高二数学课件：距离
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点到直线的距离公式 PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修一)
n
Q
l M(x, y)
由 PM (x x0, y y0) ，n
| PQ || (x x0, y y0) ( A, B) | A2 B2
( A, B) 知， A2 B2
| A(x x0) B( y y0) | A2 B2
| Ax Ax0 By By0 | A2 B2
AC
x0 )2
( ABx0 A2
A2 y0 B2
BC
y0 )2
(
A2
x0 A2
ABy0 B2
AC
)2
高中数学
高中数学
已知
P(x0 , y0 )
和 Q( B2 x0 ABy0 AC , ABx0 A2 y0 BC )，
A2 B2
A2 B2
则 | PQ |
(
B2 x0
ABy0 A2 B2
直线 l : Ax By C 0 的一个方向向量为 a (1, A) ,
B
与直线 l 垂直的一个方向向量可表示为
b (1, B ), 则 n b , 其中，| b |
A
|b|
1 B2 , A2
(1, B )
n A ,
1
B2 A2
( A, B)
所以，n
.
A2 B2
P ( x0, y0 )
高中数学
高中数学
问题2 上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思 求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗?
Ax By C 0,
(1)
Bx Ay Bx0 Ay0, (2)
A(x B( x
x0 ) x0 )
B( y A( y
y0 ) y0 )
C 0,
Ax0
Q
l M(x, y)
由 PM (x x0, y y0) ，n
| PQ || (x x0, y y0) ( A, B) | A2 B2
( A, B) 知， A2 B2
| A(x x0) B( y y0) | A2 B2
| Ax Ax0 By By0 | A2 B2
AC
x0 )2
( ABx0 A2
A2 y0 B2
BC
y0 )2
(
A2
x0 A2
ABy0 B2
AC
)2
高中数学
高中数学
已知
P(x0 , y0 )
和 Q( B2 x0 ABy0 AC , ABx0 A2 y0 BC )，
A2 B2
A2 B2
则 | PQ |
(
B2 x0
ABy0 A2 B2
直线 l : Ax By C 0 的一个方向向量为 a (1, A) ,
B
与直线 l 垂直的一个方向向量可表示为
b (1, B ), 则 n b , 其中，| b |
A
|b|
1 B2 , A2
(1, B )
n A ,
1
B2 A2
( A, B)
所以，n
.
A2 B2
P ( x0, y0 )
高中数学
高中数学
问题2 上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思 求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗?
Ax By C 0,
(1)
Bx Ay Bx0 Ay0, (2)
A(x B( x
x0 ) x0 )
B( y A( y
y0 ) y0 )
C 0,
Ax0
两点间的距离公式(同步课件)-2024-2025学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
(1 + 3)2 +(7 − 1)2 = 52 = 2 13，
|BC| =
(1 − 3)2 +(7 + 3)2 = 104 = 2 26.
∴|AB|2 + |AC|2 = |BC|2 ，且|AB| = |AC|，∴∆ABC是等腰直角三角形.
(2)∵S∆ABC =
1
|AC|
2
1
2
∙ |AB| = × ( 52)2 = 26，
第二章
直线和圆的方程
2.3.2两点间的距离公式
复习导入
直线的方程
点斜式
直线方程
已知条件
适用条件
斜截式
两点式
截距式
一般式
− 0 = ( − 0 )
= +
− 1
− 1
=
2 − 1 2 − 1
+ =1
Ax+By+C=0
(A,B不同时为0)
直线上一定点
y
y
P2 (x2，y2)
y
P1 (x1，y1)
P2 (x2，y2)
P1 (x1，y1)
O
①
P1 (x1，y1)
x
|1 2| = |2 − 1 |
O
x
②
|1 2| = |2 − 1 |
两点间的距离公式：|1 2 | =
Q (x2，y1)
P2 (x2，y2)
O
|1 2 | =
③
x
练习巩固
练习2：试在∆ABC中，AD是边BC上的中线.求证：|AB|2 + |AC|2 = 2(|AD|2 + |DC|2 ).
2.3.2两点之间的距离公式课件高二上学期数学人教A版选择性
个小区的距离之和最小？
知识点 两点间的距离公式
设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2两点间的距离公式：
法一：
P1P2 (x2 x1, y2 y1), P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
y
P2(x2，y2)
法二：构造直角三角形 根据勾股定理也可得
O
x
P1(x1，y1)
对角线为AC和BD．求证：|AC|＝|BD|.
y
证明：如图所示，建立平面直角坐标系．
D
C
设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a－b，c)
o (A)
Bx
所以|AC|＝ （b－0）2＋（c－0）2 ＝ b2＋c2 .
|BD|＝ （a－b－a）2＋（c－0）2 ＝ b2＋c2 .
