利用信息熵计算评价指标权重原理及实例
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决为什么能利用 信息熵来建立权重 ，讨论信息熵和权重之 间的等价 性 ，然后必须提供切 实可行 的计 算方 法。最 后 通过实例证明通 过信 息熵得到 的权 重， 完全根 据评价指标 的客观 数据 间的关系进行计算 ， 充分体现 数据 间差异性 ，
是 一种 合 理 的客 观 赋 权 法 。
靠主观赋权法会由于专家的地域属性而产生较大分歧。因此在这类评价 中客观赋权法能更好体现评价 的客 观公 正性 。 首先建立评价体系的数学模型。 假设 为已知的评价矩阵， 其 中元素 Ｘ ｉ ， 表示第 ｆ 个评价对象的第 ， 个
．
指标 。对于区域基础教育投入的评价问题 ，其评价指标数据包括几种类型 ， 例如区域内人 口总数 、教育经 费等评价指标的数据为绝对数值 ，而成人文盲率 ，专任教师 比例等反映的是相对数值 （ 比例 ） 。因此首先
关键词 ：信息熵；权 重；客观赋权 法；教育评价体 系 中图分类号 ：ｃ１ ９ ３ ． １ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：２ ０ ９ ５—４ １ ４ Ｘ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ６—０ ０ ８ ６—０ ４
１ 引 言
在评 价 指标体 系 中，同一类评 价 体系 中每个 评测 指标 在 与其 它指标 相 比较 ，其 地位 、重 要程 度 和反 映
方 法人 们 研究 的较 早 ，也较 为 成熟 ，主要包 括专 家 调查 法 、层 次分 析法 、多元 分析 法 、主 观加 权 法等 。
这类方法优点是解释性强 ，能充分反映评价体系对评价 目标的指导性和前瞻性 ， 缺点是对专家的依赖程度 太 大 ，在确 权过程 中其灵活 性 和易变 性使 得它 具有 过多 的主观 随意性 因而 客观 性较 差 。 客 观赋权 法指 经 过对实 际发 生 的资料 进行 整理 、计算 和分 析 ，从 而 得 出的权 重系数 。这 种方 法 的优 点
应 该满足 条件∑Ｐ ， ＝ １ Ｕ ＿ ｐ ， ≥ ０ 。 为 确定 权重 矩阵Ｐ， 我 们应 该构 造一 个计 算矩阵Ｙ 的 函 数 。 根 据权 重
的性 质 可 以得 到 函数 日 的性质 及对 这些 性 质作 出相 关解 释 。 （ １ ）对称 性 ： Ｈ（ ｘ １ ， ｘ ２ ） ＝Ｈ（ ｘ ２ ， ） 。 当评 价 对象 次序 改变 的 时候 ，对 同一评 价 指标 的权 重应 该不 变 ， 即计 算 矩 阵 】 ， 的任意 两行 发 生变 化 ，函数 值应 该保 持不 变 。 （ ２）单 调性 ：当评 价 指标 在评 价 体 系 中更 重要 的 时候 ，得 到 的 函数值 应 该更 大 。特 别情 况 是如 果 只 有 一个 评价 指标 ，那 么 它 的权重 为 １ ，则对 应 的函数 应 能取最 大值 。这 里应 该 注意 的是 ，虽然从 理 论上 要 求 函数 具 有单 调 递增 的性 质 ， 但 是在 构造 函数 的时候 并不 需要 体现 出来 ， 我们 可 以在后 期对 一个 递减 函数 进 行修 正 。
是避 免 人 为因素 的影 响 ，缺 点是这 类方 法 的研 究较 晚 ，方法 不 成熟 ，赋权 结果 往往 不能 反 映评 价 指标 的重
要程度 ，同时如何对得到的结果进行合理解释是客观赋权法必须解决的重要问题。
２ 信 息 熵 理 论 及 应 用
１ ９ ４ ８ 年 美 国数学 家香 农（ Ｓ ｈ ａ ｎ ｏ ｎ ｃ ． Ｅ ） 为 解决信 息 的度 量 问题 提 出信 息熵 的概 念 ” 。信 息熵 是信 息论 中用
来刻画信息无序度 的一个量 ，熵越大表示信息的无序化程度越高 ，相对应的信息效用越低。下面利用对区 域基础教育投入的评价体系的赋权过程 ，来论证利用信息熵计算权重的原理和计算步骤 。 首先应该根据评价体系的特点选择计算权重方法。在区域基础教育投入评价体系的研究中，在确定了
