一阶导数 Word 文档
一阶导数及应用
f / ( x) ? 0 x ? 1 驻点唯一，
x
2
∵
f
// ( x) ?
x?
1 x2
?
0
∴ f ( 1 ) 极小
2
f ( 1 ) 为最小值
2
即 x ? 0 f (x) ? f ?? 1 ?? ? 3 ? 1 ln 2 ? 0
? 2? 2 2
14
第二讲 一阶导数应用
例1 P91 ， 习题22
当 证明
f (x) ? lim
x ? lim
x ? ln x
n? ?
n
n? ?
n
x?e
f (x) ?
ln 2en lim
?
lim ln 2 ? n
?1
n? ? n
n? ? n
?
f (x) ?
?1 ??ln x
0? x?e x?e
? f (x)在(?? ,?? )连续
lim f (x) ? lim f (x) ? f (e) ? 1
证： 令 F ?x ?? f ?x ? a ?? f ?x?? f ?a ? F / ?x?? f / ?x ? a?? f / ?x?
∵ f / ?x? 单调减
a ? 0 ，x ? a ? x ，f / ?x ? a?? f / ?x? ∴ F / ?x?? 0 即 F ?x ? 单调减
fx? ?0,b?， f ?a ? b?? f ?a?? f ?b?
2 2x 4
x
0? x? 2
S / (x) ? 1 (3x 2 ? 8 - 16 ) ，令 S/ (x) ? 0 x ? 2
4
x2
3
S// ( 2 ) ? 0 3
《微积分公式手册》word版
微积分公式一导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
一阶导数及其应用大学教案
教案：一阶导数及其应用教学目标：1. 理解一阶导数的定义及其物理意义；2. 学会求解常见函数的一阶导数；3. 掌握一阶导数在实际问题中的应用，如运动物体的瞬时速度和加速度。
教学内容：1. 一阶导数的定义；2. 求一阶导数的方法；3. 一阶导数在实际问题中的应用。
教学步骤：一、引入（5分钟）1. 通过举例，如物体运动的速度，引出导数的概念；2. 解释导数的概念：导数表示函数在某一点的瞬时变化率；3. 引出一阶导数的概念：函数在某一点的一阶导数表示该点的瞬时变化率。
二、讲解一阶导数的定义（15分钟）1. 给出一阶导数的定义：函数在某一点的一阶导数是其极限极限；2. 解释一阶导数的物理意义：表示函数在某一点的瞬时变化率；3. 通过图形演示一阶导数的意义：切线的斜率。
三、求一阶导数的方法（20分钟）1. 介绍求一阶导数的基本方法：导数的基本公式和求导法则；2. 讲解常见函数的一阶导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等；3. 举例练习求解一阶导数。
四、一阶导数在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍运动物体的瞬时速度和加速度的概念；2. 解释瞬时速度和加速度与一阶导数的关系；3. 举例说明如何利用一阶导数求解运动物体的瞬时速度和加速度。
五、总结与作业（5分钟）1. 总结一阶导数的定义、求法及其应用；2. 布置作业：求解一些常见函数的一阶导数，以及运用一阶导数解决实际问题。
教学评价：1. 课后收集学生的作业，检查学生对一阶导数的理解和应用能力；2. 在下一节课开始时，让学生进行小组讨论，分享彼此在一阶导数应用方面的经验和问题，以此促进学生的交流和思考。
(word完整版)高中数学导数及其应用(2021年整理)
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高中数学导数及其应用一、知识网络二、高考考点1、导数定义的认知与应用；2、求导公式与运算法则的运用;3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；6、导数在解决实际问题中的应用.三、知识要点（一）导数1、导数的概念（1）导数的定义(Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x(△x可正可负）,则函数y相应地有增量 ,这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率。
如果时，有极限,则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率),记作，即。
（Ⅱ）如果函数在开区间（ )内每一点都可导，则说在开区间（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即。
认知：(Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。
(Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲：①求函数的增量；②求平均变化率 ;③求极限上述三部曲可简记为一差、二比、三极限.(2）导数的几何意义:函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。
函数的可导与连续既有联系又有区别:（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续；若函数在开区间(）内可导,则在开区间(）内连续(可导一定连续）。
3.一阶导数 1
n ( x −1) n →∞
可导,试求常数 可导 试求常数 a,b 并满足
例 设方程
xy 2 + e y = cos( x + y 2 )确定 y = y(x )
y ( 0) = 0
求
y ′′(0)
例 若
f ′(cos x + 2) = tan 2 x + 3 sin 2 x
的某邻域内具有一阶连续导数， 例 设f(x)在 x = 0的某邻域内具有一阶连续导数，且 在 的某邻域内具有一阶连续导数 f (0) ≠ 0, f ′(0) ≠ 0 若 af ( h) + bf ( 2n ) − f (0) 在 h → 0 是比h高阶的无穷小， 是比 高阶的无穷小，求a,b的值 高阶的无穷小 的值 例 设
则 f (x)在x = 0 处 在 （A）极限不存在 ）极限不存在. （B）极限存在，但不连续 ）极限存在， （C）连续，但不可导 ）连续， （D）可导. ）可导
【
】
内可导， 例 已知函数 f (x) 在(0,+∞)内可导，f (x)>0， 内可导 > ，
1 f ( x + hx) = ex lim f ( x) = 1 ，且满足 lim h →0+ x →+∞ f ( x) 求 f (x). 1 h
