10：马尔可夫链-数学建模教程文件
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马尔可夫链模型讲解
马尔可夫链模型（Markov Chain Model）目录[隐藏]1 马尔可夫链模型概述2 马尔可夫链模型的性质3 离散状态空间中的马尔可夫链模型4 马尔可夫链模型的应用o 4.1 科学中的应用o 4.2 人力资源中的应用5 马尔可夫模型案例分析[1]o 5.1 马尔可夫模型的建立o 5.2 马尔可夫模型的应用6 参考文献[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。
如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。
一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下：1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。
本文中假定S是可数集(即有限或可列)。
用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。
2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。
演示文稿第六章马尔可夫链
(n)
p(m) lj
(n
k
),
n, m, k 0,i, j S
l
或矩阵形式 P(km) (n) P(k) (n)P(m) (n k)
证明
p(km) ij
(n)
P{X
nk m
j
Xn
i)
第十三页，共123页。
P{( X nk l), X nkm j X n i)
l
P{ ( X nk l, X nkm j) X n i)
l
或矩阵形式 P(km) (n) P(k) (n)P(m) (n k)
证明 P( X nk l, X nkm j) X n i)
l
P( X nk l X n i) P( X nkm j X n i, X nk l) l
第十四页，共123页。
P( X nk l X n i) P( X nkm j X nk l)
第二十七页，共123页。
qa
a-1
a
ra
第一节 基本概念
５.马尔可夫链举例 例2(有限制随机游动问题)
阵
P
(k
)
(n)
(
p(k ij
)
(n))
为系统{X n , n 0}在 n时的k步转移概率矩阵.
第十页，共123页。
第一节 基本概念
1. 转移概率
特别 当k=1时，
p (1) ij
(n
)为
系
统
在
n时
的
一步
转
移
概
率
,
记为 pij (n)
P
(1)
(n)
(
p (1) ij
(n))为系统的一步转移概率矩阵
马尔可夫链课件
1的概率向左或向右移动一 3
格，或以
Q现在处于1(或5)这 1的概率留在原处；如果 3
一点上，则下一时刻就以概率1移动到2(或4)这点上，1 和5这两点称为反射壁，这种游动称为带有两个反射壁的
随机游动。以Xn表示时刻n时Q的位置，说明{Xn,n =
0,1,2 …}是一齐次马氏链，并写出它的一步转移概率矩 阵。
二、转移概率
定义3 设 { X n，n 0} 是齐次马尔可夫链，其一步 矩阵的每一行都 转移概率为 pij (i, j S )，记 是一条件分布律
p00 p10 P ( pij ) p 20 pi 0
.
p 01 p 02 p11 p12 p 21 p 22 pi1 pi 2
1 2 3 4 5
三、马氏链的例子
解：它的一步转移概率矩阵为： 0 1 0 0 0
1 3 P 0 0 0
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
0
1 3 1 3
0 0
0
1
0 0 1 3 0
如果把1这点改为吸收壁，即Q一旦到达1这一点，则永远 留在点1时，此时的转移概率矩阵为：
• 第一节 基本概念 • 第二节 状态的分类及性质 • 第三节 极限性态及平稳分布
• 第四节 Markov链的应用
第一节
基本概念
一、Markov链的定义 二、转移概率 三、Markov链的例子 四、n步转移概率，C-K方程
第一节
基本概念
一、Markov链的定义
马尔可夫性(无后效性 )过程(或系统)在时刻t 所处的状态为已知的条件下，过程在时
1 1 3 P 0 0 0 0
1 3 1 3
0
格，或以
Q现在处于1(或5)这 1的概率留在原处；如果 3
一点上，则下一时刻就以概率1移动到2(或4)这点上，1 和5这两点称为反射壁，这种游动称为带有两个反射壁的
随机游动。以Xn表示时刻n时Q的位置，说明{Xn,n =
0,1,2 …}是一齐次马氏链，并写出它的一步转移概率矩 阵。
二、转移概率
定义3 设 { X n，n 0} 是齐次马尔可夫链，其一步 矩阵的每一行都 转移概率为 pij (i, j S )，记 是一条件分布律
p00 p10 P ( pij ) p 20 pi 0
.
