曲边梯形面积与定积分PPT
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1.5定积分的概念(4课时)ppt课件
作业： P45练习：2 .
1.5.3 定积分的概念
问题提出 1.求曲边梯形的面积和求变速直线运
动的路程，都可以通过“四步曲”解决， 这四个步骤是什么？其中哪个步骤是难 点？
分割→近似代替→求和→取极限.
2.求曲边梯形的面积与求变速直线运 动的路程是两类不同的问题，但它们有 共同的解决途径，我们可以此为基点， 构建一个新的数学理论，使得这些问题 归结为某个数学问题来解决，并应用于 更多的研究领域.
x 3)dx
(2x x )dx . 1
0
y sin( .x
)3
0
1
(2x
x 3)dx
0
1
2xdx
0
1x 3dx 1 1 3
0
44
小结作业
1.定积分是一个特定形式和的极限，其 几何意义是曲边梯形的面积，定积分的 值由被积函数，积分上限和下限所确定.
2.在实际问题中，定积分可以表示面积、 体积、路程、功等等，求定积分的值目 前有定义法和几何法两种，有时利用定 积分的性质进行计算，能简化解题过程.
B组：2，3.
i)
，那么
当n→∞时，Sn的极限是否一定存在？
一定存在
思 做考 函数4：f(数x)学在上区，间把[a，nlimb]in上1 b的n定a f积( i )分，叫
记作
b
f (x)dx，即
a b
f (x)dx
a
lim
n
n i1
b
af( n
i)
其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，
பைடு நூலகம்
区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫
2
(x 1)dx 的值.
1
高等数学PPT课件：定积分的概念与性质
(1) 任意 a x0 x1 x2 xn1 xn b xi xi xi1 ,(i 1,2, , n),
(2) 任取 i xi , f (i )xi (i 1,2, , n)
n
(3) 并作和 S f (i )xi i 1
(4) 记 max{ x1, x2 , , xn },
定积分的概念与性质
性质7(定积分中值定理）f ( x)在[a,b]上 连续,
至少存在一点 [a,b] 积分中值公式
ab f ( x)dx f ( )(b a) (a b).
证
m(b
a)
b
a
f
(
x
)
dx
M(b a)
m
b
1
a
b
a
f
(
x)dx
M
闭区间上连续函数介值定理: [a,b]
f
(
(a b)
平均值公式
27
定积分的概念与性质
b
a
f
(
x)dx
f ( )(b a)
(a
b)
积分中值公式的几何解释
y f ( ) •
y f (x)
O
a
•
bx
曲边梯形的面积 ==矩形的面积
28
定积分的概念与性质
b
a
f
(
x)dx
f ( )(b a)
(a
b)
例
求证
lim
n
na
n
sin xdx x
定积分
definite integral
定积分和不定积分是积分学的两个 主要组成部分.
不定积分侧重于基本积分法的训练, 而定积分则完整地体现了积分思想 ---一种认识问题、分析问题、解决问题的 思想方法.
(2) 任取 i xi , f (i )xi (i 1,2, , n)
n
(3) 并作和 S f (i )xi i 1
(4) 记 max{ x1, x2 , , xn },
定积分的概念与性质
性质7(定积分中值定理）f ( x)在[a,b]上 连续,
至少存在一点 [a,b] 积分中值公式
ab f ( x)dx f ( )(b a) (a b).
证
m(b
a)
b
a
f
(
x
)
dx
M(b a)
m
b
1
a
b
a
f
(
x)dx
M
闭区间上连续函数介值定理: [a,b]
f
(
(a b)
平均值公式
27
定积分的概念与性质
b
a
f
(
x)dx
f ( )(b a)
(a
b)
积分中值公式的几何解释
y f ( ) •
y f (x)
O
a
•
bx
曲边梯形的面积 ==矩形的面积
28
定积分的概念与性质
b
a
f
(
x)dx
f ( )(b a)
(a
b)
例
求证
lim
n
na
n
sin xdx x
定积分
definite integral
定积分和不定积分是积分学的两个 主要组成部分.
不定积分侧重于基本积分法的训练, 而定积分则完整地体现了积分思想 ---一种认识问题、分析问题、解决问题的 思想方法.
高二数学定积分概念.pptx
lim 0
n
ei
i 1
1 n
lim
iY
n n1
1
e lim
ni
en
n i1
n n n i1
1
1
lim
n
1 n
1
(e
n)
1
n
1
en
(1 e) lim n
n
1
1 en
1 en
e 1
第7页/共91页
第二节 定积分的性质
定积分的性质
第8页/共91页
规定：(1)当a b时，b f (x)dx 0; a
1
xdx
1ln(1 x)dx.又在[0，1]上，x ln(1 x) 0，
0
0
故
1
xdx
1
ln(1 x)dx.
0
0
例2：估计下列积分值
（1）4 (x2 1)dx；（2）0 ex2xdx.
