北师大版初中数学七上 综合与实践 -探索神奇的幻方 课件 _2
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参考答案：可以。比如将原来 的幻方绕中心旋转180度，它们 仍将满足发现的那些相等关系： 具体相当于9 和1互换，7和3互 换，2和8互换。（事实上，洛 书三阶幻方共有8种情况）
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618 753 294
研究三阶幻方5
（4）在你构造的幻方中，最核心位置是
什么？有没有“成对”的数？这是一般规
开拓视野1 幻方诗情
诗歌使人巧慧，数学使人灵敏。在艺术中，与数 学最接近的就是诗歌了。许多数学家认为，不能在心 灵上作为一个诗人就不能成为一位数学家。九宫图是 一首迷人的诗，那么四阶幻方也是一首完美的诗，一 首震憾人们心灵的诗。四阶完美幻方共有三类。它所 具有的幻性是十分丰富的，其分布规律，其结构关系， 表现出惊人的和谐对称性，及整齐一律的美，并蕴含 深奥的哲理思想。在我们的心灵中四阶完美幻方就是 一首有严格韵律的四句诗，它激起了我们想象空间的 升华，我们用它的数字结构进行诗歌艺术的创作，所 创作成的每首诗歌，宛如新生的绿树，盛开着文学艺 术和数学理趣的并蒂花。
研究三阶幻方1
在(洛书）三阶幻方中， （1）你能发现哪些相等的关系？横行、竖行、斜 对角的三个数之和分别是多少？ （2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些连 线段会构成一个怎样的图形？描述你得到的图形 有什么特点？ （3）你能否改变上述幻方中数字的位置，使它们 仍然满足你发现的那些相等关系吗? （4）在你构造的幻方中，最核心位置是什么？有 没有“成对”的数？这是一般规律吗？你能证明 它吗？ （5）你还有什么新的发现？
研究三阶幻方3
（2）如果把和相等的每一组 数分别连线，这些连线段会 构成一个怎样的图形？描述 你得到的图形有什么特点？
参考答案：构成如图所示的图 案，“5”在中间，四个角上的 数是偶数，其余是奇数。
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研究三阶幻方4
（3）你能改变这个幻方中数 字的位置，使它们仍然满足 你发现的那些相等关系吗?
e
f
45+3e=60，所以e=5
ghi
因此，三阶幻方的正中间一格必须填5.
研究三阶幻方5
（5）你还有什么新的发现？
参考：中国幻方主页的网址：http://www.zhghf.com 或 http://www.zhghf.net 幻方英才留言板 www.beipiaoonline.com/ly/default.asp?user= 中国幻方英才之家。 沈文基幻方研究主页 http://www.nbu-swji.zj001.net/ 郭先强等幂和 - 幻方 http://maths.myrice.com/ 任初农《龙颂》幻方主 页 http://www.notia.com.cn/longsong/index.html， 中国幻方国际英文版 http://www.zhghf.com/china/
《综合与实践》 北师大版七年级（上）
探寻神奇的幻方
结识幻方1
据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出 一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人 认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底 制服。后人称之为“洛书”，即现在的三阶幻方。
34 9 2 357
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洛书
三阶幻方 (九宫图）
结识幻方2
观察这个三阶幻方， 看看有什么特点？
制作三阶幻方1 1、各小组展示课前的预习作业。
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834 159 672
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276 951 438
438 951 276
294 753 618
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制作三阶幻方2
2、请将-2、-1、0、1、2、3、4、5、6填入到 3X3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上 的三个数之和相等，观察所得的3X3方格，比较 洛书三阶幻方，小组讨论问题3。
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一般地，一个n行n列的正方形方格中， 每一横行、每一竖列和对角线上的数字和 都相等，这样的数字方阵称为n阶幻方。
