上海交通大学2011-2期中高等数学试卷
高等数学II半期考试试卷参考解答
交通大学20 －20 学年第2学期半期测试课程代码 MATH011512 课程名称 高等数学II 考试时间 60 分钟注意：本试卷共9道大题，需要详细解答过程，将答案写在答题纸上，考试结束前拍照上传。
要求独立完成，诚信参考！一（10分） 、判断直线1212:012+--==-x y z L 与222:2+=⎧⎨+-=⎩x y L x y z 的位置关系，并给出理由。
解 法一 化2L 为对称方程12:121-==--x y zL （不唯一） 故12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，（不唯一）分别过点()()122,1,20,2,0=-=、M M计算121201212110212-⎡⎤=--=-⎣⎦-，，s s M M （8分）（不唯一，只要最终表明混合积不为零即可）这表明直线异面（而且12⊥s s 表明其异面垂直）法二 1L 的参数为2122=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩x y t z t ，（不唯一）代入2L 得41221222-++=⎧⎨-++-+=⎩t t t （*），（*）无解，这表明12、L L 无交点，故它们要么平行要么异面，注意到12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，它们不平行，这表明12、L L 异面。
二 （10分）、 设函数()22,=z f xy x y ，其中f 具有二阶连续偏导数，求d z 及22∂∂zx。
解2122∂''=+∂zy f xyf x，2122∂''=+∂z xyf x f y ，故()()221212d =2d 2d ''''+++z y f xyf x xyf x f y()221222∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭z z y f xyf x x x x ()()2122∂∂''=+∂∂y f xyf x x()()2221112221222222'''''''''=++++y y f xyf yf xy y f xyf 43222111222=244'''''''+++yf y f xy f x y f 三 （10分）、 设函数(),=z f x y 是由方程(),=-z g y x yz 确定，求,∂∂∂∂z zx y。
西南交通大学2010-2011年第(2)学期期中考试试卷高等数学II解答
西南交通大学2010－2011学年第(2)学期期中考试试卷解答2011．4一、选择题（每小题3分，共计 15 分）1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f 在(0, 0)点 B . (A) 连续，偏导函数都存在； (B) 不连续，偏导函数都存在； (C) 不连续，偏导函数都不存在； (D) 连续，偏导函数都不存在。
2、二重积分Dxydxdy ⎰⎰ ()20,01D y x x ≤≤≤≤其中：的值为（ B ）。
（A ）16 （B ）112 （C ）12 （D ）143、 设f 为可微函数，)(bz y f az x -=-，则=∂∂+∂∂yzb x z aA 。
(A )．1； (B )．a ； (C )．b ； (D )．b a +。
4、 设D 是以原点为圆心，R 为半径的圆围成的闭区域，则 d Dxy σ=⎰⎰C 。
(A )．44R ； (B )．34R ； (C )．24R ； (D )．4R 。
5、设),(y x f 在10 10≤≤-≤≤x x y D ,:上连续，则二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(表示成极坐标系下的二次积分的形式为 D 。
(A )．12 0 0d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰； (B )．cos sin 2 0 0d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθθ+⎰⎰； (C )．1cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ-⎰⎰；(D )．12cos sin 0d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθθ+⎰⎰。
二、填空题（每小题4分，共计24 分）1、设x yxy z )(=，则=z d dy x xy xy dx x xy y xy xyxy )ln(1)())ln(1()(2++-，在点),(2 1P 处的梯度=P z grad ) ln2)4(1 , )2ln 1(8 (+-。
上海市交大附中高三数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年上海市交大附中高三（上）期中数学试卷一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）1．已知，则cos（π﹣2α）= ．2．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为．3．已知与为两个不共线的单位向量，若向量+与向量k﹣垂直，则实数k= ．4．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4= ．5．设双曲线﹣=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为．6．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．7．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．8．从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n= ．9．设m，n∈Z，已知函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，则m+n= ．10．给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点有且只有1；③的解集为[2，+∞）；④“x＜1”是“x＜2”的充分非必要条件；其中真命题的序号是．11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．12．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．13．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．14．若数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n=a n•a n+1•a n+2（n∈N*），{b n}的前n项和用S n表示，若{a n}满足3a5=8a12＞0，则当n等于时，S n取得最大值．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15．集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个16．在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17．若定义域为R的奇函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），那么必在函数y=f﹣1（x+1）图象上的点是（）A．（﹣f（t﹣1），﹣t） B．（﹣f（t+1），﹣t）C．（﹣f（t）﹣1，﹣t） D．（﹣f（t）+1，﹣t）18．“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19．已知：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．（1）若A∪B=B，求a的值；（2）若A∩B=B，求a的值．20．设函数．（1）求f（x）的最小正周期．（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB边（包括端点）上一点F，BC边（包括端点）上一点E满足线段EF分△ABC的面积为相等的两部分；（1）设BF=x，EF=y，将y表示为x的函数；（2）求线段EF长的取值范围．22．已知函数f（x）=2x+a的反函数是y=f﹣1（x），设P（x+a，y1），Q（x，y2），R（2+a，y3）是y=f﹣1（x）图象上不同的三点；（1）求y=f﹣1（x）；（2）如果存在正实数x，使得y1，y2，y3成等差数列，试用x表示实数a；（3）在（2）的条件下，如果实数x是唯一的，试求实数a的取值范围．23．已知数列{a n}中的相邻两项a2k﹣1，a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根，且a2k≤a2k（k=1，2，3，…）﹣1（1）求a1，a3，a5，a7；（2）求数列{a n}的前2n项和S2n；（3）记，，求T n的最值．2015-2016学年上海市交大附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）1．已知，则cos（π﹣2α）= 0 ．【考点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．【专题】计算题．【分析】把所求式子先利用诱导公式cos（π﹣α）=﹣cosα化简，然后再利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinα的式子，把sinα的值代入即可求出值．【解答】解：∵，∴cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=﹣[1﹣2×]=0．故答案为：0【点评】此题考查了诱导公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．2．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞} ．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；压轴题．【分析】由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0⇔不等式|2x+1|＞2|x﹣1|⇔（2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案．【解答】解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，∴x＞．∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．故答案为：{x|x＞}．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，将不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0转化为（2x+1）2＞4（x﹣1）2是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．3．已知与为两个不共线的单位向量，若向量+与向量k﹣垂直，则实数k= 1 ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】根据数量积的定义，垂直的两个向量数量为0，因此列式：（ +）（k﹣）=0，结合与为两个单位向量，整理得（k﹣1）（1﹣•）=0，再根据单位向量与不共线，得到1﹣•≠0，从而得到k=1．【解答】解：∵向量+与向量k﹣垂直，∴它们的数量积为零，即：（ +）（k﹣）=0∴k2+（k﹣1）•﹣2=0…（*）∵与为两个单位向量，∴2=2=1所以（*）式化为：k+（k﹣1）•﹣1=0即：（k﹣1）（1﹣•）=0∵单位向量与不共线，∴•＜1⇒1﹣•≠0因此：k=1故答案为：1【点评】本题给出两个特殊的向量，在已知它们垂直的基础之上，求参数k的值，着重考查了单位向量、共线向量和向量的数量积等概念，属于基础题．4．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4= ．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据：{a n}是等比数列把a n+2+a n+1=6a n整成理q2+q﹣6=0求得q，进而根据a2求得a1，最后跟等比数列前n项的和求得S4．【解答】解：∵{a n}是等比数列，∴a n+2+a n+1=6a n可化为a1q n+1+a1q n=6a1q n﹣1，∴q2+q﹣6=0．∵q＞0，∴q=2．a2=a1q=1，∴a1=．∴S4===．故答案为【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式和等比数列的通项公式．考查了学生对等比数列基础知识点的掌握．5．设双曲线﹣=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为．【考点】双曲线的应用．【专题】计算题．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=（x﹣5），代入双曲线方程解得B的坐标，计算可得答案．【解答】解：a2=9，b2=16，故c=5，∴A（3，0），F（5，0），不妨设BF的方程为y=（x﹣5），代入双曲线方程解得：B（，﹣）．∴S△AFB=|AF|•|y B|=•2•=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程的运用，注意关键在与求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．6．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】立体几何．【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===．故答案为：．【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．7．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78 ．【考点】众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数．【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且=40%．所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78．故答案为：78．【点评】本题主要考查了平均数．解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题．8．从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n= 8 ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】列出从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为列式计算n的值．【解答】解：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：（1，4），（2，3）共2种情况；从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为，由古典概型概率计算公式得：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为p=．所以，即，解得n=8．故答案为8．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合数公式，解答此题时既可以按有序取，也可以按无序取，问题的实质是一样的．此题是基础题．9．设m，n∈Z，已知函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，则m+n= 1 ．【考点】根的存在性及根的个数判断；对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】由关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，我们易得m的值，然后根据函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，结合函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的性质，可求出n的值，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=log2（﹣|x|+4）的值域是[0，2]，∴（﹣|x|+4）∈[1，4]∴﹣|x|∈[﹣3，0]∴|x|∈[0，3]…①若若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解则m=﹣2又由函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，结合①可得n=3即：m+n=1故答案：1【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断，对数函数的定义域及对数函数的值域，其中利用关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，变形得到关于x的方程2|1﹣x|+1=﹣m有唯一的实数解，即﹣m为函数y=2|1﹣x|+1的最值，是解答本题的关键．10．给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点有且只有1；③的解集为[2，+∞）；④“x＜1”是“x＜2”的充分非必要条件；其中真命题的序号是④．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】运动思想；综合法；简易逻辑．【分析】①根据幂函数的定义知，y=1是常数函数，不是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点个数即为函数y=2x与y=log2x的图象的交点个数，在同一坐标系中画出它们的图象即可；③解不等式即可求得结论；④易知“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件．【解答】解；①y=1是常数函数，不是幂函数．故错；②根据指数函数和对数函数的图象和性质得：函数f（x）=2x﹣log2x没有零点，故错；③（x﹣2）≥0⇔，或x=0，解得x≥2或x=1，故（x﹣2）≥0的解集为[2，+∞）∪{0}，错；④“x＜1”⇒“x＜2”，但是“x＜2”推不出“x＜1”，因此“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件，正确；故答案为④．