上海市2020-2021学年宝山区高三数学一模试卷

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2021届上海市宝山区高三上学期(一模)期末数学试题及答案

绝密★启用前2021届上海市宝山区高三上学期（一模）期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．直线310x y +-=的一个法向量可以是（） A ．(3,1)- B ．(3,1)C ．(1,3)D ．(1,3)-答案：C【分析】先求解出直线的一个方向向量，设出法向量，利用数量积为零计算即可.解：直线310x y +-=的一个方向向量为11,3v ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设直线的法向量为()1,m t =，因为0v m ⋅=，所以1103t -=，得3t =，所以法向量()1,3m =.故选：C.2．“函数()sin()f x x ω=（,x R ω∈，且0ω≠）的最小正周期为2”，是“ωπ=”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件答案：B【分析】验证当函数()sin()f x x ω=最小正周期为2时，ωπ=是否成立；验证ωπ=成立时函数()sin()f x x ω=（,x R ω∈，且0ω≠）的最小正周期为2是否成立，再结合充分必要条件定义即可得出答案.解：解：当函数()sin()f x x ω=（,x R ω∈，且0ω≠）的最小正周期为2时，所以22,||T πωπω==∴=±,不能得出ωπ=，故充分性不成立，当ωπ=时，()sin()f x x ω=的最小正周期为22||T πω==，故必要性成立综上：“函数()sin()f x x ω=（,x R ω∈，且0ω≠）的最小正周期为2”，是“ωπ=”的必要非充分条件. 故选：B.点评：充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.3．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为（） A ．121B ．321C ．521D ．721答案：C【分析】直接利用组合数的应用求出基本事件的个数，进而求出概率的值. 解：根据题意：从10个数中任取5个不同的数，则基本事件为51010987649725254321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，则这5个不同的数的中位数为4的有：224560C C ⋅=，故概率60525221P ==. 故选：C4．下列结论中错误的是（）A ．存在实数x ，y 满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，并使得4(1)(1)9x y ++>成立B ．存在实数x ，y 满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，并使得4(1)(1)7x y ++=成立C ．满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，且使得4(1)(1)9x y ++=-成立的实数x ，y 不存在D ．满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，且使得成4(1)(1)9x y ++<-立的实数x ，y 不存在答案：A【分析】画出约束条件的可行域，判断目标函数取得最值时的位置，然后判断选项的正误即可.解：解：画出不等式组11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩表示的平面区域，如图阴影所示：(1,2),(1,0),(1,2),(1,0)A B C D ---，令4(1)(1)z x y =++，可知可行域内的点在边界时，z 取得最大值或最小值；对于A 项，最优解在1x y +=时，214(1)(1)4(1)(2)4()92z x y x x x =++=+-=--+，因为1x ≤，所以z 的最大值为9，且此时12x y ==. 所以选项A 错误；对于B 项，4(1)(1)7x y ++=即7(1)(1)4x y ++=，由基本不等式知(1)(1)(1)(1)2x y x y +++≥++11x y +=+时等号成立，即27(1)(1)24x y x y ++=++=，解得712x y ==-，且点771,1)22--在可行域内，故B 项正确，不选；对于C 项，最优解在1x y +=-时，214(1)(1)4(1)()4()12z x y x x x =++=+-=-++，因为1x ≤，所以81z -≤≤.所以满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，且使得4(1)(1)9x y ++=-成立的实数x ，y 不存在，所以C 项正确，不选；对于D 项，由对C 项的分析可知，满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，且使得成4(1)(1)9x y ++<-立的实数x ，y不存在，所以D 项正确，不选；故选：A.点评：本题考查线性规划的应用，判断最优解的位置是解题的关键，难度较大. 二、填空题5．若集合(,3),(4,)A B =-∞-=-+∞，则A B =_________．答案：(4,3)--【分析】根据集合交集定义运算即可得出答案. 解：解：因为集合(,3),(4,)A B =-∞-=-+∞，所以(4,3)AB --=.故答案为：(4,3)--点评：集合基本运算的方法技巧:（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解，对于端点处的取舍，可以单独检验. 6．抛物线y 2=6x 的准线方程为_____．答案：32x =-解：因为抛物线的焦点在x 轴上，2p=6,那么其准线方程为32x =-7．已知复数z 满足11i z =-（i 为虚数单位），则z =___________．答案：1i -【分析】根据复数的除法运算求解即可. 解：因为11i z =-，所以11z i i-==-，即1z i =-. 故答案为：1i -8．设(1,2),(2,1)a b ==，则a 和b 的夹角大小为___________．（结果用反三角函数表示）答案：4arccos5【分析】直接利用向量的坐标运算求出向量的数量积和向量的模，进一步利用夹角公式的应用求出结果.解：解：向量(1,2),(2,1)a b ==，所以4 cos555a ba bθ⋅===⨯，所以4arccos5θ=.故答案为：4arccos5.点评：本题主要考查向量的坐标运算、向量的夹角运算、向量的模，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.9．已知二项式612xx⎛⎫+⎪⎝⎭，则其展开式中的常数项为_________．答案：160【分析】写出二项式展开式的通项，令x的幂指数等于0，找到3r=，计算常数项即可.解：由二项式展开式()61612rrrrT C xx-+⎛⎫= ⎪⎝⎭为常数项，可知3r=，所以常数项为3362160C⋅=. 10．若实数x，y满足2030xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y=+的最大值为___________．答案：4【分析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可得出结果.解：不等式组2030xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由2z x y=+可得2y x z=-+，则z表示直线2y x z=-+在y轴的截距，由图像可得，当直线2y x z =-+过点C 时，在y 轴的截距最大，即z 有最大值；联立2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得()1,2C ，故max 224z =+=.故答案为：4.点评：方法点睛：该题主要考查求线性目标函数的最值，解题方法如下：（1）根据题意，画出约束条件画出其对应的可行域；（2）观察图形，找出最优解，联立方程组，求得最优解，代入目标函数求得最值.11．已知圆锥的底面半径为1θ的大小为_________．答案：π【分析】圆锥的底面半径为12π，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.解：圆锥的底面半径为12=，即展开后所得扇形的半径为2，圆锥底面圆的周长2l π=即为展开后所得扇形的弧长，所以根据弧长公式可知22πθ=，解得θπ= 故答案为：π12．方程cos2sin 0x x -=在区间[0,]π上的所有解的和为__________．答案：π【分析】利用二倍角公式，将方程cos2sin 0x x -=，转化为22sin sin 10x x +-=求解. 解：方程cos2sin 0x x -=，即为：22sin sin 10x x +-=，解得1sin 2x =或sin 1x =-，因为[0,]x π∈，所以6x π=或56x ππ=，所以方程在区间[0,]π上的所有解的和为π 故答案为：π13．已知函数()f x 的周期为2，且当01x <≤时，4()log f x x =，那么92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________．答案：12-【分析】根据函数()f x 为周期函数，得91()22f f ⎛⎫=⎪⎝⎭，代入函数4()log f x x =即可得解. 解：解：因为函数()f x 是周期为2的周期函数，所以91()22f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又当01x <≤时，4()log f x x =，所以142911lg 21lg 21()log 222lg 22lg 22f f --⎛⎫====⨯=- ⎪⎝⎭. 故答案为：12-点评：函数周期性的判定与应用：（1）判定:判断函数的周期只需证明()()(0)f x T f x T +=≠便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题（2）应用:根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则(kT k ∈Z 且0)k ≠也是函数的周期14．设数列{}n x 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，均有1n n S x +=-，则6S =___________．答案：6364-【分析】由1n n S x +=-，利用数列通项和前n 项和的关系，求得数列是等比数列，然后利用前n 项和公式求解. 解：当1n =时，112x =-，当2n ≥时，由1n n S x +=-，得111n n S x --+=-，两式相减得112n n x x -=，又2112x x =，所以数列{}n x 是以12-为首项，以12为公比的等比数列，所以66111226316412S ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--=，故答案为：6364-15．设函数()sin 2cos2(,)f x a x b x a b R =⋅+⋅∈，给出下列的结论： ①当0,1a b ==时，()f x 为偶函数； ②当1,0a b ==时，(2)f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数；③当1a b ==-时，2x f ⎛⎫⎪⎝⎭在区间(2,2)ππ-上恰有3个零点；④当1a b ==时，设()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()t ϕ，最小值为()t ψ，则()()t t ϕψ-≤．则所有正确结论的序号是_________．答案：①④【分析】①当0,1a b ==时，()cos 2f x x =，由偶函数的定义判断①正确；②当1,0a b ==时，(2)sin 4f x x =，由复合函数的单调性判断②错误；③当1a b ==-时，2sin()26xf x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，求得函数的零点判断③错误；④当1a b ==时，()2sin(2)6f x x π=+，令()()()4g t f t f t π=+-，求其最大值判断④正确.解：①当0,1a b ==时，()cos 2f x x =，定义域为R ，且()()f x f x -=，函数为偶函数，故①正确；②当1,0a b ==时，(2)sin 4f x x =，由0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4(0,)x π∈，则sin 4y x =在(0,)4π上不单调，故②错误；③当1a b ==-时，cos 2sin()26x f x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由2sin()06x π-=，即,,,66x k k Z x k k Z ππππ-=∈=+∈，则6x π=±，76x π=±，共四个零点，故③错误；④当1a b ==时，()2cos22sin(2)6f x x x x π=+=+，周期22T ππ==，区间,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的长度为4π，即为14周期，所以当区间,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递增区间或单调递减区间时，()()t t ϕψ-最大，令()()()|2cos(2)2sin(2)|466g t f t f t t t πππ=+-=+-+ 5|)||)|6412t t πππ=++=+，即()()t t ϕψ-≤，故④正确；故答案为：①④.点评：思路点睛：该题考查的是有关sin()y A x ωϕ=+型函数的图象与性质，解题思路如下：（1）首先根据题意，化简整理函数解析式；（2）结合函数解析式，根据相应正、余弦函数的性质，对照判断其正误；（3）在解题的过程中，化简函数解析式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键16．若定义在N 上的函数(),()f x g x 满足：存在0x N ∈，使得()()00f x g x <成立，则称()f x 与()g x 在N 上具有性质(,)P f g ，设函数1()2x a f x -=与3()g x x =，其中，0a >，已知()f x 与()g x 在N 上不具有性质(,)P f g ，将a 的最小值记为0a ．设有穷数列{}n b 满足[]()1101,1,504n n b b b n N n a *+==+∈≤⨯，这里[]0a 表示不超过0a 的最大整数．若去掉{}n b 中的一项t b 后，剩下的所有项之和恰可表为()2m m N *∈，则t mb+的值为_________．答案：2626【分析】问题可转化为()()f x g x ≥在N 上恒成立，令31()02x a z x x -=-≥在N 上恒成立，根据函数的单调性求出20a e =，从而求出n S ，再求出答案即可.解：因为()f x 与()g x 在N 上不具有性质(,)P f g ，所以()()f x g x ≥在N 上恒成立，令31()02x a z x x -=-≥在N 上恒成立，当21'()ln 302xz x a a x =⋅-=时，a 最小，所以联立()0'()0z x z x =⎧⎨=⎩，得到2011ln 36x a x =+，令21()36x h x x =+，则311'()32h x x=-，当0,1x =时，'()0h x <，()h x 递减，当2,3,4,x =时，'()0h x >，()h x 递增，所以117(1),(2)224h h ==，所以(1)(2)h h <，当1x =时，20a e =，所以50473528n ≤⨯=，因为111,1n n b b b +==+，所以n b n =，所以2(1)3528352922n t n n S b m +⨯==+=，2495.026==，取2495m =，则131t b =，所以131********t b m +=+=，故答案为：2626.