2019年高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第3节 圆的方程课件 理 北师大版.pptx
高考数学全程一轮复习第八章解析几何第三节圆的方程课件
(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．
解析：设点M(x，y)，C(x0，y0)，因为点B(3，0)，M是线段BC的中点，所以x＝
x0 +3
y0 +0
＝4.故选B.
3
(2)设圆C圆心在射线y＝ x(x≤0)上，半径为5，且经过坐标原点的圆
4
的方程为(
)
A．x2＋y2－8x－6y＝0
B．x2＋y2－6x－8y＝0
C．x2＋y2＋8x＋6y＝0
D．x2＋y2＋6x＋8y＝0
答案：C
题型二 与圆有关的轨迹问题
例2已知直角三角形ABC的斜边为AB，且点A(－1，0)，B(3，0)．
(1)求直角顶点C的轨迹方程；
解析：设点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
又AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.
y
y
又kAC＝ ，kBC＝ ，
x+1
x−3
y
y
所以 · ＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.故直角顶点C的轨迹方程为x2 ＋y2
x+1 x−3
－2x－3＝0(y≠0)．
关键能力·题型剖析
题型一 圆的方程
例1 (1)若圆C经过点A(2，5)，B(4，3)，且圆心在直线l：3x－y－3＝
0上，则圆C的方程为(
)
A．(x－2)2＋(y－3)2＝4
B．(x－2)2＋(y－3)2＝8
C．(x－3)2＋(y－6)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＝2
D．(x－3)2＋(y－6)2＝10
答案：A
(2)[2024·江西吉安模拟]请写出一个过点O(0，0)，且与直线x＋y－4
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第3讲 圆的方程课件 文
12/13/2021
第二十四页，共四十页。
【解】 (1)因为 PA 是圆 C 的一条切线， 所以∠CAP＝90°， 在 Rt△CAP 中，PA＝ PC2－AC2＝ PC2－22. 因为 PC 的最小值为圆心 C 到直线 x－2y＝0 的距离 d，且 d ＝ |－2×4| ＝8 5，
（－2）2＋12 5
第二十七页，共四十页。
有关圆的综合问题中应注意常见问题的处理方法，例如圆的 切线、弦长等，同时应注重结合图形加以分析，寻找解题思 路．
12/13/2021
第二十八页，共四十页。
在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x) ＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三 个交点的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围； (2)求圆 C 的方程； (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)？请证明你的结 论．
12/13/2021
第三页，共四十页。
1．圆 C 的直径的两个端点分别是 A(－1，1)，B(1，3)，则 圆 C 的方程为____x_2＋__(_y_－__2_)_2＝__2_____． [解析] 因为点 A(－1，1)和 B(1，3)为圆 C 直径的两个端点， 则圆心 C 的坐标为(0，2)，
12/13/2021
第二十页，共四十页。
(2)可知mn－＋32表示直线 MQ 的斜率， 设直线 MQ 的方程为 y－3＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＋3＝0， 则mn－＋32＝k.由直线 MQ 与圆 C 有交点， 所以|2k－71＋＋2kk2＋3|≤2 2.可得 2－ 3≤k≤2＋ 3， 所以mn－＋32的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3.
