专题19 三角恒等变换-学会解题之高三数学万能解题模板【2021版】【解析版】
19高考数学题型方法全归纳 第三节 三角恒等变换
(2) sin( ) cos[( ) ] cos[ ( )]
2
2
cos cos( ) sin sin( )
2
2
cos sin sin cos
S : sin( ) sin cos cos sin
(3)
tan(
)
sin( cos(
)
sin cos cos cos
1 cos
; cos
1 cos ;
2
2
2
2
tan
2
sin 1 cos
1 cos sin a
.
辅助角公式
a sin b cos a2 b2 sin( ), tan b (ab 0), 角 的终边过点 (a,b) ，特殊 a
地，若 a sin b cos
a2 b2 或
a2
b2
.
解析(1)证法一：如图 4－32（a）所示，设角 , 的终边交单位圆于
P1(cos.sin ), P2 (cos( ),sin( )), ,由余弦定理得 P1P2 2 OP12 OP22 2OP1 OP2cos( ) [cos cos( )]2 [sin sin( )]2 2 2 cos( )
C.2
2
D. 2
变式 3
若 tan
1 tan
4 ，则 sin 2
(
).
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
5
4
3
2
二、建立已知角与未知角的联系（通过凑配角建立）
将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解
题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系，并根据这种关系来选择公
(完整word)三角函数恒等变换含答案及高考题,推荐文档
2,三角函数恒等变形的基本策略。
(1 )常值代换：特别是用"1”的代换，如 仁cos 2 0 +sin 2 0 =tanx • cotx=tan45 °等。
2 2 2 2 2 2(2)项的分拆与角的配凑。
如分拆项： sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x ;配凑角：a = (a+3)_3,3 =—2 (3)降次与升次。
(4)引入辅助角。
2 (4)化弦(切)法。
asin 0 +bcos 0 = • a b sin( 0 + )，这里辅助角 所在象限由a 、b 的符号确定， 角的值由tan=—确定。
a1.已知 tanx=2,求 sinx , cosx 的值.解：因为tan xsin x ，又 sin x + cos x=1 ,cosxsinx 2 cosx联立得Ex Ex 1解这个方程组2亦.sinxsin x5J5， cosx cosx 5 2.55 .5~5tan( 120 )cos(210 )sin( 480 )2.求——的值.tan( 690 ) sin( 150 ) cos(330 )解：原式tan( 120 180 ) cos(180 30 )sin( 360 120 ) tan( 720 30o )sin( 150 )cos(36030 )tan 60 ( cos30 )( sin 120 ) tan30 ( sin 150 )cos302,解：法一：因为 sinx cosx 2, si nx cosx所以 sinx — cosx=2(sinx + cosx),得到sinx= — 3cosx ,又sin 2x + cos 2x=1，联立方程组，解得所以 sinx — cosx=2(sinx + cosx),sin x3 .10 sinx 3.10 10 1010,-.10， cosx 10 cosx 10所以 sin xcosx310法 因为卄 sin x cosx 3.若sin x cosx2,，求 sinxcosx 的值.sin x cosx sin x cosxf(x)取最小值为 2 所以(sinx — cosx)2=4(si nx+ cosx)2, 所以 1 — 2sin xcosx=4 + 8sin xcosx ,所以有 sin x cosx 4.求证： 证明：法二: 10tan x sin x=tan x — sin x . 法 ：右边一 tan 2x — sinknan 2x — (tan 2x cos 2x)=tan 2x(1 — cos 2x)=tan 々 sin 2x , 冋题得证.左边 =tan 2x sin 2x=tan 2x(1 — cos 2x)=tan 2x — tan 2x c os 2x=tan 2x — sin 2x ,问题得证. x n 5.求函数y 2sin( )在区间[0, 2 ]上的值域.2 6解：(1)y=sin 2x — cosx + 2 = 1 — cos 2x — cosx + 2= — (cos 2x + cosx) + 3,利用二次函数的图象得到 y [1 d].，4(2)y = 2sinxcosx — (sinx + cosx)=(sinx + cosx)2— 1 — (sinx + cosx)，令 t=sinx + cosx 、. 2 , sin(x J ，则4t [2, 2 ]则，y t 2 t 1,利用二次函数的图象得到y [ —,1.2].47.若函数y=Asin@x 妨(3>0, $>0)的图象的一个最高点为(2^. 2)，它到其相邻的最低点之间的图 象与x 轴交于(6, 0),求这个函数的一个解析式.1 解：由最高点为(2,、、2),得到A ,2，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是 14个周期，这样求得T 4 , T=16，所以 n48又由血 於sin(上2)，得到可以取-.y J2sin(-x -).848 48.已知函数 f(x)=cos 4x — 2sinxcosx — sin 4x .n(i )求f(x)的最小正周期；(n )若x [0,—],求f(x)的最大值、最小值.21 sin x数y的值域.3 cosx解：(I )因为 f(x)=cos 4x — 2sinxcosx — sin4x = (cos 2x — sin 2x)(cos 2x + sin 2x) — sin2x (cos 2 x sin 2 x) sin 2x cos2x解: 因为O W x < 2 n,所以 n xn-6 2nin 由正弦函数的图象,6 6si n (x £ [2 6 y €[ — 1, 2]. 6.求下列函数的值域. (1)y = sin 2x — cosx+2;得到 所以 討,(2)y = 2sin xcosx — (sinx + cosx).令 t=cosx ，则 t [ 1,1], y (t 2t) 3(t A 213(t1)213sin 2x 2s in(n2x) 、2s in (2x —)4 4所以最小正周期为n(n )若x [0,丄]，则(2x )[，-],所以当x=0时，f(x)取最大值为'• 2 sin( ) 1;当x —时,2 4 4 4 4 8f(x)取最小值为 2说明：利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的办法得到)，进行弦、切互化，就会使解题过o 3 .已知函数 f (x) 4sin x 2sin 2x(1 )求f (x)的最小正周期、f (x)的最大值及此时x 的集合; (2)证明：函数f (x)的图像关于直线x 卫对称。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知中，那么角=【答案】π/4【解析】略2.已知f(α)＝(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．【答案】(1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sinα＝，∴sinα＝－，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝－cosα＝.【解析】略3.已知函数为奇函数，且，其中（1）求的值;（2）若，求的值．【答案】（1） , ；（2）【解析】（1）由为奇函数，可得，函数化为，又根据可求；（2）由（1）可得，由得又因为，所以，再根据两角和的正弦可求试题解析：因为为奇函数，所以，，则（2），因为，即又因为，所以，【考点】函数的奇偶性，三角函数的性质4.设命题函数是奇函数；命题函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．为真B．为假C．为假D．为真【答案】C【解析】因为是偶函数，所以命题是假命题，由余弦函数的性质可知命题是假命题，选项C正确.【考点】1.三角函数性质；2.逻辑联结词与命题.5.（本小题满分12分）某同学用五点法画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：5-5（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）若函数的图像向左平移个单位后对应的函数为，求的图像离原点最近的对称中心．【答案】（1）；（2）．【解析】第一问结合三角函数的性质，确定出对应的值，完善表格，从而确定出函数解析式，第二问利用图形的平移变换，将函数的解析式求出来，利用函数的性质，找出函数图像的对称中心，给赋值，比较从而确定出离原点最近的对称中心．试题解析：（1）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：050-50函数表达式为（2）函数图像向左平移个单位后对应的函数是，其对称中心的横坐标满足，所以离原点最近的对称中心是．【考点】三角函数的性质，图像的变换．6.（本小题满分10分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）设，求的值域和单调递减区间．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再求出周期即可；（2）先根据x的范围求得，再结合正弦函数的性质可得到函数f（x）的值域，求得单调递减区间．试题解析：（1）（2）∵，，的值域为．的递减区间为．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性7.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，已知，向量，且∥．（1）求角的大小；（2）若成等差数列，求边的大小．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数量积运算、正弦定理即可得出；（2）由成等差数列，可得，或，即2a=b．再利用直角三角形的边角关系、余弦定理即可得出．试题解析：（1）∥，得，由正弦定理可得，（2）成等差，所以化简整理得：即或得或若若【考点】正弦定理；平面向量数量积运算8.在中，角所对的边为．已知，且．（1）求的值；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得，的值，再利用三角形面积计算公式即可求得的值．试题解析：（1）∵，∴①，又∵，∴②，联立①②，即可求得，；（2）由（1）结合余弦定理可知，或，由已知易得，∴，∴，．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．9.（本题满分12分）已知，,函数．（1）求的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）的最小正周期为，其对称中心的坐标为（）（）；（2）的值域为．【解析】（1）先用降幂公式和辅助角公式，将进行化简整理得到，然后根据正弦函数的周期公式可得函数的最小正周期，进而求出函数的零点，即为函数的图像对称中心的坐标；（2）根据可得到，最后结合正弦函数的图像与性质可得函数的值域．试题解析：（1）因为=，所以的最小正周期为，令，得，∴故所求对称中心的坐标为（）（）．（2）∵，∴，∴，即的值域为．【考点】1、三角函数中的恒等变换；2、三角函数的周期性及其求法；3、正弦函数的图像及其性质．【方法点晴】本题考查了三角函数中的恒等变换、三角函数的周期性及其求法和正弦函数的图像及其性质，重点考查学生对三角函数的基本概念、基本性质和基本原理，属中档题．解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数的表达式化简为同角的正弦或余弦形式．因此需要大家应熟练掌握相关公式并结合三角函数的图像及其性质进行求解．10.若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得：，解得，选A．【考点】正切函数性质11.（本小题满分12分）已知向量，．（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求当时，的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中，利用，得出，把转化为的式子，从而求解；（2）熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如化为，研究函数的性质由的取值范围确定的取值范围，再确定的取值范围．试题解析：（1），，，（2）由正弦定理得，得或，，因此，，即．【考点】1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的化简；3、求三角函数的值域．12.（2012秋•泰安期中）已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）﹣．【解析】（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1，即可求得结论．解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数的最小正周期为π∴=π∴ω=1；（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=∴sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1=﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．13.已知向量，且函数在时取得最小值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分别是内角的对边，若，，，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，求的值；（Ⅱ）先求出，再利用正弦定理，即可求的值．试题解析：（Ⅰ）由于（Ⅱ）由上知,于是由正弦定理得:【考点】正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，向量的数量积14.已知，函数在单调递减，则的取值范围是．【答案】【解析】，，由题意，所以，由于，所以只有，．【考点】三角函数的单调性．【名师】求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ（ω＞0）”视为一个“整体”；②A＞0（A＜0）时，所列不等式的方向与y＝sin x（x∈R），y＝cos x（x∈R）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．15.（2015秋•南京校级期中）将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得的图象关于直线x=对称，则m的最小值为．【答案】【解析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．解：将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），可得y=2sin[2（x+m）﹣]=2sin（2x+2m﹣）的图象．∵所得的图象关于直线x=对称，∴2•+2m﹣=kπ+，k∈Z，即 m=+，k∈Z，则m的最小值为，故答案为：．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．16.（2015秋•昌平区期末）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间是．）【解析】（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的单调性即可求函数f（x）的单调递减区间．解：（Ⅰ）==所以最小正周期．（Ⅱ）由，得．所以函数f（x）的单调递减区间是．）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．17.已知函数．（1）求的最小正周期和在上的单调递减区间；（2）若为第四象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）对的表达式进行三角恒等变形，利用三角函数的性质即可求解；（2）利用同角三角函数的基本关系求得的值后即可求解．试题解析：（1）由已知，所以最小正周期，由，得，故函数在上的单调递减区间；（2）因为为第四象限角，且，所以，所以．【考点】三角函数综合．18.已知是第二象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由,得，又∵是第二象限角,∴，∴原式=；故选C．【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式．19.在中，角所对的边分别为，且，则的最大值为_____.【答案】【解析】由及正弦定理得，又因为，于是可得，所以，所以，则的最大值为，故答案填.【考点】1、正弦定理；2、两角和与差的三角函数；3、基本不等式.20.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得，再向左平移个单位，得，令，解得，令，得，即所得函数图象的一条对称轴的方程是，故选D．【考点】三角函数的图象变换与三角函数的性质．21.设平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用向量数量积的坐标表示求出，利用商数关系求出得值，再利用二倍角公式求出的值，最后代入到的展开式即可求得；（2）欲求，先求出，再根据求的范围，从而可得的取值范围.试题解析：（1）因为，所以，∴，∴.（2），，.【考点】1、向量数量积的坐标表示；2、二倍角公式；3、三角函数；4、商数关系；5、向量的模．22.设中的内角所对的边长分别为，且.（1）当时，求角的度数；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出,再由正弦定理求出,求出角；（2）求三角形面积的最大值,即求的最大值,由,,求出,就可以求出面积的最大值.试题解析：解：（1）因为，所以.因为，由正弦定理可得.因为，所以是锐角，所以.（2）因为的面积，所以当最大时，的面积最大.因为，所以.因为，所以，所以（当时等号成立）.所以面积的最大值为.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.重要不等式.23.在中，内角的对边为，已知.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】根据正弦定理可得，根据内角和定理和两角和的正弦公式整理可得，即得角的值；（2）由的面积为，求得的值，根据余弦定理表示构造的另一个方程，解方程组即可求得.试题解析：（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，又∵是三角形的内角，∴（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴【考点】正余弦定理解三角形.24.的三个内角满足：，则（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由已知条件以及正弦定理可得：，即，再由余弦定理可得，所以，故选B.【考点】正弦定理、余弦定理.25.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．（I）求的值；（II）若角为锐角，求的值及的面积．【答案】（I）；（II）【解析】（I）根据题意和正弦定理求出a的值；（II）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A 的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．试题解析：（I）因为，且，所以．因为，由正弦定理，得．（II）由得．由余弦定理，得．解得或（舍负）．所以．【考点】正弦定理；余弦定理26.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】由题意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故选C.【考点】三角函数的图象和性质．27.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】和差倍半的三角函数．28.在中，角所对的边分别为,．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理将边统一成角：，再利用三角形内角关系、诱导公式、两角和正弦公式将三角统一成两角：，最后根据同角三角函数关系将弦化切：（Ⅱ）由（Ⅰ）易得，已知两角一对边，根据正弦定理求另一边：，利用三角形内角关系求第三角的正弦值：，最后根据面积公式求面积：试题解析：解：（Ⅰ）由及正弦定理得.所以,所以.（Ⅱ）,所以, ,,所以的面积为.【考点】正弦定理，弦化切【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.29.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．30.若函数的最大值为5，则常数______.【答案】【解析】，其中，故函数的最大值为，由已知得，，解得.【考点】三角函数的图象和性质.【名师】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.31.定义在区间[0，]上的函数的图象与的图象的交点个数是 .【答案】7【解析】由，因为，所以故两函数图象的交点个数是7.【考点】三角函数图象【名师】求函数图象的交点个数，有两种方法：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解；二是数形结合，分别画出函数图象，数出交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其是要明确函数的增长幅度.32.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（A）（B）（C）2 （D）3【答案】D【解析】由余弦定理得，解得（舍去），选D.【考点】余弦定理【名师】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！33.将函数y=2sin（2x+）的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x–）D．y=2sin（2x–）【答案】D【解析】函数的周期为，将函数的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为，故选D.【考点】三角函数图像的平移【名师】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.34.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝．【答案】5【解析】，，所以，．【考点】解三角形．【名师】在解直角三角形时，直角三角形中的三角函数定义是解题的桥梁，利用它可以很方便地建立边与角之间的关系．35.设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为直线是它的一条对称轴，排除B，D，因为图象过点，排除选项A,选C.【考点】三角函数图象与性质.36.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则角等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，故应选A。
2021新高考数学二轮复习技巧大全 百天冲刺专题练习19 三角恒等变换(解析版)
1.例题
【例 1】计算：
(1)cos(－15°)；
(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.
