2615用待定系数法求二次函数的解析式(
待定系数法求二次函数解析式(讲义)
⎧⎪⎨⎪⎩待定系数法求二次函数解析式（讲义）一、【基础知识精讲】1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩顶点对称轴开口方向增减性 顶点式：y=a(x-h)2+k(a ≠0)4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 两根式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)5.二次函数与一元二次方程的关系。
6.抛物线y=ax 2+bx+c 的图象与a 、b 、c 之间的关系。
（二）、中考知识梳理1.二次函数的图象在画二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b 2a )2+ 4a 24ac-b 的形式,先确定顶点(-b 2a ,4a24ac-b ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a 的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y 随x 的增大而减小;在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b 2a 时,y 最小值=4a24ac-b ;反之当a<•0时,简记左增右减,当x=-b 2a 时y 最大值=4a24ac-b . 3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y•的值)•可设解析式为y=ax 2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x•轴两交点坐标或已知抛物线与x 轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2)来求解.4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2+bx+c 当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=0,即抛物线与x 轴有两个交点时,方程ax 2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有一个交点,方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴无交点,•方程ax 2+bx+c=0无实根.5.抛物线y=ax 2+bx+c 中a 、b 、c 符号的确定a 的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,•抛物线开口向下;c 的符号由抛物线与y 轴交点的纵坐标决定.当c>0时,抛物线交y 轴于正半轴;当c<0时,抛物线交y 轴于负半轴;b 的符号由对称轴来决定.当对称轴在y•轴左侧时,b 的符号与a 的符号相同;当对称轴在y 轴右侧时,b 的符号与a 的符号相反;•简记左同右异.6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,•应用数形结合思想来解决有关的综合性问题.二、【典型例题精析】一般式：例1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); 求它的解析式。
用待定系数法求二次函数的解析式精要ppt课件
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14
知识提高：已知二次函数y=ax2+bx+c的
最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，
并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1
∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
x o
有0＝a(2＋1)2+4，得a＝ -
9 4
故所求的抛物线解析式为 y= - 9 (x＋1)2＋4
4
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16
根据题意可知 ∵ 点(20，16)在抛物线上，
评价
选用两根式求解， 方法灵活巧妙，过 程也较简捷
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封面 练习
求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式 为__y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(_a_≠_0_) 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 抛物线解析式为_y_=__a_(x_-_h_)_2+__k_(a_≠_0_) 求出表达式后化为一般形式.
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6
例题选讲
例2 已知抛物线的顶点为（－1，－3），与轴交点为
（0，－5）求抛物线的解析式？
一般式： y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
顶点式： y=a(x-h)2+k
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7
例题选讲
例3
一般式： y=ax2+bx+c
已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？
可得方程组
评价 通过利用给定的条件
26.1.5_用待定系数法求二次函数的解析式(新)
课本14页
必做题：第9(2)、（4）,10题.
用待定系数法求二次函数的解析式
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式. 解： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c a-b+c=10 由已知得： a+b+c=4 4a+2b+c=7 解得： a=2, b=-3, c=5 因此,所求二次函数是： y=2x2-3x+5
26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式
回顾：用待定系数法求函数的解析式
已知一次函数经过点（1，3） 和（-2，-12） ，求 这个一次函数的解析式。 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 因为一次函数经过点（1，3） 和（-2，-12） ， k+b=3 所以 -2k+b= -12 解得 k=5，b= -2 一次函数的解析式为y=5x-2.
用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是 求出待定系数a，b，c的值。 由已知条件（如二次函数图像上三个点的 坐标）列出关于a，b，c的三元一次方程组， 并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解 析式。
用待定系数法求二次函数的解析式
例2 已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式. 解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c a-b+c=0 a+b+c=0 c=1 解得 a=-1, b=0, c=1 故所求的抛物线解析式为 y=－x2+1
课
堂
练
习
1、一个二次函数，当自 变量 x 0 时，函数值 1 当 x 2 与 时， y 0 .求这个二次函数的解析 2 2 、一个二次函数的图象 （ 1，）三点，求这个二次函 9
用待定系数法求二次函数表达式的三种形式
例题1 已知抛物线过点（1，0）（3，-2）（5，0）， 求该抛物线所对应函数的表达式。
例题2 抛物线对称轴为直线x=-1，最高点的纵坐标为4， 且与x 轴两交点之间的距离是6，求次二次函x1 数的解 析式。
巩固练习
• 1.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3， 0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
待定系数法求二次函数表达式常见 的三种形式 ：
一般式 • 1.
