新泰市新泰中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题(含答案和解析)
新泰一中北校高二上学期第一次阶段性考试-数学试题
四、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤
17．（本题满分 10 分）如图在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三
条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 60 ， M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.若 AB a ， AD b ， AA1 c ，
方程为_________．
15．已知圆 C : x2 2x y2 4 y 0, AB 是圆 C 上的一条动直径，点 P 是直线 x y 8
上的动点，则 PA PB 的最小值是____.
试卷第 3页，总 6 页
16．如图，四棱锥 P ABCD 中， ABCD 是矩形，PA 平面 ABCD ，PA AB 1， BC 2 ，四棱锥外接球的球心为 O ，点 E 是棱 AD 上的一个动点.给出如下命题：① 直线 PB 与直线 CE 所成的角中最小的角为 45 ；② BE 与 PC 一定不垂直；③三棱锥 E BCO 的体积为定值；④ CE PE 的最小值为 2 2 .其中正确命题的序号是
动点，则下列结论正确结论的是（ ）
A． DB1 面 ACD1
B．面 A1C1B // 面 ACD1
试卷第 2页，总 6 页
C．点 F 到面 ACD1 的距离为定值 3 3
D．直线 AE 与面 BB1D1D 所成角的正弦
1
值为定值
3
11．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765 年在其所著的《三角形的几何学》一书中
试卷第 5页，总 6 页
22．（本题满分 12 分）如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1 平面 ABC, AA1 AC BC 2 , ACB 90 ， D, E 分别是 A1B1, CC1 的中点
2020年山东省新泰市第一中学老校区(新泰中学)高二第一学期第一次月考数学试题及解析答案
2020～2021学年度山东省新泰市第一中学老校区(新泰中学)高二第一学期第一次月考数学试题一、单选题1.已知向量()()1,1,01,0,2a b ==-，且2ka b a b +-与互相垂直,则k 的值是 ( ) A.75B.2C.53D.1【参考答案】A【试题解析】由向量垂直,可得对应向量数量积为0,从而可求出结果.因为()()1,1,01,0,2a b ==-，,所以1a b =-,25a b ==，,又2ka b a b +-与互相垂直,所以()()20ka b a b +-=,即22220k a ka b a b b -+-=,即4250k k +--=,所以75k =;故选A本题主要考查向量的数量积的坐标运算,属于基础题型.2.{},,a b c 为空间向量的一组基底,则下列各项中,能构成空间向量的基底的一组向量是( )A.{},,a a b a b +-B.{},,b a b a b +-C.{},,c a b a b +-D.{},,2a b a b a b +-+【参考答案】C【试题解析】直接利用基底的定义和共线向量的应用求出结果.解:对于{a 、b 、}c 为空间的一组基底,所以对于()()2a b a b a ++-=与a 共线,故选项A 错误. 对于()()2a b a b b +--=与b 共线,故选项B 错误.对于c 和a b a b +-与不共线向量,所以可以作为基底,故选项C 正确.对于312()()22a b a b a b +=++-,所以不可以作为向量的基底,故选项D 错误. 故选:C .本题考查的知识要点:基底的定义,共线向量,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.3.在空间直角坐标系O xyz -中,记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ,则OB =( )【参考答案】B【试题解析】求出B 点坐标,然后计算OB .点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点(1,0,3)B ,则OB ==故选:B.本题考查空间点在坐标平面上的投影,考查空间两点间距离.属于基础题.4.已知m 是实常数,若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆,则m 的取值范围为( ) A.(),20-∞ B.(),5-∞ C.()5,+∞ D.()20,+∞【参考答案】B【试题解析】由方程表示的曲线为圆,可得出关于实数m 的不等式,解出即可.由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆,则222440m +->,解得5m <. 因此,实数m 的取值范围是(),5-∞. 故选:B.本题考查利用圆的一般方程求参数,考查计算能力,属于基础题. 5.已知点P (－1,1)与点Q (3,5)关于直线l 对称,则直线l 的方程为( ) A.x －y ＋1＝0B.x －y ＝0C.x ＋y －4＝0D.x ＋y ＝0【参考答案】C【试题解析】PQ 中点()1,3,直线斜率11PQk k =-=-,所以直线为()31y x -=--, 即40x y +-=,故选C.6.已知直线()1:21230l x a y a +-+-=,22:340l ax y a +++=,则“32a =”是“12l l //”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【参考答案】C【试题解析】先根据直线12l l //求出a 的值,再判断充要关系即可.若12l l //,则()213a a -=,解得32a =或1a =-.当1a =-时,直线1l 的方程为350x y --=,直线2l 的方程为350x y -++=,两直线重合,所以32a =,所以“32a =”是“12l l //”的充要条件.易错警示:很多考生根据12l l //求出32a =或1a =-后,直接得出结论,而忽略排除两直线重合的情况,从而错选A. 故选:C.本题主要考查充要关系的判断、两直线平行,考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.7.直线2cos 30,63x y ππαα⎛⎫⎡⎤--=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的倾斜角的取值范围是( ) A.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【参考答案】B【试题解析】根据直线方程求出直线的斜率2cos k α=,再由α的范围即可求解.直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α, 因为α∈,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,所以12≤cos α≤3,因此k ＝2cos α∈1,3⎡⎤⎣⎦.设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈1,3⎡⎤⎣⎦.又θ∈[0,π),且正切函数在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增,在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为单调递增函数, 结合正切函数的图像可知 所以θ∈,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即倾斜角的取值范围是,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选:B本题考查了直线的斜率与倾斜角,需熟记直线的斜率与倾斜角的关系,属于基础题. 8.在如图的正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中,AB ＝3,点M 是侧面BCC 'B '内的动点,满足AM ⊥BD ',设AM 与平面BCC 'B '所成角为θ,则tan θ的最大值为( )2 2C.43D.34【参考答案】B【试题解析】构建以B 为原点,,,CB AB BB '分别为,,x y z 轴的正方向构建空间直角坐标系,根据正方体棱长标识,,,A B B D '',令(,0,)M x z 结合AM ⊥BD '有3z x =+且30x -≤≤,而AM 与平面BCC 'B '所成角的平面角为AMB ∠,即有2||3tan||269ABMB x xθ==++,即可求tanθ的最大值.如下图,以B为原点,,,CB AB BB'分别为,,x y z轴的正方向构建空间直角坐标系,则有(0,3,0),(0,0,0),(0,0,3),(3,3,3)A B B D''---,令(,0,)M x z,∴(,3,)AM x z=,(3,3,3)BD'=--,又AM⊥BD',有3z x=+且30x-≤≤,AM与平面BCC'B'所成角为θ,即AMBθ∠=,而(,0,3)BM x x=+,∴22tan392692()22x x xθ==++++,30x-≤≤,∴当32x=-时,max(tan)2θ=,故选:B.本题考查了利用空间向量求线面角的最值,综合应用了向量垂直的坐标公式,线面角,以及利用二次函数求最值.9.下列说法的正确的是( )A.经过定点的直线都可以用方程()00y y k x x-=-表示.B.经过定点的直线都可以用方程y kx b=+表示.C.不经过原点的直线都可以用方程表示.D.经过任意两个不同的点的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y--=--表示.【参考答案】D【试题解析】解:因为选项A 中缺少了斜率不存在的直线,因此错误 选项B 中,也是同上选项C 中,表示的缺少与x 轴平行和与y 轴平行的直线,因此错误,选D二、多选题10.下面四个结论正确的是( )A.向量(),0,0a b a b ≠≠,若a b ⊥,则0a b ⋅=.B.若空间四个点P ,A ,B ,C ,1344PC PA PB =+,则A ,B ,C 三点共线. C.已知向量()1,1,a x =,()3,,9b x =-,若310x <,则,a b 为钝角.D.任意向量a ,b ,c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅. 【参考答案】AB【试题解析】由向量垂直的充要条件可判断A ;由题意11334444PC PA PB PC -=-,即可判断B ;举出反例可判断C ;由向量的数量积运算不满足结合律可判断D.即可得解.由向量垂直的充要条件可得A 正确;1344PC PA PB =+,∴11334444PC PA PB PC -=-即3AC CB =, ∴A ,B ,C 三点共线,故B 正确;当3x =-时,两个向量共线,夹角为π,故C 错误; 由于向量的数量积运算不满足结合律,故D 错误. 故选:A 、B本题考查了向量垂直的判定、利用向量证明点共线和向量数量积的应用,属于基础题. 11.已知直线l :2(1)10a a x y ++-+=,其中a R ∈,下列说法正确的是( ) A.当a ＝－1时,直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B.若直线l 与直线x －y ＝0平行,则a ＝0 C.直线l 过定点(0,1)D.当a ＝0时,直线l 在两坐标轴上的截距相等 【参考答案】AC【试题解析】利用两直线平行、垂直以及过定点和在两轴上的截距分析直线方程的特征,逐项分析,得到结果.对于A 项,当a ＝－1时,直线l 的方程为10x y -+=,显然与x ＋y ＝0垂直,所以正确; 对于B 项,若直线l 与直线x －y ＝0平行,可知2(1)(1)1(1)a a ++⋅-=⋅-, 解得0a =或1a =-,所以不正确;对于C 项,当0x =时,有1y =,所以直线过定点(0,1),所以正确; 对于D 项,当a ＝0时,直线l 的方程为10x y -+=, 在两轴上的截距分别是1,1-,所以不正确; 故选:AC.该题考查的是有关直线的问题,涉及到的知识点有两直线平行,两直线垂直,直线过定点问题,直线在两轴上的截距的求解,属于简单题目.12.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E 是1DD 的中点,则( )A.直线1//B C 平面1A BDB.11B C BD ⊥C.三棱锥11C B CE -的体积为13D.异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【参考答案】ABD【试题解析】建立空间直角坐标系,利用空间向量法一一验证即可;解:如图建立空间直角坐标系,()0,0,0A ,()1,0,0B ,()1,1,0C ,()0,1,0D ,()10,0,1A ,()11,0,1B ,()11,1,1C ,()10,1,1D ,10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ,()1B C 0,1,1=-,()11,1,1BD =-,()1,1,0BD =-,()11,0,1BA =-所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=,即11BC BD ⊥,所以11B C BD ⊥,故B 正确;()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=,12B C =,2BD =,设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ,则111cos 2B C BD B C BDθ==,又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,所以3πθ=,故D 正确;设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =,则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩,即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩,取()1,1,1n =,则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=,即1C n B ⊥,又直线1B C ⊄平面1A BD ,所以直线1//B C 平面1A BD ,故A 正确;111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅,故C 错误;故选:ABD本题考查空间向量法在立体几何中的应用,属于中档题.三、填空题13.已知A(1,－2,11)、B(4,2,3)、C(x,y,15)三点共线,则xy ＝___________. 【参考答案】2.【试题解析】由三点共线得向量AB 与AC 共线,即AB k AC =,(3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+,124348x y -+==-,解得12x =-,4y =-,∴2xy =.【知识点】空间三点共线.14.已知圆C 的圆心在直线230x y --=上,且过点3(2,)A -,(2,5)B --,则圆C 的标准方程为_________【参考答案】22(1)(2)10x y +++=【试题解析】由圆心在直线230x y --=上有(23,)C m m +,设半径为r 结合所过点,A B 即可求圆C 的标准方程.圆C 的圆心在直线230x y --=上,令(23,)C m m +,半径为r , ∴圆C 的方程为:222(23)()x m y m r --+-=,又3(2,)A -,(2,5)B --,有()()()()222222213{255m m r m m r+++=+++=,解得2210m r =-⎧⎨=⎩,有(1,2)C --, 故答案为:22(1)(2)10x y +++=;本题考查了求圆的标准方程,根据圆心位置、所过的点求圆的方程,属于简单题. 15.已知一个等腰三角形ABC 的一个顶点是A (4,2),底边的一个端点B (3,5),底边另一个端点C 的轨迹方程是___________.