高三数学二轮专题五第1讲直线与圆

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第1讲
(2)设直线系 M：xcos θ＋(y－2)sin θ＝1 (0≤θ≤2π)，对于
下列四个命题：
本 讲
①M 中所有直线均经过一个定点；
栏 目
②存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上；
开 关
③对于任意整数 n (n≥3)，存在正 n 边形，其所有边均在 M
中的直线上；
④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
栏 目
在的条件，其次要注意倾斜角的范围．
开 关
(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零
截距”而造成丢解的情况．
(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验
斜率不存在的情况，防止丢解．
(4)求直线方程的主要方法是待定系数法．在使用待定
系数法求直线方程时，要注意方程的选择，注意分类讨论
的思想．
高考真题感悟
第1讲
解析 圆 C 的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．
由题意知(4,0)到 kx－y－2＝0 的距离应不大于 2，
本 讲
即 |4kk2－＋21| ≤2.
栏
目 开 关
整理，得 3k2－4k≤0.解得 0≤k≤43.
故 k 的最大值是43.
答案
4 3
高考真题感悟
第1讲
考题分析 本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距
本 离公式以及不等式基础知识，体现了对分析问题、转化应
讲 栏
用能力的考查，题目难度适中．
目
开 关
易错提醒 (1)应透彻理解题意．
(2)不能将问题转化，使解题受阻.
主干知识梳理
第1讲
1．直线的方程
本 讲
(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存
本 讲 栏 目 开 关
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高考真题感悟
第1讲
第 1 讲 直线与圆
本 【高考真题感悟】
讲
栏 目
(2012·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2
开 关
＋y2－8x＋15＝0，若直线 y＝kx－2 上至少存在一点，使
得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的
最大值是________．
时要格外注意．
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第1讲
(1) “a＝－1”是“直线 ax＋(2a－1)y＋1＝0
和直线 3x＋ay＋3＝0 垂直”的
( A)
本 A．充分而不必要条件
讲
栏 B．必要而不充分条件
目
开 C．充要条件
关
D．既不充分又不必要条件
解析 若直线 ax＋(2a－1)y＋1＝0 和直线 3x＋ay＋3＝0 垂直，则 a×3＋(2a－1)×a＝0，解得 a＝0 或 a＝－1. 故 a＝－1 是两直线垂直的充分而不必要条件．
l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
(7)在运用公式 d＝ |CA1－2＋CB2|2求平行直线间的距离时，一
定要把 x，y 项的系数化成相等的系数．
主干知识梳理
第1讲
2．圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为(a，b)，
半径为 r.
本
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－
这类问题在高考中属于基本问题，常与充要条件的判断、
本
讲 向量知识、圆或圆锥曲线等知识结合起来命题．虽为基础
栏
目 开
知识，但最易陷入易混易错的陷阱．
关 (2)恰当的选取特殊直线，是解题的关键所在．同时还要注
意，多选问题一直是高考数学学科的一个特色，这种题目
知识面广，难度大，往往一“题”不慎，满盘皆输，解题
法．根据所给条件恰当选择标准方程或一般方程.
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第1讲
本 题型一 直线的概念、方程及位置关系问题
讲
栏 目
【例 1】 (1)已知直线 l1：x－2my＋3＝0，直线 l2 的方向
开 关
向量为 a＝(1,2)，若 l1⊥l2，则 m 的值为___________．
解析 由直线 l2 的方向向量为 a＝(1,2)，知直线 l2 的斜率 k2＝2，∵l1⊥l2，∴直线 l1 的斜率存在，且 k1＝21m， 由 k1·k2＝－1，即21m·2＝－1，得 m＝－1.
本 讲
无理数，但直线经过整点(1,0)；③正确，当直线经过两个
栏 目 开
整点时，它经过无数多个整点；④错误，当 k＝0，b＝12时，
关
直线 y＝12不通过任何整点；⑤正确，比如直线 y＝ 2x－ 2
只经过一个整点(1,0)．故答案为①③⑤.
答案 ①③⑤
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第1讲
(1)考查两条直线位置关系的题目，比较常见，
讲 栏 目
4F>0)，圆心为(－D2 ，－E2)，半径为 r＝ D2＋2E2－4F；二
开
关 元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要
条件是AB＝＝C0，≠0， D2＋E2－4AF>0.
(3)圆的方程中有三个独立系数，因此必须具备三个独
立条件才能确定一个圆，确定系数的方法可用待定系数
③直线 l 经过无穷多个整点，当且仅当 l 经过两个不同的整点
④直线 y＝kx＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与
b 都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
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第1讲
解析 ①正确，比如直线 y＝ 3x－ 2，当 x 取整数时，y
始终是一个无理数；②错，直线 y＝ 2x－ 2中 k 与 b 都是
主干知识梳理
第1讲
(5)在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与 垂直，它们是两条直线的特殊位置关系．另外，解题时认
本 真画出图形，有助于快速准确地解决问题．
讲 栏
(6)判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直
目 开
线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线 l1，l2
关 斜率都存在，且不重合的条件下，才有 l1∥l2⇔k1＝k2 与
其中真命题的代号是__________．
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第1讲
解析 由直线 xcos θ＋(y－2)sin θ＝1 (0≤θ≤2π)，知定点 本 P(0,2)到直线系中的每条直线的距离 d＝ cos2θ1＋sin2θ＝1，
讲
栏 即 M 为圆 C：x2＋(y－2)2＝1 的全体切线组成的集合．从
目
开 而直线系中存在两条平行直线，故①错；P(0,2)显然不在任
答案 －1
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第1讲
(2)在平面直角坐标系中，如果 x 与 y 都是整数，就称点(x，
y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题
本 讲
的编号)．
栏 目
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
开 关
②如果 k 与 b 都是无理数，则直线 y＝kx＋b 不经过任何整点