数列求和之错位相减法

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2n
an
(1) n1
2n 1 2n1 .
2 2
,
4 22
,
6 23
, ,
2n 2n
,
1,3a,5a 2 , , (2n 1)a n1 (a 0)
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若
，其中 bn 与 cn分别是
项数相同的等差数列和以q为公比的等比
数列。则该数列前n项和的展开式为:
Sn b1c1 b2c2 b3c3 ... bn1cn1 bncn
求该数列的前n项和。
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qSn b1c2 b2c3 b3c4 ... bn1cn bncn1
（在相乘的两项中，等差数列不变，等比数列依次向后推了一项）
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对于上述函数 an n 2n 前n项和的展开等
式中左右两边同时乘以公比2得:
2Sn 1 22 2 23 3 24 (n 1) 2n n 2n1
以an 2n 3n1为例，计算其前n项和。
解：Sn 232 433 634 ... 2n 13n 2n 3n1
3Sn
233 434 635 ... 2n 13n1 2n 3n2
两式相减得：
2Sn 2 32 2 33 2 34 ... 2 3n1 2n 3n2
9
n1
10
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1.学会辨别。能够使用错位相减法的通项公式是由 等差数列与等比数列的积组成。 2.能够正确写出解答错位相减法求前n项和的三个步 骤。 3.能够避免使用错位相减法过程中的几个易错点。
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1、求数列an
4n 2n
3 .前n项和。
2、已知数列 1,3a,5a2 , ,(2n 1)an1(a 0)
数列求和之错位相减法
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等比数列前n项和的通项公式
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其中{ }是由项数相同的等差数列{ }与等比数列 { }的乘积组成的新数列。
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如：
问:下面可以用错位相减法求数列的前n项和的有哪些？
an 2n n
1 1 ,3 1 ,5 1 (2n 1 1 )
10
9 10
Sn
2
9
2
3
9
3
4
9
4
...
n
9
n
n
1
9
n1
10 10 10
10
10
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第三步，两式进行错位相减得：
1 10
Sn
2 9 10
9 2 10
9 3 10
......
9 n 10
n
1 9 n1
10
化简整理得:
Sn
99 10n
11
整理得：
Sn
2n 13n2
2
9
已知数列an
(n
1)
(9 10
)
n
,
求{an
}的前n项和S
n
.
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解：第一步，写出该数列求和的展开等式
Sn
2 9 10
3 9 2 10
4 9 3 10
......
n
9 n1 10
n
1 9 n
10
第二步，上式左右两边乘以等比数列公比 9
（为方便起见，最好写出前三项和后两项）
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以 an n 2n 为例，依照上述说明写出该数列
前n项的展开等式:
Sn 1 2 2 22 3 23 (n 1) 2n1 n 2n
已知数列
an
(1) n1
2n 1. 2 n 1
写出其前n项和的展开等式。
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对于数列
an
(1) n1
2n 1. 2 n 1
其前n项和的展开等式经过该
步骤得到怎样的等式？
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1 qSn b1c1 b2 b1c2 b3 b2 c3 ... bn bn1cn bncn1
设等差数列 bn的公差为d，则上式又可化简为：
1 qSn b1c1 dc2 dc3 ... dcn bncn1
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对于函数 an n 2n 经过以上两步得到的
两式相减得：
Sn 2 22 23 2n n 2n1
化简整理得: Sn n 1 2n1 2
对于数列
an
(1) n1
2n 1 .
2 n 1
最终会Байду номын сангаас到什么结果呢？
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1.写求和展开式时习惯算出每一项。 2.出现某些项的遗漏现象。 3.项数的计算错误。 4.两式相减时，等比数列前面的系数出错。 5.第四步中 Sn 前面的系数没有除尽。