【参考答案】22(4)(2)10x y -+-=(去掉(3,5),(5,-1)两点)【试题解析】根据等腰三角形和已知顶点A (4,2),一个端点B (3,5),利用腰相等且能构成三角形即可求端点C 的轨迹方程;由题意知:设另一个端点(,)C x y ,腰长为r ==,∴C 的轨迹方程:22(4)(2)10x y -+-=,又由A 、B 、C 构成三角形,即三点不可共线,∴需要去掉重合点(3,5),反向共线点(5,-1),故答案为:22(4)(2)10x y -+-=(去掉(3,5),(5,-1)两点)本题考查了轨迹方程,利用等要三角形的性质及三角形三点不共线求轨迹方程,属于基础题.四、双空题16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点M ,N 分别是棱BC ,1CC 的中点,则二面角C AM N --的余弦值为__.若动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动,且1//PA 平面AMN ,则线段1PA 的长度范围是__.【参考答案】23 325⎣， 【试题解析】易知NQC ∠为二面角C AM N --的平面角,利用相似的性质可求得CQ ,进而求得NQ ,由此得解二面角C AM N --的余弦值;建立空间直角坐标系,可求得点P 的轨迹为经过1BB ,11B C 中点的线段,再根据对称性即可求得线段1PA 长度的最值,进而得到取值范围.解:延长AM 至Q ,使得CQ AQ ⊥,连接NQ ,如图,由于1111ABCD A B C D -为正方体,由三垂线定理易知NQC ∠为二面角C AM N --的平面角,而2sin sin 521CQ AB CMQ AMB CM AM ∠=∠====+故55CQ ==∴22()155NQ =+=∴2cos 3CQ NQC NQ ∠==; 以点D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设(P m ,2,)(0n m ,2)n ,(2A ,0,0),(1M ,2,0),(0N ,2,1),1(2A ,0,2),则(1,2,0),(2,2,1)AM AN =-=-,1(2,2,2)A P m n =--,设平面AMN 的一个法向量为(,,)v x y z =,则·20·220v AM x y v AN x y z ⎧=-+=⎨=-++=⎩,故可取(2,1,2)v =, 又1//PA 平面AMN ,∴12(2)22(2)30A P v m n m n =-++-=+-=, ∴点P 的轨迹为经过1BB ,11B C 中点的线段,根据对称性可知,当点P 在两个中点时,21||215max PA =+=,当点P 在两个中点的中点时,221232||(5)()22min PA =-=,故选段1PA 的长度范围是32[,5]2. 故答案为:23,32[,5].五、解答题17.已知空间中三点(2,0,2)A -,(1,1,2)B -,(3,0,4)C -,设a AB =,b AC =. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值; (2)若ka b +与2ka b -互相垂直,求实数k 的值. 【参考答案】(1)1010-;(2)52k =-或2k =.【试题解析】(1)先写出a ,b ,再根据空间向量的夹角公式直接求解即可; (2)根据空间向量垂直的坐标表示直接求解即可得答案.(1)∵()1,1,0a AB ==,()1,0,2b AC ==-, 设a 与b 的夹角为θ,∴10cos 1010|a ba b θ⋅===-∣;(2)∵()1,,2ka b k k +=-,()22,,4ka b k k -=+-且()()2ka b ka b +⊥-,∴2(1)(2)80k k k -++-=,即:52k =-或2k =.本题考查空间向量的夹角的计算,空间向量的垂直求参数,考查运算能力,是基础题. 18.如图,已知M 、N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心,且G 为AM 上一点,且:1:3GM GA =,设AB a =,AC b =,AD c =,试用a ,b ,c 表示BG ,BN .【参考答案】BG 311444a b c =-++;BN 1133b c a =+-.【试题解析】根据向量的加减法计算即可.解:14BG BM MG BM AM =+=-131()444BM AB BM BM a =-+=-3211()4324BC BD a =⨯⨯+- 11()44b ac a a =-+-- 311444a b c =-++;21()32BN AN AB AC AD AB =-=⨯+-1133b c a =+-.本题主要考查向量的加减法和几何表示,属于基础题. 19.求过点(2,3)P ,且满足下列条件的直线方程:(1)倾斜角等于直线40x +=的倾斜角的二倍的直线方程; (2)在两坐标轴上截距相等的直线方程.【参考答案】30y -+-= .(2)320x y -=或50x y +-= . 【试题解析】分析:(1)求出直线的倾斜角,利用点斜式求出直线方程; (2)分类讨论,可得在两坐标轴上截距相等的直线方程.详解:(1) 由题意,可知 tan α=,所以 30α=,则 tan2tan603k α===所以 )32y x -=-,所以所求直线的方程为30y -+-=. (2) 当直线过原点时方程为:32y x =,当直线不过原点时方程为:155x y+=. 故所求直线的方程为 320x y -= 或 50x y +-=. 点睛:本题考查直线方程,考查分类讨论的数学思想.20.已知ABC ∆的顶点(2,8)C -,直线AB 的方程为211y x =-+,AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++= (1)求顶点A 和B 的坐标; (2)求ABC ∆外接圆的一般方程.【参考答案】(1)()5,1和()7,3-;(2)2246120x y x y +-+-=【试题解析】(1)联立直线AB 与直线BH 的方程可得点B 的坐标,由AC BH ⊥,进而设出直线AC 的方程,将C 的坐标代入得方程,再与直线AB 方程联立即可得点A 的坐标;(2)由(1)知A ,B ,C 的坐标,设ABC ∆外接圆的一般方程,代入求解即可.(1)由211320y x x y =-+⎧⎨++=⎩可得顶点(7,3)B -,又因为AC BH ⊥得,13BH k =-所以设AC 的方程为3y x b =+, 将(2,8)C -代入得14b =-由211314y x y x =-+⎧⎨=-⎩可得顶点为(5,1)A 所以A 和B 的坐标分别为(5,1)和(7,3)-(2)设ABC ∆的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=,将(5,1)A 、(7,3)B -和(2,8)C -三点的坐标分别代入,得52607358028680D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩,解得4612D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩,所以ABC ∆的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=.本题主要考查两直线交点的求法,待定系数法求圆的方程,属于基础题. 21.已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=. (1)证明:直线恒过定点;(2)m 为何值时,点()3,4Q 到直线的距离最大,最大值为多少？(3)若直线分别与x 轴,y 轴的负半轴交于,A B 两点,求AOB 面积的最小值及此时直线的方程.【参考答案】(1)证明见解析(2)47=m;3)最小值为4;此时直线的方程240x y ++=【试题解析】(1)证明:利用直线是直线系求出直线恒过定点,即可;(2)点(3,4)Q 到直线的距离最大,转化为两点间的距离,求出距离就是最大值. (3)若直线分别与x 轴,y 轴的负半轴交于A .B 两点,设出直线的方程,求出A ,B ,然后求出AOB ∆面积,利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程.(1)证明:直线方程为()()221340m x m y m -++++=,可化为()()24230x y m x y +++-++=,对任意m 都成立,所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩,解得12x y =-⎧⎨=-⎩,所以直线恒过定点()1,2--; (2)解:点()3,4Q 到直线的距离最大,可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最大值,=423312PQ k +==+, ()()221340m x m y m -++++=的斜率为23-, 可得22321m m --=-+,解得47=m .(3)解:若直线分别与x 轴,y 轴的负半轴交于,A B 两点,直线方程为()21y k x +=+,k 0<,则21,0A k ⎛⎫-⎪⎝⎭,()0,2B k -,()121221212224222AOB k S k k k k k -⎛⎫⎛⎫=--=--=++≥+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭△,当且仅当2k =-时取等号,面积的最小值为4. 此时直线的方程240x y ++=.本题考查直线系过定点,零点的距离公式,基本不等式的应用,考查计算能力,转化思想,属于中档题.22.如图所示的几何体P ABCDE -中,ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形,AB AE ⊥,//AB CE ,//AE CD ,24CD CE AB ===,M 为PD 的中点.(1)求证:CE PE ⊥;(2)求二面角M CE D --的大小;(3)设N 为线段PE 上的动点,使得平面//ABN 平面MCE ,求线段AN 的长. 【参考答案】(1)证明见解析;(2)45︒;(3)2【试题解析】(1)根据题意,得出PA AB ⊥,PA AE ⊥,根据线面垂直的判定定理得出PA ⊥平面ABCDE ,则AB AE ⊥,建立以A 为原点,AB ,AE ,AP 为x ,y ,z 轴的空间直角坐标系,利用向量法能证明CE PE ⊥;(2)求出平面MEC 的法向量和平面DEC 的一个法向量,利用向量法能求出二面角M CE D --的大小;(3)设PN PE λ→→=,[[0λ∈,1]),求出(0N ,2λ,22)λ-,令AN n →→⊥,则0AN n →→=,解得N 为PE 的中点,利用向量法能求出线段AN 的长.解:依题意得,ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形, 则PA AB ⊥,PA AE ⊥, 所以PA ⊥面ABCDE ,又AB AE ⊥,可以建立以A 为原点,分别以AB →,AE →,AP →的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得()0,0,0A ,()2,0,0B ,()4,2,0C ,()4,6,0D ,()0,2,0E ,()002P ,,,()2,3,1M ,(1)证明:由题意,()4,0,0CE →=-,()0,2,2PE →=-, 因为0CE PE →→⋅=,所以CE PE ⊥.(2)解:()2,1,1ME →=---,()2,1,1MC →=--, 设(),,n x y z →=为平面MEC 的法向量,则00n ME n MC ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即2020x y z x y z ---=⎧⎨--=⎩, 不妨令1y =,可得()0,1,1n →=-, 平面DEC 的一个法向量()0,0,2AP →=,因此有cos ,2n APn AP n AP→→→→→→⋅==-,由图可得二面角M CE D --为锐二面角, 所以二面角M CE D --的大小为45︒.(3)解:(方法一)设[]()0,1PN PE λλ→→=∈,(),,N x y z ,所以()(),,20,2,2x y z λ-=-,因此()0,2,22N λλ-, 令AN n →→⊥,即0AN n →→⋅=, 解得12λ=,即N 为PE 的中点, 因为//AB 平面MCE ,//AN 平面MCE ,AB AN A =,所以当N 为PE 的中点时,平面//ABN 平面MCE , 此时即()0,1,1N,AN →==所以线段AN.(方法二)设[]()0,1PN PE λλ→→=∈,(),,N x y z ,所以()(),,20,2,2x y z λ-=-,因此()0,2,22N λλ-, 设(),,m x y z →=为平面ABN 的法向量,则00m AB m AN ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即()402220x y z λλ=⎧⎨+-=⎩,不妨令1y λ=-,可得()0,1,m λλ→=-, 因为平面//ABN 平面MCE ,所以//m n →→, 解得:12λ=,此时即()0,1,1N ,AN →==所以线段AN .本题考查利用空间向量法证明线线垂直,以及利用空间向量法求出二面角和线段长,还涉及空间中线面的判定定理和性质,考查运算求解能力以及化归与转化思想,是中档题.。
新泰市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学
新泰市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=sin（3x+）B．f（x）=sin（2x+）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（2x+）2．函数的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应该是（）A．10 B．11 C．12 D．133．在△ABC中，若A=2B，则a等于（）A．2bsinA B．2bcosA C．2bsinB D．2bcosB4．已知点M的球坐标为（1，，），则它的直角坐标为（）A．（1，，）B．（，，）C．（，，）D．（，，）5．设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。
ABCD7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．28．下列命题正确的是（）A ．已知实数,a b ，则“a b >”是“22a b >”的必要不充分条件B ．“存在0x R ∈，使得2010x -<”的否定是“对任意x R ∈，均有210x ->”C ．函数131()()2xf x x =-的零点在区间11(,)32内D ．设,m n 是两条直线，,αβ是空间中两个平面，若,m n αβ⊂⊂，m n ⊥则αβ⊥9． （理）已知tan α=2，则=（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列命题中错误的是（ ）A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形11．若直线L ：047)1()12(=--+++m y m x m 圆C ：25)2()1(22=-+-y x 交于B A ,两点，则弦长||AB 的最小值为（ ）A ．58B ．54C ．52D ．5 12．设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题13．设抛物线24y x =的焦点为F ，,A B 两点在抛物线上，且A ，B ，F 三点共线，过AB 的中点M 作y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P ，若32PF =，则M 点的横坐标为 . 14．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB=AD=4cm ，AA 1=2cm ，则点A 1到平面AB 1D 1的距离等于 cm ．15．设x ，y 满足的约束条件，则z=x+2y 的最大值为 ．16．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下： ①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()xf x e -<的解集为(0,)+∞；②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1(2)4(2),n n f f n N +*<∈；④若()()0f x f x x'+>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()xe xf x f x x'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．其中所有正确结论的序号是 ．17．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数()2f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）的导函数为()f x '，对任意x R ∈，不等式()()f x f x ≥'恒成立，则222b ac +的最大值为__________．18．设全集______.三、解答题19．（本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为，，，c b a 且)3(s i n))(sin (sin c b C a b B A -=-+. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ） 若2a =，ABC ∆，求c b ,.20．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为1()16t ay -=（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室。
