瞬时变化率

1 瞬时变化率

一．问题提出：

前面我们用平均变化率刻画了函数在某个自变量区间上变化快慢，但现实可能更多的是我们需要知道函数在某个点的变化快慢，为此，我们需要研究：瞬时变化率。

二．案例分析：

一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为：

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s gt = 其中g 为重力加速度（g=9.8m/s 2）.试着估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。

三．抽象概括：

1．瞬时变化率的定义：一般地，对于函数()y f x =来说，设其自变量的变化量为x ∆，因变量的变化量y ∆，那么函数在区间[]00,x x x +∆平均变化率可以表示为：

那么，当 时，平均变化率就趋于一个 ，其就叫做函数在0x 处的瞬时变化率。

2．瞬时变化率的意义：瞬时变化率是用来描述 的数学量。

四．问题解决：

例：一根质量分布不均匀的合金棒，设其上某点离某端的距离为x （单位：m ），这段质量为y （单位：kg ），且二者满足：

()y f x ==

试估计合金棒在2x =处的线密度。

五．当堂检测

1．通过平均变化率估计函数21y x =-+在下列各点的瞬时变化率：

1）1x =； 2）1x =-； 3）0x =。

2．通过平均变化率估计函数22y x =在下列各点的瞬时变化率：

1）1x =； 2）1x =-； 3）0x =。

3．某个人走过的路程s （单位：m ）是时间t （单位：s ）的函数：2

1s t =-，通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度：

1）0t =； 2）2t =； 3）4t =。