（2） 证明 ϕ ′(x ) 处处连续 ）
1
（1） 求 ϕ ′(x ) ）
ϕ 连续， 例 设f ( x) 连续， ( x) = ∫0
为常数）， （ A 为常数），
f ( x) =A f ( xt ) dt , 且 lim x →0 x
计算机数学基础一高阶导数、微分)
2020/3/26
22
计算机 数学
1.6.4
微分在近似计算中的
应用
根据前面的介绍，如果y＝f(x)在点x0处 有导数 y f ( x0 ) ，且| Δx |很小时，有
y f ( x0 )x
（1-33）
将Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)代入式（1-33）可 得
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x （1-34）
➢解由题意可设函数 f (x) sin x
➢则 f (x) cosx
➢以因为 sin 29o sin(30o 1o )
➢设
x0
30o
6
, x
1o
,
180
2020/3/26
28
计算机 数学
➢则由公式有
sin 29o sin cos ( )
6
6 180
1 3 (0.0175) 22
2020/3/26
12
计算机 数学
1.6.1
微分的定义（续五）
解 由 y 3 x2得 y(1) 3。 （1）Δx＝0.1时，有
Δy＝(1＋0.1)3－13 ＝0.331
dy y(1)x 3 0.1 0.3 （2）Δx＝0.01时，有
Δy＝(1＋0.01)3－13 ＝0.030 301
dy y(1)x 3 0.01 0.03dy Fra bibliotekf ( x)dx
从而有
dy f ( x) dx
2020/3/26
（1-32）
14
计算机 数学
1.6.1
微分的定义（续七）
此前， dy 是作为导数的整体符号介绍 的。有了dx微分的概念后，可以把它看成
两个微分（dy和dx）的商。因此，导数
一阶二阶三阶导的题
我们要探讨关于一阶、二阶和三阶导数的问题。
首先，我们要明白什么是导数。
导数描述了一个函数值随其自变量的变化率。
一阶导数表示函数值的变化率，二阶导数表示一阶导数的变化率，也就是函数值的加速度。
而三阶导数则表示二阶导数的变化率，也就是加速度的变化率。
假设我们有一个函数f(x)，那么：
一阶导数表示为f'(x) 或df/dx。
二阶导数表示为f''(x) 或d^2f/dx^2。
三阶导数表示为f'''(x) 或d^3f/dx^3。
现在，假设我们有一个具体的函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，我们要计算它的一阶、二阶和三阶导数。
函数f(x) = x3 - 3*x2 + 2x + 1 的一阶导数为：
f'(x) = 3x**2 - 6*x + 2
函数f(x) = x3 - 3*x2 + 2x + 1 的二阶导数为：
f''(x) = 6x - 6
函数f(x) = x3 - 3*x2 + 2*x + 1 的三阶导数为：
f'''(x) = 6。
一阶导数的英语
一阶导数的英语English:The first derivative, also known as the first order derivative or simply the derivative, represents the rate of change of a function at any given point. It measures how the function's output changes with respect to its input. Geometrically, it corresponds to the slope of the tangent line to the function's graph at that particular point. Mathematically, it is defined as the limit of the average rate of change of the function over an infinitesimally small interval as the interval approaches zero. The first derivative is a fundamental concept in calculus and is widely used in various fields such as physics, engineering, economics, and biology to analyze and solve problems involving rates of change.中文翻译:一阶导数，也称为一阶导数或简称导数，表示在任意给定点处函数变化的速率。
它衡量函数的输出随其输入的变化。
几何上，它对应于函数图表在特定点的切线斜率。
数学上，它被定义为函数在一个极小区间上的平均变化率当区间趋近于零时的极限。
一阶求导公式
一阶求导公式好的，以下是为您生成的关于“一阶求导公式”的文章：咱先来说说一阶求导公式这回事儿。
这玩意儿啊，在数学的世界里可重要着呢！不知道你有没有过这样的经历，走在大街上，突然看到一个招牌上的数学公式，脑子就开始不由自主地转起来。
就像有一次，我路过一家新开的咖啡店，店门口的招牌上居然写着一个一阶求导公式。
当时我就想，这老板可真有意思，难道是想用数学公式来吸引数学爱好者？一阶求导公式，简单来说，就是用来描述函数变化快慢的工具。
比如说，你跑步的速度就是路程这个函数的一阶导数。
想象一下，你参加跑步比赛，别人都在关心谁先到达终点，而你通过一阶求导公式，能清楚地知道自己在每个瞬间的速度变化，是不是很神奇？咱先看看常见的几个一阶求导公式。
像幂函数的求导公式，$(X^n)^\prime=nX^{n-1}$ 。
这就好比你爬楼梯，每上一层楼，高度的变化就跟这个公式有关系。
再比如说指数函数的求导公式，$(a^x)^\prime=a^x\ln a$ ，这就像是细胞的分裂，增长的速度和这个公式紧密相连。
在学习一阶求导公式的时候，很多同学一开始会觉得头疼。
但其实啊，只要你多做几道题，多琢磨琢磨，就会发现其中的乐趣。
我记得有个学生，刚开始接触一阶求导公式的时候，那叫一个迷茫。
做一道题错一道题，都快没信心了。
我就告诉他，别着急，咱们慢慢来。
我陪着他从最基础的公式推导开始，一步一步地，让他自己去感受其中的规律。