1
2
第12页/共91页
解： (1)2 x2 1 17，
2 (4 1) 4 (x2 1)dx 17 (4 1) 1
b
n
a
f (x)dx I
lim 0
i 1
f (i )xi
这里f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积
分变量，a,b叫做积分下限和上限，[a,b]叫做积分区间。
n
Y
注意:(i) 当和 f (i )xi的极限存在时，其极限I仅与被积函数
i 1
f (x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关，即
x f (t)dt也是f (x)的a一个原函数，从而
a
F(x) (x) C.令x a有F(a) C.即F(x) (x) F(a)
定积分的概念
i 1 i 1 n n
i2 1 n 2 i n3 n3 i 1
• 由前n个正整数平方和公式可得：
S nn 12n 1 1 1 2 1 1 6n3 6 n n
• 取极限：当分割足够「细」时面积的替代值将逼近真实值，由于分割为等分， 故分割足够困等价于n→+∞，于是：
S lim S lim
n
1 1 1 1 1 2 n 6 n 3 n
• 下面我们透过「几何画板」滨示课件来体会→+∞这一过程中「替代面积」所 发生的变化。
课堂练习
• 课本第42页中间练习题。
小 结
• 仔细体会割圆术 的重要思想，即「以直代曲」
「割圆术」 思想
• 由割圆术的过程可大致将「微元法」思想归纳为以下三步： • 分割：将几何图形分割为若干小图形（将圆分为若干全等 扇形）。 • 近似代替：将所得小图形的面积用易于表达和计算的图形 的面积近似替代（用扇形中三角形的面积近似春代扇形的 面积） • 求和：将近似替代的各部分面积相加求和。
• 曲边梯形的面积通常用字母「A」 来表示（也可用字母「S」表 示），那么我们应如何求出曲 边梯形的面积呢？ • 「曲边梯形」与「直边图形」 区别在于：前者有一段「曲边」 而后者的边界均为直线（段），
于是直边图形的面积公式均不
能直接用于「曲边梯形」面积 的计算。
「割圆术」
• 我们在小学就学习了半径 为R的圆的面积公式为： S=pR2，这个公式是如何 得出的呢？ • 通过「割圆术」不难看出 「分割」次数越大，圆内 接正多边形的面积就越接 近圆的面积，在此使用了 「以直代曲」的方法，是 「微元法」的重要思想。
•其中i=1，2，3， …，n-1，n。 •代替第i个小曲边梯形的矩形的面 积为：
i2 1 n 2 i n3 n3 i 1
• 由前n个正整数平方和公式可得：
S nn 12n 1 1 1 2 1 1 6n3 6 n n
• 取极限：当分割足够「细」时面积的替代值将逼近真实值，由于分割为等分， 故分割足够困等价于n→+∞，于是：
S lim S lim
n
1 1 1 1 1 2 n 6 n 3 n
• 下面我们透过「几何画板」滨示课件来体会→+∞这一过程中「替代面积」所 发生的变化。
课堂练习
• 课本第42页中间练习题。
小 结
• 仔细体会割圆术 的重要思想，即「以直代曲」
「割圆术」 思想
• 由割圆术的过程可大致将「微元法」思想归纳为以下三步： • 分割：将几何图形分割为若干小图形（将圆分为若干全等 扇形）。 • 近似代替：将所得小图形的面积用易于表达和计算的图形 的面积近似替代（用扇形中三角形的面积近似春代扇形的 面积） • 求和：将近似替代的各部分面积相加求和。
• 曲边梯形的面积通常用字母「A」 来表示（也可用字母「S」表 示），那么我们应如何求出曲 边梯形的面积呢？ • 「曲边梯形」与「直边图形」 区别在于：前者有一段「曲边」 而后者的边界均为直线（段），
于是直边图形的面积公式均不
能直接用于「曲边梯形」面积 的计算。
「割圆术」
• 我们在小学就学习了半径 为R的圆的面积公式为： S=pR2，这个公式是如何 得出的呢？ • 通过「割圆术」不难看出 「分割」次数越大，圆内 接正多边形的面积就越接 近圆的面积，在此使用了 「以直代曲」的方法，是 「微元法」的重要思想。
•其中i=1，2，3， …，n-1，n。 •代替第i个小曲边梯形的矩形的面 积为：
1.4.1曲边梯形的面积与定积分(上课用)
2、一般函数定积分的定义 设f(x)是定义在区间[a，b]上的一个函数， 在闭区间[a，b]上任取n－1个分点
a x0 x1 xi 1 xi xn b
把[a，b]分成 n个小闭区间，其长度依次 为△x=xi+1－xi，i=0，1，2，„，n－1，记 λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0 时，所有小区间的长度都趋近于0，在每个 i [ xi 1 , xi ] 小区间内各取一点，
i 1 2 ) 为 左端点的纵坐标 ( n 1
高，△x= 形，
n
为底作小矩
x O
1
于是图中曲线之下小矩形面积依次为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 0 , ( ) , ( ) , , ( ) , n n n n n n n
2
所有这些小矩形的面积的和为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 Sn 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n
3.定积分的几何意义：
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
求由抛物线y=x2与直线x=0、x=1、 1 y=0所围成的平面图形的面积．
B
四步曲：
曲边三角形
1°分割— 化整为零 1 2°近似代替— 以直代曲 O A x 0 x 1 x ? 3°求和 — 积零为整 1 1 2 n 1 0, , , ,, ,1 4°取极限(逼近) — n n n n 精益求精
2 kb 当n→+∞时，上式右端趋近于 2
于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为
kb W lim Wi n 2 i 0
n 1 2
以上两个实际问题，一个是求曲边梯形 的面积，一个是求变力所做的功，虽然实 际意义不同，但解决问题的方法和步骤是 完全相同的，都归结为求一个函数在某一 闭区间上的和式的极限问题.