2022版新教材高中数学第二章直线和圆的方程2
直线的一般式方程基础过关练题组一求直线的一般式方程1.(2021江西临川二中高二上第一次月考)已知直线l过点(0,3),且与直线x-y-1=0平行,则l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=02.过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为()A.x-2y+4=0B.2x+y-7=0C.x-2y+3=0D.x-2y+5=03.在平面直角坐标系中,直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是()A.x-2y+4=0B.x+2y-4=0C.x-2y-4=0D.x+2y+4=04.已知直线l经过点P(2,3),且斜率为-32.(1)求直线l的一般式方程;(2)求与直线l平行,且过点(-3,1)的直线的一般式方程;(3)求与直线l垂直,且过点(-3,1)的直线的一般式方程.题组二直线方程几种形式的相互转化5.(2021重庆八中高二上月考)直线√3x+y+1=0的倾斜角为()A.π6B.π3C.2π3D.−π36.(2020湖北宜昌高二上期末)直线3x+2y+6=0在y轴上的截距为b,则b= ()A.3B.-2C.2D.-37.已知直线kx-y+1-3k=0,当k变化时,所有直线都恒过点()A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)8.若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0的图形可能是()9.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是()A.12aa B.12|aa|C.12aaD.12|aa|题组三直线一般式方程的综合应用10.(2020北京清华大学附中高二上期中)若直线ax+2y-1=0与x-2y-1=0垂直,则a的值为()A.1B.-1C.4D.-411.(2021河北保定唐县一中高二上月考)若直线x+(1+m)y-2=0和直线mx+2y+4=0平行,则m的值为()A.1B.-2C.1或-2D.-2312.(2020浙江温州高二上期末)已知直线l:(m2+1)x-2y+1=0(m为常数),若直线l的斜率为12,则m=,若m=-1,则直线l的倾斜角为.13.如图,某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系用直线AB的方程表示.(1)求直线AB的方程;(2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李?能力提升练题组一求直线的一般式方程1.()已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是()A.2x+y+1=0B.2x-y+1=0C.2x+y-1=0D.x+2y+1=02.()已知过点M(2,1)的直线与x轴、y轴分别交于P,Q两点.若M为线段PQ的中点,则这条直线的方程为()A.2x-y-3=0B.2x+y-5=0C.x+2y-4=0D.x-2y+3=03.()已知点A(0,1),点B在直线l:x+y=0上运动,则当线段AB最短时,直线AB的一般式方程为.4.(2021山东济宁实验中学高二月考,)直线l过点(4,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为,当△AOB面积取最小值时,直线l的一般式方程是.5.(2021山东枣庄八中高二上月考,)求适合下列条件的直线方程:(1)经过点A(2,-3),并且其倾斜角等于直线x-√3y+1=0的倾斜角的2倍的直线方程;(2)经过点A(-2,2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.题组二直线一般式方程的应用6.(2020湖北武汉华中师大一附中高二上期中,)“m=1”是“直线(m+4)x+3my+1=0与(m-4)x+(m+4)y-5=0垂直”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.(2020安徽安庆一中高二上月考,)设A(-2,2),B(1,1),若直线l:ax+y+1=0与线段AB有交点,则a的取值范围是()A.(-∞,-32]∪[2,+∞) B.[-32,2]C.(-∞,-2]∪[32,+∞)D.[-2,32]8.(多选)(2021山东新泰中学高二上月考,)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是()A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0C.直线l过定点(0,1)D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等9.()直线x sinα+y+2=0(α∈R)的倾斜角的取值范围是.的直10.(2020辽宁六校协作体高二上期中,)直线l:mx+y-1-m=0过定点,过此定点,且倾斜角为π2线方程为.11.()已知直线l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则k=.12.(2020湖北宜昌高二上期末,)(1)已知直线l1:2x+7y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求m的值;(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,求a的值.深度解析答案全解全析基础过关练1.D设直线l的方程为x-y+c=0(c≠-1),由点(0,3)在直线x-y+c=0上得0-3+c=0,解得c=3,因此直线l的方程为x-y+3=0,故选D.2.A设垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为x-2y+c=0,由点(2,3)在直线x-2y+c=0上,得2-6+c=0,解得c=4, 因此所求的直线方程为x-2y+4=0,故选A.3.D直线2x-y-2=0与y轴的交点为A(0,-2),∵直线2x-y-2=0的斜率为2,,∴所求直线的斜率为-12x,即x+2y+4=0,故选D.∴所求直线的方程为y+2=-12(x-2),即3x+2y-12=0.4.解析(1)由题意知直线l的方程为y-3=-32(2)设所求直线的方程为3x +2y +m =0(m ≠-12),因为所求直线过点(-3,1),所以-9+2+m =0,解得m =7,故所求直线的一般式方程为3x +2y +7=0.(3)设所求直线的方程为2x -3y +n =0,因为所求直线过点(-3,1),所以-6-3+n =0,解得n =9,故所求直线的一般式方程为2x -3y +9=0.5.C 将直线的方程√3a +a +1=0化为斜截式,得a =−√3x -1, 因此直线的斜率k =-√3,设直线的倾斜角为a ,则tan a =−√3, 因为α∈[0,π),所以α=2π3,即倾斜角为2π3,故选C .6.D 将直线的方程3x +2y +6=0化为截距式,得a-2+a-3=1,所以b =-3,故选D .7.C 将直线方程kx -y +1-3k =0化为点斜式方程为y -1=k (x -3),所以直线过定点(3,1).8.C 由题意知,直线方程可化为y =-a a a −a a ,∵aa <0,aa <0,∴aa >0,−a a >0,∴−aa <0,故直线的斜率小于0,在y 轴上的截距大于0.故选C . 9.D 将方程化为截距式为a 1a+a1a=1,∴三角形的面积S =12|1a||1a |=12|aa |.10.C 因为直线ax +2y -1=0与x -2y -1=0垂直,所以a -4=0,解得a =4.故选C . 11.A 由直线x +(1+m )y -2=0和直线mx +2y +4=0平行, 得{1×2=a (1+a ),a ≠-2,解得m =1.故选A . 12.答案 0;45° 解析 由题得-a 2+1-2=12,∴m =0.若m =-1,则直线的斜率k =-2-2=1,所以直线的倾斜角为45°.13.信息提取 ①行李票费用y (元)与行李质量x (千克)呈线性关系;②由图中标出的坐标知A (60,6),B (80,10);③A ,B 两点在直线上.数学建模 以行李票费用y (元)与行李质量x (千克)的关系为背景构建直线方程. 解析 (1)由题图知点A (60,6),B (80,10).由直线方程的两点式得a -6080-60=a -610-6,整理得x -5y -30=0.(2)依题意,令y =0,解得x =30,即旅客最多可免费携带30千克的行李.能力提升练1.A 因为点A (2,1)在直线a 1x +b 1y +1=0上,所以2a 1+b 1+1=0,由此可知点P 1(a 1,b 1)在直线2x +y +1=0上.因为点A (2,1)在直线a 2x +b 2y +1=0上,所以2a 2+b 2+1=0,由此可知点P 2(a 2,b 2)在直线2x +y +1=0上.所以过点P 1(a 1,b 1)和点P 2(a 2,b 2)的直线方程是2x +y +1=0.2.C 设所求直线的方程为y -1=k (x -2).令x =0,得y =1-2k ,所以Q 点坐标为(0,1-2k ),又因为M 为线段PQ 的中点,P 点纵坐标为0,所以根据中点坐标公式得0+(1-2a )2=1,解得a =−12,故所求直线的方程为x +2y -4=0.3.答案 x -y +1=0解析 当线段AB 最短时,AB ⊥l ,所以k AB =1.所以直线AB 的方程为y =x +1,化为一般式方程为x -y +1=0. 4.答案 8;x +4y -8=0解析 设直线l 的方程为a a +a a=1(a >0,b >0). 由点(4,1)在直线上知4a +1a =1. ∵a >0,b >0, ∴1=4a+1a≥2√4a·1a=√aa当且仅当4a=1a,即a =8,b =2时取等号.从而√aa ≥4,即ab ≥16, ∴S △AOB =12ab ≥8,∴△AOB 面积的最小值为8,此时直线l 的方程为a 8+a2=1,即x +4y -8=0. 5.解析 (1)直线x -√3a +1=0的斜率为√33,所以其倾斜角为30°, 所以所求直线的倾斜角为60°, 故所求直线的斜率为√3,又所求直线经过点A (2,-3),所以其方程为y +3=√3(a −2),即√3a −a −3−2√3=0. (2)设直线方程为a a +aa =1,则{12|aa |=1,-2a+2a =1,解得{a =2,a =1或{a =-1,a =-2.故所求的直线方程为x +2y -2=0或2x +y +2=0.6.B 两直线垂直⇔(m +4)(m -4)+3m (m +4)=0⇔(m +4)(m -1)=0⇔m =1或m =-4. ∵{1}⫋{1,-4},∴“m =1”是“直线(m +4)x +3my +1=0与(m -4)x +(m +4)y -5=0垂直”的充分不必要条件,故选B . 7.C 由ax +y +1=0得,y =-ax -1,因此直线l 过定点P (0,-1),若直线l 斜率存在,则斜率k =-a.如图所示,当直线l 由直线PA 按顺时针方向旋转到直线PB 的位置时,符合题意.易得k PB =1-(-1)1-0=2,aaa =2-(-1)-2-0=−32.结合图形知,-a ≥2或-a ≤-32,解得a ≤-2或a ≥32.故选C .8.AC 对于A 项,当a =-1时,直线l 的方程为x -y +1=0,显然与x +y =0垂直,所以正确; 对于B 项,若直线l 与直线x -y =0平行,则(a 2+a +1)·(-1)=1×(-1), 解得a =0或a =-1,所以不正确;对于C 项,当x =0时,y =1,所以直线过定点(0,1),所以正确;对于D 项,当a =0时,直线l 的方程为x -y +1=0,在x 轴,y 轴上的截距分别是-1,1,所以不正确.故选AC . 9.答案 [0,π4]∪[3π4,π)解析 直线x sin α+y +2=0的斜率k =-sin α,∵-1≤sin α≤1,∴-1≤k ≤1, ∴直线的倾斜角的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π).10.答案 (1,1);x =1解析 直线l 的方程可化为m (x -1)+(y -1)=0, 令{a -1=0,a -1=0,得{a =1,a =1.故直线l 过定点(1,1).当倾斜角为π2时,直线垂直于x 轴,所以其方程为x =1. 11.答案 ±1解析 如图所示,直线l 1:x +3y -5=0分别交x 轴,y 轴于A ,B 两点,直线l 2:3kx -y +1=0过定点C (0,1). 由点C 在线段OB 上知l 2⊥l 1或l 2与x 轴交于D 点,且∠BCD +∠BAD =180°.①由l 1⊥l 2知,1×3k +3×(-1)=0,解得k =1. ②由∠BCD +∠BAD =180°得,∠BAD =∠OCD.设直线l1的倾斜角为α1,l2的倾斜角为α2,则α1=180°-∠BAD,α2=90°+∠OCD, ∴α1=180°-∠BAD=180°-∠OCD=180°-(α2-90°)⇒α1=270°-α2⇒tanα1=tan(270°-α2)=tan(90°-α2)=sin(90°-a2)cos(90°-a2)=cos a2sin a2=1tan a2⇒tanα1·tanα2=1,∴-13×3k=1⇒k=-1.综上所述,k的值为±1.12.解析(1)直线方程可化为l1:y=-27a−47,a2:a=−a3a+23.依题意得,-a3=−27,解得a=67.(2)∵l1⊥l2,∴(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.将a=±1代入方程,均满足题意.故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.方法技巧已知直线的一般式方程,如果含参数的直线不能判断斜率存在,直接利用一般式的结论解决问题可以避免分类讨论.。
新泰市第一中学老校区新泰中学高二数学上学期第一次月考试题
山东省新泰市第一中学老校区（新泰中学）2020—2021学年高二数学上学期第一次月考试题考试时间：120分钟 满分150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题.（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知向量()()1,1,01,0,2a b ==-，且2ka b a b +-与互相垂直，则k 的值是( ）A ．75B ．2C ．53D ．12．{},,a b c 为空间向量的一组基底,则下列各项中,能构成空间向量的基底的一组向量是A ．{},,a a b a b +-B ．{},,b a b a b +-C ．{},,c a b a b +-D ．{},,2a b a b a b +-+ 3．在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =（ ） AB C D4。
