3.1《不等关系》课件(北师大版必修5)
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3.1.1《不等关系》习题课 课件(北师大版 必修5)
• • • •
是( ) A.a·lgx>lgx·b(x>0) B.ax2>bx2 C.a2>b2 D.a·2x>b·2x
• 解析:对于A:当x>0时,lgx∈R,当lgx≤0时,
a·lgx>b·lgx(x>0)不成立,故应排除A;
• 对于B:∵x∈R,当x=0时,ax2=bx2, • ∴ax2>bx2不成立,故应排除B; • 对于C:∵a2-b2=(a+b)(a-b),又由a>b可知a- • • • 答案:D
m+n=4, 于是得 m-n=2, m=3, 解得 n=1.
• ∴f(-2)=3f(-1)+f(1). • ∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, • ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.
[变式训练 7]
如果 30<x<42,16<y<24,求 x+y,
• 分析:本题是关于x的一元二次函数,可以
利用换元法来求解.在求解时一定要注意已 知条件中a、b的关系,准确把握a、b的取值 范围,否则容易出错.下面我们再用一种新 的方法——待定系数法来求解.
解析:由已知得 2≤f(1)=a+b≤4,1≤f(-1)=a -b≤2,又 f(-2)=4a-2b. 设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n 为待定系数), 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m- n)· b.
•
•
(2)在证明不等式时还可以利用已经证明的结论, 或者利用不等式的性质对不等式进行变形,使不 等式变成简单易于比较大小的形式,再比较大小 得出结论,需要注意的是,有些结论的递推是双 向的,而有些是单向的,例如,不等式性质中的 对称性就是双向的,而传递性就是单向的,在不 等式两边同乘一个数或式子的时候,必须先判断 要乘的数或式子的符号,决定相乘后是否改变符 号. (3)有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反 证法进行证明,具体可以根据课本对性质4的推论 3的证明方法和步骤,它可以把难以从正面说明的 问题转化为其反面进行说明.
第三章3.1基本不等式-北师大版高一数学必修5课件(共21张PPT)
探究结果
1. 对于任意实数a,b,总有 a2 b2 2ab 如何证明?
当且仅当a=b时,等号成立.
特别地,如果 a 0,b 0 ,我们用 a , b 分别代替a,b,可得
a b 2 ab,即a b ab, 2
当且仅当a=b时,等号成立.
探究结果 1. 对于
a,b,总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时,等号成立.
2. 如果a,b都是
,那么 a b ab 2
当且仅当a=b时,等号成立.
我们称上述不等式为
ab ,其中 2 称为a,b的算术
平均数, ab 称为a,b
. 因此,基本不等式又被称为
均值不等式.
探究结果 1. 对于
a,b,总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时,等号成立.
当且仅当a=b时,等号成立.
文字语言可叙述为:两个非负实数的算术平均数不小于它们 的几何平均数.
从数列的角度看:两个正实数的等差中项不小于它们正的等 比中项.
课堂升华 几何解释
如图,AB是圆O的直径,AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交圆O上半
圆于D. 由射影定理可知
D
CD ab, 而OD a b ,
同向相加可得 a b c ab ac bc, 当且仅当a b c时,等号成立.
例题讲解
例2 若a b 1,比较P lg a lg b,Q 1 (lg a lg b), 2
R lg a b 的大小关系. 2
解 因为a b 1,所以 lg a lg b 0,
由 ab a b , 2
证明 (方法2)
ab
2
ab 2ab
ab(b a) 2ab
11
ba
北师大版高中数学必修5第三章《不等式》均值不等式及其应用(第二课时)
1 解:由于f(t)=t+ 在2 t 4时为增函数,则当t=4时 t 1 5 1 函数值最大,为4+ 3 ;当t 2时函数值最小,为 4 4 2
练习巩固
1.下列函数的最小值为的是 ____ : 2
1 A、y x x
C、y x 2
2
D
1 π B、y sin x (0 x ) sin x 2
=30400. 当且仅当800x=259200/x, 即x=18时,取等号 答:池长18m,宽100/9 m时,造价最低为 30400元。
重要Βιβλιοθήκη 不等式a b 2ab a b 2 ab
2 2
(a、b∈R+)
结(1)两个正数积为定值,和有最小值。 论(2)两个正数和为定值,积有最大值。
应用要点:一正、二定 、三相等
想 一 想
题1、已知2/x+3/y =2 (x>0,y>0),则 xy之最小值为_____ 6 题2、求函数y=x2+4+ 8/x(x>0)的最 小值_____ 4 3 3 16
题3、求函数y=sinx+1/(sinx+3)的最 值 可以直接应用均值不等式去求解吗 Sinx+3=1可以成立吗? 应利用函数的单调性去处理!
