大连理工大学2020年数学分析考研真题
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大连理工数学分析试题及解答Word版
大连理工数学分析试题及解答Word版2000年大连理工大学硕士生入学考试试题——数学分析一、从以下的第一到第八题中选取6题解答，每题10分1．证明：1()f x x=于区间0(,1)δ（其中001δ<<）一致连续，但是于(0,1)内不一致连续证明：01212(1)0,()[1]2(2)1||()|()()|f x x x f x f x δδδδεδδε<=<-<而由于在，内连续，从而一致连续，第一个命题成立利用定义，取，不存在为定值使得从而不难利用反证法得到第二个命题成立2．证明：若()[,]f x a b 于单调，则()[,]f x a b Riemann 于内可积证明：1101111111111()...[,],max 0(max {()}min {()})(()())(max{()()})(max{()()})i ii in i i i i i nnni i i i i i x x x x x x i ni i i i i nf x a x x x b a b x x f x f x f x f x f x f x f x f x λλλλλλ---≤≤--≤≤≤≤≤≤==-≤≤?=<<<==-=→-=-<--∑∑不妨设单调递增，且：是的一个划分,必然存在一个划分，使得11111(max{()()})lim (max {()}min {()})0i ii i i nni x x x x x x i f x f x f x f x λ---≤≤?≤≤≤≤=→--=∑（由于递增，使用二分法的思想，可以使得小于任何数）所以，，所以可积3．证明：Dirichlet 函数：0,()1,()x f x px q q ??=?=??为无理数有理数在所有无理点连续，在有理点间断，证明：0001000000()010[]1min{||}1(,),|()|()0{,{}},()n N i Zi i x f x iN x n x x x f x Nx f x x y y f x εδδεεεε+≤≤∈=?>=+=-∈-+≤<≠∈为无理数，对于，,取，显然这样的存在当所以，在无理点连续为有理数，。
2020年数学分析高等代数考研试题参考解答
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题参考解答厦门大学2018年高等代数考研试题参考解答厦门大学2019年高等代数考研试题参考解答厦门大学2020年数学分析考研试题参考解答上海交通大学2020年高等代数考研试题参考解答上海交通大学2020年数学分析考研试题参考解答首都师范大学2011年高等代数考研试题参考解答首都师范大学2011年高等代数考研试题参考解答首都师范大学2011年数学分析考研试题参考解答首都师范大学2012年高等代数考研试题参考解答首都师范大学2012年数学分析考研试题参考解答首都师范大学2013年高等代数考研试题参考解答首都师范大学2013年数学分析考研试题参考解答首都师范大学2014年高等代数考研试题参考解答首都师范大学2014年数学分析考研试题参考解答首都师范大学2020年高等代数考研试题参考解答首都师范大学2020年数学分析考研试题参考解答四川大学2005年数学分析考研试题参考解答四川大学2006年数学分析考研试题参考解答四川大学2009年数学分析考研试题参考解答四川大学2011年数学分析考研试题参考解答四川大学2020年数学分析考研试题参考解答苏州大学2010年数学分析考研试题参考解答苏州大学2011年数学分析考研试题参考解答苏州大学2012年数学分析考研试题参考解答同济大学2011年数学分析考研试题参考解答同济大学2020年高等代数考研试题参考解答同济大学2020年数学分析考研试题参考解答武汉大学2010年高等代数考研试题参考解答武汉大学2010年数学分析考研试题参考解答武汉大学2011年高等代数考研试题参考解答武汉大学2011年数学分析考研试题参考解答武汉大学2011年数学分析考研试题参考解答武汉大学2012年数学分析考研试题参考解答武汉大学2012年线性代数考研试题参考解答武汉大学2013年高等代数考研试题参考解答武汉大学2013年数学分析考研试题参考解答武汉大学2014年高等代数考研试题参考解答武汉大学2014年数学分析考研试题参考解答武汉大学2015年高等代数考研试题参考解答武汉大学2015年数学分析考研试题参考解答武汉大学2020年高等代数考研试题参考解答武汉大学2020年数学分析考研试题参考解答西南大学2002年数学分析考研试题参考解答西南大学2003年数学分析考研试题参考解答西南大学2004年数学分析考研试题参考解答西南大学2006年高等代数考研试题参考解答西南大学2006年高等代数考研试题参考解答西南大学2007年高等代数考研试题参考解答西南大学2007年高等代数考研试题参考解答西南大学2007年数学分析考研试题参考解答西南大学2008年高等代数考研试题参考解答西南大学2008年高等代数考研试题参考解答西南大学2008年学分析考研试题参考解答西南大学2009年高等代数考研试题参考解答西南大学2009年学分析考研试题参考解答西南大学2010年高等代数考研试题参考解答西南大学2010年学分析考研试题参考解答西南大学2011年高等代数考研试题参考解答西南大学2011年学分析考研试题参考解答西南大学2012年高等代数考研试题参考解答西南大学2012年学分析考研试题参考解答西南师范大学2000年高等代数考研试题参考