定积分
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的 曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 f (x)dx 在几何上表示
a
b
y yf (x)
上述曲边梯形面积的负值。
S [ f ( x)]dx
a b
S [ f ( x)]dx
a
b
a
b
O
2 1 4
(2) (cos x sin x)dx;
0
4
1 (3) (2 x 2 )dx; 1 x
3
1 (4) ( x 4 )dx; 1 x
2 2
(5)
0
(cos x e x )dx.
先化简再求定积分
3.计算下列定积分：
2 x 2 (1) sin dx; 0 2
b a b a a b
性质1： a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx. 性质2： a kf ( x )dx k a f ( x )dx.
b c b a a c b b
b
b
b
可推广到多项
性质3： f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx.
a
b
x
b
f ( x)dx ． ，
a f
b
b
(x)dx S
a f (x)dx c
c
f (x
a f
b
(x)dx S
a f (x)dx c
c
f (x)dx。
yf (x)
定积分的几何意义
f x 既有正值又有负值时，
09曲边梯形面积与定积分
每个区间的长度为 x i n i 1 n 1 n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S 1 , S 2 , , S i , , S n .
（2） 以直代曲
Si f ( i 1 n )x ( i 1 n )
S
b
f ( x)dx
a
2．定积分的实质：特殊和式的逼近值． 3．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取逼近
积零为整
取逼近
精确值——定积分
回顾小结
2.一般定积分的几何意义是,在区间[a,b] 上曲线与x轴所围成图形的面积的代数 和.
3.定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区 间有关，而与积分变量的记法无关，即
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
2
1 n
n
（3）作和
S S1 S 2 S n
S
i 1
i
1 n
n
i 1
i -1 1 f( ) n n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S 1 , S 2 , , S i , , S n .
（2） 以直代曲
Si f ( i 1 n )x ( i 1 n )
S
b
f ( x)dx
a
2．定积分的实质：特殊和式的逼近值． 3．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取逼近
积零为整
取逼近
精确值——定积分
回顾小结
2.一般定积分的几何意义是,在区间[a,b] 上曲线与x轴所围成图形的面积的代数 和.
3.定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区 间有关，而与积分变量的记法无关，即
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
2
1 n
n
（3）作和
S S1 S 2 S n
S
i 1
i
1 n
n
i 1
i -1 1 f( ) n n
曲边梯形的面积及定积分定义39页PPT
[ 0 ,1 ][1 ,,2 ],[i 1 ,i],[n 1 ,n ], nnn nn nn
每个区间的x长 i 度 i1为 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
n
S 1 , S 2 ,, S i,, S n .则 S S i i 1
（2） 近似代替
Байду номын сангаас
a
a
c
(其a中 cb)
例2 已知 1x3dx1, 2x3dx15,
0
41
4
2x2dx7, 4x2dx56,
1
32
3
求（1）2 3x3dx 0
(2) 4 6 x2dx 1
(3) 2 (3x 2 2 x3 )dx 1
已知3dx3,
3
xd
x
9,
0
0
2
3x2dx9, 3x3dx81,
f ( 1 ) x 1 f ( 2 ) x 2 f ( 3 ) x 3 f ( n ) x n
表示了曲边梯形面积的近似值
演示
分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
下面方案“以直代曲”的具体操作过程
（1）分割
把区间[0，1]等分成n个小区间：
为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边” （即在很小范围内以直代曲)
y
演示
O
1
x
当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x) 在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从 而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi) 作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示 小曲边梯形的面积
每个区间的x长 i 度 i1为 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
n
S 1 , S 2 ,, S i,, S n .则 S S i i 1
（2） 近似代替
Байду номын сангаас
a
a
c
(其a中 cb)
例2 已知 1x3dx1, 2x3dx15,
0
41
4
2x2dx7, 4x2dx56,
1
32
3
求（1）2 3x3dx 0
(2) 4 6 x2dx 1
(3) 2 (3x 2 2 x3 )dx 1
已知3dx3,
3
xd
x
9,
0
0
2
3x2dx9, 3x3dx81,
f ( 1 ) x 1 f ( 2 ) x 2 f ( 3 ) x 3 f ( n ) x n
表示了曲边梯形面积的近似值
演示
分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
下面方案“以直代曲”的具体操作过程
（1）分割
把区间[0，1]等分成n个小区间：
为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边” （即在很小范围内以直代曲)
y
演示
O
1
x
当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x) 在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从 而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi) 作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示 小曲边梯形的面积
定积分概念、性质ppt课件
上例曲边图形的面积用定积分表示
S1x2d x lin m (n 1 )2 (n 1 )1
0
n 6 n 3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定：
a
f(x)d x0,
b
a
f(x)d x f(x)dx
b f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
推2 论 ：b
.
f(x)d
x
b
f（ x） dx,(ab)
a
a
因f(x)f(x)f(x)
.
