高等数学下复习题答案

A．充分必要
B．充分不必要
C．必要不充分
D．无关
9.设 f x y, x y x 2 y 2 ，则 f f （ D ）
x y
A． 2x y B． 2x y C． x y D． x y
10.设区域 D : x2 y 2 1, x 0 , f x, y 在 D 上连续,则 f x2 y 2 dxdy =( D )
一、选择题
2018<<高等数学(下)>>复习题(二)答案
1.
判断极限
lim
(x, y)(0,0)
x2 y x2 y2
（
A
）
A.0
B．1
C.不存在
D.无法确定
2.设 f x | x | an cos x ， x - , ，则 a0 （ B ）. n0
A. 2
B.
2
C.
D.0
3.若
f x 是周期为 2
28． f x, y = x 2 2xy 4 y 2 2x 4 y 1的极小值点为 - 2,-1。
1
1
29.交换二重积分积分次序, dx
f x, ydy
1
dy
y2 f x,y dx ;
0
x
0
0
30.设 D : x 2 y 2 a 2 , x 0 ，则 a 2 - x 2 - y 2 dxdy 1 a3
D
D
4x2 9 y 2 dxdy
D
13 x2 y 2 dxdy 13 2 d 2 r 2rdr = 52 。
2D
20
0
45.计算三重积分 x 2 y 2 dV ，其中 是由曲面 x 2 y 2 2z 以及平面 z 2 所围城的闭区域。
4
解：由 x 2 y 2 2z 与 z 2 消去 z 得到 x 2 y 2 4 ，所以
dS 1 z 2 z 2 dxdy
5
dxdy
x x
25 x 2 y 2
所求曲面面积
5
dxdy
Dxy 25 x 2 y 2
2 d 4 5 rdr
0
0 25 r 2
4
10 25 r 2 20
0
48．设 L 为 x a(cos t t sin t), y a(sin t t cos t) ,0 t 2 ，求 (x 2 y 2 )ds . L
A.有极限
B.连续
C.可微
7.曲面 z 2 xy 在点 1,4,2处的切平面方程是( B )
D.以上都不对
A. 4x y 0 B. 4x y 4z 0 C. 4x y z 0 D. x 4 y z 0
8．函数 f x, y 在点 x0 , y0 连续是 f x, y 在点 x0 , y0 偏导数存在的（ D ）条件。
由高斯公式
xdydz ydxdz zdxdy 1 1 1dV a3
1
xdydz ydxdz zdxdy adxdy a3
dz
z x
dx
z y
dy
2 xf1/
y
cos
xyf
/ 2
dx
2 yf1/
x cos
xyf
/ 2
dy
42．设 z x 2 y 2 xy ，其中 x sin t, y et ，求 dz dt t0
解： dz z dx z dy 2x ycos t 2 y xet
dt x dt y dt
x2 zdxdy x2 R 2 x2 y 2 dxdy
Dxy
2 d R r 2 cos 2 R 2 r 2 rdr
0
0
R r 3 R 2 r 2 dr 0
2 R3 sin3 t R2 R2 sin 2 td R sin t 0
2 R5 sin 3 t cos 2 tdt 2 R5 sin 3 t sin 5 t dt
l
1,1的方向导数=
2
三、计算题
41．设 z f x 2 y 2 ,sin xy 可微，求 dz
解：设 u x 2 2 , v sin xy ，则
z x
z u
u x
z v
v x
f1/
2x
f
/ 2
y cos xy
z y
z u
u y
z v
v y
f1/
2y
f
/ 2
x cos xy
2
34. 设幂级数 an xn 的收敛半径为 3，则幂级数 nan (x 1)n1 的收敛区间为 2,4
n0
n1
35.设级数
n1
(1) n1 n a1
为条件收敛，则 a 的取值范围为 (1,2] .
36．设级数 un
n1 3
收敛，则
lim
n
un
0
。
xn
37．幂级数 n1 n2
的收敛区间是_（-1,1）_____。
C． 1n
1
n1
n3
D． 1n
n1
1
nn 1
18．下列级数中收敛的是（ C ）
1
A．
n2 n ln n
n
B． n1 n2 1
n
C．
n1 n5 1
D．
cos
n1 n
19.设 k
为正数，则 (1)n
n1
k
3n n2
（
C
）
A. 发散
B. 绝对收敛
C. 条件收敛
D. 敛散性与 k 有关
20．设 an x n 在 x 2 处为条件收敛，则级数 an nx n1 在 x 1处（ C ）
的奇函数，
f x
a0 2
an
n1
cos nx bn
sin nx ，则 bn
（
B
）
A.0
2 B.
0
f xsin nxdx
C.
2
f xsin nxdx
D.
2
0
f xcos nxdx
4.设 ：x2
y2
z2
9
，则
x 2 y 2 z 2 ds ( C )
xyz0
A.108
B. 216
0
0
R5 2 4 2 4 R5 3 5 3 15
51.计算 xdydz ydxdz zdxdy ，其中 是圆锥面 x 2 y 2 z 2 , 0 z a 的下侧. 解：设 1 : z a ，x, y Dxy : x 2 y 2 a 2 上侧，则由 , 1 组成了一个封闭曲面，其所围区域为 ，
D
A.
2
1
0
rf
r
dr
B.
1
0
f
r
dr
C.
2
1
0
f
r
dr
D.