解答湘潭大学2011年数学分析考研试题参考解答浙江大学2009年高等代数考研试题参考解答浙江大学2009年高等代数考研试题参考解答浙江大学2009年数学分析考研试题参考解答浙江大学2010年高等代数考研试题参考解答浙江大学2010年数学分析考研试题参考解答浙江大学2011年高等代数考研试题参考解答浙江大学2011年数学分析考研试题参考解答浙江大学2012年高等代数考研试题参考解答浙江大学2012年数学分析考研试题参考解答浙江大学2013年数学分析考研试题参考解答浙江大学2014年高等代数考研试题参考解答浙江大学2014年数学分析考研试题参考解答浙江大学2015年数学分析考研试题参考解答浙江大学2016年高等代数考研试题参考解答浙江大学2016年数学分析考研试题参考解答浙江大学2020年高等代数考研试题参考解答浙江大学2020年数学分析考研试题参考解答中国海洋大学2020年数学分析考研试题参考解答中国科学技术大学2010年数学分析考研试题参考解答中国科学技术大学2010年线性代数与解析几何考研试题参考解答中国科学技术大学2011年分析与代数考研试题参考解答中国科学技术大学2011年高等数学B考研试题参考解答中国科学技术大学2011年数学分析考研试题参考解答中国科学技术大学2011年线性代数与解析几何考研试题参考解答中国科学技术大学2012年分析与代数考研试题参考解答中国科学技术大学2012年高等数学B考研试题参考解答中国科学技术大学2012年数学分析考研试题参考解答中国科学技术大学2012年线性代数与解析几何考研试题参考解答中国科学技术大学2013年分析与代数考研试题参考解答中国科学技术大学2013年高等数学B考研试题参考解答中国科学技术大学2013年数学分析考研试题参考解答中国科学技术大学2014年分析与代数考研试题参考解答中国科学技术大学2014年高等数学B考研试题参考解答中国科学技术大学2014年数学分析考研试题参考解答中国科学技术大学2014年数学分析考研试题参考解答中国科学技术大学2014年线性代数与解析几何考研试题参考解答中国科学技术大学2014年线性代数与解析几何考研试题参考解答中国科学技术大学2015年分析与代数考研试题参考解答中国科学技术大学2015年高等数学B考研试题参考解答中国科学技术大学2015年高等数学理考研试题参考解答中国科学技术大学2015年数学分析考研试题参考解答中国科学技术大学2015年线性代数与解析几何考研试题参考解答中国科学技术大学2016年数学分析考研试题参考解答中国科学技术大学2020年数学分析考研试题参考解答中国科学院大学2013年高等代数考研试题参考解答中国科学院大学2013年数学分析考研试题参考解答中国科学院大学2014年高等代数考研试题参考解答中国科学院大学2014年数学分析考研试题参考解答中国科学院大学2016年高等代数考研试题参考解答中国科学院大学2016年数学分析考研试题参考解答中国科学院大学2020年高等代数考研试题参考解答中国科学院大学2020年数学分析考研试题参考解答中国科学院数学与系统科学研究院2001年数学分析考研试题参考解答中国科学院数学与系统科学研究院2002年数学分析考研试题参考解答中国科学院数学与系统科学研究院2003年数学分析考研试题参考解答中国科学院数学与系统科学研究院2004年高等代数考研试题参考解答中国科学院数学与系统科学研究院2005年高等代数考研试题参考解答中国科学院数学与系统科学研究院2005年数学分析考研试题参考解答中国科学院数学与系统科学研究院2006年高等代数考研试题参考解答中国科学院数学与系统科学研究院2006年数学分析考研试题参考解答中国科学院数学与系统科学研究院2007年数学分析考研试题参考解答中国科学院研究生院2011年数学分析考研试题参考解答中国科学院研究生院2012年数学分析考研试题参考解答中国科学院-中国科学技术大学2000年数学分析考研试题参考解答中国人民大学1999年高等代数考研试题参考解答中国人民大学1999年数学分析考研试题参考解答中国人民大学2000年高等代数考研试题参考解答中国人民大学2000年数学分析考研试题参考解答中国人民大学2000年数学分析考研试题参考解答中国人民大学2003年高等代数考研试题参考解答中国人民大学2003年高等代数考研试题参考解答中国人民大学2003年数学分析考研试题参考解答中国人民大学2003年数学分析考研试题参考解答中国人民大学2004年高等代数考研试题参考解答中国人民大学2004年数学分析考研试题参考解答中国人民大学2017年高等代数考研试题参考解答中国人民大学2017年数学分析考研试题参考解答中国人民大学2018年高等代数考研试题参考解答中国人民大学2018年数学分析考研试题参考解答中国人民大学2019年高等代数考研试题参考解答中国人民大学2019年数学分析考研试题参考解答中国人民大学2020年高等代数考研试题参考解答中国人民大学2020年数学分析考研试题参考解答中南大学2011年数学分析考研试题参考解答中南大学2013年高等代数考研试题参考解答中山大学2005年数学分析高等代数考研试题参考解答中山大学2006年数学分析高等代数考研试题参考解答中山大学2007年高等代数考研试题参考解答中山大学2007年数学分析考研试题参考解答中山大学2008年数学分析高等代数考研试题参考解答中山大学2008年数学分析考研试题参考解答中山大学2009年数学分析高等代数考研试题参考解答中山大学2009年数学分析考研试题参考解答中山大学2010年数学分析高等代数考研试题参考解答中山大学2010年数学分析考研试题参考解答。
大连理工大学数学分析考试题
µÎ inf Å
n≥1 xn
> 0.