【点评】此题是个基础题．考查利用导数求函数图象在某点的切线方程，不等式的解法，函数零点问题等基础知识，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再由余弦定理可得A=，利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．【解答】解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc，∴cosA===，∴A=．再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．12．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立，求出函数函数的最小值即可求出m的取值．【解答】解：依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立．令g（x）=，g′（x）=，∵，∴g′（x）＞0∴当时，函数取得最小值，所以，即（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，解得或，故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题是较为典型的恒成立问题，难度较大，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．13．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是 6 ．【考点】集合的相等．【专题】计算题；集合．【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．14．若数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n=a n•a n+1•a n+2（n∈N*），{b n}的前n项和用S n表示，若{a n}满足3a5=8a12＞0，则当n等于16 时，S n取得最大值．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由3a5=8a12＞0，知3a5=8（a5+7d），a5=﹣＞0，所以d＜0．由a16=a5+11d=﹣d5＞0，a17=a5+12d=＜0，知a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，由此能够推导出S n中S16最大．【解答】解：∵3a5=8a12＞0，∴3a5=8（a5+7d），即a5=﹣＞0，∴d＜0，又a16=a5+11d=﹣＞0，a17=a5+12d=＜0，∴a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，∵b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0，∴a15=a5+10d=﹣＞0，a18=a5+13d=＜0，∴a15＜﹣a18，∴b15＞﹣b16，b15+b16＞0，∴S16＞S14，则n=16时，S n取得最大值为S16．故答案为：16【点评】本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，注意数列综合知识的合理运用，恰当地进行等价转化．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15．集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【考点】子集与真子集．【分析】根据题意，列举出A的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．【解答】解：根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，﹣1}、{﹣1，0，1}，四个；故选B．【点评】元素数目较少时，宜用列举法，当元素数目较多时，可以使用并集的思想．16．在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，∴复数z所对应的点为（﹣2，1），故选B【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．17．若定义域为R的奇函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），那么必在函数y=f﹣1（x+1）图象上的点是（）A．（﹣f（t﹣1），﹣t） B．（﹣f（t+1），﹣t）C．（﹣f（t）﹣1，﹣t） D．（﹣f（t）+1，﹣t）【考点】反函数．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（﹣t）=﹣f（t）得f﹣1（﹣f（t））=﹣t，再由函数图象的平移规律得出答案．【解答】解；∵f（x）定义在R上的奇函数，∴f（﹣t）=﹣f（t），∴f﹣1（﹣f（t））=﹣t，即（﹣f（t），﹣t）在y=f﹣1（x）的图象上，∵y=f﹣1（x+1）图象是由y=f﹣1（x）的图象向左平移1个单位得到的，∴（﹣f（t）﹣1，﹣t）在y=f﹣1（x+1）图象上．故选：C．【点评】本题考查了奇函数、反函数的性质及函数图象变换，利用互为反函数的函数图象关系是关键．18．“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】简易逻辑．【分析】利用二倍角公式化简不等式，利用三角函数线判断充要条件即可．【解答】解：对任意x，ksinxcosx＜x，即对任意x，ksin2x＜2x，当k＜1时，ksin2x＜2x恒成立，但是对任意x，ksinxcosx＜x”，可得k=1也成立，所以“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，三角函数线的应用，考查逻辑推理能力．三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19．已知：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．（1）若A∪B=B，求a的值；（2）若A∩B=B，求a的值．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）先化简集合A，再由A∪B=B知A是B的子集，由此求得a的值．（2）由A∩B=B，知B是A的子集，对集合B进行分类讨论：①若B为空集，②若B为单元集，③若B=A={﹣4，0}，由此求得a的值即可．【解答】解：（1）A={﹣4，0}若A∪B=B，则B⊇A={﹣4，0}，解得：a=1（2）若A∩B=B，则①若B为空集，则△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0则a＜﹣1；②若B为单元集，则△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）=8a+8=0解得：a=﹣1，将a=﹣1代入方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0得：x2=0得：x=0即B=0符合要求；③若B=A={﹣4，0}，则a=1综上所述，a≤﹣1或a=1．【点评】本小题主要考查子集与交集、并集运算的转换、一元二次方程的解等基础知识，考查分类讨论思想、方程思想．属于基础题．20．设函数．（1）求f（x）的最小正周期．（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），根据f（x）与g（x）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f（x）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g（x）的最大值．【解答】解：（1）f（x）=sin xcos﹣cos xsin﹣cos x=sin x﹣cos x=（sinx﹣cos x）=sin（x﹣），∵ω=，∴f（x）的最小正周期为T==8；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x）），由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而g（x）=f（2﹣x）=sin[（2﹣x）﹣]=sin[﹣x﹣]=cos（x+），当0≤x≤时，≤x+≤，则y=g（x）在区间[0，]上的最大值为g max=cos=．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB边（包括端点）上一点F，BC边（包括端点）上一点E满足线段EF分△ABC的面积为相等的两部分；（1）设BF=x，EF=y，将y表示为x的函数；（2）求线段EF长的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）过F作FG⊥BE于G，把sinB用含有x的代数式表示，得到FG=，进一步得到EG，然后利用等积法列式可得（x≤5）；（2）利用函数的单调性求得线段EF长的取值范围．【解答】解：（1）设BF=x，EF=y，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，过F作FG⊥BE于G，则=，∴FG=，BG=，则EG=，故有．化简，得：（≤x≤5）．∴（x≤5）；（2）设f（x）=（≤x≤5）．∵f（x）在[]上为减函数，在（]上为增函数，且f（）=，f（5）=13，f（）=4，∴线段WF长的取值范围为．【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．22．已知函数f（x）=2x+a的反函数是y=f﹣1（x），设P（x+a，y1），Q（x，y2），R（2+a，y3）是y=f﹣1（x）图象上不同的三点；（1）求y=f﹣1（x）；（2）如果存在正实数x，使得y1，y2，y3成等差数列，试用x表示实数a；（3）在（2）的条件下，如果实数x是唯一的，试求实数a的取值范围．【考点】反函数．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）由y=2x+a，解得x=log2（y﹣a），把x与y互换可得：f﹣1（x）（x＞a）；（2）y1=log2x，y2=log2（x﹣a），y3=log22=1，根据等差数列的性质可得2log2（x﹣a）=1+log2x，化为（x﹣a）2=2x，即可解出．（3）由（x﹣a）2=2x，化为x2﹣2（a+1）x+a2=0在（a，+∞）上有唯一解．分类讨论：当△=0时，当△＞0时，方程的有关根大于a，另一个根小于a（不可能出现一个跟等于a的情形），记g（x）=x2﹣2（a+1）x+a2，只需g（a）＜0即可，解出即可得出．【解答】解：（1）由y=2x+a，解得x=log2（y﹣a），把x与y互换可得：f﹣1（x）=log2（x﹣a）（x ＞a）；（2）y1=log2x，y2=log2（x﹣a），y3=log22=1，∵y1，y2，y3成等差数列，∴2log2（x﹣a）=1+log2x，化为（x﹣a）2=2x，解得a=x﹣，x∈（0，2）∪（2，+∞）．（3）由（x﹣a）2=2x，化为x2﹣2（a+1）x+a2=0在（a，+∞）上由唯一解．当△=4（a+1）2﹣4a2=0时，解得a=﹣，这时方程有唯一解x=，满足条件．当△＞0时，方程的一个根大于a，另一个根小于a（不可能出现一个跟等于a的情形），记g（x）=x2﹣2（a+1）x+a2，只需g（x）＜0即可，解得a＞0．综上可得：a＞0，或a=﹣．【点评】本题考查了对数函数的单调性、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．23．已知数列{a n}中的相邻两项a2k﹣1，a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根，且a2k≤a2k（k=1，2，3，…）﹣1（1）求a1，a3，a5，a7；（2）求数列{a n}的前2n项和S2n；（3）记，，求T n的最值．【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法．【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根为：x1=3k，x2=2k．根据两项a2k﹣1，a2k是此方程的两个根，且a2k﹣1≤a2k，即可得出．（2）S2n=a1+a2+…+a2n=3×（1+2+…+n）+（2+22+…+2n），分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．（3）由于=（﹣1）f（n+1），可得T n=+﹣+…+，可得T1=，T2=．当n≥3时，利用“放缩法”即可得出．【解答】解：（1）方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根为：x1=3k，x2=2k．∵两项a2k﹣1，a2k是此方程的两个根，且a2k﹣1≤a2k，当k=1时，x1=3，x2=2．∴a1=2；当k=2时，x1=6，x2=4．∴a3=4；当k=3时，x1=9，x2=8．∴a5=8；当k=4时，x1=12，x2=16．∴a7=12．（2）S2n=a1+a2+…+a2n=3×（1+2+…+n）+（2+22+…+2n）=+=+2n+1﹣2．（3）∵=（﹣1）f（n+1），∴=+﹣+…+，∴T1==，T2=+=．当n≥3时，T n≥+﹣+﹣=+，同理可得：T n=﹣﹣+…+≤﹣+≤﹣+=＜．综上可得：≤T n≤．∴T n的最小值与最大值分别为：；．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、“放缩法”、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．21。
2011级高数II期中考试试卷及答案
B．
∫ dy ∫
1
2
4
y
y2
f ( x, y )dx
C．∫1 dy ∫y f ( x, y)dx
y2
D． ∫1
dy ∫ 2 f ( x, y )dx
y
y
2 2 5．设L为 x=y2从y = -1到y = 1的一段弧，则 ∫L y dx − x dy =
(
A
)
2 − A． 5
1 B．− 5
1 C． 5
∫∫ xydσ = ∫ dy∫ 2 xydx
D −1 y
2
y+ 2
x2 = ∫ y dy −1 2 y2
2
Y+2
y=x-2
=
∫ [y( y + 2)
2 −1
2
− y 5 dy
]
=
45 8
2 2 4. 计算三重积分 ∫∫∫zdxdydz ，其中 Ω 是由曲面 z = x + y 与平面
∂u y = ∂y ( x + y) 2
∂ 2 u a ( x + y) 2 − 2( x + ay）x + y） ( = ∂x∂y ( x + y) 4
∂ 2 u − 2 y( x + y) = ∂y∂x ( x + y) 4
∂2u ∂2u = ∂x∂y ∂y∂x
a ( x + y) 2 − 2( x + ay）x + y） −2 y( x + y) ( =
4．若L是椭圆
x = a cos θ ，取逆时针方向，则 y = b sin θ
∫
L
y d x − x d y = − 2πab
上海交通大学附属中学2010-2011学年度第二学期高二数学期中试卷
上海交通大学附属中学2010-2011学年度第二学期高二数学期中试卷本试卷共有22道试题，满分100分，考试时间90分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上一、填空题（本大题满分42分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。
1. 1001001i i += .2. 抛物线280y x +=的焦点坐标为 .3. 双曲线2238x y -=的两条渐近线的夹角为 .4. 从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外活动小组的活动，有 种不同的安排方案。
5. 若复数214tz t i+=-+在复平面上对应的点在第四象限，则实数t 的取值范围是 6. 6名学生排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，则共有 种排法。
7. 已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直，则实数a = .8. 在抛物线220y x =上有一点P ，且P 与焦点的距离等于15，,则P 点坐标为 . 9. 复数2)2321(i z -=是实系数方程012=++bx ax 的根，则=⨯b a . 10. 某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根支柱支撑，其中最高支柱的高度是 米．（答案保留两位小数．．．．．．．．） 11. 已知焦点为(0,3)的双曲线方程是2288kx ky -=，则k = .12. 某高校食堂供应午饭，每位学生可以在食堂提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种。
现在食堂准备了5种不同的荤菜，若要保证每位学生有200种以上不同的选择，则食堂至少还需要准备不同的素菜品种 种.（结果用数值表示）13. 从抛物线24y x =上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且||5PF =，则MPF ∆的面积为 .14. 已知双曲线2222:1x y C a b-=，1F 、2F 分别为左右焦点，P 为C 上的任意一点，若122F PF π∠=，且124F PF S ∆=，则双曲线的虚轴长为 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在对应的空格内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），一律得零分。
上海交通学期中考试试卷(A卷)-MaJia-Jun
果 φA,α ̸= φA, 令 M 为 φA,α(A) 的化零子空间. 取一个不在 M 中的向量 β. 考虑 φA,α+cβ 让 c
在 C 中变动. { φA,α+cβ | c ∈ C } 是整除 φA 的无穷多个首项系数为 1 的多项式, 所以必有
c1
̸=
c2
使得
φA,α+c1β
=
φA,α+c2β
上 海 交 通 大 学 期 中 考 试 试 卷 (A 卷)
( 2016 至 2017 学年 第 2 学期)
班级号 课程名称
学号 高等代数与解析几何 (二)
姓名 成绩
我承诺，我将 严格遵守考试纪律。
题号
得分
批阅人 (流水阅)
一二三四五六
记号
• 矩阵用大写字母记, 对应小写字母代表矩阵中的元素. 例如矩阵 A 中的第 (i, j) 个元素为 aij. AT 和 A∗ 分别代表矩阵 A 的转置和共轭转置.
