：22m n +为定值.17.某商家销售某种商品，已知该商品进货单价由两部分构成：一部分为每件产品的进货固定价为3百元，另一部分为进货浮动价，据市场调查，该产品的销售单价与日销售量的关系如表所示：x 的关系()f x 、进货浮动价d 与日销售量y 的关系()d y ；（注：可选的函数模型有一次函数、二次函数、反比例函数指数函数、对数函数、幂函数） （2）运用（1）中的函数模型判断，该产品销售单价确定为多少元时，单件产品的利润最大？（注：单件产品的利润=单件售价-（进货浮动价+进货固定价））四、新添加的题型18.已知曲线2:1C mx ny +=.（ ） A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m =n >0，则CC.若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D.若m =0，n >0，则C 是两条直线 19.下列不等式成立的是（ ） A.若a ＜b ＜0，则a 2＞b 2 B.若ab ＝4，则a ＋b ≥4 C.若a ＞b ，则ac 2＞bc 2D.若a ＞b ＞0，m ＞0，则b b m a a m+<+ 20.设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A.0d < B.70a =C.95S S >D.67n S S S 与均为的最大值21.数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线22:1C x y xy +=+就是其中之一，给出下列四个结论，其中正确的选项是（ ） A.曲线C 关于坐标原点对称B.曲线C 上任意一点到原点的距离的最小值为1C.曲线CD.曲线C 所围成的区域的面积大于4参考答案1.A【解析】1.根据题中条件，结合不等式的性质，逐项判断，即可得出结果.因为a b >，0a b +=，所以=-b a ，即a b >-，则0a >，故A 正确；B 选项，若0a ≤，因为0a b +=，则0b a =-≥，因此b a ≥与a b >矛盾，故B 错；C 选项，若0b =，由0a b +=得0ab 与a b >矛盾，故C 错；D 选项，若0b >，由0a b +=得0a b =-<，则b a >与a b >矛盾，故D 错. 故选：A. 2.B【解析】2.由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ．11a =，21123a a ∴=+=，321523a a -=+= 故选：B 3.C【解析】3.p ⌝为：n N ∃∈，2n ≤.选C .4.D【解析】4.分0k =，0k ≠两种情况，当0k =，308-<对x ∈R 恒成立，当0k ≠时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立. 当0k =时，原不等式可化为308-<，对x ∈R 恒成立； 当0k ≠时，原不等式恒成立，需220342()08k k k <⎧⎪⎨∆=-⨯⨯-<⎪⎩， 解得,0()3k ∈-， 综上(3,0]k ∈-.故选：D 5.A【解析】5.解不等式分别化简命题p 和命题q ，利用充分不必要条件的定义进行判断可得选项．102x x -≥+等价于()()12020x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得1≥x 或2x <-(1)(2)0x x -+≥解得1≥x 或2x -≤1x ≥或2x <-可以推出1≥x 或2x -≤，而1≥x 或2x -≤不能推出1≥x 或2x <-∴命题p 是命题q 的充分不必要条件故选：A 6.B【解析】6.按照高中矮者与矮中高者是否同列分两类讨论，如果不同列，再按照是否同行分两类讨论，根据高中矮者与矮中高者的定义分析可得结果.当高中矮者与矮中高者在同一列时，高中矮者与矮中高者是同一个人，所以h (高中矮)=h (矮中高)；当高中矮者与矮中高者不在同一列且在同一行且时，h (高中矮)>h (矮中高)；当高中矮者与矮中高者不在同一列且不在同一行时，高中矮者身高大于与高中矮者同行且与矮中高者同列的那个人的身高，而矮中高者身高又小于与高中矮者同行且与矮中高者同列的那个人的身高，所以h (高中矮)>h (矮中高)； 综上所述：h (高中矮)≥h (矮中高) 故选：B 7.D【解析】7.利用三角形的相似求出P 点纵坐标，结合二倍角的正切公式建立等量关系，从而可求离心率.如图，由三角形性质可得：OC OA DP AD =,33OC AD b aDP b OA a⋅⋅===； 3tan ,tan 33a a aBPD APD b b b∠=∠==，因为BP 平分APD ∠，所以222263tan tan 2913aab b APD BPD b a a b ∠=∠==-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 解得2223a c =，即离心率e . 故选：D.8.28x y【解析】8.由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在y 轴负半轴上的抛物线，并求得p 值，则答案可求．解：由抛物线的准线方程为2y =，可知抛物线是焦点在y 轴负半轴上的抛物线， 设其方程为22(0)x py p =->， 则其准线方程为22py ==，得4p =． ∴该抛物线的标准方程是28x y ．故答案为：28x y ．9.2【解析】9.根据渐近线得到b =c =.2221(0)4x y b b -=>，一条渐近线方程为：y x =，故b =c =6ce a.10.52【解析】10.由等差数列的性质得：a 2+a 6=10，再根据基本不等式求最值.解：因为等差数列{a n }中，满足a n ＞0，且a 4=5，所以a 2+a 6=2a 4=10且a 2＞0，a 6＞0，则1a2+16a 6=110（a 2+a 6）(1a 2+16a 6)=110(17+a 6a 2+16a 2a 6)≥110(17+2√a 6a 2⋅16a 2a 6)=52， 故答案为：52． 11.135【解析】11.由题设3253a m n =+=+，m ，*n N ∈，得351m n =+，对m 讨论求解即可． 