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最
小值m， 于是， 由性质5有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
几何意义也很明显
性质 7（积分中值若定函理 f(数 x)） 在[a： ,b]上连续，
S曲
lim n
n i 1
S i矩
lim
n
(n
1)( 2n 6n 2
1)
1 0.333 3
.
总结：求曲边梯形面积的步骤 v
引例1——曲边梯形的面积（演示） 引例2——变速直线运动的路程
设物体的运动速度 vvt
分割区间 作和
取近似值 取极限
T1
ti-1 i ti T2 t
（1）细分区间 [ T 1 ,T 2 ] [ T 1 ,t 1 ] U [ t 1 ,t2 ] U L U [ tn 1 ,T 2 ]
曲边梯形的面积，即：
n
S曲
.
lim
n i1
人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用第五节(第一课时)曲边梯形的的面积和定积分的概念(共19张
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
2、近似代替
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i-1) n
10
S第1个黄色矩形
n
f
() n
0
S第2个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
凡 事 都是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看 到 不 同 的 结果 。 若 能 把 一 些 事 看 淡 了 ，就 会 有 个 好 心 境 ， 若 把 很 多事 看 开 了 ， 就 会有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹 如 月 缺 月 圆那 样 寻 常 ， 让 得 失 利 弊 犹 如花 开 花 谢 那 样 自 然 ， 不 计 较， 也 不 刻 意 执 着； 让 生 命 中 各 种 的 喜 怒 哀 乐 ， 就 像 风 儿一 样 ， 来 了 ， 不 管 是 清 风 拂面 ， 还 是 寒 风 凛 冽 ， 都 报 以自 然 的 微 笑 ， 坦然 的 接 受 命 运 的 馈 赠 ， 把 是 非 曲 折 ， 都当 作 是 人
n
i 1
f i x
n i 1
ba n
f i
当n→∞时,上式无限接近某个常数,这个常数叫做函数
f
(x)在区间[a,b]上的定积分
记作 b a
f
xdx
b a
f xdx lim n
n i 1
ba n
f i
定积分的定义：即
b a
f
(x)dx
lim
n
n i1
高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt
二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
定积分的概念ppt课件
3ab
f
xdx＝ac
f
ห้องสมุดไป่ตู้
x
dx＋ b c
f
xdx其中a
c
b.
练习
计算 2 x3dx的值,并从几何上解释这个值 表示什么. 0
分割 近似代替 求和 取极限
小结
定义 定积分 几何意义
性质
作业
课本第50页习题1.5A组3,5
12
(4)取极限
1
1
1
2
4 n
1 0
x3dx
lim
n
Sn
lim
n
1 4
1
1 n
2
1 4
定积分的性质
1ab
kf
xdx
k
b
a
f
xdxk为常数；
2ab f1x
f2 xdx＝ab
f1xdx
b
a
f2 xdx；
定积分的概念
曲边梯形面积
S
n
lim x0 i1
f
i
n
x lim n i1
1 n
f
i
变速运动的路程
S
lim
t 0
n
i 1
i
t
lim
n
n i 1
1
n
i
y y=x2
曲边梯形
O
1x
分割 近似代替 求和 取极限
f (x)dx 被积式
你能说说定积分的几何意义吗?
f (x)连续 f (x)≥0
曲边梯形的面积就是定积分 b a
定积分定义ppt课件
说明： 定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变
量的记法无关, 即
a b f ( x ) d a b f ( t ) d x a b f ( u ) d t . u
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x 二、定积分定义
❖定积分的定义 ❖函数的可积性
a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m
已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且 v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S. (1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, Dtititi1; (2)近似代替: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为
DSiv(i)Dti ( ti1< i<ti );
于是
1exd x lim nen i 1li1 m (e1 n en 2 en n)
0
n i 1 nn n
1
1
1
lim 1en[1(en)n]lim en[1e]e1
n n
1
1en
n
1
n(1en)
上页 下页 返回 退出
•利用几何意义求定积分
例 例2 2 用 定 积 分 的 几 何 意 义 求 0 1 ( 1 x ) d . x
•观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时,
小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
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•求曲边梯形的面积 (1)分割: ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxixixi1;
(2)近似代替: 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
量的记法无关, 即
a b f ( x ) d a b f ( t ) d x a b f ( u ) d t . u
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x 二、定积分定义
❖定积分的定义 ❖函数的可积性
a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m
已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且 v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S. (1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, Dtititi1; (2)近似代替: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为
DSiv(i)Dti ( ti1< i<ti );
于是
1exd x lim nen i 1li1 m (e1 n en 2 en n)
0
n i 1 nn n
1
1
1
lim 1en[1(en)n]lim en[1e]e1
n n
1
1en
n
1
n(1en)
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•利用几何意义求定积分
例 例2 2 用 定 积 分 的 几 何 意 义 求 0 1 ( 1 x ) d . x
•观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时,
小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
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•求曲边梯形的面积 (1)分割: ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxixixi1;
(2)近似代替: 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
4.1.1《定积分的背景--面积和路程问题》课件(北师大版选修2-2)
2
所以S-s=0.3.