构造出向量 α, 使得 φA,ξ(A) = 0. 由 (a) 和 (b), 我们得 φA 整除 φA,ξ 且 φA,ξ 整除 φA. 所以
φA,ξ = φA.
五、 [共 15 分] 假设 V 是 C 上的一个有限维的线性空间, { Aj ∈ End(V) | j ∈ J } 是 V 上 的一族可交换的线性变换. 证明: (可假设 { Aj } 是有限集)
(b) 我们就 dim V 作归纳法.
如果 dim V = 1, 命题显然成立.
现假设命题对维数小于 n 的线性空间都成立.
取 V 中任意一个 { Aj } 的共同特征向量, 记为 ε1. 考虑商空间 Q = V/ Span { ε1 }. 则 Ai 诱
上海交通大学期中考试高数试卷b类
2011级第一学期《高等数学》期中考试试卷 (B 类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 已知数列{}n a 单调，下列结论正确的是 【 】（A ）n a n e ∞→lim 存在； （B ）211lim nn a +→∞存在； （C ）lim tan n n a →∞存在； （D ）211lim nn a -∞→存在。
2. 当+→0x 时，下列无穷小量中，与x 同阶的无穷小是 【 】（A ）11-+x ； （B ）()x x -+1ln ；（C ）()1sin cos -x ； （D ）1-x x 。
3. 设()x xe x f -=，则()()=x f n 【 】 （A ）()()x nxe n -+-11； （B ）()()x n xe n ---11； （C ）()()x n e n x -+-1； （D ）()()x ne n x ---1。
4. 若032<-b a ，则方程023=+++c bx ax x 的实根数为 【 】（A ）3个； （B ）2个； （C ）1个； （D ）0个。
5. 设()x f y =在()δ,0x U 内连续，在()δ,0x U o 内可导，以下是三个断语：（1）若()00≥x f ，则存在01>δ，使得()10,δx U x ∈∀，都有()0≥x f ；（2）若()0'x f 存在，则()x f '在0x x =连续；（3）()x f '在()δ,0x U o 内无第一类间断点。
上述三个断语中，正确的个数是 【 】（A ）0个； （B ）1个； （C ）2个； （D ）3个。
二、填空题（每小题3分，共15分）6. 已知数列{}n a 通项3412++=n n a n ，n S 为{}n a 的前n 项部分和（ ,3,2,1=n ），则∞→nn S lim7. 函数633223-+--+=x x x x x y 8. 已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12x x f y ，()()21arctan 'x x f -=，则==0|x dy ___________。
高等数学考试试卷四套【上海交通大学】
（C） a 9 ， b 12 ；
（D） a 9 ， b 12 。
2. 设 x 0 时， ln cos x axk ，则常数 a 和 k 的值分别为
（）
（A） a 1 ， k 2 ； 2
（B） a 1 ， k 2； 2
（C） a 1 ， k 1； 2
（D） a 1 ， k 1。 2
11.
用极限定义证明：
lim
x1
2
arctan 1 x2
x
。
12.
求
lim
xln
ln ln
x1 x1
。
x0
13. 求 lim x0
1 x2 sin2 x tan2 x 。
x2 ln2 1 x
四、（每小题 8 分，共 16 分）
14. 已知 f x
e
x
,
1 2
x2
1
，求证：
（1）当 x 1,0 时， ex 1 x2 1 ；
2
（2）若函数 g x 在 R 上可导，且 g x f x ，则 g 0 1。
2
上海交通大学《高等数学》考试试卷 二
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 当 x 0 时，与 x 等价的无穷小量是
[
x ] 是取整函数），
g
x
x, 0,
x 1， x 1
则方程 g( f (x)) 0 的解集为：___________________。
7. lim( 1 1 1 1 )
。
n n2 1 n2 2 n2 3
高数上海交大试卷
《高等数学》第二学期期末考试参考标准一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设xoy 平面上区域(){}22,|1,D x y xy y x =+≤≥，1D 是D 在第一象限的部分，则32(sin sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 （ ）（A ）122sin sin D x ydxdy ⎰⎰； （B ）132D xy dxdy ⎰⎰；（C ）1324(sin sin )D xy x y dxdy +⎰⎰； （D ）0.解 32(sin sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰32sin sin DDxy dxdy x ydxdy =+⎰⎰⎰⎰122sin sin D x ydxdy =⎰⎰答案：A 2. 设(){}222,,|1x y z xy z Ω=++≤，则三重积分xe dv Ω=⎰⎰⎰ （ ）（A ）2π； （B ）π； （C ）32π； （D ）2π. 解1 43xe dv dv πΩΩ>=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，排除答案A 、B ；猜：C 或D||:1 2.718x e →，34/ 1.12523ππ=，42/ 1.53ππ= 答案：D解2 222111x xy z x e dv dxe dydz -Ω+≤-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰121(1)xe x dx π-=-⎰1202(1)x e x dx π=-⎰ 1024x xe dx ππ=-+⎰ 244(1)2e e ππππ=-+--=答案：D解3 xze dv e dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21cos 2000sin d d ed ππρϕθϕρϕρ=⎰⎰⎰1cos 2002sin d ed πρϕπϕρϕρ=⎰⎰1cos 2cos 220022[sin sin ]d e d e d ππρϕρϕππρρϕϕρϕϕ-=+⎰⎰⎰1cos cos 20022[||]d e e πϕρϕρϕϕπϕπϕπρρρ=-====-+⎰104(1)2e d ρπρρπ=-=⎰答案：D3. 设F yi zj xk =++,则 rot F = （ ）（A ）i j k ++； （B ）()i j k -++； （C ）i j k -+； （D ）i j k -+-.解 (1,1,1)ij k rot F x y z yzx∂∂∂==---∂∂∂ 答案：B 4. 幂级数211nn x n ∞=-∑在收敛域[1,1)-上的和函数()s x = （ ）（A ）ln(1)x -； （B ）ln(1)x --； （C ）ln(1)x x--； （D ）ln(1)x x --. 解 12022211()11xn n n n n n x x x x x dx n n ∞∞∞--=====--∑∑∑⎰01()ln(1)1xx dx x x x==---⎰ 答案：D5. 设函数1,02()45,2x f x x x ππππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩展开成正弦级数，其和函数1()sin n n s x b nx ∞==∑，则9()2s π-= （ ） （A ）1-； （B ）2-； （C ）1； （D ）2. 解 913()()()22222s s s πππ+-=-=-=-=- 答案：B二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设uz =+则()div grad u = . 解 ()div grad u div =x yx y=++++22==7. 设()f x 是连续函数，2222222()()x y z t F t f x y z dv ++≤=++⎰⎰⎰，()F t '= .解 220()22()tF t f d πρρρ=⋅⋅⎰，()F t '=()224t f t π8. 设C 为曲线cos ,sin ,t t t x e t y e t z e ===上对应于t 从0变到2的这段弧，则曲线积分2221Cds x y z=++⎰. 解=⎰该积分==⎰)21e --9. 全微分方程(1)()0y x y dx e x dy +-++=的通解为 . 解1 (1)()0y x y dx e x dy +-++=⇒ (1)()0y x dx ydx xdy e dy -+++=⇒ 2(1)()()()02y x d d xy d e -++=⇒ 通解：2(1)2y x xy e C -++=解2 (,)(0,0)(1)()x y y u x y dx e x dy =+-++⎰00(1)()xyy x dx e x dy =-++⎰⎰2(1)12y x xy e -=++-⇒ 通解：2(1)12y x xy e C -++-=10.级数n ∞=∑的敛散性为 .解112n nu u +===，收敛三、计算下列各题（第1小题6分，第2小题8分, 共14分）11. 设z 是方程zx y z e +-=所确定的,x y 的隐函数，求2zx y∂∂∂.解1111z z z x e e ∂=-=∂--+， 1111z z z y e e∂=-=∂--+ 2223(1)1()1(1)(1)(1)z z z y y y z z z z e e z z e x y e e e e '+∂'==-=-=-∂∂++++12. 计算曲面22z y x =-夹在圆柱面221x y +=和229x y +=之间部分的面积.解=I 2219x y ≤+≤=⎰⎰2301d πθ=⎰⎰3232112(14)|12r π=⋅+3322(375)6π=-四、计算下列各题（每小题10分，共30分）13. 计算曲线积分sin 1()()2y Cx e dy y dx +--⎰，其中C 是位于第一象限中的直线1x y +=与位于第二象限中的圆弧221x y +=构成的曲线，方向从A (1,0)经过B (0,1)，再到C (1,0)-.解 L ：0y =，方向从(1,0)-到(1,0)， 并记C L +所围区域为D ，则所求曲线积分 C LLI +=-⎰⎰11122Ddxdy dx -=-⎰⎰⎰1122ππ=+-=14. 试求参数λ，使当曲线C 落在区域(){},|0D x y y =>时，曲线积分222222()()Cx x x y dx x y dy y y λλ+-+⎰ 与路径无关，并求2(,)22222(0,1)(,)()().x y x x u x y x y dx x y dy y yλλ=+-+⎰解 记()22x P x y yλ=+，()2222x Q x y yλ=-+，则()()12222222xy x y x x y P yyλλλ-+-+∂=∂()()122322222x x y x xyQxyλλλ-+++∂=-∂P Qy x∂∂=⇒∂∂ 22232()20xy x x y x λλ+++=12λ⇒=-解1 ()u u y x ϕ∂=⇒=+∂2u y ∂=∂ 及 ()0,101u u =⇒=- 解2 2(,)(0,1)(,)x y u x y =-⎰100yxdy =+⎰⎰1=15. 求22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑为z =与z =所围立体表面的外侧.解 记∑所围立体为Ω，则22xzdydz yzdzdx z dxdy zdxdydz ∑Ω+-=⎰⎰⎰⎰⎰222222228x y z x y z zdzdxdy dxdy +≤+≤-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰22202(8)8z z dz z dz πππ=⋅+⋅-=⎰⎰五、（本题10分） 16. 将函数243()232x f x x x -=--展开为1x -的幂级数. 解 4321()(21)(2)212x f x x x x x -==++-+- 212(1)3(1)1x x =+-+-- 2112(1)31(1)13x x =⋅----+ 0022(1)(1)33nnn n n x x ∞∞==⎛⎫=---- ⎪⎝⎭∑∑ ()()1021113n n nn x +∞=⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，02x <<六、（本题8分）17. 设()2(1)()(1)!nnn f x x n ∞=-=-∑，求()0(1)n n f ∞=∑.解 ()()()()011!nn n f f x x n ∞==-∑()()()11!kk fk -=，()0,1,2,k =()()101(1)!kn n k f e k ∞∞-==-==∑∑七、（本题8分）18. 设()f x 在(1,1)-内具有三阶连续导数，且(0)0f '''≠，证明：级数111{[()()]2(0)}n n f f f n n∞='---∑绝对收敛.证明 ()()()202'0lim x f x f x f x x→---()()()32'0limx f x f x xf x →---=()()()22'0lim3x f x f x f x →''+--=()()lim6x f x f x x →''''--=()()()0'''0lim063x f x f x f →''''''+-==>()()112'0'''0lim 03n n f f f f n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦→=>故由级数201k n∞=∑收敛，可知级数111{[()()]2(0)}n n f f f n n ∞='---∑绝对收敛.。
上海交大附中高一第二学期数学期中考试试卷及答案(20200621013919)
1 若
tan A =4+
5 ，则 cot （ π+A）=__________.