点评：方法点睛：该题考查的是有关函数恒成立问题，数列的应用以及转化思想，解题方法如下：（1）根据题意，将问题转化，将其转化为31()02x a z x x -=-≥在N 上恒成立，利用导数研究其单调性，得到最值，求得相应的参数值；（2）根据数列相关公式求得的n S ；（3）根据题意，建立相应的等量关系式求得结果. 三、解答题17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，T为1DD 上一点，已知12,4,2,6DT AB BC AA ====．（1）求直线TC 与平面ABCD 所成角的大小（用反三角函数表示）；（2）求点1C 到平面1ATC 的距离．答案：（1）1arctan2（或5arcsin ）；（2）4217．【分析】方法一（几何法）：（1）连结TC ，由已知可得直线TC 与平面ABCD 所成的角即为TCD ∠，解三角形可求得直线TC 与平面ABCD 所成角的大小.（2）运用等体积法可求得点1C 到平面1ATC 的距离. 方法二（向量法）：（1）如图，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系. 运用线面角的向量求解方法可求得直线TC 与平面ABCD 所成角的大小. （2）由点到面的距离的向量方法可求得点1C 到平面1ATC 的距离. 解：方法一：（1）连结TC ，在长方体1111ABCD A B C D -中，因为1DD ⊥平面ABCD ，即TD ⊥平面ABCD ，所以直线TC 与平面ABCD 所成的角即为TCD ∠，在Rt TCD 中，由2DT =，4CD AB ==，可得1tan 2DT TCD CD ∠==，又0,2TCD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，故1arctan 2TCD ∠=，所以直线TC 与平面ABCD所成角的大小为1arctan2. （2）由已知可得125AT TC ==，1214AC =，所以1121462212A TCS=⨯⨯=.又1164122TCC S =⨯⨯=. 设点1C 到平面1ATC 的距离为h .在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11A D ⊥平面11CDC D ，即11A D ⊥平面1TCC ，再由1111C A TC A TCC V V --=得11111133A TC TCC S h S A D ⋅=⋅△△，所以，11114217221TCC A TCSA D h S⋅===.即点1C 到平面1ATC 的距离为421.方法二：（1）如图，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系.由已知可得A (2，0，0)、B (2，4，0)、C (0，4，0)、D (0，0，0)、T (0，0，2)，故()0,4,2TC =-，又平面ABCD 的一个法向量()0,0,1n =，设直线TC 与平面ABCD 所成角的大小为θ，则2sin 4TC n TC nθ⋅===⋅0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，故arcsin θ= 所以直线TC 与平面ABCD 所成角的大小为arcsin5. （2）注意到1C (0，4，6)，1A (2，0，6)，及T (0，0，2)，C (0，4，0)，故()12,0,4AT =--，()0,4,2CT =-，()10,4,4C T =--，设平面1ATC 的一个法向量为(),,m x y z =，由已知，得100m AT m CT ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即240420x z y z --=⎧⎨-+=⎩，所以42x yz y =-⎧⎨=⎩，可取()4,1,2m =-，所以点1C 到平面1ATC的距离为107C T m m⋅⨯==即点1C 到平面1ATC . 点评：关键点点睛：利用法向量求解空间角和距离的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 18．已知函数()()1mf x x m R x =+∈-．（1）当1m =时，解不等式()1(1)f x f x +>+；（2）设[3,4]x ∈，且函数()3y f x =+存在零点，求实数m 的取值范围．答案：（1）()(),01,-∞⋃+∞；（2）[]21,12--. 【分析】（1）本题首先可根据1m =得出()11f x x x =+-，然后将不等式转化整理为()10x x ->，通过计算即可得出结果；（2）本题可将当[]3,4x ∈时函数()3y f x =+存在零点转化为当[]3,4x ∈时方程()241m x =-++有解，然后令()()214g x x =-++，求出当[]3,4x ∈时函数的值域，即可得出结果.解：（1）当1m =时，()11f x x x =+-，1x ≠，不等式()()11f x f x +>+，即()11111x x x x⎛⎫+> ⎪⎝⎭+++-，整理得111x x >-，1101x x->-，()101x x >-，()10x x ->，解得0x <或1x >，故原不等式的解集为()(),01,-∞⋃+∞.（2）当[]3,4x ∈时，函数()3y f x =+存在零点，即当[]3,4x ∈时，方程301mx x ++=-有解，即当[]3,4x ∈时，方程()241m x =-++有解，令()()214g x x =-++，当[]3,4x ∈时，函数()()214f x x =-++的值域为[]21,12--，故实数m 的取值范围为[]21,12--.点评：关键点点睛：本题考查不等式的解法以及根据零点所在区间求参数范围，主要考查一元二次不等式的解法以及利用函数值域求参数范围，能否将当[]3,4x ∈时函数()3y f x =+存在零点转化为当[]3,4x ∈时方程()241m x =-++有解是解决本题的关键，考查转化与化归思想，是中档题.19．设函数()sin()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的最小正周期为2π，且()f x 的图像过坐标原点．（1）求ω、ϕ的值；（2）在ABC 中，若2222()3()2()()()()f B f C f A f B f C f A +=⋅⋅+，且三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，试求()b f B C c⋅+的值．答案：（1）1ω=，0ϕ=；（2）1. 【分析】（1）由题意，利用22ππω=，()00f =，即可求解.（2）由2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A+=⋅⋅+，结合余弦定理可得：222sin cos 2b c A A bc bc+-=≥=，sin cos )4A A A π--≤，可得b =，可得34A π=，即可求出. 解：（1）依题意，可得22ππω=，所以1ω=，故()()sin f x x ϕ=+，因为()f x 的图象过坐标原点，所以()00f =，即sin 0ϕ=，因为22ππϕ-<<，因此，0ϕ=.（2）由（1）得()sin f x x =，由已知，可得2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=⋅⋅+，所以222232sin b c A bc a +=⋅+，再利用余弦定理，并整理得222sin cos 2b c A A bc+-=，因为2222222b c bc bc +≥=，所以sin cos 2A A -≥，又sin cos =2sin()24A A A π--≤，所以sin cos 2A A -=，且2b c =，34A π=，故()()2sin 2sin 1b f B C c B C A c c⋅+⋅+===.点评：本题考查了解三角形的内容，一般解三角形的基本策略为：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20．已知12,F F 分别为椭圆22:14xy Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的一点．（1）若点M 的坐标为(1,)(0)m m >，求12F MF △的面积；（2）若点M 的坐标(0,1)，且直线3()5y kx k R =-∈与Γ交于两不同点A 、B ，求证：MA MB ⋅为定值，并求出该定值；（3）如图，设点M 的坐标为(,)s t ，过坐标原点O 作圆222:()()M x s y t r -+-=（其中r 为定值，01r <<且||s r ≠）的两条切线，分别交Γ于点P ，Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k ．如果12k k 为定值，试问：是否存在锐角θ，使2||||5sec OP OQ θ⋅=⋅？若存在，试求出θ的一个值；若不存在，请说明理由．答案：（1）32；（2）0MA MB ⋅=，证明见详解；（3）不存在. 【分析】（1）将点(1,)(0)M m m >代入求出2m =，再求出左、右焦点即可求解. （2）将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量数量积的坐标运算即可求解.（3）设出直线OP :1y k x =，直线OQ :2y k x =，利用点到直线的距离公式可得1k 、2k 是关于ξ的方程()222222220s rst t r ξξ--+-=的两实根，根据题意12k k 为定值，可得1214k k δ==-，5r =，设()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线OP :1y k x =，直线OQ :2y k x =与椭圆联立，求出52OP OQ ⋅≤，即求. 解：（1）由已知条件得22114m +=，因为0m >，所以2m =，又1F 、2F 的坐标分别为(，0)、0)，因此，12F MF △的面积为13222⋅=. （2）设(),A A A x y ，(),B B B x y ，由221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得()222464410525k x kx +--=，显然22566425k ∆=+>，且()()2224541642541A B A B k x x k x x k ⎧+=⎪+⎪⎨⎪⋅=⎪+⎩，又35A A y kx =-，35B B y kx =-，所以，()()()()26418,1,1255A A B B A B A B MA MB x y x y x x k k x x ⋅=-⋅-+-=++()()()2226482464105252541541k k k k k ⎡⎤⎢⎥=+⋅-⋅+=++⎢⎥⎣⎦，即0MA MB ⋅=为定值.（3）满足25sec OP OQ θ⋅=的锐角不存在. 理由如下：因为直线OP :1y k x =与Mr =，即()222221120s rkstk t r --+-=，同理，由直线OQ :2y k x =与M 相切，可得()222222220s r k stk t r --+-=，于是，1k 、2k 是关于ξ的方程()222222220s rst t r ξξ--+-=的两实根，注意到s r ≠，且2214s t +=，故222212222214s r t r k k s r s r⎛⎫-- ⎪-⎝⎭==--，因12k k 为定值，故不妨设12k k δ=（定值），于是有222214s r s r δ--=-，即()2211104s r δδ⎛⎫⎡⎤++-+-= ⎪⎣⎦⎝⎭. 依题意可知，s 变化，而r 、δ均为定值，所以()2104110r δδ⎧+=⎪⎨⎪-+-=⎩，解得1214k k δ==-，5r =，再设()11,P x y ，()22,Q x y ，由22114x y y k x⎧+=⎪⎨⎪=⎩得2121221121114414x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩；同理可得2222222222114414x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩.所以()()()()2222122222112222124144141414k k OP OQ x y x y k k ++⋅=++=⨯++()221211992544242424k k k k =+≤+=+⋅⋅++，即22254OP OQ ⋅≤，亦即52OP OQ ⋅≤，（※）若锐角θ︒，使25sec OP OQ θ⋅=，则55sec 22OP OQ θ⋅=>，与（※）相矛盾. 因此，这样的锐角θ不存在.点评：关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出1214k k δ==-，r =52OP OQ ⋅≤，考查了分析能力、运算求解能力，综合性比较强，难度较大.21．若有穷数列{}n x ：12,,,n x x x 满足1,0i i i x x t x +≥+>（这里i ，,3,11n N n i n *∈≥≤≤-，常数0t >），则称又穷数列{}n x 具有性质()P t ．（1）已知有穷数列{}n x 具有性质()P t （常数12t ≥），且2132112n n n x x x x x x ---+-++-≤，试求t 的值；（2）设1222i i i a a t a t +=++-+-（,,3,11i n N n i n *∈≥≤≤-，常数2t >），判断有穷数列{}n a 是否具有性质()2P t -，并说明理由；（3）若有穷数列{}n y ：12,,,n y y y 具有性质(1)P ，其各项的和为20000，12,,,n y y y 中的最大值记为A ，当A N *∈时，求A n +的最小值．答案：（1）12；（2）当10a ≤时，有穷数列{a n }不具有性质P （t ﹣2），当10a >时，有穷数列{a n }具有性质P （t ﹣2），证明过程见解析；（3）110.【分析】（1）根据有穷数列{x n }具有性质P （t ），可得（n ﹣1）t≤12n -，即可求出t 的值；（2）根据有穷数列{x n }具有性质P （t ）的定义，证明即可；（3）由已知可得A+n≥20003122n n +-，结合基本不等式即可求出．解：（1）因为有穷数列{x n }具有性质P （t ），所以|x i+1﹣x i |＝x i+1﹣x i ≥t，即|x i+1﹣x i |≥t，（i ＝1，2，3，…n﹣1），再由已知条件可得(1)n t -≤|x 2﹣x 1|+|x 3﹣x 2|+…+|x n ﹣x n ﹣1|12n -≤，即1(1)2n n t --≤，而n≥3，所以12t ≤，又12t ≥，所以12t =；（2）当10a ≤时，有穷数列{a n }不具有性质P （t ﹣2），当10a >时，有穷数列{a n }具有性质P （t ﹣2），理由如下：若10a ≤时，则有穷数列{a n }显然不具有性质P （t ﹣2），若10a >，则由t ＞2，可得a 2＝2|a 1+t+2|﹣|a 1+t ﹣2|＝2（a 1+t+2）﹣（a 1+t ﹣2）＝a 1+t+6，即a 2＝a 1+t+6，所以a 2＞a 1+t ﹣2，且a 2＞0，同理可得a 3＝a 2+t+6，（a 2＞0），则a 3＞a 3+t ﹣2，且a 3＞0， …一般地若a i ＝a i ﹣1+t+6，（a i ﹣1＞0），则a i ＞a i ﹣1+t ﹣2，且a i ＞0，于是a i+1＝2|a i +t+2|﹣|a i +t ﹣2|＝2（a i +t+2）﹣（a i +t ﹣2）＝a i +t+6，即a i+﹣1＝a i +t+6，所以a i ＞a i ﹣1+t ﹣2，且a i ＞0，（仍有a i+1＞0i ，这里i 、n∈N，n≥3，1≤i≤n﹣1），因此当a 1＞0时，有穷数列{a n }具有性质P （t ﹣2），综上，当a 1≤0时，有穷数列{a n }不具有性质P （t ﹣2），当a 1＞0时，有穷数列{a n }具有性质P （t ﹣2），（3）由已知可得y n ﹣1≤y n ﹣1，y n ﹣2≤y n ﹣2，…，y 1≤y n ﹣（n ﹣1），故y 1+y 2+…+y n ＝ny n ﹣[1+2+…+（n ﹣1）]，即2000≤ny n ﹣(1)2n n -，整理可得y n 2000122n n ≥+-，显然y n ＝A ，于是有A+n 2000311222n n ≥+-≥=注意到A 110，所以A+n≥110，可取y1＝2，y i＝36+i，（i＝2，3，…，37），因此A+n的最小值为110．点评：关键点睛：解决本题的关键就是对题中所给的定义的理解，考查了推理论证能力，转化与化归能力，属于难题。