2， 两式联立解得
x0＝－3， y0＝4
或
x0＝－1， y0＝2.
所求点的坐标为(－3，4)，(－1，2)
题型一 两点间的距离公式
例1（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过A(m,2),B(-m,m-1),两 点的直线的倾斜角是45º,则A,B两点间的距离为( )
A.2
B. 6
C.2 2
D.3 2
所以｜ AB ｜2＋｜ AC ｜2＝｜ BC ｜2，即△ ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形.
练习：1.设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线 mx－y－m＋3＝0交于点P，则|PA|2＋|PB|2＝( )
A．5
B． 5
C．52
D．与 m 的取值有关
直线x＋my－m＝0过定点A(0，1)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)，
知识点 两点间的距离公式
设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2两点间的距离公式：
法一：
P1P2 (x2 x1, y2 y1), P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
y
P2(x2，y2)
法二：构造直角三角形 根据勾股定理也可得
O
x
P1(x1，y1)
对角线为AC和BD．求证：|AC|＝|BD|.
y
证明：如图所示，建立平面直角坐标系．
D
C
设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a－b，c)
o (A)
Bx
所以|AC|＝ （b－0）2＋（c－0）2 ＝ b2＋c2 .
|BD|＝ （a－b－a）2＋（c－0）2 ＝ b2＋c2 .
2， 两式联立解得
x0＝－3， y0＝4
或
x0＝－1， y0＝2.
所求点的坐标为(－3，4)，(－1，2)
题型一 两点间的距离公式
例1（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过A(m,2),B(-m,m-1),两 点的直线的倾斜角是45º,则A,B两点间的距离为( )
A.2
B. 6
C.2 2
D.3 2
所以｜ AB ｜2＋｜ AC ｜2＝｜ BC ｜2，即△ ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形.
练习：1.设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线 mx－y－m＋3＝0交于点P，则|PA|2＋|PB|2＝( )
A．5
B． 5
C．52
D．与 m 的取值有关
直线x＋my－m＝0过定点A(0，1)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)，
点到直线的距离公式-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第一册)
一般式再用公式.
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适
用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系
练习巩固
例4(求到两点间距离相等的直线方程) 已知点P(1,1)，
Q(5,4)到直线l的距离都等于2，求直线l的方程.
【分析】根据直线l与直线PQ平行，过线段PQ的
中点或斜率不存在分类讨论
练习巩固
解:当l//PQ时，因为直线PQ的方程为3x-4y+1=0，
所以可设直线l的方程为3x-4y+m=0，
由 =
|−1|
5
= 2，得m=11或-9，
即直线l的方程为3x-4y+11=0或3x-4y-9=0
5
当l与PQ不平行时，由题意，直线l经过PQ的中点M(3, )
2
5
5
当直线l斜率存在时，设直线l为y- =k(x-3)，即kx-y+ -3k=0，
2
2
则 =
3
2
| −2|
2 +1
=
7
2，得k=− ，所以直线l的方程为7x+24y-81=0.
24
当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=3，符合题意.
综上，直线l的方程为3x-4y+11=0或3x-4y-9=0或7x+24y-81=0或x=3
练习巩固
例5(求点到直线的对称点) 若点A(a+2,b+2)关于直线
点P(x0,y0),直线l：Ax+By+C=0
y
P
M
| + +|
• 点P到直线 l 得距离为：d=
+
l
Q
2025版新教材高中数学第2章两点间的距离公式pptx课件新人教A版选择性必修第一册
2．通过学习两点间的距离，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.
必备知识•探新知
知识点 1 两条直线的交点
1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有_A__1a_＋__B_1_b_＋__C_1_＝__0____.
对点训练❷ (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝ 0恒过一定点，则该定点的坐标是_____(－__2_,_1_)_____.
(2)直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－ 2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
[解析] (1)直线 l：mx＋y－1＋2m＝0 可化为 m(x＋2)＋(y－1)＝0，
一组
无数组
直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系
一个 __相__交___
__无__数__个___ 重合
__无__解___
零个 __平__行___
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( B )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
[解析] 解方程组xx－＋yy＝＝35，， 得xy＝ ＝41， ， 因此交点坐标为(4,1)，故
两点间距离公式的应用
3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)， C(1,7)，试判断△ABC的形状．
[分析] 可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状．
[解析] 方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝ 104， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23，∴kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形．
必备知识•探新知
知识点 1 两条直线的交点
1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有_A__1a_＋__B_1_b_＋__C_1_＝__0____.