p 01 p 02 p11 p12 p 21 p 22 pi1 pi 2
1 2 3 4 5
三、马氏链的例子
解：它的一步转移概率矩阵为： 0 1 0 0 0
1 3 P 0 0 0
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
0
1 3 1 3
0 0
0
1
0 0 1 3 0
如果把1这点改为吸收壁，即Q一旦到达1这一点，则永远 留在点1时，此时的转移概率矩阵为：
• 第一节 基本概念 • 第二节 状态的分类及性质 • 第三节 极限性态及平稳分布
• 第四节 Markov链的应用
第一节
基本概念
一、Markov链的定义 二、转移概率 三、Markov链的例子 四、n步转移概率，C-K方程
第一节
基本概念
一、Markov链的定义
马尔可夫性(无后效性 )过程(或系统)在时刻t 所处的状态为已知的条件下，过程在时
1 1 3 P 0 0 0 0
1 3 1 3
0
马尔可夫链
2020年5月21日星期四
例7 设马氏链{Xn}的状态空间为 I={1, 2, 3, 4, 5}， 转移概率矩阵为
1 2
1
2
0 0
0
1 2
1 2
0
0
0
P 0 0 1 0 0
3 / 16 . 1/ 4
于是: (1) P{X0 0, X2 1}
P{ X0 0}P{ X2 1 | X0 0} 1 5 5 ;
3 16 48
2020年5月21日星期四
(2)P{X2 1}
P{X0 0}P{X2 1 | X0 0} P{X0 1}P{X2 1 | X0 1}
显然有
p(n) 11
p(n) 21
P(n)
p(n j1
)
L
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1j
L
p(n) 2j
L
p(n) j2
p(n) jj
L
LL
L
(1)
0
p(n) ij
1
(2)
p(n) ij
1,
i
1,
2,L
j
2020年5月21日星期四
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
的矩阵
p11 p21
P
L
pj1 L
p12 L p22 L LL pj2 L LL
p1 j L
p2 j L
L
L
p jj L
L L
称为一步转移概率矩阵. 显然有
(1) 0 pij 1
(2)
pij 1, i 1, 2,L
j
2020年5月21日星期四
3、马尔可夫链举例
例7 设马氏链{Xn}的状态空间为 I={1, 2, 3, 4, 5}， 转移概率矩阵为
1 2
1
2
0 0
0
1 2
1 2
0
0
0
P 0 0 1 0 0
3 / 16 . 1/ 4
于是: (1) P{X0 0, X2 1}
P{ X0 0}P{ X2 1 | X0 0} 1 5 5 ;
3 16 48
2020年5月21日星期四
(2)P{X2 1}
P{X0 0}P{X2 1 | X0 0} P{X0 1}P{X2 1 | X0 1}
显然有
p(n) 11
p(n) 21
P(n)
p(n j1
)
L
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1j
L
p(n) 2j
L
p(n) j2
p(n) jj
L
LL
L
(1)
0
p(n) ij
1
(2)
p(n) ij
1,
i
1,
2,L
j
2020年5月21日星期四
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
的矩阵
p11 p21
P
L
pj1 L
p12 L p22 L LL pj2 L LL
p1 j L
p2 j L
L
L
p jj L
L L
称为一步转移概率矩阵. 显然有
(1) 0 pij 1
(2)
pij 1, i 1, 2,L
j
2020年5月21日星期四
3、马尔可夫链举例
建模马尔科夫链
离散时间的马尔可夫链
1/31
设随机过程 {ξ (n),n = 0，，， } 的状态空间为： 1 2 L 的状态空间为： S = {0，，，， } 1 2 3L 若对任意的 k ≥ 1 ，及 i0，， ， ， ， +1 ∈ S有 i1 i2 L ik ik P{ξ (k + 1) = ik +1 | ξ (k ) = ik， (k −1) = ik −1， ， (0) = i0 } ξ L ξ
步转移概率.
当 i，n 固定时，一步转移概率 pij (n) 实质上就是 固定时， 的条件下， 在 ξ (n) = i 的条件下，随机变量 ξ (n + 1) 的条件分 布律，所以条件分布律满足： 布律，所以条件分布律满足： pij (n) ≥ 0，∀i，j ∈ S，n > 0；
∑ pij (n) = 1，∀i ∈ S，n > 0.
乘法公式
L⋅ P {ξ (k ) = ik |ξ (k −1) = ik −1}
离散时间的马尔可夫链
马尔可夫链的一步转移概率
设 {ξ (n)，n ≥ 0} 是马尔可夫链，记 是马尔可夫链，
pij (n) P{ξ (n + 1) = j | ξ (n) = i}
7/31
称 pij (n)为马尔可夫链 {ξ (n)，n ≥ 0}在时刻 n 时的一
= P{ξ (tk＋ ) = ik +1 | ξ (tk ) = ik } LL 3.1.2） （ 1
P{ξ (k + 1) = ik +1 | ξ (k ) = ik， (k −1) = ik −1， ， (0) = i0 } ξ L ξ
= P{ξ (k + 1) = ik +1 | ξ (k ) = ik } LL 3.1.1） （
1/31
设随机过程 {ξ (n),n = 0，，， } 的状态空间为： 1 2 L 的状态空间为： S = {0，，，， } 1 2 3L 若对任意的 k ≥ 1 ，及 i0，， ， ， ， +1 ∈ S有 i1 i2 L ik ik P{ξ (k + 1) = ik +1 | ξ (k ) = ik， (k −1) = ik −1， ， (0) = i0 } ξ L ξ
步转移概率.
当 i，n 固定时，一步转移概率 pij (n) 实质上就是 固定时， 的条件下， 在 ξ (n) = i 的条件下，随机变量 ξ (n + 1) 的条件分 布律，所以条件分布律满足： 布律，所以条件分布律满足： pij (n) ≥ 0，∀i，j ∈ S，n > 0；
∑ pij (n) = 1，∀i ∈ S，n > 0.
乘法公式
L⋅ P {ξ (k ) = ik |ξ (k −1) = ik −1}
离散时间的马尔可夫链
马尔可夫链的一步转移概率
设 {ξ (n)，n ≥ 0} 是马尔可夫链，记 是马尔可夫链，
pij (n) P{ξ (n + 1) = j | ξ (n) = i}
7/31
称 pij (n)为马尔可夫链 {ξ (n)，n ≥ 0}在时刻 n 时的一
= P{ξ (tk＋ ) = ik +1 | ξ (tk ) = ik } LL 3.1.2） （ 1
P{ξ (k + 1) = ik +1 | ξ (k ) = ik， (k −1) = ik −1， ， (0) = i0 } ξ L ξ
= P{ξ (k + 1) = ik +1 | ξ (k ) = ik } LL 3.1.1） （
10第四章马尔可夫链精品PPT课件
P(4) 00
0.5749
定义： 称 pj(n )P {X nj}(,j I)为n时刻马尔 可夫链的绝对概率；
称 P T (n ) { p 1 (n ),p 2 (n ), } , n 0为n时刻的 绝对概率向量。
定义： 称 pj(0 )P {X 0j} ,(j I)为马尔可夫链的 初始概率；简记为 p j
j i 1,i-1, i 1
1 0 0 0 0 . .
q
0
p
0
0
.