：y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，且a≠0）
• 2.顶点式：y=a（x+h）²+k
(a 0)顶点坐标（ h, k)
• 3.交点式： y a(x x1)(x x2 )
一、一般式 y ax2 bx c(a )
已知二次函数 y ax2 bx c 图象过某三
14.已知二次函数y=x²+2（n+3）x+16的顶点在坐标 轴上，求该二次函数表达式。
15.已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为P（2,-1）， 图象与x轴交于A，B两点。若△PAB的x1 面积为6， 求该抛物线所对应函数的解析式。
•谢谢
14
பைடு நூலகம்
• 3.二次函数y=ax²+bx+c，x=6时，y=0;x=4时， y有最大值为8，求此函数的解析式。
• 4.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大值是 2，图象经过点（-2,4）且顶点在直线y=-2x上， 试求ab+c的值
三、交点式 y a(x x1)(x x2 )
已知二次函数图象与x轴两交点坐标分别为 (x1,0),(x2,0) 通常选用交点式，再根据其他即可解出a值，从而求
26.1.5用待定系数法求二次函数解析式
4 、二次函数的交点式（两根式）：y＝a(x－x1)(x－ x2)，其中x1 ，x2 为两交点的横坐标 ，它有3个待定系数a、
x1 、x2 今天学习用待定系数法求二次函数的解析式
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、
（2,7）三点，求这个函数的解析式 解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
2 练习1：（2007· 河北省）如图，已知二次函数 y ax 4x c 的图像经过点A和点B． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两 点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离． 解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代
3 = （-m2-2m+3）+ 2 （-m） 2 3 2 9 9 3 3 2 63 = - m - m+ =- (m+ ) + 8 2 2 2 2 2
1 1 = BO•EF + 2 OC•EG 2 3
(m,-m² -2m+3 ) E G (0,3)
(-3,0) F
3 ∴当m=- 时，S四边形BOCE最大，且最大值 2 3 15 63 为 ，此时，点E坐标为（- ， ）． 2 4 8
一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标 即为方程ax2＋bx＋c＝0的解x1 ，x2 ,所以，已知抛物线与x 轴的两个交点坐标为（ x1 ，0）， （ x2 ，0）时，二次函 数解析式y＝ax2＋bx＋c又可以写为y＝a(x－ x1)(x－ x2)， 其中x1 ，x2 为两交点的横坐标。
(-1,0)
(1,0)
以M为圆心，MC为半径画弧，与对称轴有两交点;以C为圆心， MC为半径画弧，与对称轴有一个交点（MC为腰）。 作MC的垂直平分线与对称轴有一个交点（MC为底边）。 P (1,6)
用待定系数法确定二次函数解析式
二、求二次函数的解析式 (1)关键是求出待定系数的值． (2)设解析式的形式：解（1）∵图象顶点为(1，－6)，
∴设其解析式为 y＝a(x－1)2－6.
∵图象经过点(2，－8)，
∴－8＝a(2－1)2－6.∴a＝－2.
∴函数解析式为 y＝－2(x－1)2－6.
例3拓展应用：抛物线 y＝ax2＋bx＋c经过A(-2，-4),
O(0，0),B(2，0)三点 （1）求抛物线 y＝ax2＋bx＋c的解析式。 （2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的 最小值。 y
-2
O。 B 。 x
。 M 。
A。
-4
x=1
。 A1 (4，-4)
【变式训练】
1.二次函数y x 2 bx c的图象的最低点为（ - 1,3），
此函数解析式 _____________ 2．抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图 所示， 求此抛物线的解析式。 3．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中的 x，y 满足下表：
当已知抛物线上三个点时，设一般式
例1 二次函数的图象经过点A(1,3) ,B(0,3) ，C(－1,1)三点 求此函数的解析式；
解：设所求函数关系式为 y＝ax2＋bx＋c，
∵图象经过点 A(1,3)， B(0,3)， C(-1,1)，
c＝3， ∴a＋b＋c＝3， a－b＋c＝1. a＝－1， 解得b＝1， c＝3.