§
¦
lim sup 16. xn yn
Ô¤§ ¦
n→∞
n→∞
xn+1 ≥ 1. xn
(1) lim inf xn lim inf yn ≤ lim inf (xn yn ) ≤ lim inf xn lim sup yn .
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
3
(2) lim inf xn lim sup yn ≤ lim sup(xn yn ) ≤ lim sup xn lim sup yn . 17. 18. xn > xn+k . xn > 0, xn
§¦
b > a, f (x)
(1) lim 4n (1 − an ); (2) lim (a1 . . . an ).
n→∞
Å
15. (HOMEWORK)
¤ ¥
f (x)
Ë (a, +∞) ŵÀ¤¥¹
n→∞
¶Ë (a, b)
¦
§4
f (x + 1) − f (x) = e. x→∞ xn lim e f (x) . = n +1 →∞ x n+1 lim
20.
{xn }
§ ¦ ˽ º ¿« n, x < x , k = 1, . . . , n . Å Ô¤¥ lim(x − x ) = 0.a = lim inf x , b = lim sup x . ³Å © © Ì [a, b].
n+1
4
ß ¡ ¥Ëµ f (x) Ë x ¬ ×Ê Å
(iii) an > 0,
¦
大连理工大学数学系考研试题集_数学分析
2π f (x)(sin nx)dx = 2
2π
f (x)dx .
n→∞ 0
π0
第5页共9页
59. f (x) ∈ R[a,b] (黎曼可积函数类), g(x) 以 T (T > 0 )为周期, 且 g(x) 在[0,T ] 上 可积, 求证:
∫ ∫ ∫ b
f
n→∞
(x)g(nx)dx →
1
T
b
g(x)dx f (x)dx .
x
f (t)dt ,
若 g(x) 单调递减,
则 f (x) ≡ 0 .
0
大连理工大学“考研数学专业共享群”资料 deepfish 编辑
∫ ∫ 57.
f (x) 是周期为 T 的连续函数, 求证:
lim 1
x f (t)dt = 1
T
f (t)dt .
x x→+∞ 0
T0
∫ ∫ 58.
f (x) ∈[0, 2π ] , 求证: lim
n→∞ n n n n
nn
50. 设 f (0) = 0 ,
f ' (0) 存在,
令 xn
=
f
(
1 n2
)
+
"
+
f
(
n n2
),
n
=
1,
2,
...
,
求
lim
n→∞
xn
.