【解析】(1)方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝ 3× 2＋1× 2＝ 6＋ 2.
2 222
4
方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝ 2× 3＋ 2×1＝ 6＋ 2. 2 2 22 4
满足 sin(α＋β)＝ 5 ，则 cos β的值为________． 13
【答案】 －56或16 65 65
【解析】 由角α的终边过点 P 3 , 4 ，得 sin α＝－4，cos α＝－3.
5 5
5
5
由 sin(α＋β)＝ 5 ，得 cos(α＋β)＝±12.
13
13
由β＝(α＋β)－α，得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
80°cos
80°＝23sin1
·sin 20°
160°＝2s3isnin2200°°＝18.
【例 3】(1)1＋tan 15°＝________. 1－tan 15°
【解析】 3
原式＝ tan 45°＋tan 15° ＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3. 1－tan 45°tan 15°
(2)化简：tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°.
【解析】
方法一 tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°
＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋ 3tan 23°tan 37°
2021高三数学北师大版(理)课后限时集训：简单的三角恒等变换含解析
7．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈ ，则α＋β＝________.
－ π[依题意有
∴tan(α＋β)＝ ＝ ＝1.
又
∴tanα＜0且tanβ＜0，
∴－ ＜α＜0且－ ＜β＜0，
即－π＜α＋β＜0，
结合tan(α＋β)＝1，
得α＋β＝－ .]
A. B. 或－
C.－ 或 D.－
D[由题意得tanα＋tanβ＝－3 ＜0，tanαtanβ＝4＞0，所以tan(α＋β)＝ ＝ ，且tanα＜0，tanβ＜0，又由α，β∈ 得α，β∈ ，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－ .]
2．已知cos ＝－ ，则sin 的值为( )
A. B．±
C．－ D.
2021高三数学北师大版（理）课后限时集训：简单的三角恒等变换含解析
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一、选择题
1．已知sin ＝cos ，则tanα＝( )
A．1B．－1
C． D．0
B[∵sin ＝cos ，
∴ cosα－ sinα＝ cosα－ sinα，
所以f ＝ ＋ sin
＝ ＋ sin ＝ ＋ .
又因为sinα＝ ，且α∈ ，
所以cosα＝－ ，
所以f ＝ ＋
＝ .
1．已知α∈ ，β∈ ，且cos ＝ ，sin ＝－ ，则cos(α＋β)＝________.
－ [∵α∈ ， －α∈ ，
cos ＝ ，∴sin ＝－ ，
∵sin ＝－ ，∴sin ＝ ，
(2)当x∈ 时，求函数f(x)的值域．
2021高考数学一轮复习课件_3.6简单的三角恒等变换
ππ 3．(2012·山东高考)若θ∈[ 4 ， 2 ]，sin
2θ＝3 8 7，则
sin θ＝( )
3
4
7
3
A.5
B.5
C. 4
D.4
ππ
π
【解析】 ∵θ∈[ 4 ， 2 ]，∴2θ∈[ 2 ，π]．
∴cos 2θ＝－ 1－sin22θ＝－18，
∴sin θ＝
1－cos 2
2θ＝34.
α
2 ＋cos
α2)(sin
α
2 －cos
α
2)
αα ＝cos2 2 －sin2 2 ＝cos α.
(1)(2012·重庆高考)sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
1 C.2
3 D. 2
(2)(2013·惠州模拟)已知cos(π4 －α)＝1123，α∈(0，π4 )，则
αα·csoins
α α＝2.
1．本题求解的关键在于：切化弦、通分(约分)，然后 灵活运用倍角公式及其变形．
2．三角函数式的化简原则：一是统一角，二是统一函 数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．
（1＋sin 化简
α＋cos α）（sin 2＋2cos α
α
2 －cos
α
2 ） (π＜α
2．用sin
α，cos
α表示tan
α 2
tan α2＝1＋sincosαα＝1－sincosαα.
3．辅助角公式 asin α＋bcos
α＝___a_2_＋__b_2__si_n_(_α__＋__φ__)_
(其中tan
2021年高考数学·三角恒等变形的10大技巧
所以
1 tan
4sin2 2 cos2 2sin cos
,等式右边的式子分子分母同除 cos2
可得 4 sin2 2 cos2 2sin cos
4 tan2 2 2 tan
2
tan
1 tan
，
1 所以 tan
2
tan
1 tan
1 ,即 tan
1 tan
2 tan
1 tan15
③
1 tan15
其中，结果为 3 的式子的序号是_____.
【解析】①∵tan60°＝tan（25°+35°）
tan25 tan35 1 tan25tan35
3
tan25°+tan35° 3 tan25°tan35° 3 1 tan25tan35 3 tan25°tan35° 3
x 2
4
sin 2
x
sin x [1
cos( x
2
)]
sin 2
x
sin x
f
(
x)
在区间
2 5
, 5 6
上是增函数，
0, 2 5
x
5 ， 5
6
6
2
,0
3 5
当x
2
2k (k
Z ),
x
2
2k
(k
Z)
时，
f
(x)
取最大值，而
f
(x)
在[0, ] 上恰好取一次最大值
22
13
5
A． 7 25
B． 7 25
56
C．
65
D． 56 65
【解析】因为 tan
三角恒等变换及解三角形-2021届新高考数学知识点总结与题型归纳(解析版)
第12讲：三角恒等变换及解三角形考点1：三角恒等变形一、三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; (2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β; (3)tan(α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β(α，β，α+β≠kπ+π2，k ∈Z );变形式tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)（α，β，α+β≠kπ+π2，k ∈Z ）．2. 二倍角公式(1)sin 2α=2sin αcos α; 变形式sin αcos α=12sin 2α．(2)cos 2α=cos 2α−sin 2α=1−2sin 2α=2cos 2α−1; 变形式cos 2α=cos 2α+12；sin 2x =1−cos 2α2．(3)tan 2α=2tan α1−tan 2α． 3. 辅助角公式y =a sin α+b cos α=√a 2+b 2(√a 2+b 2α+√a 2+b 2α)=√a 2+b 2sin (α+φ)，其中φ所在的象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ=ba 确定． 4. 化简中常用1的技巧“1”的代换1=sin 2α+cos 2α；1=2cos 2α−cos 2α，1=cos 2α+sin 2α，1=tan π4．典例精讲【典例1】已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2＝6，则z＝x2+4y2的取值范围为（）A．[4，12] B．[4，+∞）C．[0，6] D．[4，6]【分析】x2+2xy+4y2＝6变形为（x+y）2+（√3y）2＝6，设x+y=√6cosθ，√3y＝sinθ，θ∈[0，2π）．代入z＝x2+4y2，利用同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式化简整理即可得出．【解答】解：x2+2xy+4y2＝6变形为（x+y）2+（√3y）2＝6，设x+y=√6cosθ，√3y=√6sinθ，θ∈[0，2π）．∴y=√2sinθ，x=√6cosθ−√2sinθ，∴z＝x2+4y2＝（√6cosθ−√2sinθ）+4（√2sinθ）＝4sin2θ﹣4√3sinθcosθ+6，＝2×（1﹣cos2θ）﹣2√3sin2θ+6＝8﹣4sin（2θ+π6），∵sin（2θ+π6）∈[﹣1，1]．∴z∈[4，12]．故选：A．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【典例2】已知函数f（x）＝sin（2x−π3），若方程f（x）=13在（0，π）的解为x1，x2（x1＜x2），则sin（x1﹣x2）＝（）A．−2√23B．−√32C．−12D．−13【分析】由已知可得x2=5π6−x1，结合x1＜x2求得x1的范围，再由sin（x1﹣x2）＝sin（2x1−5π6）＝﹣cos（2x1−π3）求解．【解答】解：∵0＜x＜π，∴2x−π3∈（−π3，5π3），又∵x 1，x 2是sin （2x −π3）=13的两根，可知x 1+x 22=5π12，∴x 2=5π6−x 1，∴sin （x 1﹣x 2）＝sin （2x 1−5π6）＝﹣cos （2x 1−π3）， ∵x 1＜x 2，x 2=5π6−x 1，∴0＜x 1＜5π12，则2x 1−π3∈（−π3，π2），故cos （2x 1−π3）=2√23， ∴sin （x 1﹣x 2）=−2√23． 故选：A ．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y ＝A sin （ωx +φ）型函数的图象和性质，是中档题．【典例3】已知s in2α=23，则tanα+1tanα=（ ） A ．√3 B ．√2 C ．3D ．2【分析】由二倍角化简，sin2α＝2sin αcos α，可得2sinαcosαsin 2α+cos 2α=23，弦化切，即可求解．【解答】解：由sin2α＝2sin αcos α， 可得2sinαcosαsin 2α+cos 2α=23， ∴2tanαtan 2α+1=23，即tan 2α﹣3tan α+1＝0． 可得tanα+1tanα=3． 故选：C ．【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．【典例4】已知1sin cos 2αα+=，(0,)απ∈，则1tan (1tan αα+=- )AB． C．D．【分析】把已知等式两边平方，求得sin cos αα，进一步得到sin cos αα-的值，联立求得sin α，cos α，得到tan α，代入得答案．【解答】解：由1sin cos 2αα+=，(0,)απ∈，得112sin cos 4αα+=，32sin cos 4αα∴=-， 则sin 0α>，cos 0α<，sin cos αα∴-====联立1sin cos 2sin cos αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-⎪⎩sin α=，cos α=，tan α==．∴11tan 1tan αα-+==- 故选：B ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题． 【典例5】已知−π2＜α＜π2，2tan β＝tan2α，tan （β﹣α）＝﹣8，则sin α＝（ ）A ．−√53 B ．−2√55 C ．√53D ．2√55【分析】2tan β＝tan2α，∴2tan （β﹣α+α）=2tanα1−tan 2α，变形可得tan α＝﹣2，可得sin α=−2√55．【解答】解：∵2tan β＝tan2α，∴2tan （β﹣α+α）=2tanα1−tan 2α，∴2tan(β−α)+2tanα1−tan(β−α)tanα=2tanα1−tan 2α，∴−16+2tanα1+8tanα=2tanα1−tan 2α，化简得tan α＝﹣2，∴α∈（−π2，0），∴sin α=−2√55． 故选：B ．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．【典例6】若α∈(π2，π)，且3cos2α=2sin(π4−α)，则cos2α的值为（ ）A ．−4√29 B ．4√29C ．−79D ．79【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可求cos α+sin α=√23①，两边平方，解得sin2α=−79，可求cos α﹣sin α=−√(cosα−sinα)2=−43，②由①+②可得cos α=√2−46，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解cos2α的值． 【解答】解：∵α∈(π2，π)，且3cos2α=2sin(π4−α)， ∴3（cos 2α﹣sin 2α）=√2（cos α﹣sin α），∴3（cos α﹣sin α）（cos α+sin α）=√2（cos α﹣sin α）， ∴cos α+sin α=√23①，或cos α﹣sin α＝0，（舍去），∴两边平方，可得：1+sin2α=29，解得：sin2α=−79，∴cos α﹣sin α=−√(cosα−sinα)2=−√1−sin2α=−√1−(−79)=−43，②∴由①+②可得：cos α=√2−46，可得：cos2α＝2cos 2α﹣1＝2×（√2−46）2﹣1=−4√29． 故选：A ．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．【典例7】已知sin()4πα+=(0,)απ∈，则cos(2)6πα+= ．【分析】根据条件得到sin cos αα+=，sin cos αα-==，进而求得sin α，cos α，再利用两角和差公式运算即可【解答】解：sin()cos )4πααα+=+=，则有sin cos αα+=， 两边平方可得：11sin 23α+=，则2sin 23α=-，即有2sin cos 0αα<又因为(0,)απ∈，所以sin 0α>，cos 0α<，则sin cos αα-=，（法一）将sin cos αα-与sin cos αα+联立后解得sin α=，cos α=，则22cos 22cos 121αα=-=⨯-=，所以12cos(2)(()623πα+=-⨯-=．（法二）因为22cos 2cos sin (sin cos )(sin cos )ααααααα=-=-+-==所以12cos(2)(()623πα+=-⨯-=．【点评】本题考查两角和差的三角函数的求值，涉及方程思想，属于中档题 【典例8】已知α，β是函数1()sin cos 3f x x x =+-在[0，2)π上的两个零点，则cos()(αβ-= )A ．1-B ．89-C． D ．0【分析】利用函数与方程之间的关系，结合三角函数的诱导公式，同角的三角函数的关系以及两角和差的三角公式分别进行转化求解即可．【解答】解：解法一：依题意，()()0f f αβ==，故1sin cos 3αα+=，由221sin cos 31sin cos αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 得29sin 3sin 40αα--=，29cos 3cos 40αα--=且sin cos αα≠， 所以sin α，cos α是方程29340(*)x x --=的两个异根．同理可证，sin β，cos β为方程(*)的两个异根．可以得到sin sin αβ≠，理由如下：假设sin sin αβ=，则cos cos αβ=，又α，[0β∈，2)π，则αβ=，这与已知相悖，故sin sin αβ≠．从而sin α，sin β为方程(*)的两个异根，故4sin sin 9αβ=-．同理可求4cos cos 9αβ=-，所以8cos()cos cos sin sin 9αβαααβ-=+=-．解法二：令()0f x =，得1sin cos 3x x +=．令()sin cos g x x x =+，即())4g x x π=+，则α，β即为()g x 与直线13y =在[0，2)π上交点的横坐标， 由图象可知，524αβπ+=，故52πβα=-，又1)43πα+=，所以258cos()cos(2)cos[2()3]cos2()12sin ()24449ππππαβααπαα-=-=+-=-+=-++=-．解法三：依题意，不妨设02βαπ<<，则点(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ为直线103x y +-=与单位圆的两个交点，如图所示．取AB 中点为H ，则OH AB ⊥，记AOH θ∠=．则22αβπθ-=-， 所以，2cos()cos(22)cos 22cos 1αβπθθθ-=-==-．另一方面，1|00|OH +-=，1OA =，故cos θ=，从而28cos()219αβ-=⨯-=-．故选：B ．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用函数与方程的关系，以及利用三角函数辅助角公式，同角关系以及两角和差的三角公式进行转化计算是解决本题的关键．难度中等．考点2：解三角形一、三角形当中的角与角之间的关系1. A+B+C=π2. sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C3. cos A=−cos(B+C)=−(cos B cos C−sin B sin C)4. tan A=−tan(B+C)=−tan B+tan C1−tan B tan C二、正弦定理1. 正弦定理：asin A =bsin B=csin C=2R；（R为三角形外接圆半径）2. 正弦定理变形式：(1)sin A=a2R ；sin B=b2R：sin C=c2R(2)a:b:c=sin A:sin B:sin C3. 正弦定理的应用(1)已知两角和任意一边，求另一角和其它的两条边(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其中的对角三、余弦定理1. 