922021-工科大学物理-竞赛辅导--力学(2008)

•严格守恒，“分量守恒”，近似守恒
三.“变质量”问题
1.火箭飞行原理
对火箭主体：m
dv dt
=
F外
−
u dm dt
当 F外 = 0
v2
− v1
=
u ln m1 m2
12
2
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第3章 动量变化定理与动量守恒
2.“变质量”问题
设t 时刻主体质量为m,速度为
dt内: dt后:
速度为 m→m
arn
= v2 ρ
nr
--法向加速度 （向心加速度）
五. 圆周运动与一般曲线运动
角速度： ωr
=
dθ dt
r k
=
ω
z
r k
v = rω 或 vv = ωv × rv
角加速度：βr
=
dωr dt
=
dωz dt
r k
=
d2θ dt 2
r k
=
ω
dω dθ
r k
ar
=
arτ
+
arn
=
dυ dt
τr
+
υ2 r
2.平面极坐标系
• 位 矢 :rr •速度: vr
= =
drrrr( t =) dt
= r ( t )er r
dr dt
err
+
r
derr dt
•
加
= derr dt
速度
r&err + = θ&erθ
:ar =
rθ& erθ ;
derθ
dvr dt
=
ddt2rr dt 2
= −θ&err = (&r&−
定Ep 0 = 0 , 则系统在位形（1）的势能为:
∫ E p1 =
(0) (1)
r f保
⋅ d rr
3．几种势能
1）万有引力势能
规定： r = ∞ 2）重力势能
E p(∞) = 0
E
p
(r
)
=
−
GMm r
z = 0 Ep (0) = 0 E p (z) = mgz
3）弹性势能 平衡位置 x = 0
1.恢复系数
e = v2 − v1 v10 − v20
e =1—弹性碰撞 e =0 —塑性碰撞 0<e <1—一般非弹性碰撞
2．一维碰撞（正碰）
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第4章 动 能 与 势 能
1) 完全弹性碰撞
v1
=
(m1
−
) m2 v10 + 2m2v20
m1 + m2
v2
=
2m1v10 + (m2 − ) m1 v20
2.势能 以保守力相互作用的质点系的每一个位形 都储存着一种能量----势能 Ep。系统由位 形1 变为位形2时，势能由Ep1变为Ep2。在 此过程中保守内力作功：
A保 = E p1 − E p2 = −∆E p
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第4章 动 能 与 势 能
若规定系统在位形（0）的势能为零，即规
m1 + m2
2）完全非弹性碰撞
v1
=百度文库
v2
=
m1v10 m1
+ +
m2v20 m2
∆Ek
=
−
m1m2 (v10 − v20 )2 2(m1 + m2 )
两种典型情况
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第4章 动 能 与 势 能
3） 非弹性碰撞
v1
=
v10
−
(1
+
e)m2 (v10 − m1 + m2
v20 )
v2
rrr = v x i + v y j + v zk
•
加速度 ar = dvr
dt
=
d2rr dt 2
=
r ax i
+
r ay j
+
r azk
ax
=
dv x dt
=
d2 x dt 2
ay
=
dv y dt
= d2 y dt 2
az
=
dv z dt
=
d2z dt 2
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第1章 质 点 运 动 学
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
4.质点的角动量守恒定律
当 Mv = 0 时，Lv = 常量
r M
=
rr ×
r F
v M
=
0
v Fv F
=0
过O点
二.质点组的角动量变化定理 角动量守恒
1.质点组的角动量变化定理
1）一对内力的力矩之和为零
一对内力的角冲量之和为零
2）质点组的角动量变化定理
=
v20
+
(1 +
e)m1(v10 − v20 ) m1 + m2
− ∆Ek
=
1 (1 − e2 ) m1m2
2
m1 + m2
(v10
− v20 )2
3. 二维碰撞（斜碰）
弹性碰撞
pv1 + pv2 = pv10
p12 + p22 = p120 2m1 2m2 2m1
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
vv' dm
+ dm;
vr附→着
vr
+
vr , dvr
对m、dm系统由动量定理有
r F外dt
=
[m
⋅
(vr
+
dvr)
+
dm
⋅
(vr
+
dvr)]
−
mvr
−
dm
⋅
vv'
= mdvr + (vv − vv')dm uv = vv'−vv
m
dvr dt
=
r F外
+
uv
dm dt
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第4章 动 能 与 势 能
第一章 质点运动学 一.质点、参考系与坐标系
1.质点 2.参考系与坐标系
参考系：描述物体运动时选作参考的物体.