上海市宝山区2022届高三数学一模卷(含答案)

上海市宝山区2022届高三一模数学试卷 2021.12 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=2. 已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则AB =3. 在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为4. 函数24()ln 21x x f x -=+的定义域是 5. 已知函数2()23f x x ax =-++在区间(,4)-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1(1)n a n d =+-，285a a =，则n S =7. 若x 、y 满足214310x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩，则y x -的最大值为8. 计算：12122111lim ()2222n n n n -→∞++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅= 9. 在三角形ABC 中， D 是BC 中点，2AB =，4AC =，则AD CB ⋅=10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，()(2)f x x x =--，则方程()|lg |f x x =有个根11. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且21cos sin 212B B +=，02B π<<，若||4AB BC +=，则ac 的最大值为12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(2)4C x y -+=，点A 是直线20x y -+=上的一个动点，直线AP 、AQ 分别切圆C 于P 、Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. “11220a b a b =”是“直线111a x b y +=和221a x b y +=平行”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分也非必要条件14. 已知函数1()2()2x x f x =-，则()f x （） A. 是奇函数，且在(0,)+∞上是增函数 B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在(0,)+∞上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数15. 已知双曲线2212x y -=，作x 轴的垂线交双曲线于A 、B 两点，作y 轴的垂线交双曲线于C 、D 两点，且AB CD =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 抛物线16. 设m 、n ∈R ，定义运算“∆”和“∇”如下：,,m m n m n n m n ≤⎧∆=⎨>⎩，,,n m n m n m m n ≤⎧∇=⎨>⎩，若正数m 、n 、p 、q 满足4mn ≥，4p q +≤，则（）A. 2m n ∆≥，2p q ∆≤B. 2m n ∇≥，2p q ∇≥C. 2m n ∆≥，2p q ∇≥D. 2m n ∇≥，2p q ∆≤三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 、Q 分别是棱BC 与11B C 的中点.（1）求以1A 、1D 、P 、Q 为顶点的四面体的体积；（2）求异面直线1D P 与1A Q 所成角的大小.18. 设函数()sin f x x =，x ∈R .（1）若[0,)θπ∈，函数()f x θ+是偶函数，求方程1()2f x θ+=的解集；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域.19. 吴淞口灯塔AE 采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度H (单位: m )，如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度3h =m ，使A 、B 、D 在同一直线上，也在同一水平面上，仰角∠ABE α=，∠ADE β=. (本题的距离精确到0.1m )（1）该小组测得α、β的一组值为α=51.83°，β=47.33°，请据此计算H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离d (单位: m )，使α与β之差较大，可以提高测量精确度. 若灯塔的实际高度为20.1m ，试问d 为多少时，αβ-最大？20. 如图，已知1F 、2F 是椭圆22:14x y Γ+=的左、右焦点，M 、N 是其顶点，直线 :l y kx m =+(0)k >与Γ相交于A 、B 两点.（1）求2F MN 的面积P ；（2）若2l F N ⊥，点A 、M 重合，求B 点的坐标；（3）设直线OA 、OB 的斜率分别1k 、2k ，记以OA 、OB 为直径的圆的面积分别为1S 、2S ，△OAB 的面积为S ，若1k 、k 、2k 恰好构成等比数列，求12()S S S +的最大值.21. 已知函数()2||f x x =-，无穷数列{}n a 满足1()n n a f a +=，*n ∈N .（1）若12a =，写出数列{}n a 的通项公式(不必证明)；（2）若10a >，且1a 、2a 、3a 成等比数列，求1a 的值；问{}n a 是否为等比数列，并说明理由；（3）证明：1a 、2a 、⋅⋅⋅、n a 、⋅⋅⋅成等差数列的充要条件是11a =.参考答案一. 填空题1. 2i -+2. {1,2}3. 10-4. (2,)+∞5. 4a ≥6. 2n7. 18. 29. 6- 10. 1011. 16+12.二．选择题13. B 14. A 15. B 16. D三. 解答题17.（1）323；（2） 18.（1）2πθ=，{|2,}3x x k k ππ=±+∈Z ；（2）1)6y x π=-，[1 19.（1）3tan tan tan H H βαβ-=，20.4H ≈；（2）3tan()343.71d dαβ-=+，18.5d ≈ 20.（1；（2）22(13-；（3）12k =，当1m =时，最大值为54π 21.（1）2,0,n n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数；（2）11a =，为等比数列，12a =+ （3）略。

2020宝山高三数学一模试卷+答案

宝山区2019学年第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷（120分钟，150分）考生注意：1．本试卷包括试卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；2．在本试卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 3．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1．若()12z i i +=（i 是虚数单位），则z = .2．已知 4251λλ-=-，则λ= ．3．函数13(1)x y x -=≤的反函数是．4．2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有场比赛．5．以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是．6．在()531(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为．7．不等式22236x x x x -->--的解集是．8．已知方程()220x kx k R -+=∈的两个虚数根为12,x x ，若122x x -=，则k = ．9．已知直线l 过点()1,0-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为．10．有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是 cm .（钢的密度为37.9/g cm ，精确到0.1cm ）．11．已知{}n a ，{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 的前三项是799，，，则10c ＝． 12．已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．若函数1()ln f x x a x =-+在区间()1,e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（）（A ）01a <<．（B ）11a e <<．（C ）111a e -<<．（D ）1+11a e<<．14．下列函数是偶函数，且在 [)0+∞，上单调递增的是（）（A ）()2()log 41x f x x =+-．（B ）()||2cos f x x x =-．（C ）221(0),()0 (0).x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩．（D ）|lg |()10x f x =． 15．已知平面αβγ、、两两垂直，直线,,a b c 满足,,a b c αβλ⊆⊆⊆，则直线,,a b c 不可能满足的是（）（A ）两两垂直．（B ）两两平行．（C ）两两相交．（D ）两两异面． 16．提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：()sin cos a x b x x ϕ+=+，πϕπ-<≤.下列判断错误的是（）（A ）当0,0a b >>时，辅助角arctanb a ϕ=. （B ）当0,0a b ><时，辅助角arctanba ϕπ=+. （C ）当0,0ab <>时，辅助角arctanba ϕπ=+. （D ）当0,0ab <<时，辅助角arctanbaϕπ=-. 三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°， DD 1＝3，E 是AB 的中点．（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).1D A18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()sin cos +cos 2f x x x x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解12,x x ，求a 的取值范围及12x x +的值.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）一家污水处理厂有A 、B 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水.A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半（精确到1小时）；（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定,处理后的污水可以排入河流.若A 、B 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定（精确到1小时）.20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知直线:(02)l x t t =<<与椭圆22142x y Γ+=：相交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记12,F F 是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；（2）若点,M A 关于y 轴对称，当MAB ∆的面积最大时，求直线MB 的方程；（3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P Q ，，证明：||||OP OQ ⋅为定值.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数），且2n a += 令ln n n b a =（*n N ∈）. （1）证明：2n b +>（2）证明：211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列，且{}n b 的通项公式是121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（3）是否存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +≥成立?若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.2019学年第一学期期末高三数学参考答案2019.12.13一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1.2. 33. 31log (01)y x x =+<≤4. 665. 9)23(22=++y x 6. 9-7. {}|4x x >- 8. 2± 9.4.5cm 11. 47-12. (P二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.C 14.A 15.B 16.B三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17.解:（1）001sin 60sin 602EBCD S AB AD AE AD =⋅-⋅=，……………4分1113C EBCD V S AA -=⋅= …………………………………6分（2）211+910EB ==，由余弦定理得201+422cos1207EC =-⨯=，所以217+916EC ==， ……………………………………………8分因为11//AD B C ，所以11B C E θ∠=即为所求异面直线1C E 和AD 所成的角.……………………10分由余弦定理得5cos 8θ==， ………………………………13分所以，异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5arccos 8. ……………………14分18.解：（1）()2cos 21sin cos sin 222x f x x x x x -=-+=+，所以()1sin 262f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， …………………………………2分因而()f x 的最小正周期22T ππ==. …………………………………4分令()11sin 2622f x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，解得212k x ππ=-，1所以()f x 的对称中心是12122k k Z ππ⎛⎫--∈⎪⎝⎭，，.……………………6分（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，………………………………8分由0262x ππ≤+≤，解得06x π≤≤，所以，()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的递减区间是62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. …………………………………10分当()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解时，a 的取值范围是10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，……12分此时，12263x x ππ+==. …………………………………14分19.解: (1)设开始时每个池中的污物为0a ，用,n n a b 表示n 小时后，A ，B 两池剩余的污物量,则10.10.9n n n n a a a a +=-=，所以00.9nn a a =，…………………………2分同理00.81nn b a =.由题意000.92nn a a a ==,………………………………………………………4分两边取对数得ln 0.56.587ln 0.9n =≈≈小时. …………………………………6分(2)设n 小时后,A 池污物余0ra ，则B 池污物余()00.2r a -，……………7分由题意()00000.90.810.2nn nn a a ra b a r a ⎧==⎪⎨==-⎪⎩， …………………………………8分化简得0.81+0.90.2n n =或0.81+0.90.2n n≤，即()20.9+0.90.20n n -=，………………………………………………………10分解得10.92n-+=， …………………………………………………………12分两边取对数得ln0.916.7717n =≈≈． ………………………13分答：A 池要用7小时才能把污物的量减少一半；要经过17小时后把两池水混合才能符合环保规定. ……………………………………………………………………14分20.解：（1）()1F，)2F ，由题意知，M在抛物线2y =-上，…………………………………2分由222142y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩解得6M x =.……………………………………4分（2）由题意A t ⎛ ⎝，M t ⎛- ⎝，,B t ⎛ ⎝，…………6分则122MAB S t ∆=⨯⨯=， (8)分所以当t =时，MAB ∆的面积最大， (9)分此时()M ，)1B -，解得直线MB 的方程为2y x =-. …………………………………………10分（3）设00(,)M xy ，由A t ⎛ ⎝，,B t ⎛ ⎝.0MA k =，所以，直线)000:MA y y x x -=-，令0y =得，0P x t y x x -=-11分同理得0Q x t y x x -=所以00||||OP OQ x x ⋅=-……………………12分计算()()22200000202222002||||2222x t x y x t y OP OQ x t ty y --⋅=-+-+-+，………………………14分又220022x y -=-，因而2200||||24OP OQ x y ⋅=+=.………………………16分21.解：（1）由题意()211ln ln lnn n n a a a ++=+，即()2112n n n b b b ++=+，……………1分由于11a =，2a e =，2n a +=所以，当2n ≥时，1n a >，且{}n a 递增， ………………………………………2分因而0n b >，且1n n b b +≠ ………………………………………………………………3分所以2n b +>………………………………………………………………………4分（2）因为()1121111122n n n n n n n n n b b bb b b b b b +++++++--==---，………………………………6分又2121ln ln 1b b a a -=-=，所以211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列. ……………………………………………7分所以()111211122n n n n b b b b --+⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得+1+221132n n b ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ……………………………………………9分所以121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，经检验，1,2n =均成立. ………………10分（3）当2n ≥时，因为0n b >，所以+1111311222111122nn n n n b t b --⎛⎫-- ⎪⎝⎭<==-⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………………12分只需要求+1n nbb 的最小值.因为1111224n -⎛⎫-≤-≤⎪⎝⎭， …………………………………………13分所以+113311122122211+122n n n b b -=-≥-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，…………………………………16分又211102b b =>=，所以，对任意自然数*n N ∈均有112n n b b +≥成立，……………………………17分所以t 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦………………………………………………………18分。

2020-2021学年上海市浦东新区高三(上)期末数学试卷(一模)