.
0 q 0 p 0 . .
P
0
0
q
0
p
.
.
0 0 0 q 0 . . . . . . . . .
例题：带2个吸收壁的随机游动
质点在数轴上移动，规律同上例。随机游动的状态 空间I={0,1,2…a}, 其中0和a为吸收态 。求一步转移 概率。
解：
P(2) 00
P{Xm2
0|
Xm
0}
P{Xm2 0, Xm P{Xm 0}
0}
P{Xm2 0, Xm1 0,Xm 0} P{Xm2 0, Xm1 1,Xm 0}
P{Xm 0}
P{Xm 0}
P{Xm2 0, Xm1 0,Xm 0}P{Xm1 0,Xm 0} P{Xm1 0,Xm 0}P{Xm 0}
p(n) 21
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1m
p(n) 2m
为马尔可夫链的n步转移矩阵。规定
p(0) ij
0, 1,
i j i j
例题
设马尔可夫链{Xn,n∈T}有状态空间I={0,1}， 其一步转移概率矩阵为
P
p00 p10
第5章 马尔可夫链PPT课件
状态.
精选PPT课件
18
马尔可夫链
一般,一个特定的参保人年理赔要求的次数是参数为λ 的泊松随机变量,那么此参保人相继的状态将构成一个马 尔可夫链,并具有转移概率
但昨天没下雨,那么明天下雨的概率为0.5;如果昨天下雨
但今天没下雨,那么明天下雨的概率为0.4;如果昨、今两
天都没下雨,那么明天下雨的概率为0.2.
假设在时间n的状态只依赖于在时间n-1是否下雨,那么
上述模型就不是一个马尔可夫链.
但是,当假定在任意时间的状态是由这天与前一天两者
的天气条件所决定时,上面的模型就可以转变为一个马尔
令Xn为第n天结束时的存货量,则
XSX-nYn-nY++n1+1=,1,
若Xn≥s, 若Xn＜s.
构成的{Xn,n≥1}是Markov链.
例5.11 以Sn表示保险公司在时刻n的盈余,这里的时间以
适当的单位来计算(如天,月等), 初始盈余S0=x显然为
已知,但未来的盈余S1,S2,…却必须视为随机变量,增量
参保人的状态随着参保人要求理赔的次数而一年一年
地变化.低的状态对应于低的年保险金. 如果参保人在上
一年没有理赔要求,他的状态就将降低; 如果参保人在上
一年至少有一次理赔要求,他的状态一般会增加(可见,无
理赔是好的,并且会导致低保险金;而要求理赔是坏的,一
般会导致更高的保险金).
对于给定的一个好-坏系统, 以si(k)记一个在上一年 处在状态i,且在该年有k次理赔要求的参保人在下一年的
矩阵为
p11 p12 p13 p14
P=
p21 p22 p23 p24 0010
0001
例5.5(赌徒的破产或称带吸收壁的随机游动)系统的状态
Markov Chain(马尔科夫链)
状态转换矩阵：
1 0 0 1 − ������ 0 ������ 0 1 − ������ 0 0 0 1 − ������ 0 0 0
0 0 ������ 0 0
0 0 0 ������ 1
0
赌徒问题（续）
• ������ =
0 ������ 1 − ������ 0 0 1 − ������ 0 0 0 0 0 ������ 0 0 0 0 1 − ������ 0 0 ������ 0 1 阵������的元素������������������ 等于从状态������������ 出发到达稳定时经过������������ 的次数的期望值。 推论：马尔可夫过程中，从非稳定状态������������ 出发，到达稳定状态时的步数期望值 等于矩阵������的������行元素的和。
赌徒问题
• 一个赌徒，假设拿两元钱，一次赌一美元，赢的概率是������，输的概率是1 − ������，当赢够4元，或者全部输光就不赌了。 • 状态转换图：
1 − ������ 1 1 − ������ 1 ������ 2 ������ 3 ������ 1 − ������ 1 4 ������ =
������
������������
.此矩阵
������������������ = 1, ������ = 1,2, … , ������.
