有向图及无向图的比较研究

V0
V1
有序对<vi,vj> ： 用以为vi起点、以vj为终点 的有向线段表示，称为有向 边或弧；
精品课件
V2
V3
G2 图示
有向图和无向图
在图中，若用箭头标明了边是有方向性的，则称这样 的图为有向图，否则称为无向图。
在无向图中，一条边（x,y）与（y,x）表示的结果相 同，用圆括号表示 ，在有向图中，一条边<x,y>与 <y,x>表示的结果不相同，故用尖括号表示。<x,y>表 示从顶点x发向顶点y的边，x为始点，y为终点。
V2
V3
异同点
① 完全有向图有n(n-1)条边。
1
4
证明：若是完全有向图，则n个顶点中
的每个顶点都有一条弧指向其它n-1个 2
3
顶点, 因此总边数=n(n-1)
② 完全无向图有n(n-1)/2 条边。
1
证明：从①可以直接推论出无向完全图的 边数——因为无方向，两弧合并为一边，
2
3
所以边数减半，总边数为n(n-1)/2。
无对应的结点 4）在G中增减边：要在两个单链表插入、删除结点； 5）设存储顶点的一维数组大小为m(m图的顶点数n), 图
的边数为e，G占用存储空间为：m+2*e。G占用存储空间与 G 的顶点数、边数均有关；
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3． 从有向图的邻接表可以得到如下结论
（1）第i 个链表中结点数目为顶点i的出度； （2）所有链表中结点数目为图中弧数； （3）占用的存储单元数目为n+e 。
例
0 V0 1 V1 2 V2 3 V3
类似于有向图的邻接表，
3
所不同的是：
0
以同一顶点为终点弧：
0
用线性链表存储
2
V0
V1
m-1
V2
V3
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2． 从无向图的邻接表可以得到如下结论
1）在G邻接表中，同一条边对应两个结点，所有链表中结 点数目的一半为图中边数；
2）顶点v的度：等于v对应线性链表的长度； 3）判定两顶点v ，u是否邻接：要看v对应线性链表中有
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lin k
1 无向图的邻接表 顶点：通常按编号顺序将顶点数据存
储在一维数组中； 关联同一顶点的边：用线性链表存储
该结点表示边 （Vi Vj）,其中的1是Vj
在一维数组中的位置
下标 编号 link
例
V0
V1
V2
0 V0 1 V1 2 V2
3 V3
1
3
0
2
4
1
3
4
0
2
V3
V4 4 V4
1
2
m-1 精品课件
=
10 00 01 00 v014
分析1：无向图的邻接矩阵是对称的； 00 01 01 01 v005
分析2：顶点Vi 的度＝第 i 行 (列) 中1 的个数；
特别：完全图的邻接矩阵中，对角元素为0，其余全1。
精品课件
有向图的邻接矩阵如何表示？
v1
A
v3
v2
顶点表：
邻接矩阵：
A.Edge
v4
=
注：在有向图的邻接矩阵中，
顶点vi的入度=第i列元素之和。
ID(vi )= A.Edge[ j ][i ]
( v1 v2 v3 v4 )
0 01 01 v01 0 0 0 0v2 0 0 0 01v3 01 0 0 v04
第i行含义：以结点vi为尾的弧(即vi出度边）； 第i列含义：以结点vi为头的弧(即vi入度边）。
分析1：有向图的邻接矩阵可能是不对称的。
分析2：顶点vi的出度=第i行元素之和，
OD(vi )= A.Edge[ i ][j ]
V0
V1
V2
V3
V4
V0
V1
V2
V3
精品课件
有向图： 无向图： 完全图:
图G中的每条边都是有方向的； 图G中的每条边都是无方向的； 图G任意两个顶点都有一条边相连 接；
若 n 个顶点的无向图有 n(n-1)/2 条边,
称为无向完全图
若 n 个顶点的有向图有n(n-1) 条边, 称
为有向完全图
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2 有向图的邻接表和逆邻接表 1）有向图的邻接表 顶点：用一维数组存储（按编号顺序） 以同一顶点为起点的弧：用线性链表存储
例
下标 编号 link
0 V0 1 V1 2 V2 3 V3
1
2
3 0
类似于无向图的邻接表， 所不同的是：
以同一顶点为起点的弧： 用线性链表存储
V0
V1
m-1
精品课件
V2
V3
2）有向图的逆邻接表 顶点：用一维数组存储（按编号顺序） 以同一顶点为终点的弧：用线性链表存储
4
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图的邻接表表示
图的邻接表存储方法是一种顺序分配与链式分配相结合 的存储方法，它包括两部分：边表和顶点表。 ➢边表是单链表，用来存放边的信息； ➢顶点表是数组，主要用来存放顶点本身的数据信息和 该顶点邻接点的位置。
边结点
adjvex weight next
顶点结点
v ertex n ex t
有向图及无向图的比较研究
知识结构
• 图的定义 • 无向图与有向图 • 无向图与有向图异同点
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图
图（Graph）是一种较线性表和树更为复杂的 非线性结构。是对结点的前趋和后继个数不 加限制的数据结构，用来描述元素之间“多 对多”的关系。
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一 图的定义
图G由两个集合构成，记作G=(V,E) 其中V是顶点的非空有限集 合，E是边的有限集合，其中边是顶点的无序对或有序对集合。
例
G1=(V1,E1) V1={v0 ,v1,v2,v3,v4} E1={(v0,v1),(v0,v3),(v1,v2),(v1,v4),(v2,v3)(v2,v4)}
无序对(vi,vj)： 用连接顶点vi、vj的线段
表示，称为无向边；
精品课件
V0
V1
V2
V3
V4
G1 图示
G2=<V2,E2>
V2={v0 v1,v2,v3} E2={<v0,v1 > , <v0,v2 >, <v2,v3 >,<v3,v0 >}
图的应用举例：
例1 交通图（公路、铁路）
顶点：地点
边：连接地点的公路
交通图中的有单行道双行道，分别用有向边、无向
边表示；
例2 电路图 顶点：元件
V0
V1
边：连接元件之间的线路
V2
例3 通讯线路图 顶点：地点
V3
V4
边：地点间的连线 例4 各种流程图
V0
V1
如产品的生产流程图
顶点：工序 边：各道工序之间精的品课顺件 序关系
从有向图的邻接表可知，不能求出顶点的入度。为此， 我们必须另外建立有向图的逆邻接表，以便求出每一 个顶点的入度。
适用于边稀疏的图
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无向图的邻接矩阵如何表示？
v1
v2
顶点表：（ v1 v2 v3 v4 v5 ）
A
v3
邻接矩阵：
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v4
00 01 00 10 v001
v5
A.Edge
10 00 10 00 v012 00 10 00 01 v013