1
0
rf
r
dr
11.设有界闭区域 D1 与 D2 关于 y 轴对称， f u, v在区域 D D1 D2 上连续，则 f x 2 , y dxdy (A)
D
1
A． 2 f x2 , ydxdy B． 0
D1
C． 4 f x2 , y dxdy D． 1 f x2 , y dxdy
D1
2 D1
12.设 D {(x, y) : x 2 y 2 2} ，则 x 2 y 2 dxdy （ B ）
D
A． 2 d 2 r 3dr
0
0
B． 2 d 2 r 3dr
0
0
C． 2 d 2 r 2 dr
0
0
D． 2 d 2 r 2dr
0
0
13.设 L : x
22
1
38.已知 (x a)n 在 x 2 收敛，则 a 的取值范围是（1,3] .
n1
n
39.设 x2 ao
2
an cos nx ， x - ,
n1
，则
n1
-1
n an
=
2 2 3
.（先计算 a0
2 2 3
，再取 x ）
3
40.
函数
f x, y
x2
y
2
在点
1,0
处沿
: 0 2 , 0 r 2, r 2 z 2 2
x2 y2
dV
2 d
0
2
rdr
0
2 r2
r 2dz
2
2 d
0
2 0
r 3
2
r2 2
dr
2
r4
2
r6 12
2 0
16 3
46．计算 zdV ，其中 由曲面 x 2 y 2 2z 及平面 z 2 围成.
解： : 0 z 2, x, y Dz : x 2 y 2 2z ，
L
d 1 x 4 xy sin y Pdx Qdy
4
L
x3
y
dx x cos ydy
1 4
x
4
xy
sin
y
1,1 0,0
=
3 4
sin 1
50 ．计算 x2 zdxdy ，其中 是上半球面 x 2 y 2 z 2 R 2 z 0 的上侧.
解： : z R 2 x 2 y 2 , (x, y) Dxy : x 2 y 2 R 2 ，上侧
Dz 是半径为 2z 的圆，其面积为 2z
zdV 2 z 4zdz 4z3 2 16
0
30 3
47.求球面 x 2 y 2 z 2 25 被平面 z 4 截得的上半部分曲面的面积.
解： : z 25 x 2 y 2 , x, y Dxy x, y : x 2 y 2 32
t 0 时， x 0, y 1。 dz 2x ycos t 2 y xet 1 2 3
dt t0
t0
43.求二重积分 xdxdy ，其中 D 是由曲线 y x 与 y 2 x 所围城的区域。
D
解： D : 0 x 1, x y x
xdxdy
1
dx
x xdy
A．1
B． 0
C． 0.4
D． 0.8
16.级数 un 收敛的充分条件是（ D ） n1
A. lim un1 1
u n n
B.前 n 项和 Sn 有界
C.
lim
n
u
n
0
D.
lim
n
u1
u2
...
un
存在
17．下列级数中条件收敛是（ D ）
A． n1 sin n 2
B． n1 cos n 2
x
6
24．设
f
(x,
y)
ln(x
y ), 则 2x
f
' y
(1,0)
1 x
25.设 y f x是由 x 2 y 2 1 所确定的函数，则 dy - x ；
dx y
26.曲线 x t, y t 2 , z t 3 在点 1,1,1处的法平面方程是 x 2 y 3z - 6 0 ；
27．曲线 z x 2 y 2 在点 (1,1,2) 处的切平面方程是 2x 2 y-z 2 0 。
C. 54
5.二次积分
2 d
cos f r cos , r sin rdr 可化为（
D）
0
0
D. 36
1
A. dy
y-y2
f x, y dx B.
1
dy
1- y 2
f x, y dx C.
1
dy
1
f x, ydx
D.
1
dx
x-x2
f x, y dy
00
00
00
00
6.若 f x，y 在点 x0 , y0 处的偏导数存在，则 f x, y 在此点处（ D ）
解： ds dx 2 dx 2 dt at cos t 2 at sin t 2 dt atdt
dt Fra Baidu bibliotek dt
(x2 y 2 )ds 2 a(cos t t sin t)2 a(sin t t cos t)2 atdt
L
0
a3
2 0
1 t2
tdt
a3
t 2
y2
1,取正方向,则
L
xdy x2
ydx y2
(
C
)
A.
B. 2
C. 0
D.1
14．设 L 为连接点 1,0和 0,1的直线段，则 x yds （ C ） L
A．1
B． 2
C． 2
D． 3
15．设 L 为曲线 y 2 x 上从点 A1,1到点 B1,1 的一段弧，则 xydx （ D ） L
2
t4 4
2 0
a3
2 2 4 4
.
5
49.设 L 圆周 y 2x x2 上从点 0,0到 1,1 一段弧，求 x3 y dx x cos ydy .
L
解：记 Px, y x3 y ， Qx, y x cos y ， P Q 1
y x
所以积分 x3 y dx x cos ydy 与路径无关。
D
3
31．设 C 是以原点为圆心半径为 a 的圆，则 x2 y2 ds 2a3
C
32．设 L 是椭圆 x2 y 2 1，逆时针方向，则 2x 3y 1dy 3x 2 y 1dx 48 。
9 16
L
33. 设 du xy 2dx x k ydy ,则 ux, y 1 x 2 y 2 C ;
n0
n1
A. 必发散 二、填空题
B. 条件收敛
C. 绝对收敛
D. 敛散性无法确定
21. 过原点且垂直于平面 2 y z 2 0 的直线为 x y z 0 2 1
22. 设 a {1,0,2} ， b {3,1,1} ，则 a b ={2,5,1}
2
323. x, ylim0,1
9 xy 1
1
x
x x 2 dx 2 1 1
0
x
0
D
5 3 15
44.计算积分 2x 3y2 dxdy ，其中 D : x 2 y 2 4 。
D
解： D : 0 2 ,0 r 2
由对称性 xydxdy 0, x2dxdy y2dxdy
D
D
D
2x 3y2 dxdy 4x2 9 y 2 12xy dxdy