1 tan A
4
分析 : 本题可由条件式求出 tan A，然后代入所求式即可求值
的结构特点，则问题很容易解决 .
. 但若注意到条件式的左边
解析 : ∵ 1 1
π
tan A =
tan 4
tan A =tan （ π－ A），
20. (本题满分 12 分）
已知 y 4a cos2 x 2 3asin 2x 2 a，
（ 1）求 y 最小正周期 (a 0时) ；
（ 2）当 x [ 0, ] 时 , f (x) 的最大值为 5.求 a 的值及函数 y f ( x)( x R) 的单调递增区间 .
2
（ 1） y 4a cos2 x 2 3a sin 2x 2 a
4 ， cos(
5
5
)
，求 sin 的值
13
解： 0
,0
， sin
4 ,cos(
5 )
2
2
5
13
∴0
cos
1 sin 2
1 16 3 25 5
sin(
) 1 cos2(
25 12 )1
169 13
∴ sin sin[(
) ] sin(
)cos cos(
)sin
12 3 5 4 16 13 5 13 5 65
5 ，则 cot （ π+A）=__________.
1 tan A
4
7. 若函数 y cos x
(其中
6
0 )的最小正周期是 ，则 =________。 5
8. 已知 ABC 内角 A, B, C 的对边分别是 a,b, c ，若 c 2 3b ，
上海市交大附中高三数学上学期期中试卷(含解析)
上海交大附中2015届高三上学期期中数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）等比数列{a n}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=．2．（4分）不等式≤1的解集是．3．（4分）设集合A={5，log2（a+3）}，集合B={a，b}．若A∩B={2}，则A∪B=．4．（4分）已知函数，则方程f﹣1（x）=4的解x=．5．（4分）方程sin2x=sin3x的解集是．6．（4分）函数y=log2（﹣x2+2x+3）的单调递减区间为．7．（4分）若函数y=f（x）的图象与y=x+的图象关于x=1轴对称，则f（x）=．8．（4分）已知等差数列{a n}中，a1=10，当且仅当n=5时，前n项和S n取得最大值，则公差d 的取值范围是．9．（4分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（x∈[a2﹣2，a]）是奇函数，则a+b=．10．（4分）不等式x2﹣3＞ax﹣a对一切3≤x≤4恒成立，则实数a的取值范围是．11．（4分）在△ABC中，锐角∠B所对的边b=10．△ABC的面积S△ABC=10，外接圆半径R=13，则△ABC的周长C△ABC=．12．（4分）若函数f（x）=|x﹣3|﹣log a x+1无零点，则a的取值范围为．13．（4分）设log a x=log b y=﹣2，a+b=2，则x+y的取值范围为．14．（4分）已知函数f（x）满足：①对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．若f（a）=f，则满足条件的最小的正实数a是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号的空格内直接写结果，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）“函数f（x）在[a，b]上为单调函数”是“函数f（x）在[a，b]上有最大值和最小值”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件16．（5分）若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．317．（5分）已知：数列{a n}满足a1=16，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为（）A．8 B．7 C．6 D．518．（5分）设函数、的零点分别为x1、x2，则（）A．0＜x1x2＜1 B．x1x2=1 C．1＜x1x2＜2 D．x1x2≥2三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）关于x的不等式的解集为P，不等式的解集为Q，若Q⊆P，求正数a的取值范围．20．（14分）已知：函数f（x）=psinωx•cosωx﹣cos2ωx（p＞0，ω＞0）的最大值为，最小正周期为．（Ⅰ）求：f（x）的解析式；（Ⅱ）若△ABC的三条边为a，b，c，满足a2=bc，a边所对的角为A．求：角A的取值范围及函数f（A）的值域．21．（14分）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放a个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求a的最小值（按四舍五入精确到0.1）．22．（16分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=4，S5=30．（Ⅰ）求a n的表达式；（Ⅱ）设A n为数列{}的前n项积，是否存在实数a，使得不等式＜a对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）将数列{a n}依次按1项，2项，3项，1项，2项，3项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7），（a8，a9），（a10，a11，a12），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b2015的值．23．（18分）已知函数f1（x）=e|x﹣2a+1|，f2（x）=e|x﹣a|+1，x∈R．（1）若a=2，求f（x）=f1（x）+f2（x）在x∈[2，3]上的最小值；（2）若|f1（x）﹣f2（x）|=f2（x）﹣f1（x）对于任意的实数x∈R恒成立，求a的取值范围；（3）当4≤a≤6时，求函数g（x）=在x∈[1，6]上的最小值．上海交大附中2015届高三上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）等比数列{a n}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=64．考点：等比数列的通项公式．专题：综合题．分析：根据等比数列的通项公式分别化简a1+a2=3，a2+a3=6后得到首项和公比的两个关系式，分别记作①和②，然后②÷①即可求出公比，把公比代入①即可求出首项，根据求出的首项和公比，利用等比数列的通项公式求出a7的值即可．解答：解：由a1+a2=a1（1+q）=3①，a2+a3=a1q（1+q）=6②，②÷①得：q=2，把q=2代入①得到a1=1，则a7=26=64．故答案为：64点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．2．（4分）不等式≤1的解集是{x|x≥2或x＜0}．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据分式不等式的解法即可得到结论．解答：解：不等式等价为或，即x≥2，或x＜0，故不等式的解集为{x|x≥2或x＜0}，故答案为：{x|x≥2或x＜0}．点评：本题主要考查分式不等式的求解，比较基础．3．（4分）设集合A={5，log2（a+3）}，集合B={a，b}．若A∩B={2}，则A∪B={1，2，5}．考点：并集及其运算；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由A∩B={2}可知2∈A，2∈B，建立关系可求得a、b的值，再利用并集的定义求解即可．解答：解：∵A∩B={2}，∴log2（a+3）=2．∴a=1．∴b=2．∴A={5，2}，B={1，2}．∴A∪B={1，2，5}，故答案为{1，2，5}．点评：本题考查了并集的运算，对数的运算性质，属于容易题．4．（4分）已知函数，则方程f﹣1（x）=4的解x=1．考点：反函数；对数的运算性质．专题：计算题．分析：根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足f﹣1（x）=4的x值，即求f（4）的值．解答：解：由题意得，即求f（4）的值∵，，∴f（4）=log3（1+2）=1，∴f（4）=1．即所求的解x=1．故答案为1．点评：本题主要考查了反函数的概念，互为反函数的两个函数的函数值和关系，属于基础题．5．（4分）方程sin2x=sin3x的解集是{x|x=2kπ或x=}（k∈Z）．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：首先对三角函数的方程进行恒等变换，进一步解出方程的解．解答：解：方程sin2x=sin3x则：sin（2x+2kπ）=sin3x或sin3x=sin（2kπ+π﹣2x）解得：x=2kπ或x=（k∈Z）故：本题的解集为：{x|x=2kπ或x=}（k∈Z）故答案为：：{x|x=2kπ或x=}（k∈Z）点评：本题考查的知识要点：三角函数方程问题．属于基础题型．6．（4分）函数y=log2（﹣x2+2x+3）的单调递减区间为（1，3）．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令t=﹣x2+2x+3＞0，求得函数的定义域为（﹣1，3），且y=log2t，本题即求t在（﹣1，3）上的减区间．再利用二次函数的性质求得t=﹣（x﹣1）2+4在（﹣1，3）上的减区间．解答：解：令t=﹣x2+2x+3＞0，求得﹣1＜x＜3，故函数的定义域为（﹣1，3），且y=log2t，故本题即求t在（﹣1，3）上的减区间．再利用二次函数的性质求得t=﹣（x﹣1）2+4的减区间为（1，3），故答案为：（1，3）．点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．7．（4分）若函数y=f（x）的图象与y=x+的图象关于x=1轴对称，则f（x）=．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）的图象与函数y=x+的图象关于x=1对称，故在函数y=f（x）的图象上任取（x，y），则点（x，y）关于x=1对称的点为（2﹣x，y）在的图象上，代入即可得到答案．解答：解：在函数y=f（x）的图象上任取（x，y），∵点（x，y）关于x=1对称的点为（2﹣x，y），∴（2﹣x，y）在的图象上，所以．∴f（x）=，故答案为：．点评：本题考查了函数图象的对称性与函数解析式的求法，属于基础题．8．（4分）已知等差数列{a n}中，a1=10，当且仅当n=5时，前n项和S n取得最大值，则公差d 的取值范围是（﹣2.5，﹣2）．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意，等价于a5＞0＞a6，即10+4d＞0＞10+5d，从而可得公差d的取值范围．解答：解：由题意，等价于a5＞0＞a6，所以10+4d＞0＞10+5d，所以d∈（﹣2.5，﹣2）．故答案为：（﹣2.5，﹣2）．点评：本题考查公差d的取值范围，考查等差数列的性质，比较基础．9．（4分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（x∈[a2﹣2，a]）是奇函数，则a+b=1．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=asinx+bcosx（x∈[a2﹣2，a]）是奇函数，可得a2﹣2+a=0，a≥a2﹣2，解得a，又f（0）=b=0，即可得出．解答：解：∵函数f（x）=asinx+bcosx（x∈[a2﹣2，a]）是奇函数，∴a2﹣2+a=0，a≥a2﹣2，解得a=1，又f（0）=b=0，∴a+b=1．故答案为：1．点评：本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．10．（4分）不等式x2﹣3＞ax﹣a对一切3≤x≤4恒成立，则实数a的取值范围是a＜3．考点：一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．专题：计算题；压轴题．分析：由x2﹣3＞ax﹣a对一切3≤x≤4恒成立可得，在x∈[3，4]恒成立构造函数，x∈[3，4]从而转化为a＜g（x）min结合函数==在x∈[3，4]单调性可求解答：解：∵x2﹣3＞ax﹣a对一切3≤x≤4恒成立∴在x∈[3，4]恒成立令，x∈[3，4]即a＜g（x）min而==在x∈[3，4]单调递增故g（x）在x=3时取得最小值3故答案为：a＜3点评：本题主要考查了函数恒成立问题，此类问题常构造函数，转化为求解函数的最值问题：a＞f（x）（或a＜f（x））恒成立⇔a＞f（x）max（或a＜f（x）min），体现了转化思想在解题中的应用．11．（4分）在△ABC中，锐角∠B所对的边b=10．△ABC的面积S△ABC=10，外接圆半径R=13，则△ABC的周长C△ABC=10+10．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理列出关系式，把b，R代入求出sinB的值，根据B为锐角求出cosB的值，利用三角形面积公式求出ac的值，再利用余弦定理列出关系式，求出a2+c2的值，根据完全平方公式求出a+c的值，即可确定出三角形周长．解答：解：由正弦定理=2R，得sinB==，∵B为锐角，∴cosB=，∵S△ABC=acsinB=10，∴ac=52，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即100=a2+c2﹣96，整理得：a2+c2=196，∴（a+c）2=a2+c2+2ac=196+104=300，即a+c=10，则△ABC的周长C△ABC=a+c+b=10+10．故答案为：10+10点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．