51. f (t) 三次可微, f '' (t) ≠ 0 , 求 d 3 y . dx3
52. 设 f (x) 在[a,b] 上连续, (a,b) 内可导, 且 f (a) = f (b) = 0 , 证明: ∀λ ∈ R , ∃ξ ∈ (a,b) , 使
大连理工大学10,11,12,13上学期工科数学分析基础试题答案
-03cos 2lnlim 0=+=®xx （10分）四、解：(1)0)cos )((lim 00sin )(lim 00=-¢=÷øöçèæ-=®®x x g x x x g a x x （4分）(2)200sin )(lim )0()(lim )0(x xx g x f x f f x x-=-=¢®® =12)0(2sin )(lim 2cos )(lim 00=¢¢=+¢¢=-¢®®g x x g x x x g x x∴ ïîïíì=¹---¢=¢时时010,)sin )(()cos )(()(2x x x x x g x x g x x f （8分） （3）200)sin )(()cos )((lim )(lim x x x g x x g x x f x x ---¢=¢®® =xx x g x x g x x x g x 2)cos )(()sin )((cos )(lim 0-¢-+¢¢+-¢® =)0(12)0(f g ¢==¢¢，因此)(x f ¢在(-∞，+∞+∞))连续。
连续。
（10分）五、解五、解:: 设x x x f ln)(=，由2ln 1)('xxx f -=，可知,当e x >时)(x f 单调减少单调减少 （5分）若e a b >>，则有b b a a ln ln >，推出a b b a ln ln >，即有a b b a > 2011201220122011> （10分）分）所以六、解：2)()()(x x f x f x x x f -¢=¢÷øöçèæ（4分）分） 令)()()(x f x f x x g -¢=，)()(x f x x g ¢¢=¢，令0)(=¢x g ，得0=x （唯一驻点），当0<x 时，0)(<¢x g ，当0>x 时，0)(>¢x g ，故)0(g 为最小值，故0)0()0()(>-=³f g x g ，∴0)(>¢÷øöçèæx x f ，即x x f )(单调增加。
大连理工大学2000-2017年数学分析真题
大连理工大学2000年数学分析真题 (2)大连理工大学2001年数学分析真题 (4)大连理工大学2002年数学分析真题 (6)大连理工大学2003年数学分析真题 (8)大连理工大学2004年数学分析真题 (10)大连理工大学2005年数学分析真题 (12)大连理工大学2006年数学分析真题 (14)大连理工大学2008年数学分析真题 (16)大连理工大学2009年数学分析真题 (18)大连理工大学2010年数学分析真题 (20)大连理工大学2011年数学分析真题 (22)大连理工大学2013年数学分析真题 (24)大连理工大学2014年数学分析真题 (25)大连理工大学2015年数学分析真题 (28)大连理工大学2016年数学分析真意 (30)大连理工大学2017年数学分析真题 (32)大连理工大学2000年数学分析真题一.从以下的第一到第八题中选取6题解答，每题10分 1.证明：()xx f 1=于区间()10，δ（其中0<0δ<1）一致连续，但是于（0,1）内不一致连续。
2.证明：若()x f 于[a ，b]单调，则()x f 于[a ，b]内Riemann 可积。
3.证明：Dirichlet 函数：()()⎪⎩⎪⎨⎧==有理数为无理数q px q x x f ,1,0在所有无理点连续，在有理点间断。
4.证明：若()()b a C x f ,∈，（指（a ，b ）上的连续函数，且任意()()b a ,,⊂βα，()⎰=βα0dx x f ，那么()()b a x x f ,0∈≡，。
5.证明：∑∞=-1n nx ne 于（0,+∞）不一致收敛，但是对于0>∀δ，于[)+∞,δ一致收敛。
6.证明：()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin 4x x xx x f ，在0=x 处有连续的二阶导数。
7.利用重积分计算三个半长轴分别为a,b,c 的椭球体的体积。
8.计算第二类曲面积分：⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中，∑是三角形()10,,=++>z y x z y x ，，法方向与z y x ,,轴成锐角为正。
2022年大连理工大学数学分析考研真题+解析
大连理工大学2022数学分析考研真题试卷简答题（每题6分，共60分）1 1对任意的正整数k,存在正熬数N,当n>N时，有Ia n -al＜-)此是否可以什为hm O，n =a的k n-oc, 定义？为什么？2.求f(x )=沪|尤－11在[-1,1]上的极值点与极值3证明J(x)= cos沪在(-OO )＋OO）上不一致连续4设f(x )在［a ，叶上至多有第一类间断点证明j位）在[a ,b]上有界5试构造收敛的正项级数〉：an,使得lirn supn 加21仰＝＋O O”-+3C,It=l 6设封闭曲线f:x 3＋沪＝3xy,X 2: 0, y之0,求r 所包围区域的面积7设J(x)在[a ,b]上连续，在(a,b)上可微，f(b) > f (a)，且J(x)不是一次函数证明存在�E (a, b), 使得!'(�)> J(b ) -f(a) b -aX -!丿8.求极限lim ;t...OO 泸－叨＋l2''!J...OO 9设f(x )在(-OO,＋OO）上连续，定义g(t)＝f 位－t）勺(t )dt求g "'(x)。