2
38000 2 16108 118000
400000 当且仅当 4000 x ,即 x 10 2 x
2
时取等号
此时 S min 118000 (元) 答:当 x
10 时,S的最小值为118000元。
应用题训练 题1: 甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀 速行驶到乙地,速度不得超过c km/h,巳知 汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可 变部分和固定部分组成:可变部分与速度v (km/h)的平方成正比,比例系数为b,固 定部分为a元。①把全程运输成本y(元)表 示为速度v(km/h)的函数;并指出这个函 数的定义域;②为了使全程运输成本最小, 汽车应以多大速度行驶? 注意只有当等号能够成立时才能应用均值 不等式,含有字母的问题则要去加以讨论
练习巩固
1.下列函数的最小值为的是 ____ : 2
1 A、y x x
C、y x 2
2
D
1 π B、y sin x (0 x ) sin x 2
=30400. 当且仅当800x=259200/x, 即x=18时,取等号 答:池长18m,宽100/9 m时,造价最低为 30400元。
重要Βιβλιοθήκη 不等式a b 2ab a b 2 ab
2 2
(a、b∈R+)
结(1)两个正数积为定值,和有最小值。 论(2)两个正数和为定值,积有最大值。
应用要点:一正、二定 、三相等
想 一 想
题1、已知2/x+3/y =2 (x>0,y>0),则 xy之最小值为_____ 6 题2、求函数y=x2+4+ 8/x(x>0)的最 小值_____ 4 3 3 16
题3、求函数y=sinx+1/(sinx+3)的最 值 可以直接应用均值不等式去求解吗 Sinx+3=1可以成立吗? 应利用函数的单调性去处理!
2
38000 2 16108 118000
400000 当且仅当 4000 x ,即 x 10 2 x
2
时取等号
此时 S min 118000 (元) 答:当 x
10 时,S的最小值为118000元。
应用题训练 题1: 甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀 速行驶到乙地,速度不得超过c km/h,巳知 汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可 变部分和固定部分组成:可变部分与速度v (km/h)的平方成正比,比例系数为b,固 定部分为a元。①把全程运输成本y(元)表 示为速度v(km/h)的函数;并指出这个函 数的定义域;②为了使全程运输成本最小, 汽车应以多大速度行驶? 注意只有当等号能够成立时才能应用均值 不等式,含有字母的问题则要去加以讨论
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[解]
设每天派出甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆.
x+y≤9, 10×6x+6×8y≥360, 由题意得0≤x≤4, 0≤y≤7, x∈N,y∈N, x+y≤9, 5x+4y≥30, 即 0≤x≤4,0≤y≤7, x∈N,y∈N.
[类题通法] 用不等式表示不等关系的方法 (1)认真审题,设出所求量,并确认所求量满足的不等关系. (2)找出体现不等关系的关键词: “ 至少”“至多”“不少 于”“ 不多于 ”“ 超过”“不超过 ”等.用代数式表示相应各 量,并用关键词连接.特别需要考虑的是 “≤”“≥” 中的 “=”能否取到.
[对点训练] 3.已知 a>b,m>n,p>0,求证:n-ap<m-bp.
证明:∵a>b,又 p>0,∴ap>bp. ∴-ap<-bp, 又 m>n,即 n<m. ∴n-ap<m-bp.
【练习反馈】
1.完成一项装修工程,请木工共需付工资每人 500 无,请瓦工共 需付工资每人 400 元,现有工人工资预算 20 000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,则工人满足的关系式是( A.5x+4y<200 C.5x+4y=200 B.5x+4y≥200 D.5x+4y≤200 )
f≤2.5%, (3) p≥2.3%.
[例 2]
比较下列各组中两个代数式的大小:
(1)x2+3 与 2x; (2)已知 a,b 为正数,且 a≠b,比较 a3+b3 与 a2b+ab2 的大 小.
[解]
(1)(x2+3)-2x=x2-2x+3
=x-12+2≥2>0, ∴x2+3>2x.
[类题通法] 比较两个代数式大小的步骤 (1)作差:对要比较大小的两个数(或式子)作差; (2)变形:对差进行变形; (3)判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号; (4)作出结论. 这种比较大小的方法通常称为作差比较法.其思维过程:作差 →变形→判断符号→结论,其中变形是判断符号的前提.
高中数学新人教A版必修5课件:第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2.已知
a>b>0,求证:
a b>
b a.
证明:因为 a>b>0,所以 a> b >0.①又因为 a>b>0,两边同
乘正数a1b,得1b>1a>0.②
①②两式相乘,得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知-1<x<4,2<y<3. (1)求 x-y 的取值范围; (2)求 3x+2y 的取值范围. 【解】 (1)因为-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以 -4<x-y<2. (2)由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以 1<3x +2y<18.
A.ad>bc
B.ac>bd
C.a-c>b-d
D.a+c>b+d
解析:选 D.令 a=2,b=-2,c=3,d=-6,可排除 A,B,
C.由不等式的性质 5 知,D 一定成立.
若 x<1,M=x2+x,N=4x-2,则 M 与 N 的大小关系为 ________.
解析:M-N=x2+x-4x+2=x2-3x+2=(x-1)(x-2), 又因为 x<1,所以 x-1<0,x-2<0,所以(x-1)(x-2)>0,所 以 M>N. 答案:M>N
1.雷电的温度大约是 28 000 ℃,比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高.设太阳表面温度为 t ℃,那么 t 应满足的关系式是 ________. 解析:由题意得,太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度, 即 4.5t<28 000. 答案:4.5t<28 000
3.3.1《基本不等式》课件(北师大版必修5)
• [题后感悟] 多次使用a+b≥2时,要注意等
号能否成立,累加法是不等式性质的应用, 也是一种常用方法,对不能直接使用基本 不等式的证明需重新组合,形成基本不等 式模型,再使用.