2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ．3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x ＞0}，B={x|x 2≤1}，则A∩B=___ ．5.（填空题，4分）已知复数z 满足z （1-i ）=4（i 为虚数单位），则|z|=___ ．6.（填空题，4分）在△ABC 中，若AB=2，∠B= 5π12 ，∠C= π4 ，则BC=___ ． 7.（填空题，5分）函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的反函数的定义域为___ ．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答）9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ． 10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ．11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ． 13.（单选题，5分）若a 、b 是实数，则a ＞b 是2a ＞2b 的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为 (1282416) ，则该线性方程组的解的个数为（） A.0个 B.1个 C.无数个D.不确定15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（） A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点．其中正确命题的个数为（） A.0 B.1 C.2 D.317.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）18.（问答题，14分）已知函数 f (x )=sin (ωx +π6) （ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，若 f (A2)=1 ，求sinB+sinC 的取值范围．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点．（1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22 ）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x 3)=12h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．2020-2021学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）n→∞n2n+1=___ ．【正确答案】：[1] 12 【解析】：由 n 2n+1 = 12+1n，再利用极限运算法则即可得出．【解答】：解： lim n→∞n 2n+1 = lim n→∞12+1n= 12 ，故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了极限运算法则、乘法公式，属于基础题． 2.（填空题，4分）半径为2的球的表面积为___ ．【正确答案】：[1]16π【解析】：利用球的面积公式，直接求解即可．【解答】：解：球的半径为2，所以球的表面积为：4πr 2=16π 故答案为：16π【点评】：本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题． 3.（填空题，4分）抛物线x 2=-4y 的准线方程为___ ．【正确答案】：[1]y=1【解析】：由抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p2 =1，即可求得抛物线的准线方程．【解答】：解：抛物线x 2=-4y 焦点在y 轴的负半轴上，则 p 2 =1， ∴抛物线的焦点坐标为（0，-1），准线方程：y=1，故答案为：y=1．【点评】：本题考查抛物线的方程，考查抛物线的简单几何性质，属于基础题．4.（填空题，4分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|x2≤1}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（0，1]【解析】：可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＞0}，B={x|-1≤x≤1}，∴A∩B=（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．5.（填空题，4分）已知复数z满足z（1-i）=4（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：直接利用复数的模的运算求出结果．【解答】：解：复数z满足z（1-i）=4，则z=41−i，所以|z|=4|1−i|=√2=2√2．故答案为：2 √2【点评】：本题考查的知识要点：复数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（填空题，4分）在△ABC中，若AB=2，∠B= 5π12，∠C= π4，则BC=___ ．【正确答案】：[1] √6【解析】：由三角形的内角和即B，C的值，求出A角的值，再由正弦定理可得边BC的值．【解答】：解：A=π−B−C=π−5π12−π4=π3，由正弦定理得ABsinC =BCsinA，所以BC=ABsinAsinC=2sinπ3sinπ4=√6．故答案为：√6．【点评】：本题考查正弦定理的应用，属于基础题．7.（填空题，5分）函数f（x）=1+log2x（x≥4）的反函数的定义域为___ ．【正确答案】：[1][3，+∞）【解析】：直接利用反函数的定义域和值域的关系求出结果．【解答】：解：函数f （x ）=1+log 2x （x≥4）的值域为[3，+∞），故其反函数的定义域为[3，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：反函数的定义域与原函数的值域的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.（填空题，5分）在（x+ √2 ）7的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为___ ．（用数字作答）【正确答案】：[1] 12【解析】：先求出展开式的通项公式，然后根据通项公式判断系数为有理数的情况的个数，再根据古典概率的求法艰苦求解．【解答】：解：因为 (x +√2)7展开式的通项为 T r+1=C 7r x 7−r(√2)r =C 7r 2r2x 7−r，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数，而r∈[0，7]（r∈N ），故有r=0，2，4，6满足题意，所以所求概率 P =48=12 ，故答案为： 12 ．【点评】：本题考查了二项式定理的简单应用，涉及到古典概率的求法，属于基础题． 9.（填空题，5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE=AF ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][0，1]【解析】：由题意取EF 中点为，然后结合图形的性质和平面向量的运算法则即可求得 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【解答】：解：取EF 中点为O ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO 2−OE 2 ，因为正方形的边长为2，所以 AO =√2，OE ∈[1，√2] ，所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0，1] ．故答案为：[0，1]．【点评】：本题主要考查平面向量的运算法则，平面向量的数量积运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．10.（填空题，5分）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 |an+1S n11|=2 ，则数列{a n }的前n 项和为S n 为___ ．【正确答案】：[1]S n =2n+1-2【解析】：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由 |an+1S n11|=2 变形可得a n+1-S n =2，令n=1和n=2可得a 2-S 1=a 2-a 1=2和a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，联立两式可得a 1、q ，由等比数列的前n 项和公式可得答案．【解答】：解：根据题意，数列{a n }为等比数列，设等比数列{a n }的公比为q ，数列{a n }满足 |a n+1S n11|=2 ，则有a n+1-S n =2，当n=1时，有a 2-S 1=a 2-a 1=2，即a 1q-a 1=2 ①当n=2时，有a 3-S 2=a 3-（a 1+a 2）=2，即a 1q 2-（a 1+a 1q ）=2 ② 联立 ① ② 可得：a 1=2，q=2，则数列{a n }的前n 项和为S n = a 1(1−q n )1−q =2n+1-2，故答案为：S n =2n+1-2．【点评】：本题考查等比数列的前n 项和，涉及数列的递推公式的应用，属于基础题． 11.（填空题，5分）设函数f （x ）=|x-a|- 2x +a ，若关于x 的方程f （x ）=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为___ ．【正确答案】：[1] {1−2√22，1+2√22，2} 【解析】：由题意，转化为两个函数问题，即设 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ，作出图，即可求解实数a 的取值构成的集合．【解答】：解：由方程f （x ）=1，得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解，令 ℎ(x )=|x −a |+a ，g (x )=2x +1 ，则h （x ）=|x-a|+a 的顶点（a ，a ）在y=x 上，而y=x 与 g (x )=2x +1 的交点坐标为（2，2），（-1，-1），联立 {y =−x +2a y =2x +1 得x 2+（1-2a ）x+2=0，由Δ=（1-2a ）2-8=0，解得 a =1−2√22 或 1+2√22，作出图象，数形结合，要使得 |x −a |+a =2x +1 有两个不同的解，则实数a 的取值范围是 a =1−2√22 或 1+2√22或2．故答案为 {1−2√22，1+2√22，2} ．【点评】：本题考查了方程有实根问题转化为有交点问题，数形结合思想，和作图的能力，属于中档题． 12.（填空题，5分）对于任意的正实数a ，b ，则2√2a+√a 2+9b 25a+3b的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [√22，1)【解析】：首先利用直线和曲线的位置关系，求出直线的斜率的最小值，进一步求出结果．【解答】：解： 2√2a+√a 2+9b 25a+3b =2√2+√1+9(b a)25+3⋅b a，故可看作 A (3×ba，√1+9(b a)2) 与 B(−5，−2√2) 两点的斜率，其中点A 在y 2-x 2=1（x ＞0，y ＞0）上，故k AB 最小值在相切时取得，设 y +2√2=k (x +5) ，联立 {y +2√2=k (x +5)y 2−x 2=1，消去y ，可得（k 2-1）x 2+2k （5k-2 √2 ）x+（5k-2 √2 ）2-1=0，由Δ=26k 2-20 √2 k+7=0，解得 k 1=√22，k 2=713√2 （舍）当 ba →+∞时， k AB =2√2+√1+9(b a)25+3×b a →1，故 2√2a+√a 2+9b 25a+3b 的取值范围是 [√22，1) ．故答案为： [√22，1) ．【点评】：本题考查的知识要点：基本不等式，关系式的变换，极限的求法，属于中档题．13.（单选题，5分）若a、b是实数，则a＞b是2a＞2b的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：C【解析】：根据题意，结合指数函数的性质，分析可得若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，由充分必要条件的定义即可得答案．【解答】：解：根据题意，因为y=2x是增函数，若a＞b，必有2a＞2b，反之若2a＞2b，必有a＞b，则a＞b是2a＞2b的充要条件，故选：C．【点评】：本题考查充分必要条件的判断，涉及指数函数的性质，属于基础题．)，则该线性方程组的解的个数14.（单选题，5分）若某线性方程组的增广矩阵为(1282416为（）A.0个B.1个C.无数个D.不确定【正确答案】：C【解析】：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y即可．【解答】：解：该线性方程组可化为方程x+2y=8，故有无数组解；故选：C．【点评】：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，计算量小，属于较容易的题型．15.（单选题，5分）下列命题中正确的是（）A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD.若a 、b 、c 是三条直线，a || b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面【正确答案】：D【解析】：利用平面的基本性质及推论可知A ，B 错误，D 正确，再利用直线与平面垂直的判定定理可知选项C 错误．【解答】：解：对于选项A ：不共线的三点确定一个平面，故A 错误，对于选项B ：由墙角模型可知，显然B 错误，对于选项C ：根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误，对于选项D ：因为a || b ，所以a 与b 唯一确定一个平面，设为平面α，又c 与a 和b 都相交，所以c 也在平面α内，即直线a 、b 、c 共面，故选项D 正确，故选：D ．【点评】：本题主要考查了平面的基本性质及推论，考查了空间中线与线的位置关系，是基础题．16.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，则以下4个命题：① f （x ）是偶函数；② f （x ）在[0，+∞）上是增函数； ③ f （x ）的值域为R ；④ 对于任意的正有理数a ，g （x ）=f （x ）-a 存在奇数个零点．其中正确命题的个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】：B【解析】： ① 由偶函数的定义，举例即可判断； ② 举例即可判断； ③ F （x ）的值域中不含负无理数，故可判断； ④ 根据函数零点即是方程的解，观察解的个数即可判断．【解答】：解： ① 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，所以f （1）=1，f （-1）=-1，所以f （x ）不是偶函数，故错误；② 因为f （3）=3＜f （ √5 ）=5，所以f （x ）在[0，+∞）不是增函数，故错误； ③ 因为 f (x )={x 2，(x 为无理数)x ，(x 为有理数) ，显然F （x ）的值域中不含负无理数，故f （x ）的值域不为R ，故错误；④ g （x ）=f （x ）-a 的零点即x=a ，x 为有理数或x 2=a ，x 为无理数，对于x=a ，x 为有理数，必有解x=a ，对于x 2=a ，x 为无理数，必有解x=± √a 或无解，故g （x ）=f （x ）-a 有三个零点或一个，故正确；故选：B ．【点评】：本题主要考查了特殊函数的性质的理解和运用，函数的奇偶性和周期性，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC=1， ∠BAC =π2 ，A 1A=4，点M 为线段A 1A 的中点．（1）求直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积；（2）求异面直线BM 与B 1C 1所成的角的大小．（结果用反三角表示）【正确答案】：【解析】：（1）由V=S △ABC •A 1A ，即可得解；（2）易知∠MBC 或其补角即为所求，再在△MBC 中，由余弦定理求得cos∠MBC 的值，即可．【解答】：解：（1）∵ S △ABC =12×1×1=12 ， ∴V=S △ABC •A 1A= 12 ×4=2．（2）∵BC || B 1C 1，∴∠MBC 或其补角是异面直线BM 与B 1C 1所成的角，在△MBC 中，BM=CM= √5 ，BC= √2 ，由余弦定理得，cos∠MBC= BM 2+BC2−CM22BM•BC= √1010，∴∠MBC=arccos √1010，故异面直线BM与B1C1所成的角为arccos√1010．【点评】：本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想找出异面直线的夹角是解题的额关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．18.（问答题，14分）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω与f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，若f(A2)=1，求sinB+sinC的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由函数的最小正周期可得ω的值，进而求出函数的单调递增区间；（2）由（1）及f（A2）=1可得A的值，由三角形的内角和为π及A的值可得B用C的角表示，再由B的范围，求出sinB+sinC的取值范围范围．【解答】：解：（1）因为f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)的最小正周期为π，所以T=2πω=π，所以ω=2，f（x）=sin（2x+ π6），令2kπ- π2≤2x+ π6≤2kπ+ π2，k∈Z，解得：kπ- π3≤x≤kπ+ π6，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间是[kπ- π3，kπ+ π6]，k∈Z．（2）在△ABC中，若f(A2)=1，由（1）得，f(x)=sin(2x+π6)，所以sin(A+π6)=1因为0＜A＜π，所以A+π6=π2，解得：A= π3，即sinB+sinC=sinB+sin(2π3−B)=32sinB+√32cosB=√3sin(B+π6)，因为0＜B＜2π3，所以π6＜B+π6＜5π6；所以12＜sin(B+π6)≤1，√32＜√3sin(B+π6)≤√3，所以sinB+sinC 的取值范围 (√32，√3] ．【点评】：本题考查三角函数的性质，三角形的角的求法，属于中档题．19.（问答题，14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前n （n=1，2，3，…，12）个月对某种食材的需求总量S n （公斤）近似地满足S n ={635n (1≤n ≤6)−6n 2+774n −618(7≤n ≤12) ．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量．（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）当1≤n≤6时，每月食材显然都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=16＞0，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立，分两种情况，分别求出p 的最小值，再取较大者即可求出结果．【解答】：解：（1）当1≤n≤6时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用，当n=7时，因为646×7-S 7=646×7-（-6×49+774×7-618）=16＞0，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式pn≥S n 对n=1，2，…，12恒成立， ① 当1≤n≤6时，pn≥635n 恒成立，可得p≥635，② 当7≤n≤12时，pn≥-6n 2+774n-618恒成立，即 p ≥774−6(n +103n) 恒成立，因为774-6（n+ 103n） ≤774−6×2√n •103n≈652.2，当且仅当n=103n，即n= √103 ≈10.15时，等号成立，又因为n∈N *，且n≤12，所以当n=10时， 774−6(n +103n) 的最大值为652.2，综上所述，p≥652.2，所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．【点评】：本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C 1： x 24+y 2 =1，F 1、F 2为C 1的左、右焦点．（1）求椭圆C 1的焦距；（2）点Q （ √2 ， √22）为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M （x M ，y M ），椭圆C 1和双曲线C 2上满足|x|≥|x M |的所有点（x ，y ）组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得椭圆的a ，b ，c ，可得焦距2c ；（2）设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，解方程可得m ，进而得到直线方程；（3）求得M 的坐标，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，运用向量的坐标运算，可得 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ，分别讨论M 在椭圆上和双曲线上，化简整理可得所求范围．【解答】：解：（1）由椭圆C 1： x 24+y 2 =1，可得a=2，b=1，c= √a 2−b 2 = √3 ，则椭圆C 1的焦距为 2c =2√3 ；（2）由k OQ = 12 ，设 l ：y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4得x 2+2mx+2m 2-2=0，由Δ=4m 2-8（m 2-1）=8-4m 2＞0，得 |m |＜√2 ， x A +x B =-2m ，x A x B =2m 2-2，所以|AB|= √1+14 • √(−2m )2−4(2m 2−2) = √5 • √2−m 2 ，又Q 到直线l 的距离为 d =√52由 S △QAB =12d |AB |=|m |√2−m 2=1，m =±1 ，所以 l ：y =12x ±1 ；（3）由 { x 2+4y 2=4 x 2−y 2=1 ，解得 {x M =2√105 y M =√155 ，设N （x ，y ）是曲线C 上一点，则 F 1(−√3 ， 0) ， F 2(√3 ， 0) ， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x ， −y) ， NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3−x ， −y) ，所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3 ；当点N 在曲线x 2+4y 2=4（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1−3y 2 ，当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45 ，当y=0时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )max =1 ，所以 NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， 1] ；当点N 在曲线x 2-y 2=1（|x|≥|x M |）上时， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2−2 ；当 y =√155时， (NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−45， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ；综上， NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−45 ， +∞) ．【点评】：本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 21.（问答题，18分）已知函数f （x ）的定义域是D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），则称函数f （x ）在D 上为非减函数．（1）判断f 1（x ）=x 2-4x ，（x∈[1，4]）与f 2（x ）=|x-1|+|x-2|，（x∈[1，4]）是否是非减函数？（2）已知函数g （x ）=2x + a2x−1 在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围．（3）已知函数h （x ）在[0，1]上为非减函数，且满足条件： ① h （0）=0， ② ℎ(x3)=12 h （x ）， ③ h （1-x ）=1-h （x ），求 ℎ(12020) 的值．【正确答案】：【解析】：（1）结合非减函数的定义，即可得出答案．（2）根非减函数的定义，推出2≤x 1＜x 2≤4，则g （x 1）-g （x 2）≤0恒成立，即可得a 的取值范围．（3）由h（1）+h（0）=1，推出h（1）=1，h（13）=h（23）= 12，根据题意可得12≤h（x）≤ 12，推出∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，再结合由② 推出，h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020）的值．【解答】：解：（1）f1（x）不是，f2（x）是．因为f1（1）＞f1（2），则f1（x）不是[1，4]上的非减函数，f2（x）= {1，1≤x≤2 2，2＜x≤4，∀x1，x2∈[1，2]，且设1≤x1＜x2≤2，则f2（x1）=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1，x2∈（2，4]，且设2＜x1＜x2≤4，则f2（x1）=2x1-3＜2x2-3=f2（x2），显然满足f2（x1）≤f2（x2），∀x1∈[1，2]，∀x2∈（2，4]，则f2（x1）=1，f2（x2）=2x2-3＞1，显然满足f2（x1）≤f2（x2），综上所述，f2（x）是[1，4]上的非减函数．（2）∀x1，x2∈[2，4]，设2≤x1＜x2≤4，则g（x1）-g（x2）≤0，g（x1）-g（x2）=2 x1 + 2a2x1 -（2 x2 + 2a2x2）=2 x1 -2 x2 +（2a2x1 - 2a2x2）=2 x1 -2 x2 + 2a2x12x2（2 x2 -2 x1）=（2 x1 -2 x2）（1- 2a2x12x2）≤0，则∀x1，x2∈（2，4]，设2≤x1＜x2≤4，不等式1- 2a2x12x2≥0恒成立，即2a≤2 x1 2 x2，则a≤8．（3）h（1）+h（0）=1，所以h（1）=1，所以h（13）= 12h（1）= 12，h（23）=1-h（13）= 12，得出h（13）=h（23）= 12，∀x∈（13，23），因为函数h（x）在[0，1]上为非减函数，所以h（13）≤h（x）≤h（23），所以12≤h（x）≤ 12，得到∀x∈[ 13，23]，h（x）≡ 12，由② h（x3）= 12h（x）知，h（x）= 12h（3x），h（12020）= 12h（32020）=…= 164h（7292020），所以h（12020）= 1128．【点评】：本题考查函数的非减函数的定义，函数的单调性，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。

