求数列通项公式的常用方法

求数列通项公式的常用方法

类型一 观察法：已知前几项，写通项公式

类型二、前n 项和法 已知前n 项和，求通项公式

例2 设﹛a n ﹜的前n 项和为S n ,且满足s n =n 2+2n -1,

求﹛a n ﹜的通项公式.

1 4111 1 1 - -

234

2 2 0 2 0

例写出下面数列的一个通项公式，

使它的前项分别是下列各数：（），，，（），，，1

1(1) 1 (2) (1)1

n n n n a n

a ++-=

=-+解：（）11 (1) (2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨

-≥⎩211212 21 1 2

2 21

[(1)2(1)1]

212 1 2n n n n n s n n n a s n a s s n n n n n n a -=+-∴===∴≥=-=+---+--=+=∴= 解：

当时当时

1 2n n ⎧⎨+≥⎩

类型三、累加法 形如

1()

n n a a f n +=+ 的递推式

例2：在﹛a n ﹜中，已知a 1=1,a n =a n-1+n (n≥2),求通项a n.

练习：

{}1

11311,3 (2)2n n n n n a a a a n a ---==+≥=

n 已知中,证明：

类型四、累乘法形如

1()n n

a f n a +=⋅的递推式

例四、

练习：

{}1

22,2,.

n n n n a a a a a n +⎛

⎫==+⋅ ⎪⎝⎭1已知中，求通项

11223343221

1 2 3 .......

3 2

n n n n n n n n a a n a a n a a n a a n a a a a -------=+=+-=+-=+-=+=+ 解：

以上各式相加n 1 a (234)(n+2)(n-1)

=1+2

a n =+++++ 得{}12,3,.n

n n n n a a a a a +==⋅1已知中，求通项1234

1231234

23221

23211

3, 3, 3, 3 .......

3, 3 33333 23n n n n n n n n n n n n n n n a a a a

a a a a a a

a a a a -------------=======⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅解：以上各式相乘得123(-1)(-1)2

(-1)

2

23 23

n n n n n n a +++⋅⋅⋅+=⋅=⋅

类型五、形如

1n n a pa q +=+的递推式

例五、 分析：配凑法构造辅助数列

类型六、形如

1n

n n pa a qa p +=

+ 的递推式

取倒法构造辅助数列

类型七、相除法形如

的递推式 {}{}1113,33,n n n n a a a a a ++==+n 数列满足:求通项公式.

{}111,2 1 .n n n n a a a a a +==+数列满足,求{}()11-1111 2 1 12 1 12(1) 1

2 111

21122n n n n n n n n n n

n a a a a a a a a a a a ----=+∴+=++=++∴=∴+++=+= 解：是以为首项，

以为公比的等比数列111n 11

n 12111

2

21a 11

2a a n n n n n n a a a a a a -----+=

==++⎧⎫⎨⎬⎩⎭解：是以为首项，以为公差的等差数列

111

(1)22 1 21

n n n n n a a a n =+-=+∴=+1

1n n n a Aa B A ++=+⋅1

11

1

1 33 133 133 -11333

n n n n n n n n n n

n n n a a a a a a a a n n a n ---=+∴=+⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭∴=+⨯=∴= 解：

是以为首项，以为公差的等差数列（）

求数列的通项公式

练习题

1. 若a1=1, 且a n+a m=a n+m(n,m∈N*), 则a n=_______解: n=m=1时，a2= a1+a1=2, 得a1=1, a2=2

m=1时,由a n+a m=a n+m 得a n+1=a n+1，即a n+1-a n=1

∴{a n}是等差数列，a n=1+(n-1)=n

2. 若b 1=2，且b m b n =b m+n ，则b n =_____________ 解：n=m=1时，b 2=b 1·b 1=4 , 即b 1=2，b 2=4， m=1时,由b n b m =b n+m 得b n+1=b n · b 1=2b n ， 故{b n }是首项为b 1=2 ，公比为q =2的等比数列 bn =2·2n-1=2n

3. 已知a 1=1，且a n+1= 则a n =______ 解:由 得

以上各式累加得 小结：a n+1-a n = f (n )型,常用累加法求通项公式

4. 已知 a 1=1, , 则a n =______ 解:由 得

以上各式累乘得 小结： 型,常用累乘法求通项公式

5. 已知{a n }满足： )

1(1+⋅+n n a n n n 1

2-1

111

+-=-

+n n a a n

n 2

1

112-

=-a a 3

12123-=

-a a

n

n a a n n 1111--=

--n

a a n 1

11

-=-n

n a n 12-=

11+⋅+=n n

a n

n a n 1

1

1+=+n n a a n n

n

n a a a a a a n n 1

,,32

,2112312-===- n

n n a n 113221=-⋅⋅⋅= )(1

n f a a n

n =+.

12,111+==+n n a a a