余弦定理：a2=b2+c2−2bc cos A；b2=c2+a2−2ac cos B；c2=a2+b2−2ab cos C；2. 余弦定理变形式：cos A=b2+c2−a22bc；cos B=a2+c2−b22ac；cos C=a2+b2−c22ab．3. 余弦定理的应用(1)已知三边，求各角(2)已知两边和它们的夹角，求第三个边和其它的两个角(3)已知两边和其中一边的对角，求其它的角和边．四、面积公式1. SΔ=12aℎa=12bℎb=12cℎc(ℎa、ℎb、ℎc分别表示a、b、c上的高)；2. SΔ=12ab sin C=12bc sin A=12ac sin B；3. SΔ=12ab sin C=abc4R；4. SΔ=12r(a+b+c)（r为三角形内切圆半径）．典例精讲【典例1】在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知b=3√5，c=6√2，tan（A+π4）＝2，则a＝（）A．15 B．3√5C．3 D．6√2【分析】先根据已知可得cos A的值，再根据余弦定理可得a．【解答】解：由tan（A+π4）=tanA+11−tanA=2，解得tan A=13，∴cos A=3√1010，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝45+72﹣36√10×3√1010=9，∴a＝3．故选：C．【点评】本题考查了余弦定理，属中档题．【典例2】如图，在△ABC中，点D在边BC上，且BD＝2DC，∠DAC＝30°，AD＝2，△ABC 的面积为3√3，则线段AB的长度为（）A．3 B．2√2C．2√3D．3√2【分析】由已知可求△ADC的面积为√3，利用三角形的面积公式可求AC＝2√3，根据余弦定理在△ACD中可求CD＝2，由已知可求∠C＝30°，BD＝4，在△ABC中，根据余弦定理即可解得AB的值．【解答】解：∵BD＝2DC，∠DAC＝30°，AD＝2，△ABC的面积为3√3，∴△ADC的面积为√3，可得：12AD⋅AC⋅sin∠DAC=12×2×AC×12=√3，∴解得：AC＝2√3，∵△ACD中，CD2＝12+4﹣2×2√3×2×cos30°＝4，∴解得CD＝2，∵∠DAC＝30°，AD＝2，BD＝2DC，∴∠C＝30°，BD＝4，∴在△ABC中，AB2＝（2√3）2+62﹣2×2√3×6×cos30°＝12，解得：AB＝2√3．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，注重考查了运算能力和转化的思想方法，本题的难点在于将△ABC的面积转化为△ADC的面积，这样才能把已知条件转移到同一个三角形中，再根据正弦定理，余弦定理得出相应的边长，属于中档题．【典例3】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝﹣sin B sin C，c b =12+√3，则tan B＝（）A．2 B．12C．2+2√33D．3(√3−1)4【分析】由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣a2＝﹣bc，再由余弦定理可得cos A=−12，可得A ＝60°，利用正弦函数，三角函数恒等变换的应用化简已知等式从而求得tan B的值．【解答】解：在△ABC中，由sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝﹣sin B sin C，利用正弦定理可得：a2﹣b2﹣c2＝﹣bc，再由余弦定理可得：cos A=b 2+c2−a22bc=bc2bc=12，∴A＝60°，∵cb =12+√3，由正弦定理可得：sin C＝sin B（12+√3），可得：sin（2π3−B）＝sin B（12+√3），√32cos B+12sin B=12sin B+√3sin B，∴可得：tan B=12．故选：B．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，根据三角函数的值求角．【典例4】如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝√3−1 ．【分析】先在△ADB中用正弦定理求得BD，再在△DBC中用正弦定理求得sin∠DCB，然后根据∠DCB＝θ+π2可求得．【解答】解：∵∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ADB＝30°，在△ADB中，由正弦定理得：ABsin∠ADB =BDsin∠DAB，∴BD=ABsin∠ADBsin∠DAB═25（√6−√2），在△DBC中，CD＝25，∠DBC＝45°，BD＝25（√6−√2），由正弦定理BDsin∠DCB =CDsin∠DBC，∴sin∠DCB=BDsin45°CD=√3−1，∴sin（θ+π2）=√3−1，∴cosθ=√3−1．故答案为：√3−1．【点评】本题考查了正弦定理以及诱导公式，属中档题．【典例5】如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D 处的北偏西15︒、北偏东45︒方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60︒方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A ．B ．C ．20(1海里D ．40海里【分析】分别在ACD ∆和BCD ∆中利用正弦定理计算AD ，BD ，再在ABD ∆中利用余弦定理计算AB ． 【解答】解：连接AB ，由题意可知40CD =，105ADC ∠=︒，45BDC ∠=︒，90BCD ∠=︒，30ACD ∠=︒，45CAD ∴∠=︒，60ADB ∠=︒，在ACD ∆中，由正弦定理得40sin30sin 45AD =︒︒，AD ∴=， 在Rt BCD ∆中，45BDC ∠=︒，90BCD ∠=︒，BD ∴==在ABD ∆中，由余弦定理得AB = 故选：A ．【点评】本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键，属于中档题．【典例6】已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，若满足22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为( )A B C D ．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求222221(83)416c S a b -=-，进而利用基本不等式，从而可求222458()5165S c --，从而利用二次函数的性质可求最值． 【解答】解：由三角形面积公式可得：1sin 2S ab C =， 可得：222222222211(1cos )[1()]442a b c S a b C a b ab+-=-=-，22228a b c ++=，22282a b c ∴+=-，可得：222822a b c ab +=-，解得：24ab c -，当且仅当a b =时等号成立，22222221[1()]42a b c S a b ab+-∴=-2222183[1()]42c a b ab -=- 22221(83)416c a b -=-22221(83)(4)416c c ---42516c c =-+22458()5165c =--，当且仅当a b =时等号成立，∴当285c =时，42516c c -+取得最大值45，S ． 故选：B ．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．【典例7】ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a、b 、c，已知sin sin sin sin a b B c C a A c B =+=+，则ABC ∆的周长的最大值是()A．B．3+C．D．4【分析】由已知利用余弦定理可求A ，利用3a =和sin A 的值，根据正弦定理表示出b 和c ，代入三角形的周长a b c ++中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可得到周长的最大值．【解答】解：sin sin sin sin a b B c C a A c B +=+，∴由正弦定理可得：222bc a bc +-=，2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===，(0,)A π∈，3A π∴=， ∴由a2sin sin sin a b cA B C===，2sin b B ∴=，2sin c C =，则2sin 2sin a b c B C +++22sin 2sin()3B B π+-3sin B B =+)6B π++，可知周长的最大值为故选：A．【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．综合练习一．选择题（共5小题）1．已知函数()sin 2cos f x x x =+，若直线x θ=是曲线()y f x =的一条对称轴，则cos2θ=35． 【分析】引入辅助角ϕ，根据对称性的性质可得，sin()1θϕ+=±，从而12k θϕππ+=+，k z ∈，结合诱导公式及二倍角公式即可求解．【解答】解：()sin 2cos )(sin f x x x x ϕϕ=+=+=，cos ϕ=的一条对称轴方程是x θ=， sin()1θϕ∴+=±，12k θϕππ∴+=+，k z ∈．12k θϕππ∴=-++，k z ∈．222k θϕππ∴=-++，k z ∈，23cos22cos 15ϕϕ=-=-，3cos2cos25θϕ∴=-=．故答案为：35．【点评】本题考查正弦函数的性质，突出考查其对称性，考查分析、运算能力，属于中档题．2．若关于x 的方程（sin x +cos x ）2+cos2x ＝m 在区间[0，π）上有两个根x 1，x 2，且|x 1﹣x 2|≥π4，则实数m 的取值范围是（ ）A．[0，2）B．[0，2] C．[1，√2+1] D．[1，√2+1）【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果．【解答】解：关于x的方程（sin x+cos x）2+cos2x＝m在区间[0，π）上有两个根x1，x2，方程即sin2x+cos2x＝m﹣1，即 sin（2x+π4）=√2，∴sin（2x+π4）=√2在区间[0，π）上有两个根x1，x2，且|x1﹣x2|≥π4．∵x∈[0，π），∴2x+π4∈[π4，9π4），∴−√22≤2≤√22，求得 0≤m≤2，故选：B．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．3．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的一个锐角为α，且小正方形与大正方形面积之比为9：25，则sin2α的值为（）A．49B．59C．916D．1625【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系可得 5sinα﹣5cosα＝3，两边平方并利用二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．【解答】解：∵小正方形与大正方形面积之比为9：25，设小正方形的边长为3，则大正方形边长为5，由题意可得，小直角三角形的三边分别为5cosα，5sinα，5，∵4个小直角三角形全等，故有5cosα+3＝5sinα，即 5sinα﹣5cosα＝3，平方可得sin2α=1625，故选：D ．【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，二倍角的正弦公式的应用，属于中档题． 4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示ABC ∆的面积，若cos cos sin c B b C a A +=，222)S b a c =+-，则(B ∠= )A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin 1A =，结合A 的范围可求090A =，由余弦定理、三角形面积公式可求tan C ，结合范围00090C <<，可求C 的值，根据三角形面积公式可求B 的值．【解答】解：由正弦定理及cos cos sin c B b C a A +=， 得2sin cos sin cos sin C B B C A +=，可得：2sin()sin C B A +=， 可得：sin 1A =， 因为000180A <<， 所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及222)S b a c =+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =， 整理得tan C = 又00090C <<， 所以060C =， 故030B =． 故选：D ．【点评】本题主要考查正、余弦定理、两角和的正弦函数公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，c＝2√3，b sin A=acos(B+π6)，则b=（）A．1 B．√2C．√3D．√5【分析】由正弦定理得b sin A＝a sin B，与b sin A＝a cos（B+π6），由此能求出B．由余弦定理即可解得b的值．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得：asinA =bsinB，得b sin A＝a sin B，又b sin A＝a cos（B+π6）．∴a sin B＝a cos（B+π6），即sin B＝cos（B+π6）＝cos B cosπ6−sin B sinπ6=√32cos B−12sin B，∴tan B=√33，又B∈（0，π），∴B=π6．∵在△ABC中，a＝3，c＝2√3，由余弦定理得b=√a2+c2−2accosB=√2=√3．故选：C．【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二．填空题（共4小题）6．已知sin2（α+π6）+cos2（α−π3）=32，若α∈（0，π），则α＝π6或π2【分析】根据α−π2=α+π6−π2以及诱导公式变形可得．【解答】解：由sin 2（α+π6）+cos 2（α−π3）=32得sin 2（α+π6）+cos 2（α+π6−π2）=32，得sin 2（α+π6）+sin 2（α+π6）=32．得sin 2（α+π6）=34，得sin （α+π6）＝±√32，∵α∈（0，π），∴α+π6∈（π6，7π6），∴α+π6=π3或α+π6=2π3，α=π6或α=π2．故答案为：π6或π2．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．7．在△ABC 中，若tan A +tan B +tan A tan B ＝1，则cos 2A +cos 2B 的范围为 （32，√22+1]【分析】将已知条件切化弦可得A +B =π4，B =π4−A ，再把cos 2A +cos 2B 化成1+√22sin （2A +π4）后，利用三角函数的性质可得．【解答】解：由tan A +tan B +tan A tan B ＝1得sinAcosA+sinB cosB+sinAsinB cosAcosB=1，得sin （A +B ）＝cos （A +B ），得tan （A +B ）＝1， ∵0＜A +B ＜π，∴A +B =π4，∴B =π4−A ，0＜A ＜π4， ∴cos 2A +cos 2B ＝cos 2A +cos 2（π4−A ）=1+cos2A2+1+cos(π2−2A)2=1+12（cos2A +sin2A ）＝1+√22sin （2A +π4） ∵0＜A ＜π4，∴2A +π4∈（π4，3π4），∴sin （2A +π4）∈（√22，1]， cos 2A +cos 2B 的范围为（32，√22+1]．故答案为：（32，√22+1]．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题． 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =√3，√3+b c=sinC+sinAsinC+sinA−sinB ，则b +2c 的最大值等于 2√7 ．【分析】先根据正弦定理化为边的关系，再根据余弦定理得A ，最后根据正弦定理以及三角形内角关系化基本三角函数，根据正弦函数性质得最大值． 【解答】解：原等式可化为a+b c=c+a c+a−b，整理，得：a 2＝b 2+c 2﹣bc ，故：cos A =b 2+c 2−a 22bc=12，由A ∈（0，π），可得A =π3． 因为bsinB =csinC =asinA =2，可得：b +2c ＝2sin B +4sin C ＝2sin B +4sin （2π3−B ）＝4sin B +2√3cos B ＝2√7sin （B +θ）， 其中θ为锐角，tan θ=√32． 由于：B ∈(0，2π3)，故当B +θ=π2时，b +2c 取得最大值为2√7． 故答案为：2√7．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题．9．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a =√2，a cos B +b sin A ＝c ，则△ABC 的面积的最大值为√2+12．【分析】运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，同角的商数关系，计算即可得到A 的值，由余弦定理，结合基本不等式，即可得到bc 的最大值，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵a cos B+b sin A＝c，∴由正弦定理得：sin C＝sin A cos B+sin B sin A①又∵A+B+C＝π，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B②∴由①②得sin A＝cos A，即：tan A＝1，又∵A∈（0，π），∴A=π4；∵a=√2，∴由余弦定理可得：2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2−√2bc≥2bc−√2bc＝（2−√2）bc，可得：bc≤2−√2，当且仅当b＝c时等号成立，∴△ABC的面积为S=12bc sin A=√24bc≤√24×2−√2=√2+12，当且仅当b＝c时，等号成立，即面积最大值为√2+12．故答案为：√2+12．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题．。