2.已知 a,b,c 为不全相等的正实数, 求证:a+b+c> ab+ bc+ ca.
证明: ∵a>0,b>0,c>0, ∴a+b≥2 ab,b+c≥2 bc,c+a≥2 ac, ∴2(a+b+c)≥2 ab+2 bc+2 ca, 即 a+b+c≥ ab+ bc+ ac, 由于 a,b,c 为不全相等的正实数,等号不成立. ∴a+b+c> ab+ bc+ ac.
已知 a,b,c∈R+且 a+b+c=1.
1 1 1 求证:a-1b-1c-1≥8.
• [策略点睛]
[规范作答] 证法一:∵a,b,c∈R ,a+b+c=1, 1-a b+c b c 2 bc 1 ∴a-1= a = a =a+a≥ a . 1 2 ac 1 2 ab 同理b-1≥ b ,c-1≥ c . 上述三个不等式两边均为正,两边分别相乘,
1 1 1 3.已知 a, c∈R , a+b+c=1, b, 且 求证: +b+c≥9. a
+
证明: 证法一:∵a,b,c 为正实数. 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴a+b+c= a + b + c b c a c a b =3+a+a+b+b+c+c
b a c a c b =3+a+b+a+c+b+c ≥3+2+2+2=9.
1 1 1 bc 2 得a-1b-1c-1≥2· a ·
+
ac 2 ab b · c =8,
1 当且仅当 a=b=c= 时取等号. 3 ∴原不等式成立.
a+b+c a+b+c a+b+c 证法二:左边= -1 -1 -1 a b c b c a c a b =a+ab+bc+c
高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5
为函数 y=1x在(-∞,0)上单调递减,a<b<0,所以1a>1b,
故 D 正确.
答案:D
5.若 x>1,y>2,则: (1)2x+y>________; (2)xy>________. 解析:(1)x>1⇒2x>2,2x+y>2+2=4;(2)xy>2. 答案:(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式: (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大,且这 个两位数小于 30; (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价 分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒.根 据需要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒. 解:(1)y>x>0,30>10x+y>9,且 x,y∈N*; (2)x≥3,y≥2,60x+70y≤500,且 x,y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a+c⑫>b+d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N,n≥2)
[思考尝试·夯基] 1.思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a<b 或 a=b 之中有一个正确,则 a≤b 正 确.( ) (3)若 a>b,则 ac>bc 一定成立.( ) (4)若 a+c>b+d,则 a>b,c>d.( )
解析:(1)正确.不等式 x≥2 表示 x>2 或 x=2,即 x 不小于 2,故此说法是正确的.(2)正确.不等式 a≤b 表示 a<b 或 a=b.故若 a<b 或 a=b 中有一个正确,则 a ≤b 一定正确.(3)错误.由不等式的可乘性知,当不等式 两端同乘以一个正数时,不等号方向不变,因此由 a>b, 则 ac>bc,不一定成立,故此说法是错误的.(4)错误.取 a=4,c=5,b=6,d=2,满足 a+c>b+d,但不满足 a >b,故此说法错误.
2016年春北师大版高中数学必修5同步课件:第3章 不等式 §4 第3课时
合理下料 问 题 、 __________ 产品配方 问 题 、 产品安排 问 题 、 __________ __________ 方案设计 问题等. __________
第三章
§4
第3课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
1.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料 3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利 润3万元,该企业在一个生产周期内消耗 A原料不超过 13吨,B 原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是( )
元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天
甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时,甲、乙两车间 每天总获利最大的生产计划为( )
A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱
B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱 C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱
D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章 不等式
第三章
不等式
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第三章
§4 简单线性规划 第3课时 简单线性规划的应用
第三章
§4
第3课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
第三章 §4 第3课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
1.解线性规划应用题的步骤: (1) 转化 —— 设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际
高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5
D.5
【解题探究】判断不等关系的真假,要紧扣不等的性
质,应注意条件与结论之间的联系. 【答案】C
【解析】①c 的范围未知,因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏 依据,故该结论错误.
②由 ac2>bc2 知 c≠0,则 c2>0,
∴a>b,∴②是正确的.
③a<b, ⇒a2>ab,a<b, ⇒ab>b2,
【答案】M>N
【解析】M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1= a1(a2 - 1) - (a2 - 1) = (a1 - 1)(a2 - 1) , 又 ∵ a1∈(0,1) , a2∈(0,1) , ∴ a1 - 1<0 , a2 - 1<0.∴(a1 - 1)(a2 - 1)>0 , 即 M - N>0.∴M>N.
用不等式表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm 和600 mm两种规格,按照生产的要求,600 mm 钢管 的数量不能超过500 mm钢管的3倍.试写出满足上述所有不等 关系的不等式.
【解题探究】应先设出相应变量,找出其中的不等关 系,即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm;②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍;③两种钢管 的数量都不能为负.于是可列不等式组表示上述不等关系.
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠-1,比较1+1 x与 1-x 的大小. 【错解】∵1+1 x-(1-x)=1-1+1-x x2=1+x2 x,而 x2≥0,∴ 当 x>-1 时,x+1>0,1+x2 x≥0,即1+1 x≥1-x; 当 x<-1 时,x+1<0,1+x2 x≤0,即1+1 x≤1-x.
