一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用

◆课前热身

1．如果2是一元二次方程x 2

＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ．

2.方程042=-x x 的解______________．

3．方程240x -=的根是（ ）

A ．2x =

B ．2x =-

C ．1222x x ==-，

D ．4x = 4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原

来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率

为x ，则根据题意可列方程为 ．

【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.2

16(1)9x -=

◆考点聚焦

知识点:

一元二次方程、解一元二次方程及其应用

大纲要求:

1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。

2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、

3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。

考查重点与常见题型:

考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。

◆备考兵法

（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，

注意一元二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.

（3）用配方法时二次项系数要化1.

（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.

◆考点链接

1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程

叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中

叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的

系数， 叫做一次项的系数.

2. 一元二次方程的常用解法：

（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用

直接开平方的方法.

（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二

次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和

一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化

原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方

求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.

（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是

21,240)x b ac =-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，

解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.

◆典例精析

例1（湖南长沙）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ）

A ．1

B ．1-

C ．2

D ．2-

【答案】A

【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，

原方程成立，即06332=--k 成立，解得k=1。故选A 。

例2（湖北仙桃）解方程：2

420x x ++=

【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解. 【答案】2

42x x +=- 24424x x ++=-+

2(2)2x +=

2x +=

2x =

1222x x ∴==，

例3（广东省）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81

台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒

得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑，依题意得：

1+()181x x x ++=，

()2181x +=，

19x +=或19x +=-，

18x =或210x =-（舍去）

， ()()33

118729700x +=+=>． 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．

【点评】解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程.•最后还要注意求出的未知数

的值,是否符合实际意义.凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．

◆迎考精炼

一、选择题

1.(湖北武汉)已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ）

A ．3-

B ．3

C ．0

D ．0或3

2.（内蒙古呼和浩特）用配方法解方程23610x x -+=，则方程可变形为（ ）

A ．21(3)3x -=

B ．213(1)3x -=

C ．2(31)1x -=

D ．22(1)3x -= 3.（河南）方程2x =x 的解是 （ ）

A.x =1

B.x =0

C.x 1=1 x 2=0

D.x 1=﹣1 x 2=0

4.（湖南衡阳）两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程0342=+-x x 的两个根，则两圆的位置关系是 （ ） A ．相交 B ．外离 C ．内含 D ．外切

5．（湖北黄石）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ）

A ．14

B ．12

C ．12或14

D ．以上都不对 6.（湖北襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为210m 提高到212.1m ，若每年的年增长率相同，则年增长率为 （ ）

A ．9%

B ．10%

C ．11%

D ．12%

二、填空题

1.（内蒙古赤峰）已知关于x 的方程x 2

-3x+2k=0的一个根是1，则k=

2.（山东威海）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．

3.(浙江温州)方程(x-1)2=4的解是 .

4.（广西崇左）分解因式：2242x x -+= ． 5．（山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．

6.（江苏省）某县农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程 ．

三、解答题

1.（山西省）解方程：2230x x --=

2.（广西梧州）解方程： 0)3(2)3(2=-+-x x x