对点训练❷ (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝ 0恒过一定点，则该定点的坐标是_____(－__2_,_1_)_____.
(2)直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－ 2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
[解析] (1)直线 l：mx＋y－1＋2m＝0 可化为 m(x＋2)＋(y－1)＝0，
一组
无数组
直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系
一个 __相__交___
__无__数__个___ 重合
__无__解___
零个 __平__行___
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( B )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
[解析] 解方程组xx－＋yy＝＝35，， 得xy＝ ＝41， ， 因此交点坐标为(4,1)，故
两点间距离公式的应用
3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)， C(1,7)，试判断△ABC的形状．
[分析] 可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状．
[解析] 方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝ 104， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23，∴kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形．
2.3.2两点间的距离公式课件——高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
y
D(b,c) C(a+b,c)
直角坐标系，则有A(0,0)
设B(a,0),D(b,c),由平行四边形
的性质可得C(a+b,c)
|AB|2 a2, |CD|2 a2
o A(0,0) B(a,0) x
|AD|2 b2 c2, |BC|2 b2 c2
|AC|2 (a b)2 c2, |BD|2 (b- a)2 c2
例题分析
例3 已知点A(1,2), B(2, 7),在x轴上求一点P,使 得 | PA|| PB |,并求| PA|的值.
解：设所求点为P(x,0)，于是有
|PA| (x1)2 (0 2)2 x2 2x 5 |PB| (x 2)2 (0 7)2 x2 4x11
由|P A||P B|得 x2 2x 5 x2 4x11
已知：直线 l1 ：A1x+B1y+C1= 0
直线 l2 ： A2x+B2y+C2= 0
解关于l1、l2 的方程组：
唯一解
l1 、 l2 相交
无解 无穷多解
l1 、 l2 平行 l1 、 l2 重合
2.两条直线的位置关系的判定：
l1 : y k1x b1或A1x B1y C1 0
l2 : y k2 x b2或A2 x B2 y C2 0
A2
B2Байду номын сангаас
C2 0
1.l1与l2相交 k1 k2
或
A1 A2
B1 B2
2.l1 // l2 k1 k2且b1 b2
或
A1 A2
B1 B2
C1 C2
3.l1与l2重合
k1
k2且b1
b2
或
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件2.4点到直线的距离
25
变式探究2
本例中的(2)改为“原点到过点A(-1,2)的直线的距离最大的直线方程”,求此
直线方程.
解 (方法1)根据题意得,当所求直线与直线OA垂直时,原点到所求直线的距
1
离最大.因为直线OA的斜率为k=-2,因此所求直线的斜率为k= 2
程为y-2= 1 (x+1),整理可得x-2y+5=0.
并判断三角形的形状.
解 ∵A(5,5),B(1,4),C(4,1),
∴|AB|= (1-5)2 + (4-5)2 = √42 + 12 = √17;
2
2
|AC|= (4-5) + (1-5) = √12 + 42 = √17;
|BC|= (4-1)2 + (1-4)2 = √32 + 32 =3√2.
(1)两点间的距离公式;
(2)点到直线的距离公式;
(3)两平行线之间的距离公式.
2.方法归纳:公式法求两点间的距离、点到直线的距离以及两平行线之间
的距离,几何意义转化法求距离.
3.注意事项:求点到直线的距离时要将直线的方程化为一般式;求两平行线
之间的距离时,两平行直线方程x,y的系数应对应相等.
学以致用·随堂检测促达标
程.
解
6
由题意,得3
=
,解得
1
m=2.将直线 3x+y-3=0 化为 6x+2y-6=0,依题意所求
直线方程可以设为 6x+2y+t=0(t≠-1,且 t≠-6),则由
|+1|
√62 +22
此所求直线的方程为
7
6x+2y- =0,整理得
变式探究2
本例中的(2)改为“原点到过点A(-1,2)的直线的距离最大的直线方程”,求此
直线方程.
解 (方法1)根据题意得,当所求直线与直线OA垂直时,原点到所求直线的距
1
离最大.因为直线OA的斜率为k=-2,因此所求直线的斜率为k= 2
程为y-2= 1 (x+1),整理可得x-2y+5=0.