题型10 6类三角恒等变换解题技巧(解析版)
题型10 6类三角恒等变换解题技巧（拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公式）技法01拼凑思想的应用及解题技巧知识迁移12()[()()]221[()()]2424a a αββαααβαβπππβαβαβαα=⋅=--=++-⎛⎫=+--+=-- ⎪⎝⎭例1-1．（全国·高考真题）tan255°=【高考数学】答题技巧与模板构建【详解】000000tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)=+==+=000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==-【详解】由πππππ2sin 2sin 2cos sin 32666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以πtan 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππtan tan πππ66tan tan 8ππ3661tan tan 66αααα⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--===== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+-⨯ ⎪⎝⎭1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知【答案】A【解析】易知()()sin sinβααβ=--，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sinαβ-，分别在()sin αβ-=利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果.【详解】sin α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴-<-<，()sin αβ∴-==当()sin αβ-=()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=---57=-=，304πβ<< ，sin 0β∴>，sin β∴=当()sin αβ-=sin β=.综上所述：sin β=故选：A .【点睛】易错点睛：本题中求解cos α时，易忽略sin α的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cos α的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.【答案】A【分析】由二倍角正切公式，同角关系化简cos tan22sin AA A=-，求sin A ，再求tan A ，再由两角差的正切公式求tan B .【详解】因为cos tan22sin A A A=-，所以sin2cos cos 22sin A AA A =-，所以22sin cos cos 12sin 2sin A A AA A=--，又A 为锐角，cos 0A >，所以()22sin 2sin 12sin A A A -=-，解得1sin4A =，因为A 为锐角，所以cos A =，tan A =又tan A B -=（）所以()()()tan tan tan tan 1tan tan A A B B A A B A A B --⎡⎤=--===⎣⎦+-故选：A.【答案】D【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据α，β的范围即可求出结果.【详解】由已知可将()()2ααβαβ=++-，2()()βαβαβ=+--，则cos[()()]cos[()()]12cos()cos()αβαβαβαβαβαβ++-++--+=-++，2cos()cos()2cos()cos()10αβαβαβαβ+----++=，[cos()1][2cos()1]0αβαβ+---=，即cos()1αβ+=或1cos()2αβ-=．又π02αβ<<<，所以π0π,02αβαβ<+<-<-<，所以cos()1αβ+≠，所以选项A ，B 错误，即1cos()2αβ-=，则π3αβ-=-，所以π3βα-=．则C 错，D 对，故选：D技法02 升（降）幂公式的应用及解题技巧知识迁移升幂公式：αα2sin 212cos -=，1cos 22cos 2-=αα降幂公式：22cos 1sin2αα-=，22cos 1cos 2αα+=【详解】因为π2sin 63x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2cos sin 363αα⎛⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππcos 22cos 133x α⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭412199=⨯-=-．【详解】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12(39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.1．（2023·全国·模拟预测）已知cos(α+【答案】A【分析】根据题意，求得4cos cos 5αβ=，再求得cos()1αβ-=，结合倍角公式，即可求解.【详解】因为3cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，且1sin sin 5αβ=，所以4cos cos 5αβ=，可得cos()cos cos sin sin 1αβαβαβ-=+=，所以2cos(22)cos 2()2cos ()11αβαβαβ-=-=--=.故选：A ．【答案】C【分析】根据给定的条件，利用辅助角公式求出πsin()6α+，再利用二倍角的余弦公式计算即得.【详解】由cos αα=πsin(6α+所以22πππ1cos(2cos 2(12sin ()123663ααα+=+=-+=-⨯=-.故选：C【答案】A【分析】利用辅助角公式及两角和差的正弦公式化简，再根据()2sin 222sin 14παβαβ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭计算可得.【详解】由已知得()()2sin cos 3αβαβ+++=，()1sin cos sin 3ααβ-=，所以()()2sin cos cos sin 4443πππαβαβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++=++⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1sin cos sin sin 43παβααβ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，所以sin cos 4παβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 4παβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin sin cos cos sin 444πππαβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()227sin 222sin 12149παβαβ⎛⎫-=-+-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：A .【答案】D【分析】先对两式进行平方，进而可求出()cos αβ-的值，根据二倍角公式求出结论.【详解】解：因为2sin sin αβ-=2cos cos 1αβ-=，所以平方得，()22sin sin 3αβ-=，()22cos cos 1αβ-=，即224sin 4sin sin sin 3ααββ-+=，224cos 4cos cos cos 1ααββ-+=，两式相加可得44sin sin 4cos cos 14αβαβ--+=，即1cos cos sin sin 4αβαβ+=，故()1cos 4αβ-=，()()217cos 222cos 121168αβαβ-=--=⨯-=-.故选：D.技法03 三倍角公式的应用及解题技巧知识迁移sin3α=3sin α―4sin 3αcos3α=―3cos α+4cos 3α tan3α=3tan α―tan 3α1―3tan 2α=tan αα+α例3．已知在 △ABC 中, 角 A 、B 、C 的对边依次为 a 、b 、c ,a =6,4sin B =5sin C , A =2C , 求 b 、c边长。
高考数学热点：三角恒等变换
高考数学热点：简单的三角恒等变换【考点梳理】1、两角和与差的三角函数公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ−=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ−−=+ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=− 2、二倍角公式sin 22sin cos ααα= 22cos2cos sin ααα=− 2cos22cos 1αα=−2cos212sin αα=− 22tan tan 21tan ααα=−3、辅助角公式sin cos )a x b x x ϕ±=±(其中tan b aϕ=) 4、降幂公式21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα−=【典型题型讲解】 考点一：两角和与差公式【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）已知πsin (,π)2αα=∈，则cos()6πα−=（ ）A ．-1B ．0C ．12D【答案】B 【详解】∵πsin (,π)22αα=∈，∴2π3α=，故ππcos()cos 0.62α−== 故选：B例2.（2022·广东湛江·一模）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）ABC．D．【答案】B 【详解】由4cos 5α=，02πα<<，得3sin 5α=，所以34sin 422252510πααα⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭，故选:B.例3．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−， 整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B【方法技巧与总结】1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.2.给值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论. 【变式训练】 1.已知5π1tan()45−=α，则tan =α__________． 【答案】32【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα−−⎛⎫−=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 2.（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫−=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________. 【答案】17【详解】因为()sin 0,2ππαα⎛⎫−=∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=，所以cos α=，所以sin 1tan cos 3ααα==. ()()()11tan tan 123tan tan .111tan tan 7123αβαβαβααβα−+−=+−===⎡⎤⎣⎦+++⨯又 故答案为：173.（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ−=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ−=−D ．()tan 1αβ+=−【答案】C 【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++−=−, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ−++=， 即：()()sin cos 0αβαβ−+−=, 所以()tan 1αβ−=−, 故选：C 4.已知sin α=()cos αβ−=304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A．35BC．35D．35【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=−−，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ−，分别在()sin 5αβ−=和5−两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果. 【详解】2sin 72α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴−<−<，()sin 5αβ∴−=±.当()sin 5αβ−=时，()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=−−=−−−57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=当()sin αβ−=sin β.综上所述：sin β= 故选：A .5.已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13−C ．23D ．23−【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒−=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒−︒−=︒−⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒−=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭，则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒−=−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒−=︒−−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒−︒−⎣⎦ ()1cos 303α=︒−=，故选A.考点二：二倍角公式【典例例题】例1.（2022·广东中山·高三期末）若2sin 3α=，则cos2α=___________. 【答案】19【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】2221cos212sin 1239αα⎛⎫=−=−⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：19.例2．（2022·广东清远·高三期末）已知tan 2α=，则sin cos 44sin 2⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααα________． 答案】18−【详解】1sin cos (sin cos )(cos sin )442sin 22sin cos ⎛⎫⎛⎫−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααααααααα222sin cos 2sin cos tan 12tan 14sin cos 4tan 8−−+−−+===−ααααααααα．故答案为：18−例3.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则tan α=（ ）ABCD【答案】A 【详解】cos tan 22sin ααα=−2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===−−，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=−−，解得1sin 4α=， cos 4α∴=sin tan cos 15ααα∴==. 故选：A.【方法技巧与总结】三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系. 【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】．B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−，整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B2．（2022·广东韶关·二模）已知 1sin cos 5αα+=，则()2tan 12sin sin 2πααα++=+（ ）A ．17524−B ．17524C ．2524−D ．2524【答案】．C【详解】由题知1sin cos 5αα+=，有242sin cos 25αα=−，所以()2tan 12sin sin 2πααα+++()tan 12sin sin cos αααα+=+()sin cos 1cos 2sin sin cos αααααα+=⨯+1252sin cos 24αα==−， 故选：C ．3.