材料力学(附录))

12 y
解：
I
x
12163 12
10123 12
86
C
x
86
2
2.656103(cm4)
单位：cm
§ I-5 转轴公式 主惯性轴
一、 惯性矩和惯性积的转轴公式
已知： I x , I y , I xy, α
y
求： I x1 ,I y1 ,I x1y1
y1
解： I x1 Ay12dA
xy11
x co s y cos
单位：cm
40 10
20 y
1
C2
15 单位：cm
I
y
I
y
i
I
y1
Iy2
I
y1
1
0203 12
0.67104(cm4)
I
y
2
40153 12
1.13104 (cm4 )
x
I y I y1 I y2
y
x1
(0.671.13)104
1.8104 (cm4 )
[例] 计算图示图形对其形心轴x轴的惯性矩。
x 1
A1
x
2
A2
A
A1 A2
120 10
110105 9010 45
C2
23(mm)
10110 9010
90
x
yyi
Ai
y 1
A1 y 2
A2
A
A1 A2
11010 65 90105 38(mm) 10110 9010
§I-2 惯性矩和惯性半径 一、惯性矩：
定义： I x y 2dA
A
IP x2dA y2dA
A
A
y
IP Iy Ix
dA
d
y x
Cx
Ix Iy IP 2Ix
[例] 计算空心圆对于其对称轴（形心轴）的惯性矩。
y Dd
C
D
Ix
2
3d
2
(sin
)2d
d
0
2
x
D
2
d
3d
2 1
0
cos2
2
d
2
D4 d 4
Ix 64 64
Ix
D4
64
(1 4 )
( Dd )
y
（面积矩、一次矩）
x
二、形心：
x AxdA
A
Sy A
y AydA Sx
y
AA
x
dA
C
x yy
x
S x Ay
则：
S y Ax
（1）简单图形的形心和静矩：
S y Ax Sx Ay
（2）组合图形的静矩和形心：
y
xC
yx
Sx AydA
y
Ai ydA
Ai yi
∴
Sx Ai yi Sy Ai xi
C
a
I x I xc a2 A
同理： I y I yc b2 A
xC
I xy I xcyc abA
x 注意: C点必须为形心
40 10
[例] 计算图示图形对其形心轴x轴和y轴的惯性矩。
20 y
1
解：
y Ai yi A
A1
y 1
A2
y 2
A1 A2
10
20 10
45 20
4015 20 4wenku.baidu.com15
A
I y x 2dA
y
A
Ix、Iy称为图形对x轴、y轴
的惯性矩（量纲：[长度]4）
x dA
y
x
[例I-4] 计算矩形对于其对称轴（形心轴）的惯性矩。
解：
dAdxdy
y
I x y2dA
A
dA
y
h
x
C
y2dxdy
A
h
b
2
y
2
d
y
2
dx
h2
b2
bh3
12
b
bh3 Ix 12
hb3 Iy 12
求： I x , I y , I xy
解：Ix A y2dA
A( yC a)2 dA
x xC b
y
yC
a
xC
A( yC2 2ayC a 2 )dA
A yC2 dA2aA yC dAa2 AdA
x
I xc 2aSxc a 2 A
Sxc AyC 0
I x I xc a2 A
y
yC
b xC dA yC
[例I-5] 计算圆形对于其对称轴（形心轴）的惯性矩。
解： dAdd y sin
y
dA
d
d
C
I x I y y2dA
A
Ix A( sin )2 dd
d
2
3d
2
(sin
)2d
0
0
d
x
2
0
3d
2
0
1
cos2
2
d
d 4
Ix 64
极惯性矩： IP 2dA
A
I P (x2 y2 )dA
三、惯性半径：
I x ix2 A
I
y
i
2 y
A
ix和iy分别称为图形对于x轴和y轴的惯性半径。
ix
Ix A
,
iy
Iy A
圆截面：
d 4
ix
I x 64
A
d 2
d 4
4
四、组合图形的惯性矩：
y 1
2 C
3
Ix y2dA
A
y2dA
x
Ai
Ix i
Ix Ixi Iy Iyi
y 1
Cx
§I–3 惯性积
Ixy xydA
A
Ixy称为图形对x、y轴的惯性积。 y
x dA
y
x
如果 x 轴（或 y轴） 是对称轴，则惯性积Ixy =0
y
-x x
y
y
Ixy xydA
A
x
y
h C
x
d
y
x C
b Ixy =0
Ixy =0
§I-4 平行移轴公式 一、平行移轴公式：
y
yC
b xC dA yC
C
a
已知： I xc ,I yc ,I xc yc , a, b
y s i n x s i n
Ix1 A( ycos xsin)2 dA
x x1
dA y y1
x
A( y2 cos2 x2 sin2 2xysin cos)dA
x1 x
Ix1 A( ycos xsin)2 dA
A( y2 cos2 x2 sin2 2xysin cos)dA cos2A y2dAsin2A x2dA 2sin cos A xydA
C2
x
y
26.25(cm)
Ix Ix i Ix1 Ix2
x1
15
单位：cm
[例] 计算图示图形对其形心轴x轴和y轴的惯性矩。
40 10
20 y
1
C2
15 单位：cm
解：
y Ai yi A
A1
y 1
A2
y 2
A1 A2
a
10
20 10
45 20
4015 20 4015
x
26.25(cm)
x Sy A
Ai xi
A
y
Sx A
Ai A
yi
y
xC
y
x
1 2 3
x
（3）图形有对称轴时，形心在对称轴上。
y
Cx
（4） Sx 0 x轴过形心。 y
Sx Ay 0 y 0
x
dA
xC
y
y
x
[例I-2](P375) 试确定下图的形心。
y 10
解 ： 组合图形，图形分割及坐标如图
C1
x
xi Ai
N ;
A
max
T Wt
;
Tl ;
GI P
附录I 平面图形的几何性质
§I–1 静矩和形心 §I–2 惯性矩和惯性半径 §I–3 惯性积 §I–4 平行移轴公式 §I–5 转轴公式 主惯性轴
§I-1 静矩和形心
一、静矩：
y
定义： Sx ydA
A
S y xdA
x
A
dA
Sx、Sy 称为图形对x 和y轴的静矩。
y
Ix Ix i Ix1 Ix2
x1
I
x1
20103 12
2010(4526.25) 2
7.2104(cm4)
40 10
20 y
1
C2
ax
y
x1
15
I
x
2
15403 12
1540(26.2520)
2
10.3104 (cm4 )
Ix Ix1 Ix2 (7.2 10.3)104 17.5104 (cm4 )