并判断三角形的形状.
解 ∵A(5,5),B(1,4),C(4,1),
∴|AB|= (1-5)2 + (4-5)2 = √42 + 12 = √17;
2
2
|AC|= (4-5) + (1-5) = √12 + 42 = √17;
|BC|= (4-1)2 + (1-4)2 = √32 + 32 =3√2.
(1)两点间的距离公式;
(2)点到直线的距离公式;
(3)两平行线之间的距离公式.
2.方法归纳:公式法求两点间的距离、点到直线的距离以及两平行线之间
的距离,几何意义转化法求距离.
3.注意事项:求点到直线的距离时要将直线的方程化为一般式;求两平行线
之间的距离时,两平行直线方程x,y的系数应对应相等.
学以致用·随堂检测促达标
程.
解
6
由题意,得3
=
,解得
1
m=2.将直线 3x+y-3=0 化为 6x+2y-6=0,依题意所求
直线方程可以设为 6x+2y+t=0(t≠-1,且 t≠-6),则由
|+1|
√62 +22
此所求直线的方程为
7
6x+2y- =0,整理得
高二【数学(人教B)16】空间中的距离(2)课件
解法三：由前面的解法知BC PB,
设点D到平面PBC 的距离为d , 则
V V ,
P BCD
D PBC
即1S
1 PA S
d，
3 BCD
3 PBC
所以 BC CD PA PB BC d，
P A
所以 d CD 1 2 ，
B
PB 2 2
所以点D到平面PBC 的距离为
2 .
2
D C
的距离.点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线 的长度.
P
B
A
求点到平面的距离的向量方法
向量的投影
如图,在空间中任取一点O, 作OM a, ON b. 过点M 作直线ON的垂线,垂足为H , 则OH就是a在b上的投影向量.
M
M
M
a
a
a
o
b
H
N
o H
b
b
N Ho
N
求点到平面的距离的向量方法
向量的投影
设a与b的夹角为 , 我们考察数量 = a cos 和 OH 的关系.
当
0,
π 2
时,
0;
M
a
当 π 时, 0;
o
H
b
N
2
M
当
π 2
,
π 时,
0.
a
b
Ho
N
M
a
o H
b
N
求点到平面的距离的向量方法
向量的投影
aM
不论 取何值，都有
o
H
b
N
ab
OH = a cos =
.
b
ab
借助参考向量在平面的法向量上的投影向量长度
两点间的距离公式课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
问题1：上图能建立坐标系吗?如果能，该怎么建立？在平面直角坐标系中 ， <Am></m>， <m>B</m>两点的坐标各是多少？如何求线段 <m>AB</m>的长度？ 能，可以以 <m>l1</m>与 <m>l2</m>的交点为坐标原点， <lm>1</m>为 <xm></m>轴 ， ><ml2</m>为 <m>y</m>轴建立平面直角坐标系.
归纳总结
1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的 形状，以确定证明的方向． 2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征， 主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要 考察边是否相等或是否满足勾股定理．
1.已知 A 3,7 ， B 2,5 ，则 A ， B 两点间的距离为( B@29 )
例2 已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)，试判断△ABC 的形状．
方法二
∵kAC＝1−7−−13
＝32，kAB＝3−−3−−13
＝－2，
3
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝ 1 + 3 2 + 7 − 1 2＝2 13，
|AB|＝ 3 + 3 2 + −3 − 1 2＝2 13， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．
例1 (1)若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相 等，则点M的坐标为 ( 34，0) ．
解：(1)设点M(x，0)(x>0)， 由题意可知， x2 + 02＝ 52 + −3 2， 解得x＝ 34. 所以点M的坐标为( 34，0)．
高二数学点到直线的距离公式课件
⑵.用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点 到两腰的距离之和等于一腰上的高。 证明:建立如图直角坐标系,设P (x,0),x∈( a, a ) y B(0,b) 可求得lAB:( bx ay ab 0) lCB:( bx ay ab 0) bx ab F |PE|=( ) 2 2 E a b bx ab x |PF|=( ) C(-a,0) O P A(a,0) 2 2 A到BC的距离h=(
要求：
1.掌握点到直线的距离公式的推导过程； 2.能用点到直线的距离公式进行计算； 3.能求有关平行线间的距离。
探索与思考： 如果已知点到直线的距离及直线的 有关特征，怎样求直线的方程。
思考题： 直线l在两坐标轴上的截距相等，点P(4,3) 到l的距离为3 2 ，求直线l的方程。
C 2 C1 C1 C 2 |B| PQ 2 2 2 2 B B A B A B
练习 1.求坐标原点到下列直线的距离：
(1) 3x+2y-26=0; (2) x=y 2.求下列点到直线的距离： (1) A(-2,3)， 3x+4y+3=0
3 x+y - 3 =0 (3) A(1,-2)， 4x+3y=0 3.求下列两条平行线的距离： (1) 2x+3y-8=0 ， 2x+3y+18=0 (2) 3x+4y=10 ， 3x+4y-5=0 (3) 2x+3y-8=0 ， 4x+6y+36=0
1=
1= -
P 1
y
l Q
M O Ax0 By0 C Ax0 C PM y0 y1 y0
B
B
已知P(x0,y0),设M(x1,y1) ∵PM∥Oy，∴x1=x0 将M(x0,y1)代入l的方程得 Ax0 C y1 x B
2.3.2 两点间的距离公式-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第一册)
∴| AC |2 | BD |2 2(| AB |2 | AD |2 ).
