3.2 函数的单调性与极值

序号 （1）
条件
在 (a , b)内有
f (x) >0
在 (a , b)内有
（2） f (x) <0
结论
函数 y f (x)
在 (a , b) 内单 调增加
函数 y f (x)
在 (a , b) 内单 调减少
例3.2.1 讨论函数 f (x) 3 x2 的单调性。
解： 函数
f (x) 3 x2 的定义域为 (,) ，因为 f (x) 2 ，
3.2 函数的单调性与极值
3.2.1 函数的单调性
【案例3.3】商品价格的上涨会引起市场需求的减少和供应的增加，其 供给曲线与需求曲线如下：
供应曲线
需求曲线
结论：曲线单调上升，切线的倾斜角为锐角；曲线单调下降， 切线 的倾斜角为钝角。
1.函数单调性的判定
定理 3.3
设函数 y f (x) 在开区间(a , b) 内可导，则
例3.2.3
设某产品的价格函数为 P 20 Q 5
，P为价格，Q
为销售量，
试求收益函数的单调区间。
解：收益函数为 R(Q) PQ 20Q Q2 ，它的定义域为 [0, )。又
5
R(Q)
20
2Q 5
，令
R(Q)
0，得驻点
Q
50
，列表讨论如下：
x
[0 , 50)
50
(50 , )
f (x)
序号 （1）
条件
f (x0 ) 0
结论
f (x0 )是函数 f (x) 的极大值；
（2）
f (x0 ) 0 f (x0 )是函数 f (x) 的极小值；
（3） f (x0 ) 0 f (x0 ) 是否为函数 f (x) 的极值还需进一步判断。
【思考】 为什么当 f (x0 ) 0 ，则 f (x0 )是否为函数 f (x)
1.求出区间(a, b) 上的驻点与不可导点；
2.计算出上述驻点与 不可导点以及区间端 点的函数值；
3.比较上述各函数值， 最大的就是函数的最 大值，最小的就是函 数的最小值。
【 作业 】 习题3 3~8
令 f (x) 0 ，解得 x1 1 ，x2 1 ；列表得
x (, 1)
1
f (x)
+
0
(1, 1)
—
1
(1, )
0
+
f (x) ↗ 有极大值 ↘ 有极小值 ↗
所以函数 f (x) 在 x 1 处取得极大值，极大值为 f (1) 2 ；
函数 f (x) 在 x 1 处取得极小值，极小值为 f (1) 2 。
当 x x0 时 f (x) 0
（3） 在 x0 的两侧，f (x) 具有相同的符号
结论
函数 f (x) 在 x0
处取得极大值；
函数 f (x) 在 x0
处取得极小值；
函数 f (x) 在 x0
处无极值。
求函数 f (x) 的极值点和极值的一般步骤为：
（1）确定函数 f (x) 的定义域； （2）求导数 f (x) ，并求出函数 f (x) 的驻点与连续不可导点； （3）用上述诸点按从小到大的顺序将定义区间分为若干子区间；列表考察
f (3) 25
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课堂练习一: 1．求下列函数的极值。
（1） f (x) x ex
（2） f (x) x 3 3 x2 2
3.2.1 函数的单调性
观察下列图像：
问：函数在哪点取得最大值？在哪点取得最小值？
我们把函数在某一范围内取得的函数值最大的称为函数的最大值， 最小的称为函数的最小值；最大值与最小值统称为函数的最值。
—
0
+
f (x)
↘
↗
所以，收益函数的单调增区间为 [0 , 50)；单调减区间为 (50 , )。
2.利用函数的单调性证明不等式
例3.2.4 证明不等式：e x 1 x（x 0） 。
证明：
设 f (x) e x 1 x ，显然 f (x) 在 x 0 时连续，且f (0) 0 。又 f (x) e x 1 >0 （x 0）
2．函数极值的判定
定理 3.4
（极值存在的必要条件） 如果函数 f (x) 在点 x0
可导，并且在点 x0 处取得极值，则必有 f (x0 ) 0 。
观察下图知：驻点有可能是函数的极值点。
图3.6（a）
图3.6（b）
再观察下图知：不可导点也有可能是函数的极值点。
图3.7（a）
图3.7（b）
问题：什么样的驻点或不可导点是函数的极值点呢？
的极值还需进一步判断？
例3.2.7 求函数 f (x) x3 3x2 9x 2 的极值。
解： 因为函数 f (x) 的定义域为 (,) ，且 f (x) 3x2 6x 9 ，令 f (x) 0 ，得驻点x1 1 ，x2 3 。又 f (x) 6x 6 。 因为 f (1) 12 0 ，所以函数 f (x) 在 x1 1 处取得极大值 f (1) 7 ；f (3) 12 0 ，所以函数 f (x) 在 x2 3 处取得极小值为
—
0
+
f (x)
↘
↗
我们把使 f (x) 0 的点 x0 称为函数 f (x) 的驻点或稳定点。
一般地，求函数单调性的步骤为：
（1）求函数 f (x) 的定义域； （2）求导数 f (x) ，并进一步求出 f (x) 的驻点与不可导点；
（3）用（2）中的点将定义域进行划分；