答案：0.3
5.变速运动的物体的速度和时间之间的函数关系式为 v(t)=t+2，估计该物体在区间［0,2］内运动的路程.若将区 间10等分，则其不足估计值为_____. 【解析】把区间［0,2］10等分，取小区间的左端点的函数值 作为小区间的平均速度，可得不足估计值为： s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.0+3.2+3.4+3.6+3.8)×0.2=5.8. 答案：5.8
估计值，分割的越细，估计值就越接近精确值.
典型例题精析
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.（2010·安庆高二检测）在“近似替代”中，函数f(x)在区
间［xi,xi+1］上的近似值等于（
）
（A）只能是区间的左端点的函数值f(xi) （B）只能是区间的右端点的函数值f(xi+1) （C）可以是区间内的任意一点的函数值f(ξ i)（ξ i∈ ［xi,xi+1］） （D）以上答案均正确 【解析】选C.以直代曲，可以把区间［xi,xi+1］上的任意一点 的函数值f(ξi)（ξi∈［xi,xi+1］）作为小矩形的高.
【解题提示】首先根据题设信息，求出过剩估计值与不足 估计值，然后确定答案. 【解析】选D.由例2的练一练1可知，其过剩估计值与不足估计 值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在［16.2g,19.8g］之间.
二、填空题（每题5分，共10分） 4.求曲线y= 1 x2与直线x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面 积时，把区间5等分，其估计误差不超过_____. 【解析】分别以左、右端点的函数值为小矩形的高，得此平面 图形面积的不足估计值s和过剩估计值S如下：
所以S-s=0.3.
答案：0.3
5.变速运动的物体的速度和时间之间的函数关系式为 v(t)=t+2，估计该物体在区间［0,2］内运动的路程.若将区 间10等分，则其不足估计值为_____. 【解析】把区间［0,2］10等分，取小区间的左端点的函数值 作为小区间的平均速度，可得不足估计值为： s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.0+3.2+3.4+3.6+3.8)×0.2=5.8. 答案：5.8
估计值，分割的越细，估计值就越接近精确值.
典型例题精析
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.（2010·安庆高二检测）在“近似替代”中，函数f(x)在区
间［xi,xi+1］上的近似值等于（
）
（A）只能是区间的左端点的函数值f(xi) （B）只能是区间的右端点的函数值f(xi+1) （C）可以是区间内的任意一点的函数值f(ξ i)（ξ i∈ ［xi,xi+1］） （D）以上答案均正确 【解析】选C.以直代曲，可以把区间［xi,xi+1］上的任意一点 的函数值f(ξi)（ξi∈［xi,xi+1］）作为小矩形的高.
【解题提示】首先根据题设信息，求出过剩估计值与不足 估计值，然后确定答案. 【解析】选D.由例2的练一练1可知，其过剩估计值与不足估计 值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在［16.2g,19.8g］之间.
二、填空题（每题5分，共10分） 4.求曲线y= 1 x2与直线x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面 积时，把区间5等分，其估计误差不超过_____. 【解析】分别以左、右端点的函数值为小矩形的高，得此平面 图形面积的不足估计值s和过剩估计值S如下：
定积分的概念和性质课件
i 1
f(ξｉ )
0
a x0 x1
x2 xi 1 ξｉxi
xn 1 x b n
x
（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之
分割越细， f (i )xi 就越接近于曲边梯形的面积A，当
和的极限 就是曲边梯形面积A的精确值。 n
i 1
小区间长度最大值趋近于零，即
n
0（ 表示 这些小区间的长度最大者）时，和式 f ( i )xi 的
b
• 证
[ f ( ) g ( )]x [ f ( x) g ( x)]dx lim
b a 0 i 1 n i i
n
i
lim f ( i )xi lim g ( i )xi
0
b i 1
n
0
i 1
f ( x)dx g ( x)dx
a
f ( x)dx f ( )(b a) ( a b)
这个公式叫积分中值公 式。
证 由性质6，有
m(b a) f ( x)dx M (b a)
a b
即有
1 b m f ( x)dx M a ba
因m、M分别是f ( x)的最小值和最大值，由 连续函数的介值定理知 ，在[a，b]上至少存 在一点，使得 1 b f ( x)dx f ( ) ba a
若f(x)≥0，则 a f ( x)dx 的几何意义表示 由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b与x轴所围成 的曲边梯形的面积。
b
一般情形,a f ( x)dx 的几何意义为：它 是介于x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b 之 间的各部分面积的代数和。
b
y
f(ξｉ )
0
a x0 x1
x2 xi 1 ξｉxi
xn 1 x b n
x
（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之
分割越细， f (i )xi 就越接近于曲边梯形的面积A，当
和的极限 就是曲边梯形面积A的精确值。 n
i 1
小区间长度最大值趋近于零，即
n
0（ 表示 这些小区间的长度最大者）时，和式 f ( i )xi 的
b
• 证
[ f ( ) g ( )]x [ f ( x) g ( x)]dx lim