如何由平行四边 形的性质得到点C
的坐标
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条相邻的平方和的两倍.
坐标法的应用
利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为：
第一步：建立 坐标系，用坐 标表示有关的
量
第二步：进行 有关的代数运
04课堂小结
PART
ONE
课堂小结
1.平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)间的距离公式为
|P1P2| ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 .
2.用坐标法(解析法)解决几何问题的基本步骤
第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数计算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系． [注意] 建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算．
法一：
解:∵|AB|= (3 + 3)2 + (-3-1)2 = 52,
|AC|= (1 + 3)2 + (7-1)2 = 52, |BC|= (1-3)2 + (7 + 3)2 = 104,
∴|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2. ∴△ ABC 是等腰直角三角形.
两点间的距离公式
|P1 P2| ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 .
特别地, 原点O(0, 0)与任一点P(x, y)间的距离为
|OP| x2 y2 .
O
x
•
P1(x1,y1)
你还能用其他
方法证明这个
公式吗？
两点间的距离公式
思考1：在数轴上已知两点A、B，如何求A、B两点间的距离？
如何由平行四边 形的性质得到点C
的坐标
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条相邻的平方和的两倍.
坐标法的应用
利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为：
第一步：建立 坐标系，用坐 标表示有关的
量
第二步：进行 有关的代数运
04课堂小结
PART
ONE
课堂小结
1.平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)间的距离公式为
|P1P2| ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 .
2.用坐标法(解析法)解决几何问题的基本步骤
第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数计算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系． [注意] 建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算．
法一：
解:∵|AB|= (3 + 3)2 + (-3-1)2 = 52,
|AC|= (1 + 3)2 + (7-1)2 = 52, |BC|= (1-3)2 + (7 + 3)2 = 104,
∴|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2. ∴△ ABC 是等腰直角三角形.
两点间的距离公式
|P1 P2| ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 .
特别地, 原点O(0, 0)与任一点P(x, y)间的距离为
|OP| x2 y2 .
O
x
•
P1(x1,y1)
你还能用其他
方法证明这个
公式吗？
两点间的距离公式
思考1：在数轴上已知两点A、B，如何求A、B两点间的距离？
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复习提问:
1、距离： 垂线段AB
A
A
l
A
B
B
l //
2、距离转化：
B
//
点面距离 线面距离 面面距离
距离归根到底即是点与点间的距离 ３、平行平面的公垂线（段）： 有无数条
问题1、如图正方体中：异面直线AA1和BC
存在与异面直线AA1，BC 都垂直相交的直线吗？ A1
一、异面直线的公垂线
A
1、公垂线：和两异面直线都垂直且相交的直线 公垂线段：公垂线夹在异面直线间的部分
H
D
C
O
A
B
例2、已知两异面直线a、b所成的角为θ，E
F分别在a、b上,A´E= m,AF=n,EF= l求
公垂线段AA´的长d.