������=1
重新标记这些状态的序号，把对角线是1的元素调整到右下角，也就是变成 ������������×������ ������������× ������−������ ������������×������ → ������ ������−������ × ������ ������(������−������)×(������−������) 矩阵������ = ������ − ������������×������
第2章 马尔可夫链
Pi,i+1=p, Pi,i-1=q, Pi,i=r, 其余Pi,j=0
（2）带吸收壁的随机游动 设（1）中的随机游动限制在 S={0,1,2, …b}，当质点移动到状态0或b后就永远停留在该位 置，即p00=1, pbb=1，其余pij(1≤i,j ≤b-1)同（1），这时 {Xn,n≥0}称为带两个吸收壁0和b的随机游动 ，它是一有限状 态马尔可夫链。
a j i , pij 0,
例2 M/G/1排队系统
j i j i
显然{Yn,n≥1}也是一马尔可夫链。
若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数，{X(t),t≥0}则不具马 尔可夫性。
Xn-----第n个顾客走后剩下的顾客数， Yn -----第n+1个顾客接受服务期间来到的顾客数，则
（1）无限制的随机游动 设有一质点在数轴上随机游动， 每隔一单位时间移动一次，每次只能向左或向右移动一单位， 或原地不动。设质点在0时刻的位置为a,向右移动的概率为p， 向左移动的概率为q，原地不动的概率为r(p+q+r=1),且各次 移动相互独立，以Xn表示质点经n次移动后所处的位置，则 {Xn,n≥0}是一马尔可夫链,转移概率为
k 0
P X n k X 0 i P X n m j X n k
k 0 n m pik pkj k 0
P n P P n 1 P P P n 2 P n
例（马尔可夫预测）P82
解 一阶转移矩阵为
0.95 0.30 P 0.20 0.20
初始分布为
0.02 0.60 0.10 0.20
0.02 0.06 0.70 0.10
概率统计和随机过程课件第十三章 马尔可夫链
9
n
(2)转移概率的性质:对于状态空间 S 内的任意两个
状态 i和 j ,恒有 (1) (2)
p (tm) 0
(n) ij
(n ) p , n 1 ,2 , ij (tm) 1 j S
p
jS
(n) ij
(tm ) S P { X ( t ) j |X ( t ) i } j m n m j S
P ( X 1 |X 1 )( P X 1 |X 1 ) n 1 n n 2 n 1 p p 0 . 8 1 1 11 1
24
三.有限维概率分布
X ( t ), t t , t , t , } 马尔可夫链 { 在初始时刻 t 0 的概率 0 1 2
进一步改写为矩阵形式
P P
(2)
2
(2 ) (2 ) 其中 P 是两步转移概率矩阵, P 是一步转移 (p ij )
20
用数学归纳法可得
P P
( n )
n
n 2 , 3 , 4 ,
P
(13.8)
(n)
这表明: n步转移概率矩阵
( p )
(n) ij
等于一步转移概率矩阵P的 n 次幂.
5
恒成立,则称此过程为马尔可夫链. 式(13.1)称为马尔可夫性,或称无后效性. 马氏性的直观含义可以解释如下:
将 t n 看作为现在时刻,那末 t1,t2,,tn1 ,就是过去时 刻,而 t n 1 则是将来时刻.于是, (13.1) 式是说,当已知
注： t , t ,, t 并 不 需 要 间 隔 相 等 ， 比 如 1 2 n 1
马尔可夫链 是离散状态的马尔可夫过程, 最初是由俄国数学家马尔可夫1896年 提出和研究的应用十分广泛,其应用领域涉 及计算机,通信,自动.控制,随机服务,可靠性, 生物学,经济,管理,教育,气象物理,化学等等.
数学建模马尔可夫讲义
排队论和可靠性理论
排队论
排队论是研究排队现象的数学理论， 马尔可夫链可以用于描述排队系统的 状态变化。通过马尔可夫链，可以计 算排队系统的性能指标，如等待时间、 队列长度等。
可靠性理论
可靠性理论是研究系统可靠性的数学 理论，马尔可夫链可以用于描述系统 的故障和修复过程。通过马尔可夫链， 可以计算系统的可靠性和可用性指标。
02
马尔可夫链是指状态转移概率只依赖于当前状态的 一类随机过程。
03
在马尔可夫链蒙特卡洛方法中，通过迭尔可夫链蒙特卡洛方法的实现和应用
实现马尔可夫链蒙特卡洛方法需要确定马尔可夫链的状态转移概率和初始 状态分布。
常见的马尔可夫链蒙特卡洛方法包括Metropolis-Hastings算法、Gibbs 采样等。
数学建模马尔可夫讲 义
目录
• 引言 • 马尔可夫链简介 • 数学建模基础 • 马尔可夫链在数学建模中的应用 • 马尔可夫链蒙特卡洛方法 • 结论
01
引言
主题简介
数学建模
使用数学语言、符号和公式来描述和解决实际问题的过程。
马尔可夫模型
一种数学模型，用于描述随机过程，其中未来的状态只与当 前状态有关。
数学建模的步骤
• 总结词：数学建模通常包括问题定义、数据收集、模型建立、模型验证 和模型应用五个步骤。
• 详细描述：数学建模是一个系统的过程，通常包括以下五个步骤：问题 定义、数据收集、模型建立、模型验证和模型应用。在问题定义阶段， 需要对问题进行清晰明确的阐述，明确建模的目的和意义。在数据收集 阶段，需要收集与问题相关的数据，为建模提供依据和支持。在模型建 立阶段，根据问题定义和数据收集的结果，建立相应的数学模型。在模 型验证阶段，需要对建立的模型进行验证，确保其准确性和可靠性。在 模型应用阶段，将建立的模型应用于实际问题中，得出相应的结论和建 议。
《马尔可夫链讲》课件
平稳分布的概率分布函数与时间无关，只与系统的状态空间和转移概率矩阵有关。
在平稳分布下，系统的各个状态之间转移的次数趋于平衡，每个状态的平均逗留时 的 马尔可夫链，都存在至少一个平
稳分布。
存在性定理的证明基于遍历理论 ，即如果马尔可夫链是遍历的，
那么它必然存在平稳分布。
根据接受概率判断是否接受样本的技 术，可以提高样本的质量和效率。
接受-拒绝抽样技术
