FRM知识点两基金分离定理

FRM 知识点：两基金分离定理

1 前言

美国经济学家马科维茨1952 年发表论文《资产组合的选择》，标志着现代投资组合理论的开端。他利用均值-- 方差模型对投资组合进行分析，提出投资组合理论，并进行了系统、深入和卓有成效的研究，后得出这样的一条曲线（上双曲线）——有效前沿，在该前沿上的投资组，均满足一定风险下的高收益，一定收益下的低风险，给投资者资产组合的选择提供了理论基础。

然而，马科维茨组合理论虽然给出了组合选择的方法，在实务操作中却较难实施，因为要获得优组合的各个投资标的的权重，需要每个投资标的的收益、方差（或标准差），以及各个标的间的相关系数，计算要求极高，当时计算机硬件发展不匹配。因此，资产组合理论后续发展的“两基金分离定理”、“单一因素模型”等，都极大的推动了投资组合理论的实际应用。

2文章思路

两基金分离定理包括两层涵义，因此本文从以下两方面展开：其一，投资组合仅有风险资产，不包括无风险资产，因其引申自马科维茨组合管理理论（本文不再赘述），所以主要从定理、定理证明和现实意义进行阐述；其二，引入无风险资产的两基金分离定理，也主要从以上三方面展开，然而会引出资本市场线、市场组合等重要概念。

3仅有风险资产

3.1 定理

在只有风险资产的情况下，有效前沿是一条上双曲线，在这条线上，任意两个分离的点都代表两个分离的有效投资组合，而有效组合边界上任意其他的点所代表的有效投资组

合，都可以由这两个分离的点所代表的有效投资组合的线性组合生成。

3.2 证明

由马科维茨的投资组合理论可知，过任意两个分离的各自代表有风险资产的点可以生成一条双曲线。所以，有效组合边界上的两个分离的点可以看作两项有风险资产，它们也就可以生成一条双曲线。然而，有效组合边界本身是一条双曲线。

首先，任意两条不同的双曲线不可能在同一侧有两个分离的切点。

其次，如果这两条双曲线在这两个点是相交的话，则由两个点生成的双曲线一定会有一部分落在有效组合边界所围区域的外面。然而，由有效组合前沿的定义知这是不可能的，所以这两条双曲线一定重合。

综上，两基金分离定理成立。

3.3 意义

以市场上的机构投资者——共同基金为例。共同基金一方面发行小面额的收益凭证作为自己的负债，另一方面则把筹集到的大笔资金进行分散化投资，形成自己的投资组合。如果有两家不同的共同基金，它们都投资于有风险资产，而且都经营良好，经营良好意味着它们的收益/ 风险关系都能落到有效组合前沿。

那么，根据两基金分离定理，任何别的投资于有风险资产的共同基金，如果经营良好（即为有效组合前沿上的风险资产组合），其有效投资组合一定与原来那两个共同基金的某一线性组合等同。

因此，只要找到这样两家不同的经营良好的共同基金，把自己的资金按一定的比例投资于这两家基金，就可以与投资于其他经营水平良好的共同基金（即其他不同收益/ 风险配

比的有效组合）获得完全一样的效果。这一结论对投资策略的制定无疑有重要的意义

4含无风险资产

4.1 定理

在引入无风险资产的情况下，有效前沿就变成是一条射线，在这条线上，任何一个的有效资产组合都可以由无风险资产和一个市场组合的线性组合生成，但是其中一个关键的地方是，该市场组合是作为所有风险资产的代表，投资者投资在该风险组合的每个风险资产的投资比例不随投资者的偏好而改变。

4.2 证明

该定理的证明首先需要引出资本市场线，然后进行论证。

4.2.1 资本市场线

在所有可能有风险资产组合所构成的双曲线所围成区域的有效组合边界左下端，就是小方差组合。因为有系统风险存在，小方差组合不是无风险的，其预期收益率也一定高于无风险利率R f 点。于是，在标准差——预期收益率图中：有效组合边界和表示预期收益率大小的纵坐标轴是不相接触的，而代表无风险证券的收益/ 风险的坐标点落在纵轴上。

因而，在加入无风险证券后，代表新的组合的点一定落在连接R f 点和包含所有可能的

有风险资产组合的双曲线所围区域及其边界的某一点的射线上。

如此的射线有无数多条。但是，当射线围绕R f 点逆时针旋转时，不管投资者的收益/ 风险偏好如何（即不管效用函数的曲线形状如何），越在上面的射线上的点，其效用值越大。于是，效用值大的射线一定是与有效组合边界相切的那一条，即连接R f点和M点的射线。

这条射线实际构成了无风险证券和有风险资产组合的有效组合边界资本市场线。

422论证

该方程也就是资本市场线的表达式。 此时，其中一项基金是无风险证券，而另一项则是切点M 所代表的有风险资产的组合。

资本市场线上任意一点所代表的投资组合，都可以由一定比例的无风险证券和由 M 点所代 表有风险资产组合生成。在这个包括无风险证券和有风险资产组合的有效组合边界（即资 本市场线）上，两基金分离定理实际上依然成立。

代表小方差组合的点位于 R f 点的右上方，从而保证了切点（M 点）的存在性（如果小 组合的预

期收益率与无风险收益率相等的话，双曲线上的切点会不存在，资本市场线会变 成双曲线的渐近

线）。资本市场线在 M 点右上方的部分所包含的投资组合，即3 >1,是 卖空了无风险证券（即以无资本市场线上点（O ,R f ）代表无风险资产，点 M （C M ,E （F M ））有风险的市场组合,

而该资产市场线上的任意投资组合为（c P ,E （R P ））

,设①为该组合配置风险市场组合的 比例，则:

E(R P ) = (1 - 3 )?R f + 3 ?E(F M ) CT p

CD

CT M

该投资组合配置CP

比例的有风险市场组合，（1-二）比例的无风险资产 c M c M

该投资组合收益E （R P ）为:

ER) = R f +

E (R

M ) - R f CT P —

C M