12．（4分）若函数f（x）=|x﹣3|﹣log a x+1无零点，则a的取值范围为（3，+∞）．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：f（x）=|x﹣3|﹣log a x+1无零点可化为|x﹣3|+1=log a x无解．即函数y=|x﹣3|+1与y=log a x没有公共点．作图求解．解答：解：假若f（x）=|x﹣3|﹣log a x+1无零点，即|x﹣3|+1=log a x无解．即函数y=|x﹣3|+1与y=log a x没有公共点．在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可知只需0＜log a 3＜1．所以，a 的取值范围为（3，+∞）．点评： 本题考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础题． 13．（4分）设log a x=log b y=﹣2，a+b=2，则x+y 的取值范围为（2，+∞）．考点： 对数的运算性质． 专题： 计算题．分析： 首先利用对数的运算性质求出x ，y ，进而求得x+y 与ab 关系，然后利用a+b=2≥2，求得ab 范围，代入x+y 即可求出结果． 解答： 解：∵log a x=log b y=﹣2∴x=a ﹣2，y=b ﹣2，又∵a+b=2，且a 、b 均不能为1，ab≤=，∴x+y=a ﹣2+b ﹣2=+==﹣，∴x+y＞2 故答案为：（2，+∞）点评： 本题主要考查对数的运算性质，关键是利用a+b=2≥2，求得ab 范围；本题应注意a ，b 是对数的底数不等于1． 14．（4分）已知函数f （x ）满足：①对任意x ∈（0，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立；②当x ∈（1，2]时，f （x ）=2﹣x ．若f （a ）=f ，则满足条件的最小的正实数a 是92．考点： 函数的周期性． 分析： 取x ∈（2m，2m+1），得到∈（1，2]，f （ ）=2﹣，从而f （x ）=2m+1﹣x ，根据f=f （a ）进行化简，能求出满足条件的最小的正实数a 的值．解答： 解：取x ∈（2m，2m+1），则 ∈（1，2]；f （）=2﹣，从而f （x ）=2f （ ）= (2)f （）=2m+1﹣x ，其中，m=0，1，2，…f=210f（）=211﹣2012=2048﹣2012=36=f（a）设a∈（2m，2m+1），则f（a）=2m+1﹣a=36∴a=2m+1﹣36∈（2m，2m+1）即m≥6，即a≥92，∴满足条件的最小的正实数a是92．故答案为：92．点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了计算能力，分析问题解决问题的能力，转化与划归的思想，属于中档题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号的空格内直接写结果，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）“函数f（x）在[a，b]上为单调函数”是“函数f（x）在[a，b]上有最大值和最小值”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：综合题．分析：（1）充分性；利用函数的单调性的定义可直接判断充分性成立；（2）必要性：举反例：二次函数y=x2，在区间[﹣1，2]上有最大值和最小值，但不是单调函数，说明必要性不成立．解答：解：先看充分性：若函数f（x）在[a，b]上为单调增函数，则函数f（x）在[a，b]上有最大值为f（b）和最小值f（a）；若函数f（x）在[a，b]上为单调减函数，则函数f（x）在[a，b]上有最大值为f（a）和最小值f（b），说明充分性成立．再看必要性：给出二次函数y=x2，在区间[﹣1，2]上有最大值f（2）=4，最小值为f（0）=0，但是函数在区间[﹣1，2]上先减后增，不是单调函数，说明必要性不成立．故选A点评：本题以函数为载体，考查了充分必要条件的判断，属于基础题，结合函数的图象来理解函数的单调性与最值，对于本题的解决很有帮助．16．（5分）若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：不等关系与不等式．专题：证明题．分析：由条件可得 0＞a＞b，代入各个选项，检验各个选项是否正确．解答：解：由，可得 0＞a＞b，∴|a|＜|b|，故①②不成立；∴a+b＜0＜ab，a3＞b3都成立，故③④一定正确，故选 C．点评：本题考查不等式的性质的应用，解题的关键是判断出 0＞a＞b．17．（5分）已知：数列{a n}满足a1=16，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为（）A．8 B．7 C．6 D．5考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：a2﹣a1=2，a3﹣a2=4，…，a n+1﹣a n=2n，这n个式子相加，就有a n+1=16+n（n+1），故，由此能求出的最小值．解答：解：a2﹣a1=2，a3﹣a2=4，…a n+1﹣a n=2n，这n个式子相加，就有a n+1=16+n（n+1），即a n=n（n﹣1）+16=n2﹣n+16，∴，用均值不等式，知道它在n=4的时候取最小值7．故选B．点评：本题考查数更列的性质和应用，解题时要注意递推公式的灵活运用．18．（5分）设函数、的零点分别为x1、x2，则（）A．0＜x1x2＜1 B．x1x2=1 C．1＜x1x2＜2 D．x1x2≥2考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；综合题；压轴题；数形结合．分析：根据函数、的零点分别为x1、x2，由图象知0＜x2＜1＜x1，根据对数的运算法则将进行化简可得，根据指数函数的单调性可得，利用对数函数的单调性可求得结果．解答：解：∵函数、的零点分别为x1、x2，∴0＜x2＜1＜x1，∴=0，===0，而，∴，即，∴0＜x1x2＜1，故选A．点评：此题是个难题．综合考查函数图象的交点问题和对数函数的单调性以及指数函数的单调性，体现了数形结合和转化的思想，以及考查学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）关于x的不等式的解集为P，不等式的解集为Q，若Q⊆P，求正数a的取值范围．考点：指、对数不等式的解法；集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：解不等式可得其解集Q，再解分式不等式求出其解集P，再由Q⊆P，求得正数a的取值范围．解答：解：解不等式可得0＜x2﹣1≤2，解得1＜x≤，或﹣≤x＜﹣1．故Q={x|1＜x≤，或﹣≤x＜﹣1}．由a＞0，可得不等式的解集为p={x|x＜﹣1，或 x＞a}，再由Q⊆P可得a≤1．综合可得0＜a≤1，故正数a的取值范围（0，1]．点评：本题主要考查分式不等式的解法，对数不等式的解法，集合关系中参数的取值范围问题，属于中档题．20．（14分）已知：函数f（x）=psinωx•cosωx﹣cos2ωx（p＞0，ω＞0）的最大值为，最小正周期为．（Ⅰ）求：f（x）的解析式；（Ⅱ）若△ABC的三条边为a，b，c，满足a2=bc，a边所对的角为A．求：角A的取值范围及函数f（A）的值域．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据周期公式求出ω的值，由函数的最大值求出p的值，即可确定出解析式；（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，把已知等式代入并利用基本不等式变形求出cosA的范围，确定出A的范围，进而求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（A）的值域．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx﹣=sin（2ωx﹣arctan）﹣，由=，得ω=2，由﹣=及p＞0，得p=，则f（x）=sin（4x﹣）﹣；（Ⅱ）∵△ABC中，a2=bc，∴cosA==≥=，∵A为三角形内角，∴0＜A≤，∴﹣＜4A﹣≤，∴﹣≤sin（4A﹣）≤1，则﹣1≤f（A）≤．故值域是[﹣1，]点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，基本不等式的运用，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．（14分）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放a个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求a的最小值（按四舍五入精确到0.1）．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（I）a=4，所以y=，利用水中洗衣液的浓度不低于4（克/升），利用分段函数的意义分类讨论即可解出；（II）当6≤x≤10时，y=2×（5﹣）+a[]=（14﹣x）+﹣a﹣4﹣a﹣4，利用基本不等式，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）因为a=4，所以y=．（1分）则当0≤x≤4时，由，解得x≥0，所以此时0≤x≤4．（3分）当4＜x≤10时，由20﹣2x≥4，解得x≤8，所以此时4＜x≤8．（5分）综上，得0≤x≤8，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟．（6分）（Ⅱ）当6≤x≤10时，y=2×（5﹣）+a[]=（14﹣x）+﹣a﹣4﹣a﹣4（10分）当且仅当14﹣x=4时等号取到．（因为1≤a≤4，所以x∈[6，10]能取到）所以y有最小值8﹣a﹣4．（12分）令8﹣a﹣4≥4，解得24﹣16≤a≤4，所以a的最小值为24﹣16≈1.4．（14分）点评：本题考查了分段函数的意义及基本不等式的运用、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．22．（16分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=4，S5=30．（Ⅰ）求a n的表达式；（Ⅱ）设A n为数列{}的前n项积，是否存在实数a，使得不等式＜a对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）将数列{a n}依次按1项，2项，3项，1项，2项，3项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7），（a8，a9），（a10，a11，a12），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b2015的值．考点：数列的应用；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）因为数列{a n}是等差数列，从而可求通项公式a n=4+（n﹣2）2=2n（n∈N*）；（Ⅱ）设g（n）==（1﹣）（1﹣）（1﹣），可证g（n）单调递减，从而可得g（n）max=g（1）=．从而化恒成立问题为最值问题；（Ⅲ）数列{a n}依次按1项，2项，3项，1项，2项，3项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12）；（14），（16，18），；…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有3个括号，故b2015是第672组中第2个括号内各数之和．由分组规律知，b2，b5，b8，…，b2015，…组成首项b2=10，公差d=24的等差数列．从而求得．解答：解：（Ⅰ）因为数列{a n}是等差数列，由S5=30，得a3=6，所以公差d=2．所以a n=4+（n﹣2）2=2n（n∈N*）；（Ⅱ）设g（n）==（1﹣）（1﹣）（1﹣），因为=（1﹣）=＜1，并且g（n）＞0，所以g（n）＞g（n+1）．g（n）单调递减，所以g（n）max=g（1）=．因为不等式＜a对一切n∈N*都成立，所以a＞．（Ⅲ）数列{a n}依次按1项，2项，3项，1项，2项，3项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12）；（14），（16，18），；…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有3个括号，故b2015是第672组中第2个括号内各数之和．由分组规律知，b2，b5，b8，…，b2015，…组成首项b2=10，公差d=24的等差数列．其中b2015是这个数列的第672项，所以b2015=10+（672﹣1）×24=16114．点评：本题考查了数列的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．23．（18分）已知函数f1（x）=e|x﹣2a+1|，f2（x）=e|x﹣a|+1，x∈R．（1）若a=2，求f（x）=f1（x）+f2（x）在x∈[2，3]上的最小值；（2）若|f1（x）﹣f2（x）|=f2（x）﹣f1（x）对于任意的实数x∈R恒成立，求a的取值范围；（3）当4≤a≤6时，求函数g（x）=在x∈[1，6]上的最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．专题：计算题；数形结合；分类讨论．