接受概率
根据目标分布和当前状态计算出的概率，用于判断是否接受当前状态 转移为下一个状态。
拒绝概率
根据当前状态和接受概率计算出的概率，用于判断是否拒绝当前状态 转移为下一个状态。
接受-拒绝抽样过程
根据当前状态和接受概率计算出接受该状态的概率，如果该概率大于 随机数，则接受该状态作为下一个状态，否则拒绝并重新抽样。
详细描述
马尔可夫链定义为一个随机过程，其 中每个状态只与前一个状态有关，当 前状态只依赖于前一时刻的状态，不 受到过去状态的影响。
马尔可夫链的应用场景
总结词
马尔可夫链在多个领域有广泛应用。
详细描述
在自然语言处理中，马尔可夫链可以用于生成文本、语言模型等；在金融领域 ，马尔可夫链可以用于股票价格预测、风险评估等；在物理学中，马尔可夫链 可以用于描述粒子运动、化学反应等。
模型训练与预测
模型选择
根据数据特点和业务需求选择合适的马尔可 夫链模型。
模型训练
使用历史数据训练马尔可夫链模型。
参数设置
根据经验和业务理解设置模型参数。
预测与推断
基于训练好的模型对未来或未知数据进行预 测和推断。
结果评估与优化
评估指标
选择合适的评估指标（如准确率、召回率、F1值等）对预测结果进行评估。
在平稳分布下，系统的各个状态之间转移的次数趋于平衡，每个状态的平均逗留时 的 马尔可夫链，都存在至少一个平
稳分布。
存在性定理的证明基于遍历理论 ，即如果马尔可夫链是遍历的，
那么它必然存在平稳分布。
根据接受概率判断是否接受样本的技 术，可以提高样本的质量和效率。
接受-拒绝抽样技术
接受概率
根据目标分布和当前状态计算出的概率，用于判断是否接受当前状态 转移为下一个状态。
拒绝概率
根据当前状态和接受概率计算出的概率，用于判断是否拒绝当前状态 转移为下一个状态。
接受-拒绝抽样过程
根据当前状态和接受概率计算出接受该状态的概率，如果该概率大于 随机数，则接受该状态作为下一个状态，否则拒绝并重新抽样。
详细描述
马尔可夫链定义为一个随机过程，其 中每个状态只与前一个状态有关，当 前状态只依赖于前一时刻的状态，不 受到过去状态的影响。
马尔可夫链的应用场景
总结词
马尔可夫链在多个领域有广泛应用。
详细描述
在自然语言处理中，马尔可夫链可以用于生成文本、语言模型等；在金融领域 ，马尔可夫链可以用于股票价格预测、风险评估等；在物理学中，马尔可夫链 可以用于描述粒子运动、化学反应等。
模型训练与预测
模型选择
根据数据特点和业务需求选择合适的马尔可 夫链模型。
模型训练
使用历史数据训练马尔可夫链模型。
参数设置
根据经验和业务理解设置模型参数。
预测与推断
基于训练好的模型对未来或未知数据进行预 测和推断。
结果评估与优化
评估指标
选择合适的评估指标（如准确率、召回率、F1值等）对预测结果进行评估。
马尔科夫链模型及其应用PPT课件
n 时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关
第9页/共27页
马尔科夫链：应用 保险公司
Xn=3为第三种状态 死亡
a1(n+1)=a1(n)p11+a2(n)p21+a3(n)p31 a2(n+1)=a1(n)p12+a2(n)p22+a3(n)p32 a3(n+1)=a1(n)p13+a2(n)p23+a3(n)p33
给定a(0),预测a(n), n=1,2…
设投保 时健康
n
0
a1(n) 1
a2(n) 0
1
2
3
……
0.8 0.78 0.778 …… 7/9
0.2 0.22 0.222 …… 2/9
设投保 时疾病
n
0
a1(n) 1
a2(n) 0
1
2
3
……
0.7 0.77 0.777 …… 7/9
0.3 0.33 0.333 …… 2/9
第15页/共27页
隐马尔科夫模型
一个隐马尔可夫模型 HMM 可用一个5元组描述：λ= { N, M,π, A,B }
N = {H1，…，Hn} 隐藏状态的有限集合 M = {O1，…，Om} 可观测状态的有限集合，可以通过训练集获得 π={πi} 为初始状态概率， A={aij} 为隐藏状态的转移矩阵 B={bik} 表示某个时刻因隐藏状态而可观察的状态的概率，即混淆矩阵 在状态转移矩阵和混淆矩阵中的每个概率都是时间无关的，即当系统演化时， 这些矩阵并不随时间改变。
Kiss
0.6*0.5
Star t
0.4*0.1
H 0.3
*0.7*0.4=0.084
10632-数学建模-论文-马尔可夫链
若以X n表示时刻 n 时Q的位置，
则 { X n , n = 0,1,2,L}是一随机
1
2
3
45
过程， 而且当X n = i 时，X n+1 , X n+2 ,L等以后的行为只与 X n = i
有关，而与质点以前是如何到 i 是完全无关的，所以，它是一
个马氏链，且为齐次马氏链。
状态空间为：I = {1,2,3,4,5}
= 0.284
14
南京邮电大学孔告化讲 课稿
例题：设 {X n , n ≥ 0} 是具有三个状态 0,1,2 的齐次马氏链，
一步转移概率矩阵为 0 1 2
0 ⎜⎛ 3 / 4 1/ 4 0 ⎟⎞ P = 1 ⎜1/4 1/2 1/4⎟
2 ⎜⎝ 0 3 / 4 1/ 4⎟⎠
已知初始分布为：pi (0) = P{X0 = i} = 1/ 3, i = 0,1,2
=
1|
Xn
=
1}
≈
8
52 + 52
=
26 35
13
南京邮电大学孔告化讲 课稿
续例：若计算机在某一时段（15分钟）的状态为 0，问从此时段 起此计算机能连续正常工作 一小时 （4个时段）的概率为多少？
解：由题意，P{ X1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1, X 4 = 1 | X 0 = 0}
有 P{Xm+n = aj | Xt1 = ai1 , Xt2 = ai2 ,L, Xtr = air , Xm = ai }
= P{Xm+n = a j | Xm = ai }
记 Pij (m, m + n) = P{ Xm+n = a j | X m = ai } 称 Pij (m, m + n) 为马氏链在时刻 m 处于状态 ai 条件下， 在时刻 m + n 转移到状态 a j 的转移概率.