江西省吉安县第三中学高中数学必修五课件:31不等关系与不等式(共20张PPT)
预习导学
课堂讲义
课堂讲义
第三章 不等式
课堂小结
3.不等式的性质 (1)不等式的性质有很多是不可逆的,特别对同向不等式,只有同 向不等式才可以相加,但不能相减,而且性质不可逆.只有同向 且是正项的不等式才能相乘,且性质不可逆. (2)不等式的性质是解(证)不等式的基础,要依据不等式的性质进行 推导,不能自己“制造”性质运算. 4. 在利用不等式的性质进行证明、判断或者推理过程中,要注意 性质成立的条件,不能出现同向不等式相减、相除的情况,要特 别注意同向不等式相乘的条件为同为正.
预习导学
第三章 不等式
[预习思考] 根据p69ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ70页认识生活中的不等关系 1.不等式的概念
思
用 数 学 符 号 “ ≠” 、 “ >” 、 “ <” 、 “ ≥” 、 “ ≤” 连 接 两 个 数 或 代 数 式,以表示它们之间的__不__等__关__系__.含有这些不等号的
式子,叫作不等式.
2.符号“≥”和“≤”的含义
(2)变形的方法:①因式分解;②配方;③通分;④分母
或分子有理化;⑤分类等.
2.作商法比较大小
作商法适用于幂式、积式、分式间大小的比较,作商后
可变形为能与 1 比较大小的式子,要注意利用函数的有
关性质进行比较.
预习导学
课堂讲义
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第三章 不等式
议
探究二 利用不等式性质判断命题的真假
例 2 判断下列不等式关系是否正确,并说明理由. (1)若ca2>cb2,则 a>b; (2)若 a>b,ab≠0,则1a<1b; (3)若 a>b,c>d,则 ac>bd.
议
∴aabb=abba.
③当 a<b 时,0<ab<1,a-b<0,∴(ab)a-b>1,
2018学年北师大版高中数学选修4-5课件 第一章 不等关系与基本不等式 本章高效整合1 精品
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[课标导航]
内容精要:本章是在复习已有的不等式知识(不等式的性 质,基本不等式等)的基础上,继续学习不等式的知识,包括 一些关于绝对值不等式的性质;平均不等式;证明不等式的方 法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法;不等式的应 用等等.本章知识的重点是不等式的基本性质,求解绝对值不 等式和运用不等式的基本方法解决实际问题,掌握证明不等式 的基本方法与技巧.
2.会利用不等式求最大(小)值. 3.了解比较法、分析法、综合法和放缩法、反证法等不 等式的证明方法. 4.会利用不等式解决一些简单的实际问题.
[命题探究]
本章为选修部分新增内容,也是选考内容,命题时,主要 题型有:含有绝对值不等式的解法,利用含有绝对值的重要不 等式证明不等式问题,用比较法、综合法、分析法、放缩法、 反证法证明简单的不等式,难度通常为中档题.
课标要求:1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值 不等式的几何意义证明以下不等式:
(1)|a+b|≤|a|+|b|. (2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|. (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |ax+ b|≤c;|ax + b|≥c ;|x- a|+|x - b|≥c;|x -a| +|x - b|≤c.
4.反证法和放缩法证明不等式 反证法和放缩法 (1)反证法:先假设要证明的结论是不正确的,然后利用公 理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析,得到和命题的 条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论,以此说明假设 的结论不成立,从而原来的命题结论正确.
(2) 放 缩 法 : 将 需 要 证 明 的 不 等 式 的 值 适 当 地 放 大 ( 或 缩 小),使不等式由繁化简,达到证明的目的.
两个不等式中等号成立的条件都是 a=b,且 a=b 是不等 式中等号成立的充要条件.
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内容精要:本章是在复习已有的不等式知识(不等式的性 质,基本不等式等)的基础上,继续学习不等式的知识,包括 一些关于绝对值不等式的性质;平均不等式;证明不等式的方 法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法;不等式的应 用等等.本章知识的重点是不等式的基本性质,求解绝对值不 等式和运用不等式的基本方法解决实际问题,掌握证明不等式 的基本方法与技巧.
2.会利用不等式求最大(小)值. 3.了解比较法、分析法、综合法和放缩法、反证法等不 等式的证明方法. 4.会利用不等式解决一些简单的实际问题.
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本章为选修部分新增内容,也是选考内容,命题时,主要 题型有:含有绝对值不等式的解法,利用含有绝对值的重要不 等式证明不等式问题,用比较法、综合法、分析法、放缩法、 反证法证明简单的不等式,难度通常为中档题.
课标要求:1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值 不等式的几何意义证明以下不等式:
(1)|a+b|≤|a|+|b|. (2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|. (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |ax+ b|≤c;|ax + b|≥c ;|x- a|+|x - b|≥c;|x -a| +|x - b|≤c.
4.反证法和放缩法证明不等式 反证法和放缩法 (1)反证法:先假设要证明的结论是不正确的,然后利用公 理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析,得到和命题的 条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论,以此说明假设 的结论不成立,从而原来的命题结论正确.