结识幻方3
Байду номын сангаас
一般地，一 个n行n列的正 方形方格中，每 一横行、每一竖 列和对角线上的 数字和都相等， 这样的数字方阵 称为n阶幻方。
以下是一个幻方吗？ 13 2 3 16 8 11 10 5 12 7 6 9 1 14 15 4
1 6 -1 024 5 -2 3
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制作三阶幻方3
4、（机动）试利用问题3的结论制作一个三 阶幻方。
反思小结 1、请你说出九宫图的一些主要特点。 2、你认为怎样的九个数可以满足三阶幻方的要求？ 应怎样把这九个数填入三阶幻方？说说你的道理。 3、你还有什么新的猜想？在研究中，你还有哪些 结论，有哪些感受，与同伴交流。
1 6 -1 024 5 -2 3
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（洛书三价幻方）
制作三阶幻方
3、有人发现将这个洛书三阶幻方中每个数减3就得到 左边的幻方，或者说将左这每个数加3就得到右中的 幻方。是不是可以这样认为：原来幻方中的每个数分 别增加任意一个相同的数，就构成一个幻方。你能说 说其中的道理吗？
如果每个数同时扩大相同的倍数呢？ 如果先扩大相同的倍数，再同时增加另一个数呢？
律吗？你能证明它吗？（友情提示：利用 这9个数字之和为45）
参考答案：1、最核心位置是正中间的 那一格；有4 对“成对”的数：
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2、将9个数分别用a、b、c、d、e、f、g、h、i表
示，则有：a+e+i=15，c+e+g=15，
abc
b+e+h=15，d+e+f=15.
d
四式相加得：（a+b+c+d+e+f+g+h+i）+3e=60，
•问题2参考解答：将洛书三阶幻方中的每个数同时 加或减同一个整数，或者同时乘同一个整数，也就 是只要9个数“等差”，就都可以构成一个三阶幻方。 •想进一步了解的同学，课后可以上前面的网站仔 细查看、探究。
课外作业
课本190页第1题： 自行选取一组数构造一个三阶幻
方，使得每行、每列、每条对角线上 的三个数之和为60。
研究三阶幻方2
（1）你能发现哪些相等的关系？横行、竖行、 斜对角的三个数之和分别是多少？
参考答案：相等关系有很多，例 如，每行、每列、每对角线上的 三个数之和都等于15。又如，把
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每列数字看成一个三位数，则这 个这三位数之和等于它们逆转数
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之和，（对行也有类似相等关系）
等等。
（即：438+951+276=834+159+672=1665）
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研究三阶幻方5
（4）在你构造的幻方中，最核心位置是
什么？有没有“成对”的数？这是一般规
开拓视野1 幻方诗情
诗歌使人巧慧，数学使人灵敏。在艺术中，与数 学最接近的就是诗歌了。许多数学家认为，不能在心 灵上作为一个诗人就不能成为一位数学家。九宫图是 一首迷人的诗，那么四阶幻方也是一首完美的诗，一 首震憾人们心灵的诗。四阶完美幻方共有三类。它所 具有的幻性是十分丰富的，其分布规律，其结构关系， 表现出惊人的和谐对称性，及整齐一律的美，并蕴含 深奥的哲理思想。在我们的心灵中四阶完美幻方就是 一首有严格韵律的四句诗，它激起了我们想象空间的 升华，我们用它的数字结构进行诗歌艺术的创作，所 创作成的每首诗歌，宛如新生的绿树，盛开着文学艺 术和数学理趣的并蒂花。
研究三阶幻方1
在(洛书）三阶幻方中， （1）你能发现哪些相等的关系？横行、竖行、斜 对角的三个数之和分别是多少？ （2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些连 线段会构成一个怎样的图形？描述你得到的图形 有什么特点？ （3）你能否改变上述幻方中数字的位置，使它们 仍然满足你发现的那些相等关系吗? （4）在你构造的幻方中，最核心位置是什么？有 没有“成对”的数？这是一般规律吗？你能证明 它吗？ （5）你还有什么新的发现？
研究三阶幻方3
（2）如果把和相等的每一组 数分别连线，这些连线段会 构成一个怎样的图形？描述 你得到的图形有什么特点？
参考答案：构成如图所示的图 案，“5”在中间，四个角上的 数是偶数，其余是奇数。
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研究三阶幻方4
（3）你能改变这个幻方中数 字的位置，使它们仍然满足 你发现的那些相等关系吗?
e
f
45+3e=60，所以e=5
ghi
因此，三阶幻方的正中间一格必须填5.