（2022·广东佛山·二模）已知sin πα43⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】59【详解】sin sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫−=−−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭所以225sin 2cos 2cos 212sin 122449πππαααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−=−⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 故答案为：594.（2022·广东肇庆·二模）若sin cos 5θθ+=−，则sin 2θ=______． 【答案】45【详解】∵sin cos θθ+= ∴()29sin cos 12sin cos 5θθθθ+=+=， 所以4sin 22sin cos 5θθθ==． 故答案为：45.5．（2022·广东深圳·二模）已知tan 3α=，则cos 2=α__________． 【答案】45−【详解】解：由题意可知：2214cos 22cos 121tan 15ααα=−=⨯−=−+ .6.若3sin 5α=−，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα−=+（ ）A ．12B ．12−C ．2D ．−2【答案】D 【详解】3sin 2sincos225ααα==−，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==−++， 可解得1tan23α=−或tan 32α=−，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=−，故1tan 221tan2αα−=−+， 故选：D7．已知1sin 64x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．78−B ．78C．4−D．4【答案】B 【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=−−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.8．已知,22ππα⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B． C ．12D【答案】D 【详解】 因为22ππα−<<，所以3444πππα−<−< 又1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以43ππα−=−，所以12πα=−所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=−==⎪⎝⎭故选：D9．已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325−C D ．5−【答案】B 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=−=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=⨯−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．10．已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（ ）A ．2425B ．2425−C ．725D ．725−【答案】B 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==−，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯−=− ⎪⎝⎭。
年高考数学一轮总复习三角恒等变换的证明与综合运用题解析
年高考数学一轮总复习三角恒等变换的证明与综合运用题解析三角恒等变换是高中数学学科中的重要内容，它是通过对三角函数中等式关系的变换和推导，来解决问题和证明定理的方法之一。
在高考数学中，三角恒等变换经常被用来解决各种类型的综合运用题。
本文将对三角恒等变换的证明与综合运用题进行解析。
一、三角恒等变换的基本形式三角恒等变换是指将一个三角函数的表达式转化为另一个等价的三角函数的表达式，或者将一个三角函数的等式变换为另一个等价的三角函数的等式。
根据等式的关系，三角恒等变换可以分为以下几种基本形式：1. 三角函数的平方和差恒等变换：\[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \]\[ \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta - (1 - \sin^2 \theta) = 2\sin^2 \theta - 1 \]\[ \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta - (1 - \cos^2 \theta) =2\cos^2 \theta - 1 \]2. 三角函数的倍角恒等变换：\[ \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta \]\[ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \]\[ \tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \]3. 三角函数的半角恒等变换：\[ \sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \]\[ \cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}} \]\[ \tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} \]二、三角恒等变换的证明三角恒等变换的证明通常需要运用基本的三角函数定义和三角函数的性质，以及一些代数化简的方法。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.在中，角、、的对边分别为、、，，，当的面积等于时，_______________.【答案】.【解析】，，由余弦定理得，由正弦定理得，由余弦定理得，所以.【考点】1.三角形的面积；2.余弦定理；3.正弦定理；4.同角三角函数的基本关系2.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】A【解析】将函数的图象平移个单位（k>0,向左；k<0,向右）后所得图像对应函数为；令故选A3. . 如图中，，，点在边上且，则长度为【答案】【解析】略4.（本小题满分12分）如图以点为中心的海里的圆形海域被设为警戒水域，在点正北海里处有一雷达观测站.在某时刻测得一匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的点处，经过分钟后又测得该船只已行驶到点北偏东且与点相距海里的点处，其中，.（Ⅰ）求该船行驶的速度；（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶，判断其能否进入警戒水域（说明理由）.【答案】解：（I）∴△ABC中由余弦定理得∴∴船航行速度为（海里/小时）…………6分（II）建立如图直角坐标系B点坐标C点坐标直线AB斜率直线AB方程：点E(0,-55)到直线AB距离由上得出若船不改变航行方向行驶将会进入警戒水域。
……………12分【解析】略5.在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求的面积．【答案】(1) (2)【解析】（Ⅰ）在中，，由，，得，由，，得．所以．（Ⅱ）由正弦定理得．所以的面积．6.如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0．01km，1．414，2．449）．【答案】【解析】根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以在中，，所以，同时，在中，利用正弦定理得到，得到结论．试题解析：在中，，所以．又，故是底边的中垂线，所以．在中，，即．因此，．故的距离约为．【考点】1．正弦定理;2．计算．7.（本小题共13分）已知函数的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间及其图象的对称轴方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）,因为最小正周期为,可得, 可得,即可求出．（Ⅱ）分别由，即可求出单调区间；再根据，可得图象的对称轴方程．试题解析：解：（Ⅰ）,因为最小正周期为,所以，解得,所以,所以．（Ⅱ）分别由，可得，所以,函数的单调增区间为；的单调减区间为由得．所以，图象的对称轴方程为．【考点】1．三角函数的图象与性质；2．三角恒等变换．8.（本小题满分12分）在锐角中，已知内角、、所对的边分别为、、，向量，且向量，共线．（1）求角的大小；（2）如果，求的面积的最大值．【答案】（1）；（2）的面积的最大值为．【解析】（1）由向量共线的充要条件得，再由倍角公式求得，然后结合角的范围求出角B．（2）求最值往往列出函数式，然后求最值．本题先由余弦定理得到然后用均值不等得出，最后由三角形的面积公式求解即可．试题解析：（1）由向量共线有：即，又，∴，则=，即（2）由余弦定理得则，∴当且仅当时等号成立∴．【考点】向量共线的充要条件、倍角公式、余弦定理、均值不等．9.角α的终边过点，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵角α的终边过点，∴，∴．【考点】任意角的三角函数的定义．10.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．11.若，内角A,B的对边分别为，则三角形ABC的形状为________．【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】∵，∴，∴，∴，∴或，∴三角形ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．【考点】判断三角形形状．12.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析:因为，所以将其图象沿轴向左平移个单位后可得到函数：，又因为该函数为偶函数，所以，即，所以的最小值为，故应选．【考点】1、辅助角公式；2、三角函数的图像及其变换；3、函数的奇偶性．13.已知f（x）＝2sin（ωx＋φ）的部分图像如图所示，则f（x）的表达式为（）A．f（x）＝2sin（x＋）B．f（x）＝2sin（x＋）C．f（x）＝2sin（x＋）D．f（x）＝2sin（x＋）【答案】B【解析】由图可得，把点代入可求得，故选B．【考点】函数的图像14.已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（Ⅰ）因为，直接令，即可求得的值；（Ⅱ）由正弦函数的和差公式化简得，由三角函数的周期公式即可求得函数的最小正周期，令，，即可得函数的单调递增区间．试题解析：（Ⅰ）因为所以（Ⅱ）因为所以所以周期．令，解得，．所以的单调递增区间为【考点】三角函数的性质．15.已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )A．在上是增函数B．其图象关于直线对称C．函数是奇函数D．当时，函数的值域是【答案】D．【解析】由题意得，，A：时，，是减函数，故A错误；B：，故B错误；C：是偶函数，故C错误；D：时，，值域为，故D正确，故选D．【考点】1．三角函数的图象变换；2．的图象和性质．16.设的内角的对边分别为，且，则________．【答案】4【解析】由及正弦定理，得．又因为，所以．由余弦定理得：，所以．【考点】正余弦定理．17.若，，则（）A．B．C．7D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以，所以，故选D．【考点】1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．【一题多解】由题意，得，所以．因为，所以，所以由＝，解得或（舍），故选D．18.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．19.在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A．（1）求cos A的值；（2）求c的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为已知两边及其一边的的对角，考虑使用正弦定理及二倍角公式，即可化简得出；（2）利用余弦定理得：，即可得出关于的一元二次方程，解得或．试题解析：（1）在△ABC中，由正弦定理＝⇒＝＝，∴cos A＝．（2）由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A⇒32＝（2）2＋c2－2×2c×，则c2－8c＋15＝0．∴c＝5或c＝3．当c＝3时，a＝c，∴A＝C．由A＋B＋C＝π，知B＝，与a2＋c2≠b2矛盾．∴c＝3舍去．故c的值为5．【考点】1、正弦定理；2、三角形的面积公式；3、两角差的正弦公式．20.在锐角中，分别是角所对的边，且．（1）确定角的大小；（2）若，且的面积为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）将利用正弦定理将边化为角，得到关于C的三角函数，求解C角大小；（2）由C角c边利用余弦定理可得到关于的方程，利用三角形面积可得关于的另一方程，解方程组可得到的值试题解析：（1），由正弦定理由是锐角三角形，（2），，将代入得到，【考点】1．正余弦定理；2．三角形面积公式21.（2010•湖北模拟）已知A，B，C为锐角△ABC的三个内角，向量=（2﹣2sinA，cosA+sinA），=（1+sinA，cosA﹣sinA），且⊥．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求y=2sin2B+cos（﹣2B）取最大值时角B的大小．【答案】（Ⅰ）A=．（Ⅱ）B=．【解析】（Ⅰ）根据两向量的垂直，利用两向量的坐标求得（2﹣2sinA）（1+sinA）+（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=0，利用同角三角函数的基本关系整理求得cosA的值，进而求得A．（Ⅱ）根据A的值，求得B的范围，然后利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理后．利用B的范围和正弦函数的单调性求得函数的最大值，及此时B的值．解：（Ⅰ）∵，∴（2﹣2sinA）（1+sinA）+（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=0⇒2（1﹣sin2A）=sin2A﹣cos2A⇒2cos2A=1﹣2cos2A⇒cos2A=．∵△ABC是锐角三角形，∴cosA=⇒A=．（Ⅱ）∵△ABC是锐角三角形，且A=，∴＜B＜∴=1﹣cos2B﹣cos2B+sin2B=sin2B﹣cos2B+1=sin（2B﹣）+1当y取最大值时，2B﹣=，即B=．【考点】三角函数的化简求值；三角函数的最值．22.中，角所对的边分别为，下列命题正确的是________.①若最小内角为，则；②若，则；③存在某钝角，有；④若，则的最小角小于；⑤若，则.【答案】①④⑤【解析】对①，因为最小内角为，所以，，故正确；对②，构造函数，求导得，，当时，，即，则，所以，即在上单减，由②得，即，所以，故②不正确；对③，因为，则在钝角中，不妨设为钝角，有，故,③不正确；对④，由，即，而不共线，则，解得，则是最小的边，故是最小的角，根据余弦定理，知，故④正确；对⑤，由得，所以，由②知，，即，又根据正弦定理知，即，所以，即.故①④⑤正确.【考点】1、解三角形正弦定理、余弦定理；2、向量.【方法点晴】本题5个选项，考查了5项基本技能：1是已知角的取值范围，求某个三角函数的取值范围；2是构造函数证明不等式，还需要化归与转化的数学思想；3是展开式的应用；4是两个向量平行的充要条件、余弦定理的应用；5是正弦定理的应用.通过一个题目复习5、6个知识点，是一个不可多得的好题.23.已知函数.（1）求函数的值域；（2）若是函数的图像的一条对称轴且,求的单调递增区间．【答案】（1）；（2）[，]（）.【解析】（1）利用三角恒等变换对原函数进行化简，可将原函数化简为的形式，再由三函数值域求得的值域；（2）因为的对称轴为，所以可列等式＝，，可求得的值，从而得到函数的解析式，求三角函数的单调递增区间，即可求得函数的递增区间.试题解析：（1）＝＝∴的值域为[－3，1]（2）由题意得＝()∴∵∴，则由()得的增区间为[，] （）【考点】三角函数恒等变换，函数的单调性及其值域.24.已知函数.（Ⅰ）求的最小值.（Ⅱ）在中，角的对边分别是，若且，求角.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先根据倍角公式、降幂公式，把的表达式进行整理，化为的形式，进而可求其最小值；（Ⅱ）先由条件求出角，再结合余弦定理得到关系，进而可求出角.试题解析：（Ⅰ），所以的最小值为.（Ⅱ），所以，又，所以即，所以.【考点】1、正弦定理，余弦定理；2、辅助角公式.25.若函数满足，则函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意时，取最小值，即，∴，∴，不妨令，取，即．令，得，故选D．【考点】1、三角函数的最值；2、三角函数的单调性．26.在中，分别为内角的对边，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积为，求边长的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）首先用正弦定理,将边化为角,即转化为,化简得到；（Ⅱ）根据,即,然后对用余弦定理和基本不等式的.试题解析：（Ⅰ）由正弦定理，可得，∴，∴，∴，故；（Ⅱ）由已知，所以，由余弦定理∴，∴（当且仅当时取等号）．∴的最小值为.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.三角形面积公式；4.基本不等式．27.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象( )A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【答案】B【解析】由题结合图象可得故选B.【考点】三角函数图象与性质28.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】由题意得，，由得到，原图象各点向若平移个单位长度.故选D．【考点】函数图象的变换.【易错点睛】本题主要考查三角函数的图象的变换．在进行三角函数图象的左右平移时，应注意以下几点：一要弄清是平移哪个函数图象，得到哪个函数的图象；二要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先用诱导公式化为同名函数；三是由的图象得到的图象时，需平移的单位数应为．29.在中，角所对的边分别为,，则。