(2) 放 缩 法 : 将 需 要 证 明 的 不 等 式 的 值 适 当 地 放 大 ( 或 缩 小),使不等式由繁化简,达到证明的目的.
两个不等式中等号成立的条件都是 a=b,且 a=b 是不等 式中等号成立的充要条件.
北师大版高三数学必修5电子课本课件【全册】
第一章 数列
北师大版高三数学必修5电子课本 课件【全册】
1.数列
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1.1数列的概念
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北师大版高三数学57页 0183页 0209页 0230页 0322页 0368页 0390页 0454页 0512页 0575页 0577页 0611页 0650页 0693页 0717页
第一章 数列 1.1数列的概念 习题1—1 2.1等差数列 习题1—2 3.1等比数列 习题1—3 习题1—4 复习题一 第二章 解三角形 1.1正弦定理 习题2—1 习题2—2 习题2—3 复习题二 1.不等关系 1.2比较关系
1.2数列的函数特性
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习题1—1
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2.等差数列
2018秋新版高中数学北师大版必修5:第三章不等式 3.1
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解析:A中当c的值为负值时不成立;
B中当a>0,b<0时不成立;
C中当a<0,b<0时不成立.
答案:D
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 用不等式(组)表示不等关系 【例1】 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的 乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已 知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写 出每天派出的甲型卡车与乙型卡车的数量满足的不等式.
第三章 不等式
-1-
§1 不等关系
-2-
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典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
1.了解不等式(组)的实际背景. 2.掌握比较两个实数大小的方法. 3.理解不等关系的传递性,理解不等式的基本性质,并能利用不等 式的性质解决有关问题.
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典例透析
IANLITOUXI
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1.不等关系 在日常生活中,不等关系处处存在.在数学意义上,不等关系可以 体现: (1)常量与常量之间的不等关系; (2)变量与常量之间的不等关系; (3)函数与函数之间的不等关系; (4)一组变量之间的不等关系. 常见文字语言与数学符号之间的转换如下表:
=12(x2+x+1)-12(x2+x)=12>0.
解析:A中当c的值为负值时不成立;
B中当a>0,b<0时不成立;
C中当a<0,b<0时不成立.
答案:D
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题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 用不等式(组)表示不等关系 【例1】 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的 乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已 知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写 出每天派出的甲型卡车与乙型卡车的数量满足的不等式.
第三章 不等式
-1-
§1 不等关系
-2-
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1.了解不等式(组)的实际背景. 2.掌握比较两个实数大小的方法. 3.理解不等关系的传递性,理解不等式的基本性质,并能利用不等 式的性质解决有关问题.
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1.不等关系 在日常生活中,不等关系处处存在.在数学意义上,不等关系可以 体现: (1)常量与常量之间的不等关系; (2)变量与常量之间的不等关系; (3)函数与函数之间的不等关系; (4)一组变量之间的不等关系. 常见文字语言与数学符号之间的转换如下表:
=12(x2+x+1)-12(x2+x)=12>0.
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4.一个重要结论 a+m > a. 设 a,b 为正实数,且 a<b,m>0,则 b b+m
1.若b<0,a+b>0,则a-b的值( A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定 解析: ∵b<0,a+b>0, ∴a>-b>0,∴a-b>0. 答案: A的速度 v 的最大限速为 120 km/h,行驶过程中,同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m,用不 等式表示为( ) B.v≤120(km/h)或 d≥10(m) D.d≥10(m)
a 已知 12<a<60,15<b<36,求 a-b 及b的取值范围.
a 1 欲求 a-b,应先求-b 范围,欲求 ,应先求 范围,再 b b 利用不等式性质可求解.
[解题过程] ∵15<b<36,∴-36<-b<-15. ∴12-36<a-b<60-15,∴-24<a-b<45. 1 1 1 12 a 60 1 a 又 < < ,∴ < < ,∴ < <4. 36 b 15 36 b 15 3 b 1 a ∴-24<a-b<45,3<b<4.
3.利用不等式的性质判断下列各结论是否成立,并简述 理由. a b (1)若 2> 2,则 a>b; c c 1 1 (2)若 a>b,ab≠0,则a<b; (3)a>b,c>d⇒a-c>b-d; 1 1 (4)若 a>b, > ,则 a>0,b<0. a b
解析:
(1)正确.∵c2≠0,∴c2>0.
某厂使用两种零件A、B,装配两种产品: 甲、乙,该厂的生产能力是月产甲最多2 500 件,月产乙最多1 200件,而组装一件甲需要4 个A,2个B;组装一件乙需要6个A,8个B.某个月, 该厂能用的A最多有14 000个,B最多有12 000 个.用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关 系表示出来.
+
[题后感悟] (1)作差比较大小的关键是作差后 的变形,作差变形中,可采用配方、因式分解、 通分、有理化等手段进行恒等变形.变形的过 程是至关重要的,无论施以什么方法,最终要 变到能够判断符号为止.注意变形过程中要保 持等价性及正确性.
(2)作商法的适用对象: 所比较的两个式子均为乘积的形式或可以转化 为乘积的形式,往往可以考虑作商法. (3)作商法的一般步骤: ①转化为乘积形式; ②作商; ③判断商值与1的大小关系; ④结论.