A’
E
m
a
d
l a’
A nF θ b
练习３、Ｐ50 7
作业
课本第50页 3,4,8
例2.如图,已知空间四边形OABC各边及
对角线长都是1,D、E分别是OA、BC的
中点,连结DE。
a//
作QM⊥
Q A
QM,a确定Βιβλιοθήκη c M B cb B
作AB⊥c
AB⊥
A’ a c a’
G
P B’ b
AB⊥b AB⊥a
AB是a,b的公垂线
2、①任意两条异面直线有且只有一条公垂线
②两条异面直线的公垂
a
线段是分别连结两条 Q A
异面直线上两点的
c a’
线段中最短的一条 M B
b
注意：公垂线段的唯一性、 最短性
(1)求证:DE是OA和
O
BC的公垂线。
D
(2)求OA和BC A 间的距离。
C E B
C B
练习1、已知正方体 ABCD ABCD ,说出
下列各对棱所在直线的公垂线：
⑴A’B’与BC； BB’
⑵AB与CC’； BC
⑶AD与BB’；AB
⑷A’D’与 B’C。
A’B’
D' A'
D A
C' B'
C B
问题2、任意两条异面直线都有公垂线吗？
有多少条公垂线？如何找？
a’//a a’,b确定
求：(1)异面直线B1C和BD1的距离。 (2)异面直线AD和BD1的距离。
D1 A1
C1 B1
D1 A1
C1 B1
M
DN C
A
B
P
D
C
A
B
转化法的关键：
会找平行线，进而得平行平面
练习２、正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱
长为1，求异面直线 AB1与 A1C1的距离。
D1 A1
C1
O1
B1
3、两条异面直线的距离：公垂线段的长度
二、异面直线的距离的求解：
１、a, b的距离
＝公垂线段AB长
A
a
＝ A到 的距离
＝ a与 的距离
＝ 与 的距离
a’
Bb
２、异面直线距离的求法：
(1)定义法： 找 (或作)公垂线段
(2) 转化法：线面距离、面面距离
注意：确保平行关系
例１、正方体ABCD-A1B1C1D1边长为2，
1、距离： 垂线段AB
A
A
l
A
B
B
l //
2、距离转化：
B
//
点面距离 线面距离 面面距离
距离归根到底即是点与点间的距离 ３、平行平面的公垂线（段）： 有无数条
问题1、如图正方体中：异面直线AA1和BC
存在与异面直线AA1，BC 都垂直相交的直线吗？ A1
一、异面直线的公垂线
A
1、公垂线：和两异面直线都垂直且相交的直线 公垂线段：公垂线夹在异面直线间的部分
H
D
C
O
A
B
例2、已知两异面直线a、b所成的角为θ，E
F分别在a、b上,A´E= m,AF=n,EF= l求
公垂线段AA´的长d.
A’
E
m
a
d
l a’
A nF θ b
练习３、Ｐ50 7
作业
课本第50页 3,4,8
例2.如图,已知空间四边形OABC各边及
对角线长都是1,D、E分别是OA、BC的
中点,连结DE。
a//
作QM⊥
Q A
QM,a确定Βιβλιοθήκη c M B cb B
作AB⊥c
AB⊥
A’ a c a’
G
P B’ b
AB⊥b AB⊥a
AB是a,b的公垂线
2、①任意两条异面直线有且只有一条公垂线
②两条异面直线的公垂
a
线段是分别连结两条 Q A
异面直线上两点的
c a’
线段中最短的一条 M B
b
注意：公垂线段的唯一性、 最短性
(1)求证:DE是OA和
O
BC的公垂线。
D
(2)求OA和BC A 间的距离。
C E B
C B
练习1、已知正方体 ABCD ABCD ,说出
下列各对棱所在直线的公垂线：
⑴A’B’与BC； BB’
⑵AB与CC’； BC
⑶AD与BB’；AB
⑷A’D’与 B’C。
A’B’
D' A'
D A
C' B'
C B
问题2、任意两条异面直线都有公垂线吗？
有多少条公垂线？如何找？
a’//a a’,b确定
求：(1)异面直线B1C和BD1的距离。 (2)异面直线AD和BD1的距离。
D1 A1
C1 B1
D1 A1
C1 B1
M
DN C
A
B
P
D
C
A
B
转化法的关键：
会找平行线，进而得平行平面
练习２、正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱
长为1，求异面直线 AB1与 A1C1的距离。
D1 A1
C1
O1
B1
3、两条异面直线的距离：公垂线段的长度
二、异面直线的距离的求解：
１、a, b的距离
＝公垂线段AB长
A
a
＝ A到 的距离
＝ a与 的距离
＝ 与 的距离
a’
Bb
２、异面直线距离的求法：
(1)定义法： 找 (或作)公垂线段
(2) 转化法：线面距离、面面距离
注意：确保平行关系
例１、正方体ABCD-A1B1C1D1边长为2，