2021届上海市宝山区高三上学期(一模)期末数学试卷及答案解析

2021届上海市宝山区高三上学期（一模）期末数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题直线的一个法向量可以是（） A.(3,1)-B.(3,1)C.(1,3)D.(1,3)-2.“函数()sin()f x x ω=（,x R ω∈，且0ω≠）的最小正周期为2”，是“ωπ=”的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件3.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为（） A.121B.321C.521D.7214.下列结论中错误的是（）A.存在实数x ，y 满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，并使得4(1)(1)9x y ++>成立B.存在实数x ，y 满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，并使得4(1)(1)7x y ++=成立C.满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，且使得4(1)(1)9x y ++=-成立的实数x ，y 不存在D.满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，且使得成4(1)(1)9x y ++<-立的实数x ，y 不存在第II 卷（非选择题）二、填空题(4,)=-+∞，则A B =_________．6.抛物线y 2=6x 的准线方程为_____．7.已知复数z 满足11i z =-（i 为虚数单位），则z =___________．8.设(1,2),(2,1)a b ==，则a 和b 的夹角大小为___________．（结果用反三角函数表示）9.已知二项式612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则其展开式中的常数项为_________． 10.若实数x ，y 满足02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为___________．11.已知圆锥的底面半径为1θ的大小为_________．12.方程cos2sin 0x x -=在区间[0,]π上的所有解的和为__________． 13.已知函数()f x 的周期为2，且当01x <≤时，4()log f x x =，那么92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________．14.设数列{}n x 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，均有1n n S x +=-，则6S =___________．15.设函数()sin 2cos2(,)f x a x b x a b R =⋅+⋅∈，给出下列的结论： ①当0,1a b ==时，()f x 为偶函数； ②当1,0a b ==时，(2)f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数；③当1a b ==-时，2xf ⎛⎫⎪⎝⎭在区间(2,2)ππ-上恰有3个零点；④当1a b ==时，设()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()t ϕ，最小值为()t ψ，则()()t t ϕψ-≤．则所有正确结论的序号是_________．16.若定义在N 上的函数(),()f x g x 满足：存在0x N ∈，使得()()00f x g x <成立，则称()f x 与()g x 在N 上具有性质(,)P f g ，设函数1()2xa f x -=与3()g x x =，其中，0a >，已知()f x 与()g x 在N 上不具有性质(,)P f g ，将a 的最小值记为0a ．设有穷数列{}n b 满足[]()1101,1,504n n b b b n N n a *+==+∈≤⨯，这里[]0a 表示不超过0a 的最大整数．若去掉{}n b 中的一项t b 后，剩下的所有项之和恰可表为()2m m N *∈，则t mb+的值为_________．三、解答题17.如图，在长方体1111A B C D -中，T 为1DD 上一点，已知12,4,2,6DT AB BC AA ====．（1）求直线TC 与平面ABCD 所成角的大小（用反三角函数表示）；（2）求点1C 到平面1ATC 的距离． 18.已知函数()()1mf x x m R x =+∈-．（1）当1m =时，解不等式()1(1)f x f x +>+；（2）设[3,4]x ∈，且函数()3y f x =+存在零点，求实数m 的取值范围． 19.设函数()sin()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的最小正周期为2π，且()f x 的图像过坐标原点．（1）求ω、ϕ的值；（2）在ABC 中，若2222()3()2()()()()f B f C f A f B f C f A +=⋅⋅+，且三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，试求()b f B C c⋅+的值．20.已知12,F F 分别为椭圆22:14xy Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的一点．（1）若点M 的坐标为(1,)(0)m m >，求12F MF △的面积；（2）若点M 的坐标(0,1)，且直线3()5y kx k R =-∈与Γ交于两不同点A 、B ，求证：MA MB ⋅为定值，并求出该定值；（3）如图，设点M 的坐标为(,)s t ，过坐标原点O 作圆222:()()M x s y t r -+-=（其中r 为定值，01r <<且||s r ≠）的两条切线，分别交Γ于点P ，Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k ．如果12k k 为定值，试问：是否存在锐角θ，使2||||5sec OP OQ θ⋅=⋅？若存在，试求出θ的一个值；若不存在，请说明理由． 21.若有穷数列{}n x ：12,,,n x x x 满足1,0i i i x x t x +≥+>（这里i ，,3,11n N n i n *∈≥≤≤-，常数0t >），则称又穷数列{}n x 具有性质()P t ．（1）已知有穷数列{}n x 具有性质()P t （常数12t ≥），且2132112n n n x x x x x x ---+-++-≤，试求t 的值；（2）设1222i i i a a t a t +=++-+-（,,3,11i n N n i n *∈≥≤≤-，常数2t >），判断有穷数列{}n a 是否具有性质()2P t -，并说明理由；（3）若有穷数列{}n y ：12,,,n y y y 具有性质(1)P ，其各项的和为20000，12,,,ny y y 中的最大值记为A ，当A N *∈时，求A n +的最小值．参考答案1.C【解析】1.先求解出直线的一个方向向量，设出法向量，利用数量积为零计算即可.直线310x y +-=的一个方向向量为11,3v ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设直线的法向量为()1,m t =，因为0v m ⋅=，所以1103t -=，得3t =，所以法向量()1,3m =.故选：C. 2.B【解析】2.验证当函数()sin()f x x ω=最小正周期为2时，ωπ=是否成立；验证ωπ=成立时函数()sin()f x x ω=（,x R ω∈，且0ω≠）的最小正周期为2是否成立，再结合充分必要条件定义即可得出答案.解：当函数()sin()f x x ω=（,x R ω∈，且0ω≠）的最小正周期为2时，所以22,||T πωπω==∴=±,不能得出ωπ=，故充分性不成立，当ωπ=时，()sin()f x x ω=的最小正周期为22||T πω==，故必要性成立综上：“函数()sin()f x x ω=（,x R ω∈，且0ω≠）的最小正周期为2”，是“ωπ=”的必要非充分条件. 故选：B. 3.C【解析】3.直接利用组合数的应用求出基本事件的个数，进而求出概率的值. 根据题意：从10个数中任取5个不同的数，则基本事件为51010987649725254321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，则这5个不同的数的中位数为4的有：224560C C ⋅=，故概率60525221P ==.故选：C 4.A【解析】4.画出约束条件的可行域，判断目标函数取得最值时的位置，然后判断选项的正误即可.解：画出不等式组11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩表示的平面区域，如图阴影所示：(1,2),(1,0),(1,2),(1,0)A B C D ---，令4(1)(1)z x y =++，可知可行域内的点在边界时，z 取得最大值或最小值；对于A 项，最优解在1x y +=时，214(1)(1)4(1)(2)4()92z x y x x x =++=+-=--+，因为1x ≤，所以z 的最大值为9，且此时12x y ==. 所以选项A 错误；对于B 项，4(1)(1)7x y ++=即7(1)(1)4x y ++=，由基本不等式知(1)(1)2x y +++≥11x y +=+时等号成立，即22x y ++==，解得12x y ==-，且点(1,1)22--在可行域内，故B 项正确，不选；对于C 项，最优解在1x y +=-时，214(1)(1)4(1)()4()12z x y x x x =++=+-=-++，因为1x ≤，所以81z -≤≤.所以满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，且使得4(1)(1)9x y ++=-成立的实数x ，y 不存在，所以C 项正确，不选；对于D 项，由对C 项的分析可知，满足11x x y ⎧≤⎪⎨+≤⎪⎩，且使得成4(1)(1)9x y ++<-立的实数x ，y 不存在，所以D 项正确，不选；故选：A. 5.(4,3)--【解析】5.根据集合交集定义运算即可得出答案. 解：因为集合(,3),(4,)A B =-∞-=-+∞，所以(4,3)AB --=.故答案为：(4,3)-- 6.x =−32【解析】6.因为抛物线的焦点在x 轴上，2p=6,那么其准线方程为7.1i -【解析】7.根据复数的除法运算求解即可. 因为11i z =-，所以11z i i-==-，即1z i =-. 故答案为：1i - 8.4arccos 5【解析】8.直接利用向量的坐标运算求出向量的数量积和向量的模，进一步利用夹角公式的应用求出结果.解：向量(1,2),(2,1)a b ==，所以4cos 55a b a bθ⋅===⨯，所以4arccos5θ=. 故答案为：4arccos 5. 9.160【解析】9.写出二项式展开式的通项，令x 的幂指数等于0，找到3r =，计算常数项即可. 由二项式展开式()61612rrrr T Cx x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭为常数项，可知3r =，所以常数项为3362160C ⋅=.10.4【解析】10.根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可得出结果.不等式组02030xx y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴的截距，由图像可得，当直线2y x z =-+过点C 时，在y 轴的截距最大，即z 有最大值；联立2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得()1,2C ，故max 224z =+=.故答案为：4. 11.π【解析】11.圆锥的底面半径为12π，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.圆锥的底面半径为12=，即展开后所得扇形的半径为2，圆锥底面圆的周长2l π=即为展开后所得扇形的弧长，所以根据弧长公式可知22πθ=，解得θπ= 故答案为：π 12.π【解析】12.利用二倍角公式，将方程cos2sin 0x x -=，转化为22sin sin 10x x +-=求解. 方程cos2sin 0x x -=，即为：22sin sin 10x x +-=，解得 1sin 2x =或 sin 1x =-，因为[0,]x π∈，所以6x π=或56x ππ=，所以方程在区间[0,]π上的所有解的和为π 故答案为：π 13.12-【解析】13.根据函数()f x 为周期函数，得91()22f f ⎛⎫=⎪⎝⎭，代入函数4()log f x x =即可得解. 解：因为函数()f x 是周期为2的周期函数，所以91()22f f ⎛⎫=⎪⎝⎭，又当01x <≤时，4()log f x x =，所以142911lg 21lg 21()log 222lg 22lg 22f f --⎛⎫====⨯=- ⎪⎝⎭. 故答案为：12- 14.6364-【解析】14.由1n n S x +=-，利用数列通项和前n 项和的关系，求得数列是等比数列，然后利用前n 项和公式求解. 当1n =时，112x =-，当2n ≥时，由1n n S x +=-，得111n n S x --+=-，两式相减得112n n x x -=，又2112x x =，所以数列{}n x 是以12-为首项，以12为公比的等比数列，所以66111226316412S ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--=，故答案为： 6364- 15.①④【解析】15.①当0,1a b ==时，()cos 2f x x =，由偶函数的定义判断①正确；②当1,0a b ==时，(2)sin 4f x x =，由复合函数的单调性判断②错误；③当1a b ==-时，2sin()26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求得函数的零点判断③错误；④当1a b ==时，()2sin(2)6f x x π=+，令()()()4g t f t f t π=+-，求其最大值判断④正确.①当0,1a b ==时，()cos 2f x x =，定义域为R ，且()()f x f x -=，函数为偶函数，故①正确；②当1,0a b ==时，(2)sin 4f x x =，由0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4(0,)x π∈，则sin 4y x =在(0,)4π上不单调，故②错误；③当1a b ==-时，cos 2sin()26x f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由2sin()06x π-=，即,,,66x k k Z x k k Z ππππ-=∈=+∈，则6x π=±，76x π=±，共四个零点，故③错误；④当1a b ==时，()2cos22sin(2)6f x x x x π=+=+，周期22T ππ==，区间,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的长度为4π，即为14周期，所以当区间,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递增区间或单调递减区间时，()()t t ϕψ-最大，令()()()|2cos(2)2sin(2)|466g t f t f t t t πππ=+-=+-+ 5|)||)|6412t t πππ=++=+，即()()t t ϕψ-≤，故④正确；故答案为：①④. 16.2626【解析】16.问题可转化为()()f x g x ≥在N 上恒成立，令31()02x a z x x -=-≥在N 上恒成立，根据函数的单调性求出20a e =，从而求出n S ，再求出答案即可.因为()f x 与()g x 在N 上不具有性质(,)P f g ，所以()()f x g x ≥在N 上恒成立，令31()02x a z x x -=-≥在N 上恒成立，当21'()ln 302xz x a a x =⋅-=时，a 最小，所以联立()0'()0z x z x =⎧⎨=⎩，得到2011ln 36x a x =+，令21()36x h x x =+，则311'()32h x x=-，当0,1x =时，'()0h x <，()h x 递减，当2,3,4,x =时，'()0h x >，()h x 递增，所以117(1),(2)224h h ==，所以(1)(2)h h <，当1x =时，20a e =，所以50473528n ≤⨯=，因为111,1n n b b b +==+，所以n b n =，所以2(1)3528352922n t n n S b m +⨯==+=，2495.026==，取2495m =，则131t b =，所以131********t b m +=+=，故答案为：2626. 17.（1）1arctan 2（或arcsin 2．【解析】17. 方法一（几何法）：（1）连结TC ，由已知可得直线TC 与平面ABCD 所成的角即为TCD ∠，解三角形可求得直线TC 与平面ABCD 所成角的大小.（2）运用等体积法可求得点1C 到平面1ATC 的距离.方法二（向量法）：（1）如图，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系. 运用线面角的向量求解方法可求得直线TC 与平面ABCD 所成角的大小. （2）由点到面的距离的向量方法可求得点1C 到平面1ATC 的距离. 方法一：（1）连结TC ，在长方体1111ABCD A B C D -中，因为1DD ⊥平面ABCD ，即TD ⊥平面ABCD ，所以直线TC 与平面ABCD 所成的角即为TCD ∠，在Rt TCD 中，由2DT =，4CD AB ==，可得1tan 2DT TCD CD ∠==，又0,2TCD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，故1arctan 2TCD ∠=，所以直线TC 与平面ABCD 所成角的大小为1arctan2. （2）由已知可得1AT TC ==，1AC =所以112A TCS=⨯=又1164122TCC S =⨯⨯=. 设点1C 到平面1ATC 的距离为h .在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11A D ⊥平面11CDC D ，即11A D ⊥平面1TCC ，再由1111C A TC A TCC V V --=得11111133A TC TCC S h S A D ⋅=⋅△△，所以，11117TCC A TCSA D h S⋅===.即点1C 到平面1ATC 的距离为7.方法二：（1）如图，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系.由已知可得A (2，0，0)、B (2，4，0)、C (0，4，0)、D (0，0，0)、T (0，0，2)，故()0,4,2TC =-，又平面ABCD 的一个法向量()0,0,1n =，设直线TC 与平面ABCD 所成角的大小为θ，则2sin 4TC n TC nθ⋅===⋅0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，故arcsin 5θ=，所以直线TC 与平面ABCD 所成角的大小为. （2）注意到1C (0，4，6)，1A (2，0，6)，及T (0，0，2)，C (0，4，0)，故()12,0,4AT =--，()0,4,2CT =-，()10,4,4C T =--，设平面1ATC 的一个法向量为(),,m x y z =，由已知，得100m AT m CT ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即240420x z y z --=⎧⎨-+=⎩，所以42x yz y=-⎧⎨=⎩，可取()4,1,2m =-，所以点1C 到平面1ATC的距离为107C T m m⋅⨯==. 即点1C 到平面1ATC的距离为7. 18.（1）()(),01,-∞⋃+∞；（2）[]21,12--.【解析】18.（1）本题首先可根据1m =得出()11f x x x =+-，然后将不等式转化整理为()10x x ->，通过计算即可得出结果；（2）本题可将当[]3,4x ∈时函数()3y f x =+存在零点转化为当[]3,4x ∈时方程()241m x =-++有解，然后令()()214g x x =-++，求出当[]3,4x ∈时函数的值域，即可得出结果.（1）当1m =时，()11f x x x =+-，1x ≠，不等式()()11f x f x +>+，即()11111x x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭+++-，整理得111x x >-，1101x x->-，()101x x >-，()10x x ->，解得0x <或1x >，故原不等式的解集为()(),01,-∞⋃+∞.（2）当[]3,4x ∈时，函数()3y f x =+存在零点，即当[]3,4x ∈时，方程301mx x ++=-有解，即当[]3,4x ∈时，方程()241m x =-++有解，令()()214g x x =-++，当[]3,4x ∈时，函数()()214f x x =-++的值域为[]21,12--，故实数m 的取值范围为[]21,12--. 19.（1）1ω=，0ϕ=；（2）1.【解析】19. （1）由题意，利用22ππω=，()00f =，即可求解.（2）由2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=⋅⋅+，结合余弦定理可得：222sin cos 2b c A A bc bc +-=≥=sin cos )4A A A π--≤b =，可得34A π=，即可求出. （1）依题意，可得22ππω=，所以1ω=，故()()sin f x x ϕ=+，因为()f x 的图象过坐标原点，所以()00f =，即sin 0ϕ=，因为22ππϕ-<<，因此，0ϕ=.（2）由（1）得()sin f x x =，由已知，可得2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=⋅⋅+，所以222232sin b c A bc a +=⋅+，再利用余弦定理，并整理得222sin cos 2b c A A bc+-=，因为2222b c bc +≥=sin cos A A -≥又sin cos )4A A A π--≤，所以sin cos A A -=，且b =，34A π=，故()()sin 1b f B C B C A c c⋅+⋅+===.20.（1）32；（2）0MA MB ⋅=，证明见详解；（3）不存在.【解析】20.（1）将点(1,)(0)M m m >代入求出2m =，再求出左、右焦点即可求解. （2）将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量数量积的坐标运算即可求解. （3）设出直线OP :1y k x =，直线OQ :2y k x =，利用点到直线的距离公式可得1k 、2k 是关于ξ的方程()222222220s rst t r ξξ--+-=的两实根，根据题意12k k 为定值，可得1214k k δ==-，r =，设()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线OP :1y k x =，直线OQ :2y k x =与椭圆联立，求出52OP OQ ⋅≤，即求.（1）由已知条件得22114m +=，因为0m >，所以2m =，又1F 、2F 的坐标分别为(0)、0)，因此，12F MF △的面积为1322⋅=.（2）设(),A A A x y ，(),B B B x y ，由221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得()222464410525k x kx +--=，显然22566425k ∆=+>，且()()2224541642541A B A B k x x k x x k ⎧+=⎪+⎪⎨⎪⋅=⎪+⎩，又35A A y kx =-，35B B y kx =-，所以， ()()()()26418,1,1255A A B B A B A B MA MB x y x y x x k k x x ⋅=-⋅-+-=++()()()2226482464105252541541k k k k k ⎡⎤⎢⎥=+⋅-⋅+=++⎢⎥⎣⎦，即0MA MB ⋅=为定值.（3）满足25sec OP OQ θ⋅=的锐角不存在. 理由如下：因为直线OP :1y k x =与Mr =，即()222221120s rkstk t r --+-=，同理，由直线OQ :2y k x =与M 相切，可得()222222220s r k stk t r --+-=，于是，1k 、2k 是关于ξ的方程()222222220s rst t r ξξ--+-=的两实根，注意到s r ≠，且2214s t +=，故222212222214s r t r k k s r s r⎛⎫-- ⎪-⎝⎭==--，因12k k 为定值，故不妨设12k k δ=（定值），于是有222214s r s rδ--=-，即()2211104s r δδ⎛⎫⎡⎤++-+-= ⎪⎣⎦⎝⎭. 依题意可知，s 变化，而r 、δ均为定值，所以()2104110r δδ⎧+=⎪⎨⎪-+-=⎩，解得1214k k δ==-，5r =，再设()11,P x y ，()22,Q x y ，由22114x y y k x⎧+=⎪⎨⎪=⎩得2121221121114414x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩；同理可得2222222222114414x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩. 所以()()()()2222122222112222124144141414k k OP OQ x y x y k k ++⋅=++=⨯++()221211992544242424k k k k =+≤+=+⋅⋅++，即22254OP OQ ⋅≤，亦即52OP OQ ⋅≤，（※）若锐角θ︒，使25sec OP OQ θ⋅=，则55sec 22OP OQ θ⋅=>，与（※）相矛盾. 因此，这样的锐角θ不存在. 21.（1）12；（2）当10a ≤时，有穷数列{a n }不具有性质P （t ﹣2），当10a >时，有穷数列{a n }具有性质P （t ﹣2），证明过程见解析；（3）110.【解析】21.（1）根据有穷数列{x n }具有性质P （t ），可得（n ﹣1）t ≤12n -，即可求出t 的值；（2）根据有穷数列{x n }具有性质P （t ）的定义，证明即可；（3）由已知可得A +n ≥20003122n n +-，结合基本不等式即可求出．（1）因为有穷数列{x n }具有性质P （t ），所以|x i +1﹣x i |＝x i +1﹣x i ≥t ，即|x i +1﹣x i |≥t ，（i ＝1，2，3，…n ﹣1），再由已知条件可得(1)n t -≤|x 2﹣x 1|+|x 3﹣x 2|+…+|x n ﹣x n ﹣1|12n -≤，即1(1)2n n t --≤，而n ≥3，所以12t ≤，又12t ≥，所以12t =；（2）当10a ≤时，有穷数列{a n }不具有性质P （t ﹣2），当10a >时，有穷数列{a n }具有性质P （t ﹣2），理由如下：若10a ≤时，则有穷数列{a n }显然不具有性质P （t ﹣2），若10a >，则由t ＞2，可得a 2＝2|a 1+t +2|﹣|a 1+t ﹣2|＝2（a 1+t +2）﹣（a 1+t ﹣2）＝a 1+t +6，即a 2＝a 1+t +6，所以a 2＞a 1+t ﹣2，且a 2＞0，同理可得a 3＝a 2+t +6，（a 2＞0），则a 3＞a 3+t ﹣2，且a 3＞0， …一般地若a i ＝a i ﹣1+t +6，（a i ﹣1＞0），则a i ＞a i ﹣1+t ﹣2，且a i ＞0，于是a i +1＝2|a i +t +2|﹣|a i +t ﹣2|＝2（a i +t +2）﹣（a i +t ﹣2）＝a i +t +6，即a i +﹣1＝a i +t +6，所以a i ＞a i ﹣1+t ﹣2，且a i ＞0，（仍有a i +1＞0i ，这里i 、n ∈N*，n ≥3，1≤i ≤n ﹣1），因此当a 1＞0时，有穷数列{a n }具有性质P （t ﹣2），综上，当a 1≤0时，有穷数列{a n }不具有性质P （t ﹣2），当a 1＞0时，有穷数列{a n }具有性质P （t ﹣2），（3）由已知可得y n ﹣1≤y n ﹣1，y n ﹣2≤y n ﹣2，…，y 1≤y n ﹣（n ﹣1），故y 1+y 2+…+y n ＝ny n ﹣[1+2+…+（n ﹣1）]，即2000≤ny n ﹣(1)2n n -，整理可得y n 2000122n n ≥+-，显然y n ＝A ，于是有A +n 2000311222n n ≥+-≥=注意到A ，n ∈N*，且12-+＜110，所以A +n ≥110，可取y 1＝2，y i ＝36+i ，（i ＝2，3，…，37），因此A +n 的最小值为110．。