由题设3253a m n =+=+，m ，*n N ∈，则351m n =+ 当5m k =，n 不存在； 当51m k =+，n 不存在当52m k =+，31n k =+，满足题意 当53m k =+，n 不存在； 当54m k =+，n 不存在； 故11582020a k =+，解720121515k -， 则0k =，1，2134⋯，共135个 故答案为：13512.（1）{}12x x -≤≤；（2）a ≤【解析】12.（1）若1a =-，解一元二次不等式可得集合B ；（2）化简集合A 和B ，p 是q 的充分不必要条件，可得A B ，列不等式可求出实数a 的取值范围．（1）当1a =-时，{}{}(1)(2)012B x x x x x =+-≤=-≤≤ （2）{}{}(1)(3)013A x x x x x =--≤=≤≤22131()024a a a +-=-+>∴{}21B x a x a =≤≤+p 是q 的充分不必要条件，∴A B2113a a ≤⎧∴⎨+≥⎩等号不能同时成立解之得a ≤13.不论选哪个条件，始终有11211n n T n +=--+【解析】13.由()1*1,1,2n nn S n a S S n n N -=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩、等差数列的定义列方程组、递推公式11n n a a n n +=+可分别求得①②③中数列{}n a 的通项公式及前n 项和；根据题意可求得()*2nn b n N =∈，利用等比数列的前n 项和公式及裂项相消法即可求得数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 选①当1n =时，112a S ==， 当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=， 又1n =满足2n a n =，所以()()2*222,2n n n n a n S n n n N +===+∈；选②设公差为d ，由353516,42a a S S +=+=，得112616,81342,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12,2,a d =⎧⎨=⎩所以()()2*222,2n n n n a n S n n n N +===+∈；选③由11n n a n a n ++=，得11n n a a n n+=+，所以11n a a n =，即1n a a n =，74172856S a a ===，所以12a =，所以()()2*222,2n n n n a n S n n n N +===+∈. ①②③均可求得()()2*222,2n n n n a n S n n n N +===+∈，设{}n b 的公比为q ，又因为122,4a a ==，由121122,42a ab a b ====， 得12,2b q ==，所以()*2n n b n N =∈，所以数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，因为()21111111n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋅⋅⋅+-=-++， 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++.14.（1）12；（2）5.【解析】14.（1）根据条件，代入坐标列出等式，两边同除2a 得到离心率e 的一元二次方程，从而解出离心率的取值.（2）由长轴长和离心率可求出,,a b c 的值，从而求出椭圆方程和直线方程，三角形的面积1121212ABF SF F y y =⋅-，联立直线方程和椭圆方程，根据韦达定理可计算出12y y -，进而求出面积. 解：（1）212PF F F =22210c e e =∴+-=又()10,12e e ∈∴=（2）12422222a a e c =∴==∴=又2226b a c =-=所以椭圆的方程为22186x y +AB y ∴=：设()()1122,,,A x y B x y联立223424y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得：2580y ++=1212185y y y y ∴+==-1121212ABF SF F y y ∴=⋅-==15.（1）证明见解析；（2）6116.【解析】15.（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥可得数列{}n a 的递推关系，121n n a a +=+，然后可证明{1}n a +是等比数列；（2）由（1）求出1n a +，即得n b ，利用错位相减法求得n T ，不等式922n nT m a ≥-+对于*n ∈N 恒成立，转化为2542nn m --≥恒成立，求出2542n n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的最小值即可得结论． （1）由1231n n a a a a n a ++++++=，得12311n n a a a a n a -+++++-=（2n ≥），两式相减得121n n a a +=+，所以()1121n n a a ++=+（2n ≥）， 因为10a =，所以111a +=，2111a a =+=，()21121a a +=+. 所以{}1n a +是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由1n n n b a =+，又由（1）可知121n n a -=-，得12n n n b -=， ∴21231222n n n T -=++++，则23112322222n n nT =++++， 两式相减得2311111121122222222n n n nn n T -+⎛⎫-=+++++-=- ⎪⎝⎭， 所以1242n n n T -+=-. 