曲边梯形面积与定积分PPT

即
b
a
kf
(
x)dx

k
b
a
f
(
x)dx
（k 为常数）
性质 2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的
代数和，即
b[ a
f
(x)

g ( x)]dx

b
a
f
(x)dx

b
a
g
(x)dx
这个性质对有限个函数的代数和也成立.
性质 3 如果将区间[a，b]分成两个区间[a，c]及[c，b]，那
1.4定积分与微积分基本定理
第一节 曲边梯形面积与定积分 第二节 定积分的计算 第三节 定积分的应用 习题课
引例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围成的区
域的面积.
解:将区间［0,1］等分为n个小区间:
0,
1 n

,

1 n
,
2 n

,
...,

面积。
如果在[a,b]上 f (x) 0时，由曲线 y f (x)，x 轴以及直线x a ，
x

b围成的曲边梯形位于
x
轴的下方，如图
4-3
所示，定积分
b
a
f
(
x)dx
在几何上表示上述曲边梯形的面积的负值。
如果在[a,b]上 f (x)即取正值又取负值时，函数 f (x)的图
形某些部分在 x 轴的上方，而其他部分在 x 轴的下方，如图
A

nຫໍສະໝຸດ Baidu
lim
0 i1
f
(i
)xi
（和式的极限）
（4-2）
步骤：分割，近似，求和，取极限
类似想法、方法还有许多应用，比如在物理学里，已知 一物体沿直线运动，速度V V (t)是时间t 函数，计算在[T1,T2 ] 这段时间内所经过的路程S 。
仿照上面方法： （１）分割：任取分点T1 t0 t1 tn1 tn T2，把[T1,T2 ] 分成n个小区间，每个小区间长为
n2

kb2 n2
n(n 1) 2

kb2 2
(1
1) n
当n ,得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为
W

lim
n
n 1
Wi
i0

kb2 2
引例1.求曲线y=x2与直线x=1,y=0所围成的区
域的面积.
n 1
S lim n i0
f (xi )x
引例2.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比, 即力 F(x)=kx (k是常数,x是伸长量).求弹簧从 平衡位置拉长b所做的功.
a x0 x1 xn1 xn b
把区间[a,b]分成 n 个小区间 [xi , xi1] (i 0,1, 2,, n 1)
记
xi xi1 xi (i 0,1, 2,, n 1) ， 0mianx1{xi}
在每个小区间[xi , xi1] 上任取一点i ，做乘积 f (i )xi (i 0,1, 2,, n 1)
n
S

lim V
0 i1
(i
)ti
步骤：分割，近似，求和，取极限
经过这四个步骤的分析计算，得到的结论是变速直线运 动的物体在时间间隔[T1,T2 ]上的路程也是一个和式的极限。
二、定积分的定义
定义 设函数 y f (x) 在区间[a,b]上连续，在[a,b]内任意
插入 n-1 个分点
间有关；与积分变量无关。即有
b
a
f
(
x)dx
b a
f
(t)dt
b a
f
(u)du。
（2）补充定义：当a

b
时，
b
a
f
(
x)dx

0；当
a>b
时，
b
a
f
(x)dx

a b
f
(x)dx。
三、定积分的几何意义
如果在[a,b]上
f
(x)

0时，定积分
b
a
f
(x)dx
在几何上表示
由曲线 y f (x)，x轴以及直线x a，x b围成的曲边梯形的
则从0到b所做的功W近似等于:
n1
Wi
i0

n 1
kxi
i0
x
n1 k ib b i0 n n
n1
Wi
i0

n 1
kxi
i0
x
n1 k ib b i0 n n
kb2 [0 1 2 ... (n 1)]
n n

.
x i i n
g1 n
,
...,

n
n
1
2
1 n
g1 n

.
1 n
o
1
x
解:
Sn
矩形的面积和：

02
g1 n


1 n
2
g1 n


2 n
2
g1 n

...


n
1 n
2
g1 n
1 [02 12 22 ... (n 1)2 ] n3
4-4
所示，则定积分
b
a
f
(
x)dx
可用四个曲边梯形面积的代数和
表示
A1 A2
A3 A4
b
a
f
( x)dx

A1
A2

A3
A4
尽管定积分
b
a
f
(
x)dx在各种实际问题中的意义各不相同，
但它的值在几何上都可以用曲边梯形的面积来表示.