坐标系：固结在参考系上的一组有刻度的 射线、曲线或角度.
常用坐标系：直角坐标系 平面极坐标系 自然坐标系 柱坐标系 球坐标系
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第1章 质 点 运 动 学
二. 位置矢量与轨道方程
七. 质点运动学的两类问题 1.已知运动学方程 rr = rr(t ),求v,a , ←⎯ 微分
2.已知a 和某时刻t0 时的r0 ,v0 ,求任意时刻的 rr( t ),vr( t ), ←⎯ 积分 7
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第2章 牛顿力学的基本定律
第2章 牛顿力学的基本定律 一.牛顿运动定律
1.第一定律 惯性和力，惯性系的概念
1.位矢：由原点O引向P点的矢量
rv(t
)
2的.变轨化道方方程程.：质r点r =运rr动( t时) 位置矢量随时间
三. 位移、速度、加速度 1.位移 ∆rv = rv(t + ∆t )− rv(t ) ∆rr ≠ ∆r ，d rr ≠ d r
2.速度
vv = d rv dt
速率：v = vv = d rv = d s ≠ d r dt dt dt
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大学物理竞赛辅导--力学
理学院 物理系 沈 嵘
2008,11,9
第1章 质点运动学
第2章 牛顿力学的基本定律
第3章 动量变化定理和动量守恒
第4章 动能与势能
第5章 角动量变化定理和角动量守恒
第6章 质心力学定理
第7章 刚体力学
第8章 流体力学
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第1章 质 点 运 动 学
选对象(隔离物体), 看运动, 查受力, 定坐标, 列方程
动力学方程及在各坐标系中的表达式：
直角坐标系 平面极坐标系 自然坐标系
⎧m&x& ⎪⎨m&y&
= =
Fx Fy
⎪⎩m&z& = Fz
⎪⎩⎪⎨⎧mm((&rr&&θ&−+rθ2& 2r&θ)& )==FFr θ
⎪⎪⎧m
dv dt
=
Fτ
⎨ ⎪⎪⎩m
第4章 动能与势能
一.功的定义
∫ dA
=
v F
⋅
drv
AFv (a → b) =
b
v F
⋅
drr
a(L)
二. 一对力作功
两个质点间一对内力的功之和为，
∫ A(a→b) =
b a
v f2
⋅
drr21
只决定于两质点的相对路径，与参考系无关。
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第4章 动 能 与 势 能
三.动能定理
1. 质点的动能及动能定理
∫ v
I
=
t2
t1
v Fdt
=
pv 2
−
pv1
─
动量定理（积分形式）
4. 质点系的动量定理
∫ v
F外
d
t
=
d
pv
v t2 F t1 外
⋅
d
t
=
pv 2
−
pv1
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第3章 动量变化定理与动量守恒
二.动量守恒定理
合外力为零时质点组动量守恒
r P
=
∑
r Pi
=
常量
•动量守恒定律只适用于惯性系
2.质点组的角动量守恒定律
若对于某点而言,质点系所受的外力矩之和为
零,则质点系对该点的角动量不随时间改变.
若
r M外
=
0
,则
r L
=
r C
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4
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
三.有心运动
1. 质点在有心力场中的运动方程
1）有心力：方向始终指向或背向一个固定中心的力.
(中心对称)有心力：有心力的大小仅与参 考点FrP=到F力(r)心errO的这距类离有r心有力关必，定是保守力.
3.加速度
ar
=
dvr dt
=
d 2 rr dt 2
3
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第1章 质 点 运 动 学
四.不同坐标系的位移、速度、加速度 的表达式
1.直角坐标系
• 位矢
rr
=
rr(t )
=
r x(t)i
+
y(t
)rj
+
r z(t )k
• 速度
vr
=
drr
=
dx
r i
+
dy
r j
+
dz
r k
dt dt dt dt
=
−
dEP dl
五. 功能原理, 机械能守恒定律
1.质点系功能原理
A外 + A非内 = ∆Ek + ∆E p = ∆E
18
3
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第4章 动 能 与 势 能
2.机械能守恒定律
在只有保守内力作功的情况下，系统的机 械能不变。──机械能守恒定律
3.功能关系应用举例 •宇宙速度
六. 两体碰撞
质点的动能:
Ek
=
1 2
mυ 2
质点动能定理：
A合
=
1 2
mv 2
−
1 2
m
v
2 0
2. 质点系的动能定理
A外 + A内 = ∆Ek ← (末态−初态)
任一过程中质点系动能的增量等于外力 作功与内力作功之和.