b a 0 i 1 n i i
n
i
lim f ( i )xi lim g ( i )xi
0
b i 1
n
0
i 1
f ( x)dx g ( x)dx
a
f ( x)dx f ( )(b a) ( a b)
这个公式叫积分中值公 式。
证 由性质6，有
m(b a) f ( x)dx M (b a)
a b
即有
1 b m f ( x)dx M a ba
因m、M分别是f ( x)的最小值和最大值，由 连续函数的介值定理知 ，在[a，b]上至少存 在一点，使得 1 b f ( x)dx f ( ) ba a
若f(x)≥0，则 a f ( x)dx 的几何意义表示 由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b与x轴所围成 的曲边梯形的面积。
b
一般情形,a f ( x)dx 的几何意义为：它 是介于x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b 之 间的各部分面积的代数和。
b
y
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y
o a x1
b xi1 xi xn1
x
（2）近似替代：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面 积。在第i个小区间上任取一点i (i 1,2,,n) ，作以[xi1, xi ]为 底， f (i )为高的小矩形，用其面积近似代替第i 个小曲边梯 形的面积Ai ，
Ai f (i )xi (i 1,2,, n)
a x0 x1 xn1 xn b
把区间[a,b]分成 n 个小区间 [xi , xi1] (i 0,1, 2,, n 1)
记
xi xi1 xi (i 0,1, 2,, n 1) ， 0mianx1{xi}
在每个小区间[xi , xi1] 上任取一点i ，做乘积 f (i )xi (i 0,1, 2,, n 1)
么有
b
a
f
( x)dx
c
a
f
(x)dx
b
c
f
(x)dx
这个性质对区间分成有限个的情形也成立。
性质 4 积分的上下限对换则积分变号，即
b
a
f
( x)dx
a b
f
(x)dx
练习 教材Ｐ３９习 题
课后小结
本节要求学生理解定积分的概念，性质。教学重点为定 积分的概念。
y
y f (x)
A?
oa
bx
图4-1
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
求解曲边梯形面积的步骤：
（1）分割：将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形.任取分 点 a x0 x1 xn1 xn b ， 把 底 边[a,b]分 成 n 个 小 区 间 [xi1, xi ] (i 1,2,, n).
n2
kb2 n2
n(n 1) 2
kb2 2
(1
1) n
当n ,得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为
W
lim
n
n 1
Wi
i0
kb2 2
引例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围成的区
域的面积.
n 1
S lim n i0
f (xi )x
引例2.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比, 即力 F(x)=kx (k是常数,x是伸长量).求弹簧从 平衡位置拉长b所做的功.
4-4
所示，则定积分
b
a
f
(
x)dx
可用四个曲边梯形面积的代数和
表示
A1 A2
A3 A4
b
a
f
( x)dx
A1
A2
A3
A4
尽管定积分
b
a
f
(
x)dx在各种实际问题中的意义各不相同，
但它的值在几何上都可以用曲边梯形的面积来表示.
四、定积分的性质
性质 1 被积函数的常数因子可以提到积分符号外面，
则从0到b所做的功W近似等于:
n1
Wi
i0
n 1
kxi
i0
x
n1 k ib b i0 n n
n1
Wi
i0
n 1
kxi
i0
x
n1 k ib b i0 n n
kb2 [0 1 2 ... (n 1)]
n
S
lim V
0 i1
(i
)ti
步骤：分割，近似，求和，取极限
经过这四个步骤的分析计算，得到的结论是变速直线运 动的物体在时间间隔[T1,T2 ]上的路程也是一个和式的极限。
二、定积分的定义
定义 设函数 y f (x) 在区间[a,b]上连续，在[a,b]内任意
插入 n-1 个分点
n n
.
x i i n
g1 n
,
...,
n
n
1
2
1 n
g1 n
.
1 n
o
1
x
解:
Sn
矩形的面积和：
02
g1 n
1 n
2
g1 n
2 n
2
g1 n
...
n
1 n
2
g1 n
1 [02 12 22 ... (n 1)2 ] n3
11 n(n 1)(2n 1) 1 (1 1)(2 1)
y n3
6
6n n
x 1 n , x 0
n
S
lim
x0
Sn
lim
x0
1 6
(1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)(2 n
1) n
1
o
3
1
x
引例2.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比, 即力 F(x)=kx (k是常数,x是伸长量).求弹簧从 平衡位置拉长b所做的功.
n 1
W
lim n i0
f (xi )x
第一节 定积分的概念
一、引例 曲边梯形的面积 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质
一、曲边梯形的面积
曲边梯形是指在直角坐标系中，由闭区间[a , b]上的连续 函数 y f (x) ( f (x) 0)， x 轴以及直线 x a ， x b围成的平面 图形，如图 4-1，下面的任务是要计算这个曲边梯形的面积.