评 价指标 以后 ，为 体现 评价 体 系 的客观 性 和可操 作 性 ，我 们确 定评 价 的原则 为 “ 差异驱动” ，也就 是 说 当 评价 对 象在 某个 指 标 的差异 越 大时 ，我 们认 为这 个评 价指 标 的重 要性 越 大Ｈ 。因为 区域 内基础 教育 投 人评 价 涉及 的指标 较 多 ，各 指标 间存在 相互 关联 和逻 辑 归属 ，对指 标 的赋权 差异会 导致 评 价结 果 出现差 异 ，依
必 须消 除不 同数据 间量 纲上 的差 异性 。
作者简介：罗进 （ １ ９ ７ ５ 一） ，男 ，讲师，研究方向：应用数学
第 ６期
罗进 ：利用信息熵计算评价指标权重原理及实例
８ ７
对评价矩阵消除量纲且做归一化处理之后得到计算矩阵 ｙ， 其 中０ Ｙ ｉ ≤ １ ； 假设针对评价的指标 已经 建立 了合理的权重矩阵 Ｐ，则 Ｐ ｊ 表示第 个评价指标的权重。显然对于完成归一化以后的权重矩阵而言 ，
的情况都不相同。根据每个评价指标重要程度来确定权重 ， 使得在这种多指标评价体 系中建立权重系数成 为必不 可少 的工作 。建 立权 重 的方法 很多 ，一般来 说 主要包 括 主观 赋权 法 和客观 赋权 法两 大类 。主 观赋权 法 是根 据 评价 者 （ 专家 ）的主 观经验 判 断 ，反 映评 价者 经验 积 累 以及对 当前 决 策背 景 的主观 把握 … 。这类
罗 进
（ 武汉纺织大学 数学 与计算机学院 ，湖北 武汉 ４ ３ ０ ０ ７ ３）
摘
要 ：在 对系统进 行评价过 程 中，针对评价指标建 立适 当的权 重，能充ຫໍສະໝຸດ Baidu反 映评价体 系中各指标 的重要程度 。
选 择客观赋 权方法，能有效避免在评价过程 中受到更 多的人为 因素影响。利用信 息熵理论计算权 重，首先需要解
第２ ７ 卷 第６ 期 ２ ０ １ ４年 １ ２月
武 汉 纺 织 大 学 学 报
Ｊ ０ Ｕ ＲＮ Ａ Ｌ ０ Ｆ Ｗ Ｕ Ｈ ＡＮ ＴＥＸ ＴＩ ＬＥ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ ＥＲ ＳＩ ＴＹ
Ｖｌ ０ １ ． ２ ７ Ｎｏ ． ６
Ｄ ｅＣ． ２０ ｌ ４
利用信 息熵计算 评价指标权重原理及 实例
是 一种 合 理 的客 观 赋 权 法 。
靠主观赋权法会由于专家的地域属性而产生较大分歧。因此在这类评价 中客观赋权法能更好体现评价 的客 观公 正性 。 首先建立评价体系的数学模型。 假设 为已知的评价矩阵， 其 中元素 Ｘ ｉ ， 表示第 ｆ 个评价对象的第 ， 个
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指标 。对于区域基础教育投入的评价问题 ，其评价指标数据包括几种类型 ， 例如区域内人 口总数 、教育经 费等评价指标的数据为绝对数值 ，而成人文盲率 ，专任教师 比例等反映的是相对数值 （ 比例 ） 。因此首先
关键词 ：信息熵；权 重；客观赋权 法；教育评价体 系 中图分类号 ：ｃ１ ９ ３ ． １ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：２ ０ ９ ５—４ １ ４ Ｘ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ６—０ ０ ８ ６—０ ４
１ 引 言
在评 价 指标体 系 中，同一类评 价 体系 中每个 评测 指标 在 与其 它指标 相 比较 ，其 地位 、重 要程 度 和反 映
方 法人 们 研究 的较 早 ，也较 为 成熟 ，主要包 括专 家 调查 法 、层 次分 析法 、多元 分析 法 、主 观加 权 法等 。
这类方法优点是解释性强 ，能充分反映评价体系对评价 目标的指导性和前瞻性 ， 缺点是对专家的依赖程度 太 大 ，在确 权过程 中其灵活 性 和易变 性使 得它 具有 过多 的主观 随意性 因而 客观 性较 差 。 客 观赋权 法指 经 过对实 际发 生 的资料 进行 整理 、计算 和分 析 ，从 而 得 出的权 重系数 。这 种方 法 的优 点
