14年高考真题——理科数学(湖北卷)

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（湖北卷）一．选择题1．i 为虚数单位，211i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） （A ）1- （B ）1 （C ）i - （D ）i2．若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =（ ） （A ）2 （B（C ）1 （D3．U 为全集，,A B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð”是“A B φ=”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件4．根据如下样本数据得到的回归方程为y bx a ∧=+，则（ ）（A ）0,0a b >> （B ）0,0a b >< （C ）0,0a b <> （D ）0,0a b <<5．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2。

给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ） （A ）①和② （B ）③和① （C ）④和③ （D ）④和②6．若函数()(),f x g x 满足()()()110f x g x d x -⎰=，则称()(),f x g x 为区间[]1,1-上的一组正交函数。

给出三组函数：①()()sin ,cos 22x x f x g x ==；②()()2,f x x g x x ==；③()()1,1f x x g x x =+=-。

其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）37．由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）（A ）81 （B ）41 （C ）43 （D ）87 8．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也。

又以高乘之，三十六成一。

该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3。

那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）（A ）227 （B ）258 （C ）15750 （D ）3551139．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）（A（B（C ）3 （D ）2 10．()f x 是定义在R 上的奇函数，0x ≥时，()()2221|||2|32f x x a x a a =-+--。

若x R ∀∈，()()1f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）（A ）11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B）66⎡-⎢⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D）33⎡-⎢⎣⎦二．填空题（一）必考题11．设向量()3,3a =，()1,1b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= 。

12．直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += 。

13．设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）。

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b = 。

14．设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f 。

例如，当()()10f x x =>时，可得(),2f a b M a b c +==，即(),f M ab 为b a ,的算术平均数。

⑴当()f x = ()0x >时，(),f M a b 为b a ,的几何平均数；⑵当()f x = ()0x >时，(),f M a b 为b a ,的调和平均数ba ab +2。

（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可） （二）选考，15．如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若1QC =,3CD =，则PB = 。

16．已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为 。

三．解答题17．（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：0C ）随时间（单位：h ）的变化近似满足函数关系：()()10sin 0241212f t t t t ππ=-≤<。

⑴求实验室这一天的最大温差；⑵若要求实验室温度不高于110C ，则在哪段时间实验室需要降温？18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且125,,a a a 成等比数列。

⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由。

19．(本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP 。

⑴当1=λ时，证明：直线1BC平面EFPQ ；⑵是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。

20．（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和。

单位：亿立方米）都在40以上。

其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年。

将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立。

⑴求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；⑵水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系。

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21．（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C 。

⑴求C 的方程；⑵设斜率为k 的直线l 过定点()2,1P -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。

22．π为圆周率， 2.71828e =为自然对数的底数。

⑴求函数()ln xf x x =的单调区间；⑵求33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数中的最大数与最小数；⑶将33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论。

2014年普通高校招生全国统考数学试卷湖北卷解答一．ACCBD CDBAB17．解：⑴由题()102sin 123f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又024t ≤<，故731233t ππππ≤+<，1sin 1123t ππ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭。

当2t =时，sin 1123t ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当14t =时，sin 1123t ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭。

于是()f t 在[)0,24上取得的最大值是12，最小值是8。

故实验室这一天的最高温度为120C ，最低温度为80C ，最大温差为40C ；⑵依题意，当()11f t >即1sin 1232t ππ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭时，实验室需要降温。

由024t ≤<得731233t ππππ≤+<，故71161236t ππππ<+<，即1018t <<。

故在10时至18时实验室需要降温。

18．解：⑴设数列{}n a 的公差为d ，则2,2,24d d ++成等比数列，故有()()22224d d +=+，解得0d =或4d =。

当0d =时，2n a =；当4d =时，42n a n =-。

从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-；⑵当2n a =时，26800n S n n =<+，此时不存在正整数n ，使得6800n S n >+成立；当42n a n =-时，22n S n =。

令2260800n n >+，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得6800n S n >+成立，n 的最小值为41。

综上，当2n a =时，不存在满足题意的正整数n ；当42n a n =-时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41。

19．解：以D 为原点，射线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系。

由已知得()2,2,0B ，()10,2,2C ，()2,1,0E ，()1,0,0F ，()0,0,P λ，()12,0,2BC =-，()1,0,FP λ=-，()1,1,0FE =。

⑴当1λ=时，()1,0,1FP =-，因为，所以12BC FP =，即1//BC FP 。

而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ；⑵设平面EFPQ 的一个法向量为(),,n x y z =，则由00FE n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩，于是可取(),,1n λλ=-。

同理可得平面MNPQ 的一个法向量()2,2,1m λλ=--。

若存在λ，使平面EFPQ 与平面MNPQ 所成的二面角为直二面角，则0m n ⋅=，即()()2210λλλλ---+=，解得12λ=±故存在12λ=±，使平面EFPQ 与平面MNPQ 所成的二面角为直二面角。