数学建模-遗传基因

数学模型—遗传模型

引言:

遗传是我们一直关心的一个话题，所谓常染色体遗传，是指后代从每个亲体的基因中各继承一个基因从而形成自己的基因型.如果所考虑的遗传特征是由一对基因A和a控制的，那么就有三种可能的基因型：AA，Aa和aa.例如，豌豆的高颈与矮颈是由一对遗传基因决定它的遗传症状，AA型是高颈，Aa型是高颈，而aa型是矮颈.这里的AA型和Aa 型表示了同一外部特征(高颈),则人们说基因a对于A是隐性的.当一个亲体的基因型为Aa，另一个亲体的基因型为aa，那么后代便可从aa型中得到基因a，从AB型中得到A或a，且是等可能性地得到。

1.问题提出

豌豆植物的基因型有AA，Aa和aa.现计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，试预测，若干年后，这种植物的

任一代的三种基因型分布情况.

2．模型假设

（1）按问题分析，后代从上一代亲体中继承基因A或a是等可能的,即有双亲体基因型的所有可能结合使其后代形成每种基因型的概率

分布情况如表5－1.

AA 1 1/2 0 1/4 0 0

Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0

aa 0 0 0 1/4 1/2 1 (2) 以和分别表示第n代植物中基因型为AA，Aa和aa的植物总

数的百分率，表示第n代植物的基因型分布，即有

(5 .1)

就是当n=0时，表示植物基因型的初始分布，所以有

3．模型建立

因为原问题是采用AA型与每种基因型相结合，因此这里只考虑遗传分布表的前三列.首先考虑第n代中的AA型，按上表所给数据，第n代

AA型所占百分率为

即第n-1代的AA与AA型结合全部进入第n 代的AA型，第n-1代的Aa型与AA型结合只有一半进入第n代AA型，第n-1代的aa型与AA型结合没有一个成为AA型而进入第n代AA型，

故有

(5 .2)

同理，第n代的Aa型和aa型所占有比率分别为

(5 .3)

(5 .4)

将(５.2)、(５.3)、(５.4) 式联立，并用矩阵形式表示，得到

(5

.5)

其中

利用(5 .5)进行递推，便可获得第n代基因型分布的数学模型

（5 .6)

(5.6)式明确表示了历代基因型分布均可由初始分布与矩阵M确定.

4．模型求解

这里的关键是计算.为计算简便，将M对角化，即求出可逆阵P，使，即有从而可计

算其中为对角阵，其对角元素为M的特征值，P为M的特征值所对应的特征向量.分别为

，

故有

即得

于是

即是

由上式可见，当时，有

即当繁殖代数很大时，所培育出的植物基本上呈现的是AA型，Aa型

的极少，aa型不存在.

5．模型分析

（1）完全类似地，可以选用Aa型和aa型植物与每一个其它基因型植物相结合从而给出类似的结果.特别是将具有相同基因植物相结合，并利用前表的第1、4、6列数据使用类似模型及解法而

得到以下结果：

这就是说，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情形下，后代仅具有基因AA与aa，而Aa消失了.