三角函数、三角恒等变换与解三角形(解析版)-2024年新高考新结构数学7个大题逐一击破
三角函数、三角恒等变换与解三角形根据近几年的高考情况，三角函数、三角恒变换与解三角形是高考必考点。
虽然九省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍有可能在解答中考查这部分内容。
在高考中，主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题，转化为三角函数的图象及其性质进行求解。
还考察把实际应用问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.题型一：三角恒等变换与三角函数1(2024·福建福州·统考模拟预测)已知函数f x =sin ωx -π4 (0<ω<3)，x =π8是f x 的零点．(1)求ω的值；(2)求函数y =f x -π8 +f 12x +π8的值域．【思路分析】(1)根据函数的零点性质并结合范围求解ω；(2)利用余弦二倍角公式以及二次函数的性质求值域.【规范解答】(1)由已知可得f π8=sin π8ω-π4 =0，解得π8ω-π4=k π,k ∈Z ，即ω=2+8k ,k ∈Z ，又0<ω<3，可得ω=2．(2)由f x =sin 2x -π4，可得y =f x -π8 +f 12x +π8 =sin 2x -π2 +sin x =-cos2x +sin x =-1-2sin 2x +sin x =2sin x +14 2-98，其中-1≤sin x ≤1，则当sin x =-14时，函数y =f x -π8 +f 12x +π8 取得最小值-98，当sin x =1时，取得最大值2，故函数y =f x -π8 +f 12x +π8 的值域为-98,2．此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。
1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：(1)二倍角公式：sin 2α=2sin αcos α(S 2α)；cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α(C 2α)(2)降幂公式：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2，2、再通过辅助角公式“化一”，化为y =A sin (ωx +φ)+B3、辅助角公式：a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中tan φ=ba.4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：一般将ωx +ϕ看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。
2021高三数学北师大版(文)：简单的三角恒等变换含解析
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时 间：__________________
第2课时 简单的三角恒等变换
(对应学生用书第74页)
⊙考点1三角函数式的化简
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法
(1)弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂或升幂．
①已知正切函数值、则选正切函数．
②已知正、余弦函数值、则选正弦或余弦函数．若角的范围是 、则选正、余弦皆可；若角的范围是(0、π)、则选余弦较好；若角的范围为 、则选正弦较好．
提醒：求解此类问题时、一定要注意所求角的范围及解题过程中角的范围．
1.(20xx·安徽六安二模)若sin 2α＝ 、sin(β－α)＝ 、且α∈ 、β∈ 、则α＋β的值是()
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律、根号中含有三角函数式时、一般需要升次．
(1)化简： ＝________.
(2)已知cos ＝ 、θ∈ 、则sin ＝________.
(3)已知α为第二象限角、且tanα＋tan ＝2tanαtan －2、则sin ＝________.
A. B.
C. D. 或
(2)已知α、β∈(0、π)、且tan(α－β)＝ 、tanβ＝－ 、则2α－β的值为________．
(1)C(2)－ π[(1)∵α、β为钝角、sinα＝ 、cosβ＝－ 、
∴cosα＝－ 、sinβ＝ 、
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝ ＞0.
又α＋β∈(π、2π)、∴α＋β∈ 、
cosα＝cos ＝－ 、sinα＝－ 、sin 2α＝ .
三角恒等变换高考专题(2021年整理)
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例1：快速写出下列运算结果,思考如何应用公式.（1）. cos80cos 20cos10sin 20o o o o += ▲ ；（2）. ()()()()cos 27cos 33sin 27sin 33o o o o αααα+--+-= ▲ ； （3）. ()()sin cos cos sin αβααβα+-+= ▲ ； （4）. sin14cos31sin17o o o += ▲ ；（5）.1tan151tan15oo-=+ ▲ ； （6）. sin 67.5cos67.5o o = ▲ ; （7）. 22cos sin 88ππ-= ▲ ；（8）. 21cos 122π-= ▲ ； （9）. cos 20cos 40cos60cos80o o o o = ▲ ；例2 求解以下3道小题，然后总结求解此类问题的入手点和注意问题。
（1） 已知3tan 4α=，5cos 13β=-，()0,αβπ∈、，求()sin αβ+、()cos αβ-、tan 2α; （2） ()4cos 5αβ+=，1cos 7β=-，()0,αβπ∈、，求sin α； （3） 已知()4cos 5αβ-=-,()4cos 5αβ+=,且,2παβπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，3,22παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，求cos2α. 例3 已知tan tan αβ、是方程26510x x -+=的两个根，()0,αβπ∈、,求αβ+。
2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类(解析版)
三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1 2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类（解析版）T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题． 8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sinα1+cosα=1-cosαsinα，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2α2=1-cosα2，cos2α2=1+cosα2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos-75°的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+2415(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.116(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．17(2023·全国·高三专题练习)sin220°-cos220°sin45°cos155°1-sin40°=.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sinα=23，cosβ=-75，则cos(α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.2141519(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cosα=13，cosα-β=223，则cosβ=()A.89B.79C.429D.020(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tanα+π4=15，则tanα=()A.-23B.23C.-13D.1321(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A卷))已知α，β为锐角，且tanα=2，sinα+β= 22，则cosβ=()A.-31010B.31010C.-1010D.101022(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tanαtanβ=2，cosα+β=-15，则cosα-β=()A.35B.-35C.115D.-11523(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cosα-π4=210，则sinα+π3=24【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sinα=13，cos(α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin(α+β)=±13B.cosβ=-79C.cos2β=-1781D.sin(α-β)=-232725(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan(α+β)=3，tanα+π4=-3，则tanβ=()A.-15B.15C.-17D.1726(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sinα=2sinβ，2cosα=cosβ，则sinα-β=.(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cosα=17,cos(α+β)=-1114，则β=.28(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=17，cos(α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．29(2023·河南·校联考模拟预测)设tanα，tanβ是方程x2+33x+4=0的两根，且α,β∈-π2 ,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π330(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=255，sinβ=1010，且α∈0,π2，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π431【多选】(2023·全国·高三专题练习)若tan α+tan β=3-3tan αtan β，则α+β的值可能为()A.π3 B.π6C.-2π3D.-5π632(2023·全国·高三专题练习)已知0<α<π2，cos α+π4 =13．(1)求sin α的值；(2)若-π2<β<0，cos β2-π4=33，求α-β的值．33(2023·全国·高三专题练习)已知角α为锐角，π2<β-α<π，且满足tan α2=13，sin β-α =7210(1)证明：0<α<π4；(2)求β.34(2023·全国·高三专题练习)已知sin π4-α=-55,sin 3π4+β =1010，且α∈π4,3π4,β∈0,π4，求α-β的值为．(四)三角函数式的化简35(2023·福建厦门·统考模拟预测)已知sin α+sin α+2π3=sin π3-α ，则sin α=()A.0B.±217C.±22D.±3236(2023春·山西·高三校联考阶段练习)已知2sin θ+π4 =3cos θ，则sin θsin θ-cos θ=.37(2023·湖北·校联考模拟预测)已知sin x +π4 =-35,3π4<x <5π4，则sin x 1-tan x =()A.21100B.-21100C.7280D.-728038(2023·全国·高三专题练习)已知θ≠k π+π4k ∈Z ，且cos2θcos 3π2-θ=cos θ-sin θ，则tan θ-π4-tan2π2-θ =()A.83B.53C.-13D.-13339(2023·湖南长沙·长郡中学校考一模)已知α,β∈0,π2,sin (2α+β)=2sin β ，则tan β的最大值为()A.12B.33C.22D.3240(河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题)已知向量a=2cos75°,2sin75°，b =cos15°,-sin15° ，且(2a +b )⊥(a -λb )，则实数λ的值为()A.8B.-8C.4D.-441(2023·陕西·统考一模)在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，且AB =4，BD =2.cos B =1116，cos C =64，则DC =.42【多选】(2023·江苏南通·模拟预测)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中∠COD =2π3，OC =3OA =3，动点P 在CD 上(含端点)，连结OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OQ =xOC +yOD，则下列说法正确的是()A.若y =x ，则x +y =23B.若y =2x ，则OA ⋅OP=0C.AB ⋅PQ≥-2D.PA ⋅PB ≥11243(广东省潮州市2023届高三二模数学试题)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3tan A tan C =tan A +tan C +3.(1)求角B 的大小；(2)求cos A +cos C 的取值范围.考点二二倍角公式(一)给角求值44【多选】(2023·全国·高三专题练习)下列等式成立的是()A.sin275°-cos275°=32B.12sin15°+32cos15°=22C.sin75°cos75°=14D.1-tan15°1+tan15°=3345(2023·河南开封·开封高中校考模拟预测)4sin40°-tan40°sin75°-cos75°sin75°+cos75°的值为()A.66B.12C.63D.146(2023·重庆·统考模拟预测)式子2sin18°3cos29°-sin29°-1cos6°+3sin6°化简的结果为()A.12B.1C.2sin9°D.247(2023·全国·高三专题练习)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18°，若m2+n=4，m n2cos227°-1 =.48(2023·全国·高三专题练习)若λsin160°+tan20°=3，则实数λ的值为()A.4B.43C.23D.433(二)给值(式)求值49【多选】(2023·山西·校联考模拟预测)已知sin x=35，其中x∈π2,π，则()A.tan x=-43B.cos x2=1010C.sin2x=-2425D.cos x-π4=-21050(2023·福建泉州·校考模拟预测)已知cosα=-35,π2≤α≤π，则cos2α+π4=．51(2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中)已知sinα-cosα=-23，则sin2α=．52【多选】(2023·全国·高三专题练习)已知cosα+β=-55，cos2α=-45，其中α，β为锐角，则以下命题正确的是()A.sin2α=35B.cosα-β=-2255C.cosαcosβ=510D.tanαtanβ=1353(2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习)已知α∈0,π，cosα=-35，则cos2α2+π4=．54(2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知α∈0,π2，sin2α=cosπ4-α，则cos2α的值为()A.0B.12C.32D.-3255(2023·全国·高三专题练习)已知sinαsinπ3-α=3cosαsinα+π6，则cos2α+π3=()A.-32B.-1 C.12D.3256(2023·全国·高三专题练习)已知cos2π4+α=45，则sin2α=()A.35B.-35C.15D.-15(三)给值求角57(2023·全国·高三专题练习)已知tan α=13,tan β=-17,且α,β∈(0,π)，则2α-β=()A.π4B.-π4C.-3π4D.-3π4或π458(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π ，cos2α=sin 2α2-cos 2α2，则α=．(四)与同角三角函数的基本关系综合59(2023·全国·高三专题练习)已知α∈π4,π2，且sin2α=45，则3sin α-cos α4sin α+2cos α=60(2023·海南·校联考模拟预测)已知tan α=2，则1-3cos 2αsin2α=．