用待定系数法求二次函数的解析式(公开课)通用课件
掌握二次函数的解析 式对于理解其性质和 解决相关问题至关重 要。
课程目标
掌握用待定系数法求二次函数解析式 的方法。
能够灵活运用待定系数法解决实际问 题。
理解二次函数解析式中各项系数的物 理意义。
02
二次函数的基本概念
二次函数定义
总结词
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a neq 0$。
例如，将求得的待定系数代入原方程，计算与已知点的距 离，判断是否相等，以验证结果的正确性。
05
案例分析
案例一：已知顶点坐标和另一个点的坐标
总结词
通过顶点坐标和另一个点的坐标，可以确定二次函数的解析式。
详细描述
已知二次函数的顶点坐标为(h, k)和另一个点的坐标(x1, y1)，可以通过待定系数法设出二次函数的顶点式，再代 入已知点(x1, y1)求出待定系数，从而得到二次函数的解析式。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a$、 $b$和$c$是常数，且$a neq 0$ 。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。
在解决与二次函数相关的实际问题时 ，待定系数法也可以用来建立数学模 型，从而解决问题。
待定系数法的优势与局限性
优势
待定系数法可以用来求解未知量，特别是当已知某些数据时，可以方便地求解出 函数的解析式。
局限性
对于一些复杂的问题，可能需要设立多个未知数，导致方程组复杂化，计算量大 增。同时，如果已知数据不足，可能无法求解出所有未知数。
人教版数学九年级上册26.1.5《用待定系数法求二次函数的解析式》说课稿
人教版数学九年级上册26.1.5《用待定系数法求二次函数的解析式》说课稿一. 教材分析《人教版数学九年级上册》第26.1.5节《用待定系数法求二次函数的解析式》是本册教材的重要内容之一。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式和图象的基础上进行讲解的，旨在让学生通过待定系数法求解二次函数的解析式，从而更好地理解和掌握二次函数的知识。
本节教材主要分为两个部分，第一部分是待定系数法的引入和解释，第二部分是待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
在第一部分中，教材通过例题和练习题让学生理解待定系数法的概念和原理；在第二部分中，教材通过例题和练习题让学生掌握待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
二. 学情分析在九年级的学生中，大部分学生已经掌握了二次函数的一般形式和图象，但是对于待定系数法的理解和应用还有待提高。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生理解和掌握待定系数法的概念和原理，并通过例题和练习题让学生熟悉和掌握待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生理解和掌握待定系数法的概念和原理，能够运用待定系数法求解二次函数的解析式，并能够通过练习题进行巩固和提高。
四. 说教学重难点本节课的教学重难点是待定系数法的理解和应用。
在教学过程中，我需要注重引导学生理解和掌握待定系数法的概念和原理，并通过例题和练习题让学生熟悉和掌握待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法和练习法相结合的教学方法。
首先，我会通过讲解和示例让学生理解和掌握待定系数法的概念和原理；然后，我会通过布置练习题让学生熟悉和掌握待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
此外，我还会利用多媒体教学手段，如PPT和动画等，来帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.引入：通过复习二次函数的一般形式和图象，引导学生思考如何求解二次函数的解析式。
2.讲解：讲解待定系数法的概念和原理，并通过示例让学生理解待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式 同步教学课件(新人教版九年级下)
的图象过点（1，0），且关于直线
图象经过点A（2，0），B（0，－6）两点.
BA、BC，求
【点拨精讲】（2分钟）
二次函数解析式的三种形式： 1、一般式 2、顶点式 3、交点式 利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已知点的情况设 适当形式的解析式，可使解题过程变得更简单.