10证明函数f 伈）＝区n2 x ''·在－泸＋2 (-e, e)上有任总阶导数n=l 二计算题（每题10分，共30分）+OO 1设bE凡计算！产cos bxdx.（） 2设曲面I:: 9沪＋4沪＋z2= 1，方向朝外，计符曲而积分j x d ydz + y dzdx + z d 兀dy ＄ ！但＋2沪＋3丑）}3 设向觉场F（x ,y,z)= 1 沪＋沪＋z 2+ 2功（兀十!尸+y,z),z>O ，求F的势函数，三证明题（每题12分，共60分）1设f(x)是[0,+o o )上的连续可微的凸函数，定义h(x)=J 。
:'f (l ) d t , X > 0时证明．h（兀）是冗(0, +oo)上的凸函数2设儿（沈）均在[a ,b]上可微，n = 1, 2, 3, • • 且存在正常数!V I >0，使得I J :1(x)I � M, n = 1, 2, 3, •• •, XE [a ,b]若函数列{f )l ，位）｝在[a ,b]上逐点收敛证明函数列｛儿（尤）｝在Ia,bl上一致收敛3设B,C都是n阶实的常数矩阵，且C是非奇异的定义映射f 厌'i---t 脱'l 为f位）＝Cx+B（x @x)这里xox定义为兀0兀＝（叶，马｀，点）T E贮．证明f 的值域至少包含一个内点．4设f （午）在[a ,,b]上有二阶连续导数，且f(a ) = f (b) = 0，证明max |f(午)|三(b -a )2 max |f r 心扛51)8 心还/15设瓜）住[a,+oo )上单调递减JI广义积分「00f(x) d 扎．收敛证明lim叶(:r ;)= 0 ＂x->+oo (a:) I大连理工大学 2022 年数学分析考研试题解答－简答题（每题6分，共60分）1对任意的正整数k,存在正整数N,当n>N时有, � Ia n -al<－，此是否可以作为k lim a n = a的定n➔oo 义？为什么？ 1 解答可以一方面，若Jim 钰＝a,那么对任意的正桴数k,取e=－ ＞ 0,则存在正整数1V,当n>N '）心k 时，有回－al<c: =－、k 1 另一方面，若对任意的正整数k，存在正整数N,当n>N时，有I仰－a|＜ －特别地，对任意的€> 0, l l k 任取大丁－的正整数ko,则存在正整数No,当九＞No时．有I a n -al<—< e这就说明Jim a 九＝a 0 k (） 1➔OO 2求f(x)= X 旬x -11在［一1月上的极伯点与极伯解答当XE［一1,11[t，l ，有j(x)= X 灯1-x) = xi一xi,显然J(x)在［一1月上连续，在［一1,0)U (0月可导，且2压）＝曰5 2 1 3 -－ －卢＝－曰(2-5x ).3 3由此可知土XE (－1 0)时2l'（x) ＜ 0当X �2 (0; �)时f'（动＞0,当x 2E q ,l )时f '（x )＜ 0所以f位）在(-1,0]严格递减在f 』严格递增）在[r 1]严格递减丁是0和5分别为J 的极小值占与极大值点且极小值为J (O)= 0，极大值为f （勹＝：（：）令口但是3证明f(x)= cos产在(-:::,0,＋00)上不一致连续解答取(-:::,0,+00)中的数列X n = ✓:玩兄加＝v'2吓＋1r(n=l,2,··），由于（ -7f lim (X n -如）＝lim � = 0. 九:=...oc ,~·,•. .,,., n ➔00 ✓芦＋J2n7f十7f ，浊¥[j（Xn)-f(如）］＝，抑�(cos(2n1r )一c os (2n1r + 1r)] = 2 =/= 0所以J位）仕(-oo,+oo)上不一致连续4设f(x)在[a,b]上至多有第一类间断点，证明:f(x)在(a,bJ上有界 D 解答对任意的1、oE [a, b ]，由已知，J位）在xo处存在左极限与右极限（端点只考虑单侧极限），进而由极限的局部有界性，存在0:,:0>0与M 吓＞0,使得`X E (xo -O re o'xo + D x o) n la, b ]时，有l f (x )I :s; M立。
大连理工数学分析试题及解答Word版
2000年大连理工大学硕士生入学考试试题——数学分析一、从以下的第一到第八题中选取6题解答，每题10分1． 证明：1()f x x=于区间0(,1)δ（其中001δ<<）一致连续，但是于(0,1)内不一致连续 证明：01212(1)0,()[1]2(2)1||()|()()|f x x x f x f x δδδδεδδε<=<⇒=-<-<而由于在，内连续，从而一致连续，第一个命题成立利用定义，取，不存在为定值使得从而不难利用反证法得到第二个命题成立2． 证明：若()[,]f x a b 于单调，则()[,]f x a b Riemann 于内可积证明：1101111111111()...[,],max 0(max {()}min {()})(()())(max{()()})(max{()()})i ii in i i i i i nnni i i i i i x x x x x x i ni i i i i nf x a x x x b a b x x f x f x f x f x f x f x f x f x λλλλλλ---≤≤--≤≤≤≤≤≤==-≤≤∆=<<<==-=→-=-<--∑∑不妨设单调递增，且：是的一个划分,必然存在一个划分，使得11111(max{()()})lim (max {()}min {()})0i ii ii i i nni x x x x x x i f x f x f x f x λ---≤≤∆≤≤≤≤=→--=∑（由于递增，使用二分法的思想，可以使得小于任何数）所以，，所以可积3． 证明：Dirichlet 函数：0,()1,()x f x px q q ⎧⎪=⎨=⎪⎩为无理数有理数在所有无理点连续，在有理点间断，证明：0001000000()010[]1min{||}1(,),|()|()0{,{}},()n N i Zi i x f x iN x n x x x f x Nx f x x y y f x εδδεεεε+≤≤∈=∀>=+=-∈-+≤<≠∈为无理数，对于，,取，显然这样的存在当所以，在无理点连续为有理数，。