由92n n T m ≥-恒成立，即2542nn m --≥恒成立，又1123252744222n n n n n n ++---⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故当3n ≤时，2542n n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递减；当3n =时，323531428⨯--=； 当4n ≥时，2542n n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递增；当4n =时，4245614216⨯--=； 则2542nn --的最小值为6116，所以实数m 的最大值是6116. 16.（1）2214x y +=（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析；【解析】16.（1）设渐近线与椭圆C 交点为()2,P t t ，根据P 到原点的距离和P 在椭圆上可得到关于,a b 的方程，结合离心率即可求得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）由,M N 关于原点对称可假设,,D M N 坐标；（i ）利用,D M 在椭圆上，满足椭圆方程，代入2212122212y y k k x x -=-中化简整理可得结论；（ii ）求得12,k k 后，将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用()12120x x x x +-=可得到所求定值.（1）设椭圆的半焦距为c，由题意知：c e a ====，2a b ∴=…①，双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =±， ∴可设双曲线的渐近线与椭圆C 在第一象限的交点为()2,P t t ，2=，解得：212t =.()2,P t t 在椭圆上，222241t t a b∴+=，即：222112a b +=…②，由①②解得：2a =，1b =，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=.（2）由题意知：,M N 关于原点对称，则可设()11,D x y ，()22,M x y ，()22,N x y --.（i ）点,D M 在椭圆C 上，221114x y ∴+=，222214x y +=， 221114x y ∴=-，222214x y =-，22122212121212222212121212114414x x y y y y y y k k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭∴=⋅===--+--. （ii ）不妨设10k >，20k <，1214k k =-，120k k +=，112k ∴=，212k =-，直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，∴直线1:2DM y x m =+，1:2DN y x n =-+， 由221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：22 2220x mx m ++-=，21222x x m ∴=-， 由221214y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：222220x nx n -+-=，21222x x n ∴-=-， ()2212122240x x x x m n ∴+-=+-=，即222m n +=， 22m n ∴+为定值2.17.（1）答案见解析；（2）售价定为1200元时，单件产品的利润最大.【解析】17.（1）根据题意，得到销售单价与销售量为一次函数的关系，故可设()f x kx b =+，由题中数据列出方程求出系数，即可得出()10150f x x =-+；再由题意，得到日销售量和进货浮动价构成一个反比例函数，设()md y y=，根据题中条件求出m ，即可得出结果； （2）由（1）根据题意，先得015x <<，设单件产品的利润为P 百元，得出函数关系，再由基本不等式求解，即可得出结果.（1）根据表中数据，销售单价每增加1百元，日销量减少10件，所以销售单价与销售量为一次函数的关系，故可设()f x kx b =+，由41105100k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10k =-，150b =，即()10150f x x =-+，又根据表中数据，日销售量和进货浮动价的积为一个固定常数90，考虑其为一个反比例函数关系，设()md y y=，由题意可得90m =， 于是()90d y y=， （2）由1501000x x ->⎧⎨>⎩，可得015x <<，设单件产品的利润为P 百元，则()()()9090933331501015P x d y x x x f x x x=-+=--=--=----， 因为015x <<， 所以150x ->， 所以9151215P x x ⎛⎫=--++ ⎪-⎝⎭， 又915615x x -+≥=-，当且仅当91515x x-=-，即12x =时等号成立， 所以max 6126P =-+=，故单件产品售价定为1200元时，单件产品的利润最大，为600元. 18.ACD【解析】18.结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD. 19.AD【解析】19.由不等式的性质对各个选项进行推理、验证可得正确答案.解：对于A ，若0a b <<，根据不等式的性质则22a b >，故A 正确； 对于B ，当2a =-，2b =-时，44a b +=-<，显然B 错误； 对于C ，当0c时，22ac bc =，故C 错误；对于D ，()()()()()b a m a b m b a mb b m a a m a a m a a m +-+-+-==+++，因为0a b >>，0m >，所以0b a -<，0a m +>，所以()()-<+b a m a a m所以0+-<+b b m a a m ，即b b m a a m+<+成立，故D 正确． 故选AD ． 20.ABD【解析】20.由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项. 因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确. 