2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析

2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。

2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。

4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

2021届宝山区高三数学一模教师版

宝山区2020学年第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷(120分钟，150分)考生注意:1•本试卷包括试卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面：2•在本试卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；3•可使用符合规定的计算器答题・一、填空题(本题满分54分)本大題共有12题，1・6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.L若集合A = (-∞-3),B = (^,+oc),贝IMn3 = ____________ .【答案】An3 = (7,-3)2.抛物线y2 = 6A-的准线方程为__________ .【答案】A=-I23._______________________________________________ 已知复数Z满足-^- = I ( i 为虚数单位)，贝Ik= ____________________________________ ・∑-1【解析】因为-i- = ∕∙,所以z=- + ∖ = ∖-i.Z-I i4•设力=(1,2)$ = (2,1),则©和b的夹角大小为___________ .(结果用反三角函数表示).—— n. h 2 + 2 4 — -* 4【解析】COSCd∙b>= _ = —ζ, = - ■所以Vα,b〉= arccos-.IdIMI √5√5 5 55.已知二项式;+ _______________________ ,则其展开式中的常数项为•(IY【解析】展开式的通项为匚| =4(2x)i —=C^r X^r t令6-2r = 0 r得厂=3 ,∖XJ所以展开式中的常数项为7； =C^2^3 =20x8 = 160.x>06.若实数x,y满足■ 2x-y≤0 I则z = 2x + y的最大值x+y-3≤0为___________ •【解析】作出可行域，最优解为(1,2) , z = 2x + y的最大值为4.7•已知圆锥的底面半径为1高为√3 ,则该圆锥侧面展开图的圆心角θ的大小为_________ 【解析】圆锥的底面周长为2兀，母线为+(冋丄=2 ,则侧面展开图即扇形的弧长为2兀，扇形的半径为2 ,由弧度制下扇形的弧长公式，得Θ = ^- = π.&方程cos 2Λ--sin A- = O在区间[0,刃上的所有解的和为________ .【解析】由COS2Λ-Sinx = O得l-2sin'x — SinX = O .即2siιrx + sinx-l =0 r 故(2SinX-I)(SinX+1) = 0 ■所以SinX =丄或SinX = -I I2又xe[0.π] t所以X =-或竺，故在区间lθ5τr]±的所有解的和为兀.6 69.__________________________________________________________________ 已知函数/(X)的周期为2 ,且当OVXSl时J(X) = IOg川那么/ - = _______________________ ・' L )【解析】因为函数/(X)的周期为2 ,所以.*卜/10. _________________________________________________________________ 设数列｛•£,｝的前”项和为S…对任意,均有S ll+x ll=-∖ ,则S&= _______________________ . 【解析】令"=1 ,贝02S1=-l ,所以S I=-I ,当心时f X W=S M-S M., f⅛2Sπ-Sπ-I=-I ,即⅝=ls n.1-l f接下来用待定系数法求通项公式，设5n+2 = l(5,,-1+z) , ^S lt=^S lII 所以；1 = 1 ,即S”+l = *(九+1),又S1+l = ∣ ,故｛S,,+1｝是首项和公比都为扌的等比数列，所以3 + l=*∙11.设函数f (x) = a∙ Sin 2x+b - COS 2x(a,b ∈ R) t给出下列的结论: 二当α=o,b=ι时，∕α∙)为偶函数；Z 、二当d = 1, 〃 = O时z f(2x)在区间0.4 上是单调函数；I 4丿\二当g√T,g-1时，/斗在区间(―2兀2兀)上恰有3个零点;\乙｝二当d = √J" = l时,设广⑴在区间t,r + - (YR)上的最大值为卩⑴，最小值为肖⑴，_ 4_ 贝巾(f)-0(∕) ≤ 2\/2 .则所有正确结论的序号是_________【解析】二当α = 0./2 = 1时，/(x) = cos2x是偶函数，故匚正确；= = 0 0⅛z /(X) = Sin 2Λ√(2Λ) = Sin 4.v ,在区间0.-上单调递增，< 8 J在区间lj,f j上递减，故二错误;二当α = Gb = -I 时，f(x) = >∕Isin2兀-COS2x = 2Sinl 2x-彳，/ β \ / \又/ I是偶函数，且/(O) = -I ≠0 f所以/韦在区间(-2久2切上必有偶数个零点，故二错误;二当a = 5∕3,b = lg⅛ , /(χ) = λ∕3sin2x + cos2x = 2sinj 2x + ^-j ,所以T =斗=兀,当φ｛t｝-ψ(t)取得最大值时，/(x)在区间r√ + ∣ (YR)上必走单调，不妨取.2)在区间卜+打心)上单调递暫A.充分非必要条件 B 必要非充分条件贝^]2kπ--≤t<t + -≤2kπ + -.k ∈Z ,2 4 2令t = —^―,贝IJ φ｛t)-ψ｛l)< 2∖∕2 I 故二正确；综上，正确结论的序号是二::.12若走义在N 上的函数/(x),g(x)满足存在XNN ,使得/(儿)vg(x°)成立,则称/(X)与g(x)在N 上具有性质P(∕,g),设函数/(X) = Jj 与g(∙v) = F ,其中，α>0 ,已知乙/(X)与g W 在N 上不具有性质P(f 、g),将α的最小值记为5。