12/13/2021
第二十二页，共四十页。
高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.3 圆的方程课件 理 北师大版
【解析】因为圆心在直线 x－2y＝0 上，且圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3， 所以可设圆心坐标为(2a，a)，则(2a)2＝a2＋( 3)2，解得 a＝±1。又圆 C 与 y 轴的正半轴相切，所以 a＝1，故圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2 ＝4。
【规律方法】 求圆的方程的两种方法 (1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出 方程。 (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已 知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据 已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值。
基础自测
[判一判] (1)确定圆的几何要素是圆心与半径。(√ ) 解析 正确。根据圆的概念可知确定圆的几何要素是圆心与半径。 (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个 圆。( × ) 解析 错误。方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2中，当t>0时才表示圆心为(a， b)，半径为t的一个圆。
【解析】 由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0)，(0,2)，(0，－ 2)，设圆心为(a,0)(a>0)，所以 a－02＋0－22＝4－a，解得 a＝32，故圆 心为23，0，此时半径 r＝4－32＝52，因此该圆的标准方程是x－322＋y2＝245。
(2)圆心在直线 x－2y＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴
第八章 平面解析几何
第三节 圆的方程
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.3圆的方程课件文
答案：(－1,1)
热点命题· 突破 02
课堂升华 强技提能
热点一 【例 1】
求圆的方程 根据下列条件，求圆的方程．
(1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦长 等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于点 P(3，－2)．
【解】 (1)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将 P、Q 两 点的坐标分别代入得
第八章
平面解析几何
第三节
圆的方程
1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准 方程与一般方程． 2 ． 初步了解用代数方法处理几何问题的 思想．
主干知识· 整合 01
课前热身 稳固根基
Hale Waihona Puke 知识点一 圆的方程 1．圆的定义 在平面内，到______的距离等于______的点的______叫圆． 2．圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中______为圆心，__为半径． 3．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是____________， 其 中圆心为____________，半径为________________．
解析： 方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 可化为(x＋2m)2＋(y－1)2 1 ＝4m2－5m＋1， 它表示圆的充要条件是 4m2－5m＋1>0， 即 m<4或 m>1.
1 答案：m<4或 m>1
知识点二 点 Mx0，y0与圆x－a2＋y－b2＝r2 的位置关系 1．若 M(x0，y0)在圆外，则__________________． 2．若 M(x0，y0)在圆上，则__________________． 3．若 M(x0，y0)在圆内，则__________________．
高考数学(文)(新课标)一轮复习配套课件：第八章平面解析几何第3讲圆的方程
第3讲第八章平面解析几何的方程教材回顾■夯实基础；---------------知识梳理1.圆的定义及方程定义标准方程一般方程课本温故追根求源平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）(x_a)2+(y_方)2=厂2 (r>0) 0+y2+Z>r+Ey+F=O(D2+E2-4F>0)圆心:半径:(a, b),心:（-?-!）.半径:\/D2+E2—4F2.点与圆的位置关系点M（X Q,为）与圆（X—«）2+（y—Z＞）2=r2的位置关系:（1）若Mdo,旳）在圆外，则（必一"尸+氏一疔〉以（2）若M（m 片）在圆上，则（必―"）2+氏一疔=厂2（3）若M3。