四、定积分的性质
性质 1 被积函数的常数因子可以提到积分符号外面，
ti ti ti1 (i 1,2,, n)
O T1 t0 t1
ti1 i
tn1 tn= T2 t
（2）近似替代：把每小段[ti1,ti ]上的运动视为匀速，任
取时刻i [ti1,ti ]，作乘积V (i )ti，显然这小段时间所走路程
Si 可近似表示为：
y
y f (x)
A?
oa
bx
图4-1
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
求解曲边梯形面积的步骤：
（1）分割：将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形.任取分 点 a x0 x1 xn1 xn b ， 把 底 边[a,b]分 成 n 个 小 区 间 [xi1, xi ] (i 1,2,, n).
11 n(n 1)(2n 1) 1 (1 1)(2 1)
y n3
6
6n n
x 1 n , x 0
n
S

lim
x0
Sn

lim
x0
1 6
(1
1 )(2 n

1) n
1
o
3
1
x
引例2.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比, 即力 F(x)=kx (k是常数,x是伸长量).求弹簧从 平衡位置拉长b所做的功.
么有
b
a
f
( x)dx

c
a
f
(x)dx

b
c
f
(x)dx
这个性质对区间分成有限个的情形也成立。
性质 4 积分的上下限对换则积分变号，即
b
a
f
( x)dx

a b
f
(x)dx
练习 教材Ｐ３９习 题
课后小结
本节要求学生理解定积分的概念，性质。教学重点为定 积分的概念。
i
1 n
,
i n

,...,

n 1 n
,
n n
.
y
1
每个小区间的长度为：x
矩形的高： i
n
1
2

底：x


i
n1 n
i
1 n

1 n
o
1
x
解:将区间［0,1］等分为n个小区间:
矩矩0,形 形y1n 的 的1, 高 面1n ,：积n2：i,.n.0.1,2gi1n2n,1底,1nn：i 2,x.g.1n., ,1nnn2n12,
的和式：
n 1
In f (i )xi i0
如果无论对[a,b]怎样分，也不论小区间[xi1, xi ] 上的点i 怎样取，只要当 0时，上述的极限存在，则称此极限值
为函数 f (x) 在区间[a,b]上的定积分，记为
其中
b
n1
a
f (x)dx lim 0 i0
解： W=Fx F(x)=kx
将区间［0,b］ n等分: x b 分点依次为：
b
2b
n (n 1)b
x0 0, x1 n , x2 n ,..., xn1 n , xn b.
n ,在分段[xi,xi+1]所用的力约为kxi，所做的功:
b Wi kxi x kxi n
f (i )xi
积分上限
b
a
f
( x)dx
积分下限
被 积
被 积
积 分
[a,b] 积分区间
函
表变
数
达量
式
有了这个定义，前面两个实际问题都可用定积分表示
为：
曲边梯形面积
A

b
a
f
(
x)dx
变速直线运动的路程S

VT 2 T
(t)dt
1
两点注意：
（1）定积分为一确定常数，其值与被积函数，积分区
n 1
W
lim n i0
f (xi )x
第一节 定积分的概念
一、引例 曲边梯形的面积 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质
一、曲边梯形的面积
曲边梯形是指在直角坐标系中，由闭区间[a , b]上的连续 函数 y f (x) ( f (x) 0)， x 轴以及直线 x a ， x b围成的平面 图形，如图 4-1，下面的任务是要计算这个曲边梯形的面积.
y
o a x1
b xi1 xi xn1
x
（2）近似替代：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面 积。在第i个小区间上任取一点i (i 1,2,,n) ，作以[xi1, xi ]为 底， f (i )为高的小矩形，用其面积近似代替第i 个小曲边梯 形的面积Ai ，
Ai f (i )xi (i 1,2,, n)
si v i ti i 1,2, ,n
第i段路程值
第i段某时刻的速度
（3）求和：把 n 个小段时间上的路程相加，就得到总
路程S 的近似值，即
n
n
S Si V (i )ti
i1
i1
（4）取极限：当 m1aixn {ti} 0时，上述总和的极限 就是S 的精确值，即
y
o a x1
b xi1ixi xn1
x
（3）求和：把 n 个小矩形面积相加就得到曲边梯形面
积 A的近似值。即
n
n
A Ai f (i )xi
i1
i1
（4-1）
（4）取极限：无限细分区间[a,b]，并使所有小区间的
长度趋于零。为此，记 m1aixn {xi}，当 0时，和式（4-1） 的极限值是曲边梯形的面积 A，即