1.4定积分与微积分基本定理
第一节 曲边梯形面积与定积分 第二节 定积分的计算 第三节 定积分的应用 习题课
引例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围成的区
域的面积.
解:将区间［0,1］等分为n个小区间:
0,
1 n
,
1 n
,
2 n
,
...,
i
1 n
,
i n
,...,
n 1 n
,
n n
.
y
1
每个小区间的长度为：x
矩形的高： i
n
1
2
底：x
i
n1 n
i
1 n
1 n
o
1
x
解:将区间［0,1］等分为n个小区间:
矩矩0,形 形y1n 的 的1, 高 面1n ,：积n2：i,.n.0.1,2gi1n2n,1底,1nn：i 2,x.g.1n., ,1nnn2n12,
A
n
lim
0 i1
f
(i
)xi
（和式的极限）
（4-2）
步骤：分割，近似，求和，取极限
类似想法、方法还有许多应用，比如在物理学里，已知 一物体沿直线运动，速度V V (t)是时间t 函数，计算在[T1,T2 ] 这段时间内所经过的路程S 。
仿照上面方法： （１）分割：任取分点T1 t0 t1 tn1 tn T2，把[T1,T2 ] 分成n个小区间，每个小区间长为
si v i ti i 1,2, ,n
第i段路程值
第i段某时刻的速度
（3）求和：把 n 个小段时间上的路程相加，就得到总
路程S 的近似值，即
n
n
S Si V (i )ti
i1
i1
（4）取极限：当 m1aixn {ti} 0时，上述总和的极限 就是S 的精确值，即
面积。
如果在[a,b]上 f (x) 0时，由曲线 y f (x)，x 轴以及直线x a ，
x
b围成的曲边梯形位于
x
轴的下方，如图
4-3
所示，定积分
b
a
f
(
x)dx
在几何上表示上述曲边梯形的面积的负值。
如果在[a,b]上 f (x)即取正值又取负值时，函数 f (x)的图
形某些部分在 x 轴的上方，而其他部分在 x 轴的下方，如图
f (i )xi
积分上限
b
a
f
( x)dx
积分下限
被 积
被 积
积 分
[a,b] 积分区间
函
表变
数
达量
式
有了这个定义，前面两个实际问题都可用定积分表示
为：
曲边梯形面积
A
b
a
f
(
x)dx
变速直线运动的路程S
VT 2 T
(t)dt
1
两点注意：
（1）定积分为一确定常数，其值与被积函数，积分区
解： W=Fx F(x)=kx
将区间［0,b］ n等分: x b 分点依次为：
b
2b
n (n 1)b
x0 0, x1 n , x2 n ,..., xn1 n , xn b.
n ,在分段[xi,xi+1]所用的力约为kxi，所做的功:
b Wi kxi x kxi n
的和式：
n 1
In f (i )xi i0
如果无论对[a,b]怎样分，也不论小区间[xi1, xi ] 上的点i 怎样取，只要当 0时，上述的极限存在，则称此极限值
为函数 f (x) 在区间[a,b]上的定积分，记为
其中
o a x1
b xi1 xi xn1
x
（2）近似替代：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面 积。在第i个小区间上任取一点i (i 1,2,,n) ，作以[xi1, xi ]为 底， f (i )为高的小矩形，用其面积近似代替第i 个小曲边梯 形的面积Ai ，
Ai f (i )xi (i 1,2,, n)
a x0 x1 xn1 xn b
把区间[a,b]分成 n 个小区间 [xi , xi1] (i 0,1, 2,, n 1)
记
xi xi1 xi (i 0,1, 2,, n 1) ， 0mianx1{xi}
在每个小区间[xi , xi1] 上任取一点i ，做乘积 f (i )xi (i 0,1, 2,, n 1)
么有
b
a
f
( x)dx
c
a
f
(x)dx
b
c
f
(x)dx
这个性质对区间分成有限个的情形也成立。
性质 4 积分的上下限对换则积分变号，即
b
a
f
( x)dx
a b
f
(x)dx
练习 教材Ｐ３９习 题
课后小结
本节要求学生理解定积分的概念，性质。教学重点为定 积分的概念。
y
y f (x)
A?
oa
bx
图4-1
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
求解曲边梯形面积的步骤：
（1）分割：将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形.任取分 点 a x0 x1 xn1 xn b ， 把 底 边[a,b]分 成 n 个 小 区 间 [xi1, xi ] (i 1,2,, n).
n2
kb2 n2
n(n 1) 2
kb2 2
(1
1) n
当n ,得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为
W
lim
n
n 1
Wi
i0
kb2 2
引例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围成的区
域的面积.
n 1
S lim n i0
f (xi )x
引例2.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比, 即力 F(x)=kx (k是常数,x是伸长量).求弹簧从 平衡位置拉长b所做的功.
4-4
所示，则定积分
b
a
f
(
x)dx
可用四个曲边梯形面积的代数和
表示
A1 A2
A3 A4
b
a
f
( x)dx
A1
A2
A3
A4
尽管定积分
b
a
f
(
x)dx在各种实际问题中的意义各不相同，
但它的值在几何上都可以用曲边梯形的面积来表示.