马尔可夫链
P00 P 10 0 P 0 0 P01 P11 P21 0 0 P02 P12 P22 P32 0 P03 P13 P23 P33 P43
Pij 0
其它（ j i 2, i 2 )
例 4．1(b) G/M/1 排队系统。假设顾客依照一个任意的更新过 程来到一个单服务台的服务中心，来到间隔分布为 G。进一步 假设服务分布是指数分布，参数为。若以 Xn 记第 n 个顾客来 到时见到系统中的顾客数， 以 Yn 记第 n 个顾客与第(n+1)个顾客 到达间隔时间内服务完的顾客数，则 X n1 X n 1 Yn ，易知过程
i 1 n
可夫链，其转移概率 Pij a j i , {Sn,n0}称为一般的随机游动。 若 Xi 表示数轴上 0 时刻位于原点的随机质点从时刻 i-1 到时刻 i 的位移，则 Sn 表示随机质点在时刻 n 的位置。
例 4.1(d)
n
简 单 随 机 游 动 。 若 对 于 某 个 p,0 p 1 有
3. 切 普 曼 —— 柯 尔 莫 哥 洛 夫 方 程 (chapman-kolmogorov equations)、n 步转移概率(the n-steptransition probability)矩阵 已经定义了一步转移概率 Pij。 现在我们定义 n 步转移概率 Pijn 为处于状态 i 的过程经 n 次转移后处于状态 j 的概率。即
Pijn P{ X n m j | X m i }, n 0, i , j 0 1 i j 1 0 当然有 Pij , Pij Pij 。切普曼一柯尔莫哥格夫方程提供了 0 i j
计算 n 步转移概率的方法。 切普曼一柯尔莫哥格夫方程：对一切 n, m 0 ，一切 i，j，有(4.2.1)
Pij 0
其它（ j i 2, i 2 )
例 4．1(b) G/M/1 排队系统。假设顾客依照一个任意的更新过 程来到一个单服务台的服务中心，来到间隔分布为 G。进一步 假设服务分布是指数分布，参数为。若以 Xn 记第 n 个顾客来 到时见到系统中的顾客数， 以 Yn 记第 n 个顾客与第(n+1)个顾客 到达间隔时间内服务完的顾客数，则 X n1 X n 1 Yn ，易知过程
i 1 n
可夫链，其转移概率 Pij a j i , {Sn,n0}称为一般的随机游动。 若 Xi 表示数轴上 0 时刻位于原点的随机质点从时刻 i-1 到时刻 i 的位移，则 Sn 表示随机质点在时刻 n 的位置。
例 4.1(d)
n
简 单 随 机 游 动 。 若 对 于 某 个 p,0 p 1 有
3. 切 普 曼 —— 柯 尔 莫 哥 洛 夫 方 程 (chapman-kolmogorov equations)、n 步转移概率(the n-steptransition probability)矩阵 已经定义了一步转移概率 Pij。 现在我们定义 n 步转移概率 Pijn 为处于状态 i 的过程经 n 次转移后处于状态 j 的概率。即
Pijn P{ X n m j | X m i }, n 0, i , j 0 1 i j 1 0 当然有 Pij , Pij Pij 。切普曼一柯尔莫哥格夫方程提供了 0 i j
计算 n 步转移概率的方法。 切普曼一柯尔莫哥格夫方程：对一切 n, m 0 ，一切 i，j，有(4.2.1)
马尔科夫链培训课件
ak , X (s) ai Pik (u)Pkj (v)(2.2)
马氏链的
齐次性
又由于事件组“ X(s+u)= ak”,k=1,2,…构成一划分，
故有 p{X (s u v) a j , X (s u) ak | X (s) ai} Pij(u+kv1 )=P{X(s+u+v)= aj|X(s)=ai}
结论：由此可知，马氏链的有限维分布同样完全由初始分
布和转移概率确定。
总之，转移概率决定了马氏链的统计规律。因此，确定马
氏链的任意n步转移概率就成为马氏链理论中的重要问题 之一。
例5（续例4）若计算机在前一段（15分钟）的状态 为0，问从时段起此计算机能连续正常工作一小时（4个 时段）的概率为多少？
• 如果把一这一点改为吸收壁，即是说Q一旦到达1这 一点，则就永远留在点一上，相应链的转移概率矩 阵只须把p中的第一横行改为（1，0，0，0，0）。 总之改变游动的概率规则，就可得到不同方式的随 机游动和相应的马式链。
• 随机游动的思想在数值计算方法方面有重要应用。
例3 ：排队模型 • 服务系统组成：服务员（1个）和等候室（2人）组成， • 服务规则：先到先服务。假定一顾客到达系统时发现
P33 :或者一人将离去且另一人将进入系统，或者无人离 开的概率， P33 = pq+(1-p)
于是该马氏链的一步转移概率矩阵为
1-q P(1-q)
0 0
q Pq+(1-p)(1-q)
P(1-q) 0
0 q(1-p) Pq+(1-p)(1-q) P(1-q)
0 0 q(1-p) Pq(1-p)
在实际问题中，一步转移概率通常可通过统计实验确定。 例4 某计算机机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔
数学建模马氏链讲座课件