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第4章 动 能 与 势 能
四. 质点系的势能
1.保守力
•作功只与始、末位置有关,与路径无关 •保守力对沿闭合路径运动一周的质点（物 体）所做的功为零。
Ep (0) = 0
Ep(
x)
=
1 2
kx 2
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第4章 动 能 与 势 能
4. 势能曲线
数保守. 相力应场的中E，p (质rr)点- rr的曲势线能称是为位势置能(坐曲标线)的单值函
•斜率为0 ⇔平衡位置, •峰顶 ⇔ 不稳平衡 ⇐ 势垒 •谷底 ⇔ 稳定平衡 ⇐ 势阱
由势能函数求保守力： Fl
(2) 运动--科里奥利力
v Fc
=
2mvvr
×ωv
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第3章 动量变化定理与动量守恒
第3章 动量变化定理与动量守恒
一1..冲质量点与的动动量量定pv 理= mvv
2.
冲量的定义
r dI
=
r fdt
∫ r
I
=
t2
r fdt
t1
3．质点动量定理
d
v I
=
v F
d
t
=
d
pv
─ 动量定理（微分形式）
p2 Δr
r(t+Δt ) r(t) Δθ θ
rθ& 2 )err + (2r&θ& + r&θ&)erθ
eθ p1
er
3.自然坐标系
•轨道方程: S = f(t) •速度: vr = vτr
•加速度: ar = arτ + arn
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第1章 质 点 运 动 学
arτ
=
dv τr --切向加速度 dt
2.牛顿第二定律
r F
=
d pr
=
d ( m vr )
dt
dt
若m为常量⇒
r F
=
m ar
3.牛顿第三定律
r F
=
−
r F
′
二.几种常见的力
1.万有引力、重力 2. 弹性力 3. 摩擦力
r F
=
−G
m1m2 r2
rr 0
W
=G
ME RE2
m
=
mg
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第2章 牛顿力学的基本定律
三.牛顿定律的应用
nr
=
rβτr
+
rω 2nr
6
1
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第1章 质 点 运 动 学
六.相对运动
相对运动问题指的是在不同参考系中观察 同一物体运动所给出的运动描述之间的关 系问题.
vva = vvr + uv 绝对速度=相对速度+牵连速度
ava = avr + ave 绝对加速度=相对加速度+牵连加速度
2） 运动方程 m&rr& = F (r) err
3）二维平面运动与运动方程
有心力场中质点的运动必定在一个平面
上，是二维的.
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
2.角动量守恒和机械能守恒 有心力场中运动的质点的特点 角动量守恒：由于有心力对力心O的力矩 为零，所以在有心力场中运动的质点对力 心O的角动量守恒； 机械能守恒：由于有心力是保守力，所以 在有心力场中运动的质点的机械能也守恒.
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第6章 质心力学定理
第6章 质心力学定理 一. 质心动量定理
1. 质心：以质点系各点质量为权重的系统位 置的平均值
v2 ρ
=
Fn
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第2章 牛顿力学的基本定律
五. 惯性系与非惯性系 惯性力
1.
平Fv移惯 非= 惯−m性av系0 中Fv合
=
v F外
+
v F惯
在非惯性系S＇中，只要将通常的合外力再 加上惯性力，则牛顿第二定律形式上成立.
2. 匀速转动非惯性系中
(1) 静止--惯性离心力
r F0
=
mω 2rr
质点组角动量：Lr
=
∑
r Li
(对同一点)
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i
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
r dL
=
(∑
r Midt
)
=
(∑
Mi
)dt
(微分形式)
∫ ∫ t2
r Mdt
=
t1
L2 L1
r dL
=
r L2
−
r L1
=
∆Lr
(积分形式)
质点组角动量的增量等于作用于质点组的合 外力矩的角冲量。
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
一. 角动量与力矩
1.质点的角动量 对某一定点
v L
=
rv
×
pv
=
rv
×
mvv
2.力矩 对某一定点
Mv = rv × Fv
3.质点的角动量变化定理
v dL
=
v Mdt
(微分形式)
∫ ∫ t2
r Mdt
=
t1
L2 L1
r dL
=
r L2
−
r L1
=
∆Lr
(积分形式)
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