，九）在圆内，则（必―“）2+氏一疔＜厂2［做一做］1y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(A)A. x2+(y-2)2=l C. (x-l)2+(y-3)2=lB..x2+(y+2)2=l D. x2+(y-3)2=l2.点⑴1)在圆2+(y+«)2=4内,则实数a的取值范围是(AA. (-1, 1)C. (一8, -1)U(1, 4-oo)B. (0, 1) D. (1, +8)解析：T点(1, 1),/. (1—«)2+(1 +«)2<4,要点整合1.辨明两个易误点(1)解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.(2)对于方程x+y2+Dx+Ey+F=^表示圆时易忽视D2+E2-4F>0这一条件.2.待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆心(“，方)和半径/有关，则设程，依据已知条件列出关于a,方，/的方程组，从而求出a, b,尸的值;(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D, E, F的方程组，进而求出D, E, F的值.［做一做］ 3. x 2+y 2-\-4mx—2y+5m = 0表示圆的充要条件的是 (B )A. £svl C ・ tn<^ 解析：由(4m)2+4—4X5/w>0,得加Vj 或加>1.m>lB. m4.圆心在y轴上且经过点(3, 1)的圆与兀轴相切，贝！I该I 的方程是(B )A. x2+/+10y=0B. x2+j2-10y=0C. x2+j2+10x=0D. x2+j2—10x=0解析:设圆心为(0, b)9半径为厂r=\b\9•:圆的方程为x2^(y—b)2=b2.•••点(3, 1)在圆上,•••9+(1 —掰=沪，解得：b=5.圆的方程为x2+j2—10y = 0.名师导悟以例说法f典例剖析・考点突破考总一強三求圆的方程与圆有关的最值问题（高频考点）与圆有关的轨迹问题考点一求圆的方程⑴经过卩(一2, 4)、0(3, —1)两点，并且在兀轴上截得的 弦长等于6；于点 P(3, -2). ［解］⑴设圆的方程为X 2+J 2+D X +^J +F=0,将P 、Q 点的坐标分别代入得2D —4E-F=20,① 3D —E-bF= —10.②:(2)圆心在直线y = -4x 上， 且与直线Z ： x+j —1=0相切又令J=O,得兀?+£）兀+F=O.③设兀1，兀2是方程③的两根,由I Q F=6,有Z>2_4F=36,④由①②④解得£>=—2, £=—4, F= —F=0.故所求圆的方程为x2+j2—2x—4y—8=0111或D=—6，E=或x2+j2—6x—⑵设所求方程为（兀—x0）2+（y —yo）2=r2,根据已知条件得Jo= _4XQ,(3—xo)2+ ( —2—jo)lxo+yo—II因此所求圆的方程为(x-l)2+(y+4)2=［规律方法］求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；② 圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线.(2)件, 列出等式，求出相关量.一般地，关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式.1. (1)已知圆心为C 的圆经过点A(0, -6), 5(1, -5),且圆心在直线Z ：兀一丁+1=0上，求圆的方程；(2) 若不同的四点 A(5, 0)、B(—1, 0)、C(_3, 3)、D(a f 3)共圆，a 的值.解：x 2+y 2+Dx+Ey+F=Q(D 2+ E 2-4F>0),贝!|圆心坐标为(一号，一(—6) 2—6£"+卩=0 由题意可得< I 2+(一5) 2+D-5£+F=0,、—2=0D+E-10=0—2=0■D=6解得―，代入求得Q — 12,x2+j2+6x+4y—12=0, 标准方程为(兀+3产+(y+2)2 = 25 •法二:因为A(0, -6), 5(1, -5),所以线段AB的中点D的坐标为一¥)，x+v+5=0 fx=—3‘ 的解，解得x-j+l=0 ly = _2所以圆心C 的坐标是(一3, -2). 圆的半径长r=\AC\= yl (0+3) 2+ (-6+2) 2=5, 所以，圆心为C 的圆的标准方直线AB 的斜率 —5— (—6) 因此线段AB 的垂直平分线I 的方程是 y+¥=-“ ,艮卩兀+丿+5=0・ 圆心C 的坐标是方程组 111 111 2程是(x+3)2+(y+2)2=25.（2）设过A、B、C 三点的圆的方程为111X2+J2+D X+£>+F=0,分别代入A、B、C三点坐标，得25+5P+F=0,« 1-Z)+F=O,、9+9-3D+3E+F=0, 解得Z)=-4,25•••A、B、C三点确定的圆的方程为x2+/-4x-yj-5=0.3）也在此圆上,/.a2+9_4«_25_5=0.U=7或“=一3（舍去）.即a的值为7.考点二与圆有关的最值问题(高频考点)与填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题. 高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度：Array(1)求一次或二次式的(2)求圆上的点与圆外点距离的最值；(3)求圆上的点到直线距离的(4)求z =的最值.(2)求丿一兀的最大值和最小值;(3)求x 2+j 2的最大值和最小值.［解］原方程可化为(兀—2)2 +j 2=3,表示以(2, 0)为圆心,術为半径的圆.(1)*的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设三=匕^y=kx.•/V已知实数 X, y 满足方程兀2+y2_4r + l = 0.