应 该满足 条件∑Ｐ ， ＝ １ Ｕ ＿ ｐ ， ≥ ０ 。 为 确定 权重 矩阵Ｐ， 我 们应 该构 造一 个计 算矩阵Ｙ 的 函 数 。 根 据权 重
的性 质 可 以得 到 函数 日 的性质 及对 这些 性 质作 出相 关解 释 。 （ １ ）对称 性 ： Ｈ（ ｘ １ ， ｘ ２ ） ＝Ｈ（ ｘ ２ ， ） 。 当评 价 对象 次序 改变 的 时候 ，对 同一评 价 指标 的权 重应 该不 变 ， 即计 算 矩 阵 】 ， 的任意 两行 发 生变 化 ，函数 值应 该保 持不 变 。 （ ２）单 调性 ：当评 价 指标 在评 价 体 系 中更 重要 的 时候 ，得 到 的 函数值 应 该更 大 。特 别情 况 是如 果 只 有 一个 评价 指标 ，那 么 它 的权重 为 １ ，则对 应 的函数 应 能取最 大值 。这 里应 该 注意 的是 ，虽然从 理 论上 要 求 函数 具 有单 调 递增 的性 质 ， 但 是在 构造 函数 的时候 并不 需要 体现 出来 ， 我们 可 以在后 期对 一个 递减 函数 进 行修 正 。
是避 免 人 为因素 的影 响 ，缺 点是这 类方 法 的研 究较 晚 ，方法 不 成熟 ，赋权 结果 往往 不能 反 映评 价 指标 的重
要程度 ，同时如何对得到的结果进行合理解释是客观赋权法必须解决的重要问题。
２ 信 息 熵 理 论 及 应 用
１ ９ ４ ８ 年 美 国数学 家香 农（ Ｓ ｈ ａ ｎ ｏ ｎ ｃ ． Ｅ ） 为 解决信 息 的度 量 问题 提 出信 息熵 的概 念 ” 。信 息熵 是信 息论 中用
来刻画信息无序度 的一个量 ，熵越大表示信息的无序化程度越高 ，相对应的信息效用越低。下面利用对区 域基础教育投入的评价体系的赋权过程 ，来论证利用信息熵计算权重的原理和计算步骤 。 首先应该根据评价体系的特点选择计算权重方法。在区域基础教育投入评价体系的研究中，在确定了
评 价指标 以后 ，为 体现 评价 体 系 的客观 性 和可操 作 性 ，我 们确 定评 价 的原则 为 “ 差异驱动” ，也就 是 说 当 评价 对 象在 某个 指 标 的差异 越 大时 ，我 们认 为这 个评 价指 标 的重 要性 越 大Ｈ 。因为 区域 内基础 教育 投 人评 价 涉及 的指标 较 多 ，各 指标 间存在 相互 关联 和逻 辑 归属 ，对指 标 的赋权 差异会 导致 评 价结 果 出现差 异 ，依
必 须消 除不 同数据 间量 纲上 的差 异性 。
作者简介：罗进 （ １ ９ ７ ５ 一） ，男 ，讲师，研究方向：应用数学
第 ６期
罗进 ：利用信息熵计算评价指标权重原理及实例
８ ７
对评价矩阵消除量纲且做归一化处理之后得到计算矩阵 ｙ， 其 中０ Ｙ ｉ ≤ １ ； 假设针对评价的指标 已经 建立 了合理的权重矩阵 Ｐ，则 Ｐ ｊ 表示第 个评价指标的权重。显然对于完成归一化以后的权重矩阵而言 ，
的情况都不相同。根据每个评价指标重要程度来确定权重 ， 使得在这种多指标评价体 系中建立权重系数成 为必不 可少 的工作 。建 立权 重 的方法 很多 ，一般来 说 主要包 括 主观 赋权 法 和客观 赋权 法两 大类 。主 观赋权 法 是根 据 评价 者 （ 专家 ）的主 观经验 判 断 ，反 映评 价者 经验 积 累 以及对 当前 决 策背 景 的主观 把握 … 。这类
罗 进
（ 武汉纺织大学 数学 与计算机学院 ，湖北 武汉 ４ ３ ０ ０ ７ ３）
摘
要 ：在 对系统进 行评价过 程 中，针对评价指标建 立适 当的权 重，能充ຫໍສະໝຸດ Baidu反 映评价体 系中各指标 的重要程度 。
选 择客观赋 权方法，能有效避免在评价过程 中受到更 多的人为 因素影响。利用信 息熵理论计算权 重，首先需要解
第２ ７ 卷 第６ 期 ２ ０ １ ４年 １ ２月
武 汉 纺 织 大 学 学 报
Ｊ ０ Ｕ ＲＮ Ａ Ｌ ０ Ｆ Ｗ Ｕ Ｈ ＡＮ ＴＥＸ ＴＩ ＬＥ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ ＥＲ ＳＩ ＴＹ
Ｖｌ ０ １ ． ２ ７ Ｎｏ ． ６
Ｄ ｅＣ． ２０ ｌ ４
利用信 息熵计算 评价指标权重原理及 实例