61(2023秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习)已知tan α=2，则sin2αsin 2α+sin αcos α-cos2α-1的值为()A.12B.1C.2D.-1(五)与诱导公式的综合62(2023春·江西南昌·高三统考开学考试)已知tan (π-α)=22，则sin2α=()A.429B.229C.-229D.-42963(2023·全国·高三专题练习)若cos π3-2x =-78，则sin x +π3的值为( ).A.14B.78C.±14D.±7864(2023·河北·统考模拟预测)已知sinα-π6=-25，则cos2α+5π3=()A.825B.1725C.255D.5565(2023·湖北武汉·统考二模)已知sinα+π3=35，则sin2α+π6=()A.2425B.-2425C.725D.-725(六)利用二倍角公式化简求值66(2023·全国·高三专题练习)已知tanα=3，则sinα-π4cosα+π4sin2α=．67(2023·全国·高三专题练习)若sinθ1-cosθ=2，则1+2sin2θ+3cos2θ1-2sin2θ+3cos2θ=()A.5B.43C.2D.468(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin2x+cos2x-2sinπ-xcosπ+xsin9π2-x-cos13π2+x．(1)求fπ12的值；(2)已知fα =23，求sin2α的值．考点三辅助角公式的应用69(2023·全国·高三专题练习)函数y =cos x +cos x -π3x ∈R 的最大值为，最小值为.70(2023·陕西铜川·统考二模)已知函数f x =cos x +π2 cos x +π4，若x ∈-π4,π4，则函数f x 的值域为.71(2023·山东泰安·统考二模)已知sin α+3cos α=233，则sin 5π6-2α =.72(2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测)若sin 2α+π6+cos2α=-3，则tan α=.73(2023·辽宁丹东·统考二模)若cos α≠0,2(sin2α+5cos α)=1+cos2α，则tan2α=()A.-43B.-34C.34D.4374(2023秋·福建莆田·高三校考期中)已知函数f (x )=23sin x cos x -2cos 2x +1.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间-5π12,π6的值域；考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用75(2023秋·河北石家庄·高三统考期末)已知1+cos θsin θ=33，则tan θ2=.76(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π2 ，sin α2-cos α=tan α2，则tan α=( )．A.33B.3C.34D.6277(2023·全国·高三专题练习)若cos α=-45，α是第三象限的角，则1-tan α21+tan α2=()A.2B.12C.-2D.-1278(2023·浙江·校联考二模)数学里有一种证明方法叫做Pr oofwithoutwords ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O 上一点，CH ⊥AB ，垂足为H ，记∠COB =θ，则由tan ∠BCH =BHCH可以直接证明的三角函数公式是()A.tanθ2=sin θ1-cos θB.tanθ2=sin θ1+cos θC.tanθ2=1-cos θsin θD.tanθ2=1+cos θsin θ(二)三角恒等式的证明79(2023·全国·高三专题练习)已知α，β∈0,π2 ，且满足sin βsin α=cos α+β ．(1)证明：tan β=sin αcos α1+sin 2α；(2)求tan β的最大值．80(2023·高三课时练习)小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；④sin2-18°cos48°；+cos248°-sin-18°⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°．(1)请依据②式求出这个常数；(2)相据(1)的计算结果，将小明的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．81(2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习)已知△ABC为斜三角形．(1)证明：tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C；(2)若△ABC为锐角三角形，sin C=2sin A sin B，求tan A+tan B+tan C的最小值．(三)三角恒等变换的综合问题82(2023春·北京·高三清华附中校考期中)已知函数f x =sin x +cos x 2-2sin 2x .(1)求函数f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f x 在区间0,π2上的最大值和最小值，并求相应的x 的值.83(2023·上海浦东新·统考三模)已知向量a =3sin x ,cos x ，b =sin x +π2,cos x .设f x =a ⋅b .(1)求函数y =f x 的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若f A =1，b =4，三角形ABC 的面积为23，求边a 的长.84(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，且满足a +b +c a +b -c =3ab .(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 是锐角三角形，求a +2bc的取值范围.85(2023春·四川成都·高三成都外国语学校校考期中)已知向量a =sin x +π6,cos 2x ，b =cos x ,-1 ．设函数f x =2a ⋅b +12，x ∈R ．(1)求函数f x 的解析式及其单调减区间；(2)若将y =f x 的图像上的所有点向左平移π4个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数h x 的图像．当x ∈m ,m +π2(其中m ∈0,π2 )时，记函数h x 的最大值与最小值分别为h x max 与h x min ，设φm =h x max -h x min ，且使对∀m ∈0,π2都有k ≥φm 成立，求实数k 的最小值．86(2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中)嘉祥教育秉承“为生活美好､社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔､创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.某市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高三年级学生中征集解决方案.如图所示，AB=BC=AC=2km,D是BC中点，E､F分别在AB､AC上，△CDF拟建成办公区，四边形AEDF拟建成教学区，△BDE拟建成生活区，DE和DF拟建成专用通道，∠EDF=90°，记∠CDF=θ.(1)若θ=30°，求教学区所在四边形AEDF的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E-D-F的路程最短？最短路程是多少？三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题． 8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sin α1+cos α=1-cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2=1-cos α2，cos 2α2=1+cos α2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos -75° 的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+24【答案】C【解析】变形cos -75° =cos 45°-120° 后，根据两角差的余弦公式计算可得答案.【详解】cos -75° =cos 45°-120° =cos45°⋅cos120°+sin45°sin120°=22×-12+22×32=6-24，故选：C .【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题.15(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.1【答案】A【分析】根据诱导公式及三角恒等变换化简求值即可.【详解】已知可化为：sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin 20°+40° =32.故选：A16(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．【答案】-2【分析】根据三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得：cos70°-cos20°cos65°=cos (90°-20°)-cos20°cos65°=sin20°-cos20°cos 45°+20°=sin20°-cos20°cos45°cos20°-sin45°sin20°=- 2.故答案为：- 2.17(2023·全国·高三专题练习)sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=.【答案】2【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.【详解】因为sin 220°-cos 220°=sin20°-cos20° sin20°+cos20° ，cos155°=-cos25°=-cos 45°-20° ，1-sin40°=cos 220°+sin 220°-2sin20°cos20°=cos20°-sin20° =cos20°-sin20°，所以sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=cos20°+sin20°22cos 45°-20° =cos20°+sin20°22×cos45°cos20°+sin45°sin20°=cos20°+sin20° 12cos20°+sin20°=2故答案为：2.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sin α=23，cos β=-75，则cos (α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.21415【答案】A【分析】先根据0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75求出cos α，sin β，再利用两角差的余弦公式求cos (α-β)【详解】解析：∵0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75，∴cos α=1-sin 2α=1-29=73，sin β=1-cos 2β=1-725=325，∴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β=73×-75 +23×325=-115，故选：A .19(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cos α=13，cos α-β =223，则cos β=()A.89B.79C.429D.0【答案】D【分析】利用三角恒等变换计算即可，注意整体思想的运用.【详解】解法一：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，又-π<α-β<0,cos α-β =223⇒-π2<α-β<0，∴sin α-β =-13，∴cos β=cos α-α-β =cos αcos α-β +sin a sin α-β=13×223+223×-13 =0，故选：D ．解法二：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，∴cos α-β =sin α，即cos β-α =cos π2-α ∵0<β-α<π，0<π2-α<π2∴β-α=π2-α⇒β=π2,cos β=0，故选：D ．20(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tan α+π4 =15，则tan α=()A.-23B.23C.-13D.13【答案】A【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.【详解】因为tan α+π4 =15，所以tan α=tan α+π4 -π4 =15-11+15×1=-23.故选：A .21(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A 卷))已知α，β为锐角，且tan α=2，sin α+β =22，则cos β=()A.-31010B.31010C.-1010D.1010【答案】D【分析】由条件，结合同角关系求sin α,cos α，再由特殊角三角函数值求α+β，再利用两角差的余弦公式求cos β.【详解】因为tan α=2，所以sin α=2cos α，又sin 2α+cos 2α=1，α为锐角，所以sin α=255，cos α=55，且α>π4．因为α，β为锐角，α>π4，所以π4<α+β<π，又sin (α+β)=22，所以α+β=3π4，故cos β=cos 3π4-α =cos 3π4cos α+sin 3π4sin α=1010．故选：D .22(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tan αtan β=2，cos α+β =-15，则cos α-β =()A.35B.-35C.115D.-115【答案】A【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出sin αsin β,cos αcos β，代入两角差的余弦公式即可.【详解】由题意可得tan αtan β=sin αsin βcos αcos β=2cos α+β =cos αcos β-sin αsin β=-15，即sin αsin β=2cos αcos βcos αcos β-sin αsin β=-15 ，sin αsin β=25cos αcos β=15，故cos α-β =cos αcos β+sin αsin β=35.故选：A .23(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cos α-π4 =210，则sin α+π3=【答案】4-3310【分析】根据同角三角函数的基本关系求出sin α-π4，由cos α=cos π4+α-π4 求出cos α，从而求出sin α，再利用两角和的正弦公式计算可得.【详解】∵cos α-π4 =210，α∈π2,3π4 ，所以α-π4∈π4,π2，∴sin α-π4 =1-cos 2α-π4 =7210，∴cos α=cos π4+α-π4 =cos π4cos α-π4 -sin π4sin α-π4 =22×210-7210×22=-35，sin α=1-cos 2α=45，所以sin α+π3 =sin αcos π3+cos αsin π3=45×12-35×32=4-3310.故答案为：4-331024【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sin α=13，cos (α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin (α+β)=±13B.cos β=-79C.cos2β=-1781D.sin (α-β)=-2327【答案】BD【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得α+β=π-α，进而可判断A ，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD .【详解】由于0<α<π2且sin α=13，所以cos α=223，又α+β∈π2,3π2 ，cos (α+β)=-223=-cos α，故α+β=π-α或α+β=π+α，当α+β=π+α时，β=π显然不满足，故α+β=π-α，所以sin (α+β)=13，故A 错误，对于B ，cos β=cos α+β cos α+sin α+β sin α=-223×223+13×13=-79，故B 正确，对于C , cos2β=2cos 2β-1=2×-792-1=1781，故C 错误，对于D ，由B 可知sin β=1-cos 2β=429，所以sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β=13×-79-223×429=-2327，故D 正确，故选：BD25(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan (α+β)=3，tan α+π4=-3，则tan β=()A.-15B.15C.-17D.17【答案】D【分析】由tan α+π4 =-3求得tan α，再使用凑配角由tan (α+β)=3求tan β.【详解】tan α+π4 =1+tan α1-tan α=-3，解得tan α=2，则tan β=tan [(α+β)-α]=tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan β=17．故选：D 26(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sin α=2sin β，2cos α=cos β，则sin α-β =.