2.1-2随机变量的分布函数

3
4
0.0625 0.0625
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随机变量的分布函数
1. 概 念
定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
F(x) P{X x}
称为 X 的分布函数．
X
0x
x
F(x) P{X x}
对于任意的实数 x1, x2 (x1< x2) ，有：
X
P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1}
解： X 的取值为-3，-1，1，3． 并且
X
-3
-1
1
3
P
1 8
3
3
8
8
1 8
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第二章 随机变量及其数字特征
例3
设离散型随机变量 X 的分布律为
X0 1 2 3
§1随机变量及其分 布
45
P
1
3
1
4
3
4
16
16
16
16
16
16
则
PX 2 PX 0 PX 1 PX 2
131 5 16 16 16 16
Pa X b PX b PX a Fb 0 Fa
Pa X b PX b PX a
Fb 0 Fa 0
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§3 随机变量的分布函数 用分布函数计算某些事件的概率
PX b 1 PX b1 Fb PX b 1 PX b 1 Fb 0
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§3 随机变量的分布函数
-1 0 1 2
3
x
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§3 随机变量的分布函数
P{X 1} F(1) 1 , 2 24
P{3 X 5} F(5) F( 3) 3 1 1 ,
2
2 2 2 44 2
P{2 X 3}
F (3) F (2) P{X 2}
1
1 3 1 3, 42 4
-1 0 1 2 3
Ck41 C150
k 5， 6， ， 10
具体写出，即可得 X 的分布律：
X 5 6 7 8 9 10
P
1
5
15
35
70
126
252
252
252
252
252
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例2
第二章 随机变量及其数字特征
将 1 枚硬币掷 3 次，令：
§1随机变量及其分 布
X：出现的正面次数与反面次数之差．
试求 X 的分布律．
第二章 随机变量及其数字特征
§1随机变量及其分 布
离散型随机变量的概念与性质
离散型随机变量的定义
•如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无 •穷个，则称 X 为离散型随机变量．
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第二章 随机变量及其数字特征
离散型随机变量的分布律
§1随机变量及其分 布
设离散型随机变量 X 的所有可能取值为
x1， x2 ， ， xn ，
o
F (x2 ) F (x1).
x1
x2
x
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§3 随机变量的分布函数
2. 例 子
例 1 设随机变量 X 的分布律 为： 求 X 的分布函数.
X -1
pk
1 4
23
11 24
解：当 x <-1 时，满足 X x 的 X 的集合为，
F(x) P{X x} P{} 0.
X
x -1 0 ２ ３ x
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§3 随机变量的分布函数
当 1 x 2 时, 满足 X x 的 X 取值为 X = -1,
F (x) P{X x} P{X 1} 1 . 4
X
X -1 2 3
-1 x ２ ３ x
pk 1
4
11 24
当 2 x 3时, 满足 X x 的 X 取值为 X = -1, 或 2
P X xn pn n 1, 2,
X
x1
x2 ， xn
则称上式或 P
p1
p2 ， pn
为离散型随机变量 X 的分布律．
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说 明 第二章 随机变量及其数字特征
§1随机变量及其分 布
离散型随机变量可完全由其分布律来刻划． 即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这 些值的概率唯一确定．
X0 1
2
3
4
pk p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4
或写成 P{X= k} = (1- p)kp，k = 0,1,2,3
P{X= 4} = (1-p)4
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第二章 随机变量及其数字特征
例 5(续) 以 p = 1/2 代入得：
§1随机变量及其分 布
X0 1
2
pk 0.5 0.25 0.125
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§3 随机变量的分布函数
20 0 F (x) 1,且
F () lim F (x) 0; F () lim F (x) 1.
x
x
30 F(x 0) F(x), 即 F(x)是右连续的.
1
-1 0 1 2 3 x
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§3 随机变量的分布函数
用分布函数计算某些事件的概率
Fx A Barctgx
试求常数A、B．
x
解：
由分布函数的性质，我们有
2
0
x
lim
F
x
xlimA Barctgx
A
B
2
1
x
lim
Fx
xlimA
Barctgx
A
B
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§3 随机变量的分布函数
例 4（续）
解方程组
A
A
2
B B
0 1
2
得解
A 1， B 1 ．
2
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F (x) P{X x} P{X 1或X 2} 1 1 . 42
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§3 随机变量的分布函数
同理当 3 x 时,
F(x) P{X x} P{X 1或X 2或X 3} 1.