故选：ABD 21.ABCD【解析】21.选项A ，用(),x y --代替(),x y 验证；选项BC ，根据题中条件，得出22xy +的范围，即可判断BC 正确；选项D ，根据题意，可分析()0,1x ∈，0y >时的情况，确定第一象限部分图象应在1y =，1x =与坐标轴围成的正方形外部，对应的面积一定大于1，根据对称性，即可判定D 正确.将(),x y --代入()()()()221x y x y -+-=+--，整理得221x y xy +=+，所以关于原点对称，故A 正确；因为2211x y xy +=+≥，当点为()1,0±时取等号，即曲线C 上任意一点到原点的距离的最小值为1，故B 正确；因为2222112x y x y xy ++=+≤+，当且仅当x y =时，等号成立，所以222x y +≤，则曲线C =；故C 正确；令()0,1x ∈，0y >可得2210y xy x -+-=，令()221f y y xy x =-+-，因为2430x -∆=>， 所以函数有两个零点，又因为()00f <，()210f x x =-<，所以两个零点一个小于0，一个大于1， 即曲线C 上当()0,1x ∈时1y >，同理当()0,1y ∈时1x >，即第一象限部分图象应在1y =，1x =与坐标轴围成的正方形外部， 所以第一象限内的面积应大于1；由图象的对称性可得，曲线C 所围成的区域的面积应大于4，故D 正确. 故选：ABCD.。
2020-2021学年江苏省扬州中学高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.命题“，”的否定是( )A. ，B. ，C. ，D.，2.抛物线的准线方程为( )A.B. C.D.3.已知等比数列满足，，则( )A. 64B. 81C. 128D. 2434.在长方体中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为( )A. B.C.D.5.设为等差数列的前n 项和，若，则( )A. 56 B. 66C. 77D. 786.在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，D 为的中点，则与DA 所成角的大小为( )A.B.C.D.7.过抛物线的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，线段AB 的中点M 在直线上，O 为坐标原点，则的面积为( )A. B.C.D. 98.已知是R 上的奇函数，，，则数列的通项公式为( )A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.已知命题p：，，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的( )A. B. C. D.10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线，则( )A. 实轴长为2B. 渐近线方程为C. 离心率为2D. 一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为311.设d，分别为等差数列的公差与前n项和，若，则下列论断中正确的有( )A. 当时，取最大值B. 当时，C. 当时，D. 当时，12.正方体中，E是棱的中点，F在侧面上运动，且满足平面以下命题正确的有( )A. 侧面上存在点F，使得B. 直线与直线BC所成角可能为C.平面与平面所成锐二面角的正切值为D. 设正方体棱长为1，则过点E、F、A的平面截正方体所得的截面面积最大为三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知命题“，”是假命题，则实数m的取值范围是__________.14.四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的平面角为________________ .15.无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”．若为“和谐递进数列”，且，，，则__________；__________.16.已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为______.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
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考点：1.奇函数的性质；2.恒成立问题的处理方法.
13． ；
【解析】
，令 得 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以当 时 取得极大值 ，当 时 取得极小值 ，
令 ，得 ，要使 在区间 上有最大值，只需 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 ，故答案为 .
2020-2021学年江苏省扬州中学高二下学期期中考试数学（理）试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．设全集 ，集合 ， ，则 _________．
2．已知复数 (i为虚数单位)，则z的虚部为_________．
7．已知 ，则 的最大值为___________________
8．若f(x)= 在 上为增函数，则a的取值范围是_
9．用0到9这十个数字组成没有重复数字且能被5整除的三位数的个数为___________
10．若函数定义在上的奇函数，且在 上是增函数，又 ，则不等式 的解集为_____________
10． 或- ；
【解析】
∵函数 定义在 上的奇函数，且在 上是增函数，又 ，
∴ 在 上是增函数，且 ，
∴当 或 时， ，当 或 时， ，（如图）
则不等式 等价为 或 ，
即 或 ，则 或 ，
解得 或- ，故不等式的解集为 或- ，
故答案为 或- .
11．
【分析】
令 ，则 ，当 ，令 ， ，结合图象得出方程无解，当 时，讨论 ， ，结合分段函数的解析式，解不等式即可得出 取值范围.