大连理工大学数值分析历年真题与答案(研究生期末卷)
；
7．设 A 是 n 阶正规矩阵，则 A 2
；
8．求解一阶常微分方程初值问题 u(t ) (t 2 1)u t ， u(t0 ) u0 的向后（隐式） Euler 法的显式化的格式为： 9．设 a 211.001 12 为 x 的近似值，且 x a 0.5 10 2 ，则 a 至少有 。
A－5
1 3 四、 （4 分）求 Householder 变换矩阵将向量 x 2 化为向量 y 0 . 2 0
五、 （12 分）写出解线性方程组的 Jacobi 法，G-S 法和超松弛（SOR）法的矩阵表示形式， 并根据迭代法 x ( k 1) Bx ( k ) f 对任意 x ( 0) 和 f 均收敛的充要条件为 ( B) 1 , 证明若线性方 程组 Ax b 中的 A 为严格对角占优矩阵, 则超松弛（SOR）法当松弛因子 (0,1] 时收敛.
x1 3 x2 3 x1 x2 2 x x 2 1 4 4 4 x3 7
A 1， L ， U
m1
（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并计算
和 x 2；
（2）试问用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组是否收敛？ （ 3） 请给出可求出上述方程组解的收敛的 Jacobi、 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式的迭 代公式，并说明其收敛性。
五、 （12 分）求满足下列插值条件的分段三次多项式（ [3,0] 和 [0,1] ）, 并验证它是不是三次样条函数.
f (3) 27 , f (2) 8 , f (1) 1 , f (0) 0 , x [3,0] ； f (0) 0 , f (0) 0 , f (1) 0 , f (1) 1 , x [0,1] .
大连理工大学硕士研究生测验数学分析试题及解答
大连理工大学硕士研究生测验数学分析试题及解答————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：大连理工大学2005硕士研究生考试试题数学分析试题及解答一、计算题1、求极限：1222 (i),lim nnn na a na a an其中解：1212222...(1)(1)limlimlim()(1)212nn n nnna a na n a n a a Stolz nn nn 利用公式2、求极限：21lim (1)xxxe x解：2222221(1)1lim (1)lim()1111(1)(1)(ln(1))1lim lim111111(())21lim121(1)112lim (1)lim()lim()xx x x x xx x x x x x x x x x x x xx e x e e x x x x x x o e x x x x e xe ex x e x e ee3、证明区间（0，1）和（0，+）具有相同的势。
证明：构造一一对应y=arctanx 。
4、计算积分21Ddxdy yx，其中D 是x=0,y=1,y=x 围成的区域解：1122200111011ln()|ln(1)ln [(1)ln(1)(1)ln ]|2ln 2y y Ddxdy dxdyx y dyyxyxy dyydy y y y y yy 5、计算第二类曲线积分：22Cydxxdy I xy，22:21C xy方向为逆时针。
解：22222222222tan 2222cos ,[0,2)1sin211sin cos4cos222113cos22cos2213(2)(1)812arctan 421(2)(1)2311421Cx x yydxxdy Iddxyx x x x d x dxxx x x 换元万能公式代换226426212x dxdxx 6、设a>0,b>0,证明：111b ba ab b。
大连理工数学分析试题及解答
大连理工数学分析试题及解答大连理工大学硕士生入学考试数学分析试题一. 从以下的1到8题中选答6题1. 证明:2()f x x =在区间[0,]M 内一致连续(M 为任意正数),但是在[0,)+∞不一致连续2. 证明:若()f x 在[,]a b 内连续,那么()f x 在[,]a b 内Riemann 可积.3. 证明:若1α>,那么广义积分1sin x dx α+∞收敛4. 证明:若()f x ,()g x 为区间(,)a b 上的连续函数,对任意的(,)(,)a b αβ?有:()()f x dx g x dx ββαα=??,那么, ()()f x g x ≡于(,)a b5. 证明:若1nn a∞=∑收敛,那么1nxn n a e∞-=∑在[0,)+∞一致收敛6. 已知：2,0()0,0x e x f x x -?≠?=?=??，求"(0)f7. 