数学建模马氏链讲座
内容提要
?马氏链与马氏链预测方法 ?马氏链预测方法在各领域中的应用 ?实例分析: 年径流量预测
1.马氏链与马氏链预测方法
1.1 马氏链
马尔可夫过程是随机过程的一个分支，它的最基 本特征是“无后效性” , 也称为“马氏性”. 即在已 知随机过程现在状态的条件下，其将来的状态与过去 的状态无关。换句话讲，就是： 已知“现在”，“将 来”与“过去”无关。
实际应用中，常记（1.1）式的右端
P{X (m ? k) ? im? k | X (m) ? im} ? P{Xm?k ? j | Xm ? i} ? pij{m; k}, i, j ? E
一般考虑齐次马尔可夫链，即对任意的m, k ? T, 有
pij (m; k ) ? pij (k ), i, j ? E.
(1) 与“ADMCP 法”相同; ((32)) 对也“与(“2)A”所DM得C的P 结法果”进相行同统; 计，可得不同滞时(步长)的 马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程 的概率法则； (4) “马氏性” 检验（应用工作者使用该方法时，一般也 不做这一步，本文加上这一步同样意在完善“ SPMCP 法”）；
其中
p ij
(m;
k
)
表示“系统时刻m时处在状态i，经k步状态转 移
到达状态j
的概率”，pij
(
k
)
表示“系统从状态i，经k 移
步状态转
到达状态j的概率”， pij . 由pij(k)组成的矩阵, 称为马尔可夫链的k步转移
概率矩阵,记为Pk.
另一种传统的马尔可夫链预测方法——叠加马尔可夫链预 测方法，尽管运用了各阶（各种步长）马尔可夫链的绝对分 布叠加来预测状态，但没有考虑各阶（各种步长）马尔可夫 链的绝对概率在叠加中所起的作用，即认为各阶（各种步长） 马尔可夫链的绝对概率所起的作用是相同的，这显然不科学。 事实上，一个满足马氏性的相依时间序列，其各阶自相关性 是不一样的。
内容提要
?马氏链与马氏链预测方法 ?马氏链预测方法在各领域中的应用 ?实例分析: 年径流量预测
1.马氏链与马氏链预测方法
1.1 马氏链
马尔可夫过程是随机过程的一个分支，它的最基 本特征是“无后效性” , 也称为“马氏性”. 即在已 知随机过程现在状态的条件下，其将来的状态与过去 的状态无关。换句话讲，就是： 已知“现在”，“将 来”与“过去”无关。
实际应用中，常记（1.1）式的右端
P{X (m ? k) ? im? k | X (m) ? im} ? P{Xm?k ? j | Xm ? i} ? pij{m; k}, i, j ? E
一般考虑齐次马尔可夫链，即对任意的m, k ? T, 有
pij (m; k ) ? pij (k ), i, j ? E.
(1) 与“ADMCP 法”相同; ((32)) 对也“与(“2)A”所DM得C的P 结法果”进相行同统; 计，可得不同滞时(步长)的 马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程 的概率法则； (4) “马氏性” 检验（应用工作者使用该方法时，一般也 不做这一步，本文加上这一步同样意在完善“ SPMCP 法”）；
其中
p ij
(m;
k
)
表示“系统时刻m时处在状态i，经k步状态转 移
到达状态j
的概率”，pij
(
k
)
表示“系统从状态i，经k 移
步状态转
到达状态j的概率”， pij . 由pij(k)组成的矩阵, 称为马尔可夫链的k步转移
概率矩阵,记为Pk.
另一种传统的马尔可夫链预测方法——叠加马尔可夫链预 测方法，尽管运用了各阶（各种步长）马尔可夫链的绝对分 布叠加来预测状态，但没有考虑各阶（各种步长）马尔可夫 链的绝对概率在叠加中所起的作用，即认为各阶（各种步长） 马尔可夫链的绝对概率所起的作用是相同的，这显然不科学。 事实上，一个满足马氏性的相依时间序列，其各阶自相关性 是不一样的。
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j的概率为
p
，即转移概率。
ij
如果
X
n
的取值只取决于
1
X
的取值及转移概率，
n
而与 X n1 , X n2 ....的取值无关，那麽这种 离散状
态按照离散时间的随机 转移过程称为马氏链
由状态转移的无后效性和全概率公式可以写出马氏链的基本方程
k
a i (n 1) a j (n ) p ij , i 1,2,......... .. (3) j 1
马氏链及其基本方程
按照系统的发展，时间 离散化为 n 1,2,3.......... ,
对于每一个 n，系统的状态用一个随 机变量 X n
表示，设 X n可以取 k个离散值 X n 1,2,....... k , 且
X n i的概率记作 ai (n)，即状态概率，从
Xn
i到X n1
满足
wp w
(10)a(n 1) a(n)p两边同时取极限
k
wi 1
i1
(11)
引入状态概率向量和转移概率矩阵
a(n){a1(n)a ,2(n)a ,2(n)......a ..k.(.n ..).}.