⑴耗的最 :大值和最小值;当直线与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此IllI2JI-0I=品解得农=朋（如图1）・所以*的最大值为萌，最小值为一萌・图I（2）j —x可看作是直线j=x+Z＞在y轴上的截距，当直线y=兀+方与圆相切时，纵截距〃取得最大值或最小值，此时12—0+勿=品解得方=一2环（如图2）.所以y—x的最大值为一2+心，图2最小值为一2—^6.(3)X2+J2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).图3又圆心到原点的距离为p (2—0) ?+ (0—0) 2=2,所以x2+j2的最大值是(2+筋)2=7+4馆,兀2+犷的最小值是(2—问2=7_4羽.［规律方法］与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型:(1) 与圆有关的长度或距离的最值问题，转化为圆的圆心到 点、直线的距离，再加半径、减半径求出最值；(2) 形如“=丿最值问题; ⑶形如t=ax+by 形式的最值问题，可转化为动直线截距 的最值问题；(4)形如(X —a)2+(y —^)2形式的最值问题，可转化为动点到 定点的距离的平方的最值问题. “形式的最值问题，可转化为动直线斜率的•V C*(1)IQCI= V (2+2) ?+ (7—3) 2=4品 ••• IM0I町=472+2^2=6^2, \MQ£=4迄 _2迄=2 品2.已知M 为圆C ： x 2+j 2—4x —14y+45=0 上任意一点，且点2(-2, 3).⑴求IM0啲最大值和最小值;(2)求点M 到直线x+j-7=0的最大距离;72 3(3)若M(/w, n)f 求土巨的最大值和最小值.解：由圆 C ： x 2+j^—4x —14y+45=0，可得(兀一 2)2+®—7)2=8,C 的坐标为(2, 7), 半径圆心C(2,7)到直线x+j-7=0的距离为”='2+左7'=迄・则点M到直线x+j-7=0的最大距离为迄+2迄=3迄.(3)可知訂|表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y-3=k(x+2)fn—3即kx-y+2k+3=0,则齐彳=乩由直线M2与圆C有交点,•严了專旦W2Q可得2-也WkW2+电, ・•・穿的最大值为2+筋，最小值为2—⑴.考点三与圆有关的轨迹问题 ⑴求线段AP 中点的轨迹方程;(2)若ZPB0=9O 。
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.3圆的方程课件
解析
设圆心为 C(m,0)(m>0)，因为所求圆与直线 3x＋
|3m＋ 4×0＋4| 4y＋ 4＝0 相切，所以 ＝ 2，得 |3m＋ 4|＝10，解 2 2 3 ＋4 14 得 m＝ 2 或 m＝－ (舍去 )，故所求圆的方程为 (x－ 2)2＋ y2＝ 3 4，即 x2＋ y2－4x＝ 0.
5．如果圆的方程为 x2＋y2 ＋kx＋2 y＋ k2＝0 ，那么当圆面 2 2 x ＋ ( y ＋ 1) ＝1 ． 积最大时，该圆的方程为________________
第8章 平面解析几何
第3讲 圆的方程
板块一 知识梳理· 自主学习
[ 必备知识] 考点 1 圆． 圆的定义、方程
定长 的点的轨迹叫做 定点 的距离等于_____ 1．在平面内到_____
圆心和半径． 2．确定一个圆的基本要素是：__________
3．圆的标准方程 (x－a)2 ＋(y－b)2 ＝r2 (r>0)． 4．圆的一般方程 (1)一般方程： x2＋ y2＋Dx＋Ey＋ F＝0；
确定圆的方程
(1)[2017· 长沙模拟 ] 已知圆 C 与直线 x－ y＝0 及 x
－y－4＝0 都相切，圆心在直线 x＋ y＝0 上，则圆 C 的方程 B．(x－1)2＋ (y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋ (y＋1)2＝2
－ m)2＋ (0＋ m)2<4，解得－ 2<m< 2，选 C.
4．[2017· 衡水调研] 已知圆的半径为 2，圆心在 x 轴的正 半轴上，且与直线 3x＋4y＋4＝0 相切，则圆的方程是 ( A． x2＋ y2－4x＝0 C．x2＋ y2－2x－3＝0 B．x2＋ y2＋4x＝0 D．x2＋ y2＋2x－3＝0 )
高考数学(文)大一轮复习课件：第8章 第3节 圆的方程
解
3 m＝2， 3 2 2 25 得 所以圆的标准方程为 x－2 ＋y ＝ 4 .] r2＝25， 4
求圆的方程
(1)(2015· 全国卷Ⅱ)已知三点 A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( 5 A.3 2 5 C. 3 ) 21 B. 3 4 D.3
(2)(2016· 天津高考)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 4 5 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为 5 ，则圆 C 的方程 为________．
(1)B (2)(x－2)2＋y2＝9 [(1)法一：在坐标系中画出 △ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC| ＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三 角形．设 BC 的中点为 D，点 E 为外心，同时也是重心． 2 2 3 所以|AE|＝3|AD|＝ 3 ，从而|OE|＝ |OA|2＋|AE|2＝ D＝－2， 1＋D＋F＝0， 4 3 3 ＋ 3 E ＋ F ＝ 0 ， 则 解得E＝－ ， 3 7＋2D＋ 3E＋F＝0， F＝1. 4 21 1＋3＝ 3 ，故选 B.