（4）在每个开区间内判定 f (x) 的符号，由定理3.3得出相应的结果。
求函数 f (x) 在闭区间[a, b] 上最值的方法：
（1）求导数 f (x) ，并求出区间(a, b) 上的驻点与不可导点；
（2）计算出上述驻点与不可导点以及区间端点的函数值；
（3）比较上述各函数值，最大的就是函数的最大值，最小的就 是函数的最小值。
例3.2.8 求函数 f (x) x3 6x2 5 在 [1, 3] 上的最大值和最小值。
所以函数f (x) 在(0,) 上单调增加，那么当x 0 时，f (x) > f (0)。 因此，当x 0 时，e x 1 x 。
课堂练习一： 1．求函数 y x3 9x2 15 x 3 的单调区间。 2．证明不等式：ln(1 x) x （ x 0 ）。
3.2.2 函数的极值
1．函数极值的定义 观察图像：
分析 关键看函数在定义域内一阶导数的符号。
函数 f (x) x 2 ln x 的定义域为 (0,)，因为 f (x) 1 2 x 2 xx
令 f (x) 0 得 x 2，用它将定义域分成两个区间：(0 , 2) ， (2, ) 。
列表讨论如下：
x
(0 , 2)
2
(2, )
f (x)
函数 f (x) 在点 x1，x2 处有何特点？ 显然，f (x) 在 x1 的周围其他点的函数值比 f (x1)小，在 x2 周围其他点的函数值比 f (x2 ) 大。
定义 3.1
设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域内有定义，如果在该邻域
内任取一点 x（ x x0 ），均有 f (x) f (x0 ) ，则称 f (x0 ) 是函数 f (x)
33 x
当 x 0 时，f (x) 0，函数 f (x) 3 x2 在区间(,0) 上单调减少；
当 x 0 时，f (x) 0 ，函数 f (x) 3 x2 在区间 (0,)上单调增加。
注：此题中，x 0 是函数 f (x) 的不可导点。
例3.2.2 求函数 f (x) x 2ln x 的单调区间。
列表讨论如下：
x
( , 0) 0 (0 , 1)
1 (1 , )
f (x)
—
0
+
—
f (x)
↘
↗
↘
所以函数 f (x) 在 x 0 处取得极小值，极小值 f (0) 0；函数 f (x) 在 x 1处取得极大值，极大值为 f (1) 1 。
2
定理 3.6 （极值的第二充分条件）设 x0 是函数 f (x) 的驻点，且 f (x0 ) 存在，则
例3.2.6
求函数
f
(x)
3
2
x3
x
的极值。
2
解：函数
f
(x)
3
x
2 3
x 的定义域为
(,)
，因为
2
f (x)
1
x3
1 1 3
x
3x
令 f (x) 0 得驻点 x 1，又 f (x) 的连续不可导点是 x 0 ，
用它们将定义域分成三个区间：( , 0)，(0 , 1) ，(1 , ) 。
f (x) 在各个子区间内的符号，判定出函数 f (x) 在子区间上的单调性， 也就得到了极值点； （4）求出各极值点处的函数值，就得到函数 f (x) 的全部极值。
例3.2.5 求函数 f (x) x3 3x 的极值。
解： 因为函数 f (x) 的定义域为 (, ) ，又
f (x) 3x2 3 3(x2 1) 3(x 1)( x 1)
解： 因为 f (x) 3x2 12 x 3x(x 4)，令 f (x) 0 ，得驻点x1 0 ，x2 4
（舍去），又 f (0) 5 ，f (1) 2 ，f (3) 22 。所以函数 f (x) 在 [1, 3] 上的最大值是 f (0) 5 ，最小值是 f (3) 22 。
定理 3.5
（极值的第一充分条件） 设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域
内可导（点 x0 可除外，但在点 x0 处必须连续），且 f (x0 ) 0 或 f (x0 )
不存在。
序号 （1）
条
当 x x0 时 f (x) 0
件 当 x x0 时
f (x) 0
当 x x0 时 （2） f (x) 0
的一个极大值，并称点 x0 为函数 f (x) 的极大值点；如果在该邻域内
任取一点 x （ x x0 ），均有 f (x) f (x0 ) ，则称 f (x0 ) 是函数 f (x)
的一个极小值，并称点 x0 为 f (x) 的极小值点。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值 点统称为函数的极值点。
【 3.1 小结 】
函数的单调性
函数的极值
函数的最值
1.利用一阶导数 的符号判断函数 的单调性或嫠函 数的单调区间；
2.利用单调性的 判断求证函数 不等式
1.求函数的一阶导数，并 求出函数定义域内的驻点 与连续不可导点；
2.若只有驻点则用判定理 2判断极值点；否则用判 定定理1判断极值点；
3.求出各极值点处的函数 值，就得到函数的全部 极值。