【课堂小结】（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。13分钟
探究1
已知二次函数的图象经过点A(3,0)，B（2，3），C（0，3），求函数的关系式 和对称轴. 解：设函数解析式为
9a 3b c 0 4a 2b c 3 c 3 a 1 解之，得 b 2 c 3
总结归纳：若知道函数图象上的任意三点，则可设函数关系式为 利用待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为
，
，把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与x轴的两 个交点 ，可设函数的关系式为 ，把另一点坐标代入式
中，可求出解析式。
【预习导学】
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟
1、二次函数 ，当x<-2时，y随x的增大而减小；当x>－2时， y随x的增大而增大, 则当x＝1时，y的值为 22 ； y 点拨精讲：可根据顶点公式用含m的代数式表示对称轴，从而求出m的值. 2、抛物线 3、二次函数
（3，11) ； 的顶点坐标是
的图象大致如图所示，下列判断错误的（ D B、b>0 C、c>0 D、 >0 （a>0）的对称轴是直线x=1，且经过点 A 、0 B、－1 C 、1 D 、2 ）
待定系数法求二次函数解析式的方法归类(解析版)
专项05 待定系数法求二次函数解析式的方法归类二次函数的四种解析式（1）一般式：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0）已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式。
（2）顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)。
顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
（3）交点式：仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0]。
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1, 0)和B(x2, 0),我们可设y=a（x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A （1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．【答案】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3），得{a+b+c=0 c=−54a+2b+c=3解得{a=−1 b=6 c=−5所以，所求函数的解析式为y=−x2+6x−5．y=−x2+6x−5=−(x−3)2+4．所以，这个函数图象的顶点坐标为（3，4），对称轴为直线x = 3．【变式1-1】已知二次雨数：y=x2+bx+c过点(1，0)，(0，-3)。
求该二次函数的解析式【答案】解：根据题意，得 {0=1+b +c −3=c解得 {b =2c =−3所以所求的二次函数的解析式为y=x 2+2x -3【变式1-2】一个二次函数的图象经过A （0，0），B （1，9），C （-1，-1），求这个二次函数的解析式．【答案】解：设二次函数的解析式为 y =ax 2+bx +c ．∵抛物线经过 A(0,0) ， B(1,9) ， C(−1,−1) ，∴{c =0a +b +c =9a −b +c =−1 ，解得 {a =4b =5c =0，∴y =4x 2+5x【典例2】已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）.求抛物线的解析式.【答案】解：∵抛物线顶点为（1，﹣4），∴设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，把（2，﹣3）代入得a ﹣4＝﹣3，解得a ＝1，所以抛物线解析式为y ＝（x ﹣1）2﹣4【变式2-1】已知抛物线的顶点为 (−2，−4) ，且经过点 (1，12) ，求此抛物线的解析式．【答案】解：∵二次函数的图象的顶点为（﹣2，﹣4），∴可设函数解析式为：y ＝a （x+2）2﹣4，∵函数图象经过点（1， 12） ∴a×9﹣4＝ 12， ∴a =12 ，∴二次函数的表达式为： y =12(x +2)2−4 ． 【变式2-2】已知抛物线的顶点坐标为(1，﹣2)，与y 轴交于点(0，﹣4)，求抛物线的解析式．【答案】解：∵抛物线的顶点坐标为(1，﹣2)，∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2−2，∵抛物线经过点(0，﹣4)，∴a−2=−4，解得a=−2，∴抛物线解析式为y=−2(x−1)2−2．【变式2-3】已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1，求该抛物线的解析式．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+b将A，B点坐标带入得，{0=4a+b，6=a+b，解得a=-2，b=8，则y=-2(x-1)²+8.【典例3】已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．【答案】解：由题意可设二次函数的解析式为：y=a(x+1)(x−3)将C（0，﹣3）代入得：−3=a(0+1)(0−3)解得a=1∴y=(x+1)(x-3)= x2−2x−3∴此二次函数的解析式为：y=x2−2x−3.【变式3-1】已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（－3，0），（1，0），且与y轴的交点坐标为（0，－3），求这个二次函数的解析式【答案】解：依题意，设函数的解析式为y=a(x+3)(x−1)(a≠0)将点(0,−3)代入，得−3=−3a∴a=1∴所求函数解析式为y=(x+3)(x−1)，即y=x2+2x−3【典例4】如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(-4，-3)，与y轴交于点B，对称轴是x=-3，求抛物线的解析式。