对于实数 a,b,c,下列判断正确的是( A.若 a>b,则 ac2>bc2 1 1 B.若 a>b>0,则a>b b a C.若 a<b<0,则a>b 1 1 D.若 a>b,a>b,则 a>0,b<0
)
本题解答可利用不等式性质直接判断真 假,也可以采用特殊值法判断.
[解题过程] 方法一:∵c2≥0, ∴c=0 时,有 ac2=bc2, 故 A 不正确; a b 1 1 由 a>b>0,有 ab>0⇒ > ⇒ > , ab ab b a 故 B 不正确;
一一列出,组成不等式组. 设出甲、乙两种产品的产量,把题中所有不等关系
[解题过程] 设甲、乙两种产品产量分别为 x 件、y 件, 由题意列不等式组如下: 0≤x≤2 500 0≤y≤1 200 4x+6y≤14 000 2x+8y≤12 000 x,y∈N+ 0≤x≤2 500 0≤y≤1 200 ,即2x+3y≤7 000 x+4y≤6 000 x,y∈N+
>165 ≤35 4.某单位招收员工的条件是“年龄不超 过35岁,身高165cm以上”,小李被单位 录用,那么,你能用不等式表示出小李的 身高S(cm)和年龄N(岁)满足的不等关系吗? S ,N .
1.在数学意义上,不等关系可以体现在以下 几个方面 常量与常量 (1) 变量与常量 之间的不等关系; (2) 函数与函数 之间的不等关系; (3) 一组变量 之间的不等关系; (4) 之间的不等关系.
方法二: 特殊值排除法, c=0, ac2=bc2, A 错. 取 则 故 1 1 1 1 1 取 a=2,b=1,则 = , =1,有 < ,故 B 错. a 2 b a b 取 a=-2,b=-1, b 1 a b a 则a=2,b=2,有a<b,故 C 错.
答案: D
[题后感悟] 运用不等式的性质判断时, 要注意不等式成立的条件,不要弱化条件, 尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有 关不等式选择题时,也可采用特殊值法进 行排除,注意取值一定要遵循如下原则: 一是满足题设条件;二是取值要简单,便 于验证计算.
v≤120km/h A. d≥10m
C.v≤120(km/h)
答案: A
3.一个两位数大于50,而小于60,其个 位数字x比十位数字y大2,试用不等式表示 50<10y+x<60 上述关系________________. 答案: x-y=2 解析: 该两位数应表示为10y+x, 由题意可知50<10y+x<60,且x-y=2.
2.(1)已知 a≥1,试比较 M= a+1- a和 N= a- a-1的大小.
a+1- a a- a-1 解析: (1)M-N= - 1 1 a+12- a2 a2- a-12 = - 2 2 a+1+ a a+ a-1 1 1 = - a+1+ a a+ a-1 a-1- a+1 = . a+1+ a a+ a-1
§1
不等关系
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 3.能用作差法比较大小.
1.对用不等式表示不等关系和用作差法比较大 小的考查是本节的热点. 2.本节内容常与通分、因式分解、配方等运算 技能结合命题. 3.多以选择题、填空题形式考查.
a b ∴在c2>c2两边同乘以 c2 不等式方向不变,∴a>b. 1 1 (2)错误.a>b⇔a<b成立条件是 ab>0. (3)错误.令 a=5,b=4,c=3,d=1,有 a-c<b-d. (4)正确 a>b⇒b-a<0 b-a 1 1 1 1 > ⇒ - >0⇒ >0⇒ab<0. a b a b ab ∵a>b,∴a>0且b<0.
(2)若 x<y<0,证明:(x +y )(x-y)>(x -y )(x+y).
2
2
∵a≥1,∴ a+1+ a>0, a+ a-1>0,
(2)证明:∵x<y<0,
2 2
又 a-1- a+1<0, ∴x-y<0,x -y >0,x+y<0,
∴(x2+y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0, x2+y2x-y x2+y2 x+y2-2xy ∵ 2 2 = 2= x -y x+y x+y x+y2 2xy =1- 2, x+y
1.数轴上(如图)的点A,B,C所对应的数a,b, c的大小关系是 . c<a<b
2.函数f(x)的最大值为f(x0),意思是对f(x)定义 域内的任意x,总有 成立. f(x)≤f(x0) 3.若f(x)在区间D上是增函数,则对于任意x1 , x2∈D且x1<x2,都有 成立.
f(x1)<f(x2)
5.已知x>3,试比较x3+11x与6x2+6的大小. 解析: x3+11x-(6x2+6) =x3-3x2-3x2+11x-6= x2(x-3)+(-3x+2)(x-3) =(x-3)·(x2-3x+2) =(x-3)(x-2)(x-1),由x>3,得 x-3>0,x-2>0,x-1>0,所以x3+11x>6x2+ 6.
解析: 4 π π ∵- ≤α<β≤ , 2 2 4 4 2 4 2 π α+β π 上面两式相加得:- < < . 2 2 2 π β π π β π ∵- < ≤ ,∴- ≤- < , 4 2 4 4 2 4 π α-β π ∴- ≤ < . 2 2 2 π α-β 又知 α<β,∴α-β<0,故- ≤ <0. 2 2
a-b<0 a-b>0 如果 ,那么a>b. 如 依 a-b=0 果 ,那么a<b. 如 据 果 2.作差法比较两实数大小 ,那么a=b. 确定任意两个实数a,b的大小关系, 差 零 结 只需确定它们的 与 的大小 论 关系.