研究三阶幻方5
（5）你还有什么新的发现？
参考：中国幻方主页的网址：http://www.zhghf.com 或 http://www.zhghf.net 幻方英才留言板 www.beipiaoonline.com/ly/default.asp?user= 中国幻方英才之家。 沈文基幻方研究主页 http://www.nbu-swji.zj001.net/ 郭先强等幂和 - 幻方 http://maths.myrice.com/ 任初农《龙颂》幻方主 页 http://www.notia.com.cn/longsong/index.html， 中国幻方国际英文版 http://www.zhghf.com/china/
《综合与实践》 北师大版七年级（上）
探寻神奇的幻方
结识幻方1
据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出 一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人 认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底 制服。后人称之为“洛书”，即现在的三阶幻方。
34 9 2 357
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洛书
三阶幻方 (九宫图）
结识幻方2
观察这个三阶幻方， 看看有什么特点？
制作三阶幻方1 1、各小组展示课前的预习作业。
492 357 816
834 159 672
618 753 294
276 951 438
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294 753 618
672 159 834
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制作三阶幻方2
2、请将-2、-1、0、1、2、3、4、5、6填入到 3X3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上 的三个数之和相等，观察所得的3X3方格，比较 洛书三阶幻方，小组讨论问题3。
492 357 816
一般地，一个n行n列的正方形方格中， 每一横行、每一竖列和对角线上的数字和 都相等，这样的数字方阵称为n阶幻方。
结识幻方3
Байду номын сангаас
一般地，一 个n行n列的正 方形方格中，每 一横行、每一竖 列和对角线上的 数字和都相等， 这样的数字方阵 称为n阶幻方。
以下是一个幻方吗？ 13 2 3 16 8 11 10 5 12 7 6 9 1 14 15 4
1 6 -1 024 5 -2 3
492 357 816
制作三阶幻方3
4、（机动）试利用问题3的结论制作一个三 阶幻方。
反思小结 1、请你说出九宫图的一些主要特点。 2、你认为怎样的九个数可以满足三阶幻方的要求？ 应怎样把这九个数填入三阶幻方？说说你的道理。 3、你还有什么新的猜想？在研究中，你还有哪些 结论，有哪些感受，与同伴交流。
1 6 -1 024 5 -2 3
492 357 816
（洛书三价幻方）
制作三阶幻方
3、有人发现将这个洛书三阶幻方中每个数减3就得到 左边的幻方，或者说将左这每个数加3就得到右中的 幻方。是不是可以这样认为：原来幻方中的每个数分 别增加任意一个相同的数，就构成一个幻方。你能说 说其中的道理吗？
如果每个数同时扩大相同的倍数呢？ 如果先扩大相同的倍数，再同时增加另一个数呢？
律吗？你能证明它吗？（友情提示：利用 这9个数字之和为45）
参考答案：1、最核心位置是正中间的 那一格；有4 对“成对”的数：
492 3 57 816
2、将9个数分别用a、b、c、d、e、f、g、h、i表
示，则有：a+e+i=15，c+e+g=15，
abc
b+e+h=15，d+e+f=15.
d
四式相加得：（a+b+c+d+e+f+g+h+i）+3e=60，
•问题2参考解答：将洛书三阶幻方中的每个数同时 加或减同一个整数，或者同时乘同一个整数，也就 是只要9个数“等差”，就都可以构成一个三阶幻方。 •想进一步了解的同学，课后可以上前面的网站仔 细查看、探究。
课外作业
课本190页第1题： 自行选取一组数构造一个三阶幻
方，使得每行、每列、每条对角线上 的三个数之和为60。
研究三阶幻方2
（1）你能发现哪些相等的关系？横行、竖行、 斜对角的三个数之和分别是多少？
参考答案：相等关系有很多，例 如，每行、每列、每对角线上的 三个数之和都等于15。又如，把
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每列数字看成一个三位数，则这 个这三位数之和等于它们逆转数
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之和，（对行也有类似相等关系）
等等。
（即：438+951+276=834+159+672=1665）