2020-2021年上海高三宝山数学一模试卷

设 POA = ( 5 ).
12
12
（1）用表示矩形 PGBF 的面积，并求出当矩形 PGBF 为正方形时的面积（精确到 1 m2 ）
3
（2）当取何值时，矩形 PGBF 的面积 SPGBF 最大，并求出最大面积（精确到 1 m2 ）
队
团
20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）
徐汇区 2020 学年度第一学期高三年级模拟质量调研
数学学科试卷
2020.12.16
考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上. 2．本试卷共有 21 道题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）
13.已知 x R，条件 p : x2 x，条件 q : 1 1，则 p 是 q 的 x
（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
队 D.既不充分也不必要条件
团 14.若 2 − i 是关于 x 的实系数方程 x2 + ax + b = 0 的一根，则 a + b 等于
A.1
B.-1
1
12.已知双曲线 :
x2 4
−
y2 5
= 1 的左右焦点分别为 F1
、F2, 直线 l 与的左、右支分别交于
点 P 、 Q （ P 、 Q 均在 x 轴上方）.若直线 PF1、QF2 的斜率均为 k ，且四边形 PQF1F2 的
面积为 20 6 ，则 k = __________;

2021-2022学年上海市宝山区高三(上)期末数学试卷(一模)

2021-2022学年上海市宝山区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是（1，2），则i•z=___ ．2.（填空题，4分）已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|0＜x ＜3}，则A∩B=___ ．3.（填空题，4分）在（ √x -2）5的展开式中，x 的系数为 ___ ．4.（填空题，4分）函数f （x ）=ln2x −42x +1的定义域是 ___ ． 5.（填空题，4分）已知函数f （x ）=-x 2+2ax+3在区间（-∞，4）上是增函数，则实数a 的取值范围是 ___ ．6.（填空题，4分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =1+（n-1）d ，5a 2=a 8，则S n =___ ．7.（填空题，5分）若x ，y 满足 {x ≤2，y ≥−1，4x −3y +1≥0，则y-x 的最大值为 ___ ．8.（填空题，5分）计算n→∞1+2+⋯+2n−12n +(12+122+⋯12n+⋯) =___ ．9.（填空题，5分）在三角形ABC 中，D 是BC 中点，AB=2，AC=4，则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ •CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 10.（填空题，5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （2+x ）=f （x ），当x∈[0，2]时，f （x ）=-x （x-2），则方程f （x ）=|lgx|有 ___ 个根．11.（填空题，5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2B+ 12sin2B=1，0＜B ＜ π2 ，若| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则ac 的最大值为 ___ ． 12.（填空题，5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：（x-2）2+y 2=4，点A 是直线x-y+2=0上的一个动点，直线AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是 ___ ．13.（单选题，5分）“ |a1b1a2b2|=0”是“直线a1x+b1y=1和a2x+b2y=1平行”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分又非必要条件14.（单选题，5分）已知函数f(x)=2x−(12)x，则f（x）（）A.是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数15.（单选题，5分）已知双曲线x22−y2=1，作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，作y轴的垂线交双曲线于C、D两点，且AB=CD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线16.（单选题，5分）设m，n∈R，定义运算“Δ”和“∇”如下：mΔn={m，m≤nn，m＞n，m∇n={n，m≤nm，m＞n．若正数m，n，p，q满足mn≥4，p+q≤4，则（）A.mΔn≥2，pΔq≤2B.m∇n≥2，p∇q≥2C.mΔn≥2，p∇q≥2D.m∇n≥2，pΔq≤217.（问答题，14分）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，P，Q分别是棱BC与B1C1的中点．（1）求以A1，D1，P，Q为顶点的四面体的体积；（2）求异面直线D1P和A1Q所成的角的大小．18.（问答题，14分）设函数f（x）=sinx，x∈R．（1）若θ∈[0，π），函数f（x+θ）是偶函数，求方程f(x+θ)=12的解集；（2）求函数y=[f(x+π12)]2+[f(x+π4)]2的值域．19.（问答题，14分）吴淞口灯塔AE采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=3m，使A，B，D在同一直线上，也在同一水平面上，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（本题的距离精确到0.1m）（1）该小组测得α、β的一组值为α=51.83°，β=47.33°，请据此计算H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若灯塔的实际高度为20.1m，试问d为多少时，α-β最大？20.（问答题，16分）如图，已知F1、F2是椭圆Γ：x2+y2=1的左、右焦点，M、N是其顶4点，直线l：y=kx+m（k＞0）与Γ相交于A，B两点．（1）求△F2MN的面积P；（2）若l⊥F2N，点A，M重合，求B点的坐标；（3）设直线OA，OB的斜率分别为k1、k2，记以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1、S2，△OAB的面积为S，若k1、k、k2恰好构成等比数列，求S（S1+S2）的最大值．21.（问答题，18分）已知函数f（x）=2-|x|，无穷数列{a n}满足a n+1=f（a n），n∈N*．（1）若a1=2，写出数列{a n}的通项公式（不必证明）；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；问{a n}是否为等比数列，并说明理由；（3）证明：a1，a2，⋯，a n，⋯成等差数列的充要条件是a1=1．2021-2022学年上海市宝山区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则i•z=___ ．【正确答案】：[1]-2+i【解析】：根据复数的运算性质计算即可．【解答】：解：由题意得：z=1+2i，故iz=i（1+2i）=-2+i，故答案为：-2+i．【点评】：本题考查了复数的运算，是基础题．2.（填空题，4分）已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{1，2}【解析】：由已知直接利用交集运算得答案．【解答】：解：∵A={-1，0，1，2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∩B={1，2}，故答案为：{1，2}．【点评】：本题考查交集及其运算，是基础题．3.（填空题，4分）在（√x -2）5的展开式中，x的系数为 ___ ．【正确答案】：[1]-80【解析】：利用分步计数原理可求得（√x -2）5的展开式中，含x的项，从而可得答案．【解答】：解：（√x -2）5的展开式中，含x的项为：C52(√x)2•（-2）3=-80x，故x的系数为-80，故答案为：-80．【点评】：本题考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题．4.（填空题，4分）函数f（x）=ln 2x−42x+1的定义域是 ___ ．【正确答案】：[1]（2，+∞）【解析】：由题意得2x−42x+1＞0，从而解不等式即可．【解答】：解：由题意得，2x−42x+1＞0，即2x＞4，解得，x＞log24=2，故答案为：（2，+∞）．【点评】：本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．5.（填空题，4分）已知函数f（x）=-x2+2ax+3在区间（-∞，4）上是增函数，则实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][4，+∞）【解析】：由已知结合二次函数的性质，结合已知区间与对称轴的位置关系即可求解．【解答】：解：由题意可知，二次函数的对称轴x=a，由f（x）=-x2+2ax+3在区间（-∞，4）上是增函数，结合二次函数的性质可知，a≥4．故答案为[4，+∞）【点评】：本题主要考查了二次函数性质的简单应用，属于基础试题．6.（填空题，4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=1+（n-1）d，5a2=a8，则S n=___ ．【正确答案】：[1]n2【解析】：由题意得5（1+d）=1+7d，从而确定d=2，再求数列的前n项和即可．【解答】：解：∵a n=1+（n-1）d，5a2=a8，∴5（1+d）=1+7d，解得，d=2，∴a n =1+2（n-1）=2n-1，故数列{a n }为等差数列，故S n =1+2n−12×n=n 2，故答案为：n 2．【点评】：本题考查了等差数列的性质，属于基础题．7.（填空题，5分）若x ，y 满足 {x ≤2，y ≥−1，4x −3y +1≥0，则y-x 的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：作出不等式组对应的平面区域，设z=y-x ，利用数形结合即可得到结论．【解答】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=y-x ，则y=x+z ，平移直线y=x+z ，由图象可知当直线y=x+z 经过点A （2，3）时，直线y=x+z 的截距最大，此时z 最大，z max =3-2=1．故y-x 的最大值是1．故答案为：1．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 8.（填空题，5分）计算 n→∞1+2+⋯+2n−12n +(12+122+⋯12n+⋯) =___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由等比数列的性质可得1+2+……+2n-1=2n -1，12 + 122 +……+ 12n =1- 12n ，从而化简 n→∞1+2+⋯+2n−12n +(12+122+⋯12n+⋯) = lim n→∞2•（1- 12n ），从而解得．【解答】：解：由等比数列的性质知， 1+2+……+2n-1=2n -1，12 + 122 +……+ 12n =1- 12n ，故n→∞1+2+⋯+2n−12n +(12+122+⋯12n+⋯)= lim n→∞2•（1- 12n ）=2，故答案为：2．【点评】：本题考查了等比数列的性质及极限的运算法则，属于基础题．9.（填空题，5分）在三角形ABC 中，D 是BC 中点，AB=2，AC=4，则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ •CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]-6【解析】：根据条件，以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底表示 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再计算 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ •CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可．【解答】：解：因为在三角形ABC 中，D 是BC 中点，AB=2，AC=4，所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=12(4−16)=−6 ．故答案为：-6．【点评】：本题考查了平面向量基本定理，平面向量的数量积的性质和运算，考查了转化思想，属基础题．10.（填空题，5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （2+x ）=f （x ），当x∈[0，2]时，f （x ）=-x （x-2），则方程f （x ）=|lgx|有 ___ 个根．【正确答案】：[1]10【解析】：先求出函数的周期，利用已知的解析式，作出函数y=f （x ）与y=|lgx|的图象，由图象即可得到答案．【解答】：解：因为f （2+x ）=f （x ），所以f （x ）的周期为2，当x∈[0，2]时，f （x ）=-x （x-2），作出函数y=f （x ）与y=|lgx|的图象如图所示，由图象可知，函数y=|lgx|与y=f （x ）的图象有10个交点，所以方程f （x ）=|lgx|有10个根．故答案为：10．【点评】：本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．11.（填空题，5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2B+ 12sin2B=1，0＜B ＜ π2 ，若| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则ac 的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]16+8 √2【解析】：由题意利用半角公式化简条件求得B 的值，再利用余弦定理，基本不等式，求得ax 的最大值．【解答】：解：∵在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2B+ 12sin2B=1，0＜B ＜ π2 ， ∴1+cos2B 2 + 12sin2B=1，求得sin2B+cos2B=1，∴平方可得1+2sin2Bcos2B=1，∴sin2Bcos2B=0．结合0＜B ＜ π2 ，0＜2B ＜π，可得sin2B ＞0，且cos2B=0，∴B= π4 ．若| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4=| AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ，则由余弦定理可得b 2=16=a 2+c 2-2ac•cosB=a 2+c 2- √2 ac≥（2- √2 ）ac ，∴ac≤ 2−√2 =16+8 √2 ，故ac 的最大值为16+8 √2 ，故答案为：16+8 √2 ．【点评】：本题主要考查半角公式、余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．12.（填空题，5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x-2）2+y2=4，点A是直线x-y+2=0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [2√2，4)【解析】：求出圆C的圆心和半径，设AC=x，求出x的取值范围，利用圆的切线的几何意义，表示出PQ的长，利用函数的性质求解取值范围即可．