3.不等式的性质 a>c (1)如果a>b,b>c,那么 . (2)如果a>b,那么a+c b+c. > (3)如果a>b,c>0,那么ac bc. > (4)如果a>b,c<0,那么ac bc. <
x+y≤9 10×6x+6×8y≥360 0≤x≤4 0≤y≤7 x+y≤9 5x+4y≥30 ,即 0≤x≤4 0≤y≤7
.
(1)比较x2 -2ax与2a-2a2 -3的大小(a, x∈R). (2) 已 知 a , b∈R + , 比 较 aabb 与 abba 的 大 小.
4.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x) 与g(x)的大小关系是________.用(“>”连接) 解析: f(x)-g(x) =x2-2x+2 =(x-1)2+1>0 ∴f(x)>g(x) 答案: f(x)>g(x)
.
[题后感悟] 用不等式表示实际问题中的 不等关系时,应首先读懂题意,设出未知 量,寻找不等关系的根源,将不等关系用 未知量表示出来,即得到不等式或不等式 组,这是应用不等式解决实际问题的最基 本的一步.要注意把题中所有不等关系全 部列出来.
1.某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7 辆载重为6 t的乙型卡车,有9名驾驶员.此车 队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型 卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天 可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不 解析: 等式. 设每天派出甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,则
1.若b<0,a+b>0,则a-b的值( A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定 解析: ∵b<0,a+b>0, ∴a>-b>0,∴a-b>0. 答案: A的速度 v 的最大限速为 120 km/h,行驶过程中,同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m,用不 等式表示为( ) B.v≤120(km/h)或 d≥10(m) D.d≥10(m)
a 已知 12<a<60,15<b<36,求 a-b 及b的取值范围.
a 1 欲求 a-b,应先求-b 范围,欲求 ,应先求 范围,再 b b 利用不等式性质可求解.
[解题过程] ∵15<b<36,∴-36<-b<-15. ∴12-36<a-b<60-15,∴-24<a-b<45. 1 1 1 12 a 60 1 a 又 < < ,∴ < < ,∴ < <4. 36 b 15 36 b 15 3 b 1 a ∴-24<a-b<45,3<b<4.
3.利用不等式的性质判断下列各结论是否成立,并简述 理由. a b (1)若 2> 2,则 a>b; c c 1 1 (2)若 a>b,ab≠0,则a<b; (3)a>b,c>d⇒a-c>b-d; 1 1 (4)若 a>b, > ,则 a>0,b<0. a b
解析:
(1)正确.∵c2≠0,∴c2>0.
某厂使用两种零件A、B,装配两种产品: 甲、乙,该厂的生产能力是月产甲最多2 500 件,月产乙最多1 200件,而组装一件甲需要4 个A,2个B;组装一件乙需要6个A,8个B.某个月, 该厂能用的A最多有14 000个,B最多有12 000 个.用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关 系表示出来.
+
[题后感悟] (1)作差比较大小的关键是作差后 的变形,作差变形中,可采用配方、因式分解、 通分、有理化等手段进行恒等变形.变形的过 程是至关重要的,无论施以什么方法,最终要 变到能够判断符号为止.注意变形过程中要保 持等价性及正确性.
(2)作商法的适用对象: 所比较的两个式子均为乘积的形式或可以转化 为乘积的形式,往往可以考虑作商法. (3)作商法的一般步骤: ①转化为乘积形式; ②作商; ③判断商值与1的大小关系; ④结论.
对于实数 a,b,c,下列判断正确的是( A.若 a>b,则 ac2>bc2 1 1 B.若 a>b>0,则a>b b a C.若 a<b<0,则a>b 1 1 D.若 a>b,a>b,则 a>0,b<0
)
本题解答可利用不等式性质直接判断真 假,也可以采用特殊值法判断.
[解题过程] 方法一:∵c2≥0, ∴c=0 时,有 ac2=bc2, 故 A 不正确; a b 1 1 由 a>b>0,有 ab>0⇒ > ⇒ > , ab ab b a 故 B 不正确;
一一列出,组成不等式组. 设出甲、乙两种产品的产量,把题中所有不等关系
[解题过程] 设甲、乙两种产品产量分别为 x 件、y 件, 由题意列不等式组如下: 0≤x≤2 500 0≤y≤1 200 4x+6y≤14 000 2x+8y≤12 000 x,y∈N+ 0≤x≤2 500 0≤y≤1 200 ,即2x+3y≤7 000 x+4y≤6 000 x,y∈N+
>165 ≤35 4.某单位招收员工的条件是“年龄不超 过35岁,身高165cm以上”,小李被单位 录用,那么,你能用不等式表示出小李的 身高S(cm)和年龄N(岁)满足的不等关系吗? S ,N .
1.在数学意义上,不等关系可以体现在以下 几个方面 常量与常量 (1) 变量与常量 之间的不等关系; (2) 函数与函数 之间的不等关系; (3) 一组变量 之间的不等关系; (4) 之间的不等关系.