【详解】
令 ，则
当 时，
令 ， 其图象如下图所示
时， 无解
当 时， 成立，由 ，得
当 时，有 ，解得
当 时，有 ，解得
综上， 取值范围是
故答案为
【点睛】
本题主要考查了分段函数的应用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题.
12．
【解析】
试题分析：∵ 是定义在 上的奇函数，∴当 时， ，
而 ，当些仅当 时，“=”成立，∴当 时，要使 恒成立，只需 或 ，又∵ 时， ，∴ ，
(1) 写出该药品一年的利润 (万元)与每包售价 的函数关系式，并指出其定义域；
(2) 当每包药品售价 为多少元时，年利润 最大，最大值为多少？
20．已知函数 .
（1）求函数 的图象在 处的切线方程；
（2）若函数 在 上有两个不同的零点，求实数 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使得对任意的 ，都有函数 的图象在 的图象的下方？若存在，请求出最大整数 的值；若不存在，请说理由.
（参考数据： ， ）.
参考答案
1． ；
【解析】
由题意可得 ，则 ，故答案为 .
2． ；
【解析】
由 ，则 的虚部为 ，故答案为 .
3． ；
【解析】
因为指数函数 经过的定点是 ，所以函数 结果的定点是 ，
故答案为 ．
4． ；
【分析】
由 , ,中找出各式运算量之间的关系,归纳其中的规律,并大胆猜想,得出答案.
3．已知函数 , 且 ,则 必过定点_________.
4．从 ，概括出第 个式子为___________．
5．设 是三棱锥 的底面重心，用空间的一组基向量 表示向量
________________________
6．若三角形内切圆半径为r，三边长为a,b,c，则 ，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为 ，则四面体的体积 ________．
故答案为 .6． ．【析】试题分析：由题意得三角形的面积可拆分成分别由三条边为底，其内切圆半径为高的三个小三角形的面积之和，从而可得公式 ，由类比思想得，四面体的体积亦可拆分成由四个面为底，其内切圆的半径为高的四个三棱锥的体积之和，从而可得计算公式 ．
考点：1．合情推理；2．简单组合体的体积（多面体内切球）．
二、解答题
15．已知集合 ，
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
16．已知复数 为虚数单位.
（1）若复数 对应的点在第四象限，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求 的共轭复数.
17．.已知 是数列 的前 项和，是否存在关于正整数 的函数 ，使得 对于大于1的正整数 都成立？证明你的结论．
11．设函数，则满足 的 的 取值范围是__________.
12．设 为实常数， 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．
若 对一切 成立，则 的取值范围是.
13．若函数 在 上有最大值，则实数 的取值范围是______________
14．已知函数 ，若对任意实数 ，关于 的方程 最多有两个不同的实数解，则实数 的取值范围是___________________________________
【方法点晴】此题主要考查合情推理在立体几何中的运用方面的内容，属于中低档题，根据题目前半段的“分割法”求三角形面积的推理模式，即以三角形的三条边为底、其内切圆半径为高分割成三个三角形面积之和，类似地将四面体以四个面为底面、其内切球半径为高分割成四个三棱锥（四面体）体积之和，从而问题可得解决．
7． ；
【解析】
由 得 ，根据几何意义可得 可以当作以 为圆心， 为半径的圆上， 可以当作 到原点距离的平方，而圆上的点到原点距离的最大值为圆心到直线的距离加半径即 ，则 的最大值为 ，故答案为 .
8．
【解析】略
9．136
【解析】
个位是5的三位数有： （个）；个位是0的四位数有： （个），用0到9这十个数字一共可以组成 个没有重复数字且能被5整除的四位数，故答案为 .
18．已知 是正方形，直线 平面 ，且 .
（Ⅰ）求异面直线 所成的角；
（Ⅱ）求二面角 的大小.
19．某制药厂生产某种颗粒状粉剂，由医药代表负责推销，若每包药品的生产成本为 元，推销费用为 元，预计当每包药品销售价为 元时，一年的市场销售量为 万包，若从民生考虑，每包药品的售价不得高于生产成本的 ，但为了鼓励药品研发，每包药品的售价又不得低于生产成本的
【详解】
；
；
；
；…；
所以猜想: ，
故答案为: .
【点睛】
本题考查的知识点是归纳推理,归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想),属于中档题.
5． ；
【解析】
如图所示，
三棱锥 中，点 是 的重心，∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
∴ ．