已知m 是实常数,若方程x 2+y 2+2x +4y +m ＝0表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，20） B ．（﹣∞,5） C ．（5，+∞）D ．（20,+∞）5．已知点P (－1,1)与点Q (3,5）关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ）A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y －4＝0D ．x ＋y ＝06、已知直线()1:21230l x a y a +-+-=，22:340l ax y a +++=，则“32a =”是“12l l //"的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7、直线2xcos α－y －3＝0错误!的倾斜角的变化范围是（ ) A 。
错误! B 。
错误!C.错误!D 。
错误!8．在如图3的正方体ABCD ﹣A 'B ’C ’D '中,AB ＝3，点M 是侧面BCC ’B ’内的动点，满足AM ⊥BD '，设AM 与平面BCC ’B '所成角为θ，则tanθ的最大值为( )A ．B ．B ．C ．D ．二、多选题(共4小题，每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项是符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分) 9.下面四个结论正确的是A ．向量(),0,0a b a b ≠≠，若a b ⊥,则0a b ⋅=B ．若空间四个点P，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+,则A ，B ，C 三点共线C ．已知向量()1,1,a x =，()3,,9b x =-，若310x <，则,a b为钝角D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 10．已知直线l :2(1)10a a x y ++-+=，其中a R ∈,下列说法正确的是（ ）A ．当a ＝－1时,直线l 与直线x ＋y ＝0垂直B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行,则a ＝0C．直线l过定点（0,1)D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等11。
山东省泰安市新泰第一中学(东校)2021学年上学期高二年级第二次质量检测数学试卷
山东省泰安市新泰第一中学（东校）2020-2021学年上学期高二年级第二次质量检测数学试卷考试时间：120分钟一、单选题（每题5分，共40分） 1．抛物线28y x =的准线方程为（ ） A ．2x =-B ．2y =-C ．132x =-D ．132y =-2．已知向量(2,0,1)n =为平面α的法向量，点(1,2,1)A -在α内，则点(1,2,2)P 到平面α的距离为（ ）A B C ．D 3．若直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则k ，b 的值分别为（ ） A ．12k =-，4b =- B ．12k =，4b = C ．12k =，4b =- D ．4k =，3b = 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．57B ．51C ．54D ．725．经过点P 2，－2且与双曲线C ：2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是A ．22142x y -= B ．22124y x -=C ．22124x y -= D ．22142-=y x6．已知1，a ，，b ，16这五个实数成等比数列，则的值为（ ） A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定7．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（ ）A ．4B ．4C ．5D ．58．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）则下列埃及分数113⨯，135⨯，157⨯，…，120192021⨯的和是（ ）A ．20202021 B ．10102021C ．10092019D ．20182019 二、多选题（每个题目都有多个答案，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．设几何体1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，1A C 与1B D 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．211A B AC a ⋅= B ．212AB AC a ⋅= C ．21CD AB a ⋅=- D ．2112AB AO a ⋅= 10．已知S n 是等差数列{}n a n ∈N *的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ） A ．数列{}n a 的公差d <0 B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10 C ．S 10>0D ．S 11>011．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=若直线()1y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取可以是 A ．1B ．2C ．3D ．412．过点(03)P ，的直线l 与圆C ：22(2)(3)4-+-=x y 交于A 、B 两点，当30CAB ∠=时，直线l 的斜率为（ ）A ．B ．-C D三、填空题13．坐标平面内过点(2,1)A -，且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为___________ 14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，2(1)n n S a =+，则4a =_____．15．已知点F 为抛物线28y x =-的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且||4AF =，则||||PA PO +的最小值为_______________16．如图，1F 、2F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 、B 分别是1C 、2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是________．四、解答题17．（本题10分）已知平面内两点()1,2A -，()1,4B （1）求过点()2,3P -且与直线AB 平行的直线l 的方程；（2）一束光线从B 点射向（1）中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在的直线方程18．（本题12分）张先生2018年年底购买了一辆1.6L 排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了 2亩荒山用于植树造林科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收吨二氧化碳（1）若张先生第一年（即2019年）会用车万公里，以后逐年増加1000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨（2）若种植的林木第一年（即2019年）生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据：141.1 3.7975≈，151.1 4.1772≈，161.1 4.5950≈）19．（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ADC ∠=︒，PA PD ⊥，PA PD =（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若1BC =，2AD CD ==，求二面角A PC B --的余弦值20．（本题12分）已知数列{}n a 满足：1a =1，11(2)n n n a a n n++=+ （1）求证：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设n n c a n =+，求数列{}n c 的前n 项和n T21．（本题12分）已知直线20x y -+=和圆22:8120C x y x +-+=，过直线上的一点()00,P x y 作两条直线PA ，PB 与圆C 相切于A ，B 两点（1）当P 点坐标为()2,4时，求以PC 为直径的圆的方程，并求直线AB 的方程； （2）设切线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，且127k k ⋅=-时，求点P 的坐标22．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B（1）求抛物线C的标准方程；k k 为定值；（2）设直线MA，MB的斜率分别为1k，2k，证明：12（3）求AB的最小值山东省泰安市新泰第一中学（东校）2020-2021学年上学期高二年级第二次质量检测数学试卷参考答案1．D 2．D 3．C 4．A 5．B 6．A 7．C 8．B 9．ACD 10．AC 11．AB 12．BC 13．12y x =-或1y x =-- 14．-16 15． 16．217．（1）因为()1,2A -，()1,4B ，所以42111ABk ----------------------2分因为直线l 过点()2,3P -且与直线AB 平行，所以直线l 方程为()312y x +=⨯-，即50x y --=-----------------------------------------4分（2）设()1,4B 关于直线l 的对称点为(),B m n '，则411145022n m m n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得94m n =⎧⎨=-⎩，()9,4B '------8分 因为()1,2A -，所以()423915B A k '--==---，则反射光线所在的直线方程为()3215y x -=-+，即3570x y +-=---------------------10分18．（1）设第n 年小轿车排出的二氧化碳的吨数为()*n a n N ∈，则11200043000a ==，2130001330003a ==，3140001430003a ==，…，显然其构成首项为14a =，公差为2113d a a =-=的等差数列------3分 记其前n 项和为n S ，则1010911045523S ⨯=⨯+⨯=，所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨------------------------------------------------------6分 （2）记第n 年林木吸收二氧化碳的吨数为()*n b n N∈，则11 1.8b=⨯，21(110%) 1.8b =⨯+⨯，231(110%) 1.8b =⨯+⨯，…，显然其构成首项为1 1.8b =，公比为 1.1q =的等比数列。
2020-2021学年山东省泰安市新泰第一中学(东校)高二上学期第二次质量检测数学试题 Word版
绝密★启用前新泰第一中学（东校）2020-2021学年高二上学期第二次质量检测数学试卷考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分） 1．抛物线28y x =的准线方程为（ ）A ．2x =-B ．2y =-C ．132x =-D ．132y =-2．已知向量(2,0,1)n =为平面α的法向量，点(1,2,1)A -在α内，则点(1,2,2)P 到平面α的距离为（ ）A B ．10C ．D 3．若直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则k ，b 的值分别为（ ） A ．12k =-，4b =- B ．12k =，4b = C ．12k =，4b =- D ．4k =，3b =4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．57B ．51C ．54D ．725．经过点P (2，，2)且与双曲线C ，2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是( )A ．22142x y -=B ．22124y x -=C ．22124x y -=D ．22142-=y x6．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定7．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（ ）A ．10B ．6B ．C ．10D ．158．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.则下列埃及分数113⨯，135⨯，157⨯，…，120192021⨯的和是（ ）A ．20202021B ．10102021C ．10092019D ．20182019二、多选题（每个题目都有多个答案，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9．设几何体1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，1A C 与1B D 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．211A B AC a⋅= B ．212AB AC a ⋅= C ．21CD AB a ⋅=-D ．2112AB AO a ⋅= 10．已知S n 是等差数列{}n a (n ，N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ） A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>011．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=.若直线()1y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取可以是() A ．1B ．2C ．3D ．412．过点(03)P ，的直线l 与圆C ：22(2)(3)4-+-=x y 交于A 、B 两点，当30CAB ∠=时，直线l 的斜率为（ ）A ．3-B ．33-C 3D 3第II 卷（非选择题）三、填空题13．坐标平面内过点(2,1)A -，且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为___________.14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，2(1)n n S a =+，则4a =_____．15．已知点F 为抛物线28y x =-的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且||4AF =，则||||PA PO +的最小值为_______________16．如图，1F 、2F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 、B 分别是1C 、2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是________．四、解答题17．（本题10分）已知平面内两点()1,2A -，()1,4B . （1）求过点()2,3P -且与直线AB 平行的直线l 的方程；（2）一束光线从B 点射向（1）中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在的直线方程. 18．（本题12分）张先生2018年年底购买了一辆1.6L 排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了 2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳.（1）若张先生第一年（即2019年）会用车1.2万公里，以后逐年増加1000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？（2）若种植的林木第一年（即2019年）生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据：141.1 3.7975≈，151.1 4.1772≈，161.1 4.5950≈）?19．（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ADC ∠=︒，PA PD ⊥，PA PD =.（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若1BC =，2AD CD ==，求二面角A PC B --的余弦值.20．（本题12分）已知数列{}n a 满足：1a =1，11(2)n n n a a n n++=+. （1）求证：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设n n c a n =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 21．（本题12分）已知直线20x y -+=和圆22:8120C x y x +-+=，过直线上的一点()00,P x y 作两条直线PA ，PB 与圆C 相切于A ，B 两点.（1）当P 点坐标为()2,4时，求以PC 为直径的圆的方程，并求直线AB 的方程；（2）设切线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，且127k k ⋅=-时， 求点P 的坐标.22．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B . （1）求抛物线C 的标准方程；（2）设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值；（3）求AB 的最小值.新泰一中东校高二上学期第二次质量检测考试数学答案1．D 2．D 3．C 4．A 5．B 6．A 7．C 8．B 9．ACD 10．AC 11．AB 12．BC13．12y x =-或1y x =--. 14．-16 15．213 16．6217．（1）因为()1,2A -，()1,4B ，所以42111ABk ，----------------------2分因为直线l 过点()2,3P -且与直线AB 平行，所以直线l 方程为()312y x +=⨯-，即50x y --=.-----------------------------------------4分 （2）设()1,4B 关于直线l 的对称点为(),B m n '，则411145022n m m n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得94m n =⎧⎨=-⎩，()9,4B '-，---------------------------8分因为()1,2A -，所以()423915B A k '--==---，则反射光线所在的直线方程为()3215y x -=-+，即3570x y +-=.---------------------10分 18．（1）设第n 年小轿车排出的二氧化碳的吨数为()*n a n N ∈，则11200043000a ==，2130001330003a ==，3140001430003a ==，…， 显然其构成首项为14a =，公差为2113d a a =-=的等差数列，---------------------3分 记其前n 项和为n S ，则1010911045523S ⨯=⨯+⨯=， 所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨.------------------------------------------------------6分 （2）记第n 年林木吸收二氧化碳的吨数为()*n b n N∈，则11 1.8b =⨯，21(110%) 1.8b =⨯+⨯，231(110%) 1.8b =⨯+⨯，…，显然其构成首项为1 1.8b =，公比为 1.1q =的等比数列。
山东省新泰市第一中学老校区(新泰中学)2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题
新泰中学高二年级2020年第一次阶段性数学检测试题考试时间：120分钟 满分150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题.(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1. 已知向量()()1,1,01,0,2a b ==-，且2ka b a b +-与互相垂直，则k 的值是 ( ) A.75B. 2C.53D. 1【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直，可得对应向量数量积为0，从而可求出结果. 【详解】因为()()1,1,01,0,2a b ==-，，所以1a b =-，25a b ==，，又2ka b a b +-与互相垂直，所以()()20ka b a b +-=，即22220k a ka b a b b -+-=，即4250k k +--=，所以75k =;故选A【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题型.2. {},,a b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）A. {},,a a b a b +-B. {},,b a b a b +-C. {},,c a b a b +-D. {},,2a b a b a b +-+【答案】C 【解析】直接利用基底的定义和共线向量的应用求出结果． 【详解】解：对于{a 、b 、}c 为空间的一组基底， 所以对于()()2a b a b a ++-=与a 共线，故选项A 错误． 对于()()2a b a b b +--=与b 共线，故选项B 错误．对于c 和a b a b +-与不共线向量，所以可以作为基底，故选项C 正确． 对于312()()22a b a b a b +=++-，所以不可以作为向量的基底，故选项D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：基底的定义，共线向量，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．3. 在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =（ ） 5101314【答案】B 【解析】 【分析】求出B 点坐标，然后计算OB ．【详解】点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点(1,0,3)B ，则2210310OB =++= 故选：B.【点睛】本题考查空间点在坐标平面上的投影，考查空间两点间距离．属于基础题． 4. 已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A. (),20-∞B. (),5-∞C. ()5,+∞D.()20,+∞【答案】B【分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +->，解得5m <.因此，实数m 的取值范围是(),5-∞. 故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题. 5. 已知点P (－1,1)与点Q (3,5)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A. x －y ＋1＝0 B. x －y ＝0 C. x ＋y －4＝0 D. x ＋y ＝0【答案】C 【解析】PQ 中点()1,3，直线斜率11PQk k =-=-，所以直线为()31y x -=--， 即40x y +-=，故选C ．6. 已知直线()1:21230l x a y a +-+-=，22:340l ax y a +++=，则“32a =”是“12l l //”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线12l l //求出a 的值,再判断充要关系即可. 【详解】若12l l //,则()213a a -=,解得32a =或1a =-.当1a =-时,直线1l 的方程为350x y --=,直线2l 的方程为350x y -++=,两直线重合,所以32a =,所以“32a =”是“12l l //”的充要条件.易错警示:很多考生根据12l l //求出32a =或1a =-后,直接得出结论,而忽略排除两直线重合的情况,从而错选A. 故选：C.【点睛】本题主要考查充要关系的判断、两直线平行,考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.7. 直线2cos 30,63x y ππαα⎛⎫⎡⎤--=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的倾斜角的取值范围是（ ） A. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程求出直线的斜率2cos k α=，再由α的范围即可求解. 【详解】直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈3⎡⎣．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈3⎡⎣．又θ∈[0，π)，且正切函数在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为单调递增函数， 结合正切函数的图像可知 所以θ∈,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即倾斜角的取值范围是,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角，需熟记直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题. 8. 在如图的正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，AB ＝3，点M 是侧面BCC 'B '内的动点，满足AM ⊥BD '，设AM 与平面BCC 'B '所成角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A.22B.2C.43D.34【答案】B 【解析】 【分析】构建以B 为原点，,,CB AB BB '分别为,,x y z 轴的正方向构建空间直角坐标系，根据正方体棱长标识,,,A B B D ''，令(,0,)M x z 结合AM ⊥BD '有3z x =+且30x -≤≤，而AM 与平面BCC 'B '所成角的平面角为AMB ∠，即有2||tan ||269AB MB x x θ==++，即可求tan θ的最大值.【详解】如下图，以B 为原点，,,CB AB BB '分别为,,x y z 轴的正方向构建空间直角坐标系，则有(0,3,0),(0,0,0),(0,0,3),(3,3,3)A B B D ''---，令(,0,)M x z ，∴(,3,)AM x z =，(3,3,3)BD '=--，又AM ⊥BD '，有3z x =+且30x -≤≤， AM 与平面BCC 'B '所成角为θ，即AMB θ∠=，而(,0,3)BM x x =+，∴22tan 392692()22x x x θ==++++，30x -≤≤， ∴当32x =-时，max (tan )2θ= 故选： B.【点睛】本题考查了利用空间向量求线面角的最值，综合应用了向量垂直的坐标公式，线面角，以及利用二次函数求最值.二、多选题(共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项是符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)9. 下面四个结论正确的是（ ）A. 向量(),0,0a b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=．B. 若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线． C. 已知向量()1,1,a x =，()3,,9b x =-，若310x <，则,a b 为钝角．D.任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅． 【答案】AB 【解析】 【分析】由向量垂直的充要条件可判断A ；由题意11334444PC PA PB PC -=-，即可判断B ；举出反例可判断C ；由向量的数量积运算不满足结合律可判断D.即可得解. 【详解】由向量垂直的充要条件可得A 正确；1344PC PA PB =+，∴11334444PC PA PB PC -=-即3AC CB =， ∴A ，B ，C 三点共线，故B 正确；当3x =-时，两个向量共线，夹角为π，故C 错误； 由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误．故选：A 、B【点睛】本题考查了向量垂直的判定、利用向量证明点共线和向量数量积的应用，属于基础题.10. 已知直线l ：2(1)10a a x y ++-+=，其中a R ∈，下列说法正确的是（ ） A. 当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B. 若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0 C. 直线l 过定点(0，1)D. 当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两直线平行、垂直以及过定点和在两轴上的截距分析直线方程的特征，逐项分析，得到结果.【详解】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为10x y -+=，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知2(1)(1)1(1)a a ++⋅-=⋅-， 解得0a =或1a =-，所以不正确；对于C 项，当0x =时，有1y =，所以直线过定点(0,1)，所以正确； 对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为10x y -+=， 在两轴上的截距分别是1,1-，所以不正确； 故选：AC.【点睛】该题考查的是有关直线的问题，涉及到的知识点有两直线平行，两直线垂直，直线过定点问题，直线在两轴上的截距的求解，属于简单题目. 11. 下列说法的正确的是 （ ） A. 经过定点的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示． B. 经过定点的直线都可以用方程y kx b =+表示．C. 不经过原点的直线都可以用方程表示．D. 经过任意两个不同的点的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示．【答案】D 【解析】 【详解】 【分析】解：因为选项A 中缺少了斜率不存在的直线，因此错误 选项B 中，也是同上选项C 中，表示的缺少与x 轴平行和与y 轴平行的直线，因此错误，选D 12. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A. 直线1//B C 平面1A BDB. 11B C BD ⊥C. 三棱锥11C B CE -的体积为13D. 