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解一般来说，二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c （其中a、b、c为常数，且a≠0）。
我们可以使用待定系数法来求解二次函数的解析式，具体步骤如下：1.设定待定系数：我们设定系数a、b、c的值为待定系数。
即假设a、b、c的值为未知数。
2.建立方程：根据二次函数的一般形式y = ax^2 + bx + c，我们可以将二次函数转化为一元二次方程。
在方程中，将x、y的值用待定系数a、b、c表示。
3.解方程：根据设定的待定系数，将二次方程化简为标准形式，并利用解一元二次方程的方法求解出待定系数的值。
4.得出结果：通过求解出的待定系数，我们可以得出二次函数的解析式。
下面我们通过一个具体的例子来说明待定系数法的应用。
例：已知二次函数图像经过点（1，3），（-2，2）和（3，4），求解此二次函数的解析式。
解：根据已知条件，我们可以列出三个方程：（1，3）：a+b+c=3（-2，2）：4a-2b+c=2（3，4）：9a+3b+c=4根据设定的待定系数a、b、c，化简以上方程可以得到：a+b+c=3----（1）4a-2b+c=2----（2）9a+3b+c=4----（3）我们可以使用消元法或代入法来求解此方程组。
首先，将方程（2）的2倍加到方程（1）中，可以得到：6a-2b+2c=6然后，将方程（3）的3倍减去方程（1）中，可以得到：24a+6b-3c=6现在我们得到了两个新的方程：6a-2b+2c=6----（4）24a+6b-3c=6----（5）再将方程（5）的3倍加到方程（4）中，可以得到：6a+4c=24我们可以解得：a=3-2c将上式代入方程（1）中，可以得到：(3-2c)+b+c=3整理可得：b-c=0b=c所以，我们可以令b=c。
现在我们得到了a=3-2c和b=c。
将a、b、c的值代入方程（1）中，可以得到：(3-2c)+c+c=3化简可得：-2c+3=3-2c=0c=0将c=0代入a=3-2c和b=c中，可以得到：a=3b=0所以，二次函数的解析式为：y=3x^2通过以上步骤，我们成功使用待定系数法求解了二次函数的解析式。
用待定系数法求二次函数解析式
用待定系数法求二次函数解析式待定系数法是求解多项式解析式的有效途径，用来直接求出二次函数解析式的标准型可以以形如$ax^2+bx+c=0$来表示，其中$a,b,c$均为常数。
一、概述1.1 什么是待定系数法待定系数法是指针对未知数多项式的解析方程，通过形如$a_1x^2+a_2x+a_3=0$的解析方程的参数$a_1,a_2,a_3$的确定，来求解形如$ax^2+bx+c=0$的解析式。
1.2 待定系数法的步骤（1）将解析方程形如$ax^2+bx+c=0$的形式确定，将$a,b,c$的系数根据题目替换成未知数，形如$a_1x^2+a_2x+a_3=0$（2）据此，将问题转化为求令$Δ=b_1a_2-2a_1a_3=0$时$a_1,a_2,a_3$的值，其中$b_1$为给定数∵（3）如果$Δ ≠ 0$，有$a_1=Δ/b_1, a_2=2a_1a_3/b_1, a_3=Δ/b_1$（4）将$a_1,a_2,a_3$的值代回原式，可求出$a,b,c$的值（5）最终，得出答案。
二、例题例题1：已知$2x^2+bx+2=0$，求b的值解：由待定系数法可求解出$a_1=2,a_2=b,a_3=2$∴$b_1=2,Δ=2×b−2×2=b-4$∴令$Δ=b-4=0$，解得$b=4$∴$b=4$例题2：已知$2x^2-3x+c=0$，求c的值解：由待定系数法可求解出$a_1=2,a_2=-3,a_3=c$∴$b_1=2,Δ=2×(-3)−2×c=6-2c$∴令$Δ=6-2c=0$，解得$c=3$∴$c=3$三、探究（1）待定系数法的数据限制待定系数法用来求解的多项式解析方程为二次以下的情况，不能用来求解多次多项式方程。
（2）待定系数法的应用范围待定系数法普遍用于求解数学、物理、化学、经济学等学科中，会出现二次式解析方程的问题，它可以用来快速求解解析式，可以极大的节省计算的时间。
待定系数法求二次函数解析式