已知：()()1(,)()22x atx at x at x at u x t d aφφψαα+-++-=+. 其中, ψ和φ分别是可以求导一次和求导两次的已知函数,计算22222(,)(,)u x t u x t a t x ??-??8. 计算,半径为R 的球的表面积二. 从9到14题中选取6题9.已知: lim '()0x f x →∞=,求证: ()lim0x f x x→∞=10.证明: ()af x dx +∞收敛,且lim ()x f x λ→+∞=,那么0λ=11.计算曲面积分: 333SI x dydz y dzdx z dxdy =++??, 其中S 为旋转椭球面2222221x y z a b c++=的外侧12.设()[0,1]f x C ∈,(0)0f =,(1)1f =,0()1f x ≤<. 求证: ()()n n S x f x =对于任意小于1的正数δ,在区间(0,1]δ-一致收敛,但是不在(0,1)一致收敛13.设()[0,1]f x C ∈,(0)0f =,(1)1f =,0()1f x ≤<. 求证: 1lim ()0n n f x dx →∞=?14.证明:若()[,]n u x C a b ∈，1,2,...,...n =且1()n n u b ∞=∑发散,那么1()n n u x ∞=∑不在[,)a b 一致收敛大连理工大学2001年硕士生入学考试数学分析试题解答一.1. 证利用定义证明(1) 对于0ε?>,21M εδ?=+,12||x x δ?-<,那么12121212|()()||()()|2||2f x f x x x x x M x x M δε-=-+<-<<(2) 任取1ε=,0δ?>,1211,22x x δδδ==+, 1212121|()()||()()|1f x f x x x x x δδ-=-+>=,推出矛盾,从而命题得证■2. 证利用一致连续的定义和Riemann 可积的定义来做因为函数在闭区间内连续,所以一致连续. 根据一致连续的定义对0ε?>,δ?,12||x x δ?-<,12|()()|f x f x ε-<考虑可积的定义,对于一个[,]a b 分割112:...n a a a a b ?=<<<=,11max ||i i i na a λ+≤<=-下面证明:振幅函数121110,[,]1()limmax {()}()i i n i i x x a a i w x f x a a λ+-+→∈==-∑=0当λδ<时,12111110,[,]110()limmax {()}()()i i n n i i i i x x a a i i w x f x a a a a b λεε+--++→∈==≤=-≤-=∑∑.根据夹逼定理,不难得到()0w x =. 从而,命题得证■3. 证利用莱布尼兹交错级数:假设;n a n π=,1sin nn a n a s x dx α-=?考虑:111|||||sin ||sin |n nnn a a n n a a s s x dx x dx αα+-+-=-?1111[|sin ||sin |]n n n n x x dx xx dx ππππααππα--+-=+??1111[|sin |(2)|sin |]n n n n xx dx n x x dx ππππααππαπ--++=--??1111[(2)]|sin |0n n x n x x dx ππααπαπ--+=--<?11lim |||sin |||lim ||0nnn n a a n n a a n n s x dx dx n n s αααπππ--→∞→∞=≤=--?=??如此,不难看出1sin x dx α+∞是一个莱布尼兹交错级数,从而命题得证■4. 证不妨设:2a bc +=()()x c F x f t dt =?,那么()()F x G x =于(,)x a b ∈因为()f x ()g x 都是(,)x a b ∈上的连续函数,所以()'()()()f x F x G xg x ===■5. 证利用A-D 判别法做，也可以通过Abel 求和公式出发推导1nxn n a e∞-=∑中nxn b e-=,现在,根据原题:1n n a∞=∑收敛,1nxnb e -=≤一致有界所以,根据Abel 判别法,知该函数项级数在定义域一致收敛. ■6. 解题目有问题,在零点不连续■7. 解不断利用链式求导法则()()1(,)()22x atx at x at x at u x t d aφφψαα+-++-=+(,)()()()()()()()()()()22'()'()'()'()22u x t xx at x at x at x at x at x at x at x at x at x x at x x x ax at x at x at x at aφφψψφφψψ+?+?-?-?+?-++--?+??-=+++-+--=+22'()'()()()(,)()()()()22"()"()'()'()22x at x at x at x at u x t x at x at x at x at x ax at x at x at x at aφφψψφφψψ?+?-?+?-+-+?-?+?-=+++-+--=+同理:(,)()()()()()()()()()()22'()'()'()'()22u x t tx at x at x at x at x at x at x at x at x at t x at t t t aa x at a x at x at x at φφψψφφψψ+?+?-?-?+?-++--?+??