【答案】35/0.6【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得α、β角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果.【详解】因为sin α=2sin β，2cos α=cos β，即cos α=12cos β，所以sin 2α+cos 2α=4sin 2β+14cos 2β=1，又4sin 2β+14cos 2β=154sin 2β+14sin 2β+14cos 2β=1，即sin 2β=15，则cos 2β=45，又α、β均为锐角，所以sin β=55，cos β=255，所以sin α=255，cos α=55，所以sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=255×255-55×55=35.故答案为：35(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cos α=17,cos (α+β)=-1114，则β=.【答案】π3/60°【分析】要求β，先求cos β，结合已知可有cos β=cos [(α+β)-α]，利用两角差的余弦公式展开可求.【详解】∵α、β为锐角，∴0<α+β<π∵cos α=17，cos (α+β)=-1114∴sin α=1-cos 2α=437，sin (α+β)=1-cos 2α+β =5314∴cos β=cos [(α+β)-α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=-1114 ×17+5314×437=12由于β为锐角，∴β=π3故答案为：π328(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=17，cos (α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．【答案】π3【详解】因为cos α=17,0<α<π2,所以sin α=437,又因为0<α-β<π2,所以sin (α-β)=3314,所以sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos (α-β)-cos αsin (α-β)=437×1314-17×3314=32,又因为0<β<π2,所以β=π3.29(2023·河南·校联考模拟预测)设tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，且α,β∈-π2,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π3【答案】B【分析】利用两角和的正切公式求解即可.【详解】因为tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，所以tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=3，因为tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan α<0,tan β<0,且α,β∈-π2,π2，所以α,β∈-π2,0 ，所以α+β∈-π,0 ，所以α+β=-2π3，故选:B .30(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=255，sin β=1010，且α∈0,π2 ，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π4。
2021年浙江高考数学复习课件：4.3 三角恒等变换
因为 1-sin α =
(1-sin α)2 = (1-sin α)2 =|1-sin α| =1-sin α ,
1 sin α (1 sin α)(1-sin α) cos2α |cos α| -cos α
1-cos α =
(1-cos α)2 = (1-cos α)2 =|1-cos α| =1-cos α ,
1-sin 2α=(sin α-cos α)2;
(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2;
1±sin
α=
sin
α 2
cos
α 2
2
;
tan α = sin α =1-cos α .
2 1 cos α sin α
2.辅助角公式
asin α+bcos α= a2 b2 sin(α+φ),
例2
(2019浙江高考模拟试卷(五),16)若sin
α
π 9
=cos
α
π 18
+cos
α- π 18
,
则tan α=
.
解析
由sin
α
π 9
=cos
α
π 18
+cos
α- π 18
,
得sin αcos π +sin π cos α=2cos αcos π ,
99
18
则tan αcos π +sin π =2cos π ,
例4 (2019浙江名校协作体联考,18)已知函数f(x)=cos2ωx+ 3 sin ωxcos ωx-
1 (ω>0)的最小正周期为π.
2
(1)求ω的值;
高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题19三角恒等变换(2021学年)
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专题19 三角恒等变换【标题0１】没有挖掘角α的隐含条件导致扩大了角的范围【习题01】已知43sincos2525αα=-=- ,则角α是第 象限的角.【经典错解】24sin 2sin cos 0.2225αααα==>∴是第一、二象限的角 所以填“一、二”。
【详细正解】2247sin 2sin cos 0cos 2cos 102225225ααααα==>=-=-< 所以α是第二象限的角,故填“二”.【习题0１针对训练】若θ是ABC ∆的一个内角，且1sin cos 8θθ=-，则sin cos θθ-的值为( ） Ａ.32-B ．32C ．52- D.52【标题０2】三角函数选的不够合理解题方向不当【习题02】已知,(0,)2παβ∈，510sin ,=510αβαβ==-则 ( )A.4π-B 。
34π C 。
4π D. 4π-或4π【经典错解】002222ππππαβαβ<<-<-<∴-<-<51025310sin cos ,(0,)cos sin 2παβαβαβ==∈∴==251053102cos()cos cos sin sin 5105102αβαβαβ∴-=+=+=，4παβ∴-=± 故选D . 【详细正解】002222ππππαβαβ<<-<-<∴-<-<51025310sin cos ,(0,)cos sin 5102510παβαβαβ==∈∴==510253102sin()sin cos cos sin 2αβαβαβ∴-=-==-，4παβ∴-=- 故选A 。
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专题19 三角恒等变换【高考地位】三角函数学习中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换，是常用的解题工具. 但由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.方法一 运用转化与化归思想例1 已知1sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 233x cos x ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为__________． 【答案】49【解析】第一步，利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式：ππππππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-3232,3235x x x x 第二步，运用有关公式进行变形，主要是角的拆变：5cos 22cos 23333sin x x sin x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2cos212sin 3333sin x x sin x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 第三步，得出结论: 5sin 233x cos x ππ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1241399=-+-=，故答案为49.【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，属于基础试题，本题的解答中注意角的整体性和配凑． 【变式演练1】【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第五次模拟】已知,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且cos2sin 0θθ+=，则sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．22- B ．4C ．4D ．24+ 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用二倍角公式求出sin θ，再根据同角三角函数的基本关系求出cos θ，最后利用两角和的正弦公式计算可得； 【详解】解：因为cos2sin 0θθ+=，所以212sin sin 0θθ-+=，解得sin 1θ=或1sin 2θ=-，因为,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以1sin 2θ=-，cos 2θ==所以1sin sin cos cos sin 4442πππθθθ⎛⎫+=+=-= ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题. 【变式演练2】【2020届吉林省高三第二次模拟】设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）A ．724- B ．524-C ．524D ．724【答案】D 【解析】【分析】利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果. 【详解】1tan 2α=，22tan 4tan21tan 3ααα==-，()4cos cos 5πββ+=-=-，()(0,βπ∈，4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=，()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.方法二 运用函数方程思想例2 已知1sin 43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin42cos3sin x x x -= ( ) A.79 B. 79- C. D.【答案】B【解析】第一步，将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方程：由()sin4sin 3x sin3xcosx cos3xsinx x x =+=+可得：sin42cos3sin sin3xcosx cos3xsinx x x x -=-142sin 2422cos 2sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==ππx第二步，得出结论： 所以原式97-=，故选：B 【点评】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换.因此，有时在三角恒等变换中，可 以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解.【变式演练3】【陕西省西安市八校2020届高三联考】已知sinα、cosα是方程5x 2﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+4π）＝（ ）A ．10B ．﹣10C D 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理可得sin cos 5αα+=，2sin cos 5αα⋅=-，结合(0,)απ∈，可得cos sin 0αα-<，根据两角和的余弦公式可得cos()(cos sin )42πααα+=-=此可得结果. 【详解】因为sinα、cosα是方程5x 2﹣2＝0的两个实根，所以sin cos αα+=2sin cos 5αα⋅=-，因为(0,)απ∈，且sin cos 0αα⋅<，所以sin 0α>且cos 0α<， 所以cos sin 0αα-<，所以cos()cos cossin sin444πππααα+=-(cos sin )2αα=-===2=-=. 故选：D.【点睛】本题考查了韦达定理，两角和的余弦公式，属于基础题.【变式演练4】【2020届河南省商丘周口市部分学校联考高三5月质量检测】已知tan θ是方程2610x x -+=的一根，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．34B ．12C ．13D ．15【答案】C 【解析】 【分析】将tan θ代入方程，利用同角三角函数的基本关系式进行化简，求得sin 2θ的值，利用降次公式、诱导公式求得所求表达式的值. 【详解】由题意，2tan 6tan 10θθ-+=，则22sin 6sin 10cos cos θθθθ-+=，得22sin 6sin cos cos 0θθθθ-+=，得1sin cos 6θθ=，所以1sin 22sin cos 3θθθ==，所以21cos 21sin 22cos =422πθπθθ⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+= ⎪⎝⎭111323-==. 故选：C.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、降次公式、诱导公式，属于基础题.方法三 运用换元思想例3 若求的取值范围. 【答案】[22-. 【解析】第一步，运用换元法将未知向已知转化：令t =+βαcos cos ，则()()21cos cos sin sin 222+=+++t βαβα 第二步，利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换： 即()21cos 22+=-+t βα，所以()23cos 2-=-t βα 所以22322≤-≤-t ，即214214≤≤-t 第三步，得出结论： 所以214cos cos 214≤+≤-βα 【点评】本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过 代数、三角变换等手段求出取值范围.【变式演练5】【江苏省2020届高三下学期6月高考押题】已知sin cos αα+=则24sin cos αα+的值为____________. 【答案】1825【解析】 【分析】先平方求出sin 2α，再利用二倍角公式求出4cos α，即可求解. 【详解】,22sin sin =+βαβαcos cos +βαcos cos +sin cos 5αα+=()24sin cos 1sin 25ααα∴+=+=即1sin 25α=- 2123412sin 2122525cos αα=-=-⨯=123182452525sin cos αα+=-+=故答案为：1825 【点睛】此题考查二倍角公式，关键熟记二倍角的各种变形，属于简单题目.【高考再现】1.【2020年高考全国Ⅲ卷理数9】已知2tan tan 74θθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan θ= （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】D【思路导引】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案． 【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271t t t +-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=．故选D ．【专家解读】本题考查了三角函数知值求值问题的解法，考查两角和的正切公式，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是灵活运用三角函数有关公式进行计算． 2.【2017全国III 文，4】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ． 29D ．79【答案】A【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===-- .所以选A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.3.【2018年全国I 卷】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1 ， a)，B(2 ， b)，且cos2α=23，则|a −b |= A ． 15 B ． √55 C ．2√55D ． 1【答案】B 【解析】 【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到b =2a ，利用cos2α=23，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得a 2=15，从而得到|a |=√55，再结合b =2a ，从而得到|a −b |=|a −2a |=√55，从而确定选项. 【详解】由O,A,B 三点共线，从而得到b =2a ， 因为cos2α=2cos 2α−1=2⋅(√a 2+1)2−1=23，解得a 2=15，即|a |=√55， 所以|a −b |=|a −2a |=√55，故选B.【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果. 4．【2018年全国卷Ⅲ】若sinα=13，则cos2α= A ． 89 B ． 79 C ． −79 D ． −89 【答案】B 【解析】分析：由公式cos2α=1−2sin 2α可得。