待定系数法求二次函数解析式函数名称：quadratic_equation函数参数：a, b, c （均为实数）函数返回值：二次函数解析式（字符串类型）函数功能：根据待定系数法求解二次函数解析式函数实现：```pythondef quadratic_equation(a, b, c):"""根据待定系数法求解二次函数解析式:param a: 二次项系数:param b: 一次项系数:param c: 常数项系数:return: 二次函数解析式（字符串类型）"""delta = b ** 2 - 4 * a * c # 计算判别式if delta > 0:x1 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2 * a)x2 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2 * a)return f"y = {a}x^2 + {b}x + {c} 的解析式为 y = {a}(x - {x1})(x - {x2})"elif delta == 0:x = -b / (2 * a)return f"y = {a}x^2 + {b}x + {c} 的解析式为 y = {a}(x - {x})^2" else:real_part = -b / (2 * a)imaginary_part = math.sqrt(abs(delta)) / (2 * a)return f"y = {a}x^2 + {b}x + {c} 的解析式为 y = {a}(x - ({real_part}+{imaginary_part}i))(x - ({real_part}-{imaginary_part}i))"```函数说明：- 首先计算判别式 $\Delta=b^2-4ac$，根据 $\Delta$ 的值分类讨论。
8 待定系数法求解析式(2)
九年级数学26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式（2）班级 姓名学习目标1、掌握由二次函数图象上三个点的坐标列出方程组求解析式的方法（二次函数的交点式）；2.能根据不同的条件选择合适的解析式形式，体会二次函数解析式之间的转化。
重点：运用待定系数法求二次函数的解析式 难点：选择最合适的方法确定二次函数的解析式。
一、 复习巩固①解方程：()()012=--x x②抛物线()()12--=x x y 与x 轴的交点坐标是③抛物线()()123--=x x y 与x 轴的交点坐标是④抛物线()()12--=x x a y 与x 轴的交点坐标是二、 新知探索思考：已知抛物线与x 轴的两交点为（2，0）和（1，0），且过点（3，6）．求抛物线的解析式．归纳：已知抛物线与x 轴有两个交点（或已知抛物线与x 轴交点的横坐标），设交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) ．（其中x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标）且通过交点式还可以得到对称轴三、反馈练习1、已知二次函数的图像与x 轴交于A （21-，0），B （23，0）两点，与y 轴交于点C （0，-3），求二次函数的解析式．2、已知二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），函数有最小值8-，求这个二次函数解析式．四、练习巩固1、已知抛物线的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点为),0,23(-则它与x 轴的另一个交点为______．2、抛物线的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．3、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．4、已知抛物线过A （1,0），B （0，-3），且对称轴为直线x =2，求其解析式。
五、小结确定二次函数解析式的一般方法是待定系数法。
（1）一般式： （当题目给出不特殊的三个点的坐标时，可用此式。
）（2）顶点式: ( 当题目给出两点且其中有一个为顶点时，可用此式。
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解设定二次函数的解析式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$为待定系数。
一、已知函数的根情况一：已知函数的两个根$x_1$和$x_2$，则有以下条件：$$f(x_1)=0$$$$f(x_2)=0$$代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=0$$$$a{x_2}^2+b{x_2}+c=0$$将上述方程组化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=-c$$$$a{x_2}^2+b{x_2}=-c$$注意到$x_1$和$x_2$为已知值，$a$、$b$和$c$为待定系数，上述方程可以看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组。
通过解这个方程组，即可求出$a$、$b$和$c$。
情况二：已知函数的一个根$x_1$和函数经过的一个点$(x_3,y_3)$，则有以下条件：$$f(x_1)=0$$$$f(x_3)=y_3$$代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=0$$$$a{x_3}^2+b{x_3}+c=y_3$$将上述方程组化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=-c$$$$a{x_3}^2+b{x_3}=y_3-c$$同样地，将上述方程看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组，求解即可得到$a$、$b$和$c$的值。
二、已知函数的值当已知二次函数经过的两个点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$时，同样可以通过设定$a$、$b$和$c$为待定系数，列出方程组来求解。