后来啊，他终于开窍了，不仅能熟练运用一阶求导公式解题，还对数学产生了浓厚的兴趣。
还有正弦函数和余弦函数的一阶求导公式，$(\sin x)^\prime=\cos x$ ，$(\cos x)^\prime=-\sin x$ 。
这两个公式就像是音乐的旋律，有起有伏。
当你在解决涉及三角函数的问题时，它们就会发挥出巨大的作用。
一阶求导公式在实际生活中的应用也不少呢！比如在物理学中，研究物体的运动速度、加速度，都离不开一阶求导公式。
一阶导数的应用
课题九 一阶导数的应用【授课时数】总时数：4学时。
【学习目标】1、会判断函数的单调性；2、会求函数的极值；3、会用导数求解实际问题的最值问题。
【重、难点】重点：用导数判断函数的单调性和极值，由函数导数的正负引出。
难点：解最大值与最小值的实际应用题，由实例讲解方法。
【授课内容】前面我们学习了函数与导数的关系， 下面我们再来研究函数的单调性和极值的判 别方法。
一、函数的单调性与极值1．函数的单调性(1)定义:(2)判断定理：设函数 ) (x f y = 在闭区间 ] , [ b a 上连续，在开区间 ) , ( b a 内可导，有①若 ) , ( b a x Î 时， 0 ) ( > ¢ x f ) 0 ) ( ( ³ ¢ x f 或 ，则 ) (x f y = 在 ] , [ b a 上单调增加；②若 ) , ( b a x Î 时， 0 ) ( < ¢ x f ) 0 ) ( ( £ ¢ x f 或 ，则 ) (x f y = 在 ] , [ b a 上单调减少；③若 ) , ( b a x Î 时， 0 ) ( = ¢ x f ，则 ) (x f y = 在 ] , [ b a 上为常数（不增也不减）。
例1．判断函数 x x y sin - = 在 ] 2 , 0 [ p 上的单调性。
例2．求下列函数的单调区间：⑴ 59 6 ) ( 2 3 - + - = x x x x f ⑵ 3 2) ( x x f = (3)步骤：2．函数的极值(1)定义：(2)函数极值存在的判断定理：①必要条件：②第一充分条件：例3．求 3 12 9 2 ) ( 2 3 - + - = x x x x f 的极值。
③第二充分条件：例4．求函数 x x x f - = 3 3 1 ) ( 的极值。
3．一般步骤：例5．求下列函数 x x x f - = 3 2 2 3) ( 的单调区间和极值。
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一阶导数
导数 derivative 由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。
又称变化率。
如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米／小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米／小时。
为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置x与时间t的关系为x＝f（t），那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)/t1-t0]，当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况，自然就把极限[f(t1)-f(t0)/t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。
一般地，假设一元函数 y＝f(x )在 x0点的附近(x0－a ，x0 ＋a)内有定义，当自变量的增量Δx＝ x－x0→0时函数增量Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f 在x0点的导数（或变化率)，记作f′（x0），即
f′（x0）=Δy/Δx (Δx→0)
若极限为无穷大，称之为无穷大导数
若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作f′，称之为f的导函数，简称为导数。
函数y＝f（x）在x0点的导数f′（x0）的几何意义：表示曲线l 在P0〔x0，f（x0）〕点的切线斜率。
导数是微积分中的重要概念。
导数定义为，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。
如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
y＝f(x )的导数f′就是f的一阶导数
：二阶导数
所谓二阶导数，即原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。
例如：y=x^2的导数为y=2x,二阶导数即y=2x的导数为y=2。
二阶导数的几何意义
意义如下：
（1）切线斜率变化的速度
（2）函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）这里以物理学中的瞬时加速度为例:
根据定义有a=（v'-v）/Δt=Δv/Δt
可如果加速度并不是恒定的某点的加速度表达式就为：
a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)
又因为v=dx/dt 所以就有
a=dv/dt=d^2x/dt^2 即元位移对时间的二阶导数
将这种思想应用到函数中即是数学所谓的二阶导数
f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数）
f''(x)=d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)
关于你的补充：
二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量，它不像一阶导数那样有明显的几何意义，因为它表示的是一阶导数的变化率。
在图形上，它主要表现函数的凹凸性，直观的说，函数是向上突起的，还是向下突起的。
应用：
如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。
几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。
应用范围：
如果函数y=f(x)的导数（导函数）f'仍是可导函数，则可进而求出它的导数（f'）'，称之为f的二阶导数，记作f''，或y‘’。