初中数学思维导图

一条直线 翻折后与 两部分重合 基本图形 方向 距离
前.后图形全等
轴对称图形
动
轴对 称
要素
图形的旋转
特 征
对应点与旋转中心所 连线段的夹角=旋转角 旋转1800后与 其自身重合 对称中心是对称 点连线的中点 关于中心对称
平移
特征 动 应用
旋转角=1800 中心对称图形
对应线段 平行且相等
利用平移 制作图案
y
x
b=0,图象在 二四象限
b＜0,图象在 一三四象限
o
o x 一条直线
b＜0,图象在 x 二三四象限
Y 随 x 的 增 大 而 减 小
y
o
x
两条直线
加减消元
k＞0
k＜0
=kx+b,k≠0, k,b为常数
图象 与一次函数 的关系
解法
注意a、c、 k,g不为0
与一次函 数关系 解法
代入消元
.
二元一次 方程组
磁道问题 利润问题 拱桥问题
一元二次方 程
应用
效率问题 面积问题
与y轴交点位置 c＞0.在正半轴 c=0.在原点 a＜0.向下 左同右异 c＜0.在负半轴
开口方向. 对称轴在y a＞0.向上 轴的位置
y=ax2+bx+c (a.b.c为常数a≠0)
y ax h k
2
y ax x1 x x2
（x,y）平移后 平移过程 （x±a,y±b） 对应点坐标 的变化规律 右加左减 上加下减
图 形 的 全 等 变 换
旋转
中心对称
两图形全等
图案设计
旋转1800后与 关于原点对称 另一图形重合 用坐标表示 旋转 对称点的坐 标符号相反
用平移.轴对称和旋转 的组合设计图案
三、教材内容
空间与图形6-5
到角两边距 离相等的点
( a 0)
a 0
二次 函数 与 一元 二次 方程
定义
ax2+bx+c=0 (a≠0)
三、教材内容
性质 等角的余角相等 等角的补角相等 余角.补角 角平分线
空间与图形6-1
和 相 为 定 性 等 1800 义 质
对邻 顶补 角角
一“放”二“靠” 三“推”四“画”
叠合法 度量法
角的比较
角的比较与运算
适合 判定 所有 三角 形全 等
AAS ASA SAS SSS
角平分线
关系
条件
位似变换
性质
全等三角 形
性质 定义
相似三角形
判定
平行
三边对应 成比例
对应边、角、周长 面积、中线、高线、 角平分线相等
表示方法
两个三角形 用符号≌连接
完全重合 两个三角形
全等 三角形 与 相似 三角形
相似多边形 比例线段 性质
相交线.平行 线
性质
内错角相等 同旁内角互补
寻找射线方法
性质
辨认 展开图
确定有标记 的相对图
点与直线 位置关系
图形 认识 初步 相交 线平 行线
命题
分类 结构
三、教材内容
表 示 方 法 等 边 对 等 角 三 线 合 一 等 角 对 等 边 等 边 三 角 形
空间与图形6-2
定 义 条件 定义
镶嵌
升降幂排列
多项式
整式
检验 增根
次数
意义
最高 项的 次数
单项式
次数 系数
数 字
字母 指数
代 数 式
二次根 式
定义 性质
(1)
( 2)
运算
乘除
加减
a a 0
a
2
a a 0双非负
2
a ( a 0)
a
(3) a
三、教材内容
y y
数与代数3-2
x o
b＞0,图象在 x 一二四象限
要 素
已知两边 求第三边
应用 证明
弦图 毕达哥拉斯 苏菲尔德
概念
外角和
性质
判定
特例
定理
内容 互逆命题
文字.符号 图形
内角和
定义 内角和
多边形 及其 内角和
勾股定理 等腰三角形
逆定理
内容 证明 应用
文字.符号 图形 全等
有关的角
外角的性质
直角三角 形
知三边 定形状
三角形
有关线段 定义
锐角三角函数
解直角三角形 锐角三角函数
对边平行 且相等
性质
有关位置
边 ③
直线与圆
相离 圆与圆
相 交
切线长 定理
② ④
外 离
平行四边形
内 含
外 切
内 切
弧等 弦等 圆心角等
性质 判定
四边 形
梯形
辅助线
作 高 线 延 长 两 腰 平 移 两 腰 平 移 对 角 线 利用腰中点 割补成--全等三角形、 平行四边形
圆
等分圆周
正多边形
正多边形
等腰 直角
化除法为 乘法
乘法公式 单项式与多项式 幂的乘法
乘除
运算 乘方
乘法 运算
加减