异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-所以()111011110B C BD=-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD⊥，所以11B C BD⊥，故B正确；()11011101B C BD=-⨯+⨯+-⨯=，12B C=，2BD=，设异面直线1B C与BD所成的角为θ，则111cos2B C BDB C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D正确；设平面1A BD的法向量为(),,n x y z=，则1·0·0n BAn BD⎧=⎨=⎩，即x yx z-+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n=，则()10111110n B C=⨯+⨯+⨯-=，即1Cn B⊥，又直线1B C⊄平面1A BD，所以直线1//B C平面1A BD，故A正确；111111111111113326C B CE B C CE C CEV B C SV-∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C错误；故选：ABD【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.第II卷（非选择题)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13 已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=___________.【答案】2．【解析】试题分析：由三点共线得向量AB与AC共线，即AB k AC=，(3,4,8)(1,2,4)k x y-=-+，124348x y-+==-，解得12x=-，4y=-，∴2xy=．考点：空间三点共线．14. 已知圆C 的圆心在直线230x y --=上，且过点3(2,)A -，(2,5)B --，则圆C 的标准方程为_________【答案】22(1)(2)10x y +++= 【解析】 【分析】由圆心在直线230x y --=上有(23,)C m m +，设半径为r 结合所过点,A B 即可求圆C 的标准方程.【详解】圆C 的圆心在直线230x y --=上，令(23,)C m m +，半径为r ， ∴圆C 的方程为：222(23)()x m y m r --+-=，又3(2,)A -，(2,5)B --，有()()()()222222213{255m m r m m r+++=+++=，解得2210m r =-⎧⎨=⎩，有(1,2)C --， 故答案为：22(1)(2)10x y +++=；【点睛】本题考查了求圆的标准方程，根据圆心位置、所过的点求圆的方程，属于简单题. 15. 已知一个等腰三角形ABC 的一个顶点是A (4,2)，底边的一个端点B (3,5)，底边另一个端点C 的轨迹方程是___________.【答案】22(4)(2)10x y -+-=（去掉（3,5），（5,-1）两点） 【解析】 【分析】根据等腰三角形和已知顶点A (4,2)，一个端点B (3,5)，利用腰相等且能构成三角形即可求端点C 的轨迹方程；【详解】由题意知：设另一个端点(,)C x y ，腰长为22(34)(52)10r =-+-=∴C 的轨迹方程：22(4)(2)10x y -+-=，又由A 、B 、C 构成三角形，即三点不可共线，∴需要去掉重合点（3,5），反向共线点（5,-1），故答案为：22(4)(2)10x y -+-=（去掉（3,5），（5,-1）两点）【点睛】本题考查了轨迹方程，利用等要三角形的性质及三角形三点不共线求轨迹方程，属于基础题.16. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，1CC 的中点，则二面角C AM N --的余弦值为__．若动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 平面AMN ，则线段1PA 的长度范围是__．【答案】 (1).23 (2). 3252⎡⎢⎣， 【解析】 【分析】 易知NQC ∠为二面角C AM N --的平面角，利用相似的性质可求得CQ ，进而求得NQ ，由此得解二面角C AM N --的余弦值；建立空间直角坐标系，可求得点P 的轨迹为经过1BB ，11B C 中点的线段，再根据对称性即可求得线段1PA 长度的最值，进而得到取值范围．【详解】解：延长AM 至Q ，使得CQ AQ ⊥，连接NQ ，如图，由于1111ABCD A B C D -为正方体，由三垂线定理易知NQC ∠为二面角C AM N --的平面角， 而2sin sin 521CQ AB CMQ AMB CM AM ∠=∠====+，故55CQ == ∴22()155NQ =+=， ∴2cos 3CQ NQC NQ ∠==； 以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设(P m ，2，)(0n m ，2)n ，(2A ，0，0)，(1M ，2，0)，(0N ，2，1)，1(2A ，0，2)，则(1,2,0),(2,2,1)AM AN =-=-，1(2,2,2)A P m n =--，设平面AMN 的一个法向量为(,,)v x y z =，则·20·220v AM x y v AN x y z ⎧=-+=⎨=-++=⎩， 故可取(2,1,2)v =，又1//PA 平面AMN ，∴12(2)22(2)30A P v m n m n =-++-=+-=， ∴点P 的轨迹为经过1BB ，11BC 中点的线段，根据对称性可知，当点P 在两个中点时，21||215max PA =+=，当点P 在两个中点的中点时，221232||(5)()22min PA =-=， 故选段1PA 的长度范围是32[,5]2． 故答案为：23，32[,5]2．四、解答题(共6小题，70分)17. 已知空间中三点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设a AB =，b AC =.（1）求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；（2）若ka b +与2ka b -互相垂直，求实数k 的值.【答案】（1）1010-；（2）52k =-或2k =. 【解析】【分析】（1）先写出a ，b ，再根据空间向量的夹角公式直接求解即可；（2）根据空间向量垂直的坐标表示直接求解即可得答案.【详解】（1）∵()1,1,0a AB ==，()1,0,2b AC ==-，设a 与b 的夹角为θ，∴10cos 10|a ba b θ⋅===-∣； （2）∵()1,,2ka b k k +=-，()22,,4ka b k k -=+-且()()2ka b ka b +⊥-，∴2(1)(2)80k k k -++-=，即：52k =-或2k =. 【点睛】本题考查空间向量的夹角的计算，空间向量的垂直求参数，考查运算能力，是基础题.18. 如图，已知M 、N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且:1:3GM GA =，设AB a =，AC b =，AD c =，试用a ，b ，c 表示BG ，BN ．【答案】BG 311444a b c =-++；BN 1133b c a =+-． 【解析】【分析】根据向量的加减法计算即可．【详解】解：14BG BM MG BM AM =+=- 131()444BM AB BM BM a =-+=- 3211()4324BC BD a =⨯⨯+- 11()44b ac a a =-+-- 311444a b c =-++； 21()32BN AN AB AC AD AB =-=⨯+- 1133b c a =+-． 【点睛】本题主要考查向量的加减法和几何表示，属于基础题.19. 求过点(2,3)P ，且满足下列条件的直线方程：（1）倾斜角等于直线340x -+=的倾斜角的二倍的直线方程； （2）在两坐标轴上截距相等的直线方程．【答案】（13330x y -+-= ．（2）320x y -=或50x y +-= ．【解析】分析：（1）求出直线的倾斜角，利用点斜式求出直线方程；（2）分类讨论，可得在两坐标轴上截距相等的直线方程.详解：（1） 由题意，可知 3tan α=，所以 30α=， 则 tan2tan603k α=== )332y x --，33230x y -+-=．（2） 当直线过原点时方程为：32y x =，当直线不过原点时方程为：155x y +=． 故所求直线的方程为 320x y -= 或 50x y +-=．点睛：本题考查直线方程，考查分类讨论的数学思想.20. 已知ABC ∆的顶点(2,8)C -，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++=（1）求顶点A 和B 的坐标；（2）求ABC ∆外接圆的一般方程.【答案】（1）()5,1和()7,3-；（2）2246120x y x y +-+-= 【解析】 【分析】（1）联立直线AB 与直线BH 的方程可得点B 的坐标，由AC BH ⊥，进而设出直线AC 的方程，将C 的坐标代入得方程，再与直线AB 方程联立即可得点A 的坐标；（2）由（1）知A ，B ，C 的坐标，设ABC ∆外接圆的一般方程，代入求解即可.【详解】（1）由211320y x x y =-+⎧⎨++=⎩可得顶点(7,3)B -, 又因AC BH ⊥得，13BH k =- 所以设AC 的方程为3y x b =+，将(2,8)C -代入得14b =-由211314y x y x =-+⎧⎨=-⎩可得顶点为(5,1)A 所以A 和B 的坐标分别为(5,1)和(7,3)-（2）设ABC ∆的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(5,1)A 、(7,3)B -和(2,8)C -三点的坐标分别代入，得52607358028680D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩，解得4612D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以ABC ∆的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=.【点睛】本题主要考查两直线交点的求法，待定系数法求圆的方程，属于基础题.21. 已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=.（1）证明：直线恒过定点；（2）m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）证明见解析（2）47=m ；213（3）最小值为4；此时直线的方程240x y ++= 【解析】【分析】（1）证明：利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可；（2）点(3,4)Q 到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值．（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ．B 两点，设出直线的方程，求出A ，B ，然后求出AOB ∆面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程．【详解】（1）证明：直线方程为()()221340m x m y m -++++=，可化为()()24230x y m x y +++-++=，对任意m 都成立，所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点()1,2--；（2）解：点()3,4Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最大值， ()()223142213+++=423312PQ k +==+， ()()221340m x m y m -++++=的斜率为23-， 可得22321m m --=-+，解得47=m . （3）解：若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，直线方程为()21y k x +=+，k 0<，则21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2B k -， ()121222121222242222AOB k k S k k k k k k --⎛⎫⎛⎫=--=--=++≥+⋅= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭△，当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4.此时直线的方程240x y ++=.【点睛】本题考查直线系过定点，零点的距离公式，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想，属于中档题．22. 如图所示的几何体P ABCDE -中，ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形，AB AE ⊥，//AB CE ，//AE CD ，24CD CE AB ===，M 为PD 的中点.（1）求证：CE PE ⊥；（2）求二面角M CE D --的大小；（3）设N 为线段PE 上的动点，使得平面//ABN 平面MCE ，求线段AN 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）45︒；（32【解析】【分析】（1）根据题意，得出PA AB ⊥，PA AE ⊥，根据线面垂直的判定定理得出PA ⊥平面ABCDE ，则AB AE ⊥，建立以A 为原点，AB ，AE ，AP 为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，利用向量法能证明CE PE ⊥；（2）求出平面MEC 的法向量和平面DEC 的一个法向量，利用向量法能求出二面角M CE D --的大小；（3）设PN PE λ→→=，[[0λ∈，1])，求出(0N ，2λ，22)λ-，令AN n →→⊥，则0AN n →→=，解得N 为PE 的中点，利用向量法能求出线段AN 的长．【详解】解：依题意得，ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 则PA AB ⊥，PA AE ⊥，所以PA ⊥面ABCDE ，又AB AE ⊥，可以建立以A 为原点，分别以AB →，AE →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图）， 可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()4,2,0C ，()4,6,0D ，()0,2,0E ，()002P ,,，()2,3,1M ，（1）证明：由题意，()4,0,0CE →=-，()0,2,2PE →=-，因为0CE PE →→⋅=，所以CE PE ⊥.（2）解：()2,1,1ME →=---，()2,1,1MC →=--，设(),,n x y z →=为平面MEC 的法向量，则 00n ME n MC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y z x y z ---=⎧⎨--=⎩， 不妨令1y =，可得()0,1,1n →=-，平面DEC 的一个法向量()0,0,2AP →=，因此有2cos ,2n AP n AP n AP →→→→→→⋅==-，由图可得二面角M CE D --为锐二面角，所以二面角M CE D --的大小为45︒.（3）解：（方法一）设[]()0,1PN PE λλ→→=∈，(),,N x y z ，所以()(),,20,2,2x y z λ-=-，因此()0,2,22N λλ-， 令AN n →→⊥，即0AN n →→⋅=，解得12λ=，即N 为PE 的中点， 因为//AB 平面MCE ，//AN 平面MCE ，AB AN A =，所以当N 为PE 的中点时，平面//ABN 平面MCE ，此时即()0,1,1N ，2220112AN →=++=所以线段AN 2.（方法二）设[]()0,1PN PE λλ→→=∈，(),,N x y z ， 所以()(),,20,2,2x y z λ-=-，因此()0,2,22N λλ-，设(),,m x y z →=为平面ABN 的法向量，则00m AB m AN ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()402220x y z λλ=⎧⎨+-=⎩， 不妨令1y λ=-，可得()0,1,m λλ→=-，因为平面//ABN 平面MCE ，所以//m n →→，解得：12λ=， 此时即()0,1,1N ，2220112AN →=++=所以线段AN 2. 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，以及利用空间向量法求出二面角和线段长，还涉及空间中线面的判定定理和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．13、2 14.22(1)(2)10x y +++=15：22(4)(2)10x y -+-=（去掉（3,5），（5，-1）两点）。