0, x 1,
F
(x)
1
4 3
, ,
1 x 2, 2 x 3,
1
4
1, x 3.
解：（1） 若 x < 0, 则 {X x} 是不可能事件，于是
F(x) P{X x} P() 0.
（2） 若0 x 2,由题意，
X
P{0 X x} k x2,
§3 随机变量的分布函数
取x 2,由已知得P{0 x 2} 1,与上式对比
得k 1/ 4, 即 P{0 x 2} x2 . 4
设 Fx PX x是随机变量 X 的分布函数，则
PX a Fa 0 PX a PX a PX a Fa Fa 0 Pa X b PX b PX a Fb Fa
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§3 随机变量的分布函数
用分布函数计算某些事件的概率
Pa X b PX b PX a
Fb Fa 0
例 3 设随机变量 X 的分布函数为
0 x 0
x
F
x
2 2
131
0 x 1 1 x 2 2 x3
12
1 3 x
试求：
⑴．P X 3 ⑵．P X 3 ⑶．P X 1
⑷．P X
1
2
⑸．P2 X 4
⑹．P1 X 3
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§3 随机变量的分布函数
解：
例 3（续）
⑴．P X 3 F3 1
⑵．P X ⑶．P X
3 F3 1 F1
0
12 11
F1 0
3 2
2 1
6 1
⑷．P
X
2 1
1
F
2 1
1
4 1
4 3
⑸．P2
X
4
F 4
0
F 2
1
12 11
12 1
⑹．P1
X
3
F3 0
F1 0
12 11
2 1
12 5
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§3 随机变量的分布函数
例 4 设随机变量 X 的分布函数为
离散型随机变量分布律的性质:
⑴．对任意的自然数n，有
⑵． pn 1
n
pn 0
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第二章 随机变量及其数字特征
例1
§1随机变量及其分
从1～10这10个数字中随机取出5个数字，布
令 X：取出的5个数字中的最大值．
试求 X 的分布律．
解： X 的取值为5，6，7，8，9，10． 并且
P
X k
于是，0 x 2时
F(X ) P{X x} P{X 0} P{0 X x} x2 . 4
（3） 若 x 2 , 则 {X x}是必然事件，于是
F(x) P{Байду номын сангаас x} 1.
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§3 随机变量的分布函数
0,
F
(
x)
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2,
x 2.
x
§3 随机变量的分布函数
分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,…) 处有跳跃， 其跳跃值为 pk=P{X= xk}.
X -1
pk
1 4
23
11 24
1
1
14
1
2
4
-1 0 1 2 3
x
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§3 随机变量的分布函数
例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上 任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比， 并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数.
c 1 n n
1，
2，
4
试求常数c．
解：由随机变量的性质，得
1 PX n c 1 n
n1
n1 4
该级数为等比级数，故有
1
所以
1 PX n1
c 3．
n
n1
c
1 4
n
c
1
4
1 4
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第二章 随机变量及其数字特征
例5
§1随机变量及其分 布
设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，
每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过. 以 X 表
示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的
分布律. (信号灯的工作是相互独立的).
P{X=3}=(1-p)3p
第二章 随机变量及其数字特征
例 5(续)
§1随机变量及其分 布
解： 以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则
X 的分布律为：
F(x) 1
01 2 3
x
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§3 随机变量的分布函数
3. 分 布 函 数 的 性 质
分别观察离散型、连续型分布函数的图象， 可以 看出，分布函数 F(x) 具有以下基本性质：
10 F (x) 是一个不减的函数．F(x)
即当x2 x1时， 1 F (x2 ) F (x1).
01 2 3
x
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第二章 随机变量及其数字特征
例 3（续）
§1随机变量及其分 布
PX 3 PX 4 PX 5
34 7 16 16 16
P0.5 X 3 PX 1 PX 2
31 4 16 16 16
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例4
第二章 随机变量及其数字特征
§1随机变量及其分 布
设随机变量 X
PX n
的分布律为