将已知点代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=y_1$$$$a{x_2}^2+b{x_2}+c=y_2$$进一步化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=y_1-c$$$$a{x_2}^2+b{x_2}=y_2-c$$同样地，上述方程可看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组，通过求解该方程组，即可求出$a$、$b$和$c$的值。
26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式
2. 过顶点和一普通点的二次函数解析式的确定
由于抛物线 y a ( x h) 2 k 顶点坐标是 (h，k ) ， 反之，已知顶点坐标为 (h，k ) ，则可设函数解析式为 y a ( x h) 2 k 。 【例题】已知某抛物线的顶点坐标 (3， 且过点 4) (1， ，求它的函数解析式。 8) 解：∵顶点坐标是 (3， 4) ∴可设函数解析式为 y a( x 3) 2 4 又过点 (1 8) ， 2 ∴ 8 a(1 3) 4 解得 a 1 ∴函数解析式为 y ( x 3) 2 4 即 y x 2 6 x 13
问题：此球能否投中？
1 2 解法二：前面解法相同，得y x 4 （0≤x≤8） 4 9 设篮球高度能达到篮圈中心3米高， 1 2 令y x 4 4=3， 9 解之，得x1 =1 （不合题意，舍去），x2 =7
即篮球与小明的水平距离没有达到8米，此球不能投中。
20 Q 抛物线经过点 0， 9 20 2 a0 4 4 9
20 当x 8时，y 9
此球没有达到篮圈中心距离地面3 米的高度，不能投中。
20 条件：小明球出手时离地面高 米， 9 小明与篮圈中心的水平距离为8米，
球出手后水平距离为4米时最高4米，
篮圈中心距离地面3米。
3.如图， 已知抛物线y=ax² +bx+3 （a≠0） 与 x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交 于点C． (1) 求抛物线的解析式；
y=-x²2x+3 （2）在（1）中抛物线 的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC的周长 最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在， 请说明理由.
2.一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高
用待定系数法求二次函数的解析式(共33张PPT)
a 3, 2
b 3. 2
∴所求的二次函数的表达式是 y 3 x2 3 x 1.
22
二 顶点法求二次函数的表达式
3.选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个 二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点 （-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 0=a(0-8)2+9. 解得 a 9 .
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∴所求的二次函数的解析式是 y 9 (x 8)2 9.
64
三 交点法求二次函数的表达式
5.选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数
的表达式.
解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x
二,例题讲解:
1,若抛物线y=x2-4x+c (1)过点A(1,3)求c (2)顶点在X轴上求c (1)点在抛物线上,将A(1,3)代入解析式
求得 c=6 (2)X轴上的点的特点 (x,0)
根据顶点的纵坐标为0求得:c=4
2,若抛物线 y=ax2+2x+c 的对称轴是直线 x=2 且函数的最大值是 -3,求 a,c
解： 设这个二次函数的表达式是 y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），
2.代：
（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
（坐标代入）
3.解： 方程（组） 4.还原： （写解析式）
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
26115用待定系数法求二次函数的解析式2
方法小结
用待定系数法确定二次函数解析式的 基本方法分四步完成： 一设、二代、三解、四还原 一设:指先设出二次函数的解析式
二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的 解析式，得到关于a、b、c的方程组 三解:指解此方程或方程组
❖2、会灵活根据已知条件选择不同形 式的表达式确定二次函数的解析式。
自学指导
❖认真阅读课本12页至13页内容并思考： ❖求二次函数y=ax²+bx+c的关键是什么？
其一般步骤是什么？
❖解三元一次方程组的基本思想是什么？
❖求二次函数y=a(x-h)²+k的关键是什么？ ❖其一般步骤是什么？
1.已知一抛物线与x轴的交点A（-2，0），B （1，0）且经过点C（2，8） （1）求该抛物线的解析式 （2）求该抛物线的顶点坐标
四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中
ห้องสมุดไป่ตู้
结束寄语
• 探索是数学的生命线.