A [圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线 ax＋y |a＋4－1| 4 －1＝0 的距离 d＝ 2 ＝1，解得 a＝－3.] a ＋1
4． (2017· 西安质检)若圆 C 的半径为 1， 其圆心与点(1,0)关于直线 y＝x 对称， 则圆 C 的标准方程为________．
3 25 x－ 2＋y2＝ 4 2
[由题意知 a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，
－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，
2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第三节圆的方程课件理
4．若方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆，则 a 的取值 范围是________． 解析：方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 可化为x＋a22＋ (y＋a)2＝－34a2－a＋1，因为该方程表示圆，所以－34a2－a＋ 1>0，即 3a2＋4a－4<0，所以－2<a<23. 答案：－2，23
当 m＝－12时，直线 l 的方程为 2x＋y－4＝0，圆心 M 的坐标为 94，－12，圆 M 的半径为 485，圆 M 的方程为x－942＋y＋122 ＝8156. 法二：由(1)可得 y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4. 故圆心 M 的坐标为(m2＋2，m)． 又圆 M 过坐标原点 O 和点 P(4，－2)， ∴|MO|＝|MP|， 即(m2＋2)2＋m2＝(m2－2)2＋(m＋2)2， 整理得 2m2－m－1＝0，解得 m＝1 或 m＝－12.
5．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则实数 a 的取值 范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，所以(1 －a)2＋(1＋a)2＜4. 即 a2＜1，故－1＜a＜1. 答案：(－1,1)
课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
所以圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离 d＝|a＋a24＋－11|＝1，解
得 a＝－43.
答案：A
3．(教材习题改编)圆 C 的直径的两个端点分别是 A(－1,2)， B(1,4)，则圆 C 的标准方程为________． 解析：设圆心 C 的坐标为(a，b)， 则 a＝－12＋1＝0，b＝2＋2 4＝3，故圆心 C(0,3)． 半径 r＝12|AB|＝12 [1－－1]2＋4－22＝ 2. ∴圆 C 的标准方程为 x2＋(y－3)2＝2. 答案：x2＋(y－3)2＝2
高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第3节 圆的方程课件 文
12/11/2021
第七页，共四十五页。
栏目导航
2．两个圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方 程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中 a，b 为定值， r 是参数； (2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中 r 为 定值，a，b 是参数．
12/11/2021
第十九页，共四十五页。
栏目导航
与圆有关(yǒuguān)的最值问题
►考法 1 斜率型最值问题 【例 1】 已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0，则xy的最 大值为________，最小值为________．
12/11/2021
第二十页，共四十五页。
解析答案
栏目导航
12/11/2021
第十八页，共四十五页。
栏目导航
[规律方法] 求圆的方程的方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程， 求出 a，b，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程 组，进而求出 D，E，F 的值．
径的圆的方程是( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝ 2
C．x2＋y2＝1
D．x2＋y2＝4
A [AB 的中点坐标为(0,0)，|AB|＝ [1－－1]2＋－1－12 ＝2 2，所以圆的方程为 x2＋y2＝2.]
12/11/2021
第十页，共四十五页。
解析答案
栏目导航
3．点(m2,5)与圆 x2＋y2＝24 的位置关系是( )
(1)若 M(x0，y0)在圆外，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程课件文 共60页
2．已知圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆 C2：(x－3)2＋(y －4)2＝9，M，N 分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的 动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 2－4 B. 17－1 C．6－2 2 D. 17
解析 圆 C1，C2 的图象如图所示．
解 设点 C 为圆心，因为点 C 在直线 x－2y－3＝0 上， 所以可设点 C 的坐标为(2a＋3，a)． 又该圆经过 A，B 两点， 所以|CA|＝|CB|，即 2a＋3－22＋a＋32＝
2a＋3＋22＋a＋52，解得 a＝－2，所以圆心 C 的 坐标为(－1，－2)，半径 r＝ 10.