2021-2022年高二上学期第一次月考 数学试题 含答案(I)
2021年高二上学期第一次月考数学试题含答案(I)佟玉臣张伟萍一、选择题（每个题答案唯一，每题4分，共48分）1．已知：p:x>1;q:x>2;则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若p是真命题，q是假命题则（）A．pq是真命题B．pq是假命题C．p是真命题D．q是真命题3．从N个编号中要抽取n个号码，若采用系统抽样方法抽取，则分段间隔应为（表示的整数部分）（）A． B．n C． D．+14．某工厂生产甲，乙，丙三种型号的产量，产品数量之比3:5:7，现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n等于（）A.54B.90C.45D.1265．已知x,y取值如下表从所得的散点图分析，y 与x 线性相关且， 则a 等于（ ）6.如果执行如图的程序框图，那么输出的i 为（ ）A.4B.5C.6D.77.如图，是某篮球运动员在一个赛季的30的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为（ ）A.3与3B.23与3C.3与23D.23与23 0 8 91 1234 6 7 8 9 2 0 1 1 3 3 35 7 8 8 3 0 1 2 2 3 4 8 94 0 18.同时掷两颗骰子，得到的点数和为6的概率是（ ） A. B. C. D. 是9．将[ 0,1]内的均匀随机数转化为[-6,6]内的均匀随机数，需实施的变换为（）A． B． C． D．10．已知某厂的产品合格率为90%。
抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（）A．合格产品少于9件 B．合格产品多于9件C．合格产品正好是9件 D．合格产品可能是9件11．某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（） A．至多有一次中靶 B．两次都中C．两次都不中 D．只有一次中靶12．对实数a和 b定义运算“”：ab=设函数f(x)=()xR,则函数y=f(x)-c的图像与x轴恰有两个公共点的充要条件是c满足（）A.（- ]B. （- ]C.(-1,)D. （- ）二、填空题(每题4分，共16分)13．命题“若m>0则方程”的逆否命题是．14．P:“ +1 ”的否定是 .15．已知p:,q:,若p是q的充分不必要条件则实数m的取值范围16．下列命题：在是“B=”充分不必要条件②a,b,c成立的必要不充分条件③在中“A<B”是cos2A>cos2B的充要条件④设f(x)=asin2x+bcos2x,其中a,b,ab,若f(x)对一切x恒成立，则则真命题的序号三、解答题（共56分，要求有必要的解答步骤）18．（10分）设有关于x的一元二次方程（1）若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，若b从0,1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（2）若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率19.（10分）某中学团委组织了“我对祖国知多少”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出60名学生将其成绩（均为整数）分成6组[40,50），[50,60），[60,70），…[90,100）其部分频率分布直方图如图所示，回答：（1）求成绩在[70,80）的频率，并补全这个频率分布直方图（2）估计这次考试的及格率（60分以上为及格）和平均分20. (8分)p:“”q:“”若pq为真命题，pq为假命题，求m的取值范围22. (10)已知直线l:y=kx+1与圆c:（1）求弦AB的中点M的轨迹方程（2）若o为坐标原点，s（k）表示f(k)=k,求f(k)的最大值高二数学答案15.③④16. 217.（1） (2) (3)18. (1) (2)19. (1)0.3 图略(2)75% 71 (3)p=20. p： q:m>1或m<-1综上: 或m<或m>21. 【解】(Ⅰ) 连接．在平行四边形中，因为为的中点，所以为的中点，又为的中点，所以，因为，，所以．(Ⅱ) 因为，且，所以．即．又，，所以，NOMD CAP因为，所以．(Ⅲ) 取的中点，连接，所以，．由，得，所以是直线与平面所成的角．在中，，，所以．从而．在中，tan54MNMANAN∠===直线与平面所成角的正切值为．22.(1)直线l与y轴的交点为N（0,1）圆心C（2，3）设M（x,y）因为MN与MC所在直线垂直所以且当x=0时不符合题意，当x=2时符合所以)477477(,034222+<<-=+--+xyxyx（2）设A（）B（）S= S- S且所以S=将y=kx+1与+联立。
高二数学上学期第一次月考测试题和答案
高二数学上学期第一次月考测试题和答案高二数学月底考试是检测学习成效的重要手段，只有平时认真对待每一次数学月考，才能够在高考数学考试中超常发挥。
以下是店铺为大家收集整理的高二数学月考测试题，希望对大家有所帮助!高二数学上学期第一次月考测试题(理科卷)(考试时间：120分钟总分：150分)一、(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.以两点A(-3，-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y+2)2=100B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x-1)2+(y-2)2=25D.(x+1)2+(y+2)2=252. 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填(A) k>4?(B)k>5?(C) k>6?(D)k>7?(第3题)3、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是( )A. B. C. D.4. 将51转化为二进制数得 ( )A.100 111(2)B.110 110(2)C.110 011(2)D.110 101(2)5.读程序回答问题：甲乙I=1S=0WHILE i<=5S= S+iI= i+1WENDPRINT SENDI= 5S= 0DOS = S+iI = i-1LOOP UNTIL i<1PRINT SEND对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是( )A 程序不同，结果不同B 程序不同，结果相同C 程序相同，结果不同D 程序相同，结果不同6.(如图)为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是( )A. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛7.如图，输入X=-10 则输出的是( )A. 1B. 0C. 20D. -208..若点P(1，1)为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( )A. B.C. D.9. 三个数390, 455, 546的最大公约数是 ( )A.65B.91C.26D.1310. 数据，，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别是( )A. 和B. 和C. 和D. 和11.已知点，过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为( ). .12. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270;关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样二、题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.把答案填在题中横线上)13. 某校高中生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现采取分层抽样抽取容量为45的样本,那么高一?高二?高三各年级抽取的人数分别为________.14. 已知多项式函数f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7，当x=5时由秦九韶算法v0=2 v1=2×5-5=5 则v3= ________.15. 把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________.16.若集合A={(x，y)y=1+4-x2}，B={(x，y)y=k(x-2)+4}.当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是________________.三、解答题(本大题共6小题,满分74分.解答应写出必要的文字说明?证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)对甲?乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下甲6080709070乙8060708075问:甲?乙两人谁的平均成绩高?谁的各门功课发展较平衡?质量(单位克)数量(单位袋)26128218.(本小题满分12分)某种袋装产品的标准质量为每袋100克，但工人在包装过程中一般有误差，规定误差在2克以内的产品均为合格.由于操作熟练，某工人在包装过程中不称重直接包装，现对其包装的产品进行随机抽查，抽查30袋产品获得的数据如下：(1)根据表格中数据绘制产品的频率分布直方图;(2)估计该工人包装的产品的平均质量的估计值是多少.19.(本小题满分12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图;(2)求回归直线方程;(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大?参考公式：20. (本小题满分12分)据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1) 求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数;(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元)(3) 你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法.21.(本小题满分12分)如图所示程序框图中,有这样一个执行框 =f( )其中的函数关系式为，程序框图中的D为函数f(x)的定义域.，(1)若输入，请写出输出的所有 ;(2)若输出的所有xi都相等,试求输入的初始值 .22.(本小题满分14分)已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0(1)若m=4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值;(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在0，4的变化时，求m的取值范围.高二数学月考测试题参考答案一、题号123456789101112选项CAABCDDBDCDD二、题(13)、 15..10..20 (14)、 108. (15 ) 16 (16) 512三、解答题1718. 解析】 (1)频率分布直方图如图…………6分(2) (克) …………12分19. 解答：(1)根据表中所列数据可得散点图如下：————————3分(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560因此，x=255=5，y=2505=50，i=15x2i=145，i=15y2i=13 500，i=15xiyi=1 380.于是可得b=i=15xiyi-5x yi=15x2i-5x2=1 380-5×5×50145-5×52=6.5; ——————7分a=y-bx=50-6.5×5=17.5，因此，所求回归直线方程是=6.5x+17.5. ——9分(3)据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，=6.5×10+17.5=82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元. ————————————12分20. 【解析】：(1)平均数是=1 500+≈1 500+591=2 091(元).中位数是1 500元，众数是1 500元. ——————————————4分(2)平均数是≈1 500+1 788=3 288(元).中位数是1 500元，众数是1 500元. ————————————————8分(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平.因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平. ——————————————————12分21.-------------------------------------6分(2) 要使输出的所有数xi都相等,则xi=f(xi-1)=xi-1.此时有x1=f(x0)=x0,即 ,解得x0=1或x0=2,所以输入的初始值x0=1或x0=2时,输出的所有数xi都相等.——————————————12分22. 解析：(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0则圆心C的坐标是(-a，a)，半径为2a. ——————————2分直线l的方程化为：x-y+4=0.则圆心C到直线l的距离是-2a+42=22-a. ——————————3分设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L=2(2a)2-(22-a)2 ——————————5分=2-2a2+12a-8=2-2(a-3)2+10.∵0(2)因为直线l与圆C相切，则有m-2a2=2a，——————————8分即m-2a=22a.又点C在直线l的上方，∴a>-a+m，即2a>m. ——————————10分∴2a-m=22a，∴m=2a-12-1.∵0。
山东省泰安市新泰市新泰中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题含解析
17.已知圆 和
(1)求证：圆 和圆 相交；
(2)求圆 和圆 的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
(1)本题可先通过圆 和圆 的方程得出它们的圆心和半径长，再通过用圆心距和两圆的半径之和以及两圆的半径之差作对比，即可得出结果；
再根据两平行直线的距离公式即可求出．
【详解】（1）因为直线 的方程为 ，所以直线 的斜率为 .
因为 ，所以直线 的斜率为 .
因为直线 过点 ，所以直线 的方程为 ，即 .
（2）因为直线 与直线 之间的距离为 ，所以可设直线 的方程为 ，
所以 ，解得 或 .
故直线 的方程为 或 .
【点睛】本题主要考查直线方程的求法，涉及两直线垂直，平行关系的应用，以及平行直线的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
A.y=x+1B.y=2C. D.y=2x+1
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据切割型直线的定义，由点M(5，0)到直线距离不大于4求解.
【详解】A.点M(5，0)到直线y=x+1的距离为： ，故错误；
B.点M(5，0)到直线y=2的距离为： ，故正确；
C.点M(5，0)到直线 的距离为： ，故正确；
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得已知圆与圆 相交，由圆心距和两圆半径之间的关系，列式即可得解.
【详解】由题意可得：已知圆与圆 相交，
∴ ，
∴ ，
解得 且 ，
故选：B.