-=++--++-=+222'()'()()()(,)()()()()"()"()'()'()22x at x at x at x at aa u x t x at x at x at x at x x at x at x at x at a aφφψψφφψψ?+?-?+?--++?-?+?-=+++-+--=+22222(,)(,)0u x t u x t a t x ??-=??■8. 解方法很多,此处介绍一种比较简单的假设:()V R 为半径R 为的球的体积2234()()3R R V R R x dx R ππ-=-=?假设: ()S R 为半径R 为的球的表面积20()()()'()4RV R S x dx S R V R R π=?==?■二9. 证L ’Hosptial 法则因为x →+∞，()'()lim lim lim '()0'x x x f x f x f x x x →∞→∞→∞===■10. 证反证法如果命题不成立,即0λ≠,那么,根据极限的定义,G ?,当x G >的时候, |()|||2f x λ>()Gf x dx +∞→∞?和收敛矛盾,从而命题得证■11. 解利用Gauss 定理加换元3332223()VSI x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz =++=++换元sin cos sin sin ,[0,1],[0,2),[0,]cos x ar y br r z cr ?θ?θθπ?π?=??=∈∈∈??=?4222222223sin (sin sin sin cos cos )VI abc r a b c drd d ??θ?θ?θ?=++22322322200033(sin sin sin cos )cos sin 55abc abc a b d d c d πππ?θ?θ?θ=++332232203646()sin ()5555abc abc abc abc a b d a b πππ??=++=++?■12. 证首先由于在闭区间内连续,所以函数在闭区间内一致连续(1)(0,1]x δ?∈-,根据确界存在定理,存在上确界,且上确界不等于1,否则和题意矛盾不妨设:(0,1]sup ()1x f x m δ∈-=<根据定义,对于0ε?>,ln ln N mε=,当n N >,|()||()|n n n S x f x m ε=≤< 从而知一致收敛于0(2)首先,根据前半题,显然()n S x 于(0,1)x ?∈收敛于0由于(1)1f =,且函数一致收敛，存在一组数列：12...a a <<,1()1i fa n=- 如此,考虑11lim ()lim ()lim(1)0nnn n n n n n S a f a ne→∞→∞→∞==-=≠,从而不是一致收敛的. ■13. 证利用前一小题的结论因为()nf x 内闭一致收敛,对于0ε?>,2εδ?=,当n 足够大的时候:10()2n f x dx δε-<又1111|()|||2n f x dx dx δδε--<=所以,1111()()()n n n f x dx f x dx f x dx δδε--=+<?从而命题得证. ■14. 证反证法:假设命题不成立,那么1()n n u x ∞=∑在[,)a b 一致收敛.即0ε?>,N ?,,m n N ?>,(,)x a b ?∈,|()|m n nu x ε<∑因为|()|lim |()|m mn n x bnnu b u b ε→=≤∑∑,否则与()[,]n u x C a b ∈矛盾而1|()|n n u b ∞=∑发散,所以|()|n n Nu b ∞=∑发散,与|()|lim |()|m m n n x bnnu b u b ε→=≤∑∑矛盾从而命题得证. ■。
大连理工大学602数学分析2020年考研专业课初试大纲
大连理工大学2020年硕士研究生入学考试大纲科目代码：602 科目名称：数学分析试题类型主要包括填空题，选择题，判断题，计算题，解答题，证明题和综合题等，具体考试大纲如下：一、数列极限1、数列极限的概念，ε-N语言。
2、数列极限的性质和运算法则。
3、数列极限的存在性、求极限的一些方法。
4、基本列的定义，Cauchy原理及其应用。
5、无穷大和无穷小的概念以及无穷大与无穷小的联系。
6、数集的上、下确界，数列的上、下极限。
7、实数的六个等价定理。
8、Stolz定理。
二、函数极限与连续1、集合的势，可数集与不可数集。
2、函数极限定义，ε—δ语言，函数极限的其他形式。
3、函数极限的性质，函数极限与数列极限的关系。
4、无穷小与无穷大的级的概念，o与O的运算规则。
5、函数在一点连续的定义及其性质，初等函数的连续性，间断点分类。
6、一致连续的定义，连续与一致连续的区别、一致连续的判别。
7、有界闭区间上连续函数的各种性质及其应用。
8、函数上、下极限的概念与性质。
三、函数的导数及其应用1、导数的定义，导数的几何意义，导数及高阶导数的运算规则，导数和高阶导数的计算。
2、微分的定义及其运算规则，一阶微分形式的不变性。
3、微分学的中值定理(包括Fermat定理, Rolle中值定理，Lagrange中值定理,Cauchy中值定理，Darboux定理 )及其应用。
4、函数的单调性，函数的极值和最值，函数的凹凸性等及利用导数研究函数。
5、L’Hospital法则及应用。
6、Taylor定理、各种余项的Taylor展开（包括Lagrange余项、Cauchy余项、积分余项的Taylor展式等）以及函数的Maclaurin展式，Taylor展开的应用。
7、函数作图。
四、不定积分1、原函数的定义及不定积分的运算规则，基本公式。