解析 设|PO|＝t，向量P→A与P→B的夹角为 θ，则|P→A|＝|P→B |＝ t2－1，sinθ2＝1t ，cosθ＝1－2sin2θ2＝1－t22，∴P→A·P→B＝ |P→A||P→B|cosθ＝(t2－1)1－t22(t＞1)，∴P→A·P→B＝t2＋t22－3(t＞ 1)，利用基本不等式可得P→A·P→B的最小值为 2 2－3，当且仅
题型 2 与圆有关的最值问题 角度 1 与圆几何性质有关的最值问题(多维探究)
典例 (2018·抚顺模拟)已知实数 x，y 满足方程 x2＋
y2
－
4x
＋
1
＝
0
，
则
y x
的
最
大
值
为
____3____
，
最
小
值
为
__－___3___．
求 k＝yx－ －00的最值转化为直线 y＝kx 与圆
相切．
解析 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆 心， 3为半径的圆．
数学一轮复习第八章平面解析几何8.3圆的方程课件
解析 四点共圆，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
25＋0＋5D＋0＋F＝0， 则1＋0－D＋0＋F＝0，
9＋9－3D＋3E＋F＝0，
D＝－4， 解得E＝－235，
F＝－5，
所以圆的方程为 x2＋y2－4x－235y－5＝0，
将D(a,3)代入得a2－4a－21＝0. 解得a＝7或a＝－3(舍).
§8.3 圆的方程
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
知识梳理
圆的定义与方程
定义 标准式
方程 一般式
平面内到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹叫做圆
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心为_(a_，__b_)_ 半径为_r_
充要条件：_D_2_＋__E_2_－__4_F_>_0__
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)， 由直角三角形的性质知 CD＝21AB＝2. 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C
三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，
直线 OM 与轨迹相交于两点－95，152和－251，258，不符合题意，舍去， 所以点 P 的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点－59，152和－251，258.
题型三 师生共研 与圆有关的最值问题
例2 (1)(2020·保定质检)已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2
提示 点和圆的位置关系有三种.
高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第3节 圆的方程课件 理 新人教版
[小题体验]
1．(教材习题改编)圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( )
A．(2,3)
B．(－2,3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析：由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)． 答案：D
2．圆心在 y 轴上且通过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方
程是 A．x2＋y2＋10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0
解析
2．(2016·石家庄一检)若圆 C 的半径为 1，点 C 与点(2,0)关于
点(1,0)对称，则圆 C 的标准方程为
()
A．x2＋y2＝1
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋y2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
解析：因为点 C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标 公式可得 C(0,0)，所以所求圆的标准方程为 x2＋y2＝1. 答案：A
＝0，求xy的最大值和最小值．
解析
角度二：截距型最值问题
2．在[角度一]条件下求y－x的最大值和最小值．
解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴
上的截距，如图所示，当直线y＝x
＋b与圆相切时，纵截距b取得最大
值或最小值，此时 |2－0＋b| ＝ 2
3，
解得b＝－2± 6 .所以y－x的最大值
为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
3．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点 A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，
则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为来自()A．.53B．
21 3
C．2 3 5
D．43
解析
[谨记通法] 1．求圆的方程的 2 种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半 径，进而写出方程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准 方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a， b，r 的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一 般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求 出 D，E，F 的值．
全国版2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3讲圆的方程课件
解法二：∵在 Rt△APB 中，原点 O 为斜边中点，|AB| ＝2m(m>0)，
(3)圆心坐标
－D2 ，－E2
，半径 r＝
1 2
D2＋E2－4F
.
考点 2 点与圆的位置关系
1.理论依据 点 与 圆心的距离与半径的大小关系．
2.三个结论
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)，d 为 圆心到点 M 的距离．
(1) (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 ⇔点在圆上⇔d＝r； (2) (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 ⇔点在圆外⇔d>r； (3) (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 ⇔点在圆内⇔d<r.
4.[2016·北京高考]圆(x＋1)2＋y2＝2 的圆心到直线 y＝x ＋3 的距离为( )
A.1 B．2 C. 2 D．2 2
解析 由题知圆心坐标为(－1,0)，将直线 y＝x＋3 化成 一般形式为 x－y＋3＝0，故圆心到直线的距离 d＝ |－121＋－0－＋132|＝ 2.故选 C.