复习提问：
1.求一次函数解析式的方法待是定什系数么法?
2. 二次函数的一般形式是什么?它有几个待 定系数? y=ax²+bx+c（a≠0)，有3个待定系数a 、b、c 3. 二次函数的顶点式是什么?它有几个 待定系数?
y=a(x-h)2+k （a≠0)，有3个待定系数 a、h、k
学习目标
❖1、了解二次函数的两种不同形式的 表达式。
2.已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2， 3)，求出对应的二次函数解析式
3、已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为 10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7, 求这个二次函数的解析试.
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交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数a≠0）
当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，
二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式y=a(x-
x1)(x-x2).因此当抛物线与x轴有两个交点为 （x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为y=a(xx1)(x-x2)，在把另一个点的坐标代入其中，即 可解得a，求出抛物线的解析式。
课堂小结
求二次函数解析式的一般方法：
▪ 已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式
▪ 已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标 通常选择顶点式
▪ 已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2和另一个点的坐标 通常选择交点式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地 选用一种函数表达式，
解：因为抛物线的顶点为（-1，-3）， 所以，设所求的二次函数的解析式为 y=a(x＋1)2-3
因为点（0，-5 ）在这个抛物线上，
所以a-3=-5， 解得a=-2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3 即：y=－2x2-4x－5。
顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数，a≠0).
解：设抛物线为y=a(x-20)2＋16
根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上，
∴ 所求抛物线解析式为
评价
通过利用条件中的顶 点和过原点选用顶点 式求解， 方法比较灵活
应用
例4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系 里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解：设抛物线为y=ax(x-40 ）
根据题意可知 ∵ 点(20，16)在抛物线上，
评价
选用两根式求解， 方法灵活巧妙，过 程也较简捷
课堂练习
1、一个二次函数，当自变量x 0时，函数值y 1， 当x 2与 1 时，y 0.求这个二次函数的解析式。
2 2、一个二次函数的图象经过（0，0），（1，1）， （1，9）三点，求这个二次函数的解析式。
26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式
回顾：用待定系数法求解析式
已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求 这个一次函数的解析式。
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,
因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），
所以
k+b=3
-2k+b=-12
解得 k=3，b=-6
一次函数的解析式为y=3x-6.
若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个 点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式 y=a(x-h)2+k.
特别地，当抛物线的顶点为原点是， h=0,k=0,可设函数的解析式为y=ax2.
当抛物线的对称轴为y轴时，h=0,可设函 数的解析式为y=ax2+k.
当抛物线的顶点在x轴上时，k=0，可设函 数的解析式为y=a(x-h)2.
解：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，
根据题意可知 抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点
可得方程组
评价 通过利用给定的条件
列出a、b、c的三元 一次方程组，求出a、 b、c的值，从而确定 函数的解析例4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系 里(如图所示)，求抛物线的解析式．
作业：
课本P15 习题26.1 第9题（1）、第10题。
交点式y=a(x-x1)(x-x2). x1和x2分别是抛物线
与x轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛
物线的对称轴对称，则直线 x x1 x2 就是抛物
线的对称轴.
2
应用
例4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系 里(如图所示)，求抛物线的解析式．
y=2x2-3x+5
用待定系数法求二次函数的解析式
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是
求出待定系数a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三个点的
坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出 a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
用待定系数法求二次函数的解析式
例2 已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴的 交点为（0，－5），求抛物线的解析式。
用待定系数法求二次函数的解析式
例3 已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？ 解：因为抛物线与x轴的交点为A(－1，0)，B(1，0) ，
所以设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1) 又∵ 点M( 0,1 )在抛物线上 ∴ a(0+1)(0-1)=1 解得： a=-1
用待定系数法求二次函数的解析式
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c 由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程得：a=2, b=-3, c=5 因此：所求二次函数是：