系数 相加 字母 不变
分母中 含字母、 分母 不为零
an a n为整数 bn b
a n 1 n为整数 an
n
分式
分式方程
应用
去分母 是解
合并 同类项
项
整式方程 解法 解方程
xa
同类项
每个单项式
垂 直
画法 条件 判定
同位角相等
定义.表示
度.分.秒互化 进位.计算 尺规作角
相交线 角的度量 借助角研究平 面内两条直线 的位置关系
内错角相等
同旁内角互补
关系
图形认识初 步
多姿多彩的图形 立体图形 平面图形
平行线
平行公理.推论
同位角相等
直线公理 表示与画法 表示与画法 计算与比较
直线
射线 线段 直线.射线.线段
一、初中知识结构
实践与探究
数与代数
空间与图形
初 中 数 学 知 识 结
概率与统计
二、编者的意图 、体例安排 、内在逻辑关系
编者的意图
提高能力
现代技术 改进呈现方式
培养精神意识 数学课程
着眼长远发展
学生
教材
更新认识
数学
正确处理 关系
社会
遵循认知 规律
教师
营造氛围
关注需要
适应形势
编 者 的 意 图
学生
y
图象在 二四象限
y
o
x
双曲线
o
k＞0
k＜0
Y 随 每x 一的 象增 x 限大 内而 增 大
k＞0
k＜0
图象 性质
最优方案
K同号时， 有两交点。 K异号时， 有两个、一个 关系 或无交点
图象
性质 应用 解析式
柱形储藏室 轮船卸货 力学问题 电学问题
应用
一次函 数 解析式
反比例函 数
形如y=kx+b (k.b为常数，k≠0)
一元二次 方程的根
有两个不等根 X1， x2
十字 相乘 法
万能 公式
化为 直接 开方
看 式 子 类 型 能 口 述 性 质
1.开口方向 2.顶点坐标 3.对称轴 4.增减性 5.极值
图象
（x1,0）( x2,0 ）
Δ ＞0 Δ =0 Δ ＜0
关系
性质
有一交点 b （ 2a ,0）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
有两个等根 x1= x2 = b
2a
提 公 因 式 法
应用 平方 根
公 式 法
配 方 法
① y ax 2 ② y ax k 2 ③ y a x h 2 ④ y ax h k 2 ⑤ y ax bx c
2
无交点
无实根
直 接 开 平 方 法
传播问题 行程问题
解法
类型 应用 二次函 数 解析式
当b=0时， 是
一次 函数 与反 比例 函数
k x （k为常数，k 0） 形如y
实际问题， 图象在第一 象限
三、教材内容
y y
数与代数3-3
x o
b＞0,图象在 x 一二四象限
Y 随 x 的 增 大 而 增 大
b＞0,图象在 一二三象限
o
y
y
b=0,图象在 一三象限
o
y
o x 注意：过原点
一元一 次方程 一般式
实践与探索 一般式
最优方案
实践与探索
形如kx+b=0 (k.b为常数，k≠0)
一元 一次 方程 和二 元一
ax by k 形如 cx dy g
实际问题的 解决
三、教材内容
看 图 象 能 口 述 性 质
y y
数与代数3-4
x o x
o
抛物线与x 轴的交点
有两交点
外心：是三边垂直平 分线的交点. 到三顶点的距离相等 锐—形内；直—斜边 上；钝—形外 圆 上 圆 外
空间与图形6-3
圆 内
中点 四边形
矩形
菱形
内心：是三角平分 线的交点. 到三边的距离相等 在三角形内
基本性质
点与圆
相交 相切
切线的 性质.判定
判定 性质 对角相等 邻角互补 角 判定 性质 对角线 对角线 互相平分 判定
互动提供资源
提高兴趣
创造空间
二、编者的意图 、体例安排 、内在逻辑关系
介绍与正 文相关的 背景知识 有助于理 解正文的 问题
体例安排
为加深对相关内容的认识 扩大学生的知识面 运用现代信息技术手段学 习 实 验 与 探 究 阅 读 与 思 考
各栏目以问题、留白、 填空等形式为学生提供 思维发展、合作交流的 空间
事件发生 可能性的 刻画
频率估计法
扇形图
条形图 统计表
分析
描述
推断、预测
简单列举法
求法 整理
列举法
列表法 （两步） 树形图（两 步以上）
统计
概率
收集
统计 与 概率
