直线的参数方程(课件PPT)

x 1
（2）直线 x y10的一个参数方程y 是22
2 2
t
t （t为参数）
。
13
小结:
1.直线参数方程的标准式
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
|t|=|M0M|
2.直线参数方程的一般式
当a2xyb2xy1时00 ，abt有tt (明t为确参的几数何）意义，即 t M0M
求这条直线的方程. 解： 在直线上任取一点M(x,y),则
M0M （x, y) (x0 y0) (x x0, y y0 ) 设e是直线l的单位方向向量，则
e (cos,sin )
M(x,y)
y
e
因为M0M // e,所以存在实数t R,
M0(x0,y0)
使M0M te,即
( x(x xx 00 ,,y y y 0 y)0 )(tc o ts ( co,tss in , s) in )
当a 2b2 1时，t没有明确的几何意义。
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1.直线参数方程的标准式
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
|t|=|M0M|
2.直线参数方程的一般式
当a2xyb2xy1时00 ，abt有tt (明t为确参的几数何）意义，即 t M0M
当a 2b2 1时，t没有明确的几何意义。
注意向量工具的使用.
此时,若t>0,则 M 0 M 的方向向上;
若t<0,则 M 0 M 的点方向向下;
若t=0,则M与点M0重合.
并且，直线参数方程中参数t 的绝对值等于直线上动点M到 定点M0的距离.
|t|=|M0M|
y M(x,y)
M0(x0,y0)
e
O
x
解 ： x y y x 21 由 如0果得 在x 学2 ： 习x 直1 线0的参(数*方)程之前,你会怎 由样韦 求解达 本x1题 定 x 呢2 ？ 1 理 ， x1x 得 2 1：
O
x
t1 t2 2, t1t2 2
由参数t的几何意义得
AB t1 t2 10
MA MB t1 t2 t1t2 2
·
设M1M2它们所对应的参数值分别为t1,t2.
t t （1）|M1M2|＝ 1
2
（2）M是M1M2的中点，求M对应的参
数值
t= t1 t2
2
12
（1）直线 xy3tcotss2i0n020（ 0 t为参数）的倾斜角 B）是（ A.200 B.700 C.1100 D.1600
2
Hale Waihona Puke 22235 3542
（1）如何写出l直 的线 参数方程？
（ 2）如何A 求 ， B所 出对 交应 点 t1， 的 t2 （ 3）AB 、 MA MB 与t1，t2有什么关
例例11.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于 A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
A B 1 k 2( x 1 x 2 ) 2 4 x 1 x 22 5 10
由 (* 解 ) x 得 11： 25， x21 25
y1325， y2325
记直线与 坐 抛 A (标 1 物 5,线 35 的 )， B ( 交 15 点 ,35)
22
22
则 M M A ( 1 B 1 5 ) 2 ( 2 3 5 ) 2 ( 1 1 5 ) 2 ( 2 3 5 ) 2
两点的距离之积。
y
解：因为把点M的坐标代入
直线方程后,符合直线方程,
A
M(-1,2)
所以点M在直线上.
B
所以直线的参数xy=方-12程+t可tcsoi以sn 33写4 成(t为参数）O
x
即x 1
2t 2 (t为参数）
y
2
2t 2
y
A
M(-1,2)
把它代入抛物线y=x2的方程,得
B
t2 2t 2 0
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M0M te
注意向量工具的使用.
此时,若t>0,则 M 0 M 的方向向上;
若t<0,则 M 0 M 的点方向向下;
若t=0,则M与点M0重合.
并且，直线参数方程中参数t 的绝对值等于直线上动点M到 定点M0的距离.
|t|=|M0M|
y M(x,y)
M0(x0,y0)
e
O
x
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辨析:
例: 动点M作等速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方 向分速度分别为 9，12，运动开始时，点 M 位于 A(1，1)，求点 M 的轨迹的参数方程.
x y
1 1
9t 12t
(
t为
参数)
请思考: 此时的t 有没有明确的几
何意义?
没有 18
·
设M1M2是直线上任意两点,它们所对应的参 数值分别为t1,t2.
t t （1）|M1M2|＝ 1
2
（2）M是M1M2的中点，求M对应的参
数值
t= t1 t2
2
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直线参数方程的应用
1. 求（线段）弦长,直线与曲线交点的距离 2. 线段的中点问题 3. 求轨迹问题
O
x x0 t cos, y y0 t sin
即，x x0 t cos, y y0 t sin
e
(cos , sin )
x
直线的参数方程(标准式）
直线的参 x y x y数 0 0 ttcs方 io n(st程 为参 ) 数
思考： （1）直线的参数方程中哪些是常量？哪些是变量？ （2）参数t的取值范围是什么？ （3）该参数方程形式上有什么特点？
直线的参数方程
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0 )
斜截式： y kx b
两点式:
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
截距式： x y 1
ab
一般式: Ax By C 0
问题：已知一条直线过点M0(x0 ,y0 )，倾斜角，
作业讲评 课本P39
x11t 1、解 (1)直 ：线 l的参数方 { 程2为(t为参) 数
y5 3t 2
(2)将直线 l的参数方程中 x，的y代入x y2 30 得t (106 3).所以，直l和 线直线 x y2 30 的交点到M点0的距离为 t 106 3
21
(3)将直线l的参数方程中x,的y代入x2 y2 16, 得t2 (15 3)t 100,设上方程的两根t1,为 t2，则t1 t2 (15 3),t1t2 10,可知t1,t2均为 负值，所以 t1 t2 (t1 t2) 15 3,所以两 个交点到M点0的距离的和1＋ 为5 3，积为10。
4
由M0M te,你能得到直线l的参数方程中 参数t的几何意义吗？
解: M0M te M0M te y
又 e是单位向量， e 1
M
M0M t e t
所以,直线参数这方就程是中t参的几何 数t的绝对值等于意直义线,要上牢记 动点M到定点M0的距离.
|t|=|M0M|
M0
e
O
x
5
M0M te