P{pi} jkk
（7）
则基本方程（3）可表为
a (n 1) a (n) P （8） 由此还可以得到
Xn1表示销X路 n2表 好示 ，销
,n=0,1,2,……….. X n 称为这个经营系统的状态
用 ai(n)表示 n月 第 处于 i的状 概 (i 态 1 率 ,2)即 , ai(n)P(Xni), pij表示本月 i， 处 下 于 月 状 转 态 j概 为 (率 i状 1,2,,态 j1,2的 ) 即 pijP(Xn1j|Xni)
a1 (0) 1, a 2 (0) 0时，用式（ 1）立即可算出 a1 (n), a 2 (n), n 1,2,......... ...
如表所示，由数字变化规律可以看出
当 n 时，
a1 (n )
4, 9
a 2 (n )
5 9
开始销路好时状态概率的变化
n
01
a 1 ( n ) 1 0.5
E={1,2,…….m}
例3：
某商店每月考察一次经营情况，其结果用销路好或坏这 两种状况中的一种表示。已知若果本月销路好，下月任 保只这种状况的概率为0.5；如果本月销路坏，下月转变 为销路好的概率为0.4，试分析假若开始时商店处于销路 好的状态，过若干月后能保持销路好的概率有多大？如果 开始是处于销路坏呢？
并且 a i (n )和 p ij 应满足
k a i (n ) 1,
i 1
n 0,1,2,...... (4)
p ij 0,
i, j 1,2,3,.....( 5)
k
p ij 1
j 1
i 1,2,3,........( 6)
定理一：若马移 氏矩 链阵 P的 ， 为 转 则它是 正则链的充要存 条在 件正 是 N整 使 ： P数 N 0
a i(n )称为,状 p i称 j 态 为 概 ,这 转 X 率 n 里 移 1 只概 取 X n 和 率 p 决 i,j 和 X n 1,X n 2.无 .. 关
称为无后效性，由此，更椐全概率公式容易得到
a1 (n 1) a1 (n) p11 a 2 (n) p12 a 2 (n 1) a1 (n) p12 a 2 (n) p 22 因为知道 p11 0.5, p 21 0.4 , 所以显然有 p12 1 p11 0.5 p 22 1 p12 0.6 当商店开始销路好，即
a(n) a(0)P n
（9）
(5)式表明转移矩P是 阵非负阵，6） （式表明 P
的行和1为 ，称为随机矩阵。例 对3的 于转移矩阵 为
0.5 0.5 0.4 0.6
因此对于马氏链模型最基本的问题是：构造状态xn及写出转移 矩阵p，一旦有了P，则给定初始状态a(0)就可以用（9）或（8） 计算任意时间n的状态概率a(n)
定义 2：转移Pi概 i1的 率状态称为,如 吸果 收状态 马氏链至少包括一个吸收状态，并且从每一个非吸收状 态出发，能以正的概率经有限次转移达到某个吸收状态 则称此马氏链为吸收链。
定理2：正则链存在唯一的极限状态概率
w (w1, w2, w3.......w. k ),使得当 n 时状态概率 a(n) w, w与初始状态概率无又 关称 ，稳定概率
马尔可夫链建模法
1 马尔可夫链基本理论和结论 2 服务网点的设置问题 3 常染色体遗传模型
4 常染体隐性疾病模型
马尔可夫链的应用
预备知识：马尔可夫链
随机过程：设 {t,tT}是一族随机变量，T是一个实数集合，
若对任意的 实数t T， t 是一个随机变量，则称
{t ,t T}为随机过程。
正则。
定义1：一个有k个状态的马氏链，如果存在正整数N，使从任意 状态i经N次转移，都以大于0的概率达到状态j(I,j=1,2,…k) 称此马氏链为正则链。
马尔可夫链的应用
模型六：服务网点的设置问题
为适应日益扩大的旅游事业的需要，某城市的甲乙丙三个 照相馆组成一个联营部，联合经营出租相机的业务。游客 可由甲乙丙三处任一处租出相机，用完后，还到三处中的 任一处即可。估计其转移概率为：
a 2 ( n ) 0 0.5
2
3
0.45 0.445
0.55 0.555
………
4/9 5/9
表2 开始销路坏时的状态概率的变化
n
a1 (n ) a 2 (n)
01
2
0 0.4 0.44 1 0.6 0.56
3 0.444
0.556
………
4/9 5/9
马尔可夫链的定义：
设 {n,n1,2,...是.}一个随机序列，状态空间E为有限或可列
对于任意的正整数m,n，若i,j, ikE(k1,2....n. .1 .)有,
P { n m j |n i ,n 1 i n 1 ,.1 . i 1 } .P { . n m .j |.n . i }
则称 {n,n1,2,....}为一个 马尔可夫链
还
相
甲
乙