定义
意义
随机事件
翻折后与 另一图形重合 对称点 定义 应用 特征 利用轴对称 制作图案
基 本 图 形
要素
空间与图形6-4
对 称 轴
判定 垂直平分线 对称轴 定义
用 坐标 表示 轴对 称
作：关于x轴、 y轴的对称点 解决几何中的 极值问题
性质
关于轴对称 轴对称变换 静 静
要 素
基本图形 旋转中心 旋转方向 旋转角 对应点到旋转中心 的距离相等 旋转前.后的图形全等
复习题
复习全章使用
二、编者的意图 、体例安排 、内在逻辑关系
突出重点
内在逻辑关系
如：代数式“先分散，后集 中”，预备知识与方程问题 有机整合，整式中归纳提高 如：加强数形，用坐标的方 法处理更多内容（二元一次 方程组.平移.对称.函数等）
知识纵向逻辑结构
精简整合
内 在 逻 辑 关 系
知识横向联系
有弹性保基础供发展
观 察
思 考
探 究
讨 论
归 纳
小 贴 示
云 朵
观 察 与 猜 想
回顾与思考
知识结构图 小结
正文
正文边空 选学
信 息 技 术 应 用
综合性 实践性 开放性
练习
数学活动 习题
课上使用
所学 内容 的巩 固与 延伸
节、习题 章前图、引言
课内课外作业 复习巩固 综合应用 拓广探索
导入新课材料
供学生预习
体 例 安 排
点到角两边 的距离相等
对应点的坐标比 为k或-k
放大或缩小 图形
两图形相似 对应顶点的连线交于一点 对应边平行 外位似 内位似
适用于 直 角三角形
用坐标表示 位似变换
动 应用 性质 特征
判定 HL 性质 应用
对应角相等， 对应边成比例， 周 长的比=相似比 面积 的比=相似比的平方 两角对应 相等 两边成比例 且夹角相等
如：按照“说点儿理”“说理”“推 理”“符号表示推理”等不同层次，分阶 段培养推理能力，内容注重基础，留有发 展余地 如：方程和函数，按照一次和二次 数量关系使方程和函数交替出现， 螺旋上升。从函数角度认识方程
螺旋上升的概念思想
改进学习方式
联系实际形成应用
利于主动学习
如：方程以实际问题为出发 点和归宿，建模型引概念， 讨论解法，用理论探究新问 题，体现实践-理论-实践
高.中线.角平分线
三边关系
三 角 形
特殊值的运算
定义 计算
三边关系 锐角关系 边角关系
应用
坡度 仰.俯角 方位角
正弦 余弦 正切
符号.几何意义. 特殊角的值
三、教材内容
正方形
形状：取决于 原四边形对角 线的 相等或垂直
轴对 称性
旋转 不变性 等 对 等 定 理 圆 周 角 定 理
④ ②
①
③
垂 径 定 理
Y 随 x 的 增 大 而 增 大
b＞0,图象在 一二三象限
o
y
y
b=0,图象在 一三象限
o
y
o x 注意：过原点
y
x
b=0,图象在 二四象限
b＜0,图象在 一三四象限
o
o x 一条直线
b＜0,图象在 x 二三四象限
Y 随 x 的 增 大 而 减 小
Y 随 每x 一的 象增 限大 内而 减 小
图象在 一三象限
三、教材内容
逆用公式
公 提 式 公 法 因 式 法
必须内容 补充 十 字 相 乘 法
数与代数3-1
不改变 分式的值
分 组 分 解 法
平 方 差、 完 全 平 方
公因式
通分化 成同分 母
分母不变 分子相加 减
多项式除以 单项式 单项式除以 单项式 同底数幂 相除
通分
除法 基本性质
子积为子 母积为母
注：分子、 分母为多 项式时先 分解因式
四 边 形 与 圆
有关计算： 中心.中心角. 半径.边心距
弧长.扇形
扇形s nr 2 360 1 或 lr 2
弧长 l
nr 180
圆锥的 侧面积、全面积
三、教材内容
作对称轴 作等腰三角形 作一点到两点距离相等 作一点到三点距离相等（外心） 到两点距离 相等的点 点到两点 的距离相等
A字型 X字型
相似图形
形状相同
a c b d
对应角相等， 对应边成比例， 周 长的比=相似比 面积 的比=相似比的平方
三、教材内容
反映数据向其中 心值聚集的程度 反映数据分布的 离散程度
统计与概率
平 均 数
中 位 数
众 数
极 差
方 差
如何描述 数据
直方图
集中趋势
离散程度
样本与 总体
应用
体验不 确定现 像