选址问题数学模型

选址问题数学模型

摘要：

本题是用算法和代数相结合来进行数学模型，来解决1.高中应该建立在哪个乡镇上，才能够使得最远的乡镇的学生上学最近；2.应该建立在哪个乡镇上，使学生往返学校的平均距离最短。通过对原型进行初步分析，分清各个要素及求解目标，理出它们之间的联系.在用算法模型描述研究对象时，为了突出与求解目标息息相关的要素，降低思考的复杂度。对客观事物进行抽象、化简，并用矩阵描述事物特征及内在联系的过程.建立代数模型是为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题。

针对问题1：我们要通过建立矩阵模型，分别求出高中建立在每一个乡镇，此时到该高中的最远乡镇，然后将这些最远的乡镇相互比较，得出就近的。这个问题也就解决了。

针对问题2：这个问题和第一个问题类似的处理手法，都是分别将数据列出来，然后进行比较。也是要先分别求出高中建立在每一个乡镇上，此时学生往返学校的平均值，然后再将这25组数据进行比较，得出其中平均距离最短的一组。确定高中应该建立在哪个乡镇上。

关键词：最远最近平均距离最短矩阵 max min

1.问题的重述

1.1问题的背景

某行政区有25个乡镇，每个乡镇的具体位置（用平面坐标系x，y表示）及高中生人数t，如表1，假设乡镇之间均有直线道路相连，现在一个乡镇上建立一所高中，然后我要要开始选址了。

1.2问题的提出

1.高中应该建立在哪个乡镇上，才能够使得最远的乡镇的学生上学最近；

2.高中应该建立在哪个乡镇上，使学生往返学校的平均距离最短。

附有表格

（便于表格的完整性，放到了下一页）

表1：各乡镇的位置及高中生人数

2.模型假设

（1）各个乡镇之间的路都是一样的，没有难行和不好行的区别

（2）各个乡镇之间的交通设置都是一样的

（3）各个乡镇之间不受地形等天然因素的影响

3.符号说明

X：乡镇距离x轴的距离；y：乡镇距离y轴的距离；t：每个乡高中生的人数；max(d)：距离高中最远乡镇的数据；min(max(d))：最远数据中的最近

乡镇；sum(t)：平均到高中的距离；min(a)：平均距离当中的最小值。

4.问题的分析

问题1的分析：建立在哪一个乡镇上，才能够使得最远的乡镇的学生上学最近。也就是说，首先要求出最远的乡镇这一组数据，然后我们在这最远的乡镇中做比较，得出最近的，确定此时的高

中建立在哪一所乡镇上面。

问题2的分析：建立在哪一所乡镇上，使学生往返学校的平均距离最短。同样的，也是需要考察我们对大量数据的处理能力。要分别设高中建立在第一所乡镇上面，其他24所乡镇学生到高中的

往返平均距离；然后在求建立在第二所乡镇上面，其他24所乡镇学生到高中的往返平均距

离；然后在求建立在第三所乡镇上面……依次得到25组平均距离的数据。然后我们将这25

数据进行比较，得出学生往返学校的平均距离最短的。从而知道此时的高中建立在哪一个

乡镇上，解决这个问题。

5.问题的解答：

问题1的解答：

我们可以运用MATLAB软件，对数据进行分析，然后得出如下数据：

>> x=[385.4 83.6 64.7 255.8 0.0 134.2 110.3 17.0 37.5 163.0 326.7 248.8 209.2 290.7 339.8 291.1 222.5 262.4 296.9 137.4 353.8 138.6 23.7

287.5 401.2];

>>y=[156.6 101.5 141.8 297.2 260.3 375.9 333.1 187.1 251.2 23.2 216.0 182.9 45.4 342.7 188.9 394.9 262.9 0.0 52.4 197.9 15.3 90.3 131.2 359.5

250];

>>for i=1:1:25

>>for j=1:1:25

>>d(i,j)=((x(i)-x(j))^2+(y(i)-y(j))^2)^(0.5);

>>end

>>end

>>d

d =

Columns 1 through 13

0 306.7886 321.0413 191.2185 399.1076 333.4575

326.8520 369.6604 360.5323 259.3402 83.5108 139.1088 208.3552

306.7886 0 44.5118 260.6748 179.4614 279.0264

233.1340 108.4570 156.6375 111.5135 268.7152 184.1657 137.5593

321.0413 44.5118 0 246.3095 135.0124 244.1988

196.6597 65.7828 112.7307 154.0417 272.3043 188.6320 173.7044

191.2185 260.6748 246.3095 0 258.4478 144.8456

149.8635 262.9590 223.0939 289.2885 107.7973 114.5141 256.0758

399.1076 179.4614 135.0124 258.4478 0 177.1243

132.1587 75.1481 38.5883 287.7245 329.6898 260.5613 299.9111

333.4575 279.0264 244.1988 144.8456 177.1243 0

49.0209 222.2190 157.8004 353.8739 250.2484 224.4597 338.9030

326.8520 233.1340 196.6597 149.8635 132.1587 49.0209 0 173.2654 109.5785 314.3490 246.0516 204.3093 304.2244

369.6604 108.4570 65.7828 262.9590 75.1481 222.2190

173.2654 0 67.2983 219.4976 311.0455 231.8380 238.7880

360.5323 156.6375 112.7307 223.0939 38.5883 157.8004

109.5785 67.2983 0 260.2580 291.3343 222.0644 268.0196

259.3402 111.5135 154.0417 289.2885 287.7245 353.8739

314.3490 219.4976 260.2580 0 252.9220 181.2891 51.2570

83.5108 268.7152 272.3043 107.7973 329.6898 250.2484

246.0516 311.0455 291.3343 252.9220 0 84.6405 207.1488

139.1088 184.1657 188.6320 114.5141 260.5613 224.4597

204.3093 231.8380 222.0644 181.2891 84.6405 0 143.0888

208.3552 137.5593 173.7044 256.0758 299.9111 338.9030

304.2244 238.7880 268.0196 51.2570 207.1488 143.0888 0

208.8092 317.9117 302.3852 57.3434 302.1527 159.9828

180.6553 314.8381 269.2257 344.0749 131.7152 165.2018 308.2686

55.8807 270.6976 279.1029 137.0580 347.2204 277.9215

271.0422 322.8050 308.6528 242.3112 30.1002 91.1976 194.0325

256.2799 359.3603 339.5829 103.8816 320.7123 158.0462

191.0704 343.9646 291.4835 393.1545 182.4077 216.1788 358.9678

194.5150 212.9394 198.9122 47.8056 222.5152 143.4081

132.3514 219.0340 185.3696 246.9744 114.2683 84.2122 217.9063

199.1295 205.6008 243.2951 297.2733 369.6077 397.1600

366.1830 308.5896 337.1668 102.0715 225.3675 183.4049 69.9385

136.7110 218.8783 248.8156 248.2262 362.4528 362.1098

337.0639 310.6253 326.8177 137.0469 166.2919 139.0822 87.9789