6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课标要求素养要求

掌握数乘向量的坐标运算法则，理解用坐标表示平面向量共线的条件，掌握三点共线的判断方法.通过数乘向量的坐标运算，理解平面向量共线的坐标表示形式，体会数学运算及数学抽象素养.

教材知识探究

贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过

B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问从

A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：

贝贝：502＋502＋502＋502＝1 004＋502＋502＝1 506＋502＝2 008(km).

晶晶：502×4＝2 008(km).

可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方便.

问题1当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？

提示横纵坐标均不为0时成比例.

问题2如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？提示能.将b写成λa形式，λ>0时，b与a同向，λ<0时，b与a反向.

1.平面向量数乘运算的坐标表示

设向量a＝(x，y)，则有λa＝(λx，λy)，这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

2.平面向量共线的坐标表示

利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快 设a ＝(x 1，y 1))，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.向量a ，b (b ≠0)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.) 3.中点坐标公式

若P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2

2，y ＝y 1＋y 2

2，

此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式.

,教材拓展补遗

[微判断]

1.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1

＝x 2

y 2

.(×)

2.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1－x 2y 2＝0，则a ∥b .(×)

3.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2－x 2y 1＝0，则a ∥b .(√) 提示 1.当y 1y 2＝0时不成立.

两向量共线的坐标表示为x 1y 2－x 2y 1＝0，故2错，3正确. [微训练]

1.已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A.(－2，－4) B.(－3，－6) C.(－4，－8)

D.(－5，－10)

解析 由a ∥b 得到m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8). 答案 C

2.已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝________. 解析 2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7). 答案 (5，7)

3.已知P (2，6)，Q (－4，0)，则PQ 的中点坐标为________. 解析 根据中点坐标公式可得，PQ 的中点坐标为(－1，3).

答案 (－1，3) [微思考]

1.向量(共线)平行的用途是什么？

提示 利用向量平行(共线)可以证明向量共线、三点共线，解决有关平行问题. 2.当两个向量共线时，如何利用向量的坐标运算求点的坐标？

提示 当两个向量共线时，利用向量的坐标运算可求点的坐标.比如A ，B ，P 三点共线且|AP

→|＝3|PB →|，如果知道点A ，B 的坐标就可以求出点P 的坐标.事实上，

由|AP

→|＝3|PB →|且A ，B ，P 三点共线，可知AP →＝3PB →或AP →＝－3PB →，这样根据向量的坐标运算就可以求出点P 的坐标.

题型一 向量的坐标运算

【例1】 已知a ＝(－1，2)，b ＝(2，1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；

(3)12a －1

3b . 可先进行数乘向量的坐标运算，再进行向量坐标加减运算 解 (1)2a ＋3b ＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a －3b ＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1，2)－13(2，1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－76，23.

规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.

【训练1】 (1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，若c 满足3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A.(－23，－12) B.(23，12) C.(7，0)

D.(－7，0)

(2)已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP

→＝12MN →，则P 点坐标为________.

解析 (1)由3a －2b ＋c ＝0，

∴c ＝－3a ＋2b ＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)， ∴c ＝(－23，－12).

(2)设P (x ，y )，∴MP →＝(x －3，y ＋2)，MN →＝(－8，1)，由MP →

＝12MN →得P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1，－32.

答案 (1)A (2)⎝ ⎛

⎭⎪⎫－1，－32

题型二 向量平行(共线)的判定

在利用向量共线的坐标表示进行判定时，易出现坐标之间的搭配错误而致误的情况

【例2】 (1)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( ) A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

2，－34

解析 A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝1

2e 2， ∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B. 答案 B

(2)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？

解 k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)， a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， ∵k a ＋b 与a －3b 平行， ∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－1

3.

此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1

3－3，－23＋2＝－13(a －3b )，

∴当k ＝－1

3时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向.