7.已知椭圆 的左焦点 ，过点 作倾斜角为 的直线与圆 相交的弦长为 ，则椭圆的离心率为（）
山东省新泰市第一中学高二数学上学期第一次月考试题 文
新泰一中高二上学期第一次大单元考试数学试题(文) 2015-10注意事项：1、 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，时间120分钟.2、 答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚.答题前先将自己的姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上.3、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.4、 非选择题要写在答题纸对应的区域内，超出部分无效，严禁在试题或草稿纸上答题.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．在等差数列}{n a 中，352676a a a a ==+=，，则 （ ）A ．10B ．13C ．15D ．252．数列⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是 （ ）A ．12)1(3++-=n nn a nnB ．12)3()1(++-=n n n a n nC ．121)1()1(2--+-=n n a nnD ．12)2()1(++-=n n n a nn3．在ABC ∆中，60A ∠=o，a =3b =，则ABC ∆解的情况 （ ）A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定4．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 （ ） A ．135<<xB ．513<<xC ．52<<xD ．55<<x5．在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则ABC ∆的形状是 （ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 6．等比数列}{n a 中，233,9a a ==，若243=k a ，则k 等于 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．42 7．ABC ∆中，若603A a ∠==o，，则sin sin sin a b c A B C-+-+等于（ ）A ．2B ．21C ．3D ．238．△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别a 、b 、c ，且a cos C ,b cos B ,c cos A 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o9．在等比数列{a n }中，4813S S ==，，则20191817a a a a +++的值是 （ ）A ．14B ．16C ．18D ．2010．已知nn a )31(=，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状，记),n m A （表示第m 行的第n 个数，则）（12,10A = （ ） A ．9231）（ B ．9331）（ C ．9431）（ D ．11231）（ 第Ⅱ卷（共100分）二、填空题: （本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．在ABC ∆，如果4:3:2sin :sin :sin =C B A ，那么C cos 等于 .12．在ABC ∆中，已知50315030b c B ===o，，，则边长=a .13．在数列{}n a 中，其前n 项和227n S n n =-+，则n a = .14．ABC ∆中，a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，ABC S ∆=23，那么b = .15．两个等差数列{}{}n n a b 、，1212 (72)...3n n a a a n b b b n ++++=++++，则55b a =__________.三、解答题：（本大题共6题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16．（本小题12分）已知：ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且sin cos sin cos sin 2A B B A C ⋅+⋅=.(1)求角C 的大小；(2)若,,a c b 成等差数列，且18CA CB ⋅=u u u r u u u r，求c 边的长.17．（本小题12分）数列{}n a 满足112323(2)n n a a a n n -==-+≥，且. （1）求23a a ，，并证明数列{}n a n -是等比数列； （2）求n a .18．(本小题12分)已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若21sin sin cos cos =-C B C B ． （1）求A ； （2）若4,32=+=c b a ，求ABC ∆的面积．19．（本小题12分）已知{a n }为等差数列，且36a =-，60a =.(1) 求{a n }的通项公式；(2) 若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和n S ； (3) 求数列|}{|n a 的前n 项和n T .20．（本小题13分）一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile 的海面上有一走私船正以10nmile/h 的速度沿东偏南15°方向逃窜.缉私艇的速度为14nmile/h ，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追及所需的时间和α角的正弦值.21．（本小题13分）在等比数列｛a n ｝中，a n ＞0 (n ∈N ＊），公比q ∈(0,1)，且153528225,a a a a a a ++=35a a 与的等比中项为2.（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）设b n ＝2log a n ，数列｛b n ｝的前n 项和为S n ，当1212n S S S n++•••+最大时，求n 的值. 新泰一中高二上学期第一次大单元考试 数学（文）试题 （参考答案）一、选择题：1—5：BDAAD 6—10：CABBB二、填空题：11. 41-12. 3503100或 13. 8,143,2n n n =⎧⎨-≥⎩ 31 15. 6512三、解答题：16．解：(1) ∵sin cos sin cos sin 2A B B A C ⋅+⋅=∴sin()sin 2A B C += ………………………………………………（2分） ∵,sin()sin A B C A B C π+=-∴+=∴sin sin 22sin cos C C C C == ………………………………………（4分） ∵0C π<< ∴sin 0C > ∴1cos 2C =∴.3C π= ………………………………………（6分）(2)由,,a c b 成等差数列，得.2b a c += …………………………（7分）∵18CA CB ⋅=u u u r u u u r，即.36,18cos ==ab C ab ……………………………………………（9分） 由余弦弦定理ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=，36,3634222=⨯-=∴c c c ，.6=∴c ……………………………………………………………（12分）17.解：12,532==a a …………………………………………（2分）Θ323.1+-=-n a a n n∴[])1(3333.11--=+-=---n a n a n a n n n ∴3)1(1=----n a na n n∴数列{}n a n -是等比数列 ………………………………………（8分）（2）13-+=n n n a ………………………………………………（12分）18．解:（1）21sin sin cos cos =-C B C B Θ 21)cos(=+∴C B 又π<+<C B 0Θ，3π=+∴C Bπ=++C B A Θ，32π=∴A ． …………………………………（8分） （2）由余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+= 得 32cos22)()32(22π⋅--+=bc bc c b 即：)21(221612-⋅--=bc bc ，4=∴bc323421sin 21=⋅⋅=⋅=∴∆A bc S ABC ……………………………（12分） 19. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差d . 因为366,0a a =-=所以112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩解得110,2a d =-=所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=- ………………（4分） （2）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为212324,8b a a a b =++=-=- 所以824q -=-即q =3.所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==-- ………（8分）(3)2211,61160,6n n n n T n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ……………………………（12分）20．解：设A 、C 分别表示缉私艇、走私船的位置，设经过x 小时后在B 处追上 则有AB =14x ，BC =10x ，∠ACB =120°…………（2分） 222(14)12(10)240cos120x x x ∴=+-︒……………（8分） 22820x AB BC ∴===，，………………………（10分） sin12020sin12053sin 2814BC AB α︒︒∴===532sin 14α∴=所需时间小时，……………………（13分）21. 解：（1）153528225,a a a a a a ++=Q∴23a + 2a 3a 5 +25a ＝25350,5n a a a >∴+=Q …………………………………………（2分） 35a a Q 与的等比中项为2，35a a ∴＝4∵q ∈（0,1）， 353511,4,1,,162a a a a q a ∴>∴====…………（4分） ∴1511622n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭…………………………………………（6分）（2）21log 5,1n n n n b a n b b -==-∴-=-…………………………（8分） ∴{b n }是以4为首项，－1为公差的等差数列。
山东省泰安市新泰第五中学高二数学文月考试题含解析
山东省泰安市新泰第五中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的零点所在区间为（）A、 B、 C、 D、参考答案：C2. 把化为十进制数为（）A．20B．12C．10D．11参考答案：C3.参考答案：A4. 已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列结论一定成立的是（）A．a2＜b2 B．a3＜b3 C．＞D．ac2＜bc2参考答案：B【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】A．取a=﹣3，b=﹣2，即可判断出正误；B．令f（x）=x3，（x∈R），利用导数研究其单调性即可判断出正误C．取a=﹣2，b=1，即可判断出正误；D．取c=0，即可判断出正误．【解答】解：A．取a=﹣3，b=﹣2，不成立；B．令f（x）=x3，（x∈R），f′（x）=3x2≥0，∴函数f（x）在R上单调递增，又a＜b，∴a3＜b3，因此正确；C．取a=﹣2，b=1，不正确；D．取c=0，不正确．故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5. 若方程表示双曲线，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B略6. 用数学归纳法证明：“”．从“到”左端需增乘的代数式为（）A. B．C．D．参考答案：B7. 不等式组的区域面积是( )A B CD参考答案：D略8. 下列各组函数是同一函数的是（）①与，②与，③，④与A．①③ B．②③ C．②④D．①④参考答案：C9. 设，则的解集为（）A． B． C． D．参考答案：B10. 圆心坐标为，半径长为2的圆的标准方程是（）A. B.C. D.参考答案：C分析】根据圆的标准方程的形式写.【详解】圆心为，半径为2的圆的标准方程是. 故选C.【点睛】本题考查了圆的标准方程，故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．参考答案：（x﹣1）2+y2=2【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．【解答】解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．12. 小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是。
山东省泰安市新泰岙阴中学高二数学理月考试卷含解析
山东省泰安市新泰岙阴中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 4名同学分别报名参加数、理、化竞赛，每人限报其中的1科，不同的报名方法种数（）A． B． C． D．参考答案：D2. 函数有()．A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3参考答案：D略C DD略4. 命题甲：f（x）在区间（a，b）内递增；命题乙：对任意x∈（a，b），有f'（x）＞0．则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题乙：对任意x∈（a，b），有f'（x）＞0，可得f（x）在区间（a，b）内递增，即乙?甲．反之不成立，例如取f（x）=x3满足f′（x）≥0因此．在（﹣2，3）内单调递增．【解答】解：命题乙：对任意x∈（a，b），有f'（x）＞0，可得f（x）在区间（a，b）内递增，即乙?甲．反之不成立，例如取f（x）=x3满足f′（x）≥0因此．在（﹣2，3）内单调递增．因此甲是乙的必要不充分条件．故选：B．5. 设表示直线,表示不同的平面，则下列命题中正确的是A．若且,则 B．若且,则C．若且,则 D．若,则参考答案：6. 等比数列{a n}中，a1＋a3＝，a4＋a6＝10，则公比q等于()A． B． C．2 D．8参考答案：C7. 在等差数列{a n}中，若，则的值为（）A. 24B. 36C. 48D. 60参考答案：C【分析】先设等差数列的公差为，根据题中条件求出，进而可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，因为，由等差数列的性质得，所以.故选C【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的通项公式与性质即可，属于基础题型.8. 若函数f(x)＝x3－f′(－1)x2＋x＋5，则f′(1)的值为()A. 2B. －2C. 6D. －6参考答案：C略9. 已知函数的图像上一点（1，2）及邻近一点，则等于A . B. C. D. 2参考答案：B略10. 若实数x，y满足，则目标函数的最大值为A．18 B．17 C．16 D．15参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 现有A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为1∶2∶3，用分层抽样方法抽出一个容量为12的样本，则B种型号的产品应抽出件．参考答案：412. 设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_____．参考答案：－113. 人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s，黄灯时间为3 s，绿灯时间为60 s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为▲．参考答案：根据题意，这个路口的指示灯的总时间为秒，其中有秒是绿灯时间，则到达路口时，遇到绿灯的概率为，故答案为. 14. 已知点，是抛物线上两个不同的动点，且直线的斜率互为相反数，则直线的斜率为．参考答案：－２略15. 已知中，，则．参考答案：1或216. 已知实数x，y满足x2+y2≤1，则（1）（x+2）2+（y﹣2）2的最小值是；（2）|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是．参考答案：9﹣4;15.【考点】圆方程的综合应用．【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆．【分析】（1）画出x2+y2≤1表示的平面区域，可得单位圆面，（x+2）2+（y﹣2）2的几何意义为单位圆面内的点与A（﹣2，2）的距离的平方，连接AO，与圆的交点即为所求；（2）由于﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，可去掉绝对值可得10﹣3x﹣4y，设10﹣3x﹣4y=t，当直线3x+4y+t﹣10=0与圆x2+y2=1相切时，t取得最值，计算即可得到所求最大值．【解答】解：（1）画出x2+y2≤1表示的平面区域，可得单位圆面，（x+2）2+（y﹣2）2的几何意义为单位圆面内的点与A（﹣2，2）的距离的平方，连接AO，与圆的交点即为所求，可得最小值为（|AO|﹣1）2=（﹣1）2=9﹣4；（2）由于﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，可得﹣3≤2x+y≤3，﹣4≤x+3y≤4，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=4﹣2x﹣y+6﹣x﹣3y=10﹣3x﹣4y，设10﹣3x﹣4y=t，当直线3x+4y+t﹣10=0与圆x2+y2=1相切时，t取得最值．由相切的条件：d=r，即为=1，解得t=5或15．故最大值为15．故答案为：9﹣4，15．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意运用圆外一点和圆上的点的距离的最大值为d+r，最小值为d﹣r，以及直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．17. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与AB、AD、AA1所成角分别为α、β、，则= 。