数学分析

当年我最主要的教材是吉林大学数学系主编的3册《数学分析》。需要说明的是，在80年代初，多数教材都是单位署名的。该书编者有江泽坚、徐利治这些大家。我最下功夫的该书中册的“分析基础”一章。印象很深的还有“不等式”等选学内容。该书的突出特色是喜欢从哲学高度讨论，引用马克思和列宁等的话多是漫无边际牵强附会，有些文革遗风；个别也有启发，如把导数理解为个算子而不是数字，对后来接触导映射等有帮助。还有些方法论的讨论，在学后继课时感到还是很精辟。例如，说区间套的方法直观易于接受，但抽子数列的方法更有一般性。该书的问题是有些重要内容缺失，如没有限覆盖定理；而有的内容太少太浅，如函数可积性的讨论。

复旦大学数学系陈传璋等的两册《数学分析》内容比较全，而且也没有变分法之类超出数学分析范畴的内容。这套书比较平淡，没有明显缺陷，也没有突出亮点。或许是比较理想的教材，但我个人不太喜欢。在我看来，是樊映川《高等数学讲义》的理科版。顺便一提，作者之一欧阳光中先生写过本集合论的通俗小册子，中学时读过，印象深刻。

当时还看过武汉大学数学系主编的两册《数学分析》。该书总体感觉平平，但在分析基础部分有个别处未见的证明，从实数的描述性而非严格定义出发证明了上确界存在定理。此外，路见可先生执笔的多元微积分中讲了压缩映象定理。

由上述回忆可知，我对分析基础比较感兴趣，因此，要找些实数的理论看。当时，从图书馆借了兰道的《分析基础》。后来，又买了新出的《实数的构造理论》。不过，现在的印象已经很淡了。

像所有国内认真的数学分析学习者一样，我也读过3卷8册的菲赫金格尔茨《微积分学教程》。学过国内的教材，读起来不是很吃力。也作过一小部分吉米多维奇《数学分析习题集》。我不喜欢大量计算题。

还看过华罗庚的《高等数学引论》。我不是很喜欢，内容丰富但驳杂；有启发性但缺乏系统性；名词也与其它书不统一，“数列”被称为“贯”。假如华老的书稿没有遗失，出全后足可以媲美斯米尔诺夫的《高等数学教程》。不过，我虽然买了全套斯米尔诺夫，但并不喜欢。

翻译的美国教材最先看的是库朗等的《微积分与分析引论》，只看了第一卷第一分册。感觉不过如此。真正让我感觉耳目一新眼界大开的是些高级教材，如Rudin的《数学分析原理》

和Spivak的《流形上的微积分》，还有本很喜欢的《分析中的反例》(不少内容超出数学分析)。不过，很可惜，看的不是十分仔细，题目也没作。因此，我后来对自己数学分析学习的评价是，入门不正，立意不高。这是国内学生学数学分析的通病。我的问题还有解题特别是限时的解题情况不稳定。考北大硕士时数分只考了45分。本来估计总会在60分以上。

国内的数学分析教材可谓汗牛充栋，保守估计也有几十种之多。北大、复旦等高校的教授，陆续各出过4、5种教材。这些国内教材虽然各有特色，但差别并不是很明显。无论用那种教材，另外再参考一种似乎就够了。

如果要看参考书，我觉得已故北大张筑生教授的3卷本《数学分析新讲》最有特色。毕竟张筑生是微分拓扑特别是动态系统的专家，某些问题的处理是从更的高观点。如一般隐函数定理的证明用的是迭代逼近方法，引入微分形式证明了Brouwer不动点定理等。还有为配合其它课程应用需求比较早的讲了微分方程，而且微分学在几何中的应用比较系统。但那本书没有习题，因此不能检验自己的理解程度。

经典内容最全的参考书还是菲赫金哥尔茨的3卷本《微积分学教程》。内容丰富如百科全书，真可谓一套在手，别无所求。缺点是过于繁琐。或许可以查阅参考，但不必通读。我熟悉的是依据50年代俄文版译出的老版本。高教新出版了俄文第8版的汉译本，基本特点没变。

或许比看参考书更重要的是做习题。我推崇的是吉米多维奇《数学分析习题集》，全书有4千多道题目。当然不需要每道题目都做，特别是一些计算题和作图题。但把其中的所有证明题都做了或至少思考过，将大有裨益。该书的不仅是题目合适，而且难度适中。天资一般但用功的学生，就算不能独立完成全部题目，不会的题目稍加点拨就可以理解。还有些更难的数学分析问题分析之类，或者需要很高的数学解题天赋，或者更适合高年级“经典分析方法”之类选修课用。

数学分析这种基础核心课程需要看英文教材。学完1学期后可以读Introduction to Calculus and Analysis的卷1，全部学完后再读卷2。

前面说过，数学分析课程之外，还要读两本参考书。1本是概念讲解清楚的，如“漫谈4”介绍过的已故张筑生教授编者《数学分析新讲》，以及配套的林源渠和方企勤(已故)两位教授遍《数学分析解题指南》。另1本是应用灵活的，如“漫谈6”介绍常庚哲和史济怀两位教授

编《数学分析教程》。当然，如果后面两书被选为教材了，就要再找其它的书，好在用那两套书为教材的学校不多。

读参考书首先遇到的问题是参考书与教材的内容编排未必完全一致，特别是实数理论往往在不同的地方处理。但基本上是几大块，分析基础、单变量微分、多变量微积分、曲线曲面微积分和级数。我建议总的原则是如果是技术性的扩展内容，如《数学分析新讲》讲Stolz定理，《数学分析教程》讲闭区间上迭代函数的性质，这些是其他教材可能不讲了。多学些也没有坏处。如果是成节甚至成章的顺序调整，那就不急着学，大体上还要按教材的顺序。

第1遍读第1参考书应该读过教材第2遍，并且已经完成习题之后。这样与教材本质相同的内容马上可以识别出来。重点看表面不同的的内容。一般来说，各书的概念实质一样(如有不同也是等价的说法，例如函数极限的序列定义或epsilon-delta定义)，定理也应该差不多。但定理比较复杂的证明过程可能有所不同，可能是方法包括出发点不同，也可能仅是叙述方式不同。除了新的具体知识点外，对相同内容的解释和描述也要重视。当然，例题也要特别重视。例题侧重不同，或强调概念的澄清如些反例，或发展些技巧，在读参考书中对后一方面更要重视。第这遍读完就做习题。习题难免有与教材重复的，可以跳过，但也要想想解题的过程。在不同的书中出现，说明该题目不同凡响。

做完习题后第2遍读第1本参考书。读法类似于第3遍读教材。因为只重视与教材不同的内容速度可以快许多。

接下来就可以第1遍读第2参考书了。方法与第1遍读第1参考书一样。但该书的特点是求“巧”。通过应用发展数学分析的技巧。其中应用包括解决些趣味性的复杂问题，或处理些应该在后续课程中出现的内容。该书的习题特别难，尤其是上卷。因此，第1遍看过后，把题目都做1遍对一般人可能很不容易，能做其中1部分，哪怕是比较简单的部分也好。做完部分习题后，把书再重读1遍，读法类似于第3遍读教材。

第3遍读第2参考书可以在每学期的期末考试之前。结合着期末复习进行。把题目重新看看，做过的是否还会，没有做过的是否现在回头看变得简单些了。

第3遍读第1参考书可以在学完整门课程之后。重新思考一番，争取把学过的理论与方法，转化为习惯和本能。特别值得一提的是，学数学分析，除具体内容外，特别注意常用的论证