四、定积分的性质
性质 1 被积函数的常数因子可以提到积分符号外面，
则从0到b所做的功W近似等于:
n1
Wi
i0
n 1
kxi
i0
x
n1 k ib b i0 n n
n1
Wi
i0
n 1
kxi
i0
x
n1 k ib b i0 n n
kb2 [0 1 2 ... (n 1)]
n
S
lim V
0 i1
(i
)ti
步骤：分割，近似，求和，取极限
经过这四个步骤的分析计算，得到的结论是变速直线运 动的物体在时间间隔[T1,T2 ]上的路程也是一个和式的极限。
二、定积分的定义
定义 设函数 y f (x) 在区间[a,b]上连续，在[a,b]内任意
插入 n-1 个分点
n n
.
x i i n
g1 n
,
...,
n
n
1
2
1 n
g1 n
.
1 n
o
1
x
解:
Sn
矩形的面积和：
02
g1 n
1 n
2
g1 n
2 n
2
g1 n
...
n
1 n
2
g1 n
1 [02 12 22 ... (n 1)2 ] n3
11 n(n 1)(2n 1) 1 (1 1)(2 1)
y n3
6
6n n
x 1 n , x 0
n
S
lim
x0
Sn
lim
x0
1 6
(1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)(2 n
1) n
1
o
3
1
x
引例2.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比, 即力 F(x)=kx (k是常数,x是伸长量).求弹簧从 平衡位置拉长b所做的功.
n 1
W
lim n i0
f (xi )x
第一节 定积分的概念
一、引例 曲边梯形的面积 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质
一、曲边梯形的面积
曲边梯形是指在直角坐标系中，由闭区间[a , b]上的连续 函数 y f (x) ( f (x) 0)， x 轴以及直线 x a ， x b围成的平面 图形，如图 4-1，下面的任务是要计算这个曲边梯形的面积.
1.4定积分与微积分基本定理
第一节 曲边梯形面积与定积分 第二节 定积分的计算 第三节 定积分的应用 习题课
引例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围成的区
域的面积.
解:将区间［0,1］等分为n个小区间:
0,
1 n
,
1 n
,
2 n
,
...,
i
1 n
,
i n
,...,
n 1 n
,
n n
.
y
1
每个小区间的长度为：x
矩形的高： i
n
1
2
底：x
i
n1 n
i
1 n
1 n
o
1
x
解:将区间［0,1］等分为n个小区间:
矩矩0,形 形y1n 的 的1, 高 面1n ,：积n2：i,.n.0.1,2gi1n2n,1底,1nn：i 2,x.g.1n., ,1nnn2n12,
A
n
lim
0 i1
f
(i
)xi
（和式的极限）
（4-2）
步骤：分割，近似，求和，取极限
类似想法、方法还有许多应用，比如在物理学里，已知 一物体沿直线运动，速度V V (t)是时间t 函数，计算在[T1,T2 ] 这段时间内所经过的路程S 。
仿照上面方法： （１）分割：任取分点T1 t0 t1 tn1 tn T2，把[T1,T2 ] 分成n个小区间，每个小区间长为
si v i ti i 1,2, ,n
第i段路程值
第i段某时刻的速度
（3）求和：把 n 个小段时间上的路程相加，就得到总
路程S 的近似值，即
n
n
S Si V (i )ti
i1
i1
（4）取极限：当 m1aixn {ti} 0时，上述总和的极限 就是S 的精确值，即
面积。
如果在[a,b]上 f (x) 0时，由曲线 y f (x)，x 轴以及直线x a ，
x
b围成的曲边梯形位于
x
轴的下方，如图
4-3
所示，定积分
b
a
f
(
x)dx
在几何上表示上述曲边梯形的面积的负值。
如果在[a,b]上 f (x)即取正值又取负值时，函数 f (x)的图
形某些部分在 x 轴的上方，而其他部分在 x 轴的下方，如图
f (i )xi
积分上限
b
a
f
( x)dx
积分下限
被 积
被 积
积 分
[a,b] 积分区间
函
表变
数
达量
式
有了这个定义，前面两个实际问题都可用定积分表示
为：
曲边梯形面积
A
b
a
f
(
x)dx
变速直线运动的路程S
VT 2 T
(t)dt
1
两点注意：
（1）定积分为一确定常数，其值与被积函数，积分区
解： W=Fx F(x)=kx
将区间［0,b］ n等分: x b 分点依次为：
b
2b
n (n 1)b
x0 0, x1 n , x2 n ,..., xn1 n , xn b.
n ,在分段[xi,xi+1]所用的力约为kxi，所做的功:
b Wi kxi x kxi n
的和式：
n 1
In f (i )xi i0
如果无论对[a,b]怎样分，也不论小区间[xi1, xi ] 上的点i 怎样取，只要当 0时，上述的极限存在，则称此极限值
为函数 f (x) 在区间[a,b]上的定积分，记为
其中