【解答】：解：如图所示，由圆的方程可知，圆心C（2，0），半径r=2，设AC=x，则x≥√2=2√2，因为AP，AQ为圆C的切线，则CP⊥AP，CQ⊥AQ，所以AP=AQ= √AC2−r2=√x2−4，因为AC是PQ的垂直平分线，则PQ= 2×AP•PCAC =4√x2−4x=4√1−4x2，因为x≥2√2，则12≤1−4x2＜1，所以2√2≤PQ＜4，则线段PQ长的取值范围为[2√2，4)．故答案为：[2√2，4)．【点评】：本题考查了直线与圆位置关系的应用，圆的方程的理解与应用，圆的切线性质的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.（单选题，5分）“ |a1b1a2b2|=0”是“直线a1x+b1y=1和a2x+b2y=1平行”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分又非必要条件【正确答案】：B【解析】：由当a1=a2=0，b1=b2=1，满足|a1b1a2b2| =0，但两直线重合，故|a1b1a2b2| =0是直线a1x+b1y=1和a2x+b2y=1平行的非充分条件；分斜率是否存在讨论两直平行可得|a1b1 a2b2|=0，故是必要条件，可得结论．【解答】：解：由|a1b1a2b2| =0，得a1b2-a2b1=0，当a1=a2=0，b1=b2=1时，直线a1x+b1y=1和a2x+b2y=1重合，故|a1b1a2b2| =0是直线a1x+b1y=1和a2x+b2y=1平行的非充分条件，若直线直线a1x+b1y=1和a2x+b2y=1，当直线斜率存在时可得- a1b1 =- a2b2，所以可得a1b2-a2b1=0，即|a1b1a2b2| =0，若直线斜率不存在时，则有b1=b2=0，此时有a1b2-a2b1=0，即|a1b1a2b2| =0，所以|a1b1a2b2| =0是直线a1x+b1y=1和a2x+b2y=1平行的必要条件．故选：B．【点评】：本题考查行列式的计算与两直线平行的条件，属基础题．14.（单选题，5分）已知函数f(x)=2x−(12)x，则f（x）（）A.是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数【正确答案】：A【解析】：利用函数奇偶性的定义以及单调性的结论判断即可．【解答】：解：函数f(x)=2x−(12)x的定义域为R，关于原点对称，又f（-x）= 2−x−(12)−x=(12)x−2x=−f(x)，所以f（x）为奇函数，因为y=2x为递增函数，y=−(12)x也为递增函数，所以f（x）在R上为递增函数，则在（0，+∞）上是增函数．故选：A．【点评】：本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，判断函数奇偶性时要先判断函数的定义域是否关于原点对称，解题的关键是掌握基本初等函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题．15.（单选题，5分）已知双曲线x22−y2=1，作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，作y轴的垂线交双曲线于C、D两点，且AB=CD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线【正确答案】：B【解析】：首先根据AB=CD，设出P点坐标，再根据点在椭圆上，代入椭圆方程，求出P点轨迹方程即可．【解答】：解：由题知AB=CD，设A（m，t），D（t，n），所以P（m，n），又因为m 22−t2=1，t22−n2=1，消去t，可得m 26−2n23=1，则点P 轨迹为双曲线．故选：B ．【点评】：本题主要考查了判断点的轨迹方程，属于基础题． 16.（单选题，5分）设m ，n∈R ，定义运算“Δ”和“∇”如下： mΔn ={m ，m ≤n n ，m ＞n， m∇n ={n ，m ≤n m ，m ＞n．若正数m ，n ，p ，q 满足mn≥4，p+q≤4，则（）A.mΔn≥2，pΔq≤2B.m∇n≥2，p∇q≥2C.mΔn≥2，p∇q≥2D.m∇n≥2，pΔq≤2 【正确答案】：D【解析】：由运算“Δ”和“∇”定义知， mΔn ={m ，m ≤n n ，m ＞n表示数m 、n 比较小的数， m∇n ={n ，m ≤n m ，m ＞n表示数m 、n 比较大的数，举例可判断选项A 、B 、C 错误；由不等式的性质可证明选项D 正确．【解答】：解：由运算“Δ”和“∇”定义知， mΔn ={m ，m ≤nn ，m ＞n 表示数m 、n 比较小的数，m∇n ={n ，m ≤nm ，m ＞n 表示数m 、n 比较大的数，当m=1，n=5时，mΔn=1，故选项A 、C 错误；当p=q=1时，p∇q=1，故选项B 错误； ∵m+n≥2 √mn ≥4，且2（m∇n ）≥m+n ， ∴m∇n≥2，∵pq≤ (p+q 2)2≤4，（pΔq ）2≤pq ，∴pΔq≤2，故选项D 正确；故选：D ．【点评】：本题考查了新定义的应用及转化思想与转化法的应用，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，P，Q分别是棱BC与B1C1的中点．（1）求以A1，D1，P，Q为顶点的四面体的体积；（2）求异面直线D1P和A1Q所成的角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，以A1，D1，P，Q为顶点的四面体即三棱锥P-A1D1Q，由棱锥体积公式计算可得答案；（2）根据题意，连接PA，AD1，PA || A1Q，易得∠D1PA就是异面直线D1P和A1Q所成的角，进而由余弦定理求出∠D1PA的余弦值，即可得答案．【解答】：解：（1）根据题意，连接PA1、PD1、PQ，以A1，D1，P，Q为顶点的四面体即三棱锥P-A1D1Q，底面△A1D1Q的面积S= 12×4×4=8，高PQ=4，则其体积V= 13S•PQ= 323；（2）连接PA，AD1，PA || A1Q，则∠D1PA就是异面直线D1P和A1Q所成的角，△APD1中，AP= √16+4 =2 √5，AD1= √16+16 =4 √2，|D1P|= √16+16+4 =6，则cos∠D1PA= AP2+PD12−AD122×AP×PD1 =2×2√5×6= √55，故∠D1PA=arccos √55；即异面直线D1P和A1Q所成的角的大小为arccos √55．【点评】：本题考查几何体的体积计算和异面直线所成角的求法，涉及正方体的几何结构，属于基础题．18.（问答题，14分）设函数f（x）=sinx，x∈R．（1）若θ∈[0，π），函数f（x+θ）是偶函数，求方程f(x+θ)=12的解集；（2）求函数y=[f(x+π12)]2+[f(x+π4)]2的值域．【正确答案】：【解析】：（1）先根据偶函数的性质求出θ= π2，再根据余弦函数的性质即可求出；（2）根据二倍角公式，两角和差的正余弦公式，正弦函数的图象和性质即可求出．【解答】：解：（1）∵f（x）=sinx，∴f（x+θ）=sin（x+θ），∵θ∈[0，π），函数f（x+θ）是偶函数，∴θ= π2，∴f（x+ π2）=sin（x+ π2）=cosx，∵ f(x+θ)=12，∴cosx= 12，∴x= ±π3+2kπ，k∈Z，即解集为{x|x= ±π3+2kπ，k∈Z}；（2）y=[f(x+π12)]2+[f(x+π4)]2=sin2（x+ π12）+sin2（x+ π4），= 1−cos(2x+π6 )2 + 1−cos(2x+π2)2，=1- 12 cos （2x+ π6 ）+ 12 sin2x ， =1- 12 （ √32 cos2x- 12 sin2x ）+ 12 sin2x ， =1+ 34 sin2x- √34 cos2x ， = √32 （ √32 sin2x- 12 cos2x ）+1， = √32 sin （2x- π6 ）+1， ∵-1≤sin （2x- π6 ）≤1，∴1- √32 ≤ √32 sin （2x- π6 ）+1≤1+ √32 ，故函数的值域为[1- √32，1+ √32]．【点评】：本题考查了三角恒等变换，以及正余弦函数的图象和性质，属于基础题． 19.（问答题，14分）吴淞口灯塔AE 采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度H （单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=3m ，使A ，B ，D 在同一直线上，也在同一水平面上，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（本题的距离精确到0.1m ）（1）该小组测得α、β的一组值为α=51.83°，β=47.33°，请据此计算H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若灯塔的实际高度为20.1m ，试问d 为多少时，α-β最大？【正确答案】：【解析】：（1）利用已知条件，结合直角三角形可得Htanβ - Htanα= 3tanβ，从而利用计算器求具体的值即可；（2）延长BC，由E向BC作垂线，垂足为F，结合直角三角形，利用三角恒等变换得tan （α-β）= 3d+343.71d，结合基本不等式求d即可．【解答】：解：（1）在Rt△ABE中，AB= Htanα，在Rt△ADE中，AD= Htanβ，在Rt△BDC中，BD= 3tanβ，则Htanβ - Htanα= 3tanβ，故H= 3tanαtanα−tanβ≈ 3×1.272141.27214−1.08483≈20.4（m）；（2）如图，延长BC，由E向BC作垂线，垂足为F，则tanα= AEAB = 20.1d，tanβ= CFEF= 17.1d，故tan（α-β）= tanα−tanβ1+tanα•tanβ = 3d+343.71d，∵d+ 343.71d≥2 √343.71≈37，当且仅当d= 343.71d，即d≈18.5时，等号成立．故d约为18.5m时，α-β最大．【点评】：本题考查三角形的实际应用，利用了三角恒等变换及基本不等式，考查了化简计算能力及数形结合的思想，属于中档题．20.（问答题，16分）如图，已知F1、F2是椭圆Γ：x24+y2=1的左、右焦点，M、N是其顶点，直线l：y=kx+m（k＞0）与Γ相交于A，B两点．（1）求△F2MN的面积P；（2）若l⊥F2N，点A，M重合，求B点的坐标；（3）设直线OA，OB的斜率分别为k1、k2，记以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1、S2，△OAB的面积为S，若k1、k、k2恰好构成等比数列，求S（S1+S2）的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意可得M（-2，0），N（0，1），F2（√3，0），则S △F2MN = 12•MF2•ON，即可得出答案．（2）由l⊥F2N，得k l•（-√3）=-1，解得k l= √3，又直线l过点M（-2，0），写出直线l的方程为y= √3（x+2），联立椭圆的方程，即可得出答案．（3）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆的方程，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，由k1，k，k2恰好成等比数列，解得k= 12（k＞0），计算S，S1+S2，结合基本不等式，即可得出答案．【解答】：解：（1）根据题意可得a2=4，b2=1，所以c2=a2-b2=3，所以M（-2，0），N（0，1），F2（√3，0），所以S △F2MN = 12•MF2•ON= 12•（√3 +2）×1= √3+22．（2）因为l⊥F2N，所以k l•k F2N=-1所以k l•（-√3=-1，所以k l= √3，又直线l 过点M （-2，0），所以直线l 的方程为y= √3 （x+2），联立 {y =√3(x +2)x 24+y 2=1 ，所以13x 2+48x+44=0，所以-2+x B =- 4813 ，解得x B =- 2213 ，所以y B = √3 （- 2213 +2）= 4√313 ，所以B 点的坐标为（- 2213 ， 4√313 ）．（3）设直线l 的方程为y=kx+m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由 {y =kx +m x 24+y 2=1，得（1+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2-1）=0，则Δ=16（1+4k 2-m 2）＞0， x 1+x 2=- 8km1+4k 2 ，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k 2，因为k 1，k ，k 2恰好成等比数列，所以k 2=k 1k 2=(kx 1+m )(kx 2+m )x 1x 2，即km （x 1+x 2）+m 2=0，所以km （- 8km1+4k 2 ）+m 2=0，解得k= 12 （k ＞0），此时Δ=16（2-m 2）＞0，即m∈（- √2 ， √2 ），又A ，O ，B 三点不共线，得m≠0，从而m∈（- √2 ，0）∪（0， √2 ），所以S= 12 |AB|•d= 12 √1+k 2 |x 1-x 2|• √1+k 2= 12 √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 •|m| = √2−m 2 •|m|，又 x 124 +y 12=1， x 224 +y 22=1，所以S 1+S 2= π4 （x 12+y 12+x 22+y 22） = π4 （ 34 x 12+ 34 x 22+2） = 3π16[（x 1+x 2）2-2x 1x 2]+ π2= 5π4，所以S （S 1+S 2）= 5π4•（ √2−m 2 •|m|）≤ 5π4 • 2−m 2+m 22 = 5π4，当且仅当 √2−m 2 =|m|，即m=±1时，取等号，所以S （S 1+S 2）的最大值为 5π4 ．【点评】：本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 21.（问答题，18分）已知函数f （x ）=2-|x|，无穷数列{a n }满足a n+1=f （a n ），n∈N *．（1）若a 1=2，写出数列{a n }的通项公式（不必证明）；（2）若a 1＞0，且a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值；问{a n }是否为等比数列，并说明理由；（3）证明：a 1，a 2，⋯，a n ，⋯成等差数列的充要条件是a 1=1．【正确答案】：【解析】：（1）代入a 1=2，得到奇、偶项的值，从而得到通项公式；（2）由a 22=a 3•a 1求出a 1的值，再根据a 1的值判断数列{a n }是否为等比数列；（3）证明充分性和必要性；【解答】：解：（1）∵a n+1=f （a n ）=2-|a n |，a 1=2， ∴a 2=2-|a 1|=0，a 3=2-|a 2|=2，a 4=2-|a 3|=0，… ∴a n = {2，n 为奇数0，n 为偶数；（2）∵a 1＞0， ∴a 2=2-|a 1|=2-a 1， a 3=2-|a 2|=2-|2-a 1|= {a 1，(0＜a 1≤2)4−a 1，(a 1＞2)，又∵a 1，a 2，a 3成等比数列， ∴a 22=a 3•a 1， ①当0＜a 1≤2时，由 ① 可得a 1=1；当a 1＞2时，由 ① 可得a 1=2+ √2 ，当a 1=1时，a2=1，a3=1，a4=2-|a3|=1，a5=2-|a4|=1，…猜想a n=1，n=k时有a k=1，当n=k+1时，a k+1=2-|a k|=1，∴猜想成立，∴a n=1，此时数列{a n}是以1为首项，1为公比的等比数列；当a1=2+ √2时a2=- √2，a3=2- √2，a4=2-|a3|= √2，不满足a32=a2a4，∴此时数列{a n}不是等比数列；（3）证明：⇒（充分性）当a1=1时，由（2）可知，a n=1，∴此时数列{a n}是以1为首项，0为公差的等差数列；⇐（必要性）当数列{a n}是等差数列时，必有2a2=a3+a1，即2（2-|a1|）=a1+（2-|2-|a1||）⇔2-a1+|2-|a1||=2|a1| ②当a1≤0时，d=a2-a1=2＞0，因此存在m≥2使得a m=a1+2（m-1）＞2，此时d=a m+1-a m=2-|a m|-a m＜0，矛盾；当0＜a1≤2时，由② 得：-4a1+4=0，∴a1=1；当2＜a1时，由② 得：a1=0，与2＜a1矛盾，综上a1=1；所以当数列{a n}是等差数列的充要条件是a1=1；【点评】：本题考查了数学归纳法、等比数列的判断及充要条件的证明，属于中档题．。