分析：（1）对于a=2，x∈[2，3]，去掉绝对值得f（x）=e3﹣x+e x﹣1（3分），利用基本不等式积为定值，和有最小值即可求出函数的最小值，注意等号成立的条件；（2）根据条件可知f1（x）≤f2（x）对于任意的实数x恒成立，转化成|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤1对于任意的实数x恒成立，然后利用绝对值不等式进行求解即可求出参数a的范围；（3）f1（x）与f2（x）的底数都同为e，外函数都单调递增，比较f1（x）与f2（x）的大小关系，只须比较|x﹣2a+1|与|x﹣a|+1的大小关系，则令F1（x）=|x﹣2a+1|，F2（x）=|x﹣a|+1，则G（x）=其中4≤a≤6，x∈[1，6]，结合图形可知当4≤a≤6时G（x）min=F2（a）=1，g（x）min=e1=e．解答：解：（1）对于a=2，x∈[2，3]，f（x）=e|x﹣3|+e|x﹣2|+1=e3﹣x+e x﹣1（3分）≥2=2e，当且仅当e3﹣x=e x﹣1，即x=2时等号成立，∴f（x）min=2e．（6分）（2）|f1（x）﹣f2（x）|=f2（x）﹣f1（x）对于任意的实数x恒成立，即f1（x）≤f2（x）对于任意的实数x恒成立，亦即e|x﹣2a+1|≤e|x﹣a|+1对于任意的实数x恒成立，∴|x﹣2a+1|≤|x﹣a|+1，即|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤1对于任意的实数x恒成立．（9分）又|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤|（x﹣2a+1）﹣（x﹣a）|=|﹣a+1|对于任意的实数x恒成立，故只需|﹣a+1|≤1，解得0≤a≤2，∴a的取值范围为0≤a≤2．（12分）（3）g（x）==（13分）∵f1（x）与f2（x）的底数都同为e，外函数都单调递增∴比较f1（x）与f2（x）的大小关系，只须比较|x﹣2a+1|与|x﹣a|+1的大小关系令F1（x）=|x﹣2a+1|，F2（x）=|x﹣a|+1，G（x）=其中4≤a≤6，x∈[1，6]（14分）∵4≤a≤6∴2a﹣1≥a≥1，令2a﹣1﹣x=1，得x=2a﹣2，由题意可以如下图象：（15分）当4≤a≤6时，a≤6≤2a﹣2，G（x）min=F2（a）=1，g（x）min=e1=e；（18分）点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及函数的最值及其几何意义和恒成立问题等有关知识，解决本题的关键是等价转化，以及数形结合，分类讨论的思想，难点是绝对值如何去．。
上海交大附中09-10学年高二下学期期中考试(数学含答案)
上海交通大学附属中学2009-2010学年度第二学期高二数学期中试卷本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。
1. 在4(1的展开式中，x 的系数为 (用数字作答).2. 直线12:10:20l x my l x y ++=-+=与垂直，则m =____________.3. 已知点A （3,2），B （-2,7），若直线y=kx-3与线段AB 相交，则k 的取值范围为_____________4. 直线经过点A （2，1），B （1，m 2）两点（m ∈R ），那么直线l 的倾斜角取值范围是 . 5. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为(3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．6. 由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则直线1y x =+上的点与切点之间的线段长的最小值为 .7. 已知两圆0822:,024102:222221=-+++=-+-+y x y x C y x y x C ，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 .8. 椭圆(1－m )x 2－my 2=1的长轴长是 .9. 已知三角形ABC 三个顶点为(1,1),(1(13A B C --，则角A 的内角平分线所在的直线方程为 . 10. 曲线()142≤--=x xy 的长度是 .11. 我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍，你可以从给出的简单图形①（甲：大矩形ABCD 、乙：小矩形EFCB ）、②（甲：大直角三角形ABC 乙：小直角三角形DBC ）中体会这个原理，现在图③中的曲线分别是22221(0)x y a b a b+=>>与222x y a +=，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为 ．12. 已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴，若把该长轴2010等分，过每个等分点作AB 的垂线，依次交椭圆的上半部分于点122009P ,P ,P ，设左焦点为1F ，则()111121200911F A F P F P F P F B 2010+++++=二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在对应的空格内，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），一律得零分。
上海市交通大学附属中学高二数学下学期期中试卷 新人教A版
2014-2015学年度 11月月考卷考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.平面α与β外的直线l 满足,l m l n ⊥⊥,则（ ）A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l 【答案】D 【解析】试题分析：若βα//，由⊥m 平面α,⊥n 平面β得n m //，与n m ,为异面直线相矛盾，A 错；若βα⊥,且β⊥l 结合条件则β⊂l 或β//l ，B 错；若α与β相交结合条件可证交线平行于l ，故选D 。
考点：（1）线面平行、面面平行性质及判定定理的应用；（2）面面垂直性质及判定定理的应用。
2．如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 （ ）A ．35003cm πB ．38663cm πC ．313723cm πD ．320483cm π【答案】A 【解析】试题分析：设球的半径为r ，由球的截面性质得2216)2(r r =+-，解得5=r ，故球的体积为ππ35005343=⨯⨯。
考点：（1）球的截面性质；（2）球的体积公式。
3．三个人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2人上了同一车厢的概率为（ ） A ．20029 B ．257 C ．27100D ．187 【答案】B 【解析】试题分析：这是一个古典概型，每个人选车厢有10种情况，则基本事件总数有310101010=⨯⨯种，2人上了同一车厢有270911023=⨯⨯C C ，3人上了同一车厢有10种情况，故至少有2人上了同一车厢的概率为257102803=。
上海交大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
上海交大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、填空题（3分×14=42分）1．（3分）行列式的值是．2．（3分）向量，若⊥，则实数k=．3．（3分）与向量平行的单位向量是．4．（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为﹣10，则k=．5．（3分）不等式＜0的解集为．6．（3分）若关于x，y，z的线性方程组增广矩阵变换为，方程组的解为，则m•n=．7．（3分）设数列{a n}的首项a1=1且前n项和为S n．已知向量，满足，则=．8．（3分）对任意的实数x，y，矩阵运算都成立，则=．9．（3分）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为．10．（3分）设平面向量=（﹣2，1），=（λ，﹣1），若与的夹角是钝角，则λ的范围是．11．（3分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1），则|2﹣|的最大值是．12．（3分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=．13．（3分）已知△ABC的面积为1，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，则四边形BCPQ的面积为．14．（3分）设n阶方阵A n=任取A n中的一个元素，记为x1；划去x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n﹣1阶方阵A n﹣1，任取A n﹣1中的一个元素，记为x2；划去x2所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为x n，记S n=x1+x2+…+x n，则S n=x1+x2+…+x n，则=．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得4分，否则一律得零分.15．（4分）等边△ABC中，向量的夹角为（）A．B．C．D．16．（4分）有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（）A．A C B．B AC C．A BC D．AB﹣AC17．（4分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形18．（4分）记，若a i，j=icosx+jsinx，其中i，j∈{1，2，3}，则f（x）=a13A11+a23A21+a33A31的最小值是（）A．﹣3 B．1C．﹣1 D．0三、解答题（本大题满分42分）本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．（8分）如图所示，，与的夹角为120°，与的夹角为30°，，且．（1）求B点，C点坐标；（2）求实数m、n的值．20．（10分）用行列式解关于x、y的方程组：（a∈R），并对解的情况进行讨论．21．（10分）已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且=﹣2，（1）求向量；（2）若=（1，0）且，=（cosA，2cos），其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求||的取值范围．22．（14分）平面直角坐标系中，O为原点，射线OA与x轴正半轴重合，射线OB是第一象限角平分线．在OA上有点列A1，A2，A3，…，A n，…，在OB上有点列B1，B2，B3，…，B n，…已知，A1（5，0），．（1）求点A2，B1的坐标；（2）求的坐标；（3）求△A n OB n面积的最大值，并说明理由．上海交大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（3分×14=42分）1．（3分）行列式的值是﹣1．考点：二阶矩阵；同角三角函数基本关系的运用．专题：矩阵和变换．分析：本题可以利用二阶行列式的计算公式直接计算，求出行列式的值，得到本题结论．解答：解：∵行列式=ad﹣bc，∴行列式=sinx•（﹣sinx）﹣cosx•cosx=﹣（sin2x+cos2x）=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了二阶行列式的计算，本题难度不大，属于基础题．2．（3分）向量，若⊥，则实数k=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据非零向量垂直的充要条件及向量数量积的坐标运算即可求出k．解答：解：；∴；∴．故答案为：．点评：考查两非零向量垂直的充要条件：=0，以及数量积的坐标运算．3．（3分）与向量平行的单位向量是±（，﹣）．考点：单位向量．专题：计算题．分析：根据题意，设要求的向量为，由向量的共线的性质，可得=λ=（3λ，﹣4λ），又由为单位向量，可得（3λ）2+（﹣4λ）2=1，解可得λ的值，进而将λ的值代入（3λ，﹣4λ）中，即可得答案．解答：解：设要求的向量为，则=λ=（3λ，﹣4λ），又由为单位向量，则（3λ）2+（﹣4λ）2=1，解可得，λ=±，则=±（，﹣），故答案为±（，﹣）．点评：本题考查向量的运算，涉及单位向量的定义与向量平行的性质，注意向量的表示形式．4．（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为﹣10，则k=﹣14．考点：三阶矩阵．专题：计算题．分析：根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．解答：解：由题意得M21=（﹣1）3=2×2+1×k=﹣10解得：k=﹣14．故答案为：﹣14．点评：此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．5．（3分）不等式＜0的解集为（10，100）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：依题意，利用行列式的意义可得lgx（3lgx﹣4）﹣5（lgx﹣）＜0，解此对数不等式即可求得答案．解答：解：∵＜0，∴lgx（3lgx﹣4）﹣5（lgx﹣）=3lg2x﹣9lgx+6＜0，即（lgx﹣1）（lgx﹣2）＜0，整理得：1＜lgx＜2，解得10＜x＜100．故答案为：（10，100）．点评：本题考查行列式的应用，着重考查对数不等式的解法，属于中档题．6．（3分）若关于x，y，z的线性方程组增广矩阵变换为，方程组的解为，则m•n=﹣24．考点：几种特殊的矩阵变换．专题：矩阵和变换．分析：本题利用增广矩阵得到相应的三元一次方程组，通过方程组的解，求出相关参数m、n的值，得到本题结论．解答：解：∵关于x，y，z的线性方程组增广矩阵变换为，∴，∵方程组的解为，∴，∴m•n=﹣24．