方法二: 特殊值排除法, c=0, ac2=bc2, A 错. 取 则 故 1 1 1 1 1 取 a=2,b=1,则 = , =1,有 < ,故 B 错. a 2 b a b 取 a=-2,b=-1, b 1 a b a 则a=2,b=2,有a<b,故 C 错.
答案: D
[题后感悟] 运用不等式的性质判断时, 要注意不等式成立的条件,不要弱化条件, 尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有 关不等式选择题时,也可采用特殊值法进 行排除,注意取值一定要遵循如下原则: 一是满足题设条件;二是取值要简单,便 于验证计算.
v≤120km/h A. d≥10m
C.v≤120(km/h)
答案: A
3.一个两位数大于50,而小于60,其个 位数字x比十位数字y大2,试用不等式表示 50<10y+x<60 上述关系________________. 答案: x-y=2 解析: 该两位数应表示为10y+x, 由题意可知50<10y+x<60,且x-y=2.
2.(1)已知 a≥1,试比较 M= a+1- a和 N= a- a-1的大小.
a+1- a a- a-1 解析: (1)M-N= - 1 1 a+12- a2 a2- a-12 = - 2 2 a+1+ a a+ a-1 1 1 = - a+1+ a a+ a-1 a-1- a+1 = . a+1+ a a+ a-1
§1
不等关系
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 3.能用作差法比较大小.
1.对用不等式表示不等关系和用作差法比较大 小的考查是本节的热点. 2.本节内容常与通分、因式分解、配方等运算 技能结合命题. 3.多以选择题、填空题形式考查.
a b ∴在c2>c2两边同乘以 c2 不等式方向不变,∴a>b. 1 1 (2)错误.a>b⇔a<b成立条件是 ab>0. (3)错误.令 a=5,b=4,c=3,d=1,有 a-c<b-d. (4)正确 a>b⇒b-a<0 b-a 1 1 1 1 > ⇒ - >0⇒ >0⇒ab<0. a b a b ab ∵a>b,∴a>0且b<0.
(2)若 x<y<0,证明:(x +y )(x-y)>(x -y )(x+y).
2
2
∵a≥1,∴ a+1+ a>0, a+ a-1>0,
(2)证明:∵x<y<0,
2 2
又 a-1- a+1<0, ∴x-y<0,x -y >0,x+y<0,
∴(x2+y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0, x2+y2x-y x2+y2 x+y2-2xy ∵ 2 2 = 2= x -y x+y x+y x+y2 2xy =1- 2, x+y
1.数轴上(如图)的点A,B,C所对应的数a,b, c的大小关系是 . c<a<b
2.函数f(x)的最大值为f(x0),意思是对f(x)定义 域内的任意x,总有 成立. f(x)≤f(x0) 3.若f(x)在区间D上是增函数,则对于任意x1 , x2∈D且x1<x2,都有 成立.
f(x1)<f(x2)
5.已知x>3,试比较x3+11x与6x2+6的大小. 解析: x3+11x-(6x2+6) =x3-3x2-3x2+11x-6= x2(x-3)+(-3x+2)(x-3) =(x-3)·(x2-3x+2) =(x-3)(x-2)(x-1),由x>3,得 x-3>0,x-2>0,x-1>0,所以x3+11x>6x2+ 6.
解析: 4 π π ∵- ≤α<β≤ , 2 2 4 4 2 4 2 π α+β π 上面两式相加得:- < < . 2 2 2 π β π π β π ∵- < ≤ ,∴- ≤- < , 4 2 4 4 2 4 π α-β π ∴- ≤ < . 2 2 2 π α-β 又知 α<β,∴α-β<0,故- ≤ <0. 2 2
a-b<0 a-b>0 如果 ,那么a>b. 如 依 a-b=0 果 ,那么a<b. 如 据 果 2.作差法比较两实数大小 ,那么a=b. 确定任意两个实数a,b的大小关系, 差 零 结 只需确定它们的 与 的大小 论 关系.
3.不等式的性质 a>c (1)如果a>b,b>c,那么 . (2)如果a>b,那么a+c b+c. > (3)如果a>b,c>0,那么ac bc. > (4)如果a>b,c<0,那么ac bc. <
x+y≤9 10×6x+6×8y≥360 0≤x≤4 0≤y≤7 x+y≤9 5x+4y≥30 ,即 0≤x≤4 0≤y≤7
.
(1)比较x2 -2ax与2a-2a2 -3的大小(a, x∈R). (2) 已 知 a , b∈R + , 比 较 aabb 与 abba 的 大 小.
4.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x) 与g(x)的大小关系是________.用(“>”连接) 解析: f(x)-g(x) =x2-2x+2 =(x-1)2+1>0 ∴f(x)>g(x) 答案: f(x)>g(x)
.
[题后感悟] 用不等式表示实际问题中的 不等关系时,应首先读懂题意,设出未知 量,寻找不等关系的根源,将不等关系用 未知量表示出来,即得到不等式或不等式 组,这是应用不等式解决实际问题的最基 本的一步.要注意把题中所有不等关系全 部列出来.
1.某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7 辆载重为6 t的乙型卡车,有9名驾驶员.此车 队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型 卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天 可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不 解析: 等式. 设每天派出甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,则