5.[课本改编]方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆的
第8章 平面解析几何
第3讲 圆的方程
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点 1 圆的定义、方程 1.在平面内到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹叫 做圆． 2.确定一个圆的基本要素是： 圆心 和 半径 ． 3.圆的标准方程
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D [由题意得圆的半径为 2，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选 D.]
3．(2016·全国卷Ⅱ)圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离
为 1，则 a＝( )
A．－43 B．－34
点，则|MN|＝( )
A．2 6
B．8
C．4 6
D．10
(1)D
(2)C
[(1)设圆(x－2)2＋y2＝4
的圆心(2,0)关于直线
y＝
3 3x
对称的点的
坐标为(a，b)，则有a2b－ ＝b 23·3·3a3＋＝2 2－，1，
解得 a＝1，b＝ 3，从而所求圆的方
程为(x－1)2＋(y－ 3)2＝4.故选 D.
(对应学生用书第 135 页)
圆的方程
(1)(2017·豫北名校
4
月联考)圆(x－2)2＋y2＝4
关于直线
y＝
3 3x
对称的圆
的方程是( )
A．(x－ 3)2＋(y－1)2＝4
B．(x－ 2)2＋(y－ 2)2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4
D．(x－1)2＋(y－ 3)2＝4
(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两
.
(2)若 M(x0，y0)在圆上，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 . (3)若 M(x0，y0)在圆内，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 .
[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( ) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的一个圆．( ) (3)方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 A＝C≠0，B＝ 0，D2＋E2－4AF>0.( ) (4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋ F>0.( )
D．－51＜a＜1
D [由(2a)2＋(a－2)2＜5 得－15＜a＜1.]
5．(教材改编)圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过点 A(－1,1)和 B(1,3)，则圆 C 的方 程为________．
(x－2)2＋y2＝10 [设圆心坐标为 C(a,0)， ∵点 A(－1,1)和 B(1,3)在圆 C 上， ∴|CA|＝|CB|，即 a＋12＋1＝ a－12＋9， 解得 a＝2，所以圆心为 C(2,0)， 半径|CA|＝ 2＋12＋1＝ 10， ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝10.]
(2)(2016·天津高考)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为455，则圆 C 的方程为________．
(1)C (2)(x－2)2＋y2＝9 [(1)到两直线 3x－4y＝0 和 3x－4y＋10＝0 的距离
都相等的直线方程为
∴|MN|＝4 6，故选 C．]
[规律方法] 求圆的方程的两种方法 1直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程. 2待定系数法： ①若已知条件与圆心a，b和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列 出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值. ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列 出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值. 易错警示：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.
C． 3
D．2
A [圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线 ax＋y
－1＝0 的距离 d＝|a＋a24＋－11|＝1，解得 a＝－43.]
4．点(2a，a－1)在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，则 a 的取值范围是( )
A．－1＜a＜1
B．0＜a＜1
C．－1＜a＜15
第 章 平面解析几何 第三节 圆的方程
[考纲传真] (教师用书独具)1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一 般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
栏目 导航
双基自主测评 题型分类突破 课时分层训练
(对应学生用书第 134 页)
[基础知识填充]
1．圆的定义及方程 定义 平面内与 定点 的距离等于定长 的点的集合(轨迹)
[解析] 由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确． (2)中，当 t≠0 时，表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆，不正确．
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
D＋3E＋F＋10＝0， 则4D＋2E＋F＋20＝0，
D－7E＋F＋50＝0.
D＝－2， 解得E＝4，
F＝－20.
∴圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令 x＝0，得 y＝－2＋2 6或 y＝－2－ 2 6，∴M(0，－2＋2 6)，N(0，－2－2 6)或 M(0，－2－2 6)，N(0，－2＋2 6)，
[跟踪训练] (1)(2018·海口调研)已知圆 M 与直线 3x－4y＝0 及 3x－4y＋10＝0 都相切，圆心在直线 y＝－x－4 上，则圆 M 的标准方程为( ) 【导学号：79140274】 A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 方程
圆心(a，b) ，半径 r
一般 方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)
， 圆心 －D2 ，－E2 ，
半径
1 2
D2＋E2－4F
2.点与圆的位置关系
点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系：
(1)若 M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2