故答案为﹣24．点评：本题考查的是增广矩阵的应用，要求正确理解增广矩阵的意义，准确进行计算，本题难度不大，属于基础题．7．（3分）设数列{a n}的首项a1=1且前n项和为S n．已知向量，满足，则=．考点：数列的极限；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：利用向量的垂直关系，可知其数量积为0，进而可得出数列{a n}是以首项a1=1，公比为的等比数列，由于公比的绝对值小于1，故易求．解答：解：由题意，∵，∴，∴即数列{a n}是以首项a1=1，公比为的等比数列，∴故答案为点评：本题的考点是数列的极限，主要考查无穷等比数列的求和问题，关键是利用向量的垂直关系得出数列是无穷等比数列，进而再求和．8．（3分）对任意的实数x，y，矩阵运算都成立，则=．考点：矩阵乘法的性质．专题：选作题；矩阵和变换．分析：由题意，恒成立，可得a=d=0，b=c=1，即可得出结论．解答：解：由题意，恒成立，∴a=d=0，b=c=1，∴=．故答案为：．点评：本题考查矩阵乘法的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（3分）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为，运算求得结果．解答：解：∵、为单位向量，且和的夹角θ等于，∴=1×1×cos=．∵=+3，=2，∴=（+3）•（2）=2+6=2+3=5．∴在上的射影为=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于中档题．10．（3分）设平面向量=（﹣2，1），=（λ，﹣1），若与的夹角是钝角，则λ的范围是．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由于与的夹角是钝角，可得=﹣2λ﹣1＜0，且．解出即可．解答：解：∵与的夹角是钝角，∴=﹣2λ﹣1＜0，且．解得，且λ≠2．故答案为：点评：本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．11．（3分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1），则|2﹣|的最大值是4．考点：三角函数的最值；向量的模．专题：计算题．分析：先根据向量的线性运算得到2﹣的表达式，再由向量模的求法表示出|2﹣|，再结合正弦和余弦函数的公式进行化简，最后根据正弦函数的最值可得到答案．解答：解：∵2﹣=（2cosθ﹣，2sinθ+1），∴|2﹣|==≤4．∴|2﹣|的最大值为4．故答案为：4点评：本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及三角函数公式的应用，三角函数与向量的综合题是高考考查的重点，要强化复习．12．（3分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=4．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、、的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣，即可得到的值．解答：解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣因此，==4故答案为：4点评：本题给出向量用向量、线性表示，求系数λ、μ的比值，着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题．13．（3分）已知△ABC的面积为1，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，则四边形BCPQ的面积为．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据题中的向量等式，结合向量的线性运算可得：点P是线段AC的中点且Q是线段AB 的靠近B点的三等分点．由此结合正弦定理的面积公式，算出S△APQ==S△ABC=，即可得到则四边形BCPQ的面积．解答：解：∵点P满足，∴，可得点P是线段AC的中点又∵∴=2可得Q是线段AB的靠近B点的三等分点因此，△APQ的面积为S△APQ=||•||sinA=•||•||=S△ABC∵△ABC的面积为1，∴S△APQ=由此可得四边形BCPQ的面积为S=S△ABC﹣S△APQ=1﹣=故答案为：点评：本题在△ABC中给出两个向量的等式，求四边形BCPQ的面积．着重考查了平面向量的线性运算和运用正弦定理求三角形面积等知识，属于基础题．14．（3分）设n阶方阵A n=任取A n中的一个元素，记为x1；划去x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n﹣1阶方阵A n﹣1，任取A n﹣1中的一个元素，记为x2；划去x2所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为x n，记S n=x1+x2+…+x n，则S n=x1+x2+…+x n，则=1．考点：高阶矩阵；数列的极限．专题：综合题；压轴题．分析：不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，…，x n=2n2﹣1，故S n=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n2﹣1）=n3，故可求．解答：解：不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，…，x n=2n2﹣1，故S n=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n2﹣1）=+=n2+（n﹣1）×n2=n3，故===1，故答案为：1．点评：本题考查高阶矩阵和数列的极限，解题时要认真审题，仔细解答，避免不必要的错误．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得4分，否则一律得零分.15．（4分）等边△ABC中，向量的夹角为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：根据两向量夹角的定义，结合图形，得出结论．解答：解：如图所示，在等边△ABC中，向量的夹角是∠A，∠A=．故选：B．点评：本题考查了平面向量夹角的概念，解题时应熟知两向量夹角的概念是什么，取值范围是什么．16．（4分）有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（）A．A C B．B AC C．A BC D．AB﹣AC考点：矩阵与向量乘法的意义．专题：计算题；矩阵和变换．分析：利用矩阵的乘法，即可得出结论．解答：解：由题意，AB=D3×3，ABC是DC=E3×3，故选：C点评：本题考查矩阵与向量乘法的意义，比较基础．17．（4分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：设BC的中点为D，由条件可得•2=0，故⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线，△ABC是以BC为底边的等腰三角形．解答：解：设BC的中点为D，∵，∴•（2﹣2）=0，∴•2=0，∴⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选B．点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的条件，三角形形状的判定，得到△ABC的BC边上的中线也是高线，是将诶提的关键．18．（4分）记，若a i，j=icosx+jsinx，其中i，j∈{1，2，3}，则f（x）=a13A11+a23A21+a33A31的最小值是（）A．﹣3 B．1C．﹣1 D．0考点：三阶矩阵．专题：矩阵和变换．分析：首先，根据所给信息，得到第一列和第三列相同，以第二列展开容易求解．解答：解：根据题意，得∵a i，j=icosx+jsinx，∴a11=cosx+sinxa21=2cosx+sinxa31=3cosx+sinx，a13=cosx+3sinxa23=2cosx+3sinxa33=3sinx+3cosx第一列和第三列相同，以第二列展开易得：∴a13A11+a23A21+a33A31=0．∴f（x）的最小值是0，故选：D．点评：本题重点考查了行列式的基本计算，属于中档题．三、解答题（本大题满分42分）本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．（8分）如图所示，，与的夹角为120°，与的夹角为30°，，且．（1）求B点，C点坐标；（2）求实数m、n的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）根据已知条件结合图形即可求出A，B，C三点的坐标；（2）求出的坐标，带入，即可得到关于m，n的方程组，解方程组即得m，n的值．解答：解：（1）如图所示，由已知条件得：A（1，0），B（），C；（2）；∴；解得．点评：考查由点的坐标求向量的坐标，向量的坐标运算．20．（10分）用行列式解关于x、y的方程组：（a∈R），并对解的情况进行讨论．考点：二阶矩阵．专题：矩阵和变换．分析：本题先求出相关行列式D、D x、D y的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，得到本题结论．解答：解：∵关于x、y的方程组：（a∈R），∴，，，（1）当a≠±1时，D≠0，方程组有唯一解，，（2）当a=﹣1时，D=0，D x≠0，方程组无解；（3）当a=1时，D=D x=D y=0，方程组有无穷多解，．点评：本题考查了用行列式法求方程组的解，本题难度不大，属于基础题．21．（10分）已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且=﹣2，（1）求向量；（2）若=（1，0）且，=（cosA，2cos），其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求||的取值范围．考点：平面向量数量积的运算；等差数列的通项公式；两角和与差的正弦函数．专题：综合题；平面向量及应用．分析：（1）设出向量=（x，y），由向量与向量的夹角为及=﹣2得到关于x、y的二元方程组，求解后可得向量的坐标；（2）由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列求出角B，再根据确定，运用向量加法的坐标运算求出，代入模的公式后利用同角三角函数的基本关系式化简，最后根据角的范围确定模的范围．解答：解：（1）设=（x，y），则2x+2y=﹣2①又②联立解得，∴；（2）由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，∴，∵，∴．∴，∴=，∵，∴，∴．点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了等差中项概念，解答过程中训练了三角函数的恒等变换，解答此题的关键是注意角的范围，此题是中档题．22．（14分）平面直角坐标系中，O为原点，射线OA与x轴正半轴重合，射线OB是第一象限角平分线．在OA上有点列A1，A2，A3，…，A n，…，在OB上有点列B1，B2，B3，…，B n，…已知，A1（5，0），．（1）求点A2，B1的坐标；（2）求的坐标；（3）求△A n OB n面积的最大值，并说明理由．考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由和A1（5，0）可求A2（4，0），由射线OB是第一象限角平分线和，利用向量模的公式可求B1（1，1）．（2）设，，得⇒{x n}成等比数列，又，得，进而得到；设，得，由，得y n+1=y n+1得{y n}是等差数列，可求得y n=1+（n﹣1）=n，进而求得；（3）由，可得，利用换元法设，当n≥2时，可知1≤n≤4时，{t n}是递增数列，n≥6时，{t n}是递减数列，即t1＜t2＜t3＜t4=t5＞t6＞t7＞…＞t n＞…进而求得．解答：解：（1），A2（4，0），（2分）设B1（x，x），x＞0，由||=，得，x=1，∴B1（1，1）．（2）设，则，{x n}成等比数列，，∴．（6分）设，由，∴{y n}是等差数列（8分）y n=1+（n﹣1）=n，∴．（9分）（3），（11分）设，当n≥2时，=，∴1≤n≤4时，{t n}是递增数列，n≥6时，{t n}是递减数列，t1＜t2＜t3＜t4=t5＞t6＞t7＞…＞t n＞…，∴．点评：本题考查点A2，B1的坐标的求法，考的坐标的求法，考查△A n OB n面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列和向量知识的综合应用．。
(最新整理)年上海交通大学数学分析期中考试试卷
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数学分析(Ⅰ)期中考试 2011.11.一、填空题（每题4分，共20分)1 函数()f x 在区间I 上不一致连续的的肯定叙述是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；2极限20(1sin )1lim x x x x→+-=＿＿＿＿＿； 3 设22()(1)x x f x x x -=⋅-,则()f x 的间断点是（要说明间断点的类型)＿＿＿＿； 4 设0()2f x '=-,则000lim (2)()h h f x h f x →=--＿＿＿＿＿； 5设1()(2)f x x x =+，则(100)()f x =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、选择题(每题3分，共12分)1 设,f g 均在R 上定义，又()g C ∈R 且()0g x ≠，而()f x 有间断点，则 A (())f g x 在R 上必有间断点; B 2()f x 在R 上必有间断点；C (())g f x 在R 上必有间断点; D()()f xg x 在R 上必有间断点 【 】 2 考虑下列函数① sin x x ； ② 11sin x x ； ③ 1sin x x ； ④ 1sin x x上述函数在(0,1)内必一致连续的是A ①,②，③；B ②，③,④；C ③,④，①；D 前面结论都不对 【 】3 设函数3()1()f x x x ϕ=-⋅,其中()x ϕ在1x =处连续，则(1)0ϕ=是()f x 在1x =处可导的A 充分必要条件；B 充分但非必要条件；C 必要但非充分条件；D 既非充分也非必要条件 【 】4 设()f x 在[0,)+∞上可导，考虑下列断语Ⅰ 若lim ()x f x →+∞存在，则必有lim ()0x f x →+∞'=;Ⅱ 若lim ()0x f x →+∞'=，则必有lim ()x f x →+∞存在 A Ⅰ正确，而Ⅱ不正确； B Ⅰ不正确，而Ⅱ正确;C Ⅰ和Ⅱ都正确;D Ⅰ和Ⅱ都不正确 【 】三、（10分)设1),0(),0ln(1)1,0a x x f x b x c x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⋅++>⎪⎪⎩试确定常数,,a b c ,使()f x 在0x =连续并且可导四、解答下列各题(前三小题每题8分，最后一小题10分，共34分） 1 设112arctan 212x y x-=+，试求,y y ''' 2设ln(e sin 1y x t t t y ⎧⎪=⎨++=⎪⎩，试计算0d d t y x =3 设()f x 在0x =处可导且(0)f a '=,令()(sin ())F x f x ϕ=，其中()x ϕ在0x =处也可导，且(0)0,(0)(0)b b ϕϕ'==≠,试求(0)F '4设(ln y x =（1）证明:2(1)0x y xy '''++=；（2）试求()(0),n f n ∈N五、（8分）设()f x 是定义在[,]a b 上的无界函数，证明：0x ∃∈[,]a b ，使得()f x 在点0x 的任意邻域内均无界（说明:限用有限覆盖定理，区间套定理或致密性定理证明）六、（10分） （1)设()f C ∈R ,且lim (),lim ()()x x f x A f x B A B →-∞→+∞==≠，证明.()f U C ∈R ； （2）在上述条件下，()f x 在R 上是否必有最大值或最小值？（证明或举反例并说明)七、（6分）设()f x 在[,)a +∞上可导，又{}n x 是()f x 的零点集合且各点互异，若对n ∀∈N ，都有()0n f x '≠，证明：lim n n x →∞=+∞。
上海交通大学 2011-2中 高数试卷(A类)
r x2 y 2 z 2 。
A 类，第 2 页
l (1, 1,0) 的方向导数。
（1） 求 g x, y, z ； （2） 若 Px, y, z 在椭球面 2 x 2 y 2 z 2 1 上， 问 g x, y, z 是否有最大值？若 有，求此最大值。 七、证明题（本题共 8 分） 18. 设 u f ( x, y, z) 是可微函数。若
x y
x z u ln 确定的隐函数， 求 ， z y x 0,1
u 。 y 0,1
12. 设函数 z f ( xy, yg ( x)) ，其中 f 具有二阶连续的偏导数， g ( x) 可导且在 x 1 处取得极值 g (1) 1 ，求
2 z xy
。
(1,1)
2
2
（D） 0 。
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分) 1 z z 6. 设 z f (ln x ) ，其中函数 f (u) 可微，则 x y 2 y x y
z 7. grad ( xy ) = y (2,1,1)
。
。
A 类，第 1 页
x 2 y 2 z 2 6, 8. 曲线 2 在点 2,1,1 处的切线方程为 2 2 x y z 4 10 f 9. 已知 f x, y xy xy 2 e x y ，则 5 5 x y
n （A） 4 ；
x 2 y 2 t
1 cos( x 2 y 2 ) d 是 t 的 n 阶无穷小量，则 2
（ （B） 5 ；
π 2 0 cos 0
） ）
上海交通大学2013年A类高数期中考试试卷
2013级《高等数学》第一学期期中考试解答（A 类）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 当0x →1等价的无穷小是 （ ）（A ）24x ； （B ）24x -； （C ）22x ； （D ）22x -。
解1122111(1cos 1)1(cos 1)24x x x =+----，0x →。
答案：B 。
解2 10001lim lim 42n x x x x x nxnx -→→→-===-，2n =。
1214x -.2. 设a 是常数，则lim na n e -→∞= （ ）（A ）0； （B ）1e -； （C ）不存在； （D ）以上选项都有可能。
解 【取值法，特例法】取a n =，则lim 0na n e e --∞→∞==，取1a =，则1lim na n e e --→∞=，取1a =-，则(1)l i m l i mnna n n e e ---→∞→∞=不存在， 答案：D 。
3. 设数列{}n a 满足1lim0n n na A a +→∞=>，则 （ ）（A ）{}n a 有界； （B ）{}n a 不存在极限； （C ）{}n a 自某项起同号； （D ）{}n a 自某项起单调。
解1 1lim0n n n a A a +→∞=> ⇒ 10n na a +>（n N >）答案：C 。
解2 【取值法，特例法】取n a n =，则1lim 10n n na a +→∞=>，{}n a 无界，（A ）错； 取1n a =，则1lim 10n n n a a +→∞=>，lim 1n n a →∞=，（B ）错；取(1)nn a n =--，则1lim 10n n na a +→∞=>，{}n a 不单调，（D ）错；4. 设()f x 在0x x =不可导，则在0x x =点一定不可导的是 （ ）（A ）()f xe ； （B ）()f x ； （C ）()2f x ； （D ）()cos f x 。
2010年SJTU高等数学A期中考试
上海交通大学2010级高等数学（A ）数学期中考试试题一、单项选择题1．设数列{a n }满足12lim n x a a a n→∞++⋅⋅⋅=A ≠0，则（ ）(A)lim n x a →∞=0 (B) lim nx a n →∞=0(C) lim n x a →∞=A (D) lim nx a n→∞=A 2.当x →0，下列无穷小中，与x ²同阶的无穷小是 （ ） (A)ln （x+ (B)e1+sin x-e (C)tanx-sinx (D)1-sin xx3．曲线y=1x+ln （1+e x ）的渐近线的条数为 （ ）(A)0条 (B)1条 (C)2条 (D)3条4.设函数()f x =31ax b x ++11x x ≥<可导，则 （ ）(A)a=3 b=-3 (B)a=-3 b=3 (C)a=3 b=3 (D)a=-3 b=-3 5.设y=y(x)在x o 的邻域U(x o ，δ)内可导，且唯一零点x o ，若g(x)=ln │y(x)│,x ∈U o(x o ，δ),且g ＇(x) 存在，则y=y(x)在x o 处（ ）(A)不可导 (B)可导，且导数是A ≠0 (C)可导，且导数是0 (D)无法判断是否可导 二、填空题6.若平面直线l 往右平移2个单位，再往左平移3个单位后回到原位，则l 的斜率是 。
7.函数()f x =324x x +-的零点个数为 个。
8．已知平面曲线的极坐标方程为r=θ，则该曲线在（r ，θ）=（2π，2π）处()y y x =的切线方程为 。
9.设()f x 是以2为周期的可导函数，且(1)f x ++2()f x -=2x+sin ²x(-1≤x ≤1),则(3)f '= 。
10.设函数()f x =2ax bx c++,且20()lim x f x x →-=0，则()f x = 。
三、求极限11．用极限定义证明：22lim 12x x xx →+∞+=-12.计算极限2012lim 1x x xe →--13.已知()f x =442x x +，n ≥3，证明11()()1n f f n n-+=，并求11lim ()n x i if n n →∞=∑。
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五、 （本题共 10 分）
15. 求曲面 z 2x 2 y 2 、 x 2 y 2 x 、 x 2 y 2 2 x 和 z 0 所围几何体的体积。 六、解答题（每小题 8 分，共 16 分） 16. 求函数 z xe
x2 y 2 2
2
的极值。
17. 已知 f ( x, y, z ) x y 2 z 2 ， g x, y, z 是 f x, y, z 在点 Px, y, z 沿方向
四、计算下列重积分（每小题 10 分，共 20 分）
u0 1， u 0。 13. 求 sgnxy 1d ，其中 D ( x, y) 0 x 2,0 y 2 ， sgn(u) 0， D 1， u0
14. 计算
1 dV ，其中 x, y.z | x 2 y 2 z 2 4。 x y ( z 2) 2
l (1, 1,0) 的方向导数。
（1） 求 g x, y, z ； （2） 若 Px, y, z 在椭球面 2 x 2 y 2 z 2 1 上， 问 g x, y, z 是否有最大值？若 有，求此最大值。 七、证明题（本题共 8 分） 18. 设 u f ( x, y, z) 是可微函数。若
n （A） 4 ；
x 2 y 2 t
1 cos( x 2 y 2 ) d 是 t 的 n 阶无穷小量，则 2
（ （B） 5 ；
π 2 0 cos 0
） ）
（C） 6 ；
（D） 7 。 （
f ( x, y ) dy ； f ( x, y ) dx 。
4. 累次积分 d （A） dx
0 1 0 1 y 2 0
f (r cos , r sin ) r dr 可以写成
x x2
f ( x, y) dy ； f ( x, y) dx ；
（B） dx
0
1
1 x 2 0 y y2
（C） dy
0
1
（D） dy
0
2 2
1
0
ex y d 等于 5. 设 0 R 1 ，则二重积分 I 1 xy x2 y 2 R2
2
2
（D） 0 。
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分) 1 z z 6. 设 z f (ln x ) ，其中函数 f (u) 可微，则 x y 2 y x y
z 7. grad ( xy ) = y (2,1,1)
。
。
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x 2 y 2 z 2 6, 8. 曲线 2 在点 2,1,1 处的切线方程为 2 2 x y z 4 10 f 9. 已知 f x, y xy xy 2 e x y ，则 5 5 x y
2. 设函数 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处连续，那么下列命题正确的是 f ( x, y) （A）若极限 lim 存在，则 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微； x 0 x y y 0 （B）若极限 lim
x 0 y 0
（
）
f ( x, y) 存在，则 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微； x2 y 2
x y
x z u ln 确定的隐函数， 求 ， z y x 0,1
u 。 y 0,1
12. 设函数 z f ( xy, yg ( x)) ，其中 f 具有二阶连续的偏导数， g ( x) 可导且在 x 1 处取得极值 g (1) 1 ，求
2 z xy
。
(1,1)
x 0 y 0
（C）若 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微，则极限 lim （D）若 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微，则极限 lim
x 0 y 0
f ( x, Байду номын сангаас) 存在； x y
f ( x, y) 存在。 x2 y 2
3. 当 t 0 时， f (t )
f fx f y z ，证明： u 仅为 r 的函数，其中 x y z
r x2 y 2 z 2 。
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2011 级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 设函数 f ( x, y ) 可微，且对任意 x 、 y 都有
f x, y f x, y 0 ，则使不 0， y x 等式 f ( x1 , y1 ) f ( x2 , y2 ) 成立的一个充分条件是 （ ） （A） x1 x2 , y1 y2 ； （B） x1 x2 , y1 y2 ； （C） x1 x2 , y1 y2 ； （D） x1 x2 , y1 y2 。
ex y d ； （A） 4 2 2 2 1 xy x y R
x0, y 0
2 2
（
2
）
ex y d ； （B） 2 2 2 2 1 xy x y R
x 0
2
（C） 4
ex y d ； 2 2 2 1 xy x y R
x0, y 0
之下的区域，则在球坐标下 f ( x, y, z )dV 的累次积分为：
。 。
10. 已知 是位于锥面 z x2 y 2 之上，半球面 x 2 y 2 ( z a ) 2 a 2 （ z a ）
. 三、计算下列偏导数（每小题 8 分，共 16 分） 11. 设函数 u e z 2 ， 其中 z z ( x, y ) 是由方程